Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques Departament d’Ensenyament 2n BATX MA Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades II Nom i Cognoms: Grup: Data:

a b c

1) Sigui la funció ℜ→ℜ:f definida per ( ) ·( )xf x e ax b= + , en què a i b són nombres reals.

a) Calcula a i b perquè la funció tingui un extrem relatiu en el punt ( )33, .e

b) Per als valors a i b obtinguts, digues quin tipus d’extrem relatiu té la funció en el punt esmentat.

[2 punts] 2) Una funció f(x) contínua i derivable, té una asímptota horitzontal en y=0, té un

mínim en x=b i dos punts d’inflexió en x=a i x=c . El seu gràfic és el que mostra la figura. Dibuixa de manera raonada i esquemàticament el gràfic de f ’(x) (funció derivada)

[1,5 punts]

3) Donada la funció ( )21

)(−

=x

exf

x

a) Quin és el seu domini? b) Trobeu les seves asímptotes (Informació extra: no té inclinades quan +∞→x ) c) Calculeu i simplifiqueu les dues primeres derivades

[Us han de sortir ( ) ( )41

1162

)(''31

)3()('−

+−

=−

−=x

xxxexf

x

xxexf

d) Estudieu el seu creixement, decreixement i l'existència de màxims i mínims. e) Estudieu la seva curvatura (concavitat, convexitats i punts d'inflexió) f) Amb la informació anterior dibuixeu la seva gràfica

[0,25+0,75+1+0,75+0,5+0,75= 4 punts]

4) Calculeu els vèrtexs A, B, C i D del rectangle d’àrea màxima que té un costat sobre l’eix de les x i està inscrit en el triangle que determinen les rectes: y=0, y=x i y=4 - 2x.

Pista: els punts C i D tenen la mateixa ordenada [2,5 punts]

B=(b,0) A=(a,0)

D C

Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques Departament d’Ensenyament 2n BATX MA Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades II Nom i Cognoms: Grup: Data:

Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques Departament d’Ensenyament 2n BATX MA Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades II Nom i Cognoms: Grup: Data:

1) Sigui la funció ℜ→ℜ:f definida per ( ) ·( )xf x e ax b= + , en què a i b són nombres reals.

a) Calcula a i b perquè la funció tingui un extrem relatiu en el punt ( )33, .e

b) Per als valors a i b obtinguts, digues quin tipus d’extrem relatiu té la funció en el punt esmentat.

[2 punts]

Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques Departament d’Ensenyament 2n BATX MA Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades II Nom i Cognoms: Grup: Data:

a b c

2) Una funció f(x) contínua i derivable, té una asímptota horitzontal en y=0, té un mínim en x=b i dos punts d’inflexió en x=a i x=c . El seu gràfic és el que mostra la figura. Dibuixa de manera raonada i esquemàticament el gràfic de f ’(x) (funció derivada)

[1,5 punts]

Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques Departament d’Ensenyament 2n BATX MA Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades II Nom i Cognoms: Grup: Data:

3) Donada la funció ( )21

)(−

=x

exf

x

a) Quin és el seu domini? b) Trobeu les seves asímptotes (Informació extra: no té inclinades quan +∞→x ) c) Calculeu i simplifiqueu les dues primeres derivades

[Us han de sortir ( ) ( )41

1162

)(''31

)3()('−

+−

=−

−=x

xxxexf

x

xxexf

d) Estudieu el seu creixement, decreixement i l'existència de màxims i mínims. e) Estudieu la seva curvatura (concavitat, convexitats i punts d'inflexió) f) Amb la informació anterior dibuixeu la seva gràfica

[0,25+0,75+1+0,75+0,5+0,75= 4 punts]

Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques Departament d’Ensenyament 2n BATX MA Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades II Nom i Cognoms: Grup: Data:

Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques Departament d’Ensenyament 2n BATX MA Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades II Nom i Cognoms: Grup: Data:

Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques Departament d’Ensenyament 2n BATX MA Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades II Nom i Cognoms: Grup: Data: 4) Calculeu els vèrtexs A, B, C i D del rectangle d’àrea màxima que té un costat

sobre l’eix de les x i està inscrit en el triangle que determinen les rectes: y=0, y=x i y=4 - 2x.

Pista: els punts C i D tenen la mateixa ordenada [2,5 punts]

B=(b,0) A=(a,0)

D C

4/3

Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques Departament d’Ensenyament 2n BATX MA Institut Jaume Balmes Aplicacions de les derivades II Nom i Cognoms: Grup: Data: