Números reales

Medidas y errores Magnitudes muy pequeñas

Distribución de Descripción detemperaturas reacciones químicas

La base de todo

Imagina un mundo sin árboles, o un cielo sin nubes o un mar sin olas. No es algo tan lejano, mira la imagen de la izquierda, puedes ver uno de los árboles desecados de

Decid Vlei, en Namibia. No hace falta ponerse tan serios, pero... ¿Te imaginas un mundo sin móviles, sin internet ni televisión, donde no puedas mandar fotos a tus amigos ni saber dónde están para quedar con ellos? ¿Y un mundo en el que no se pueda viajar? No parece divertido, ¿a que no?¿Y un mundo sin números? Si esta posibilidad no te asusta tanto como las anteriores piensa un poco y recapacita, por­que los números se esconden detrás de más cosas de las que tú te crees. Quizá pienses que basta con saber contar, pero para el desarrollo de la ciencia y de la técnica necesitamos otros tipos de números que nos permitan expresar y mani­pular con facilidad las cantidades que miden las distancias y los tiempos, los pesos, las concentraciones y, en general, todas las propiedades de la materia y de los objetos. Incluso tendremos que contar con estos números para darle una oportunidad a nuestro maltratado planeta...

Los números reales permiten expresar cantidades y mag­nitudes y compararlas, así como el grado de aproxima­ción o la incertidumbre con los que medimos las cosas.La representación decimal de los números reales posibi­lita trabajar con magnitudes inimaginablemente grandes o pequeñas (piensa en los tamaños de una galaxia o un virus) y operar con ellas con facilidad y rapidez (¿te ima­ginas una calculadora con números romanos?).Las funciones y fórmulas que usan números reales son básicas para describir el mundo físico: el movimiento y el reposo, la distribución de las temperaturas de los cuer­pos, las reacciones químicas, la evolución de la economía o de las poblaciones de una especie amenazada, etc.Los números reales son fundamentales para la ingeniería y para ciencias sociales como la economía.

Si has pensado un poco en lo anterior seguro que tendrás respuesta para las siguientes cuestiones:

Piensa ejemplos de cantidades que no podamos expresar con los números naturales y de cantidades que no pode­mos expresar con los números enteros. ¿Hay magnitudes que no sea posible expresar con fracciones?¿Sabrías diseñar una piscina con proporciones áureas?

¿Nos basta con los enteros para describir la forma de cualquier objeto? ¿Y con las fracciones?¿Sabrías describir de forma precisa el ritmo con el que crece la cantidad de bacterias en un cultivo?

Si quieres averiguar la respuesta a estas preguntas y apren­der más, sigue leyendo.

^ smSaviadigifal.com p o n t e a pu n t o

i Recuerda lo que sabes sobre números reales.Desarrollos en ingeniería 9

Números reales

• Los números naturales, N = {0 , 1, 2, 3...}, se pueden sumar y multiplicar, pero no siempre se pueden restar o dividir.

• Los números enteros, Z ={... -2, -1, 0, 1, 2...}, se pueden sumar, multiplicar y restar, pero no siempre dividir.

• Los números racionales, Q , se caracterizan porque se pueden obtener como cociente de dos números enteros (conjunto Z ).

Q e n e n c u e n ta Así, cualquier fracción con denominador no nulo representa un número racional.

El símbolo e significa pertenencia aun conjunto. Por ejemplo para indicar x e Q o existen m y / ie Z tales que x = — (n * 0)que x es un número racional se puede ' nescribirxeQ .

Expresiones asociadas a un número racionalLos números racionales también pueden expresarse mediante números decimales, basta con efec­tuar la división del numerador entre el denominador de la fracción asociada a él. El resultado puede ser:

• Un número decimal exacto, con un número finito de cifras decimales.

• Un número decimal periódico, con un número infinito de cifras decimales, en el que a partir de un cierto lugar se repite una secuencia fija de cifras. Las cifras decimales que no se repiten for­man el anteperíodo y la secuencia que repite se denomina período.

149tjem plosv --- = 7,45 Decimal exacto con parte entera 7 y parte decimal 45.

20

127 —-^- = 11,54 Decimal periódico puro con parte entera 11 y período 54.

349~ ^ = 2,326 Decimal periódico mixto con parte entera 2, anteperíodo 32 y período 6.

Cualquier número decimal exacto o periódico es un número racional y podemos expresarlo en forma de fracción, denominada fracción generatriz.

• Si es un decimal exacto, en el numerador de la fracción generatriz aparecen las cifras del número decimal sin coma, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya.

• Si es decimal periódico, se distingue entre puro y mixto.

;iH en en cuentaPara determinar la fracción genera­triz de un número periódico se puede usar la siguiente regla, que se deduce de los ejemplos de la tabla.

cifras del número sin coma ni periodo -- cifras situadas antes del periodo________

tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo

x = 11,54 x = 2,326

l . ° Si es mixto se multiplica x por 10", donde n es el número de cifras del anteperíodo. Si es puro se pasa al siguiente paso.

x = 11,54 102x = 232,6

2 .° Se multiplica por 10 ", donde m es el número de cifras del período. De esa manera, el primer período pasa a ser parte entera.

102x = 1154,54 10-102x = 2326,6

3.o Se restan las expresiones obtenidas en 1 y 2. 99x = 1143 900x=2094

4.o Se despeja. _ 1143 _ 127 X~ 99 ~ 11

_ 2094 _ 349 900 _ 150

Todo número racional puede escribirse en forma decimal exacta o periódica o en forma de fracción.

10

Números realesLos números con expresiones decimales como los siguientes:

1,010 010 001 000 010 0... -25,101 112 131415... 72 = 1,414 213 56...

tienen un número infinito de cifras, pero no presentan período. Esto implica que no son números racionales y, por tanto, no pueden expresarse como una fracción.

Los números cuya expresión decimal es ilimitada y no periódica se denominan números irracionales, L

Ejemplo > Son números irracionales los siguientes:

Raíces no exactas de números enteros: 7 3 , 7 5 , 7 8

Expresiones decimales infinitas cuyas cifras no siguen ningún período aunque pueden presentar otro tipo de regularidad: 23,110 100 100 010 000... o 0,112 233 445 5...

Números importantes en matemáticas como:

71 = 3,141592 65... e = 2,718 28182... cl> = 7 ± 7 7 = 1,618033 98...2

La unión de los conjuntos formados por los números racionales y por los números irracionales se denomina conjunto de los números reales. Este conjunto se representa con la letra IR .

Propiedades de la suma y del producto de números realesLa suma y el producto de dos números reales es siempre otro número real.

Suma Producto

Conmutativa: a + b = b + a Asociativa: a+ (b + c) = (a + b) + c Elemento neutro: a + 0 = o Elemento opuesto: o + (-o) = 0

Distributiva del producto respecto de la suma: ci{b + c) = ab + ac

Conmutativa: ab = ba Asociativa: a(bc) = (ab)cElemento neutro: lo = a

1Elemento inverso: o-— =1 cono^O

o

V -3 V3Q ^

7.5

R

EJERCICIO RESUELTOClasifica los siguientes números indicando a qué conjuntos pertenecen.a) 2 c) 0,232323...b) -3 d) 0,12112111211112...

a) 2 es natural, entero, racional y real.b) -3 es entero, racional y real.c) 0,232323... es racional y real.d) 0,121121112... es irracional y real

2. Halla la fracción irreducible que corresponde a los siguientes números racionales.

a) 25,25 b) 25,25 c) 25,25 d) 25,25 + 25,2525.25

3. Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado.

a) 15

1+ 1

i +i2

b) 14

4. Razona con ejemplos si son ciertas o falsas las siguientes afir­maciones.a) La suma de dos irracionales es siempre irracional.b) El producto de dos irracionales es siempre irracional.

5. Se quiere vallar un campo rectangular. Se sabe que uno de sus lados mide tres quintas partes de la medida del otro y la diago­nal mide 30 m. Si un metro de valla cuesta 25 € y se desperdi­cia un 10 % del material empleado, calcula el precio que se deberá pagar.

11

Ordenación en R . Desigualdades

Dados dos números reales a y ó, se dice que a < b si y solo si b - a es positivo o cero.

La relación < es una relación de orden total en IR , ya que cumple las siguientes propiedades:

• Reflexiva: o < a• Antisimétrica: si a < ó y ó <a => a = b• Transitiva: s io < ó y ó < c = > a < c

La relación es total, ya que para todo par de números o y ó se verifica que o bien a<b o bien b<o.

Tipos de desigualdades entre números reales• El número real a es menor o igual que el número b: a<b -3 <-3

• El número real a es mayor o igual que el número b: a>b 2> 1

• El número real o es menor que el número b: a<b 2< 5

• El número real a es mayor que el número b: a>b - 3 > -5

Propiedades de las desigualdades• Si se suma el mismo número real en ambos miembros de una desigualdad, no varía su sentido.

2 < 5 => 2 + (-3) < 5 + (-3) => -1 < 2

• Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por cualquier número real posi­tivo, no cambia su sentido.

2 > - 3 = > 2 - 8 > - 3 -8 = > 1 6 > -2 4

• Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por cualquier número negativo, cambia el sentido de la misma.

2 < 4 => 2 • (-2) > 4 • (-2) => -4 >-8

EJERCICIOS RESUELTOSSean o y ó dos números reales positivos. Si a<b, demuestra que el inverso de o es mayor o igual que el inverso de b.

7. Demuestra que la semisuma de dos números reales positivos es superior o igual a la raíz cuadrada de su producto.

1 1 . ó 1 ó 1-<ó- =>1<-=>1- < —0 a a ó 0 ó

, i< ±b a

Sean o y ó dos números reales positivos.Utilizando el hecho que el cuadrado de cualquier número real es positivo:

( \fci — \íb) >0 =¡>{\¡a) +{\fb) -2\fa\fb >0=»o + ó>2\/a\/ó =>^-í-^>\/o62

EJERCICIOS PROPUESTOS ,8. Ordena de menor a mayor en cada caso.

68 14 2725 ' 5 y 10 c)</4.</3 y>/2

b) 1,23; 1,23 y 1,23 d) 2,9 ; 3 y 3,01

. Tres números reales positivos o, b y c pueden representar las medidas de los tres lados de un triángulo si y solo si verifican que la suma de los dos menores es mayor que el mayor. Indi­ca los valores que puede tomar a para que los números natu­rales o, 2o+ 1 y 10 sean las medidas de un triángulo.

9. Sean o y ó dos números reales negativos. Si a < ó, demuestra que el inverso de o es mayor o igual que el inverso de ó. ¿Qué pasaría si o fuera negativo y ó positivo?

A partir del desarrollo de (x - y )2, siendo x e y dos númerosX Vreales y xy> 0, demuestra que —+ — >2.y x

Sean p, q y M números reales positivos con q < 100. Demues­tra que el número obtenido al aumentar M en un p % y, poste­riormente, disminuir el resultado en un q % , es mayor que M si y solo si:

100qp>---- —100-q

10.

La recta real. Representación gráfica

Se considera una recta en la que se han marcado dos puntos: uno que representa el número 0 y otro, a su derecha, que representa el número 1.

—i----1---- 1----1----1----1--- i—0 1

Se verifica que:

• Cada punto de la recta se corresponde con un número real.

• A cada número real le corresponde uno y solo uno de los puntos de la recta.

Por tanto, existe una correspondencia perfecta entre los puntos de la recta y los números reales. Esta recta recibe el nombre de recta real.

Representación de los números enterosPara representar números enteros se lleva la distancia entre 0 y 1 tantas veces como sea preciso sobre la recta, hacia la derecha si el número es positivo o hacia la izquierda si es negativo. Tam­bién se puede utilizar el compás para obtener el opuesto del correspondiente número entero.

Representación de los números racionalesLos números racionales se representan dividiendo segmentos de la recta en partes iguales con la ayuda del teorema de Tales.

Representación de números irracionalesSolo algunos números irracionales pueden ser representados en la recta real con regla y com­pás, como por ejemplo, las raíces cuadradas de los números naturales, usando el teorema de Pitágoras o el teorema de la altura.

Ejemplo ► Representa \Í5 en la recta real.

Basta notar que \Í5 = V4 + 1 = V 22 + 12 ; enton­ces, 75 es la hipotenusa de un triángulo rec­tángulo de catetos 2 y 1. 0 2 V5

O GeoGebraEntra en smSaviadigital.com y re­presenta más números reales.

EJERCICIOS RESUELTOSRepresenta \/l3 y J 26 en la recta real. Para ello, escribe previamente los números 13 y 26 como suma de dos cuadrados.

Representa ^ en la recta real.

13 = 9 + 4 = 32 + 22 26 = 25 + l = 52 + l 2

1 V2V3

EJERCICIOS PROPUESTOS15. Representa en la recta real los siguientes números. --6* Representa en la recta real:

a) 5 c) -2 a) VÍ7 b) V29 c) V ñ d) V2Ö

Números reales 13

Valor absoluto

El valor absoluto de un número real o coincide con él mismo si es positivo o cero, y es igual a

su opuesto si es negativo. Se representa por \a\.

| a si a> 0 \-a si a < 0

El valor absoluto de un número coincide siempre con el de su opuesto.

, 1-41=4 ,131 = 3, El valor absoluto de un número real es también la distancia entre el punto que representa ese nú-i* mero y el cero en la recta real.H--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--t— ’

-4 0 3La distancia entre dos puntos en la recta real es: d(a,b) = \b-a\ con a, be R

■ 16 — (—3)1 =191=9 ■—i— i— i— i— i— i— i— i— i— i— i— i—

-3 0 6

O GeoGebraEn smSaviadigital.com dibuja más desigualdades con valor absoluto.

La distancia entre los números -3 y 6 es |ó — (—3 )| =|9| = 9 unidades.

Propiedades del valor absoluto• ja|> 0 para cualquier número real o

• \ab\ =|o|¡b| para cualesquiera números reales o y b

• Desigualdad triangular: \o + b\ <|o|+|/)| para cualesquiera números reales a y b

EJERCICIOS RESUELTOSHaz las siguientes operaciones.

a) |2||-3| d) |2 + (-3)|

b ) |2(-3)| e) ||2|-|-3||

0|2|+|-3| f) -||-2|-|3||

a) |2||-3|=2-3=6

b) |2(-3)|=|-6| = 6

c) |2|+|-3| = 2 + 3 = 5

d) |2+(-3)|=|-l| = l

e> |2|—|—3|| =(2—3| =|—1| = 1

0 -|-2|-|3 |— 12-3|— 1-1| = -1

Desarrolla la expresión x+|x-2| y calcúlala para los

casos x = -2 , x = O y x = 3 .

19. Desarrolla el valor de la expresión |x + l|+ |x -3 |.

Se aplica la definición de valor absoluto a esta expresión y se obtiene:

. , íx + x-2 si x-2> 0 Í2x-2 si x>2x + x - 2 \ = < =<

\x — (x — 2) si x-2< 0 [ 2 si x<2

Para x = -2: 2 Para x = 0: 2 Para x = 3: 2-3 — 2 = A

Se aplica la definición por separado a los dos valores absolutos que aparecen:

|x + l| = <f x + 1 si x + l> 0 f x + 1 si X>-1l —(x + 1) si x + l< 0 l- x - 1 si X < —1

x — 31 = <1 ^-3 si x - 3 > °_ | x-3 si x > 31 l- (x - 3 ) si x — 3 < 0 _ 1—x + 3 si x<3

í- x - l- x + 3 si x < —1 í -2x + 2 si x < —1Al sumar: |x + l|+|x-3| = \ x + l- x + 3 si - l< x < 3 = i 4 si - l< x < 3

[x + l + x-3 si x>3 1 2x-2 si x>3

20. Desarrolla el valor de las siguientes expresiones.a) 2x-3+|2x-3| b) 2—3x—12—3x|

Calcula el valor de las expresiones anteriores para los casos x = - 2 , x = O y x = 3.

Desarrolla el valor de las siguientes expresiones.a) |x+2|+|x-3| b) x+|x + 2|+|x + 3|

Calcula el valor de las expresiones anteriores para los casos x = -2, x = 0 y x = 3.

14 Unidad 1

Intervalos y entornos

La relación de orden permite definir algunos subconjuntos de números reales que tienen una inter­pretación geométrica sencilla en la recta real.

Intervalos• Intervalo abierto (o, b) = {x e R , a<x<b] ----- o

o• Intervalo cerrado [fl,6] = {x e M , a<x<b) -----•-

oAdemás, se pueden considerar otros intervalos.

Semiabiertos o semicerrados.- incluyen solo uno de los extremos,

(o, b] ----- c--------------- •----- [o, b) ----- •---------o b a b

Semirrectas: determinadas por un número real y todos los números mayores o menores que él.

(o, +°°)

(-oo, o)

[o, + °°)

(—oo, o j

Entornos

(-2, 3)

-2 0

1-2,3)

-2 0

(-2,3]

-2 0

(—2, +°°)

-2 0

Se llama entorno abierto de centro el número real a y radio r> 0, y se denota por £(o, r), al conjunto de todos los números reales x que distan de a menos que r:

E(o, r) = (a - r, a + r) « { x e l , \x-o\<r]a - r a + r

Se llama entorno cerrado de centro el número real o y radio r>0, y se denota por £|o, r], al conjunto de todos los números reales x que distan de o menos o igual que r:

r _ jr _E[a,r\ = \a-r,a + r\<=$ {x<=R,\x-a\<r} ~

o - r a + r

También se puede considerar el entorno reducido de centro el número real o y radio r> 0, que se denota por E*(a, r), y que incluye todos los puntos de un entorno excepto el centro.

E*(a, r) = (a - r, a + r )- {a \

EJERCICIOS RESUELTOS22. Dados los intervalos

¿ = (- 4 ,3 ), fl = (- 2,A] y C = (-°o,2] indica qué conjuntos determinan: A u f i , A n B , AuC y A n C .

23. Expresa mediante un intervalo el conjunto de números reales x tales que |x +2| >3 .

-1 0 1£(1.2)

- ■ o

,,TT — •— i—i

£[1.2]3

r r

o - r 0E*(a, r)

a + r

La unión u de dos conjuntos está formada por todos los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los dos conjuntos. Así, A u f í = (-4, A] y Ak jC = ( - ° ° , 3 ).

La intersección n de dos conjuntos está formada por los elementos que pertenecen a ambos a la vez. Entonces, A n B = (-2, 3) y A n C = (-4, 2]

Se trata de los números que no pertenecen al entorno abierto de centro -2 y radio 3.

