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Universidad Carlos III de Madrid

Departamento de Matemáticas

Geometrías con caráctertopológico

David F. Martínez Torres

Memoria para optar al título de

doctor en ciencias matemáticas

Director: Alberto Ibort Latre

Leganés, abril de 2003

iii

A la memoria de mi padre

Índice

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Capítulo I. La geometría de las variedades calibradas . . . . . . . 71. Introducción y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Algunas ideas subyacentes a la geometría aproximadamente

holomorfa en variedades simplécticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Descripción de los contenidos y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Variedades casi-complejas: álgebra lineal, sucesiones muyamplias de fibrados y simplectizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1. Álgebra lineal de variedades casi-complejas . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Fibrados muy amplios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. La teoría relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Teoría local: Modelos locales, cartas adaptadas y secciones dereferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1. El modelo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Cartas adaptadas, cartas r-comparables e igualdades en el

sentido aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Cartas de Darboux y secciones de referencia . . . . . . . . . . . . . . 433.4. Relación entre las teorías A.H. y la teoría relativa . . . . . . . . 503.5. Fibrados de rango superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. Jets casi-complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1. Jets pseudo-holomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5. Estratificaciones aproximadamente holomorfas y transversalidad 685.1. Estratificaciones aproximadamente holomorfas. . . . . . . . . . . . 685.2. Transversalidad estimada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3. Cuasi-estratificaciónes de J rDEk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4. La cuasi-estratificación de Thom-Boardman-Auroux para

aplicaciones a espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866. El teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.1. Prueba del teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098. Formas normales para aplicaciones aproximadamente holomorfas

a CP1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

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vi ÍNDICE

9. Variedades casi-complejas foliadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.1. Foliaciones calibradas en 3-variedades cerradas . . . . . . . . . . . 122

Capítulo II. Una nueva construcción de variedades dePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1. Introducción y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252. Estructuras de Poisson en 3-variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273. Estructuras de Poisson fibradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.1. Estructuras de Poisson compatibles en fibrados . . . . . . . . . . . 1293.2. Subvariedades de Poisson transversales fibradas . . . . . . . . . . 130

4. La construcción principal: cirugía de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.1. Observaciones topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.2. Observaciones relativas a la foliación de #ψM . . . . . . . . . . . . 1334.3. Construcción de la forma de Poisson en #ψM . . . . . . . . . . . . 1344.4. El operador de contracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.5. Comparación de las estructuras de Poisson en B, E0 E∞ . 138

5. La clase modular de #ψM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416. Variedades de Poisson con grupos fundamentales arbitrarios. . . . 1447. Una aplicación para la construcción de foliaciones calibradas . . . 147

Capítulo III. Clasificación global de multivectores genéricosde grado máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492. Estructuras de Nambu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513. Estructuras genéricas de grado máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534. Caracterización local de la estructura de Nambu . . . . . . . . . . . . . . . 1555. Descripción global de las estructuras de Nambu . . . . . . . . . . . . . . . . 1576. Cohomología de Nambu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.1. Cómputo de H2Λ(U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.2. De H2Λ(U) a H2

Λ(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.3. Algunos comentarios sobre H1

Λ(M) y H0Λ(M) . . . . . . . . . . . . . 163

7. Unas familias especiales de estructuras de Nambu. . . . . . . . . . . . . . 165

Conclusiones y futuras líneas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Apéndice A. El problema ∂ de Neumann con parámetros . . . 171

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

ÍNDICE vii

Agradecimientos

Quisiera expresar mi más profundo agradecemiento a Alberto Ibort, midirector de tesis, por el apoyo constante que durante estos años me habrindado, por haber compartido conmigo su inagotable caudal de conocimien-tos y por sus numerosos consejos. Su visión global y profunda de las matemáti-cas y su entusiasmo por la investigación son fuente constante de inspiraciónpara mí.

Parte de esta memoria se inició como un trabajo conjunto con AlbertoIbort y Fran Presas, a quienes agradezco su generosidad. En este sentidotambién estoy en deuda con R. L. Fernandes, aunque no sólo por todo lo quehe aprendido de él y sus innegables aportaciones a parte de esta tesis, sinotambién por haberme brindado su amistad. Igualmente estoy obligado conDenis Auroux por su amabilidad y prontitud a la hora de aclararme diferentesaspectos de su trabajo. Asimismo quisiera mostrar mi reconocimiento a losasistentes a los encuentros G.E.S.T.A., especialmente a Vicente Muñoz.

A lo largo de estos años he tenido la fortuna de aprender matemáticas depersonas muy diferentes. En primer lugar de mis profesores. Quisiera haceraquí patente mi reconocimiento a todos ellos y muy especialmente a CarlosAndradas, quien me ha ayudado a comprender cosas que van mucho más alláde lo meramente matemático; también deseo agradecer a Robion Kirby suayuda en circunstancias complicadas. Tampoco puedo olvidar que una partesustancial de mi bagaje matemático la debo a innumerables conversacionescon Daniel Markiewicz y Henrique Bursztyn, sobre todo con este último,quien estando tan lejos está a la vez tan cerca.

Es de justicia que mencione a David, Charly, Raquel, Berto, Javier yUrbano por seguir soportándome después de todos estos años; no les faltamérito, al igual que a Barrete, Salchi y compañía que pese a todo continuanpasándome balones.

Igualmente agradezco a “La Caixa”, al Ministerio de Educación Culturay Deporte y al programa de Doctorado en Ingeniería Matemática del Depar-tamento de Matemáticas de la Universidad Carlos III de Madrid el apoyoeconómico que me han prestado.

Por último y por encima de todo no puedo olvidarme de mi madre y demi hermano que están siempre a mi lado.

Introducción

De acuerdo con el programa Erlangen de F. Klein [34], sabemos que unageometría G en una variedad diferenciable queda determinada por la elecciónde subgrupo Mor(G) del grupo de difeomorfismos de la variedad. Asimismo,su estudio es el de aquellas magnitudes, o más generalmente propiedades queno cambian mediante la acción de Mor(G); son los llamados invariantes deG.

Es necesario el plantearse qué sea aquello que explica la elección de deter-minadas geometrías como dignas de estudio. En primer lugar, entendemosque un primer motivo reside en el origen físico que tienen algunas de ellas,siendo paradigmática en este sentido la geometría simpléctica o, más general-mente, la geometría de Poisson. En este caso nuestra variedad diferenciablerepresenta el espacio de estados de un sistema y la geometría S viene de-terminada por las llamadas transformaciones canónicas. Por supuesto, esel estudio de la situación anterior el que revela que Mor(S) se puede ca-racterizar como el grupo de difeomorfismos de la variedad que preserva undeterminado tensor (2, 0), la llamada forma simpléctica. Igualmente, se ob-serva que todos los mecanismos y construcciones dependen de propiedadesde este tensor expresables en el lenguaje de la geometría diferencial. Paraser más preciso éstas son su antisimetría, ser no degenerada y la condición deser cerrada. De este modo se llega a la definición de estructura simplécticaen una variedad cualquiera M .

De un modo más general, la geometría de Poisson P aparece como elmarco adecuado dónde se desarrolla la teoría de sistemas hamiltonianos. Lavariedad diferenciable M (siempre finito dimensional en nuestro caso) es elespacio de estados del correspondiente sistema; los observables correspondena una subálgebra O del álgebra de funciones C∞(M), que asumimos coin-cide con todo el álgebra (o más generalmente un subhaz del haz de funcionesdiferenciables de M). La evolución del sistema está dictada por una fa-milia uniparamétrica de difeomorfismos o, en términos infinitesimales, por uncampo de vectores. Por último, existe una aplicación E : C∞(M)→ X(M),f 7→ Xf , de modo que f es conservada por Xf (Xf (f) = 0), y E es unmorfismo de álgebras de Lie para el corchete f, g := Xg(f). De nuevose prueba que la correspondiente estructura de variedad de Poisson vienedescrita por un tensor (0, 2) antisimétrico (un bivector) sujeto a una condi-ción de cierre, y la geometría queda determinada por los difeomorfismos quepreservan dicho tensor.

Otro ejemplo especialmente significativo es el de la geometría (semi)rie-manniana R. Aquí el origen es el estudio de inmersiones de curvas y su-perficies. Dicho de otro modo, el espacio en cuestión es R3, el grupo es el

1

2 INTRODUCCIÓN

de las trasformaciones ortogonales y el invariante estudiado son las clases deinmersiones de curvas y superficies.

El primer resultado que muestra el interés del estudio de las superficiescon métrica es el celebrado teorema egregio de Gauss; una vez generalizadala teoría por Riemann, su importancia queda de manifiesto por su conexióncon la formulación de la teoría de la relatividad.

Estos dos ejemplos de geometrías, la simpléctica y de Poisson por un lado,y la semi-riemanniana por otro, tienen un carácter muy diferente. En primerlugar observamos que los tensores en cuestión han de satisfacer condicionesverificables en cada punto (antisimetría/simetría y no degeneración), y en elcaso simpléctico y de Poisson se ha de cumplir una determinada ecuación enderivadas parciales. Esto, en contraste con la geometría semi-riemanniana,impone restricciones a la existencia del primer tipo de estructuras. Pero talvez la diferencia fundamental queda reflejada en los “diferentes tamaños” delos correspondientes grupos de transformaciones de las estructuras, que re-sulta ser finito dimensional paraR (grupo de Lie), e infinito dimensional paraS y P. Ello implica la existencia de comparativamente “menos” invariantespara S y P. Hasta tal punto es así que en S (resp. P) no existen invarianteslocales (resp. existen determinados teoremas locales de estructura), cosaque por supuesto la curvatura impide en el caso de R. Como consecuenciade este fenómeno cualesquiera invariantes que caractericen S han de ser denaturaleza global. Por ello no es extraño que el estudio del fenómeno globalque es inherente a la geometría simpléctica haya sido denominado topologíasimpléctica. Algo similar, aunque no tan acusado, ocurre con la geometríade Poisson, donde podemos hablar de una topología de Poisson que tratasobre los aspectos globales de la estructura.

Así pues, y para una geometría G que pueda definirse como las citadasmediante un objeto diferenciable (normalmente la sección de un determinadofibrado) con determinadas propiedades y cuyo estudio refleje fenómenos glo-bales de la variedad, el párrafo anterior da pie a las siguiente cuestiones:

(i) Dada una variedad M , ¿cuáles son las obstrucciones a la existenciade dicha geometría o estructura en M? Inversamente, podemostratar de demostrar que ciertas características globales de M noobstruyen la existencia de la correspondiente estructura.

Para estructuras simplécticas hay una primera obstrucción homotópicaque hace referencia a la posibilidad de encontrar un tensor con las propiedadesrequeridas en cada punto. En cuanto a la parte concerniente a la ecuaciónque gobierna la condición de cierre, en caso de que la variedad sea com-pacta tan sólo se puede inferir la no anulación de la correspondiente clasede cohomología que define. Sin embargo, cuando la variedad es abierta y dedimensión ≥ 6, es una consecuencia del h-principio probado por M. Gromov[27] que la única obstrucción es la homotópica.

El punto de vista contrario fue tratado por R. Gompf. En su artículo[24] explotó en toda su generalidad la llamada suma conexa normal de va-riedades simplécticas para construir otras variedades con tipos topológicosprefijados. Entre otras aplicaciones, una de las más espectaculares fue lademostración de la existencia, en cualquier dimensión (necesariamente par)

INTRODUCCIÓN 3

y para cualquier grupo G con presentación finita, de variedades simplécticascompactas cuyo grupo fundamental coincidía con G.

En el caso de las estructuras de Poisson, dada su generalidad no es es-perable encontrar resultados similares válidos para todas ellas, pero parecelógico tratar de estudiar dichas cuestiones para la clase de las estructurasde Poisson regulares, es decir, aquellas para las que el rango del tensor esconstante. Para la existencia de esta clase de estructuras con una foliaciónprefijada hay de nuevo una primera obstrucción homotópica. Si la variedaden cuestión resulta ser abierta en el sentido de variedades foliadas [6], esuna consecuencia del h-principio para variedades foliadas probado por M.Bertelson que la única obstrucción es la homotópica (también en [6]).

Al igual que en el caso simpléctico creemos que es importante explorarel punto de vista contrario y a ello dedicaremos el capítulo segundo de estatesis. Así, definiremos la suma conexa normal de variedades de Poisson y pro-baremos, para cualquier dimensión, rango y grupo G con presentación finita,la existencia de variedades de Poisson regulares y compactas cuyo grupo fun-damental coincide con G, demostrando así que el grupo fundamental no esuna obstrucción a la existencia de dichas estructuras.

La segunda cuestión que de modo natural se plantea es:

(ii) Una vez demostrada la existencia de determinado tipo de estruc-turas G, tratar de dar una clasificación de las mismas, donde dosestructuras G1 y G2 son equivalentes si Mor(G1) puede ser conju-gado a Mor(G2) mediante un difeomorfismo (más restrictivamentepodemos imponer que dicho difeomorfismo sea además isotópico ala identidad).

Para ilustrar dicho problema daremos tres ejemplos que no dejan de estarrelacionados entre si, tanto en las geometrías a las que hacen referencia comoen los métodos de prueba. En primer lugar tenemos el caso de las formasde volumen V (en variedades compactas). La obstrucción a la existencia dedicha geometría es la orientabilidad de la variedad y es un resultado clásicode J. Moser [45] que la forma de volumen queda totalmente caracterizadapor el volumen de la variedad, que es en principio computable. Es decir, lageometría queda totalmente descrita por la elección de un múltiplo de uninvariante del tipo de homotopía de la variedad.

En segundo lugar tenemos el ejemplo de las propias estructuras simpléc-ticas (M compacto). En este caso, y para la relación de equivalencia deconjugación por difeomorfismos isotópicos a la identidad, de nuevo por unteorema de J. Moser [45] se concluye que dos 2-formas simplécticas están enla misma clase si y sólamente si se pueden unir por un camino de 2-formassimplécticas con clase de cohomología constante.

En último término tenemos el caso de las estructuras de Poisson topológi-camente estables Pst (o genéricas) en superficies cerradas orientadas. En untrabajo reciente [51], y para la relación de equivalencia definida por con-jugación por difeomorfismos isotópicos a la identidad, O. Radko dio unadescripción del correspondiente espacio de moduli. Lo novedoso de dichoespacio frente a los anteriores ejemplos fue que su número de componentesconexas estaba en relación uno a uno con determinadas clases de isomorfismo

4 INTRODUCCIÓN

de disposiciones de hipersuperficies en la variedad; para cada disposición lacomponente resultó ser difeomorfa a un espacio vectorial de dimensión elnúmero de componentes conexas de la disposición más uno. Es más, dichoespacio venía dado por el grupo de una cohomología asociada a la estructura.

Hay una cuarta geometría N que es una generalización de P conteniendotambién a V. Es la llamada geometría de Nambu.

La mecánica de Nambu es una generalización de la hamiltoniana. Adiferencia de esta última, la dinámica viene gobernada por un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias asociadas no a un hamiltoniano, sino a unnúmero mayor r; el número de hamiltonianos más uno se denomina orden.Desde el punto de vista diferencial esto significa que la estructura de Nambuviene definida por una sección de Xr+1 con determinadas propiedades decierre, que en este caso son una ecuación algebraica y otra en derivadasparciales (véase [53] para la descripción precisa).

El análogo a las estructuras de Poisson estables en superficies orienta-bles son las estructuras de Nambu estables de orden máximo. Esto es, paracualquier variedad compacta orientable de orden n, las secciones de Xn cor-tando a la sección 0 de modo transverso.

En el capítulo tercero de esta tesis haremos un estudio de éstas análogoal de Radko para estructuras de Poisson estables. El principal resultadoserá un teorema de clasificación en clases de isotopía orientada. Veremosque el número de componentes conexas del espacio de moduli coincidirácon las correspondientes clases de ciertas disposiciones de hipersuperficies.Asimismo, cada componente conexa resultará ser isomorfa a un espacio vec-torial cuya dimensión será el número de hipersuperficies de la disposicióncorrespondiente a la componente conexa, más uno. Es más, el isomorfismovendrá dado mediante la identificación con un determinado grupo de coho-mología asociado a la estructura de Nambu.

Veremos que dicha clasificación es el resultado de observar que el trabajode Radko [51], aunque escrito en el lenguaje de la geometría de Poisson,utiliza principalmente herramientas propias de la topología diferencial juntocon la clasificación de formas de área en superficies.

Por último nos planteamos una tercera cuestión natural –bajo nuestropunto de vista aquella para la que lograremos los resultados más interesantes–relativa a estas geometrías con carácter topológico.

(iii) ¿Hasta que punto es rica la geometría? Es decir, nos planteamosla existencia de construcciones de topología diferencial compatiblescon esta geometría.

Nótese que por definición estamos escogiendo geometrías sin invarianteslocales. Esto quiere decir que los problemas que queramos resolver lo seránlocalmente, y la dificultad residirá en encontrar métodos que den solucionesglobales.

Para clarificar este tercer punto tomaremos como ejemplo la geometríasimpléctica S. Una pregunta que es natural plantearse es la de la existenciade subvariedades simplécticas topológicamente no triviales. Esto es, solu-ciones al problema topológico de la construcción de subvariedades que seancompatibles con la estructura S.

INTRODUCCIÓN 5

Dicho problema tan natural y fácil de plantear ha sido resuelto afirmati-vamente para variedades compactas hace tan sólo siete años por S. Donald-son [12], exigiendo la introducción de técnicas totalmente nuevas (técnicas“aproximadamente holomorfas”) y que han supuesto una revolución en lainvestigación en este campo.

Problemas similares al de la existencia de subvariedades son por ejemplola existencia de submersiones con fibras simplécticas, o más generalmente,estratificaciones por variedades simplécticas que estén “próximas” a ser fi-braciones.

El objetivo o la filosofía subyacente, es la de tratar de reducir en lo posiblela comprensión de las estructuras simplécticas en una variedad M a unamezcla de información topológica y de geometría simpléctica de variedadesde dimensión menor.

En el primer capítulo de la tesis queremos hacer la misma clase de estudiopero para una nueva geometría C2,1 que denominamos 2-calibrada. Podemosentender dicha geometría como el análogo de la simpléctica en dimensiónimpar.

Un ejemplo de variedad 2-calibrada es una variedad de contacto exacta(M2n+1, α), α ∈ ∧1(M) (recordemos que se requiere que α ∧ (dα)n sea unaforma de volumen). Su distribución característica kerα es de codimensión1, y la 2-forma cerrada dα induce una estructura simpléctica en cada fibrade la distribución (o domina la distribución o la “calibra” en un sentido queharemos explícito más adelante).

Una estructura 2-calibrada es la generalización del concepto anterior: unadistribución de codimensión 1 (de ahí el segundo subíndice de C2,1) y una2-forma cerrada que la hace simpléctica. Obsérvese que se puede entendercomo una familia uniparamétrica de variedades simplécticas infinitesimales(por ello consideramos distribuciones y no sólo foliaciones) para las que hayuna condición de cierre global análoga a la simpléctica. Por una cuestión debrevedad de ahora en adelante hablaremos de estructuras calibradas en vezde 2-calibradas.

Es interesante ver la diferencia que hay con las variedades de Poisson decodimensión 1. Para estas últimas, si intentamos plantear la condición decierre en términos covariantes resulta ser una condición para una 2-formafoliada (las 2-formas han de ser cerradas y no degeneradas en cada hoja).No es cierto en general que toda estructura de Poisson admita un “levan-tamiento” a una estructura calibrada, es decir, la 2-forma foliada cerrada yno degenerada no admite una extensión a una 2-forma cerrada; veremos quela ausencia de la condición de cierre global es crucial para que las técnicasque vamos a desarrollar para variedades calibradas dejen de funcionar paravariedades de Poisson de codimension 1 generales.

Desarrollaremos una geometría aproximadamente holomorfa para varie-dades calibradas compactas, resolviendo problemas como la existencia desubvariedades calibradas, estratificaciones por subvariedades calibradas yextenderemos otra serie de construcciones propias de la teoría aproxima-damente holomorfa en variedades simplécticas.

6 INTRODUCCIÓN

A cada una de las tres cuestiones anteriores dedicaremos un capítulo deesta tesis. En cada uno de ellos incluiremos una descripción (más o menossomera dependiendo del caso) de los resultados más relevantes y de las ideassubyacentes.

CAPÍTULO I

La geometría de las variedades calibradas

1. Introducción y resultados

1.1. Motivación

Definición 1.1. Una variedad (2-)calibrada es una terna (M,D,ω), dondeM es una variedad diferenciable, D es una distribución de codimensión 1,y ω es una 2-forma cerrada y no degenerada sobre D. Decimos que ω espositiva sobre D o que domina a la distribución o que la calibra.

La variedad calibrada se dice de tipo entero cuando ω2π está en la imagen

de H2(M ;Z) en H2(M ;R).

La dimensión de M es necesariamente impar. Nótese que el concepto devariedad calibrada es un análogo impar de la noción de variedad simpléctica.

Observación 1.2: En la literatura ya existe el concepto de foliación calibrada,que no es sino una foliación de codimensión arbitraria para la que existe unap-forma cerrada dominándola [29], donde p es la dimensión de las hojas(también son llamadas geométricamente “tight” u homológicamente “tight”).Ésta es por supuesto una condición más débil que la nosotros imponemos,pues pedimos que para la foliación D de dimensión 2n, la forma que calibrese pueda expresar como ω2n, dω = 0. Hasta donde el autor conoce, y paradimensiones diferentes de tres, no existen trabajos específicos para la clasede foliaciones de la que nos ocuparemos en este trabajo.

Todas las estructuras a las que hacemos referencia serán de clase C∞(también nos referiremos a ellas como diferenciables).

Tal y como acabamos de comentar, un ejemplo importante de variedadescalibradas lo constituyen las 3-variedades compactas con foliaciones 2-dimen-sionales diferenciables calibradas (o foliaciones “taut”).

Definición 1.3. Sea (M3,F) una variedad orientable foliada por superficiesorientables (y por tanto la foliación es co-orientable). Diremos que F es unafoliación calibrada (taut) si M 6= S2 × S1 y existe una 2-forma cerrada ωque restringe a una forma de área en cada hoja de F .

Recordemos que toda 3-variedad compacta admite foliaciones F por su-perficies [36], pero no toda foliación es lo suficientemente interesante como

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8 I. LA GEOMETRÍA DE LAS VARIEDADES CALIBRADAS

para darnos información sobre la topología de la variedad. Aquellas que nosinteresan son esencialmente las que no tienen componentes de Reeb.

Es un teorema clásico que si la foliación no tiene componentes de Reebgeneralizadas (véase [52]), entonces la foliación es calibrada.

Se pueden caracterizar estas foliaciones por la existencia de ciclos transver-sos pasando por cualquier punto (este resultado es un corolario de los traba-jos de Novikov y Sullivan [52]). Es esta última caracterización sobre la quequeremos abundar.

En una variedad diferenciable cualquiera Mn un modo natural de cons-truir subvariedades es definiéndolas como el conjunto de ceros de funciones,o más generalmente, de secciones de ciertos fibrados. Cuando las subvarie-dad W así construida es de codimensión 2 y M es cerrada y orientable, lateoría de clases características nos permite determinar fácilmente el fibradoL a partir de la información homológica de W : L será el fibrado de líneacomplejo determinado por el elemento [ω] ∈ H2(M ;Z) cuyo dual de Poincarées la clase [W ] ∈ Hn−2(M ;Z). Por tanto, una vez analizada la informaciónhomológica que determina el fibrado el problema se transforma en uno degeometría diferencial: encontrar una sección τ de L transversa a la sección0 de modo que W1 = τ−1(0) (la subvariedad W1 será cohomóloga a W ).

El problema añadido que se nos presenta es que la subvariedad W quebuscamos, en principio de M3, ha de ser transversa a F . Localmente no hayninguna obstrucción a la existencia de secciones tales, pero sí globalmente.El ejemplo clásico es la foliación de Reeb de S3. Si existiese un ciclo Wtranversal al toro frontera de las componentes de Reeb, al ser H2(S3;Z) = 0,vendría dado como los ceros de una función f : S3 → C. Como W con talespropiedades no existe, deducimos que existen funciones en S3 con valorescomplejos que no puede ser globalmente transversales a 0 a lo largo de lasdirecciones de F , aun siendo transversales en el sentido clásico. En otraspalabras, la subvariedad W que definen será necesariamente tangente a Fen un conjunto de puntos no vacío.

Incluso para foliaciones calibradas la existencia de un teorema de trans-versalidad foliada resulta no ser cierta. De hecho los contraejemplos ocurrenya a nivel semi-local.

En R3 con coordenadas x, y, s y con la foliación por planos horizontaless = c, c ∈ R, se considera la función f(x, y, s) = x2 + s. Es evidente queperturbaciones arbitrariamente pequeñas jamás serán transversas a la fo-liación. Si tuviésemos f una perturbación tal, al ser la transversalidad a Funa propiedad abierta perturbaciones arbitrariamente pequeñas h seguiríanteniendo esta propiedad. Obviamente el correspondiente conjunto de cerosWh seguirá siendo no transverso a la foliación pues la restricción de la proyec-ción en la tercera coordenada a Wh tendrá un máximo global. Si nos fijamosen la hoja Fc en la que dicho máximo ocurre, observamos que h|Fc alcanza unmínimo global cuyo valor es cero (podemos suponer que h ha sido escogidade modo que su restricción a cada hoja es genérica, i.e., con extremos localesaislados). Un modo de evitar que se dé la situación anterior es considerar unaclase de funciones cuya restricción a las hojas no tenga ni máximos ni míni-mos locales; la elección obvia es trabajar con funciones que sean holomorfas

1. INTRODUCCIÓN Y RESULTADOS 9

a lo largo de la hojas. En este punto recordamos que es fácil introducir unaestructura casi-compleja J a lo largo de las hojas que por cuestiones de di-mensión resulta ser integrable. El problema que se plantea ahora es que esposible que para una elección de J , o incluso para cualquiera, el conjunto defunciones J-holomorfas no sea lo suficientemente amplio como para realizarlas construcciones que deseamos. Una primera observación es que como laclase de funciones que manejamos ha de ser abierta (pues la transversalidada lo largo de F es una propiedad abierta), más que trabajar con funcionesJ-holomorfas tendremos que hacerlo con aquellas que estén muy cercanas aéstas en un sentido que haremos preciso en su momento.

Obsérvese que el anterior punto de vista ya ha sido usado para el estu-dio de las variedades simplécticas compactas de cualquier dimensión. Es lallamada teoría aproximadamente holomorfa, introducida por S. Donaldsonen [12]. De un modo muy impreciso, diremos que esta teoría afirma quepara estructuras casi-complejas J compatibles con la forma simpléctica ω,existe una teoría de transversalidad fuerte para secciones aproximadamenteholomorfas de los fibrados L⊗k, donde L es el fibrado dual a [ω]

2π y k es unentero suficientemente grande (suponemos que ω es de clase entera, es decir,[ω]2π está en la imagen de H2(M ;Z) en H2(M ;R)).

Así pues, tenemos un primer indicio de que es razonable estudiar la corres-pondiente teoría aproximadamente holomorfa al menos para foliaciones ca-libradas en variedades de dimensión 3 (pues existen ciclos transversos porcualquier punto).

Una segunda motivación proviene de la geometría de contacto. Recorde-mos que una estructura de contacto (exacta) en una variedad compactaM2n+1 viene dada por una 1-forma α no degenerada que verifica que α∧(dα)n

es una forma de volumen. En particular (M, kerα, dα) es una variedad ca-librada. Para variedades de contacto se ha demostrado la existencia de unageometría aproximadamente holomorfa rica para las secciones de los fibradosL⊗k, donde de nuevo L es el dual de dα (por tanto trivial). En este casola estructura casi-compleja J está definida a lo largo de ker dα, que se hade entender como la distribución de direcciones “holomorfas”. Es más, sehan obtenido resultados de diferente alcance usando por un lado una teoríaintrínseca [32],[50], y por otro una teoría relativa aplicada a la simplecti-zación (M × R, d(tα)) [43, 23]. Luego parece razonable tratar de ver quelos mecanismos de las teorías aproximadamente holomorfas (intrínseca y re-lativa) para variedades de contacto exactas no usan ninguna propiedad queno esté presente en las estructuras calibradas.

La definición de variedad o estructura calibrada es nueva, pero hay abun-dantes ejemplos de estructuras geométricas que resultan ser calibradas. Losejemplos más interesantes de estructuras calibradas son por un lado las yacitadas estructuras de contacto, en las que la distribuciónD es absolutamenteno integrable, y las foliaciones calibradas (recordemos que para nosotros lascalibraciones viene dadas por potencias de una 2-forma cerrada); siendo másprecisos hemos de distinguir el caso de dimensión 3 de las dimensiones supe-riores. Para el primero existen abundantes resultados en la literatura que secaracterizan casi en su totalidad por usar técnicas específicas de la geometría


en dimensión 3 ([19, 20, 17]). Para dimensiones superiores a tres, el autorno conoce trabajos específicos para foliaciones de codimensión 1 calibradasen nuestro sentido; sin embargo hay literatura acerca de foliaciones de codi-mensión 1 en variedades de dimensión p + 1 calibradas por p-formas (véasepor ejemplo [29, 49]).

Conviene recordar que toda estructura calibrada (de tipo entero) en laque D es integrable dota a la variedad M en cuestión de una estructura dePoisson (M,Λ) con hojas simplécticas de codimensión 1, que además resultaser integrable en el sentido de R. L. Fernandes y M. Crainic [10, 11]. Portanto se dispone de los correspondientes resultados de geometría de Poisson.

Dentro de las estructuras calibradas que son de Poisson cabe destacar lasestructuras cosimplécticas. Recordemos que una estructura cosimplectica enuna variedadM viene dada por un par (α, ω) donde α es una 1-forma cerradano degenerada, y ω es la 2-forma cerrada que domina kerα. Observemos queuna estructura cosimpléctica es un tipo de foliación calibrada muy especial,pues la foliación viene definida por una 1-forma cerrada. Desde el puntode vista topológico, si asumimos que M es conexa y compacta es posibleperturbar la estructura cosimpléctica de modo que su descripción sea rela-tivamente elemental: por compacidad, podemos elegir una 1-forma α′ muycercana a α con periodos enteros y que define una foliación sobre la que ωes positiva. Por un resultado elemental de Tischler, existe una aplicación aS1 (en la clase de homotopía de aplicaciones clasificadoras asociadas a [α′])cuyas fibras son un numero finito de hojas de la foliación. Por la conectivi-dad de M , es posible factorizar a través de una aplicación de S1 en S1 degrado el número de componentes conexas de cada fibra. El primer factorde la composición tiene fibra conexa P . Por tanto M es el “mapping torus”asociado a un difeomorfismo de P . La presencia de ω dota a P de una es-tructura de variedad simpléctica de modo que el difeomorfismo de pegado esen realidad un simplectomorfismo.

Además de las estructuras de contacto y de Poisson y atendiendo al com-portamiento de D, creemos necesario hacer notar en este punto que existeliteratura relativa a otra clase de estructuras calibradas. En el citado trabajode Thurston y Eliashberg [17], y en principio para variedades de dimensión3, los autores definen una confoliación como una distribución D de dimen-sión 2 para la que existe una 1-forma α que satisface α ∧ dα ≥ 0 (que elsigno sea positivo o negativo no es importante, el punto clave es que ésteno cambie). La confoliación se dice “taut” (calibrada) si existe una 2-formacerrada ω positiva sobre D (por tanto M3 es orientable necesariamente) yademás se satisface cierta condición homotópica. Es decir, una confoliaciónes una estructura calibrada en M3 en la que la integrabilidad de D varíaentre lo que le ocurre a una foliación y a una estructura de contacto (positi-vamente orientada). El resultado principal en [17] tiene como corolario quepara toda foliación calibrada en M3 (siempre distinta de S2 × S1) podemosencontrar arbitrariamente cerca una estructura de contacto tal que pode-mos interpolarlas mediante confoliaciones. En realidad dicha interpolaciónocurre a nivel de 1-formas y viene dada por un camino diferenciable αt.Es necesario mencionar la motivación de este resultado: tal y como men-cionamos, no todas las foliaciones por superficies de M3 dan información


topológica acerca de M3 (la existencia de foliaciones que no sean calibradasno está obstruida). De modo análogo, las estructuras de contacto están divi-didas en las llamadas “tight” y las llamadas “overtwisted”, que son el análogoa las foliaciones calibradas y las foliaciones con componentes de Reeb res-pectivamente; toda la información que aportan las segundas está contenidaen la clase homotópica de la correspondiente distribución. Esta analogía,reforzada por otros resultados, permitía intuir una proximidad entre folia-ciones calibradas y estructuras de contacto “tight” plasmada en el teoremade interpolación (resultados específicos de geometría de contacto nos indicanque una estructura de contacto arbitrariamente próxima a una confoliacióncalibrada es necesariamente “tight”).

Por último mencionamos que una manera natural de pensar en estruc-turas calibradas es partir del par (M,D) y tratar de encontrar 2-formas quedominen aD. Es decir, pensamos en estructuras calibradas como en distribu-ciones (de dimensión par y codimensión 1) con una propiedad adicional, yde la que veremos se derivarán multitud de consecuencias geométricas. Elproblema de la existencia una 2-forma tal no es para nada elemental, peroadmite una formulación alternativa (dual) en función de la existencia dedeterminados ciclos estructurales [52]. Una vez más, en dimensión 3 es posi-ble derivar interesantes resultados de esta equivalencia (y en dimensionessuperiores se tienen resultados relativos 2n-formas que calibran [29]). Essignificativo observar que en dicha reformulación se supone la existencia deestrucutras casi complejas J enD para buscar 2-formas positivas en las líneascomplejas que J define [52].

Pero también es posible adoptar el punto de vista contrario. Es decir,partimos de una 2-forma cerrada w no degenerada y de modo auxiliar con-sideramos distribuciones D transversales a kerω, para tratar de deducir deello información topológica acerca de M (véase [38]). Simplemente observa-mos que en dimensión mayor o igual que 5 sin más que requerir que el grupoestructural de TM se pueda reducir a U(n) (obstrucción homotópica), yusando el h-principio, se deduce la existencia de 2-formas cerradas no dege-neradas en cualquier clase de cohomología [27].

El primer resultado nuevo que queremos mencionar es la extensión a va-riedades calibradas (siempre compactas) de la existencia de ciclos transver-sos para foliaciones calibradas en 3-variedades compactas. Nuestros “ciclostransversos” serán además subvariedades calibradas de (M,D,ω).

Definición 1.4. Sea (M,D,ω) una variedad calibrada. Una subvariedadcalibrada deM es una subvariedadW para la que TW∩D es una distribuciónde codimensión 1 de TW y ω|TW∩D es no degenerada.

Equivalentemente, W es transversa a D y TW ∩ D es un subespaciosimpléctico de (D,ω|D).

Recordemos que cuando (M,D,ω) es una variedad compacta calibradapodemos escoger una 2-forma ω de tipo entero tan próxima como queramosa ω y dominando a D (i.e., positiva sobre D).


Teorema 1.5. Sea (M2n+1, D, ω) una variedad calibrada cerrada de tipo en-tero. Para k suficientemente grande y para cualquier punto x ∈M , podemosencontrar subvariedades calibradasWk deM de codimensión 2m conteniendoal punto x y verificando además:

• El dual de Poincaré de Wk es [kω].• La inclusión i : Wk →M induce aplicaciones i∗ : πj(Wk)→ πj(M)(resp. i∗ : Hj(Wk;Z) → Hj(M ;Z)) que son isomorfismos para j =0, ..., n−m− 1 y epimorfismos para j = n−m.

Hemos de notar que este teorema puede presentarse también como uncorolario elemental del trabajo de J. P. Mohsen [43] (véase también [23]).

Toda la teoría que vamos a desarrollar está fundamentalmente basada enun análisis cuidadoso de situaciones locales, junto con un resultado de glo-balización que tienen su origen en el artículo fundacional de S. K. Donaldson[12]. Veamos en primer lugar que el teorema 1.5 se cumple de modo más omenos obvio a nivel local.

Supongamos por simplicidad que nuestra variedad calibrada (M,D,ω)es de Poisson, es decir, D es una distribución integrable que da lugar auna foliación F por hojas simplécticas de codimensión 1. Por cada puntox ∈ M tomamos cartas adaptadas a la foliación, por lo que tenemos unaidentificación local de (M,F) con R2n × R. Si quisiésemos construir enprincipio un ciclo transverso por x, es razonable intentar prolongar el ejevertical 0 × R para que siga siendo transverso a F , y asegurarnos de queeste camino C acabe retornando a la hoja Fx a la que pertenece x.

En dimensión 3 se observa que si no hay tal retorno, podríamos tomarun entorno tubular de caminos paralelos a C que se prolongasen indefinida-mente. Ello querría decir que con la evolución temporal el área de cadadisco (interseción local del entorno con la correspondiente placa de la hoja)iría haciéndose muy pequeña, pues dicho entorno habría de tener volumenfinito (esto es exactamente lo que ocurre en el interior de una componentede Reeb). Luego un modo de evitar este fenómeno es elegir una coordenadavertical (la última en R2n×R) que esté globalmente definida, y tal que parauna determinada forma de área a lo largo de las hojas, el transporte de lamisma no tienda a cero. Esto en dimensión 3 equivale a la existencia deuna 2-forma global ω dominando a D. La coordenada vertical globalmentedefinida apropiada viene dada por kerω, pues cualquier campo X generán-dolo verifica LXω = 0.

De lo anterior se infiere que la carta local que es razonable elegir para(M,D,ω) es cualquiera adaptada a la foliación cuya dirección vertical coin-cida con kerω. Es más, tal y como veremos es posible lograr una cartade Darboux con coordenadas x1, y1, ..., xn, yn, s en la que ω coincida conω0 =

∑ni=1 dx

i ∧ dyi.Esto quiere decir que estas variedades calibradas son variedades foliadas

muy especiales. En general, podemos caracterizar a las variedades foliadascomo aquellas en las que el pseudogrupo asociado a las cartas admite unareducción de Diff(R2n+1) a Diff(R2n×R)×Diff(R). La estructura calibrada


da una nueva reducción a Diff(R2n)×Diff(R) (coordenada vertical global) yposteriormente a Symp(R2n, ω0)×Diff(R).

Si la distribución es no integrable ya no hay ausencia de invarianteslocales, pero el “dibujo” es similar, pues si tomamos abiertos suficiente-mente pequeños la distribución D apenas diferirá de la dada por hiper-planos horizontales. Dicho de otro modo, podremos encontrar coordenadasx1, y1, ..., xn, yn, s tal que el pullback de ω sea w0, y D coincida en el origencon Dh, la foliación definida por las superficies de nivel de s.

Es posible pensar en una construcción de subvariedades calibradas dedimensiones arbitrarias análoga a la de ciclos. Localmente, la subvariedadcorrespondería a una subvariedad simpléctica multiplicada por la coordenadavertical. Es más, disponiendo de cartas de Darboux, es razonable pensar enuna subvariedad de la forma V ×R, donde V es un subespacio vectorial sim-pléctico de (R2n, ω0). La situación es por supuesto mucho más complicadaque para ciclos. En primer lugar, y para cada hoja Fx, es necesario quetodos los subespacios simplécticos locales (o más generalmente subvarieda-des de R2n) “peguen” en una subvariedad simpléctica; éste es exactamente elproblema que resuelven las técnicas aproximadamente holomorfas en varie-dades simplécticas compactas, la construcción de subvariedades simplécticasglobales pegando soluciones locales. Hacemos notar que las hojas no sonnecesariamente compactas, pero sí lo es la variedad.

En segundo lugar, es necesario que la subvariedad en una determinadahoja se propague a lo largo de una dirección transversal como subvariedadessimplécticas, y que retorne a la hoja de partida; además, se ha de conseguir apartir de ese retorno “cerrar” la subvariedad. De nuevo esto es razonable queocurra porque en caso de que la hoja sea compacta, la teoría aproximada-mente holomorfa para variedades simplécticas nos dice que las subvariedadessimplécticas de partida y llegada son isotópicas con una isotopía mediantesubvariedades simplécticas.

Luego no es descabellado pensar que los mecanismos de la teoría aproxi-madamente holomorfa para variedades simplécticas se pueden adaptar a va-riedades calibradas.

Recordemos los principios de la teoría aproximadamente holomorfa paravariedades simplécticas compactas (M,ω), que eventualmente deberíamosreproducir para variedades calibradas.

1.2. Algunas ideas subyacentes a la geometría aproximada-mente holomorfa en variedades simplécticas

Un primer elemento de esta teoría es la observación, a nivel lineal, de queun modo de escoger subespacios (vectoriales) V simplécticos es mediante laintroducción de una estructura compleja J compatible con ω; automática-mente todo subespacio J-complejo es simpléctico. Siendo además la condi-ción simpléctica abierta, si un subespacio V está “suficientemente próximo”a JV seguirá siendo simpléctico. En consecuencia, para cualquier otra va-riedad casi-compleja (N, J), la existencia de una aplicación f : M → N


“aproximadamente” (J, J)-compleja y que sea transversa a una subvariedadN1 ⊂ N casi-compleja, dará lugar a una subvariedad simpléctica de M de lamisma codimensión que N1 en N .

Por tanto un primer problema es encontrar variedades casi-complejas(N, J) candidatas a poseer “suficientes” aplicaciones cercanas a ser comple-jas (cercanas en un sentido que haremos preciso más adelante y ”suficientes”en el sentido de que dada una de estas aplicaciones, podremos encontrarperturbaciones arbitrariamente próximas de modo que sigan estando pró-ximas a ser holomorfas y que además sean transversas a las subvariedadescasi-complejas N1). Es lógico, en vez de usar variedades casi-complejas ge-nerales como espacio de llegada, empezar por los espacios (Cm, J0) dondeademás podemos sumar aplicaciones (lo que facilita la definición de las posi-bles perturbaciones). Más generalmente, buscaremos secciones de fibradosvectoriales complejos sobre M .

La indicación de qué fibrados son los adecuados proviene del caso en queJ es integrable. En tal situación podemos buscar secciones genuinamenteholomorfas, pues las ecuaciones de Cauchy-Riemann no están sobredeter-minadas. Los resultados de geometría compleja nos indican que una clasede fibrados, en principio de línea, que admiten muchas secciones son losdenominados muy amplios. Existe además un modo más o menos fácil deencontrarlos. Basta con contar con un fibrado de línea (hermitiano) L conconexión ∇ hermitiana, tal que su curvatura F sea positiva sobre TM (fi-brado amplio). Las potencias tensoriales suficientemente altas de L cuentancon muchas secciones holomorfas (son fibrados muy amplios); tantas comopara contar con algunas que son transversas a la sección 0 del correspon-diente fibrado L⊗k (teorema de Bertini), que es una subvariedad complejadel espacio total del fibrado, que a su vez es una variedad compleja.

En la situación anterior iF define una 2-forma cerrada de clase entera quedota a M de una estructura simpléctica. Es en definitiva lo que se conocepor una estructura Kähler, pues J es evidentemente compatible con la formasimpléctica. Obviamente, iF es de clase entera (tenemos por tanto lo quehabitualmente se denomina como una estructura de Hodge). En presenciade una estructura de Hodge (M,J, ω), el proceso anterior se puede invertirpara construir un fibrado amplio (L,∇) cuya curvatura es exactamente −iω.

La cuestión que se plantea es si en el caso en que J no es integrableexistirán suficientes secciones de estos fibrados cercanas a ser J-holomorfas.Localmente, la existencia de cartas de Darboux y el hecho de que la curvaturadel fibrado sea ω0, permite encontrar modelos locales tanto para la base comopara el fibrado (usando una trivialización adecuada). Suponiendo que J enestas coordenadas es integrable (en realidad que coincide con J0, la estruc-tura canónica compleja de Cn) es posible escribir explícitamente solucionesa las ecuaciones de Cauchy Riemann con características muy particulares.Estas soluciones tiene decaimiento gaussiano y juegan el papel de funcionesmeseta de la teoría, pues permiten localizar el problema de transversalidady convertirlo de uno de secciones a uno de funciones.

En el caso en que J sea no integrable, si la carta es lo suficientemente pe-queña estas secciones serán casi soluciones de las correspondientes ecuacionesde Cauchy Riemann. Por supuesto, no basta con reducir el tamaño de la


carta y quedarse con la anterior solución, pues ésta pasa a ser prácticamenteconstante en la carta y por tanto no decrecería de modo adecuado para estarlo suficientemente próxima a ser una sección casi-holomorfa. Pero hay unmodo de evitar este problema que consiste no en restringir a un abierto máspequeño, sino en contraer todo el dibujo. En particular, se usa el factor decontracción k−1/2. Una consecuencia de dicho proceso es que el fibrado alque pertenece la nueva sección deja de ser L para convertirse en L⊗k. Enotras palabras, la forma simpléctica inducida en la base pasa a ser kω (y lamétrica Kähler también es multiplicada por k), lo que implica que la corres-pondiente carta de Darboux y trivialización son el resultado de contraer porel citado factor las asociadas a la 2-forma original kω. Otro modo de decirloes que al aumentar la curvatura tenemos acceso a regiones cada vez máspequeñas en las que nuestra estructura casi-compleja J necesariamente separece (tanto como queramos aumentando k) a una integrable.

La existencia de las llamadas secciones de referencia sirve para trans-formar el problema de transversalidad global en multitud de problemas detransversalidad local (aumentando este número con k) para funciones. Unaobservación importante es que si pretendemos sumar soluciones locales, dadoque las secciones de referencia tienen soporte que se extiende mucho más alláde donde las usamos para trivializar y localizar el problema de transversa-lidad, habrá interferencia entre soluciones diferentes debido al solapamientode los correspondientes soportes. Y la transversalidad a una subvariedad nose comporta bien con respecto a la suma de secciones.

Es necesario usar el concepto de transversalidad estimada. La idea esbastante sencilla: la suma de dos funciones transversas a la sección 0 puededejar de serlo; por ejemplo porque ambas se anulen en un mismo punto condiferencial opuesta para una cierta trivialización del fibrado (o más geométri-camente, sus grafos forman ángulos opuestos). La transversalidad estimadase reduce a pedir que el grafo de la sección no corte sólo a la sección 0 demodo transverso, sino que haga lo propio, y “con suficiente ángulo”, con lascopias paralelas en un entorno tubular de la sección 0.

La ventaja de este concepto es que es C1-abierto en el sentido de que siuna sección es suficientemente transversa a la sección 0, al sumarle otra connorma C1 pequeña comparada con la “cantidad de transversalidad” (con elángulo con que corta a las copias paralelas de la sección 0), el resultado esuna sección que todavía es transversa, y cuya “cantidad de transversalidad”se puede estimar.

Sin duda el elemento más delicado de la teoría aproximadamente holo-morfa es demostrar que, en efecto, toda función cercana a ser holomorfa ad-mite perturbaciones pequeñas que la hacen transversa a la sección 0 (lema detransversalidad local) con una cantidad de transversalidad estimada tal, quese puede desarrollar un esquema para ir resolviendo el problema de transver-salidad localmente, y que al sumar de todas las perturbaciones el resultadoes una sección todavía transversa a 0 (esquema de globalización).

El esquema anterior es aplicable para obtener transversalidad no sólo a lasección 0 sino a otras (sucesiones de) subvariedades holomorfas de L⊗k, o deotros fibrados con propiedades similares a L⊗k y, más generalmente, a deter-minadas estratificaciones por subvariedades holomorfas. Esto no es extraño


ya que la construcción es puramente local y localmente se pueden encontrarcoordenadas holomorfas para que una subvariedad holomorfa aparezca comola sección 0 de un fibrado local trivial.

Una vez observada la existencia de (sucesiones de) secciones aproxima-damente holomorfas con buenas propiedades de transversalidad, es naturalestudiar sus espacios de degeneración, o dicho de otro modo, definir unosespacios de r-jets para estas secciones, determinar allí los subespacios o másgeneralmente las estratificaciones de los lugares de degeneración y tratarde demostrar un teorema de transversalidad fuerte, i.e., encontrar seccionescuyos jets sean transversales a estas estratificaciones (secciones r-genéricas).De nuevo se observa que dicho teorema se cumple, pues los correspondientesfibrados y estratificaciones son susceptibles de las construcciones que resuel-ven el problema de transversalidad (aunque las complicaciones técnicas noson nada triviales).

El último paso es, una vez que se tiene la existencia de (sucesiones de)secciones r-genéricas, tratar de obtener formas normales para ellas en deter-minadas situaciones. Por ejemplo, análogos a funciones de Morse complejaso a funciones a C2 con los tipos de singularidad canónicos. Dichas seccionesinducen toda clase de estructuras interesantes en la variedad de partida, quepor ser objetos prácticamente J-complejos, son también simplécticos.

1.3. Descripción de los contenidos y resultados

En este trabajo pretendemos hacer un estudio análogo al esbozado enel apartado anterior para las variedades simplécticas, pero para variedadescalibradas. Adoptaremos el punto de vista más general de D. Auroux [4],empezando en la sección 2 con una variedad (M,D, g) con una estructuracasi-compleja J en D (definición 2.1), para la que se hace el correspondienteestudio de su álgebra lineal. A continuación introducimos sucesiones defibrados susceptibles de contar con suficientes secciones aproximadamenteholomorfas (definición 2.2). Paralelamente se define un elemental procesode simplectización que nos permitirá obtener la teoría a través de un refi-namiento de los de los resultados existentes para variedades casi-complejaspares (teoría relativa).

En la sección 3 definimos (definición 3.1) el modelo local para variedadescasi-complejas (siempre impares salvo que digamos lo contrario), que no essino la versión foliada (con un parámetro real) del disponible para variedadespares. Perseguimos, para todas la secciones y sus asociadas (derivadas covari-antes, proyecciones de las mismas, componentes holomorfas y antiholomor-fas) en la variedad original, calcular todas las estimaciones necesarias paralos pull-backs al citado modelo usando los elementos geométricos del mismo(distribución, normas, distancias, conexiones, estructura casi-compleja J0)–que son fáciles de manejar– y esperamos que las cotas obtenidas sean com-parables a las correspondientes empleando los elementos globales originales.Además queremos que dichos resultados valgan para todos los puntos de My para todo valor de k (que sean uniformes). La razón es que muchas cotas


vendrán multiplicadas por un factor de la forma k−1/2 (por ejemplo la quemide la antiholomorfía de las secciónes), lo que implicara que para k sufi-cientemente grande serán tan próximas a cero como queramos dando lugara las propiedades perseguidas. Todo esto quedará recogido en el conceptofundamental de igualdad o propiedad aproximada (definición 3.6).

Dependiendo de lo que queramos estimar usaremos diferentes cartas enla base (las coordenadas aproximadamente holomorfas de la definición 3.34)e incluso cartas r-comparables (definición 3.4) en el espacio total de los fi-brados.

En el modelo local la distribución D es la integrable por planos horizon-tales. Para estimar distancias entre distribuciones recordaremos los concep-tos de ángulo máximo y mínimo (definiciones 3.10, 3.11).

La posibilidad de elegir cartas con buenas propiedades nos permitirá verque para variedades casi-complejas con sucesiones de fibrados muy amplios,la situación es análoga a la de las variedades calibradas (M,D,ω); la sucesióniFk de 2-formas positivas a lo largo de D tiene propiedades similares a lasque tendría kω, e igual ocurre con los pares (iFk, J) (lema 3.21).

Daremos de modo explícito la definición de sucesión de secciones aproxi-madamente holomorfa (A.H.), así como de sucesión con decaimiento gaus-siano respecto a un punto deM (definición 3.25), y probaremos la existenciade secciones de referencia usando lemas previos que nos ayudarán a compararlas estimaciones usando los elementos del modelo integrable con las realesque usan los elementos originales globales (métrica, conexión, distribución,estructura casi-compleja, derivadas covariantes,...).

Todo lo introducido en esta sección constituyen elementos necesarios parael desarrollo de la teoría intrínseca.

El último apartado de la sección contiene una discusión importante acercade las diferentes teorías intrínsecas aproximadamente holomorfas, dandocondiciones para su equivalencia. La existencia de diferentes teorías es conse-cuencia de que a nivel lineal el espacioD∗ no se ve de modo canónico como unsubespacio de T ∗M . Cada retracción a la proyección canónica T ∗M → D∗

define una teoría diferente.Finalizaremos la sección 3 observando las diferencias entre los elemen-

tos de la teoría intrínseca y los provenientes de la teoría par, trivialmentedisponibles gracias al proceso de simplectización, así como describiendo lateoría correspondiente para sucesiones muy amplias de fibrados de rangoarbitrario.

En la sección 4 introducimos, para una sucesión Ek apropiada de fibradosvectoriales hermitianos sobre (M,D, J), la sucesión de fibrados J rDEk de r-jets pseudoholomorfos (definición 4.1). La definición es, al igual que en casopar, aquella que hace que en el modelo local estemos considerando el fibradode jets holomorfos foliados (en realidad no es la noción usual pues el operador∂ en la carta viene acoplado con una forma de conexión). Notamos que parauna sucesión de secciones de Ek, al definirse los r-jets de modo sucesivo apartir de la parte holomorfa de la derivada covariante, la conexión de Ekentra en juego de modo determinante. Simplemente recordemos que en elmodelo local (Kähler) la noción de función holomorfa no es la usual debido


a la presencia de la forma de conexión. La consecuencia fundamental es quepara la estructura compleja obvia en J rDEk, métrica hermitiana y conexiones,el r-jet de una sucesión A.H. de secciones de Ek no es una sección A.H. deJ rDEk. Solventamos esta pega introduciendo una nueva estructura complejaen el fibrado de r-jets para la que esta propiedad sí se cumple. El resultadofundamental es que si Ek es una sucesión de fibrados para la que la teoría detransversalidad de secciones A.H. es posible (sucesión muy amplia), ocurrelo propio con J rDEk (proposición 4.6).

De modo paralelo introducimos los elementos análogos para la teoría re-lativa. En este caso, para una distribución J-compleja G (una polarización)de la variedad casi-compleja par (M,J), se define de modo natural el subfi-brado J rGEk de J rEk de r-jets a lo largo de G, y se hace lo propio para lasucesión de r-jets a lo largo de G asociada a una sucesión A.H. de seccionesde Ek. Es importante notar en este punto que no pretendemos desarrollar lateoría aproximadamente holomorfa en esta sucesión de subfibrados (lo quesupondría verificar que es muy amplia), sino de modo análogo a como se pro-cede para jets foliados usaremos la submersión natural de J rEk a J rGEk paratrasladar el problema de transversalidad en el subfibrado al correspondienteen el fibrado; por supuesto habrá que comprobar cuándo esto es posible, yque la solución del problema inducido en el fibrado es también la del originalen el subfibrado.

Al igual que para variedades pares, no sólo queremos lograr transversali-dad de sucesiones de secciones de Ek (y J rEk) a la sección 0, sino a (suce-siones de) subvariedades e incluso estratificaciones de los fibrados corres-pondientes. En la primera parte de la sección 5 introducimos la noción de(sucesión de) estratificaciones aproximadamente holomorfas (definición 5.2)–que extiende de modo natural la situación para variedades pares– dándoseuna descripción local de las mismas.

A continuación recordamos el concepto de transversalidad uniforme deuna sucesión de secciones de Ek a la sección 0, y se generaliza de modo obvioa estratificaciones aproximadamente holomorfas. La parte técnica que sigue(apartado 5.2) usa la descripción local para probar que la transversalidaduniforme local a esta clase de estratificaciones equivale a transversalidad es-timada de una función h : Cn × R → Cm a 0 a lo largo de las direccionesholomorfas (de la foliación por hiperplano complejos) (lema 5.9). En estepunto, es necesario un análisis más detallado del concepto de ángulo mínimoy sus variaciones. Es curioso observar que la discusión anterior, en principioorientada a la teoría intrínseca, es perfectamente válida para la teoría rela-tiva. Esto no es sino otro ejemplo de que ambas teorías están basadas enlas mismas ideas pues de alguna manera la teoría intrínseca es también re-lativa con respecto a todas las direcciones del espacio tangente (o si se quireambos modelos locales son versiones foliadas del modelo para variedadescasi-complejas pares).

Es posible debilitar la definición de sucesión de estratificaciones A.H.a la más general de cuasi-estratificación (definición 5.23), de modo que latransversalidad a ella se obtenga mediante los mismos mecanismos. El con-cepto de cuasi-estratificación se introduce para trabajar fundamentalmentecon la cuasi-estratificación de Thom-Boardman-Auroux (apartado 5.3). En


geometría Kähler los espacios vectoriales de secciones de L⊗k (sistemas linea-les completos) son usados para definir del modo obvio aplicaciones a espaciosproyectivos. El análogo a los sistemas lineales de rango m son las sucesionesτk de secciones A.H. de los fibrados Cm+1 ⊗ Lk. Fuera de los puntos queson enviados a la sección 0 (puntos base Ak), dan lugar a una sucesión deaplicaciones A.H. φk : M − Ak → CPm. Es posible tratar de perturbarlaspara hacerlas r-genéricas. Para ello es necesario definir el fibrado (no lineal)de r-jets pseudo-holomorfos JD(M,CPm), y en su espacio total las corres-pondientes estratificaciones análogas a las de Thom-Boardman. En realidad,lo que haremos es usar la submersión obvia Cm+1−0 → CPm para definiruna cuasi-estratificación de J rDEk, que llamaremos de Thom-Boardman-Auroux, de modo que la transversalidad estimada a ésta de los r-jets delas secciones τk, implicará la transversalidad estimada a la estratificación deThom-Boardman de los r-jets de las proyectivizaciones φk. La propia defini-ción de la estratificación de Thom-Boardman-Auroux y las propiedades queconducen a comprobar la holomorfía aproximada de los estratos (también enel caso relativo) son delicadas (proposiciónes 5.24 y 5.25 y lema 5.27). Elproblema fundamental es que para estratificaciones de los fibrados de jetspseudo-holomorfos, el hecho de haber modificado la estructura casi-complejahace que sea realmente complicado comprobar que ciertos estratos son dela clase adecuada para poder lograr transversalidad a ellos (esencialmentela dificultad reside en probar que están localmente definidos por funcionesaproximadamente holomorfas para esta nueva estructura casi-compleja), yen este caso particular es necesario utilizar ideas ad hoc.

La sección 6 contiene la prueba del teorema de transversalidad fuerte parasucesiones de cuasi-estratificaciones A.H. de los fibrados J rDEk, y la versiónrelativa para variedades casi-complejas pares polarizadas (teorema 6.1, coro-lario 6.3). Notamos que la perturbación ocurre a nivel de secciones de Ekde modo que sus r-jets resultan ser transversos (por eso es transversalidadfuerte). Todo los apartados anteriores hacen que se reduzca a un problemade transversalidad estimada para funciones A.H. h : Cn × R → Cm, juntocon un adecuado proceso de globalización. Este último es un pequeño refi-namiento del ya descrito en [32] ó [50] para variedades de contacto, y queextiende trivialmente al enunciado por S. Donaldson [12] (y refinado por D.Auroux [2]).

Quisiéramos hacer en este punto un comentario relativo al teorema detransversalidad local. Dicho resultado se basa en el hecho de que el teo-rema de transversalidad local para funciones A.H. h : Cn → Cm es válidopara familias uniparamétricas. Se verifica porque el parámetro es real. Paraparámetro complejo no es cierto pues al igual que en el caso real la trans-versalidad para jets complejos foliados no se comporta bien con respecto ala propia foliación. Éste es el motivo último de trabajar con distribucionessólo de codimensión 1.

Hay una segunda complicación debida a la no integrabilidad de D. Ve-remos que para obtener transversalidad fuerte a estratificaciones de J rDEk,r ≥ 1, será necesario usar secciones para las que se tenga control sobre todassus derivadas (recogido en el concepto de secciones C≥r+h-A.H.).


Para las construcciones relativas, el resultado local fundamental es unteorema de J. P. Moshen [43] para (sucesiones de funciones) A.H. hk : Cn →Cm y una subvariedad fija Q ⊂ Cn fijada de antemano, que mediante laelección de cartas adaptadas a las subvariedad queda reducido al teorema detransversalidad local para sucesiones de funciones A.H. hk : Cn → Cm.

Comentaremos como la diferente “calidad” de las perturbaciones (mejoren la teoría relativa que en la intrínseca) permite en la primera trabajar consecciones para las que el control no ha de ser tan estricto como en la teoríaintrínseca.

En la sección 7 enunciamos una serie de resultados que se infieren de losteoremas probados.

Las aplicaciones para variedades calibradas que se obtienen a nivel de0-jets son en primer lugar el ya mencionado teorema 1.5, que expresa sim-plemente transversalidad a la sección 0, y el subsiguiente resultado relativoa la existencia de subvariedades determinantales:

Proposición 1.6. (M,D,ω) una variedad calibrada (compacta de tipo en-tero) y L⊗k la sucesión de potencias del fibrado de línea precuantizable.Sean E, F fibrados hermitianos vectoriales con conexión y consideremosla sucesión Ik = E∗ ⊗ F ⊗ Lk. Para k suficientemente grande existen τksucesiones A.H. de secciones de Ik para las que los lugares determinantalesΣik(τk) = x ∈ M | rk(τk) = i son subvariedades calibradas de tipo entero

que estratifican M .

Usando la estratificación de Thom-Boardman-Auroux obtenemos lo quepuede considerarse el resultado fundamental de la teoría aproximadamenteholomorfa para variedades calibradas.

Teorema 1.7. Sea (M,D,ω) una variedad calibrada cerrada de tipo entero.Una vez elegida una estructura casi-compleja compatible J es posible encon-trar aplicaciones genéricas a cualquier CPm.

Como corolario, obtenemos un análogo al teorema de inmersión en proyec-tivos para variedades simplécticas (ya probado para variedades de contactoen [47]).

Corolario 1.8. Sea (M2n+1, D, ω) una variedad calibrada compacta de claseentera. Sea J una estructura casi-compleja compatible con ω. Existe unK ∈ N tal que para todo k ≥ K se pueden encontrar aplicaciones φk : M →CP2n+2 verificando:

• φk es una inmersión (sin autointersecciones) aproximadamente holo-morfa.• [φ∗kωFS ] = [kω], donde ωFS es la forma de Fubini-Study de CP2n+2.

Obsérvese que este resultado –sin hacer referencia a la estructura casi-compleja– se obtiene trivialmente aplicando la teoría de clases característicasjunto con la densidad de las inmersiones (sin autointersecciones) cuando el


espacio de llegada tiene suficiente dimensión. Lo interesante es que si porejemplo tenemos una foliación holomorfa (singular) de CP2n+1, podemosencontrar inmersiones transversas a la misma a lo largo de D y así inducirfoliaciones en M por subvariedades calibradas.

La sección 8 está dedicada al estudio de formas normales para aplicacionesa CP1 y los consiguientes corolarios geométricos para variedades calibradas.

Observemos en primer lugar que incluso en el caso de dimensión par unaaplicación r-genérica aproximadamente holomorfa no tiene porqué tener elmismo comportamiento topológico que una aplicación holomorfa. Obsérveseademás que en caso impar el propio comportamiento de una aplicación holo-morfa genérica no es tan fácil de describir debido a la dirección no holomorfaque no somos capaces de controlar. Aun así, cuando el espacio de llegadatiene dimensión compleja 1, veremos que existe una descripción razonable(además sólo es necesario trabajar con 1-jets). En esta misma situación yen el caso aproximadamente holomorfo, es posible perturbar ligeramente laaplicación 1-genérica φk : M −Zk → CP1 para que tenga los modelos localesadecuados, donde dicha perturbación ocurre en un entorno del lugar de de-generación del 1-jet. Sin entrar en detalles diremos que en esos puntos, queforman una subvariedad de dimensión 1, en principio el tamaño reducido dela parte antiholomorfa de la derivada no da gran información pues la parteholomorfa, que es la componente homogénea de grado 1 del 1-jet, tambiénse anula. La perturbación buscada es aquella que hace que en esos puntostambién la parte antiholomorfa se anule, y por tanto se dispongan de lasmismas formas normales que para funciones holomorfas.

La existencia de formas normales tiene como aplicación la existencia deestructuras de pincel de Lefschetz para variedades calibradas cerradas.

Definición 1.9. Sea (M,D,ω) una variedad calibrada. Una estructura depincel de Lefschetz viene dada por una terna (A, f,B) de modo que:

(1) A es una subvariedad calibrada compacta de M de codimensión real4.

(2) f : M −A→ S2 es una aplicación diferenciable.(3) B, que se define como el conjunto de puntos en los que f no es

una submersión a lo largo de las direcciones de D, es una subva-riedad calibrada de dimensión 1. La imagen por f de cada compo-nente conexa de B es inmersa y las intersecciones son puntos doblestransversos (es decir, f|B es genérica).

Además f verifica:

• Para cada punto a ∈ A existen z1, ..., zn, s coordenadas compatiblescon ω centradas en a y una carta holomorfa de CP1, de modo queen una bola euclídea del dominio de la carta, A viene definido porla ecuaciones z1 = z2 = 0, y fuera de A, f(z, s) = z2

z1 .• Para cada punto b ∈ B existen z1, ..., zn, s coordenadas compatiblescon ω centradas en b y una carta holomorfa de CP1, de modo quef(z, s) = g(s) + (z1)2 + · · · (zn)2, donde g(0) = f(b) y g′(0) 6= 0.


Fuera de los valores singulares f(B), la imagen inversa de cada puntoregular c es una subvariedad calibrada abierta de M − A. Debido al modelolocal en los puntos de A, es obvio que el cierre de f−1(c) es la subvariedadcerrada calibrada f−1(c) ∪A. Nos referimos a esta compactificación como auna fibra de f .

Sin entrar aquí en los detalles acerca de las cartas compatibles con ωde la definición anterior (véase la definición 8.4), enunciamos el siguienteresultado.

Teorema 1.10. Toda variedad calibrada cerrada admite una estructura depincel de Lefschetz.

En la última sección consideraremos el caso específico de foliaciones cali-bradas y las variaciones en la teoría que son propias de este caso.

Finalmente, haremos mención especial al caso 3-dimensional que nossirvió como motivación, reinterpretando para él parte de los resultados obtenidos.

2. Variedades casi-complejas: álgebra lineal, sucesionesmuy amplias de fibrados y simplectizaciones

Definición 2.1. Sea (M,D) una variedad con una distribución diferencia-ble. Una estructura de variedad casi-compleja adaptada a D es un cuarteto(M,D, J, g), donde g es una métrica, J es una estructura casi-compleja enD, y J es g|D-antisimétrica. D ha de ser por tanto de dimensión par.

En lo que sigue y siempre que no haya riesgo de confusión omitiremos lareferencia a D como dato de partida , llamando al cuarteto (M,D, J, g) unavariedad casi-compleja.

La g-antisimetría de J es usada para definir una métrica hermitiana a lolargo de D mediante la fórmula h( ·, ·) = g( ·, ·) + ig( ·, J).

En general D puede tener cualquier dimensión pero para nosotros, yde ahora en adelante, D tendrá codimensión 1 o D será todo el tangente(en cuyo caso haremos mención explícita). Las definiciones que vamos adar extienden aquellas de D. Auroux [4] para variedades casi-complejas dedimensión par. También en el caso impar impondremos compacidad en M(no así en el par). Salvo que digamos lo contrario, de ahora en adelantesiempre que nos refiramos a una variedad casi-compleja ésta será impar.

2. VARIEDADES CASI-COMPLEJAS 23

2.1. Álgebra lineal de variedades casi-complejas

Sea V un espacio vectorial y D un subespacio de codimensión 1 dotadode una estructura casi-compleja J . Estamos interesados en estudiar funda-mentalmente los espacios de r-formas en V que no son triviales cuando selas restringe a D.

Denotemos mediante p : V ∗ → D∗ a la proyección canónica. En V ∗

tenemos el subespacio unidimensional Ann(D), que es el núcleo de p. Con-sideremos V ∗D 6=0, el complementario de Ann(D) en V ∗ al que le añadimos el0 (V ∗ = Ann(D) ∪ V ∗D 6=0, Ann(D) ∩ V ∗D 6=0 = 0).

Podemos considerar igualmente el subconjunto V ∗C,D 6=0 en la complexifica-ción VC, que contiene a los subconjuntos V ∗1,0D 6=0, V

∗0,1D 6=0 formados por 1-formas

cuya restricción a D es (lineal) compleja y (lineal) anticompleja respecti-vamente, y cuyo único elemento comun es 0. Otro modo de definir estossubconjuntos es como la intersección de V ∗C,D 6=0 con las imágenes inversas deD∗1,0 y D∗0,1 respectivamente (mediante p).

Usamos la notación V ∗⊗r := V ∗ ⊗(r)· · · ⊗ V ∗, V ∗r := V ∗

(r)· · · V ∗ para

el producto simétrico, y ∧rV ∗ para el antisimétrico. De nuevo estamos sólointeresados en las formas que no se anulan en D. Es decir, consideremos laproyección obvia pr : V ∗⊗r → D⊗r y llamemos a su núcleo Annr(D). A launión de su complementario con el 0 la denotamos mediante V ∗⊗rD 6=0. Podemosdefinir un par de subconjuntos V ∗rD 6=0 y ∧rV ∗D 6=0 de r-formas simétricas yantisimétricas respectivamente, que por definición son la imagen inversa enV ∗⊗rD 6=0 de D∗r y ∧rD∗. Si complexificamos, cada subconjunto V ∗⊗rC,D 6=0 (resp.∧rV ∗C,D 6=0) admite a su vez otros subconjuntos (con intersección el 0) deacuerdo con los tipos determinados por la estructura casi-compleja.

Asociadas a variedades calibradas definiremos secciones σ, por ejemplode los fibrados D∗C, y estaremos interesados en tomar derivadas covariantesde las mismas. Lo lógico es usar la derivada de Levi-Civita en T ∗M asociadaa la métrica. Para ello, lo razonable es asignar a σ una sección de T ∗CM , quenecesariamente estará en T ∗MC,D 6=0, y derivar esta última. Por supuesto, elresultado dependerá del levantamiento elegido.

Una manera de elegir estos levantamientos es seleccionar una retraccióni : D∗ → V ∗ para p, que de modo canónico define también retracciones parapr. Si en V hay definida una métrica, asociada a ésta se tiene una retracción icuya imagen denotamos mediante D∗ (las formas anulándose en el ortogonala D, que denotamos mediante 〈 ∂∂s〉).

Sea i cualquier otra retracción, cuya imagen denotamos mediante D∗. Demodo natural se tienen retracciones ir, ir para pr.

Partiendo de la descomposición V ∗ = D∗ ⊕ Ann(D), D∗ se puede rep-resentar como el grafo de una aplicación lineal l : D∗ → Ann(D), (D∗ =(I + l)(D∗)), y una cota para la norma de l vendrá dada por un cota in-ferior para el ángulo ∠(D∗,Ann(D)). A su vez, l induce una aplicaciónlr : D∗⊗r → Annr(D) tal que (I + lr)(D∗⊗r) = D∗⊗r.


Para los subespacios vectoriales D∗⊗r y D∗⊗r y sus complexificacionespodemos definir los subespacios de formas simétricas y antisimétricas comosu intersección los conjuntos V ∗rD 6=0 y ∧rV ∗D 6=0, o equivalentemente como lasformas en estos subespacios que restringidas aD son simétricas y antisimétri-cas respectivamente. Lo mismo podemos hacer en las complexificaciones paradefinir los subespacios asociados a los tipos que define la estructura casi-compleja en D. En cualquier caso, mencionamos que la restricción de pr aD∗⊗r y D∗⊗r (y sus complexificaciones), las inclusiones ir, ir, y la aplicaciónI + lr : D∗⊗r → D∗⊗r preservan todos estos subespacios.

Insistimos en que las componentes respecto de ambas descomposicionesestán relacionadas por la aplicación lineal I+lr. Por ejemplo si α ∈ T ∗M , de-notamos a su proyección en D∗ por α|D (evaluación en D), a su componenteen D mediante αD, y la parte en D por αD. Para calcular αD a partir de αDde modo explícito, consideramos una 1-forma ds que se anule en D y valga 1sobre un vector ∂

∂s ortogonal a D. A continuación elegimos un vector vk ∈ Dtal que D = Ann( ∂∂s +vk). Es fácil comprobar que αD = αD−α(vk)ds (resp.α1,0

D= α1,0

D − α1,0D (vk)ds, α

0,1

D= α0,1

D − α0,1D (vk)ds).

Es claro pues que la cota para la norma de l implica la existencia de unaconstante κ positiva tal que:

• |αD| ≤ |αD|, |α∗1,0D | ≤ |α1,0

D|, |α∗0,1D | ≤ |α0,1

D|.

• |αD| ≤ κ|αD|, |α1,0

D| ≤ κ|α∗1,0D |, |α0,1

D| ≤ κ|α∗0,1D |.

También hacemos notar que para β ∈ V ∗⊗rC , existe un modo explícitopara calcular βD en función de βD sin más que generalizar la construccióncitada para r = 1.

2.2. Fibrados muy amplios

Para controlar las propiedades geométricas deD, en principio localmente,pero como más tarde se verá globalmente, vamos a pedir la existencia de una2-forma cerrada que la domine. Siendo más concretos, dicha forma será lacurvatura de un fibrado de línea hermitiano. Cuando D = TM éste es elconcepto de fibrado amplio ya discutido en [4] y que pasamos a generalizaral caso impar del modo natural.

Definición 2.2. [3] Dados c, δ números reales positivos, un fibrado de líneahermitiano con conexión unitaria (L,∇) sobre (M,D, J, g) es (c, δ)-D-amplio(o simplemente amplio) si su curvatura F verifica que iF (v, Jv) ≥ cg(v, v),∀v ∈ D (y por tanto es no degenerada y un elemento de ∧2T ∗MC,D 6=0), y|F|D − F

1,1|D |g ≤ δ, donde la norma usada es la del supremo.

Una secuencia (Lk,∇k) de fibrados de línea hermitianos con conexiónunitaria es asintóticamente muy amplia (o simplemente muy amplia) si exis-ten constantes fijas δ, (Cj)j≥0 y una secuencia ck → ∞, tal que a partir deun cierto natural K, las curvaturas Fk verifican:

(1) iFk(v, Jv) ≥ ckg(v, v),∀v ∈ D

2. VARIEDADES CASI-COMPLEJAS 25

(2) |Fk |D − Fk1,1|D |g ≤ δc

1/2k

(3) |∇jFk|g ≤ Cjck,

Observación 2.3: Como iFk ∈ ∧2T ∗MC,D 6=0, prácticamente queda determi-nada por su restricción aD. Al tenerD codimensión 1, existe necesariamenteun subespacio kerFk de dimensión 1 transverso a D, tal que si Rk ∈ kerFk,Fk(Rk, ·) = 0.

De ahora en adelante denotaremos mediante i a la retracción asociadaa kerFk, a la que también llamaremos retracción asociada a las curvaturaso a ωk := iFk. Su imagen será denotada por D∗ (las retracciones cambiancon k, pero omitimos dicha dependencia en la notación). Recordamos quei sigue siendo la retracción asociada a la métrica. Es evidente que iFk =iFk,D. Así, la condición |iFk |D− iFk

1,1|D |g ≤ δc

1/2k es equivalente a que para la

descomposición iFk,D = iF 2,0

k,D+ iF 1,1

k,D+ iF 0,2

k,D, las normas |iF 2,0

k,D|g, |iF 0,2

k,D|g

estén mayoradas por O(c1/2k ). Tal y como vimos en el apartado 2.1, esto es

equivalente a que para cualquier retracción i, las componentes (0, 2) y (2, 0)de la proyección de la curvatura en i(D∗C) a lo largo de Ann(D) sean de esemismo orden. En particular, este será cierto para la descomposición asociadaa la métrica.

Si seleccionamos una familia diferenciable de cartas los cálculos anteriorespueden hacerse usando la métrica euclídea en el dominio de dichas cartas; elresultado son la misma clase de cotas pero con constantes c′k = Cck, C > 0.

El verdadero significado de las cotas anteriores se comprende tras reescalarla métrica g definiendo la familia gk := ckg (o equivalentemente contrayendolas cartas por el factor c−1/2

k ). Se obtienen cotas iFk(v, Jv) ≥ gk(v, v), ∀v ∈D, |Fk |D − Fk

1,1|D |gk ≤ δc

−1/2k , |∇jFk|gk ≤ Cjc

−1/2k , donde las constantes

se transforman en CjCc′k−1/2 en las cartas reescaladas si usamos la métrica

euclídea (en realidad las cotas son mejores en (3) pues ∇r(iFk) es una (r+2)-forma, pero el exponente −1

2 será suficiente para nuestros propósitos).En las aplicaciones el punto de partida es una variedad calibrada de clase

entera con una estructura casi-compleja J compatible. Se usa la 2-formacerrada ω que domina para definir el fibrado precuantizable (L,∇) cuyacurvatura es −iω. Dicho fibrado es (1, 0)-amplio y sus potencias tensorialesL⊗k definen una sucesión de fibrados de línea muy amplia.

Para variedades calibradas (impares), al ser la secuencia de curvaturasproporcional los núcleos coinciden y por tanto la escisión TM = D ⊕ kerFkno depende de k. Ello nos permite definir la métrica g usando ω y J a lolargo de D, y declarando el núcleo de ω como ortogonal a D. En el casogeneral esta secuencia de núcleos no tiene por qué ser ortogonal a D (estoúltimo no es necesario para que la teoría funcione).

Pese a que nuestra elección de retracción es la asociada a la métrica, parallevar a cabo construcciones locales no tiene tan buenas propiedades como laasociada a las curvaturas (al menos a primera vista). Esta última retracciónha de considerarse un elemento auxiliar pues las nociones a las que da lugarno son tan naturales como las asociadas a la de la métrica. Es necesario


añadir en este punto que diferentes retracciones darán lugar a diferentesnociones de sucesiones de secciones A.H., con lo que puede ocurrir que de-terminadas escisiones den lugar a teorías “ricas” (con muchas secciones A.H.)mientras que para otras escisiones no podamos concluir lo propio. Veremosque en el caso de las escisiones asociadas a la métrica y las curvaturas, lascorrespondientes teorías A.H. resultarán ser fuertemente equivalentes (lema3.30).

2.3. La teoría relativa

Además de la teoría intrínseca para variedades calibradas es posible de-sarrollar una teoría similar usando una construcción relativa para variedadessimplécticas. Para ello es necesaria una generalización de ciertos elementosde la teoría simpléctica que permiten dar un tratamiento especial a partede las direcciones holomorfas, y con la que se logrará reducir el problema alteorema de transversalidad relativa local de J.-P. Mohsen [43]. Dicha gene-ralización será parte del contenido de la presentente sección, así como de lassecciones 4, 5 y 6.

Ambas teorías tienen como corolario los mismos resultados geométricos,pero las complicaciones técnicas de la intrínseca son mucho mayores. Unasegunda ventaja de la teoría relativa en la que no profundizaremos en estatesis, es que posibilita construcciones relativas para (M,N,ω), donde (M,ω)es una variedad simpléctica cerrada de tipo entero y N es o bien una subva-riedad simpléctica, o bien una subvariedad calibrada (por ω).

Definición 2.4. Una polarización de una variedad casi-compleja (M,D, J, g)es una distribución J-compleja G ⊂ D. En tal situación hablamos de unavariedad casi-compleja polarizada.

Aunque la teoría que desarrollaremos es válida para cualesquiera varieda-des casi-complejas polarizadas, siempre que nos refiramos a éstas asumiremosque tienen dimensión par. El lector interesado podrá comprobar fácilmentela validez de esta afirmación.

Las variedades calibradas (M,D,ω, J) (en principio co-orientadas) puedenser “simplectizadas” de modo no canónico (usando por ejemplo una métricasí es canónico). Para ello elegimos una 1-forma β cuyo núcleo sea D. EnM × [−1, 1] definimos Ω = ω + d(tβ), donde ω (resp. β) es el pullback de la2-forma (resp. 1-forma) en M , y t la coordenada en (−1, 1). Se compruebaque Ω es no degenerada en M × [−ε, ε]. Extendemos J de modo que enviael vector unitario ortogonal a D con orientación positiva a ∂

∂t , y haciéndoloindependientemente de la coordenada t. Igualmente, D se extiende a una po-larización de codimensión 1 (compleja) independiente de t, y g a una métricapara la que ∂

∂t es ortogonal aM×t (conservamos la notación original paralas extensiones). De hecho esta métrica sólo es adaptada en M × 0, peroverifica Ω(v, Jv) ≥ ag(v, v) para cierta constante a > 0, lo cual es suficientepara nuestros propósitos. El fibrado tangente deM× [−1, 1] es suma directa

3. TEORÍA LOCAL 27

de los subfibrados complejos D y D⊥, donde la perpendicularidad se refiereo bien a la métrica extendida o bien a la métrica hermitiana inducida (puesla extensión de J es g antisimétrica).

