NOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO II.pdfNOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO Un conjunto es la reunión en un...

Ministerio de Educación Universidad Tecnológica Nacional CURSO DE INGRESO

Facultad Regional Trenque Lauquen MATEMATICA

Año 2013 1

NOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí, que se

llaman elementos del mismo.

A los elementos se los simboliza con letras en minúscula y a los conjuntos en MAYÚSCULA.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A , se lee :

a pertenece al conjunto A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A, se lee: a no pertenece al

conjunto A.

Ejemplos de conjuntos:

o : el conjunto vacío, que no tiene elementos.

o N: el conjunto de los números naturales.

o Z: el conjunto de los números enteros.

o Q : el conjunto de los números racionales.

o R: el conjunto de los números reales.

o C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por

extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión.



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Por ejemplo:

o A = {1,2,3, ... ,n}

o B = {p Z / p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una

parte de B), y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir,

a A a B.

Ejemplo:

Dados los conjuntos V={a, e, i, o, u} y A={a, b, c, d, e, f, g , h,…..w, x, y, z}

Se puede ver que: V ⊂ A El conjunto de las vocales está incluido en el alfabeto o,

que es lo mismo decir, Las vocales son un subconjunto

del alfabeto.

{Argentinos} ⊂ {Sudamericanos} Los argentinos son un subconjunto de los sudamericanos

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A B y B A;

esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad

característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que A y A A; B A es un subconjunto

propio de A si A y B A.

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de un

conjunto U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.



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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Intersección

La intersección de un conjunto A con otro B es un conjunto formado por los elementos

comunes de ambos conjuntos, se simboliza A B y se expresa formalmente:

A B = {x / x A x B}

Unión

En cambio la unión de un conjunto A con otro B es el conjunto formado por los elementos

comunes y no comunes de ambos conjuntos, se simboliza A B y se expresa:

A B = { x / x A x B}

A través de diagramas de Venn:



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Ejemplo:

Dado los conjuntos: y

Complemento

Todo subconjunto puede considerarse conjunto y a su vez, todo conjunto es subconjunto de

otro más vasto. El conjunto que incluye todos los conjuntos y subconjuntos considerados en el

tratamiento de un determinado tema es el conjunto referencial o universal (R). Para evitar las

paradojas, debe tenerse el cuidado de que el conjunto universal no abarque todo.

Si en un conjunto de referencia (R), o también llamado (U), se selecciona un conjunto (A), lo

que queda recibe el nombre de complemento del conjunto A y está formado por todos los

elementos que no pertenecen a A El signo que nombra el complemento se forma colocando un

apóstrofe al nombre del conjunto (A’) o también con una raya arriba del nombre del conjunto

( ̅̅ ̅ .

La unión de un conjunto con su complemento reconstruye el conjunto de referencia.

Elementos comunes de A y V

solamente

Todos los elementos de A y de V



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El conjunto que no tiene ningún elemento se llama conjunto vacío (∅), es subconjunto de

cualquier conjunto y tiene un rol similar al cero en los sistemas de numeración, porque unido a

otro conjunto lo deja sin cambios (V ∅ = V ). El conjunto vacío es el complemento del

conjunto referencial (U’ = ∅) y es un subconjunto impropio de todo conjunto.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía los conjuntos se llaman ‘disjuntos’.

Ejemplo:

Dado los conjuntos:

A y

Entonces:

∅

Se dice que A y B son

conjuntos disjuntos

A

𝑨

U



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Algunas Propiedades

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

1.- Idempotencia AA = A AA = A

2.- Conmutativa AB = BA AB = BA

3.- Asociativa A( BC ) = ( AB ) C A( BC ) = ( AB ) C

4.- Absorción A( AB ) = A A( AB ) = A

5.- Distributiva A( BC ) = ( AB ) ( AC ) A( BC ) = ( AB ) ( AC )

6.- Complementariedad AA' = U AA' =

Estas propiedades hacen que partes de U, con las operaciones unión e intersección, tenga una

estructura de álgebra de Boole.

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

o A = A , A = ( elemento nulo ).

o A U = U , A U = A ( elemento universal ).

o ( A B )' = A' B' , ( A B )' = A' B' ( leyes de De Morgan ).

o ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅, ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ( leyes de De Morgan, escritas en

su otra forma).

o (A') ' = A o ̿



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Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de

pares ordenados (a,b) :

(

Dos pares (a,b) y (c,d) de son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro

conjuntos A,B,C,D se verifica

⇔ (

Ejemplo:

Dados los conjuntos },,,,{ edcbaA y }4,3,2,1{B , realizar el siguiente producto

cartesiano A x B y graficarlo en un sistema de ejes cartesianos:

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

a b c d e A

B

4

3

2

1 (b,1)

(e,2)

(d,4)

(a,1)

(c,3)

(b,2)



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