Por tanto: |x + 21 > 3 => x e (- ° ° , — 5 ]u [ l , + ° ° )

EJERCICIOS PROPUESTOS24. Dados A = (2 ,4 ), fi = (-2,4] y C = [-3, + ° ° ) , calcula:

a) A u B k j C c ) M n f i j u fb) A n f in C d) (A u B )n C

26. Expresa mediante intervalos y gráficamente los siguientes conjuntos de números reales.

a) |x — 2|<2 b)|x + 3 |> l c )|x + l|< 2

25. Expresa como entorno los intervalos (-5,2) y [-5,2] smSaviadigital.com p r a c t ic a Trabaja con la recta real.

15

Aproximaciones y errores

Muchos números racionales y todos los irracionales tienen su expresión decimal formada por infini­tas cifras decimales. Esto plantea dificultades al operar con ellos. Además, los instrumentos de medida introducen errores en la medición.

El problema se soluciona utilizando aproximaciones decimales que posean el número finito de ci­fras que se considere adecuado.

Aproximar un número real es sustituirlo por otro racional con un número finito de cifras deci­males. Se dice que una aproximación es por defecto o truncamiento cuando se sustituye el número original por otro menor que él, y por exceso cuando es mayor.

J S en en cuentaPara redondear un número a una cier­ta cifra decimal, se desprecian todas las siguientes a esa cifra.- Si la primera cifra despreciada es

inferior a 5, se toma como redondeo la aproximación por defecto.

- Si la primera cifra despreciada es igual o superior a 5, se toma la aproximación por exceso.

O GeoGebraEntra en smSaviadigital.com y es­tudia errores absolutos y relativos.

EJERCICIOS RESUELTOS28. Calcula las mejores

aproximaciones por defecto y por exceso, y el redondeo del

73numero — = 1,216 66... con

60ninguna, una, dos y tres cifras decimales significativas.

Siempre se emplean las mejores aproximaciones a un orden dado. En ellas, todas sus cifras coinci­den con las del número original hasta llegar a la correspondiente al orden señalado si la aproxima­ción es por defecto, y a una unidad mayor si es por exceso.

Ejemplo ► Las diferentes aproximaciones para >¡3 = 1,73205... hasta las milésimas son:

Unidad Décima Centésima Milésima

Defecto 1 1,7 1.73 1,732

Exceso 2 1,8 1.74 1,733

Errores absoluto y relativo de una aproximaciónAl utilizar una aproximación de un número real se comete un error.

El error absoluto, Ea, de una aproximación es el valor absoluto de la diferencia entre el verda­dero valor del número real y la aproximación.

El error relativo, f , de una aproximación es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor.

Para acotar el error relativo, habitualmente se utiliza el cociente entre el error absoluto y la aproxi­mación por defecto.

El error absoluto al aproximar \¡3 por 1,732 es E, = |\/3 — 1,7321 = 0,000050807...

Se construye la siguiente tabla:

Unidad Décima Centésima Milésima

Defecto 1 1,2 1.21 1,216

Exceso 2 1.3 1.22 1,217

Redondeo 1 1.2 1.22 1,217

29. Acota el error relativo cometido al utilizar 3,142 como aproximación de n.

El error absoluto es Ea = |7t-3,142| =|3,141592...-3,142| = 0,000 407... y el relativo,E 0,000407...

Er = — =--- --- = 0,0001296... Por tanto, la cota del error resulta del orden del 0,01 %.ti 3,141

EJERCICIOS PROPUESTOS30. Calcula las mejores aproximaciones por defecto y por exceso

y el redondeo de \Í2 a la unidad, la centésima y la diezmilé- sima.

Halla los errores absoluto y relativo que se cometen al utili-

zar 1,7 como aproximación de — .

Halla aproximaciones por defecto y exceso con una, dos y tres cifras decimales de:

a) 75 b) je

Utilizando las aproximaciones anteriores calcula el valor de \Í5 + n . ¿En cuál de ellas el error absoluto es mayor?

Notación científica

Para resolver e interpretar situaciones relacionadas con las ciencias de la naturaleza y la tecnología, en ocasiones es necesario utilizar números muy grandes o muy pequeños.

En particular, muchas magnitudes relacionadas con la astronomía están representadas por cantida­des enormes. Por ejemplo, la distancia media entre el Sol y la Tierra:

150 000 000 km = 1,5 • 108 km = 1,5 • 10n m

Otras, relacionadas con la física atómica, lo están por cantidades ínfimas, como la masa del elec­trón: 9.1-10'31 kg= 9,1 -10~28 g.

Un número escrito en notación científica se compone de dos factores:

• Una parte decimal con un número finito de cifras decimales y con una única cifra entera no nula.

• Una potencia de 10.

La notación científica se utiliza para simplificar la lectura y la escritura y para facilitar los cálculos con este tipo de números.

La nebulosa cabeza de caballo, es una nube de gas fría y oscura, situada a unos 1500 años luz de la Tierra, es de­cir, aproximadamente a 1,23 ■ 10' km.

EJERCICIOS RESUELTOSEscribe en notación científica:a) Mínima distancia en metros

entre la Tierra y Marte:59 millones de kilómetros.

b) Masa de un átomo de polonio: 209 urna.(1 uma= 1,66-10~27 kg)

24. Realiza las siguientesoperaciones y da el resultado en notación científica.a) 24500-120000000

a) 5,9-10'° m

b) 209-1,66-10’27 = 3,47-10'25 urna

a) 24 500-120000000 = 2,45-10M.2-108 = 2,94-1012

b) 12 000 000 000:4000 = 1,2-1010:4 • 103 = 0,3 • 107 = 3 • 106

c) 0,0035:0,000000007 = 3,5-10‘3:7-10'9 =0,5-106 = 5-105

b) 12000000000:4000

c) 0,0035:0,000000007

d) 1,23-lQ19 -2,6-lQ120,000004

d) 1,23 •10u - 2,6-1012 0,000004

123-1012 -2,6-lQ12 4-10'6

120,4 -1012 4-KT6

= 30.1-1018 = 3.01-1019

EJERCICIOS PROPUESTOS35. Calcula las siguientes operaciones y da el resultado en nota­

ción científica.a) 0,00048+0,000059

b) 35000000-720 000000

c) 250000-5.5-105

d) 0,00000015:0,000003

e) 1.2-108 + 50 0 0-2,4-105

2,2-lQ9 -7,8-lQ8 7,1 -1011

0,00 016(25-103 + 2 0 0 0)g) 0,002 5

ÍO23 -5,5-10~12h) 3,5-1022 + 4,3-1021

36. Un átomo de hidrógeno (H) tiene una masa de 1,66 • 10 g aproximadamente.a) ¿Cuántos átomos de H se necesitan para obtener 20 kg de ese

gas?b) ¿Cuál es, aproximadamente, la masa de 2,524 • 10' átomos

de H?c) Si 2 g de hidrógeno molecular ocupan un volumen de 22,4 L a

0 °C y a la presión de 1 atm, ¿cuántas moléculas de hidrógeno contendría un recipiente de 5 L en estas condiciones?

37. La masa de la Tierra es de 5,97 • 10 kg, y la de Plutón, de 1,29- IO 22.a) ¿Cuál es la relación entre ambas masas?b) Suponiendo que ambos cuerpos fueran esferas perfectas con

radios de 6371 y 1160 km, respectivamente, calcula la densi­dad aproximada de cada uno de ellos.

17

Radicales

JO en en cuentaLos radicales son raíces indicadas y no calculadas. Al igual que las frac­ciones, se utilizan para evitar mane­jar expresiones decimales ilimitadas.

JO en en cuentaLa definición de un radical como una potencia de exponente fraccionario asegura que se sigan cumpliendo, para este tipo de exponentes, las pro­piedades conocidas de las operacio­nes con potencias.

J 3 en en cuentaTodas las propiedades y operaciones con radicales son válidas si tienen sentido los dos miembros de cada igualdad. Por ejemplo, calcular:

( V ^ ) 2=VÍ6

no es válido porque se parte de un radical sin solución en R como es ¿ 4 .

La raíz enésima de un número real a es un número b tal que b" = o.Un número real puede tener dos, una o ninguna raíces reales. Para indicar las raíces enésimas del número A se emplean los radicales de índice n y radicando A. Según los valores de n y de

A se utilizan distintas expresiones radicales para dichas raíces basadas en el símbolo VA :

Radicando índiceNúmero de

raíces realesExpresiones

radicalesEjemplo

A> 0Par Dos opuestas

'■ÍÁ o + ÍA V l6 = 2 ya que 2" = 16

- ü -VÜ6 =-2 yaque (-2)4=16

impar Una positiva <ÍA <¡6A = 4 ya que 4' = 64

>4 <0Par Sin raíz real

?Iano es real

'<J-64 no es real porque ningún número al cuadrado es negativo.

Impar Una negativa <f = -ïl\Â\ V-8 = -\/8=-2 ya que (-2)' = -8

/4 = 0 Una igual a 0 ñ/ó =0 \/o =0 ya que 0 =0

Las raíces de índice par de un número positivo, \ÍÁ y -\IA se expresan con la notación ±>¡A .