Si lo que tenemos es una sucesión (Lk,∇k) → (M,D, J, g) de fibradosmuy amplia, con la extensiones citadas de J y g, haciendo pullback de lasucesión Lk a M × [−1, 1] y usando las conexiones ∇k := ∇k + itβk, conβk := ckβ (siendo más estrictos consideramos el pullback de (Lk,∇k) y setensoriza con el fibrado trivial con forma de conexión itβk), obtenemos unasucesión de fibrados muy amplia. En realidad, de los tres términos de lacurvatura –Fk, idt ∧ βk , itdβk– es este último el que nos obliga a trabajarpara cada k en la variedad M × [−εk, εk], con εk := ckε (pues en esa regióntiene g-norma de orden c1/2

k ). Siendo precisos es necesario –al menos para laconstrucción inicial de secciones de referencia– trabajar para todo k en unentorno fijo de la formaM× [−ε, ε]; en dicha construcción la condición (2) dela definición 2.2 sólo se emplea en el punto en donde la carta está centrada,dónde sí se verifica.

Por tanto, vemos que a partir de una sucesión muy amplia de fibra-dos de línea sobre una variedad casi-compleja impar (M,D, J, g) podemosasociar (de modo canónico) una sucesión muy amplia de fibrados de líneasobre una sucesión de variedades casi-complejas pares polarizadas (M ×[−εk, εk], J, g,D) (ó M × [−ε, ε], según lo que queramos obtener).

3. Teoría local: Modelos locales, cartas adaptadas y sec-ciones de referencia

3.1. El modelo local

En el caso de dimensión par (y sin polarización), el modelo de referenciaes el de los fibrados de línea positivos sobre variedades Kähler, y la filosofíageneral es que cualquier desviación del modelo Kähler local cuyo tamaño– una vez se reescala con factor c−1/2

k y empleando la métrica euclídea en unabola euclídea de radio O(1)– es menor que O(c−1/2

k ), todavía hace posiblela construcción de “suficientes” secciones aproximadamente holomorfas. Laprimera desviación y más esencial es la de la estructura casi-compleja.

Sin ser muy precisos de momento diremos que una sucesión de seccionesde un determinado fibrado o, más generalmente, otros objetos como distribu-ciones, satisfacen una propiedad en el sentido aproximado, si para todo kmayor o igual que algúnK la desviación a la hora de cumplir dicha propiedad(normalmente dada en términos de una igualdad) es, medida en la métricagk, a lo sumo del orden O(c−1/2

k ). Es posible también hablar de propiedadeslocales en el sentido aproximado. En particular para una elección de cartascoordenadas centradas en cada punto, podemos elegir en cada carta “modeloslocales” con los que comparar. Un ejemplo de la citada situación es el de una


estructura casi-compleja arbitraria J (pensada como sucesión constante). Sise la compara en cartas adecuadamente elegidas con una integrable J0, re-sultará estar a distancia menor de O(c−1/2

k ) (medida del modo adecuado), ypor tanto diremos que es aproximadamente integrable.

Otra desviación permitida es considerar conexiones cuya curvatura esaproximadamente de tipo (1, 1) (la condición (2) en la definición 2.2, que yaaparece en [3]). En realidad como en el caso integrable dar una conexiónunitaria con curvatura de tipo (1, 1) es equivalente a poner una estructuracompleja integrable en el espacio total del fibrado, una vez que se permiteintegrabilidad aproximada en la base parece razonable debilitar también losrequerimientos para el espacio total.

En el caso de dimensión impar el modelo global (es decir, la situaciónen la que J , D son integrables) es una variedad con una foliación por hojascomplejas de codimensión (real) uno. Es más, realmente es suficiente con unmodelo local. Para él pedimos la existencia de cartas Cn×R adaptadas a lafoliación en las que la estructura compleja en las hojas C× s es integrabey constante con respecto a la coordenada real o coordenada vertical. Encuanto al fibrado de línea la curvatura de la conexión tiene que ser positivaen cada hoja y ha de definir, en las cartas anteriores, una estructura complejaintegrable constante en la coordenada vertical (usando una trivializaciónadecuada del fibrado); dicho de otro modo, la curvatura tiene que ser detipo (1, 1) e independiente de la coordenada vertical.

Análogamente al caso par podemos permitir estructuras casi-complejasque sean integrables y e independientes de la coordenada real en el sen-tido aproximado, e igualmente conexiones con curvaturas aproximadamentede tipo (1, 1). Pero al igual que ocurre con las estructuras casi-complejas,toda distribución D ⊂ TM (pensada como sucesión constante) es aproxi-madamente integrable, i.e., para una elección de cartas apropiadas y unafoliación modelo adecuada, la distancia entre D y la foliación modelo es deorden O(c−1/2

k ). Por tanto tiene sentido considerar distribuciones D en vezde foliaciones. En realidad hay un punto delicado que conviene clarificar. Sipretendemos obtener una teoría análoga a la de dimensión par pero foliada,en el modelo local integrable sólo nos interesa que la restricción a cada hojade la curvatura sea de tipo (1, 1) y que no dependa de la coordenada verticals. Por los resultados del apartado 2.1, las dos condiciones citadas equivalena que para cualquier retracción independiente de la coordenada vertical, lacorrespondiente proyección de la curvatura tenga estas dos propiedades. Di-cho de otro modo, en nuestro modelo no es estrictamente necesario que ladirección vertical generada por ∂

∂s esté en el núcleo de la curvatura, i.e.,no es problemático que la curvatura tenga componente vertical (la que in-cluye al factor ds) no nula. Aun así, reiteramos que disponer de esta últimapropiedad es muy conveniente para los cálculos locales

Un último modo de resumir lo anterior es decir que la teoría impar lo-cal modelo es una teoría foliada que no lleva asociada la elección de unadistribución unidimensional transversa.

En presencia de una polarización G ⊂ TM , el correspondiente modelosería el ya descrito pero con una foliación holomorfa suplementaria G cuyo

3. TEORÍA LOCAL 29

ortogonal hermitiano es también integrable, con cartas locales de modo queCn descompone como Cg ×Cn−g, correspondiendo a las foliaciones G ×G⊥h ,y verificándose que la estructura compleja restringidas a las hojas de G nodependen de las coordenadas distinguidas zg+1, ..., zn (y que la curvatura espositiva en las hojas de G).

Por lo dicho anteriormente sobre la integrabilidad aproximada de cualquierdistribución, es lógico que en la definición de variedad casi-compleja polari-zada G pueda ser una distribución casi-compleja cualquiera.

Es necesario hacer notar que la teoría relativa se aplicará a variedadescasi-complejas pares con sucesiones de fibrados (en principio de línea) muyamplios. Las polarizaciones serán un elemento auxiliar a las que se asociaráotras sucesiónes de fibrados muy amplios. Para poder encontrar aplicacionesde la teoría en estos fibrados necesitaremos ciertas descripciones locales queincluyen a la polarización.

Definición 3.1. El modelo Kähler, o plano, o integrable es el dominio Cn×Rcon coordenadas z1, ..., zn, s, con la estructura compleja J0 standard a lolargo de las hojas y la métrica euclídea g0. En cuanto al fibrado de línea, tieneque admitir una trivialización unitaria de modo que la forma de conexióntenga la expresión A0 = 1

4(∑n

j=1 zjdzj− zjdzj). En tal situación la curvaturaes −iω0 = 1

2

∑nj=1 dzj ∧ dzj (!no su restricción a cada hoja¡) y su núcleo por

tanto es la dirección vertical. La métrica euclídea está determinada en cadahoja pues g0(·, ·) = ω0(·, J0) (y el ortogonal a la distribución horizontal vienedada por kerω0). La foliación holomorfa con hojas Cn × s es llamadafoliación horizontal y se denota por Dh.

Si hay una polarización se pide una descomposición Cn = Cg × Cn−g

Para una sucesión ck → ∞ el modelo reescalado es aquel con la mismacarta y estructura compleja, métrica gk = ckg0 y forma de conexión Ak =ckA0. Se comprueba que la contracción del dominio con factor c−1/2

k lleva elmodelo plano en el modelo reescalado.

Notamos que en nuestro modelo Kähler pedimos una condición para ω, yno para su restricción a las hojas. Podríamos haber considerado una defini-ción más débil tomando la 2-forma foliada, e incluso considerar en vez de2-formas cerradas globales, 2-formas foliadas cerradas. Localmente no hayproblema en proceder así, pero sí globalmente: para una 2-forma foliadacerrada no existe fibrado precuantizable en el que buscar secciones aproxi-madamente holomorfas (en realidad hay un tipo de estructuras de Poissonpara las que sí hay fibrado, pero no forma de conexión cuya curvatura sea alo largo de las hojas la estructura de Poisson).

Tendría sentido debilitar la condición relativa a la curvatura si pudiése-mos lograr así otra propiedad interesante. Por ejemplo hacer que la direcciónvertical fuese la ortogonal a la distribución para la métrica inicial g; peroesto no es posible lograrlo en general mientras que sí seremos capaces deobtener cartas muy parecidas al modelo local descrito.


3.2. Cartas adaptadas, cartas r-comparables e igualdades enel sentido aproximado

Un elemento esencial de la teoría es mostrar la existencia de cartas ytrivializaciones de Lk que coinciden aproximadamente con el modelo plano.También es necesario dar una definición más precisa de lo que es una sucesiónaproximadamente plana de objetos (secciones, distribuciones,...).

En primer lugar trataremos el caso del espacio base (M,D, g) sin referen-cia alguna ni a la estructura casi-compleja ni a los fibrados. El motivo es queestamos interesados en encontrar determinadas cotas para una secuencia desecciones y sus derivadas covariantes, y pretendemos poder computarlas endichas cartas usando la métrica y distancia euclídea, así como su derivadacovariante asociada d (y también la escisión en coordenadas horizontales yvertical).

De hecho, podemos suponer como dato la sucesión de variedades rieman-nianas (M,D, gk), con gk := ckg.

Definición 3.2. Dada (M,D, gk), una familia adaptada de cartas es unconjunto de aplicaciones ψk,x : (Cn×R, 0)→ (Uk,x, x), para (k, x) ∈ N×M ,que verifican:

(1) ψ∗k,xDx = Dh(0)(2) Para k mayor que algún K, existen constantes γ, ρ0 > 0, con

1γ g0 ≤ gk ≤ γg0, y tal que |∇jψ−1

k,x|gk ≤ O(1) en Bg(x, ρ0c1/2k ).

En particular ∃ρ > 0 tal que 1ρdk(x, y) ≤ |zik(y)| ≤ ρdk(x, y),

1ρdk(x, y) ≤ |sk(y)| ≤ ρdk(x, y) en la misma bola, donde z1

k, ..., znk , sk

son las funciones coordenadas para las cartas ψk,x. De ello sesigue en particular que Bgk(x, rρ) ⊂ ψk,x(Bg0(0, r)) ⊂ Bgk(x, ρr),

r ∈ (0, c1/2k ).

Las derivadas de ψ−1k,x de la condición (2) en la definición 3.2 se computan

usando la conexión de Levi-Civita asociada a g, y dk es la distancia asociadaa gk.

El enunciado que relaciona la gk-distancia y la norma (distancia g0) im-plica que las medidas de una sección en una determinada bola Bgk(x, 2ρ)son –salvo una constante C1 independiente de k y x– aquellas del pullbackde la sección sobre la bola euclídea B(0, 1) y usando g0. La situación essimilar para las derivadas covariantes. Las cotas en las derivadas covariantesde ψ−1

k,x (que a su vez equivalen a cotas en la derivada de ψ−1k,x y en los sím-

bolos de Christoffel y sus derivadas usuales en la carta) implican que cotasen norma Cr del pullback de la sección de orden O(c−1/2

k ) con respecto ala conexión plana d y medidas con g0, son equivalentes a la misma clase deCr-cotas para la sección usando la conexión de Levi-Civita asociada a gk (óg) y midiendo con la métrica gk. Es más, para polinomios Pr, Cr-cotas deorden Pr(dk(x, y))O(c−1/2

k ) en una bola de g-radio fijo centrada en x me-didas usando la conexión de Levi-Civita asociada a gk y la métrica gk, son

3. TEORÍA LOCAL 31

equivalentes a cotas Qr(|(zk, sk)|)O(c−1/2k ), donde Qr es otro polinomio y las

cotas se han obtenido para el pullback de la correspondiente sección en unabola euclídea de radio O(c1/2

k ) usando la métrica euclídea y la derivada d (esdecir, todos los elementos métricos asociados al modelo plano).

Siempre se pueden encontrar cartas adaptadas. Basta hacerlo para ψ1,x

(fijamos c1 = 1 de modo que g1 = g), lo cual es elemental: se construyencartas dependiendo de modo diferenciable en x y haciendo queD coincida conDh en el origen. Finalmente, se reescalan las cartas obteniendo coordenadaszk = c

1/2k z, sk = c

1/2k s.

El único punto a comentar es que para que las distancias asociadas ag y g0 sean comparables no es necesario que las métricas coincidan en elorigen. De hecho abundaremos en este tema en el próximo punto, en el queintroducimos una clase de cartas con propiedades un tanto más débiles quelas cartas adaptadas.

Cartas r-comparables. Como ya comentamos, las cartas adaptadas son unaherramienta útil para hacer ciertas estimaciones usando la métrica y conexióneuclídea. Dependiendo de las estimaciones que queramos hacer podemosestar interesados en garantizar la existencia de otro tipo de cartas.

Sea A un endomorfismo invertible del espacio euclídeo n-dimensional.Denotemos por A(Sn−1) el elipsoide imagen de la esfera unidad. Una normavectorial para A viene definida por el máximo de las normas de los vectoresen A(Sn−1) (la de su mayor singular), que denotamos mediante ||A||. Lanorma de la inversa resulta ser 1/d(A(Sn−1), 0).

Una acotación por una constante γ tanto para A como para su inversaserá denotada mediante 1

γ ≤ ||A|| ≤ γ. Lo cierto es que para acotar Ainferior y superiormente basta encontrar una de las cotas para A y la otrapara det(A), pues el determinante es el volumen del elipsoide (se pasa de unacota para la norma a otra para el determinante y viceversa usando ciertasfunciones que sólo dependen de la dimensión).

En caso de tener una métrica g podemos escribir la correspondiente ma-triz Ag en términos de una base euclídea ortonormal e1, ..., en (Ag,ij =g(ei, ej)).

Definición 3.3. Definimos ||g|| como la norma de Ag en una base euclídeaortonormal cualquiera. Se comprueba que la norma así definida no dependede la base elegida. La expresión 1

γ ≤ ||g|| ≤ γ será equivalente a 1γ ≤ ||Ag|| ≤

γ (también usaremos 1γ g0 ≤ g ≤ γg0, tal y como hicimos en el punto (1) de

la definición 3.2).

Se puede usar una noción diferente de norma para g tomando la normaeuclídea de una transformación enviando una base g-ortonormal en una baseeuclídea ortonormal. De nuevo no depende de la elección de bases.

Es posible ir de cotas inferiores y superiores para una de las normasa la otra: si Ag es la matriz simétrica representando la forma bilineal gy Q una transformación enviando una base g-ortonormal a una euclídea


ortonormal, se tiene A = QQt. Como consecuencia es suficiente relacionaruna de las cotas y hacer lo propio con la otra mediante el determinanteusando la relación det(A) = det(Q)2.

Si miramos a las métricas como formas bilineales, otra noción de cotasinferiores y superiores para g es la existencia de una constante γ tal que1γ ≤ g(v, v) ≤ γ, donde v es un vector de la esfera euclídea unitaria.

Estos tres modos de acotar una métrica inferior y superiormente sonequivalentes en el sentido de que existen funciones dependiendo sólo de ladimensión del espacio que transforman cotas de una de las definiciones encotas para cualquiera de las otras.

Definición 3.4. Sea (gα)α∈Λ una familia de métricas definidas en un en-torno Uα del origen de Rn. Se dice que la familia (gα)α∈Λ es comparable conla euclídea si existen números positivos γ, ρ0 de modo que Bg0(0, ρ0) ⊂ Uα y1γ g0 ≤ gα ≤ γg0 en todo punto de Bg0(0, ρ0) y para todo α.

Para cualquier r ∈ N+, decimos que la familia es comparable con laeuclídea a orden r si es comparable y la norma de los símbolos de Christoffel–computados con la base ortonormal paralela usual– y la de sus derivadasparciales hasta orden r − 1 están acotadas por γr en todos los puntos de labola Bg0(0, ρ0) y para todo α.

Observación 3.5: En general para una variedad abierta fija, la existencia decartas centradas en cada punto x ∈M de modo que el pull-back de g a cadacarta de lugar a una familia de métricas gx comparable a la euclídea no esautomática. Una condición suficiente es la existencia de cotas globales parael tensor curvatura. La razón es que si por ejemplo se pretenden usar coorde-nadas normales, necesitamos información sobre la curvatura para entenderla diferencial de la exponencial según nos alejamos del punto del que emanala carta.

La clase de familia que tenemos en mente es Λ = x ∈∐k∈NMk,

donde (Mk, gk) es una familia de variedades riemannianas. En particu-lar, si (Mk, gk) = (M, ckg), con M compacto, es fácil construir familiasr-comparables de cartas (en este caso los requerimientos no son para todo(k, x) sino para todo (k, x) con k mayor que un cierto K).

La primera propiedad que nos interesa aquí es que para una familia defunciones fα definidas en cartas r-comparables, cotas de orden O(1) para∇r−1gα f en Bg0(0, ρ0) equivalen a cotas del mismo orden para las derivadas

parciales de fα hasta orden r − 1. También para cartas comparables, tal ycomo indicamos al final del apartado anterior, podemos usar g ó g0 indistin-tamente, e igualmente con sus distancias asociadas.

En segundo lugar y para r ≥ 1, si tenemos un subespacio lineal V ⊂Bg0(0, ρ0) podemos comparar entornos tubulares de V para g y g0. Y loque es más importante, en estos entornos podemos comparar el transporteparalelo de V usando ambas métricas. El motivo es que dicho transporte estácontrolado por los símbolos de Christoffel; una cota para ellos nos permiteestudiar cómo las geodésicas transversales a V difieren, y cuánto modifica V(como tangente al propio V en cada uno de sus puntos) el transporte paralelo

3. TEORÍA LOCAL 33

a lo largo de las geodésicas según éstas evolucionan (de hecho a lo largo decurvas cuyas primeras y segundas derivadas tengamos controladas).

Retomamos nuestra variedad casi-compleja (M,D, J, g) y las cartas adap-tadas.

Además de ser un instrumento útil para estimar tamaños, las cartas adap-tadas nos permiten dar tanto una caracterización de igualdades/propiedadesaproximadas, como una definición precisa cuando comparamos con modeloslocales. Obsérvese que la definición dada al inicio del apartado 3.1 es válidacuando comparamos con objetos definidos globalmente pero no es del todoprecisa cuando tenemos que comparar, por ejemplo, distribuciones en la va-riedad con otras distribuciones planas/integrables que sólo están definidaslocalmente usando cartas.

Nuestro objetos serán secciones de determinados fibrados. Más concre-tamente serán sucesiones de secciones de fibrados ortogonales o hermitianos,cuyo prototipo es la sucesión E ⊗ (F ⊗ Lk), donde (Lk,∇k) es una suce-sión muy amplia de fibrados de línea, (F,∇) un fibrado hermítico arbitrarioy E es un fibrado construido a partir de TM mediante complexificación,dualización, sumas directas, productos tensoriales, productos simétricos yantisimétricos (estos dos últimos en los factores asociados a T ∗M). Pode-mos reemplazar E por el fibrado construido con las mismas operaciones peroempezando con D en vez de TM . De nuevo, como querremos estimar normaspara sus derivadas necesitaremos verlo como un subfibrado de E; usaremosla notación ED (resp. ED) si usamos la escisión dada por la métrica (resp.las curvaturas) con la conexión obvia inducida por la de Levi-Civita. Elsubfibrado ED (resp. ED) tiene un subfibrado canónico complementario enE, sin más que considerar la correspondiente dirección complementaria a Den TM y Ann(D) en T ∗M .

Un primer ejemplo es el tensor J ∈ Γ(D ⊗ D∗), donde la sucesión defibrados es constante. Una vez extendido por ceros, dará lugar a los tensoresJk ∈ Γ(D ⊗ D∗) ⊂ TM ⊗ T ∗M (una sucesión que no varía con k) y Jk ∈Γ(D ⊗ D∗) ⊂ TM ⊗ T ∗M (esta vez la sucesión sí varía con k). A la horade tomar las sucesivas derivadas tenemos, en cada uno de los dos casos,dos opciones. La primera es ir tomando derivadas sucesivas (derivada enE), y la segunda es usar la correspondiente escisión para proyectar sobre elsubfibrado correspondiente (paralelamente al complementario) y ahí tomarla siguiente derivada (derivada en ED o en ED). Los cuatro procesos dannormas diferentes, pero veremos que bajo una determinada condición –quenuestros tensores siempre cumplirán– las estimaciones que perseguimos seránequivalentes tanto para la derivada en ED como para la derivada en E, ypara ambas extensiones. Si no indicamos lo contrario usaremos la derivadaen E.

