Plan de continuidad pedagógica- Matemática-6to A/B- Colegio José Hernández

Profesores: Lozano, Natalia Elizabeth; Paes Rodriguez, Oscar

Números Complejos (2da parte)

Modulo y argumento de un complejo:

El módulo de un complejo Z a bi es la longitud del vector posición, desde el origen hasta las

coordenadas del afijo.

Se designa entre barras z a bi y se calcula con el teorema de Pitágoras: 2 2Z a bi Z a b

El Argumento de un complejo Z a bi , es el ángulo que forma el eje X con el vector posición de Z.

Se calcula mediante la expresión:𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟹ (𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑏

𝑎), se lee: arco tangente de b sobre a

Calcular el módulo y el argumento de 𝑍 = 3 + 2𝑖

Módulo

|𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2 = √32 + 22 = √13

Argumento (ángulo)

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (2

3) en la calculadora apretar las teclas:

𝛼 = 33,69006753 este resultado está en forma

decimal, entonces apretamos la tecla

𝛼 = 33°41´24,24´´

Operaciones Básicas:

Suma y resta de números complejos: Para sumar dos números complejos tenemos que sumar

por separado las partes reales y las partes imaginarias.

Por ejemplo:

𝑧1 = 3 + 5𝑖; 𝑧2 = −1 + 2𝑖

𝑧1 + 𝑧2 = 3 + (−1) + (5 + 2)𝑖

𝑧1 + 𝑧2 = 2 + 7𝑖

Multiplicación: Para multiplicar Complejos, se aplica la propiedad distributiva como si se tratara de

números Reales o expresiones algebraicas, teniendo en cuenta que 2 1i

Por ejemplo:

𝑧1 . 𝑧2 = (3 + 5𝑖). (−1 + 2𝑖)

𝑧1. 𝑧2 = 3 . (−1) + 3 . 2𝑖 + 5 . (−1) + 5𝑖 . 2𝑖

𝑧1. 𝑧2 = −3 + 6𝑖 − 5 + 10𝑖2

𝑧1. 𝑧2 = −8 + 6𝑖 + 10 . (−1)

𝑧1. 𝑧2 = −8 + 6𝑖 − 10

𝑧1 . 𝑧2 = −18 + 6𝑖

shift tan 23⁄

° ´ "

División: Para dividir un número complejo por otro número complejo, se debe multiplicar al numerador

y al denominador del cociente por el conjugado del denominador

Por ejemplo:

𝑧1

𝑧2=

3 + 5𝑖

−1 + 2𝑖

𝑧1

𝑧2=

(3 + 5𝑖). (−1 − 2𝑖)

(−1 + 2𝑖). (−1 − 2𝑖)

𝑧1

𝑧2=

3 . (−1) + 3 . (−2𝑖) + 5𝑖 . (−1) + 5𝑖 . (−2𝑖)

−1 . (−1) + (−1). (−2𝑖) + 2𝑖 . (−1) + 2𝑖 . (−2𝑖)

𝑧1

𝑧2=

−3 − 6𝑖 − 5𝑖 − 10 𝑖2

1 + 2𝑖 − 2𝑖 − 4𝑖2

𝑧1

𝑧2=

−3 − 11𝑖 − 10 . (−1)

1 − 4 . (−1)

𝑧1

𝑧2=

−3 − 11𝑖 + 10

1 + 4

𝑧1

𝑧2=

7 − 11𝑖

5

𝑧1

𝑧2=

7

5−

11

5𝑖

Potencias de la unidad imaginaria:

Teniendo en cuenta la definición de unidad imaginaria y a través de las propiedades de la potenciación, se

pueden hallar las potencias de i:

𝑖0 = 1

𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1

𝑖3 = 𝑖 . 𝑖2 = 𝑖 . (−1) = −1

𝑖4 = 𝑖2. 𝑖2 = (−1). (−1) = 1

𝑖5 = 𝑖4 . 𝑖 = 1 . 𝑖 = 𝑖 𝑖6 = 𝑖5. 𝑖1 = 𝑖 . 𝑖 = 𝑖2 = −1

𝑖7 = 𝑖6 . 𝑖 = (−1). 𝑖 = −1

Se observa que, las potencias de i se repiten periódicamente, y que los resultados posibles son:

1; 𝑖; −1 𝑦 − 𝑖

Podremos determinar que, si elevamos i a un número natural cualquiera, el resultado de esa potencia es

igual al resultado de elevar a i al resto de una división entre el exponente y 4.