Un radical puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario: \¡AP = An

Propiedades y operaciones con radicalesSiempre que existan los radicales de ambos miembros, se cumple que:

Propiedad Prueba Ejemplo

1. Si A > 0, v /T = V /Fon n

af/T =Aap=Á'p = 4 ^ * lï= Î725 ‘= 7 F= V 8

2. f~A 4b = n\lABi— 1 1 1

= Bn =(AB)~n =?¡ÁB >Iâ tfâ* = \/â n/Ó*" = \/p

I, ïf _ JÀ Vfl » B

r- A i i—a An ( ¿ y J a

77 V *1

4. \Ra =”Í a y/ A = (a*) =A ™ =nnsÍA x/V2 =----------------------1

5. ( ^ > ) m=^//r ( G r T = [ ( # * 1 - a* - t i r ( V ? ) * = V2IF = 26 = 64

La propiedad 1 permite hallar radicales equivalentes a uno dado y se aplica para poder utilizar las propiedades 2 y 3, tal y como se indica en los ejemplos. Otras aplicaciones de las propiedades son:

• Extracción e introducción de factores en un radical

Ar^Ap= Í A ^ Ar^ = \ IU Y <ÍaY =^Arn Ap =!ÍÁ r p

Ejemplos > 3/160* = ^ 2 V = 2 o ^ x2V ? = $¡(x2f x3 =^

18

• Suma de radicales

Los radicales solo se pueden sumar usando su aproximación decimal excepto si son semejantes, esto es, si pueden escribirse con igual índice y radicando.

Ejemplo ► 77 + 2777-781 = 77+2 77M- 7? = 77 +4 3-377 = 277

Racionalización de denominadoresRacionalizar una expresión que tenga radicales en el denominador es encontrar otra equivalente que solo tenga, a lo sumo, radicales en el numerador. Algunos casos particulares son:

• Cuando el denominador contiene un radical en un único sumando. En este caso, se multiplica y divide por un radical adecuado para que desaparezca. Es más fácil hacer los cálculos si se descom­pone previamente ese radicando del denominador.

3 ___3 3 <l¥ _ 377 _ 377 _ 377277 2 # " 2 7 7 7 7 27 7 2-2 4

CZZ3 ■ ■ mm

Para calcular raíces de cualquier índi­ce podemos utilizar A para elevar auna fracción, 7"~ o similares.

• Cuando el denominador es un binomio con radicales de orden 2. En este caso, se multiplica y di­vide por el conjugado del denominador.

= 2_ M 2 - ß ) ^ 2j-2(2-j2}_ = M 2_j-2) = 2 r2 _22 + 77 (2 + V2X2-V2) 4-2 2

EJERCICIO RESUELTO38. Simplifica las siguientes

expresiones.

b)77

2 + 77-77

a) ^2^7/8 = ^ 2 \ t 7 7 = \¡2\l\l2l> -23 = ^ 7 7 = n/n/27-26 = '7Í7 = 2I77

77 _ 77[(2+77)+77] _ 277 + 2 + 7Ï7W 2+72-Æ = [(2 + Æ)-V6][(2+V2)+V6] = (2+V2)i -(Æ )! =

_ 277+2+277 2V2-+2 + 2V3 _ 77 + 1 + 77 77 _ 2+77+77 4+2+477-6 477 277 77 4

EJERCICIOS PROPUESTOS39. Simplifica las siguientes expresiones.

d)a) 7 7 + - 7 8 - - 7 Î82 4

b) Vl44cr -2.1— o + 77o e)16

c) 78 +2\/32+2n/Í2872

72 + 78770 + 77

f)

o" 7 7 ( 7 7 ) 3

<Ja \Ja } 7o Jl_\ja\J7

40. Opera y simplifica las siguientes expresiones.

a) 128'+162' b) V2V 2W

41. Halla una expresión más simple para las siguientes.

7o 7o 7o 7oa)

1- 7Ö | 7o 1+77 1-77

b) 72+277 77-277

42. Racionaliza los siguientes denominadores.

5 5a)

277

b) 2V 5

c)

d)

277+1

3

77-277

e)

f)

77277-377

277-377 78 - 777

43. ^ sm Sav iad ig ita l.com practica Opera más radicales y practica la racionalización.

Números reales 19

Logaritmos

John Neper(1550-1617)Matemático escocés que estableció por primera vez los logaritmos. Tomó el tér­mino logaritmo de las palabras griegas logos (razón) y arithmos (números).

Para poder despejar el exponente de una potencia, es necesario definir una nueva operación arit­mética: el logaritmo.

Se llama logaritmo en base o (o > 0 y o 1) de un número positivo N al exponente x al que sedebe elevar o para obtener el número N.

logo N = x <=> ax-N

• Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos decimales. Su escritura se abrevia omitien­do la base: log10 3 = log 3

• Los logaritmos en base el número e= 2,71828... se llaman logaritmos neperianos. Se designan por In o L o Ln.

Propiedades de los logaritmos• En cualquier base, el logaritmo de 1 vale 0: logD 1 = 0

o° = 1 <=> log01 = 0

• El logaritmo en base o del número o vale 1: logn a = 1

o1 = O O log. 0 = 1• En cualquier base, el logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los

logaritmos de dichos números:

loga(AB) = lognA + logaB

En efecto:

{og0A = x oB = y

ax = A =*ay=B ■a a -a ■a -a x + y = z => log0 A + log(J B = \oga{ AB)

l°g ÁAB) = z ay = AB

• En cualquier base, el logaritmo del cociente de dos números positivos es igual a la diferencia de los logaritmos de dichos números:

log0 A — log0 B

Demostración:

log0/J = x

log0fi = ya* = A ay=B

B

= o =>a ~y = o' = > x-y = z=> logc¿- lo g Dfí = !oga| -

• En cualquier base, el logaritmo de una potencia de base positiva es igual al producto del expo­nente por el logaritmo de la base:

log0M )n =/7log0 A

En efecto:

\ogaA = x 1

logo04") = yJa* = A ciy=An

=${axY = ay =*anx =ay n\ogC! A = ioga( AY

20

Cambio de baseLa calculadora científica y muchos programas informáticos solo proporcionan logaritmos neperia- nos y logaritmos decimales. La fórmula del cambio de base permite calcular un logaritmo en cual­quier base mediante logaritmos en otra base diferente.

log aN = log„ Nlog,o

Con la calculadora podemos hallar directamente logaritmos decimales y neperianos.

Se demuestra teniendo en cuenta que x = log,, N <=> ax = N y tomando logaritmos en base b:

log6 a ' = log6 N=>x logs o = log, N => x = => logr N =log bo logóo

EJERCICIOS RESUELTOSCalcula log 0,0001 y logvUOOl • log 0,0001 = x => 10' = 0,0001 =>x = -4

________ ________ 3

log V0001 = X => 10' = n/o ÓOI = 10“ 1 => X = 32

Tomando log2 = 0,301, calcula: log 200, log 5, log 8 y

log v2 .

log 200 = log (2 ■ 100) = log 2 + log 100 = 0,301 + 2 = 2,301 10

log 5 = log — = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699

log 8 = log 2' = 3 log 2 = 3-0,301 = 0,903

log \¡2 = log 21 = ^ log 2 = = 0,1505

46. Escribe en forma algebraica gy2 8y2la expresión log /4 = 3log 2 — log A = log 2 - log x3 + log y - log z = log 8y - log x z = log => A = —j—- 3logx + 2 logy-4 logz .

Halla el valor de la expresión

log - + l°g \¡a— 21----- — donde o ^ l .loga-logo

log 2 + log n/o -2logo+ logo j^-2+3 jlogo 5

logo-loga1 logo-3logo -2logo -2 6

Si log2x = 5 , halla:a) log,x

b) log32x-tog,8-log2x2

a) log„x = log,,* _ 5 log, 4 2

b) log32x-log, 8-log,x; Í2 S ^ . ! £ I ¿ . 2 i o g , , = - !2 S ¿ log2 32 log2 x log2 32

•2log2 x =5

Aplicando la definición, halla el valor de los logaritmos:

a) log3 V27 c )lo g 7^ e) log3 3\Í3 g )log30,3

b) log5 ^25 d) log9 n/3 f) logj V8 h )log80,1252

50. Tomando log 2 = 0,301 y log 3 = 0,477, halla:

a) log3 8 b) log 60 c) log \J 0,012

51. Toma logaritmos en la expresión A = (x')\

Escribe en forma algebraica las siguientes expresiones.a) log A = 2 + 2 log x - log y

b) logfí = 3(logx -1 ) — 2 (1 — log y)

c) logC = 2logVx-logx-logy + 3log^/y

d) log D = log x3 + 3 log y - log x

Halla el valor de los siguientes logaritmos utilizando para ello la calculadora.

a) log3 21 b) log001 12 c) log^l9

21

Aplicaciones de los logaritmos

Bacteria de salmonela al microscopio.

Bidón para el almacenamiento de resi­duos radioactivos.

O GeoGebraEntra en smSaviadigital.com y re­suelve problemas usndo logaritmos.

Crecimiento exponencialPara estudiar el crecimiento de algunas poblaciones se pueden utilizar modelos de crecimiento exponencial.

Si se considera, por ejemplo, una población inicial de 10 000 bacterias que se duplica cada día:

• Al cabo de un día habrá 10 000 -2 = 20 000.

• Al cabo de 2 días habrá 20 000 • 2 = 40 000 = 10 000 • 22.

• Al cabo de 3 días habrá 40 000 • 2 = 80 000 = 10 000 • 23.