Las sucesiones de tensores de fibrados E (resp. ED o en ED) vendránasociadas a información de la variedad base (M,D, J, g), sin hacer referenciaa sucesiones de fibrados amplias.

Un segundo ejemplo viene dado por una sucesión de secciones τk de Lk.Si derivamos, obtenemos ∇τk ∈ Γ(T ∗M ⊗ Lk). Su restricción a D tendrácomponente antiholomorfa que se puede ver como una sección de D∗0,1⊗Lk.


Definición 3.6. Sea Ek una sucesión de fibrados unitarios u ortogonales conconexión compatible ∇, y sea Tk una sucesión de secciones de los mismos.

Se dice que Tk se anula en sentido aproximado (o que es aproximadamentenulo) hasta orden r, y se denota mediante Tk ur 0, si para todo k mayor queun cierto K las siguientes desigualdades son satisfechas:

|∇jTk|gk ≤ O(c−1/2k ), j = 0, ..., r,

donde las derivadas de orden superior usan la conexión de Levi-Civita enT ∗M .

Cuando la propiedad anterior es cierta para todo r hablamos de igualdadaproximada y lo denotamos por Tk u 0.

Observación 3.7: En primer lugar, observamos que si Ek es una sucesiónconstante E (resp. ED o en ED) como las descritas anteriormentes, una vezelegida una familia de cartas adaptadas el enunciado anterior es equivalentea

| ∂|p|

∂xpk(ψ∗k,xTk)|g0 ≤ O(c−1/2

k ), p = (p1, ..., p2n+1), |p| = p1+· · ·+p2n+1, |p| ≤ r,

en los puntos deBg0(0, O(1)) independientemente de k y x, donde x1k, ..., x

2n+1k

son las coordenadas. Además si los tensores Tk son secciones del subfibradoED (resp. ED), se puede dar una definición análoga usando la derivadacovariante en ED (resp. en ED). Veremos más adelante que bajo ciertascondiciones que nuestros tensores siempre cumplirán ambas definiciones sonequivalentes.

Usaremos familias de cartas adaptadas con propiedades adicionales.

Definición 3.8. Una familia de cartas es adaptada a g cuando además deser cartas adaptadas, el campo de vectores ∂

∂skgenera el ortogonal a D.

Similarmente, hablamos de cartas adaptadas a ωk cuando ∂∂sk

genera elnúcleo de ωk (para k suficientemente grande).

Es evidente que siempre se puede disponer de cartas adaptadas a g puesla escisión dada por la métrica no varía con k. Basta obtenerlas para k = 1y reescalar.

Para demostrar la existencia de cartas adaptadas a ωk es necesario vercuál es la relación entre ambas escisiones. Dicha relación está codificada enlas cotas impuestas en ωk, que controlan la variación de kerωk. En cualquiercaso recordamos que para variedades calibradas ambas coinciden.

Llamemos Rk a un vector gk-unitario en el núcleo de ωk. Dicho vector(salvo signo) será en principio local, si la variedad no es co-orientada. Eldominio Cn × R de una carta ψk,x, por ejemplo adaptada a g, tiene unaorientación natural definida mediante la de Cn más el campo local ∂

∂sk. Si

(M,D, J, g) está orientada, se pueden tomar las cartas de modo que la an-terior orientación local coincida con la de la variedad. Por tanto, en dicho

3. TEORÍA LOCAL 35

caso Rk tendrá componente vertical positiva. En el no orientable, si quere-mos eliminar la ambigüedad elegimos Rk localmente con componente verticalpositiva.

Lema 3.9. La cota |ωk|gk ≤ O(1) implica que ∠(kerwk, D) ≥ ε > 0, para kmayor que un cierto K.

Las desigualdades |∇jωk|gk ≤ O(c−1/2k ), j ≥ 1 implican |∇jRk|gk ≤

O(c−1/2k ), j ≥ 1 (también para k mayor que un cierto K).

Prueba. Supongamos en primer lugar que la primera afirmación esfalsa. Ello supondría para cualesquiera K y δ > 0 la existencia de un puntoxk,δ ∈ (M, gk), k ≥ K, para el cual, si llamamos vk a la proyección ortogonalde Rk sobre Dxk,δ , se tendría |vk|gk > 1− δ y |vk −Rk|gk < δ, lo que impli-caría ωk(vk, Jvk) ≥ (1 − δ)2 y por tanto ωk(vk, Jvk) = ωk(vk − Rk, Jvk), y|ωk|gk >

(1−δ)2

(δ||J ||) .

En cuanto a la segunda afirmación, fijamos cartas adaptadas a g y e1, ...,e2n+1 una trivialización ortonormal de TM para la métrica gk (e2n+1 esortogonal a D), y tal que |∇rei|gk ≤ O(c−1/2

k ). Basta con trabajar en unabola de gk-radio fijo.

Recordamos que puesto que ∇ es la conexión de Levi-Civita, ∇XRk esortogonal a Rk.

∇ωk(Rk, ei, ·) = d(ωk(Rk, ei))− ωk(∇Rk, ei)− ωk(Rk,∇ei)⇒

⇒ |ωk(∇Rk, ei)|gk ≤ O(c−1/2k ).

Como ∇XRk está alejado del núcleo de ωk, de las cotas para ωk junto conel hecho de estar minorada enD por un múltiplo de la métrica se sigue la cotabuscada para |∇Rk|gk . De hecho las cotas para |∇rωk|gk , para |∇jRk|gk , 0 ≤j ≤ r− 1 y la minoración por un múltiplo de la métrica, garantizan aquellaspara la componente de ∇rRk ortogonal a Rk. En cuanto a la proporcional aRk, se observa que de 0 = ∇r〈Rk, Rk〉 se puede concluir que su tamaño estámedido en función de los productos interiores de la forma 〈∇sRk,∇tRk〉, 0 <s, t s+ t = r.

De este resultado se sigue que podemos usar o bien la métrica gk, o bien lamétrica gk restringida a D junto con Rk, y se obtienen cotas del mismo orden(son sucesiones de métricas comparables). En cálculos locales (para k sufi-cientemente grande) se puede usar indistintamente las bases e1, · · · , e2n+1ó e1, · · · , e2n, Rk, pues para ambas todos los campos locales tienen susderivadas acotadas por O(c−1/2

k ). Es más, podemos conseguir cartas adap-tadas a ωk.

Antes es necesario dar una definición de proximidad entre distribuciones.Un modo natural es describir una distribución como el grafo de una aplicaciónde la otra en una coordenada transversa y estimar la norma de la aplicación.En nuestro caso, y para otros propósitos, queremos tener un concepto deproximidad entre distribuciones de dimensión diferente. Para ello recordamoslos conceptos de ángulo máximo y mínimo empleados en [46].


Definición 3.10. Sea W un espacio vectorial con producto interior de modoque se puede medir el ángulo ∠(u, v) para vectores u, v ∈ W . Para U ∈Gr(p,W ) y V ∈ Gr(q,W ) p, q > 0, se define ∠M (U, V ), el ángulo máximode U con respecto a V , mediante la fórmula:

∠M (U, V ) := maxu∈Ur0

( minv∈Vr0

∠(u, v))

En general el ángulo máximo no es simétrico, pero cuando p = q sí lo esy define una distancia en la correspondiente grassmanniana (see [46]).

El ángulo mínimo entre subespacios complementarios transversales sedefine como el ángulo mínimo entre dos vectores no nulos, uno en cadasubespacio. Una extensión de esta noción para subespacios transversalescon intersección no trivial es:

Definición 3.11. (véase [46]) Con la notación de la definición 3.10, ∠m(U, V ),el ángulo mínimo entre subespacios U y V no nulos, se define como sigue:

• Si dimU + dimV < dimW , entonces ∠m(U, V ) := 0.• Si la intersección no es transversa, entonces ∠m(U, V ) := 0.• Si su intersección es transversa, consideramos el ortogonal a la in-tersección y sus intersecciones Uc y Vc con U y V respectivamente.Se define ∠m(U, V ) := min

u∈Ucr0( minv∈Vcr0

∠(u, v)).

El ángulo mínimo es simétrico.

La propiedad más importante relacionando ángulo máximo y mínimo es:

Proposición 3.12. (Proposición 3.5 en [46]) Para subespacios no nulosU, V,W de Rn se tiene

∠m(U, V ) ≤ ∠M (U,W ) + ∠m(W,V ).

Los subespacios se han de considerar orientados de modo que el ángulomáximo entre dos distribuciones diferenciables, con el signo apropiado, esuna función diferenciable.

Lema 3.13. Existen cartas adaptadas ψk,x : (Cn × R, 0) → (Uk,x, x) queenvían el campo de direcciones verticales generado por ∂

∂ska kerwk.

Prueba. Por el lema 3.9, existen ε > 0,K ∈ N+, tal que ∠m(kerωk, D) ≥ε para k ≥ K. Se pueden elegir una cartas iniciales φx,1 : (Cn × R, 0) →(Uk,x, x) de modo que ∠M (Dh, D) ≤ ε

2 . Aplicando la proposición 3.12 pode-mos deducir que ∠m(φ∗1,x kerωk, Dh) ≥ ε

2 , para k ≥ K. Definimos unaprimera familia de cartas adaptadas φk,x reescalando φx,1.

Llamemos Φtx,Rk

al flujo de φ∗k,xRk. Lo rectificamos mediante la apli-cación

χk : Cn × R→ Cn × R(zk, sk) 7→ Φs

Rk(zk, 0)

3. TEORÍA LOCAL 37

El hecho de que |Rk|gk = O(1) y ∠m(Rk, Dh) > ε2 implica que la apli-

cación está definida para cada x y k en una bola euclídea radio r1c1/2k (o

de g-radio fijo). Es más, es posible encontrar una constante γ para la cual1γ ≤ |χk∗(zk, sk)| ≤ γ, de modo que se pueden comparar la métrica euclídeaen el espacio de llegada con la métrica resultado de empujar la euclídeamediante la aplicación (y de modo similar hay cotas superiores para lasrestantes derivadas). En realidad se puede deshacer el reescalamiento y con-siderar, para cada k, la aplicación inducida Φt

x,c1/2k Rk

en el dominio de la

carta φ1,x. Estas aplicaciones fijan el origen y Dh(0), y se tienen para todassus derivadas covariantes cotas de orden O(1), y por tanto dan lugar a cotasde orden O(c−1/2

k ) para la composición ψk,x = φk,x Φt

x,c1/2k Rk

.

Una vez que contamos con cartas adaptadas para g (resp. ωk) en las quela escisión Dh ⊕ ∂

∂s corresponde prácticamente a la dada por D y la métrica(resp. ωk), podemos dar la noción de igualdad aproximada para tensoreslocales. En realidad dicha noción es válida para cualquier familia de cartasadaptadas, pero como nuestros tensores locales estarán relacionados con Dy sendas escisiones, en principio restringimos nuestra atención a este tipo decartas.

También daremos la definición en principio para para sucesiones constan-tes de fibrados E (resp. ED o ED), pues los “modelos locales” con los quequeremos comparar son relativos a los elementos geométricos de (M,D, J, g).

Definición 3.14. Fijemos ψk,x una familia de cartas adaptadas a la métrica(resp. las curvaturas). Sea Tk una sucesión de secciones de un fibrado E ode los subfibrados ED (resp. ED), y T otra sección local del fibrado corres-pondiente; esto quiere decir que usamos Dh y la escisión Dh ⊕ ∂

∂s en vez deD y D⊥ (resp. kerωk) en la definición local de ED (resp. ED). Las cartasdan trivializaciones canónicas (también de los subfibrados locales) y pedimosque T , definido en el dominio de ψk,x, tenga la misma expresión indepen-dientemente de k, x. T es por tanto el modelo local con el que queremoscomparar.

Se dice que Tk es igual a T en sentido aproximado (o aproximadamenteigual a T ) hasta orden r, y se denota mediante Tk ur T , si para todo kmayor que un cierto K las siguientes desigualdades son satisfechas:

| ∂|p|

∂xpk(T − ψ∗k,xTk)|g0 ≤ Pr((zk, sk))O(c−1/2

k ), (3.1)

p = (p1, ..., p2n+1), |p| = p1 + · · ·+p2n+1, |p| ≤ r, en Bg0(0, O(c1/2k )) indepen-

dientemente de k y x, donde también hemos usado la notación zik = x2ik +

x2i+1k , sk = x2n+1

k . En caso de que sólo queramos trabajar en Bg0(0, O(1)),se pide el mismo tipo de desigualdad pero con Pr = 1 (la primera propiedadimplica la segunda).

Cuando la propiedad anterior es cierta para todo r hablamos de igualdadaproximada y lo denotamos por Tk u T .


Hablaremos de planitud en el sentido Cr-aproximado cuando T = 0 (i.e.,Tk u 0), o más generalmente cuando T , siendo un tensor local, es constante(paralelo con respecto a d, la conexión de Levi-Civita asociada a la métricaeuclídea).

Observación 3.15: Obsérvese que de nuevo podemos usar en vez de d (deriva-das parciales usuales) la derivada covariante ∇ y gk para dar la definición.Cuando trabajamos con secciones de los subfibrados ED (resp. ED) podemosdar otra definición usando la derivada restringida (que en cartas equivale aconsiderar dDh en vez de d, i.e., sólo las derivadas parciales con respecto acoordenadas horizontales); también veremos que las definiciones son equiva-lentes.

Observación 3.16: Es posible extender la noción de igualdad aproximadapara sucesiones de secciones de E⊗ (Lk⊗F ). Básicamente, necesitamos daren cada punto trivializaciones (unitarias) de Lk ⊗ F de modo que el tensorT modelo venga descrito por una expresión local fija (por ejemplo T = 0).Igualmente es necesario acoplar la correspondiente matriz de 1-formas deconexión con las derivadas parciales en 3.1. Como el motivo último de usarmodelos locales es simplificar los cálculos, lo lógico es tratar de elegir trivi-alizaciones de modo que la matriz de formas de conexión sea independientede k y x y fácil de manejar.

Una vez que se ha fijado una familia de cartas adaptadas (no necesaria-mente adaptadas a la métrica o curvaturas), que no son más que un elementoauxiliar en la teoría, la distancia entre D y Dh viene dada por una funcióndiferenciable ∠M (D,Dh). Puesto que la función se anula en el origen, D esCr-aproximadamente plana para todo r (o aproximadamente integrable).

Es importante mencionar que las nociones de planitud aproximada paratensores locales dependen de las cartas elegidas. También nótese que Tk ur Tpara una familia de cartas adaptadas es equivalente a φ∗k,xTk ur T , siempreque φk,x : (Cn×R, 0)→ (Cn×R, 0) satisfaga φk,x ur I y φ∗k,xDh(0) = Dh(0).Por este motivo no solamente usaremos cartas adaptadas a la métrica (resp.curvaturas), sino también deformaciones del orden anterior de las mismas; sise quiere, cartas aproximadamente adaptadas a la métrica (resp. curvaturas)para las que D u Dh y D⊥ u 〈 ∂∂s〉 (resp. kerωk u 〈 ∂∂s〉).

Como ya ha sido mencionado repetidas veces, esta teoría generaliza lasituación en la que se comienza con una variedad calibrada y a partir de ahíse definen la estructura casi compleja compatible con ω J y la métrica g.Una consecuencia importante de este análisis es que secciones muy próximasa ser J-holomorfas dan lugar a subvariedades que cortan a D simpléctica-mente (a nivel lineal). Recordemos que para una retracción cualquiera i, pordefinición, una 1-forma Γ ∈ i(D)∗C es J-holomorfa si su restricción a D loes. La proximidad a ser casi-holomorfa querrá decir que la parte (1, 0) dela restricción es suficientemente grande comparada con la parte (0, 1) de lamisma. Pero hemos visto que esto es equivalente a la misma aserción paralas partes Γ1,0 ∈ i(D)∗1,0C y Γ0,1 ∈ i(D)∗0,1C .

3. TEORÍA LOCAL 39

En efecto, para cualquier subespacioNx ⊂ Dx, J(Nx) ⊥g Nω|Dx por lo que

J(Nx) suficientemente próximo a Nx hará que este último sea simpléctico.Esta proximidad viene gobernada por |Γ0,1|/|Γ1,0|. En la situación general,y tal y como ocurre para dimensión par, la misma relación puede ser recu-perada; ser próximo a ser J-holomorfo supondrá simplecticidad con respectoa las formas ωk. Para probarlo, se construyen estructuras casi-complejascompatibles Jk muy próximas a J . Para estos tensores, la C0-proximidades suficiente para nuestros propósitos. Pero es una característica propia dela teoría de variedades casi-complejas que todo lo que ocurre en los mode-los locales (todas las propiedades) se verifica de modo aproximado para lasprimeras. Por una cuestión de completitud de la teoría probaremos tambiénen el caso de los tensores Jk, J que la proximidad se da para cualquier orden.

De nuevo nos encontramos con el problema de cómo tomar derivadas deJk. Por un lado podemos considerar las extensiones Jk o Jk asociadas res-pectivamente a la métrica o a las curvaturas, y por otro podemos considerarderivadas totales o derivadas en el correspondiente subfibrado. En el pró-ximo lema se citan condiciones bajo las que la ambigüedad en las extensionesy en el cómputo de las derivadas desaparece.

Para introducir la notación necesaria, recordamos que si Tk es una suce-sión de tensores de un fibrado E|D asociado a D como en la definición 3.14,tenemos para las extensiones Tk ∈ Γ(ED) (resp. Tk ∈ Γ(ED)) una derivadatotal ∇rTk ∈ Γ(T ∗M⊗r⊗E) (resp. ∇rTk ∈ Γ(T ∗M⊗r⊗E)), y una derivadaen ED, ∇j Tk ∈ Γ(T ∗M⊗r ⊗ ED) (resp. ∇j Tk ∈ Γ(T ∗M⊗r ⊗ ED)) para laque se compone con las proyecciones

πDr : T ∗M⊗r ⊗ E → T ∗M⊗r ⊗ ED

πDr : T ∗M⊗r ⊗ E → T ∗M⊗r ⊗ EDSi trabajamos en cartas adaptadas, la proyección usada es πDhr : T ∗M⊗r⊗

E → T ∗M⊗r ⊗ EDh . En todos los casos, la aplicación es la identidad enT ∗M⊗r tensorizada con la aplicación que proyecta paralelamente al subfi-brado complementario asociado a la escisión correspondiente.

También consideramos el isomorfismo de fibrados qD,Dr : T ∗M⊗r ⊗ E →T ∗M⊗r ⊗ E que es la identidad en T ∗M⊗r y en E es el isomorfismo quelleva ED a ED inducido por el de TM → TM que es la identidad en D ylleva D⊥ en kerωk paralelamente a D, o equivalentemente por su dual deT ∗M en T ∗M que es la identidad en Ann(D) y lleva D en D paralelamentea Ann(D).

En el caso de cartas adaptadas (a la métrica o curvaturas) se defineqD,Dhr : T ∗M⊗r ⊗ E → T ∗M⊗r ⊗ E como la identidad en T ∗M⊗r, y pi-diendo que envíe EDh en ED paralelamente al complementario común. Denuevo indicamos que es el isomorfismo inducido por el de TM que fija ∂

∂sky

proyecta Dh verticalmente sobre D (o dualmente por el de T ∗M fijando elhiperplano Ann( ∂

∂sk) y proyectando paralelelamente a éste el fibrado real de

líneas Ann(Dh) sobre Ann(D)).


Las aplicaciones en las que interviene la descomposición asociada a lascurvaturas dependen de k, dependencia que ha sido omitida en la notación.

Es evidente que las πDr tienen gk-norma O(1), y sus derivadas son detamaño O(c−1/2

k ), pues son una sucesión constante. De las cotas para Rky sus derivadas computadas en el lema 3.9, se infieren la misma clase decotas para las πDr y qD,D. También qD,Dhr u I (I es la aplicación identidad).Igualmente πDr u πDhr , pues se pasa de una proyección a otra componiendocon qD,Dhr .

Es importante observar que en el caso integrable o plano, como Dh esparalela, la derivada en E y la derivada en EDh coinciden. En la situaciónno integrable una cota para la derivada en ED no necesariamente implica elmismo tipo de cota para la derivada total. Aún así se tiene:

Lema 3.17. Sea Tk una sucesión de tensores de E|D y sean Tk y Tk lasimágenes de Tk asociadas a las correspondientes inmersiones de E|D en E(nos referiremos a ellas también como las extensiones por ceros).