En símbolos:

𝑖𝑛 = 𝑖𝑟 (sabiendo que r es el resto de resolver n:4)

Por ejemplo:

𝑖35 = 𝑖3 = −1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 35 = 8 . 4 + 3

𝑖72 = 𝑖0 = 1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 72 = 18 . 4 + 0

En el siguiente link encontrarán un video explicativo de potencias de i:

https://www.youtube.com/watch?v=jf5zEJlcqWw

Formas de expresar un complejo:

Además de las formas binómica y cartesiana, un número complejo puede expresarse en forma polar y

trigonométrica.

Forma Polar: Z Z

Forma Trigonométrica: . .Z Z Cos i Sen

Ejemplo:

Forma binómica: 𝑍 = 4 + 3𝑖

Forma vectorial o cartesiana: 𝑍 = (4; 3) sin la letra 𝑖

Para las siguientes dos formas precisamos saber el módulo y el argumento del complejo

Módulo |𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2

|𝑍| = √42 + 32 = √25 = 5

Argumento 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑏

𝑎)

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (3

4)

𝛼 = 36.86989765

𝛼 = 36°52´11,63´´ una vez que tenemos estos dos datos procedemos a expresar al complejo en las otras dos formas que faltan

Forma polar:536°52´11,63´´

Forma trigonométrica: 5. [cos(36°52´11,63´´) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(36°52´11,63´´)]

ACTIVIDAD 001 Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk; https://www.youtube.com/watch?v=dhqYIyCD7rQ

Dados los s iguientes números complejos…

...calcular:

a. 1 10Z Z b. 9 2 4Z Z Z c. 5 1Z Z

d. 3 4.Z Z f. 8 3 4Z Z Z i.

3 5

1. 5.

5Z Z

ACTIVIDAD 002 Link de apoyo: https://www.youtube.com/watch?v=C_VQmF6sc08;

https://www.youtube.com/watch?v=NEVNJ3ryQ7U

Resuelva los s iguientes productos notables.

i2Z1

i210Z2

523 3Z i )5(Z

4 5 1 10Z i

i612Z6

i2Z7

i15Z8 i26Z

9 i311Z

10

a. 2 13 . 2 13i i b.

22 6i

c.2

15

2i

d. 3

2 i e. 2 4 2 4

.3 7 3 7

i i

f. 3

3 2i

ACTIVIDAD 003 Link de apoyo: https://www.youtube.com/watch?v=XV5buDdtUEU

Resolver las s iguientes divis iones.

a.

i24

i24

b.

i23

i2

c.

i5

i7 d.

2 3

2 3

i

i

e. 10 2

1

i

i

f.

12

2 3i

i

g.

5 32 2

4 6i

i

h.

i24

i21

21

ACTIVIDAD 004

Resolver las s iguientes potencias de i. a. 𝑖37 = b. 𝑖126 = c. 𝑖47 = d. 𝑖841 = e. 𝑖18 = f. 𝑖25 = g. 𝑖44 =

ACTIVIDAD 005

Resolver los siguientes cálculos combinados.

a.

i22

)i35).(i26( b. 2(3 2 ) 3

(6 )2

ii i

i

c.

i1

)5i8(ii

1 129

2

d.

22350

i32

)i2i3(

e.

i).i21(

)i1).(i6( f.

22 )i3()i2()i1(

)i3(

g. 2 2

2 2

i i

i i

h.

1 34 2 5 (1 )i i i

ACTIVIDAD 006

Hallar el módulo de cada uno de los siguientes números complejos.

Z i 1 12 5 Z i 2 3 Z i 3 4 2

Z i 4 2 5 Z i 5 8 2 Z i 6

1 3

6 3

ACTIVIDAD 007

Hallar la expresión polar y trigonométrica de cada uno de los s iguientes complejos...

4A i 1B i 1 3C i

6D 2 2E i 4 2 3F i

50 2 50 2G i 3H i 100J

FECHA DE ENTREGA

6to A: Actividades 4 y 5, viernes 17/04. Actividades 6 y 7, Viernes 24/04

Consultas: josue14_paes@hotmail.com

6to B: Actividades 1 a 4 (inclusive) viernes 17/04. Actividades 5 a 7, viernes 24/04.

Consultas: natalialozano85@gmail.com Código de Classroom: cdvzgtc