En estas condiciones y considerando que hubieran pasado t días, el número de bacterias vendría dado por la expresión: P= 10 000 • 2'

Si el crecimiento de una población inicial de P() individuos verifica que, en cada período de tiempo, la población se multiplica por una constante k, entonces, el número de individuos en la población después de t períodos de tiempo es:

P = P0k‘

Interés compuestoEl modelo de crecimiento aplicado al capital depositado en una entidad financiera es exponencial.

Cada período de tiempo, los intereses generados pasan a formar parte del capital principal, que, en consecuencia, aumenta su capacidad de generar intereses. Si el período es de un año, se dice que la capitalización es anual; si es de un mes, mensual, etc.

Una cantidad inicial C() colocada al r % anual se convierte al cabo de t años en un capital acu­mulado de:

C = C j 1 +lOOn

donde n es el número de capitalizaciones que se producen durante un año.

E]"en Halla el capital acumulado al colocar 1200 € a un 3 % durante 4 años.

C = 1200 • 1,03" = 1350,61 € si la capitalización es anual.

( 0,03 V 12C. — 12001 1 + — — I = 1352,79 € si la capitalización es mensual.

Desintegración radiactivaLas sustancias radiactivas se desintegran a mayor o menor velocidad según sus características. Esta velocidad se puede medir mediante el denominado período de semidesintegración, es decir, me­diante el tiempo que una cierta masa inicial de dicha sustancia tarda en reducirse a la mitad.

Si se cuenta con m{) g de una sustancia radiactiva que tiene un período de semidesintegración de d años, al cabo de t años su masa se habrá reducido a:

t ln2(

m = m00,5d=moe d

Calcula el tiempo que tardará una muestra radiactiva en reducirse a la centésima parte si su período de semidesintegración es de 14 días.

Se busca que m = 0,01mQ. Aplicando la ecuación a la unidad de masa, será:

- — t0,01mQ = m00,5d =>0,01 = 0,5U‘ =>log0,01 = — log0,5=>

=>-2 = — log0,5=>f= 1A(~2 )=93 años 14 6 log 0,5

22

El pH de las disolucionesLa magnitud que mide el nivel de acidez de una disolución se llama pH y se define con la fórmula:

pH = -log[H3Of]

siendo fH3O‘ I el valor de la concentración de iones hidronio en mol/L. Las disoluciones muy ácidas tienen pH cercano a 0; las muy básicas, cercano a 14, y las neutras, cercano a 7.

Calcula el pH de una disolución de amoniaco (básica) que contiene una concentra­ción de iones hidronio de IH30 J = 7,95-10 12 mol/L.

El pH tiene un valor de -log [H3CT| = —log (7,95-10""') = 11,1.

Papel indicador del pH.

El precio de un coche de cierta marca disminuye con el paso del tiempo de forma que cada año el valor se reduce en un 25 % . Un coche de dicha marca tiene un precio inicial de 18 000 € y una persona que lo ha adquirido quiere que le abonen 4000 € por él cuando lo cambie. ¿Cuántos años podrá disfrutar del coche?

La ecuación que hay que utilizar es la misma que en el caso del interés compuesto, pero consideran­do intereses negativos (amortización). Así, se tiene:

4000 = 18000 1-25

100= 18000-0,75' =>0,75' =

400018000

29

Tomando logaritmos:

Iog0,75: = log —log ^

Mog0.75 = log^=> t = — — — 9 log 0,75

La persona que ha adquirido el coche debe cambiarlo a los 5 años.

5.23

Halla el período de semidesintegración del yodo 131, si se sabe que una muestra ha tardado 24 días en reducirse a su octava parte.

1 1 - 1 -La masa final debe ser m=—m0 =>-mc = m00,5d => — = 0,5d . Tomando logaritmos:

8 8 8

1 1 24 1 l * *° 8 2log - = log 0,5 (l => log — = — log — => c/ = 24-----=>

8 8 d 2 . 1log-

log^d = 24---- — =>d =

3 log días

Si el pH de la sangre es 7,4, Sustituyendo en la expresión del pH: 7,4 = — loglH.O* ] => —7,4 = log[H.O’ ]¿cuál es la concentración de Aplicando la definición de logaritmo: [H.0*] = 10 “ =3,98-10 ’ mol/Liones de hidronio de la sangre?

57. En un cultivo de bacterias, el número se duplica cada dos días. Un día se contabilizan 3000 bacterias.a) Calcula el número de bacterias que habrá 15 días después.b) ¿Cuántos días han de pasar para que haya el triple de bacte­

rias? ¿Y si el número inicial fuera de 6000 bacterias?c) Se supone que la población se estabiliza al alcanzar las

20 000 bacterias. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para ello?

58. Cierta sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegra­ción de 1600 años. Calcula la cantidad de masa a la que se habrá reducido 1 kilogramo de esta sustancia al cabo de 10 000 años.

59. Se depositan en un banco 5000 € durante 2 años. El banco informa de que el interés es del 3,5 % anual.a) Calcula el capital acumulado suponiendo que la capitaliza­

ción es anual.

b) ¿A cuánto asciende si es mensual?

c) ¿Cuál sería el capital acumulado con una capitalización diaria?

d) Interpreta los resultados obtenidos.

60. sm Sav iad ig ita l.com practica Trabaja con los loga­ritmos y sus aplicaciones.

23

Resumen

Números realesRepresentación

Reales IR I

IRacionales Q Irracionales!

0 1 -3 0 1 3

Enteros Z Decimales

Naturales N— I

EnterosNegativos

N c Z c O c :1 A 2

3

Intervalos, semirrectas y entornos

a b[a,b1

-O C— —O..... »a b a b

(a, b) (o, ó|r

a b [o. b)

a(-00, o]

aa)r

[a, +°°) r

—o 0(a, -h»)

a a + rEia. r)

a-r a a + rE\a, r]

a - r aE*(a, r)

a + r

Valor absoluto Distancia

a si a > 0 -o si o< 0

c/(o,ó) = |ó-o| cona.be

Errores

Error absoluto E = |valor real - valor aproximado! Error relativo E =r valor real aproximación por defedo

Potencias y radicales

ïf = x<=>xn = A JÑ = An

Propiedades de las potencias

( o " ) ' W

n— = o"-"’ am

(ab)" = anb" a-n = — an ■ \[a \[b = '<ía b

( n Y nn \ !¡ÍÁ _ ßa° = 1

( ï ) =V ! Vß Vß

Propiedades de los radicales

= ïI â ê (V > F 7 = V / r

= n'<ÍA

0'<[a ± byfÁ = (a±b)y/Á

AP <J7 = s/zT77

Logaritmos

tog0 N = X <=> o* =N

Propiedades

log01 = 0

log0 (/4fî) = log0 A + log¡; B

log„(A’) = nlogn/l

logno = l

Al°Sa| g | = lOg0/i-lOg0fî

log aN = logJV

l°g 6 °

Aplicaciones

Crecimiento exponencial: P = PJ<'

Interés compuesto: C = C I 1 +100n

Desintegración radiactiva: m = m00,5l1 =m0e d> pH de las disoluciones pH=-log[H;0 ‘ ]

2 A

EJERCICIOS R ESU ELT O S

Numeros reales

Demostración de una igualdad característica

61. Demuestra que 0,9 = 1 y calcula el valor de:

0,9 + 0,09 + 0,009

Si A/= 0,9:ION = 9,9

N = 0,99N = 9 =>/V = 1Restando:

Razonando de forma similar, se tiene:0,9 + 0,09 + 0,009 = 1 + 0,1 + 0,01 = 1,11

Operaciones con números periódicos

62. Demuestra que:

2,03-1,75 _ 1

0,827 3

Se calculan las fracciones generatrices de los números decimales que aparecen en el primer miem­bro de la igualdad y se simplifica la expresión mediante cálculos.

2,03-1,75 _ 90

0,827

203-20 175-1 183 174 6 1 _5 8 9199 90 99 ^ 30 33 = 330 = 1

827-8 ~ 819 91 91 3990 990 110 110

Demostración de que la suma de dos irracionales puede ser entera

63. Demuestra que la expresión

V6 + 4n/2 + \/6 — 4V2 da como resultado un número entero. Calcula ese valor.

Se eleva al cuadrado:

(n/ó + 4n/2 + V 6 -4 V 2 ) =(x/ó + 4V2) + ( x/ó- 4 n/2 ) +2(V6+ 4n/2 )(n/ó — 4V2 ) =

= 6 + 472+ 6-472+ 2 (736-16-2) = 12 + 2736-32 =12 + 2-2 = 16

La expresión es igual a 4, ya que su valor es positivo y su cuadrado vale 16.

Demostración de propiedades de números reales

64. Dados dos números reales positivos diferentes, demuestra que el producto de su suma por la suma de sus inversos es mayor que 4.

Sean o y ó dos números reales positivos diferentes.

/ 1 1 , 1 , 1 a b(a + b)\ - + - \ = a-- + a- — + b-- + b-- = 2 + - + - v \a b J a b a b b a

Para calcular los dos últimos sumandos:

(o - bY > 0 => a’ + b2 - 2 ab > 0 =¿> o? + b? > lab => + -~ >2=$ — + -^->2=»y + ~ > 27 ab ab ab b a

Aunque se desconoce el valor de los dos últimos sumandos, sí se sabe que este es mayor que 2.

Luego:, , J 1 1 ) 1 1 . 1 , 1 _ o b _ _ .v { a b ) a b a b b a

Representación de números reales

65. Representa en la recta real el

número \/3 + 2 72 .