En primer lugar, |∇j Tk|gk ≤ O(1), ∀j ∈ N si y solamente si |∇j Tk|gk ≤O(1), ∀j ∈ N.

Si la condición anterior se cumple entonces son equivalentes:

(1) |∇j Tk|gk ≤ O(c−1/2k ).

(2) |∇j Tk|gk ≤ O(c−1/2k ).

(3) |∇j Tk|gk ≤ O(c−1/2k ).

(4) |∇j Tk|gk ≤ O(c−1/2k ).

La equivalencia anterior también se tiene para cotas de orden O(1) envez de orden O(c−1/2

k ).

Prueba. Primero consideramos el caso de tensores de ED (la equiva-lencia entre las dos primeras aserciones). Por definición ∇Tk = πD1 (∇Tk).Queremos demostrar que tanto |∇Tk|gk ≤ O(c−1/2

k ) como |πD1 (∇Tk)|gk ≤O(c−1/2

k ) suponen que πD1 (∇Tk) − ∇Tk es también a lo sumo de tamañoO(c−1/2

k ). Podemos ir a medir a cartas adaptadas a la métrica (basta con-siderar bolas de gk-radio fijo).

Una de las implicaciones es inmediata. De la cota O(1) para Tk y ∇Tk setiene que (πD1 ∇Tk−∇Tk)−(πD1 dTk−dTk) es de orden O(c−1/2

k ), pues de ellasse sigue una cota O(c−1/2

k ) para la diferencia dTk −∇Tk. De hecho, usandotodas las cotas |∇j Tk|gk ≤ O(1),∀j ∈ N, se infieren cotas de orden O(c−1/2

k )para todas las derivadas de la diferencia anterior (aquí sólo es necesariocontrol de orden O(1) para πD1 y sus derivadas; también se usa que paratensores F a,b, Gb,c, se tiene ∇G F = ∇G F +G ∇F ).

De modo análogo, (πD1 dTk−dTk)− (πDh1 dTk−dTk) y todas sus derivadasson de tamaño O(c−1/2

k ) ya que πD1 u πDh1 , y dj Tk, ∀j ≥ 1, son a lo sumode orden O(1).

3. TEORÍA LOCAL 41

Luego la afirmación para la primera derivada es equivalente a la asevera-ción correspondiente para la diferencia πDh1 dTk − dTk.

Es importante resaltar que las cotas para todas las derivadas de ordensuperior de la expresión anterior sólo requieren una cota de orden O(1) para∇j Tk y las derivadas de las proyecciones. Sumando y restando qD,Dh0 (Tk) aTk, el problema se reduce a encontrar las mismas cotas para πDh1 dqD,Dh0 (Tk)−dqD,Dh0 (Tk) (de nuevo la diferencia es aproximadamente nula sin más que usarcotas O(1) para ∇j Tk y las proyecciones y sus derivadas).

Llamemos Bk,1 a la diferencia ∇Tk − ∇Tk. Por lo visto anteriormenteBk,1 u 0. Luego ∇2Tk −∇∇Tk u 0. Por tanto para probar el caso r = 2 essuficiente estudiar la diferencia ∇∇Tk−∇2Tk, pero esta prueba es la mismaque la dada pero usando πD2 , π

Dh2 y qD,Dh1 .

Para∇rTk usamos las mismas ideas con las proyecciones πDr , πDhr y qD,Dhr−1 ,junto con el hecho de que ∇∇r−1Tk −∇dr−1Tk es de orden O(c−1/2

k ), y queBk,r−1 = ∇r−1Tk − ∇r−1Tk es aproximadamente nulo por inducción.

La equivalencia entre las afirmaciones tercera y cuarta se prueba exacta-mente igual.

Para finalizar se demuestra la equivalencia entre las afirmaciones primeray tercera, que es elemental por todo lo dicho ya que Tk = qD,D0 (Tk).

La equivalencia para cotas de orden O(1) se sigue de la prueba anterior.

Observación 3.18: Las ideas anteriores se pueden usar para probar el mismotipo de resultado pero igualando a otro tensor que no sea el nulo (bastaconsiderar la diferencia), o incluso a un tensor definido localmente en car-tas adaptadas. También hacemos notar que cuando estamos probando unaigualdad aproximada global, esto es, Tk ur T , podemos utilizar una deter-minada familia de cartas adaptadas (en la que trabajaremos en bolas degk-radio fijo) y luego cambiar a otras para diferentes propósitos.

Aunque todavía no hemos introducido cartas adaptadas para polariza-ciones G, será evidente que bajo condiciones adecuadas, tendremos similaresresultados para tensores definidos en fibrados EG.

Observación 3.19: Hacemos notar que para relacionar las cotas para lasderivadas totales respecto de ambas retracciones (las afirmaciones primeray tercera), hemos usado en la composición con la aplicación qD,D0 las cotaspara ésta. Dicha aplicación tiene derivadas de orden O(c−1/2

k ), pero para laprueba basta con cotas de orden O(1).

Observación 3.20: El lema anterior es cierto porque en la situación integrablees una igualdad estricta. Esta clase de fenómeno aparecerá repetidas veces.

Cuando se tengan cualquiera de las cuatro condiciones equivalentes, abu-sando de la notación lo representaremos mediante Tk u 0.


Lema 3.21. Dada una sucesión muy amplia de fibrados de línea sobre unavariedad casi-compleja, se puede construir una sucesión de estructura casi-complejas Jk compatibles con las 2-formas ωk y tal que Jk u J .

Prueba. Vamos a definir directamente Jk, la extensión de Jk por cerosusando la escisión asociada a las curvaturas. Esto no es extraño pues en lapropia definición de la sucesión de las estructuras casi-complejas compatiblesintervienen las ωk. No es ésta la única construcción en la que esta escisiónserá de utilidad.

Extendemos J y la identidad I a J y I (las extensiones dependerán de k).Denotemos por ωk : TM −→ T ∗M a las aplicaciones de fibrados inducidaspor ωk. La composición ωk (−J) restringe a un morfismo positivo de D aD∗. Por tanto podemos simetrizarlo para obtener:

Sk(u, v) = 12ωk(u, Jv) + 1

2ωk(v, Ju) =

= ωk(u, Jv) + 12(ωk(v, Ju)− ωk(Jv, J2u)) =

= ωk(u, v) + 12Re(ω

0,2k (v, Ju)),∀u, v ∈ D,

una métrica en D a la que podemos ver como un morfismo de fibradosSk : TM → T ∗M (extendido trivialmente en kerωk). Consideramos Ak =S−1k ωk y definimos Jk = Q−1

k Ak, con Q2k = −A2

k, donde Qk es gk-autoadjunta; las inversas se toman a lo largo de las direcciones de D y seanulan en kerωk.

Para comprobar la desigualdad para el caso r = 0 observamos que losmorfismos de fibrados ωk (−J), Sk : TM → T ∗M se encuentran, por cons-trucción, a distancia O(c−1/2

k ). El hecho de que ωk(v, Jv) ≥ gk(v, v), ∀v ∈ D,implica que sus inversos todavía se mantienen a distancia O(c−1/2

k ), y en con-secuencia también J = (ωk (−J))−1 ωk y Ak. Además,

| −A2k − I|gk = | −A2

k − (−J2)|gk ≤ O(c−1/2k ).

Ello implica que |Qk− I|gk ≤ O(c−1/2k ). Si usamos cartas adaptadas a ωk

y diagonalizamos −A2k (por ejemplo por el método de Gauss), se sigue que

−A2k = Gk D(λ1,k, ...λ2n,k) G−1

k , donde D(λ1,k, ...λ2n,k) es la matriz dia-gonal D(λ1,k, ...λ2n,k, 0), y tanto |Gk− I|gk como |D(λ1,k, ...λ2n,k)− I|gk sonde orden O(c−1/2

k ). A partir de la última estimación obtenemos

|D(

1√λ1,k

, ... 1√λn,k

)− I|gk ≤ O(c−1/2

k ),

lo que da lugar a la misma cota para

Q−1k = G−1

k D(

1√λ1,k

, ... 1√λn,k

)Gk.

Finalmente, |J − Jk|gk ≤ |J −Ak|gk + |Ak − Jk|gk ≤ O(c−1/2k ).

En cuanto a las derivadas se comprueba que |∇r(ωk (−J) − Sk)|gk ≤O(c−1/2

k ) se satisface trivialmente. El motivo es que el tensor está definido

3. TEORÍA LOCAL 43

en términos de ωk y J , y en la expresión anterior hemos de estimar unnúmero acotado de sumandos cada uno de los cuales contiene al menos unaderivada, o bien de ωk o bien de J , junto con términos de orden a lo sumoO(1). El control para las derivadas de J es automático, ya que por el lema3.17 equivalen a las de J que son triviales por ser ésta una sucesión constante.

Notamos que los inversos de los tensores se calculan en las direccionesde D y son nulos en la complementaria. Si estuviésemos trabajando endimensión par las cotas para los inversos se seguirían de las de∇r(ωk(−J)−Sk), y del hecho de que ωk está acotado por debajo (y por tanto tambiénSk). En la situación impar si T es cualquier tensor anulándose en kerωk (oAnn(D)), y con inverso a lo largo de D (o D∗ si su dominio es T ∗M), setiene T T−1 = I ⊕ 0 = I , T−1 T = I ⊕ 0 = I, donde las identidades sedan en los espacios de llegada y salida de la restricción de T a D (o D∗),y se anulan a lo largo del complementario. Como |∇r I|gk ≤ O(c−1/2

k ) (porel mismo motivo que J), tenemos las fórmulas habituales para las derivadascovariantes de los inversos, salvo términos de orden O(c−1/2

k ). Por ejemplo,∇(ωk(−J) (ωk(−J))−1) = ∇(I ⊕ 0) implica que

∇(ωk(−J))−1 = −(ωk(−J))−1∇ωk(−J)(ωk(−J))−1+(ωk(−J))−1∇(I⊕0),

y por tanto

|∇(ωk(−J))−1|gk ≤ | − (ωk(−J))−1 ∇ωk(−J) (ωk(−J))−1|gk +

+ O(c−1/2k ) ≤ O(c−1/2

k ).

El último paso es acotar |∇r(Qk− I)|gk . Esto se comprueba en una cartaadaptada a las curvaturas; allí se tiene que aplicar el método de Gauss a−A2

k ∈ M2n×2n(R) ⊂ M2n+1×2n+1(R), donde las derivadas parciales hastaorden r de A2

ki,j + δi,j son de tamaño O(c−1/2k ), y teniendo en cuenta que

la diferencia entre el cambio de base y la identidad sólo usa combinacioneslineales de productos de las entradas, y también por tanto su inversa. Lascotas finales para la raíz cuadrada se siguen del mismo tipo de considera-ciones.

Cuando partimos de una variedad calibrada (M,D,ω) y simplectizamos,tal y como se ha indicado en el apartado 2.3, la extensión de J resulta sercompatible sólo en la hojaM×0. Teniendo en cuenta que la escisión dadapor el núcleo de kω y la métrica es la misma, es fácil ver que el resultado deaplicar el lema 3.21 a la simplectización (con las simplificaciones obvias alser la distribución todo el tangente) y restringir las correspondiente estruc-turas Jk = Jk a M × 0, es el mismo que el de aplicar el mismo lema a(M,D, J,w, g), cuyo resultado es J de nuevo.

3.3. Cartas de Darboux y secciones de referencia

Ahora ya podemos mostrar, en el caso impar, la existencia de cartascoincidiendo aproximadamente con el modelo Kähler de la definición 3.1.


También mencionaremos las modificaciones necesarias en presencia de po-larizaciones.

Lema 3.22. Para todo x ∈M y k ∈ N+ existen cartas adaptadas de Darbouxϕk,x : (Cn × R, 0) → (Uk,x, x) con coordenadas z1

k, ..., znk , sk. Esto es, cartas

adaptadas a ωk para las que ϕ∗k,xωk = ω0. En cuanto a la relación entre Jy J0 (más correctamente entre J y J0, la extensión asociada a la métricaeuclídea en la carta), se tiene ϕ∗k,xD u Dh, ϕ∗k,x(kerωk) = ∂

∂s y ϕ∗k,xJ u J0.Siendo más precisos con las cotas, se tiene además:

|ϕ∗k,xD −Dh|gk ≤ O(|(zk, sk)|), |∇j(ϕ∗k,xD −Dh)|gk ≤ O(c−1/2k ), ∀j ≥ 1,

donde las desigualdades se satisfacen en una bola de g-radio fijo de modouniforme en k y x.

Para las componentes antiholomorfas,

|∂ϕ−1k,x(zk, sk)|gk = O(c−1/2

k + |(zk, sk)|c−1/2k ),

|∇j ∂ϕ−1k,x(zk, sk)|gk = O(c−1/2

k ),

∀j ≥ 1, uniformemente en k y x en una bola de g-radio fijo centrada en x,donde ∂ϕ−1

k,x es la parte antiholomorfa de ∇DπDh(ϕ−1k,x), con πDh(ϕ−1

k,x) : Uk,x →Cn.

Prueba. En otras palabras, queremos probar la existencia de cartasadaptadas para las que las distribuciones Ann(D), D∗1,0 y D∗0,1 coincidenaproximadamente con ds, T ∗1,0Cn y T ∗0,1Cn respectivamente, y tal que ωk uω0 (pudiendo además lograr ωk = ω0). La prueba sigue las líneas de la deD. Auroux en [4] para el caso par.

Comenzamos con una primera familia de cartas φ1,x para la cual podemossuponer φ∗1,xJx = J0(0), componiendo si es necesario con una transformaciónlineal. Reescalamos para obtener una primera familia φk,x : Cn×R→ (Ux, x).Las estimaciones para φ−1

k,x y sus derivadas covariantes se tiene sin dificul-tad, e igualmente ocurre con la parte antiholomorfa: se ha de proyectar∇φ−1

k,x : TBg(x, c)→ T (Cn×R) sobre TCn, y ∂φ−1k,x resulta ser la parte anti-

holomorfa con respecto a J y J0 en Cn. Las cotas buscadas, una vez cono-cidas las de φ−1

k,x y sus derivadas, son equivalentes a cotas similares para elángulo máximo y sus derivadas entre los espacios de 1-formas antiholomorfaspara ambas estructuras casi-complejas en Dh. Para éstas, las cotas se siguendel hecho de que la construcción de las cartas depende de modo diferenciabledel centro y de que ambas estructuras coinciden en el origen. Siendo estric-tos, como las cartas no son necesariamente adaptadas a ωk, la estructuracasi-compleja J0 para estas cartas no es exactamente la del enunciado, puesla componente vertical no es la imagen del núcleo de ωk. En cualquier casoy por lo comentado en la sección 1 acerca de la relación de las componentesholomorfas y antiholomorfas para diferentes escisiones, dado que podemospasar a cartas adaptadas a ωk componiendo con las aplicaciones Φt

x,Rk(lema

3.13) que fijan Dh(0) (no sólo a nivel infinitesimal) y tiene cotas O(1) para

3. TEORÍA LOCAL 45

la primera derivada y O(c−1/2k ) para las sucesivas derivadas, obtenemos las

cotas O(|(zk, sk)|) para la parte antiholomorfa de las inversas de estas cartasadaptadas a ωk y cotas O(c−1/2

k ) para las sucesivas derivadas covariantes.

El resto de la prueba sigue los argumentos de la situación par; como ladirección vertical genera el núcleo de la 2-forma, podemos trabajar en unade las hojas simplécticas Cn×0 y aplicar la transformación allí obtenida alresto de las hojas (la restricción de la 2-forma a dicha hoja satisface las cotasnecesarias para aplicar los razonamientos usados en dimensión par).

Observación 3.23: En una carta Darboux se puede elegir una trivializaciónadecuada de modo que la forma de conexión tenga una expresión deter-minada. Como contrapartida perdemos control sobre J en el origen, quese encontrará a distancia O(c−1/2

k ) de J0. En determinadas circunstanciasconviene tener la igualdad. Para ello podemos deshacer la última transfor-mación, que es de tamaño O(c−1/2

k ), y obtenemos la propiedad buscada. Sihacemos pullback de la forma de conexión, la variación de la misma estáacotada por O(c−1/2

k ).

Hablamos entonces de coordenadas aproximadamente holomorfas siempreque la escisión T ∗CM = Ann(D)C ⊕ D∗1,0 ⊕ D∗0,1 coincide aproximadamentecon T ∗C(Cn×R) = ds⊕T ∗1,0Cn⊕T ∗0,1Cn, con cotas como las del enunciado,es decir, del orden de la norma o la norma mas un término de orden O(c−1/2

k ),y de este último orden para las sucesivas derivadas. También emplearemosel mismo nombre cuando la escisión de partida sea Ann(D)⊕ D∗1,0 ⊕ D∗0,1.En realidad, también emplearemos esté terminología para otras escisiones,pero pospondremos esta discusión hasta la siguiente sección.

Observación 3.24: En caso de presencia de polarizaciones G en variedadespares, se pueden componer las cartas de Darboux usuales con una transfor-mación h0-unitaria (h0 la métrica hermitiana canónica) tal que G acabarácoincidiendo con Cg × · de modo aproximado, y G⊥, representada porejemplo como una una función con valores en Cg, estará acotada inferior-mente de modo uniforme (formará un ángulo con Cg × · acotado infe-riormente de modo uniforme), y todas las derivadas de la función seránde orden O(c−1/2

k ) (es decir, la distribución será aproximadamente cons-tante). Además tendremos las correspondientes igualdades aproximadasG∗1,0 u T ∗1,0Cg, G∗0,1 u T ∗0,1Cg. Al ser h0 unitaria ω0 no cambia.

Hablaremos así de coordenadas aproximadamente holomorfas adaptadasa G cuando las cotas anteriores comparando G,G∗1,0, G∗0,1 y G⊥ con loscorrespondientes modelos se verifiquen.

Centrándonos de nuevo en el caso impar, veremos que para construir suce-siones de secciones aproximadamente holomorfas con interesantes propiedadesde transversalidad (sin usar simplectizaciones), no será posible tener la mismaclase de control para las direcciones de D que para las de todo el tangente.Para generalizar las nociones de sucesión aproximadamente holomorfa, nece-sitamos elegir una retracción i.


Definición 3.25. Sea i una retracción de la proyección canónica T ∗M →D∗. Una sucesión τk de secciones de Lk es i-asintóticamente J-holomorfa(o i-A.H.) si existen constantes positivas (CDj , Cj)j≥0 tal que,

|τk|gk ≤ CDj , |∇

ji(D∗)τk|gk ≤ C

Dr , |∇jτk|gk ≤ Cr

|∇j−1∂i(D∗)τk|gk ≤ Crc−1/2k .

Una sucesión de secciones tiene i-decaimiento gaussiano con respecto ax si existen constantes positivas λ > 0, (Cj)j≥0 y polinomios (Pj)j≥0 verifi-cando ∀y ∈M y ∀j ≥ 0,

|∇ji(D∗)τk(y)|gk ≤ Pj(dk(x, y))e−λdk(x,y)2,

|∇jτk(y)|gk ≤ CrPj(dk(x, y))e−λdk(x,y)2

Si sólo estamos interesados en controlar las r primeras derivadas, hablare-mos de sucesiones de secciones i-Cr-A.H. (resp. con i-Cr-decaimiento gaus-siano).

Nótese que ∇ji(D∗)τk representa una sección de i(D∗)⊗j ⊗ Lk construidade modo recursivo usando las conexiones inducidas por ∇k, la inducida eni(D∗) por la de Levi-Civita y la escisión i.

Observación 3.26: Hacemos notar de nuevo que las nociones anteriores de-penden de la escisión usada. Si empleamos la asociada a la métrica, quenos parece la elección más natural, hablaremos de secciones A.H. e igual-mente de sucesiones de secciones con decaimiento gaussiano. Otra escisiónque será muy útil a nivel local como elemento auxiliar es i, la asociada a lascurvaturas.

