1. Nivelacin Baromtrica:

Este mtodo se fundamenta en el siguiente fenmeno fsico: la presin atmosfrica disminuye al aumentar la altura respecto al nivel medio del mar. Torricelli fue el primero en determinar la presin atmosfrica con la demostracin del principio que lleva su nombre.Est claro entonces, que es posible determinar la presin producida por la atmosfera terrestre para diferentes alturas respecto al nivel del mar.En topografa se usa la nivelacin baromtrica para calcular el desnivel entre dos puntos midiendo la presin atmosfrica en cada uno de ellos.Este tipo de nivelacin se usa en los levantamientos de exploracin o de reconocimiento, cuando las diferencias de elevaciones son grandes como en zonas montaosas y/o colinas.Si la densidad del aire que rodea a la tierra fuese constante, el decrecimiento de la presin atmosfrica respecto a la altitud obedecera a una ecuacin lineal, experimentalmente se demuestra que cuando la temperatura es grados centgrados:h = 10,5 P ----> ecuacin lineal patrnh: diferencia de altitudes (metros).P: diferencia de presin atmosfrica (mmHg).Como quiera que en la actualidad existen barmetros que miden la presin con aproximacin al 0.1 mm de Hg: podemos obtener desniveles con precisin al metro.

Parmetros que afectan la ecuacin lineal patrn:En la realidad la densidad de nuestra atmosfera no es uniforme, pues cambia fundamentalmente con la variacin de la humedad y la temperatura.La humedad; las diferentes cantidades de vapor de agua que se presentan en diversos lugares hacen que a mayor vapor, mayor densidad.La temperatura; a mayor temperatura, el aire se dilata, por tanto disminuye su densidad.

2. Nivelacin geomtrica simple y compuesta

La nivelacin geomtrica es un mtodo de obtencin de desniveles entre dos puntos, que utiliza visuales horizontales. Los equipos que se emplean son los niveles o equialtimtro.