^3 + 272 =7l + 2 + 2-l-72 =V(i +72)' =1 + 72Para representar \Í2 se aplica el teorema de Pitágoras: 72 =12 + 12. Luego se añade el 1.

25

Potencias y radicales

a)

b)

V50^-16"12

183-(-8)-7.6*

144"

Operaciones de potencias con Se factorizan losexponente entero

a) 103 -8"15-256

66. Escribe como producto de dosI V5020 -16“12

potencias cada expresión. 1

103-8"15-256 b) 183-(-8) 7 -6¿

\-15 / - j \6

(2-5*)2 .(2‘ ),4 -i-12 210 20 • = 23,3-45-10+48 ç; 3+12-20 _ ^-5

32)3-(23r 7-(2-3)A 23 • 36 • 2~21 • 2l> ■ 3/l

V27i’-144'2 (33;M 2 4-3 T 236 -2"8 -3'

= -23-21+4+8 n6+4-6+4 = -2-6-3£

Operaciones con potencias de exponente decimal

67. Calcula el valor de:

32°* + 27lëa) 247

b) 80'3 + 64°'1¿

Se obtienen las fracciones algebraicas de los números decimales que aparecen y se calculan las po­tencias de exponente fraccionario.

a) 32a* + 271¿ 32*° + 2 7 ~ = (32)1 + (27)f = (25)s +(33)f _ 22 + 35 _ 4 + 243 _ 247 _247 ~ 247 “ 247 “ 247 “ 247 “ 247 “ 247 _1

1 16-1 1 1 __ __b) 8a3 + 64a16 =8^+64 90 = 83 + 64 = ^23 + 26 =2 + 2 = 4

Operaciones con radicales

68. Opera y simplifica las siguientes expresiones.

a)2-3\Í2

\¡2+2\¡2= V 2V 2 = \ / V F T = rf? = V8

3\/5 5\/3 /— 3 V5 >/3 5 V3 V5 /——T=r-----p +V15 = — — = ■ ■- ■- + V155V3 3V5 5 V3V3 3 V5 V5

3 Æ 5V Î515 15

l Î Æ = — ÆJ 15

Demostración de igualdades sin operar

a) Si se elevan al cuadrado los dos miembros de la igualdad, se obtiene que:

W l2 - 2 V ñ ) = 1 2 -2 V ñ y ( V ñ - l ) 2 = l l+ l - 2 V ñ = 1 2 -2 V lI

69. Comprueba, sin resolver, las igualdades:

a) V 12- 2Æ = Æ - 1

b) V 6 - 2 V 5 = 1 -V s

Como los dos miembros de la igualdad inicial son positivos y sus cuadrados son iguales, se verifi­ca la igualdad propuesta.

b) Si se elevan al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene el mismo resultado 6-2\ÍS . Sin embargo, los dos miembros no son iguales ya que el primero es positivo y el segundo negativo, por tanto, no se verifica la igualdad propuesta.

Simplificación de expresiones radicales

70. Simplifica:1

1tfcb 4b _ 2 b ^ $0» ^ 2</q18¿ W 2¿ 12

2V 7 ” 2x/ 7

= g18+16-* ó6+12+12 = 2V ¡ 3°Ó3° = ab2 ¥ = ab Vró

26 Unidad 1

EJERCICIOS RESUELTOS

Racionalización de denominadores

71. Racionaliza: ---—— —1+V3+V2

2 _ 2 [ ( l + V 3 )- V 2] 2 + 2V3-2V2 _ 2 + 2n/3-2n/2

l+\¡3 + \¡2 [(l-t- >/3 )h- n/2 ][(l-H \/3)— 72] 1 + 2V3+3 —2 2 + 2V3

_ 1 + n/3-V2 _ il + \Í3 - \¡2){l- síi) _ 2 + V2-Vó 1 + V3 ( l n/3 )(1 — n/3 ) 2

Logaritmos

Cálculo de logaritmos a partir de uno conocido y aplicando las propiedades

72. Tomando log 2 = 0,301 y que log 3 = 0,477, calcula:a) log 0,0625b) log 5,625

c) log2 45

a) log 0,0625 = log 625 = log— = log 2'* = -4log2 = -4-0.301 = -1,20410000 16 5

b) log 5,625= l o g ^ ^ = lo g ^ = log45-log8 = log(3' -5)-log2' =

10= 2log3 + log5-3log2 = 2-0,477 + logy-3-0 ,301 =

= 0,954 + log 10 - log 2 - 0,903 = 0,954 + 1 - 0,301 - 0,903 = 0,75

log 45 _ log3‘ +log5 _ 2log3 + logl0-log2 _ 1,653 _ ^log 2 log2 log 2 0.301

Demostración de que todo número real positivo puede expresarse empleando logaritmos

73. Demuestra que a'os°N = N y( i Vogj3

calcula el valor de -

Sea x = a' "'1 ,v. Tomando logaritmos en base o en los dos miembros:

lognx = log0(o ‘ ) => log0x = log„A/• log„o = logaN =>x = N

( 1 V°g?3 _ 1 _ i 1 2 J " 2logí3 3

Aplicaciones de los logaritmos

Estimación de poblaciones

74. La población inicial debacterias de un cultivo es de 4000. Para estimar la población que habrá al cabo de 120 días, se utilizan tres criterios:I. Que cada 12 días aumenten en un 20 % .II. Que cada 6 días aumenten en un 10 % .III. Que cada 3 días aumenten en un 5 % .¿Crees que, en realidad, se tra­ta del mismo criterio?

Podría pensarse que es el mismo criterio, ya que las proporciones en tos periodos son las mismas. Sin embargo, hay que tener en cuenta que, en cada periodo de cálculo, se considera como cantidad inicial las bacterias existentes más las aparecidas en el periodo anterior, lo que hace que los porcen­tajes se calculen sobre cantidades iniciales diferentes en cada caso.Los patrones de crecimiento son diferentes. Para cada caso, serían:

I. f = — = 10; ¿t = l + — =>P = 4000-1.2010 = 24 767 bacterias12 100

II. r = — = 20: = 1 + — =>P = 4000-1.10'° = 26 910 bacterias6 100

III. í = — = 40; k = l + — =>P = 4000-1,054° = 28160 bacterias3 100

En resumen, no es el mismo criterio.

Cálculo del pH

75. Si se tienen 1,25 • 10 1 moles de lH30+] en 500 mL de una disolución de ácido clorhídrico, ¿cuál es el pH de la misma?

1 25-10"3Se calculan los moles/litro: [hijo* ]= ’ — = 2,5-10‘3 mol/L

Se calcula el pH: pH = -log[H:0* ] = —log2,5-10“ =2,6

27

A C T IV ID A D ES

Números reales76. Escribe dos números comprendidos entre:

, 19 20a) — y —

23 y 23M 22 b) y y 7T

77. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. En el caso de los racionales, indica su expresión mediante una fracción irreducible.a) 12,121 314 15... d) 1,010 010 001...b) 12,121 212... e) 1,123 123 123...c) 12,012 121 2... f) 0,001 002 003 004...

78. Clasifica estos números indicando a qué conjuntos numéri­cos pertenecen.

a) 25,012 345 6 ... c ) -4 e) 2

b) 25,425 252 5... d) y o Æ 5

g) - 7 o,0625

h)13

79. Ordena de menor a mayor estos números.

25,0125,0111... —5

2269

Calcula el valor de las expresiones y expresa el resultado me­diante números decimales periódicos., 2,23 + 2,232323... , . - -

a) --- y y y ----- b) 1 + 1,12 + 1,12 + 1,12

81. Representa los siguientes números reales.

c) 75 e) 77

d) 76 f) 78■>7

«-I82. Indica qué números reales representan los puntos A y B de la

figura.

Valor absoluto e intervalos83. Desarrolla las siguientes expresiones.

a) |2x-4| + x c) |x —1| +|x +1|

b) |x|+|2x| d) x+|x|+|x + 2|

84. Dados los conjuntos A = (-2, + °o), fi = (-2,0] y C = [0,4) calcula Au B k jC y A n B n C .

85. Expresa mediante un intervalo los siguientes conjuntos de números reales x y represéntalos en la recta real.

a)1

x — 2

< y b) |2x + 61< 1 c) |xI< ~

Aproximaciones y errores86. Da la expresión aproximada que se pide en cada caso.

23a) — por exceso con tres cifras decimales

b) 71 + 7125 por defecto con dos cifras decimales

c) 2tc — 1 redondeado a tres cifras decimales

87. Acota el error relativo que se comete al tomar como aproxi-1+75

mación del número áureo 0 = 1,618.

el número racional

88. Escribe las aproximaciones hasta las milésimas, por exceso y por defecto, de los números 73 y 3tt . Posteriormente obtén aproximaciones por defecto y por exceso del producto 3k \Í3 . Acota el error absoluto cometido en ambos casos.

Notación científica

89. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica.a) 108-4-106b) 0,000 25-0,0015

c) 235 000-0,000 25

d) 15 000 000:45 000

Potencias y radicales

e) 0,000 06:45 000 000f) 0,0025-10"13:10~23

1,2 ■ 108 -1,5 • 107 + 6 • 109g)

h)

0,000003

7 -10~2° + 5 • 10~18 0,000000004

90. Simplifica las expresiones siguientes.

33W5 722 + 5a)

b)

c)

d)

2(-3 )-5

2 _ | | V - aí ) '1

3 V Y 4 x"3

h) \¡3\¡3J3

2--2 V 2

2-V3-3

27-15 (-75)40

4535 (—15)60

e) 73+ 2727-T Î2

f) ^390 625 a5blé

g) 7x 7x 7 7

.. 7x77])^ rk) 16 '+927"2

l) 7 8 1 7 + 2 0 7 7

m)

7 1 7 f

28

91. Opera y simplifica.

a) (-2)° + (-2)1 + (-2)2 +...+(-2)8

b) 7 7 8 0 - 1 ^ 7 0 7 - 7 7

c) 2(2-3V2)2+ (2-3V2)(2+ 3V2)

92. Racionaliza los denominadores.

a)

b)

c)

o

ovo3y

2 7 y2

x + 2

277+2

d)

e)

77

1+77277

77-77óT ó

277+377

g)

h)

1-77-771+77

77+77+7777+77

77 + 77 + 77

Toma logaritmos decimales en las siguientes igualdades y de­sarrolla las expresiones.

3a) P = 10x yz3 d) x = ahbic~2

, , n 100x2 , ^ 7b) 0 = ----- e) y = ---x + y ax

o r - J 2xYr, {m + 2n)n7 f) xy =

V 3z3 m-2n

99. Expresa el valor de E en cada caso sin que aparezcan logarit­mos.a) log £ = 2 — 2log x + logy — 5log¿

b) logF = 3log2-4logx + 3logy-2logz

c) logf = log(x-2y) + log(x + y )

d) log/f = 3log(x + 10)-log— -— + log—

Logaritmos

93. Aplicando la definición, calcula el valor de los siguientes lo-garitmos.

a) log2i d) log lV273

g) log ? (277)

b) log,-^ e) log ^(277) h) log,7772

c) log— -— 6 1000 f> '°SV3 ( i )

0000r-HOOÖDO_o

94. Calcula, si es posible, el valor dex en cada una de las siguien­tes expresiones.

a) logr8 = —3 e) log, 77 = 0b) log_3x = 9 f) log,2 = x

c) log3 -81 = x g) log3x = - l

d) log ¡ x = -2 h) log,o'' = x1Î a

95. Considerando log2 = 0,301, log3 = 0,477 y log/< = 0,778, calcula los siguientes logaritmos.

a) log 50 d) log 7177b) log 0,3 e)log2777c) log, 3 0 log 7,2

96. Tomando log3 2 = 0,631 y log3 5 = 1,465, calcula el valor del logaritmo en base 3 de 150.

Calcula, el valor de x en cada caso.a) 2500 = 2000-1,05*

b) 20 = logx 5 +15

c) 2-106 = x12

d) 0,025 = 0,5e*

e) 3-10~5 = 2~50*

f) ln— = -ln22e

g) log, 5 + 1 = log, 2

h) ln3e2x = 2

. Con la ayuda de la calculadora, obtén aproximaciones deci­males hasta las milésimas de los siguientes logaritmos.a) log3 20

b) log, 7-

O lognc 60

d) log 3

e) log 2 77f) log 77

Síntesis

101. a) Demuestra que la suma de un número real positivo más suinverso es superior o igual a 2.

b) ¿En qué caso es exactamente 2?c) Sin utilizar la calculadora, demuestra que:

log2 3 + log3 2 > 2

102. Calcula el valor de x en cada una de las expresiones dadas a 0 continuación.

a) log - x + log - x2 = 9

b) log1 x-logL x4 •log± x2 = -19 27 81

10: . Clasifica los siguientes números reales.

i - í lo 75-|ob;1°

Tío10

b)(i+77) 3+77

8 77-1

-log28

32 +2 7c)

d) \ 2 J2 Jlog

-2\

0,161 1 n-210'

10 Calcula el valor de:

a) log,

b) -log

16777177+777

(iog2 VVv? log2 + log4 + log8

0 7(2+77 r loS3-

d) J log2

29

105. Para o y ó positivos y diferentes de la unidad, demuestra que log0b■ logfto = 1.

Cuestiones

106. Indica, razonadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.a) La suma de dos números irracionales es siempre un número

irracional.b) La suma de un número irracional con uno racional da como

resultado un número irracional.c) La suma de dos números racionales puede ser irracional.

107. Con la ayuda de ejemplos estudia si siempre se verifican las siguientes relaciones.

\a + b\>\a\+\b\ |o-ó| <|o|-|ó|

108. Encuentra el error en el siguiente razonamiento.

16>8=>2 >2 =>-t > -t => - > - =>

log, - > logJ - =>3logJ - > 4logJ -

y simplificando: 3 > 4

109. Representa en la recta real el conjunto de valores reales x 1

tales que 2x-- <1 y determínala mediante un intervalo.

Problemas

110. Al realizar una encuesta en una localidad sobre el número de ordenadores por vivienda, se observó que exactamen­te el número de encuestados que contestaron que había más de un ordenador en su casa era el 40,454 545...% del total.¿Cuántas personas formaban parte de la muestra si se sabe que eran menos de 300?

111. Juan ha comprado 2,320 kg de patatas a 0,65 €/kg, 4,035 kg de naranjas a 2,15 €/kg, y 1,475 kg de manzanas, a 3,25 €/kg. Al hacer la cuenta, se debe redondear a los cén­timos de euro.a) ¿A cuánto ascenderá dicha cuenta si primero se suman los

precios y después se redondea el precio total?b) ¿Y si se hace a la inversa; es decir, se redondea cada precio

parcial y después se suman los redondeos?c) ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio total al reali­

zar la cuenta de la segunda forma con respecto a la primera manera?

112. La máxima distancia de la Tierra a la Luna es de 4,07 108 m y el radio de la Luna mide 1737,5 km. Calcula la distancia de la Tierra a la Luna tomando como unidad el diámetro de la Luna.

113. El nivel de intensidad del sonido puede ser expresado en

decibelios mediante la fórmula [3 = lOlogV' o ,

donde [3 es el

número de decibelios del sonido, / es la intensidad del soni­do estudiado medido en vatios/m2 e I0 indica la intensidad del sonido mínimo que puede ser oído por el ser humano (1CT12 vatios/m2)a) Calcula los decibelios (dB) de una conversación normal que

presenta una intensidad de 10 vatios/m2.b) ¿Cuántos decibelios corresponden al sonido mínimo que

puede oír el ser humano?c) ¿Cuál es la intensidad en vatios/cnr del umbral de dolor en

el oído humano sabiendo que se corresponde con 120 dB?d) Un sonido es de 30 dB. ¿Cuántas veces es más intenso que

un sonido de 20 dB? ¿Y si se compara un sonido de 40 dB con uno de 30 dB?

114. La población de bacterias inicial de un cultivo es de 6000. Se estima que dicha población aumenta en un 100 % cada 4 días. Calcula la población que habrá a los 12 días.a) Si se cambia la estimación de crecimiento y se supone que

cada dos días aumenta en un 50 % , ¿cuál será la población a los 12 días?

b) ¿Y si se supone que cada día aumenta en un 25 % ?

115. Javier pretende colocar césped artificial en un jardín cua­drado, sabiendo que su lado tiene una longitud, en metros, comprendida entre 15 y 16.El coste de cada metro cuadrado de dicho césped asciende a 30 € y 10 cent, y el presupuesto con el que cuenta es de 7000 € .Calcula los costes máximo y mínimo, y decide si habrá pre­supuesto para la obra.

116. El área de un cuadrado es de 10,5 cm2. Calcula las áreas de sus círculos inscrito y circunscrito, redondeando los resulta­dos con dos cifras decimales.

117. Se han obtenido experimentalmente las siguientes fórmu­las, que expresan el porcentaje P de altura de los niños de 6 a 15 años de edad, en relación con la altura media de un adulto:Para niñas, P = 3 1 ,l In(edad)+ 16,3 Para niños, P- 18,6 In(edad) + 37a) Calcula el porcentaje de altura de los niños de 6, 10 y 15

años de edad.b) ¿Qué edad aproximada se puede esperar que, según este

modelo, tenga una niña con 75 % de altura media de la edad adulta? ¿Y un niño?

c) Si este modelo fuera válido para los varones de 6 a 18 años, ¿qué edad tendrían al alcanzar la altura máxima del 100 % ? Analiza el resultado.

118. Demuestra que el número áureo 0 = guientes propiedades.

I+ n/52

verifica las si-

a) O = 0 + 1 b) 0 - 1 = — O

c) O =0 + 1 0-1

€ 5 ZnEC2H119. La escala cromática del piano está formada por las doce no­

tas (doce semitonos) que aparecen en la figura.

* i-* iEl número de vibraciones por segundo de cada nota es igual al producto del número de vibraciones de la nota anterior

por el número irracional '\¡2 .a) Encuentra una expresión que determine el número de vi­

braciones por segundo según el lugar que ocupe en la es­cala (por ejemplo el Do ocupa el lugar 0 y el Si bemol el lugar 10 y el Si el 11) y suponiendo que el número de vi­braciones por segundo que corresponden a la nota Do es n.

b) Escribe las vibraciones por segundo correspondientes a cada nota, sabiendo que las correspondientes a La son 440.

120. En una disolución de 5 L de HCIO, hemos encontrado 0,2 moles de iones hidronio.a) Calcula cuál es el pH de la disolución anterior.b) Si queremos que el pH de la disolución anterior quede mul­

tiplicado por 2, ¿cuántos litros de disolución necesitaría­mos?