a) Nivelacin simple; cuando el desnivel a medir se determina con nica observacin .Para la nivelacin simple el nivel se sita en el punto medio de los dos puntos que deseamos conocer el desnivel. Procedemos a estacionar el nivel y realizar las lecturas sobre la mira y por diferencia de lecturas obtenemos el desnivel. Los mtodos de nivelacin simple pueden ser: Nivelacin por punto extremo:Sean A y B los dos puntos cuyo desnivel queremos determinar. Para ello, utilizando el mtodo del punto extremo, se estaciona el nivel en el punto A, a una altura sobre el suelo iA y se visa a la mira situada en B, efectundose la lectura mB . El esquema de observacin es el siguiente:Analizando la expresin observamos que la precisin del mtodo es inferior a la que se obtiene con el mtodo del punto medio. En este caso, la medida del desnivel procede de la diferencia de una lectura de mira y de la altura de aparato. Esto supone una precisin del orden del cm o del medio centmetro.Por otra parte, en este mtodo, el error residual (e) del instrumento produce un error t, en la lectura de mira mB que no queda compensado. Tampoco se elimina el error de esfericidad y refraccin.A pesar de las desventajas anteriores es un mtodo til para nivelar un conjunto de puntos alrededor del punto de estacin. Nivelacin por punto medio:Sean A y B dos puntos cuyo desnivel se quiere determinar. El mtodo denominado del punto medio, consiste en estacionar el nivel entre A y B, de tal forma que la distancia existente a ambos puntos sea la misma, es decir EA = EB.En A y B se sitan miras verticales, sobre las que se efectan las visuales horizontales con el nivel, registrando las lecturas mA, mB. A la mira situada en A se le denomina mira de espalda y a la mira situada en B mira de frente.El punto de estacin no est materializado por ningn tipo de seal, pero los puntos sobre los que se sitan las miras s lo estn.La igualdad de distancias entre el punto de estacin y las miras, que caracteriza a este mtodo de nivelacin, podr realizarse midiendo a pasos las distancias, siempre que previamente se haya verificado el equipo. El esquema de observacin es el siguiente:El desnivel vendr dado por la diferencia de los hilos centrales de las lecturas sobre las miras. Siempre se efectan las lecturas de los tres hilos: inferior, central y superior. Se comprueba en el momento de realizar la observacin que la semisuma de las lecturas de los hilos extremos es igual a la lectura del hilo central 1 mm, y se da por vlida la observacin. Se dan por vlidas las lecturas, pero no se modifican. El hilo central ha de ser el observado.Si la semisuma no fuese igual a la lectura del hilo central 1 mm, se repetirn las tres lecturas.Supongamos que el instrumento tiene un error residual de correccin (e). En este caso las visuales no sern exactamente horizontales. La influencia de este error en las alturas de mira (t) ser igual en ambas miras, al cumplirse la equidistancia de E respecto de A y B.Al ser iguales los errores que afectan a mA y mB, su diferencia, que es el desnivel, ser correcto. El desnivel est exento de errores sistemticos y de la influencia de la esfericidad y refraccin atmosfrica, debido a la igualdad de distancias entre miras.Este mtodo es el ms utilizado ya que se determina el desnivel con una sola estacin de instrumento y el desnivel observado tiene una precisin del orden del mm.Las lecturas sobre las miras se realizan apreciando los milmetros. Para conseguirlo las visuales han de hacerse a distancias cortas. La apreciacin del mm en la mira depende tambin de los aumentos que tenga el anteojo del nivel.En la prctica se demuestra que el lmite de distancias para conseguir lecturas en las que se asegure el mm, es de 80 a 100 m. Esto conlleva una posible distancia de 160 a 200 m, entre los puntos cuyo desnivel se desea obtener.La pendiente del terreno tambin condiciona la longitud mxima de las visuales. Si se rebasan ciertos lmites podr suceder que no se pueda realizar la observacin, al encontrarse las miras ms altas o ms bajas que la visual horizontal, tal como se representa en la figura. Nivelacin por estaciones reciprocas:Para eliminar los efectos del error residual (e) y los efectos de la esfericidad y la refraccin, se aplica el mtodo de estaciones recprocas, igual al anterior pero duplicando el nmero de estaciones. Con ello se mejora tambin la precisin. Es un mtodo de poca aplicacin ya que se siguen teniendo magnitudes (i, m) de distinta precisin. El procedimiento de observacin es el siguiente:Sean A y B los puntos cuyo desnivel se quiere determinar. Se efecta en primer lugar la observacin desde A a B, situacin (a), por el mtodo del punto extremo. Suponemos una visual que corta a la mira en B, con un error residual del nivel (e), que causa un error t en la lectura mB. A continuacin se realiza otra observacin invirtiendo las posiciones relativas del aparato.Los desniveles corresponden a las direcciones directa y recproca, por lo que tendrn signos contrarios. Para promediarlos los restamos.Comprobamos que en este desnivel queda eliminado el termino t, es decir el error en las lecturas como consecuencia del error residual que exista en el equipo. Este mtodo se aplica en pocas ocasiones, ya que se requieren dos observaciones de campo, adems de que los desniveles finales se obtienen con magnitudes, i y m de distinta precisin. Nivelacin por estaciones equidistante:Sean A y B los puntos cuyo desnivel queremos determinar. El mtodo de estaciones equidistantes consiste en efectuar la observacin del modo siguiente:En primer lugar se estaciona el instrumento en E y se hacen lecturas a las miras situadas en A y B. Despus de sita el aparato en E, de modo que EB sea igual a EA, y se vuelve a leer sobre las miras. Si el aparato tiene un error residual (e) se producirn, unos errores t y t sobre las miras cercana y lejana, y como EA y EB son iguales entre s, tambin lo sern EB y EA. El desnivel.Si el instrumento est perfectamente corregido, los dos desniveles sern iguales, lo que servir de comprobacin de las medidas. El valor definitivo del desnivel B.Los resultados obtenidos con este mtodo son ms homogneos que con el mtodo de las estaciones recprocas, ya que solo intervienen alturas de mira en el clculo de los desniveles, por lo que sus ventajas respecto al mtodo del apartado anterior son indudables.Por otra parte se eliminan los efectos de la esfericidad y la refraccin. Este mtodo no obstante presenta el inconveniente de reduccin de la longitud de la nivelada. El instrumento est ms separado de las miras lejanas que cuando se opera por el punto medio, lo que obliga a hacer niveladas ms cortas, sobre todo si el terreno no es llano. Nivelacin por radiacin:La radiacin es un mtodo Topogrfico que permite determinar coordenadas (X, Y,H) desde un punto fijo llamado polo de radiacin. Para situar una serie de puntos A,B, C,... se estaciona el instrumento en un punto O y desde el se visan direcciones OA, OB, OC, OD..., tomando nota de las lecturas acimutales y cenitales, as como de las distancias a los puntos y de la altura de instrumento y de la seal utilizada para materializar el punto visado.Los datos previos que requiere el mtodo son las coordenadas del punto de estacin y el acimut (o las coordenadas, que permitirn deducirlo) de al menos una referencia. Si se ha de enlazar con trabajos topogrficos anteriores, estos datos previos habrn de sernos proporcionados antes de comenzar el trabajo, si los resultados para los que se ha decidido aplicar el mtodo de radiacin pueden estar en cualquier sistema, stos datos previos podrn ser arbitrarios.En un tercer caso en el que sea necesario enlazar con datos anteriores y no dispongamos de las coordenadas del que va a ser el polo de radiacin, ni de las coordenadas o acimut de las referencias, deberemos proyectar los trabajos topogrficos de enlace oportunos.

b) Nivelacin compuesta; aquellas nivelaciones que llevan consigo un encadenamiento de observaciones se denominan nivelaciones compuestas. Estas consisten en estacionar en varios puntos intermedios, arrastrando la nivelacin. La nivelacin compuesta se utiliza cuando la distancia de dos puntos a nivelar es grande, cuando los puntos extremos no son visibles entre s, o la diferencia de nivel es superior a la que se puede leer de una sola estacin. Los mtodos de nivelacin simple pueden ser: Nivelacin compuesta de dobles visuales: El mtodo de nivelacin geomtrica compuesta de dobles visuales es un itinerario altimtrico que utiliza el estacionamiento en el punto medio entre dos pares de puntos intermedios a los que realizamos dobles visuales, obtenindose unos desniveles parciales intermedios que nos sirven de autocomprobacin en campo.Cuando queremos calcular el desnivel entre dos puntos que estn situados a gran distancia, han de tomarse una serie de puntos intermedios, generando un itinerario entre un punto de partida y otro de llegada, y teniendo que calcular los desniveles de los puntos intermedios por cualquiera de los mtodos clsicos ya mencionados, o bien, por el mtodo de nivelacin compuesta de dobles visuales que a continuacin vamos a describir.

El mtodo de dobles visuales (Fig.3), consiste en registrar el desnivel entre dos puntos intermedios (M11-M12) desde una estacin de nivel (E) situada aproximadamente en el punto medio de ambos, a la vez que se observa, desde la misma estacin de nivel (E), el desnivel entre otros dos puntos intermedios (M21-M22) tambin equidistantes a la estacin dada. Es indispensable la utilizacin de zcalos de hierro que llevan las miras altimtricas, para no cometer errores accidentales al girar las miras sobre el punto dado.Utilizando el mtodo de dobles visuales, adems de calcular el desnivel entre puntos intermedios, como comprobacin se calcula el desnivel relativo entre los dos puntos de espalda y el desnivel entre los dos puntos de frente. Para no confundir los desniveles anteriores, en adelante denominaremos desnivel intermedio al desnivel que existe entre un punto de espalda y otro de frente, que con el mtodo de dobles visuales se registran dos desniveles desde la misma estacin (desnivel intermedio de ida y desnivel intermedio de vuelta), y denominaremos desnivel relativo al desnivel entre los dos puntos de espalda o los de dos puntos de frente (desnivel relativo de espalda y desnivel relativo de frente).El mtodo de nivelacin compuesta por dobles visuales (Fig. 4) consiste en realizar un itinerario altimtrico entre dos puntos lejanos, o bases de nivelacin (BN), de las cuales queremos calcular su desnivel.

Figura 4. Itinerario altimtrico por el mtodo de nivelacin compuesta por dobles visuales.Comenzamos por hacer una primera estacin (E1), por delante de la base de nivelacin de partida segn la direccin de avance del itinerario, desde esta estacin tomamos dos lecturas de frente, una sobre la Base de Nivelacin de salida (M11) y otra sobre un punto (M21) con zcalo de hierro, siendo ambas visuales equidistante a la estacin. Con esta estacin conseguimos registrar un primer desnivel relativo de frente (D1) entre los dos puntos observados.A continuacin los portamiras permanecern en su sitio mientras realizamos un cambio de estacin (E2), que de nuevo mantenga la distancia de nivelada prefijada, desde la cual volvemos a tomar lecturas de espalda a los dos puntos anteriores (BN y M21), obtenindose de nuevo el desnivel relativo (D1) entre ambos puntos, teniendo el desnivel relativo desde dos estaciones diferentes. Consideraremos como vlidos los registros efectuados hasta ahora, si la diferencia entre los dos desniveles relativos calculados no supera el error mximo entre dos puntos desde una misma estacin, que para el ejemplo estudiado anteriormente era de 4mm. En la prctica el error observado entre estos puntos relativos est ms cercano al error probable que al error mximo, es decir, se suelen observar diferencias que oscilan entre 0 y 2 mm.Una vez hecha esta comprobacin en campo, se indica a los dos portamiras que continen con el itinerario, para lo cual debern cambiar su posicin sobre los dos puntos siguientes (M12 y M22), manteniendo la misma distancia al nivel que en las visuales anteriores. Estas distancias se suelen medir a pasos, contando los pasos que hay de la mira al nivel y colocando los nuevos puntos alejados del nivel el mismo nmero de pasos que los anteriores. Se registran las dos nuevas visuales de frente obtenindose el desnivel relativo (D2).Nuevamente los portamiras se mantendrn sobre los puntos, haciendo girar sus miras sobre los pivotes, sin levantarla de los zcalos de hierro respectivos, mientras se realiza de nuevo otro cambio de estacin (E3), realizndose otra vez la comprobacin entre los desniveles relativos de frente y de espalda registrados, observando que no se supere el error mximo desde cada estacin, y procederemos asi sucesivamente hasta llegar a la Base de nivelacin final, o de llegada, con sendas visuales de frente.Con estas dos ltimas visuales de frente, una sobre la BN final (M13) y otra sobre un punto cualquiera (M23) con zcalo, nada nos garantiza que estas ltimas estn bien leidas o registradas, por lo tanto tendremos que realizar un ltimo cambio de estacin (E4) por detrs de la ltima Base de Nivelacin segn el sentido del itinerario, para poder registrar como lecturas de espalda estos dos ltimos puntos y poder obtener, por consiguiente, la comprobacin de este ltimo desnivel relativo.