121. Un automóvil que costó 14425 € se deprecia un 15 % anual.a) ¿Cuánto valdrá a los 6 años?b) ¿Cuántos años deben pasar para que su valor sea inferior a

3600 € ?

122. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50 % . Si en el momento inicial había 100 conejos:a) ¿Cuántos habrá al cabo de 10 años?b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de

30 000?c) Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al

10 % , ¿cuánto tiempo tardaría la población inicial en triplicarse?

123. Debido a una fuerte crisis económica, el valor de una vivien­da, cuando han pasado t años desde su adquisición, es V=ké". La vivienda se compró por 350000 € , y a los 5 años valía 225000 € .a) Calcula el valor áe ky o..b) Calcula el valor de la vivienda a los 20 años si se sigue la

misma depreciación.c) ¿Cuánto tiempo debe pasar desde la compra para que el va­

lor de la vivienda se haya reducido a la tercera parte?d) Un trabajador que gana el salario medio puede comprar una

vivienda de 90 metros cuadrados. Si el salario medio aumenta un 3 % cada año, al cabo de 10 años, ¿cuál será la superficie de la vivienda que podría comprar el mismo trabajador? (Su­pon que el resto de sus condiciones de vida no han variado).

12 ' . En la tabla aparecen las medidas de una niña y de una torre.

Altura

Real Obtenida con instrumento de medida

92 cm 90 cm

38 m 37 mIndica cuál de las dos medidas ha sido más precisa y justifi­ca tu respuesta.

125 . Se llama unidad astronómica (UA) a la distancia media que separa la Tierra del Sol y que equivale a 1,49598 • 108 km.a) Sabiendo que el 1 de enero la distancia entre la Tierra y el Sol

es de 1,471 • 108 km, exprésala en unidades astronómicas.b) Sabiendo que la distancia media entre Júpiter y el Sol es de

5,2 UA, exprésala en kilómetros.

Demuestra que si a, b y c son números positivos y diferen- ® tes, entonces se verifica la siguiente desigualdad.

127 . Calcula de forma exacta el número irracional que representa ® la relación entre la diagonal de un pentágono regular y su

lado. Comprueba que se trata del número áureo.

A

Para ello, sigue los siguientes pasos:a) Demuestra que los triángulos DFC y DBG son semejantes cal­

culando sus ángulos.b) Demuestra que el triángulo BFC es isósceles.c) Aplicando el teorema de Tales, halla la relación entre los la­

dos que corresponden a la diagonal y el lado del pentágono.

128 . Racionaliza el denominador de la expresión: — ?—• 2-\¡2

31

ENTORNO MATEMÁTICO ,

» Una piscina con estéticaMario y Priscila son una pareja muy moderna, con un buen nivel económico, una buena vida social y una familia envidiable; pero últimamente se encuentran algo aburridos. Deciden gastarse la herencia de la tía Edurne en la construcción de una piscina en la azotea de su ático del centro de la ciudad. Pero, ¡claro!, no puede ser una piscina cualquiera.

Priscila se acuerda de haber leído que las proporciones para que un rectángulo sea lo más estético posible son aquellas que si al rectángulo total le quitas un cuadrado de lado la dimensión menor, el rectángulo pequeño que queda es proporcional a dicho rectángulo inicial. Esta propiedad, si mal no recuerda, la cumplen objetos tan cotidianos como el DNI o las innumerables tarjetas del banco con las que cuentan.

Mario no se lo cree mucho y mide su carnet de identidad. Resulta tener 8,6 cm de largo por 5,4 cm de ancho. Haz tú las cuentas que creas convenientes para comprobar si efectiva­mente Mario tiene o no razón.

La piscina que quieren construir debe tener estas estéticas proporciones y su dimensión mayor debe ser de 2 + 2 V¡5 m. Además, quieren poner una franja de 1,5 m de césped artificial alrededor de todo el perímetro.

a) Calcula la dimensión menor de la piscina.b) Calcula el área de césped que quieren poner.c) Calcula el tiempo que tardarán en llenar la piscina si la altura en todos sus pun­

tos es de \¡5 metros y el grifo surte 30 L cada minuto.

// -..DOCUMENTO-NACIONAL DE IDENTIDAD

ESPAÑA

DNI NÚM.71263371Z

NW >11:10:A L V A R E ZHUMO VEUSCPE DR OS O

MARI O J O S Eme i>: c»>. :>:M E S P

nouHuo«tv:29 10 1 9 7 7 A A C 1 1 0 2 6 5111)90 »ISTI25 01 2 0 1 2

» Pinturas prehistóricas

La conservación en buenas condiciones de las pinturas prehistóricas de las cuevas exige, entre otros aspectos, el control de la temperatura en el interior de la gruta.

Para que dicha temperatura se mantenga entre unos límites aceptables, un equipo de ingenieros ha ideado un sistema de compuertas en el pasadizo que da la entrada a la cueva. La longitud total de dicho pasadizo se dividirá en compartimentos de 30 m de largo separados por puertas de cierre hermético de forma que la temperatura de cada compartimento será un 5 % más baja que la temperatura del compartimento inmediatamente anterior.

a) Calcula la temperatura del cuarto compartimento sabiendo que en el primero hay 25 °C.

b) Calcula la temperatura en el octavo compartimento si en el quinto hay 21 °C. En este caso, ¿cuál será la temperatura del primer com­partimento?

c) Diseña una hoja de cálculo en la que se obtengan las temperatu­ras de los compartimentos en relación con la temperatura inicial.

d) ¿Cuántos compartimentos se han debido construir para que la temperatura del último baje por primera vez a la cuarta parte de la temperatura del compartimento inicial? En este caso, ¿cuál es la longitud total del pasadizo de entrada?

32 Unidad 1

AUTOEVALUACIÓN

Comprueba que has aprendido1. Calcula el valor y simplifica.

2,4555... + 2,555...a) 1,222...

b)2 +

3 +1

4+ - 5

2. Representa los números , \¡68 y %/l2 en la recta real.

3. Desarrolla la expresión:

2x----32

1x + -

24. Expresa mediante unión de intervalos el conjunto:

jx eK/|x + 2| < l } u { x eR/|x-5| < l[

5. La masa de la Tierra es aproximadamente 6 • 10‘ 4 kg, la de un átomo de oxígeno, aproximadamente 2,65 • 10 Mg y la de Jor­ge, 75 kg. Calcula las relaciones entre las masas de la Tierra y de Jorge, y entre las masas de Jorge y del átomo de oxígeno. ¿Cuál es mayor?

6. Halla los errores absoluto y relativo que se cometen al utili­zar 2,5 como aproximación de 2,5 .

7. Simplifica las siguientes expresiones.

10~2il -5"12 -8'a) 25' b)

Vs +J2Ó

8. Racionaliza los denominadores y simplifica todo lo que pue­das las expresiones resultantes.

2V3-1 N 1a) — j= ~ b)

V54

9. Calcula el valor de x en:

V54c)

%/54

2V3-1

3) l0§^ ^ = Xb) log,i 4 c) log!

¿4-2' 3

10. Sabiendo que log 2 = 0, calcula, en función de o el valor de

1 50log---- .0,08

11. Calcula el tiempo necesario para que un capital colocado al 5 % de interés anual compuesto aumente en un 50 % .

sm Sav iad ig ita l.com valora lo aprendido > Comprueba tus respuestas.

Relaciona y contesta»Elige la única respuesta correcta en cada caso

1. Si o y ó son números reales estrictamente positivos y diferen­

tes de la unidad, la expresión -— vale:1 + log 0b

A. l o g ^ j B. log0+b(ab) C. logab{ab) D. 1

2. Sean o y ó dos números reales no nulos y tales que o = b j3 . El

valor de a-b f es:13 b-a J

A. 3 B. V3 C. o + óV3 D. 3-\¡3

Si l° 82 °.,125’ = x , entonces el valor de xn es:

A. -1 B. 2 C.-3 D. x"

»Señala, en cada caso, las respuestas correctas4. Las siguientes igualdades son ciertas para cualesquiera valo­

res reales estrictamente positivos:

A. a(b‘] = (ab)c C. (ab)c =(ac)"

B. a* =(abY D. o(í,t)=oc

5. El número J ^ + V 2 + J | - V 2 pertenece al conjunto:

A. N B. Z C. Q D. R

»Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas

6. Sean los subconjuntos M = [- 2 ,3 )u [6 ,8 ) , N = [ l,5 ]u (7 ,9 ) y P = [l, 3 )u (7 ,10].Se consideran las afirmaciones:1. El número real x pertenece al conjunto (M u W )n (M u P ) .

2. El número realx pertenece al conjunto [-2, 3 )u (6 ,9 ).A. 1 <=> 2

B. 1 => 2 pero 2 =£>1C. 1 y 2 son excluyentes entre sí.D. Nada de lo anterior

»Señala el dato innecesario para contestar

7. Se desea saber el rédito al que hay que colocar una capital a interés compuesto para que se doble. Para ello se dan los datos:1. El capital invertido asciende a 1200 € .2. El tiempo que va a durar la inversión es de doce años.3. La capitalización será mensual.A. Puede eliminarse el dato 1.B. Puede eliminarse el dato 2.C. Puede eliminarse el dato 3.D. No puede eliminarse ningún dato.

33