Nivelacin Geomtrica Compuesta desde el MedioLa nivelacin geomtrica compuesta desde el medio, consiste en la aplicacin sucesiva de la nivelacin geomtrica simple por punto medio.

3. NIVELACION TRIGONOMTRICA

Corresponde al mtodo de nivelacin que utiliza ngulos verticales y distancias horizontales para la determinacin del desnivel entre dos puntos de manera indirecta, apoyndose en las leyes elementales de la trigonometra, teniendo presente que dichos puntos estn dentro de los lmites del campo topogrfico altimtrico a fin de despreciar los efectos de curvatura y refraccin al considerar la tierra como plana. Los ngulos vertical se pueden medir a partir de la horizontal (ngulo de pendiente) o del cenit (cenital) siendo esto ltimo la ms conveniente.La nivelacin se realiza a partir de la medicin de ngulos de altura o inclinacin, y de distancias de las pendientes que se usaran para la obtencin del cateto opuesto que marcara el desnivel existente entre la estacin y el punto visadoMediante este sistema se determinan los desniveles a travs de la medicin de ngulos verticales y distancias entre los puntos a nivelar.Se puede realizar con cinta y teodolito, basndose en el trazado de un tringulo rectngulo.

4. Calculo de rea en polgonos regulares

El rea de un polgono regular se calcula con la frmula:rea = (a x p)/2, donde a es la longitud del apotema y p es el permetro del polgono. La apotema es el segmento de la lnea desde el centro de un polgono regular al punto medio de uno de los lados. El permetro se puede calcular multiplicando la longitud del lado por el nmero de lados en el polgono.Al igual que con la longitud de los lados, si la longitud del apotema es dada directamente, encontrar el rea del polgono es mucho ms fcil, solamente sustituye los valores de a y p y calcula el rea. Por ejemplo: calcular el rea de un hexgono regular (6 lados) de 10 unidades de longitud en los lados y un apotema de 5 sqrt (3 unidades).Al igual que la longitud de los lados, si la longitud del apotema no es dada directamente, se puede calcular usando la siguiente formula: :a = (s/2) x cot(1800/n),Donde a es la longitud del apotema s es la longitud del lado y n es el nmero de lados del polgono.

5. Calculo de reas en polgonos irregulares

El clculo del rea de un polgono irregular requiere de mtodos alternativos de clculo de reas. El mtodo ms comn es dividir el polgono en N tringulos (siendo N el nmero de lados del polgono) y calcular la rea como suma de las reas de los tringulos.

El rea del polgono irregular se puede calcular mediante dos procedimientos alternativos: el mtodo de triangulacin o el determinante de Gauss.

6. Ejemplos de caculo

A. Hallar el permetro y el rea de la figura:

AD = BC; AB = DC = Romboide

P = 13 + 11 + 12 + 5 + 11= 52 cm

A = A R + A T

A = 11 12 + (12 5) : 2 = 162 cm2

B. Calcula el rea del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados de un rectngulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm.

C. Ejemplo de rea de un polgono irregular:

Bibliografa

http://www.buenastareas.com/ensayos/Nivelaci%C3%B3n-Barom%C3%A9trica/4249203.html

http://www.buenastareas.com/ensayos/Nivelacion-Geometrica-Simple/563042.html

http://www.buenastareas.com/ensayos/Nivelacion-Compuesta/32292607.html

http://www.buenastareas.com/ensayos/Nivelaci%C3%B3n-Trigonometrica/56185467.html

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/area-poligono-irregular/

http://www.ejemplode.com/5-matematicas/3970-ejemplo_de_como_calcular_el_area_de_un_poligono_irregular.html

http://www.vitutor.com/geo/eso/ar_e.html

Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educacin UniversitariaInstituto Universitario Politcnico Santiago MarioPuerto Ordaz Est. BolivarNivelaciones

Profesor:

Bachiller:

Antonio Campos C.I: 22.588.797

Puerto Ordaz 04 de diciembre de 2014