Queremos ser capaces de verificar las cotas de la definición 3.25 para laretracción i en cartas de Darboux (o coordenadas aproximadamente holo-morfas) usando Dh, J0, g0 y d (recordemos que las cartas de Darboux soncartas adaptadas a las curvaturas, es decir, a la escisión i). Para probar queesto es posible se usan argumentos similares a los ya usados por ejemplo en ellema 3.17. El único ingrediente nuevo es la presencia del fibrado Lk. En cadacarta fijamos una trivialización unitaria tal que la forma de conexión sea A0,la misma para todo k y x. Recordemos que d denota a la derivada usualo conexión plana (derivadas parciales), y dDh a su proyección paralela a ds(las derivadas parciales respecto a las coordenadas horizontales). Asimismodenotamos mediante dj (resp. djDh) al j-ésimo iterado del correspondienteoperador, que no ha de confundirse con la derivada exterior ; denotemos tam-bién por dA0 a la conexión plana acoplada con A0, por dA0,Dh y dA0,D susproyecciones a Dh y D paralelamente a ds y mediante djA0

, djA0,Dhy djA0,D

alos iterados j-ésimos respectivos.

Lema 3.27. Sea E uno de los fibrados de la definición 3.6 y sea τk unasucesión de secciones de E ⊗ Lk tal que |∇jτk|gk ≤ O(1), j = 0, ..., r. Para

3. TEORÍA LOCAL 47

una familia de cartas de Darboux con la trivialización descrita anteriormentese tiene:

(1) |∇jτk|gk ≤ Pj(dk(ψk,x(zk, sk))O(1), j = 0, ..., r es equivalente a|djτk|g0 ≤ Qj(|(zk, sk)|)O(1), j = 0, ..., r en los puntos deBg0(0, O(c1/2

k )) (o con polinomio igual a 1 sobre Bg0(0, O(1))).(2) |∇jτk|gk ≤ Pj(dk(ψk,x(zk, sk))O(c−1/2

k ), j = 0, ..., r es equivalente a|djτk|g0 ≤ Qj(|(zk, sk)|)O(c−1/2

k ), j = 0, ..., r en los puntos deBg0(0, O(c1/2

k )) (o con polinomio igual a 1 sobre Bg0(0, O(1))).(3) |∇j

Dτk|gk ≤ Pj(dk(ψk,x(zk, sk))O(1), j = 0, ..., r es equivalente a

|djA0,Dhτk|g0 ≤ Qj(|(zk, sk)|)O(1), j = 0, ..., r o a

|djDhτk|g0 ≤ Sj(|(zk, sk)|)O(1), j = 0, ..., r en los puntos de

Bg0(0, O(c1/2k )) (o con polinomio igual a 1 sobre Bg0(0, O(1))).

(4) |∇jDτk|gk ≤ Pr(dk(ψk,x(zk, sk))O(c−1/2

k ), j = 0, ..., r es equivalente

a |djA0,Dhτk|g0 ≤ Qr(|(zk, sk)|)O(c−1/2

k ), j = 0, ..., r o a

|djDhτk|g0 ≤ Sj(|(zk, sk)|)O(c−1/2k ), j = 0, ..., r en los puntos de

Bg0(0, O(c1/2k ))(o con polinomio igual a 1 sobre Bg0(0, O(1))).

(5) Las cotas de (1) o (2) implican la misma clase de cotas para|∇r−j∇j

Dτk|gk , j = 0, ..., r. En particular (1) implica (3) y (2) im-

plica (4).

Los Pj , Qj , Sj son polinomios que se obtienen los unos de los otros me-diante fórmulas que no dependen ni de k ni de x.

Prueba. En cuanto a las derivadas totales la diferencia ∇rτk − drτk esuna suma de términos homogéneos de grado r, cada uno de los cuales es unproducto de alguna derivada djτk (con peso j), y términos que son derivadasde A0 y de los símbolos de Christoffel (cada uno pesado con el orden dela derivada más uno). Los símbolos de Christoffel tienen tamaño O(c−1/2

k ),el de A0 es |(zk, sk)|O(1), su primera derivada es ω0 de tamaño O(1), ysus derivadas de orden superior son por hipótesis de tamaño O(c−1/2

k ). Elresultado se sigue pues hemos supuesto que τk y sus derivadas están acotadaspor O(1).

Obsérvese también que como en todos los sumandos tenemos una derivadade τk, si para un punto x se tiene

τk = τk ⊗ e−λ|(zk,sk)|2 , λ > 0, (3.2)

con todas las derivadas de τ acotadas por O(1), entonces τk, una vez multipli-cada por una función meseta βk con soporte en B(0, c1/6

k ) (definida mediantereescalamiento de una función en B(0, 1)), satisface el segundo requerimientopara ser una sección con i-decaimiento gaussiano con respecto a x (véase[12]).

El enunciado concerniente a las derivadas en la direcciones de las dis-tribuciones es esencialmente el del lema 3.17. Se define

πDk,j : T ∗M⊗j ⊗ E ⊗ Lk → D∗⊗j ⊗ E ⊗ Lk,


(resp. πDhk,j : T ∗M⊗j⊗E⊗Lk → D∗⊗jh ⊗E⊗Lk) como la proyección asociadaa las curvaturas (nótese que los fibrados varían con k).

Los morfismos πDk,j (resp. πDhk,j ) son secciones (resp. secciones locales) de

End(T ∗M⊗j ⊗ E ⊗ Lk), que son fibrados con una métrica natural inducidapor gk (resp. g0) y hk, y una conexión inducida por ∇g (resp. d) y ∇k. Parauna sucesión de tensores de estos fibrados tenemos por tanto la noción deigualdad aproximada hasta orden r, puesto que tenemos métricas para mediry conexiones para tomar derivadas. En particular las sucesiones anterioresse pueden escribir en la forma pDk,j⊗I (resp. pDhk,j ⊗I), donde las proyeccionesson secciones de T ∗M⊗j ⊗ E y la identidad es una sección de End(Lk) =L∗k ⊗ Lk = C (con conexión inducida trivial). La identidad tiene derivadasnulas. De ello se deduce, en una bola de radio O(c1/2

k ), cotas de orden O(1)para las aplicaciones y de orden O(c−1/2

k ) para las derivadas superiores (tantopara ∇ como para dA0). La diferencia de las proyecciones está acotada por|(zk, sk)|O(c−1/2

k ) y sus derivadas por O(c−1/2k ).

Nótese que en esta discusión la elección de trivializaciones de Lk no jueganingún papel (basta con que sean unitarias y den la forma de conexión ade-cuada, sin importarnos su dependencia en k, x).

Escribamos ∇D−dA0,Dh = (∇D−dA0,D) + (dA0,D−dA0,Dh). Usando lasideas previas la diferencia ∇τk − dA0τk resulta ser una suma de productosde componentes de τk multiplicados por símbolos de Christoffel. Por tanto∇Dτk − dA0,Dτk = πDk,1(∇τk − dA0τk) u 0, donde la igualdad aproximada espara secciones de E ⊗ Lk (véase la observación 3.16 tras la definición 3.14).

Similarmente, dA0,Dτk−dA0,Dhτk = (πDk,1−πDhk,1 )dA0τk, y los resultados se

deducen de |dA0τk|gk ≤ O(1), y πDk,1 u πDhk,1 . Por último, (dDh,A0 − dDh)τk =A0τk, y usando el mismo razonamiento que prueba el punto (1) se ve que lascotas son las buscadas. Obsérvese de nuevo que si nuestra sucesión se puedeescribir en la forma de la ecuación (3.2) para un punto x entonces, una vezmultiplicada por βk, la condición de i-decaimiento gaussiano con respecto ax para la primera derivada proyectada sobre D∗ se cumple.

Las diferencias para derivadas de orden superior se evalúan del mismomodo. Por ejemplo ∇D∇D − dA0,DhdA0,Dh = ∇D(∇D − dA0,Dh) + (∇D −dA0,Dh)dA0,Dh . Para el primer sumando es sabido que ∇(∇D − dA0,Dh)τksatisface las cotas requeridas, y por tanto también la proyección ∇D(∇D −dA0,Dh)τk (y todas sus derivadas). Para el segundo sumando aplicamos lohecho para la primera derivada pero a la sucesión dA0,Dhτk, que tambiénsatisface las hipótesis necesarias. Se evalúa del mismo modo la diferen-cia d2

A0,Dh− d2

Dh. Para la derivada de orden r escribimos ∇r

D− drA0,Dh

=∇D(∇r−1

D− dr−1

A0,Dh) + (∇D − dA0,Dh)dr−1

A0,Dh, siendo el primer sumando del

tamaño requerido por inducción, y también el segundo sin más que aplicarla construcción del caso r = 1 para el fibrado adecuado. Se hace lo propiocon drA0,Dh

− drDh .Como antes, sucesiones con la expresión de la ecuación (3.2) multiplicadas

por βk verifican la segunda condición de i-decaimiento gaussiano con respectoal punto correspondiente.

3. TEORÍA LOCAL 49

La afirmación quinta es evidente para la descomposición Dh ⊕ ∂∂s y

dA0,Dh (ó dDh), porque la mezcla de tipos en la derivada covariante sóloes causada por los símbolos de Christoffel, y por tanto está acotada porPr((zk, sk))O(c−1/2

k ). Si τk se escribe como en (3.2), entonces la correspon-diente sección tiene i-decaimiento gaussiano con respecto a x.

Observación 3.28: En particular vemos que asociadas a las cartas adaptadasa las curvaturas y usando las trivializaciones citadas, del punto (2) se infiereque se puede definir la noción de anulación en sentido aproximado a orden rde una sucesión de secciones de E⊗Lk, sin más que pedir las correspondientescotas para las derivadas parciales de orden menor o igual que r (como en laecuación 3.1 en la definición 3.14). Además, del punto (4) se deduce que silas secciones son de ED ⊗Lk basta con considerar las derivadas parciales enlas direcciones horizontales.

La existencia de secciones aproximadamente holomorfas, que jugarán elpapel de particiones de la unidad de la teoría, es el contenido del siguientelema:

Lema 3.29. Existen κ > 0 y K ∈ N+, tal que para todo x ∈ M se puedenconstruir secciones τ ref

k,x de Lk de modo que la sucesión es i-A.H (con cons-tantes (CDj , Cj) independientes de x), tiene i-decaimiento gaussiano respectoa x y verifica |τ ref

k,x| ≥ κ en una bola de gk-radio fijo centrada en x (todas lascotas son satisfechas para k ≥ K).

Prueba. Fijamos cartas adaptada como antes y elegimos trivializacionesunitarias tal que la forma de conexión es A0 = 1

4(∑n

i=1 zikdz

ik − zikdzik).

Siguiendo las ideas de S. Donaldson [12] seleccionamos la sección definidapor la función f(zk, sk) = e−|(zk,sk)|2/4 y usamos una función de corte βk consoporte en la bola de radio c1/6

k . El decaimiento gaussiano para g0, d, Dh y| · |2 se comprueba fácilmente, y el lema 3.27 da el resultado perseguido.

La holomorficidad aproximada es trivial para J0 (notamos que para cual-quier polinomio Qr existe una constante CQr tal que para cualquier (zk, sk) ∈Cn × R y cualquier λ > 0, |Qr(|zk, sk|)e−λ|(zk,sk)|2)|| ≤ CQr).

De las cotas para |∂ϕk(zk, sk)|gk y |∇r∂ϕk,x(zk, sk)|gk se deducen el mismotipo de estimaciones para J .

Es importante notar que para las secciones de referencia tenemos cotasCj = CDj . O dicho de otro modo, no hay pérdida de control en la direcciónde kerωk si se compara con el obtenido en las direcciones holomorfas.


3.4. Relación entre las teorías A.H. y la teoría relativa

Hemos mencionado la posibilidad de desarrollar una teoría aproximada-mente holomorfa que utiliza la escisión dada por la métrica, en vez de ladada por las curvaturas. Nos hemos centrado en la segunda porque es paraella para la que es más o menos evidente la construcción de sucesiones de sec-ciones locales i-aproximadamente holomorfas con i-decaimiento gaussiano.

Sea i una retracción cualquiera de T ∗M → D∗. Denotemos medianteqi,i : T ∗M → T ∗M al isomorfismo de fibrados que envía envía D∗ a i(D∗) pa-ralelamente a Ann(D), siendo también la identidad en éste. Sea qi,ir,j : T ∗M⊗r⊗Lk → T ∗M⊗r ⊗Lk definido como la identidad en todos los factores salvo enel j-ésimo de T ∗M⊗r, en el que coincide con qi,i.

Lema 3.30. Sea τk una sucesión de secciones de L⊗k. Supongamos queexisten cotas de orden O(1) para qi,i y sus derivadas (para k suficientementegrande). Entonces se tiene que τk es una sucesión de secciones i-A.H. si ysolamente si es una sucesión de secciones i-A.H. Supongamos además que setienen cotas O(c−1/2

k ) para las derivadas de qi,i. En tal caso es posible encon-trar una constante C tal que si |∇Dτj |gk ≤ C

D, j = 0, ..., r, entonces para ksuficientemente grande |∇i(D∗)τk|gk ≤ CCD, donde el tamaño de K depen-derá también de las cotas para las derivadas totales. En particular, tambiénen este último caso las secciones con decaimiento gaussiano lo son para am-bas teorías, y es posible estimar la constante C asociada a las derivadas a lolargo de D al pasar de una a otra.

Si tenemos la primera clase de cotas hablaremos de teorías A.H. equi-valentes para ambas retracciones. En el segundo caso hablaremos de teoríasA.H. fuertemente equivalentes.

Prueba. Las ideas son las mismas que en los lemas 3.17, 3.27. Probamosque la i-holomorfía aproximada implica la i-holomorfía aproximada.

Denotemos mediante ∂i(D∗) la componente antiholomorfa para la retrac-

ción i. Es evidente que ∂i(D∗)τk = qi,i1,1(∂Dτk). La derivada de r-ésima será la

suma de 2r términos que son composición de alguna derivada de qi,i1,1 actuandosobre alguna derivada de ∂Dτk, por lo que el resultado se sigue fácilmente.Es importante notar que sólo hay un término en el que no aparece ningunaderivada de qi,i1,1, y éste es qi,i1,1(∇r∂Dτk) (siendo más precisos la extensión de

qi,i1,1 actuando sobre la correspondiente derivada covariante es qi,ir,1(∇r∂Dτk)).Luego si existe control de orden O(c−1/2

k ) para k suficientemente grande lacota que obtengamos será básicamente la asociada a este término.

A la hora de calcular las derivadas a lo largo de D la situación es similar.En primer lugar hacemos notar que las cotas en la aplicación qi,i se puedencomputar como sigue. Se eligen cartas adaptadas a la métrica y un vector dela forma ∂

∂s+vk generando la dirección complementaria asociada a i. La cotapara la aplicación equivale a una inferior para el ángulo mínimo entre este

3. TEORÍA LOCAL 51

complementario y D, y equivale a una cota superior para la norma euclídeade vk. Las cotas para las derivadas covariantes equivalen a cotas del mismoorden para drvk. De estas consideraciones se sigue fácilmente la misma clasede cotas para ∇r−j∇ji(D∗)q

r,r.

Por definición, ∇i(D∗)τk es la proyección a lo largo de Ann(D) de ∇τk.Siendo este factor común a ambas escisiones, se tiene ∇i(D∗)τk = qi,i1,1,∇Dτk.Similarmente a lo que ocurre con las derivadas totales ∇ri(D∗)τk es una sumade términos de dos tipos. Por un lado están aquellos en los que aparecenderivadas de qi,i, y derivadas restringidas a i(D∗). Por hipótesis, obtenemoscotas del mismo orden que aquellas para qi,i1,1,. El término restante resulta

ser qi,ir,r · · · qi,ir,1(∇Dτk). Por tanto para teorías fuertememnte equivalentesla cota viene dada, para k suficientemente grande, por el citado sumando (ypara teorías equivalentes se tiene una cota de orden O(1)).

La afirmación relativa al decaimiento gaussiano es obvia.La demostración de la implicación en el sentido contrario es exactamente

la misma.

Teniendo en cuenta que la aplicación que relaciona la escisión de lamétrica y la curvatura tiene derivadas acotadas por O(c−1/2

k ) (lema 3.9)se tiene:

Lema 3.31. Existen κ > 0 y K ∈ N+, tal que para todo x ∈ M se puedenconstruir secciones τ ref

k,x de Lk de modo que la sucesión es A.H (con constantes(CDj , Cj) independientes de x), tiene decaimiento gaussiano respecto a x (conconstantes iguales) y verifica |τ ref

k,x| ≥ κ en una bola de gk-radio fijo centradaen x (todas las cotas son satisfechas para k ≥ K).

De ahora en adelante nuestra teoría aproximadamente holomorfa será lareferida a la métrica (y sus fuertemente equivalentes). Además, de nuevopor simplificar la notación, denotaremos la proyección de la derivada a Dmediante ∇D, en vez de ∇D ó ∇i(D∗).

Observación 3.32: Las cotas de orden O(1) son suficientes para asegurar quesecciones A.H. para una retracción lo son para la otra. Este hecho nos seráde utilidad para dar formas normales.

La ventaja de las teorías fuertemente equivalentes es la siguiente. Unproblema fundamental que encontraremos más adelante (secciones 4, 5) seráestudiar las propiedades de transversalidad de los llamados r-jets pseudo-holomorfos asociados a τk una sucesión A.H. de secciones. Estas nuevassecciones de fibrados construidos a partir de D∗1,0, que introduciremos en lapróxima sección, coinciden de modo aproximado con ∇rDτk (recordemos quela notación ∇rD sustituye a ∇r

i(D∗); también esta afirmación es cierta usando

las conexiones modificadas que introduciremos en la proposición 4.6). Paraotra retracción i que dé una teoría fuertemente equivalente podemos inten-tar hacer lo propio con los r-jets correspondientes, que coinciden de modo


aproximado con ∇ri(D∗)τk. En las aplicaciones principales veremos que el

morfismo de fibrados correspondiente inducido por qi,i preserva las estra-tificaciones con respecto a las que queremos lograr transversalidad (seránestratificaciones invariantes por Gl(n,C)). Al ser las teorías fuertementeequivalentes el r-jet asociado a i será de modo aproximado la imagen pordicha aplicación de fibrados del r-jet asociado a i, lo que implicará que laobtención de transversalidad para uno equivaldrá a transversalidad para elotro. Para teorías equivalentes esto sólo es cierto en principio para 1-jets(aunque veremos que en determinadas regiones la relación existente mejora).

Observación 3.33: Una consecuencia de la discusión anterior es que parauna variedad compacta calibrada de tipo entero, una vez escogida J estruc-tura casi-compleja compatible con ω se tiene una metrica g|D = ω(·, J), ydiferentes extensiones a una métrica g en M dan teorías A.H. fuertementeequivalentes.

Ahora podemos dar una definición más precisa de lo que son coordenadasaproximadamente holomorfas.

Definición 3.34. Llamamos coordenadas aproximadamente holomorfas alas asociadas a familias de cartas adpatadas ψk,x : Cn × R → Ux para lasque se verifica:

(1) ψ∗k,xD u Dh.(2) Las funciones coordenadas zjk : Ux → C son A.H.(3) El vector gk-unitario vk tal que ∂

∂sk+vk ∈ D⊥ tiene ángulo mínimo

con respecto a Dh acotado inferiormente y todas sus derivadas estánmayoradas por O(c−1/2

k ).

En otras palabras, coordenadas aproximadamente holomorfas son aque-llas para las que la correspondiente teoría local A.H. es fuertemente equiva-lente a nuestra teoría A.H. global asociada a la métrica.

Se puede debilitar el concepto anterior considerando familias de car-tas centradas en puntos de determinadas sucesiones de subvariedades de(M,D, J, gk) para las que la tercera condición se relaja pasando a pedirsesolamente cotas de orden O(1), es decir, consideramos cartas de modo que lanoción local asociada de secciones A.H. es sólo equivalente a la nuestra; cier-tas construcciones locales no son equivalentes para ambas nociones (aunquepara algunas sí se dará esta equivalencia, y de ello haremos uso en su mo-mento). Salvo que digamos lo contrario las coordenadas aproximadamenteholomorfas que empleemos serán aquellas de la definición 3.34.

Es posible obtener otras familias de secciones de referencia con igualcontrol en todas las direcciones usando la simplectización. Basta considerarlas secciones de referencia de la teoría par centradas en puntos deM×0, yver que al restringir a ella las cotas se se mantienen. Para ello, y puesto quelo usaremos más tarde, consideramos el caso de una variedad par polarizada.

Si tenemos χk una sucesión de secciones Cr-A.H., ∂Gχk también seráde orden O(c−1/2

k ). Tomando cartas de Darboux centradas en cada punto

3. TEORÍA LOCAL 53

de M × 0 podemos componer con la citada modificación en presencia depolarizaciones. En el modelo local es evidente que ∂Cgχk u 0. Para com-putar ∂Gχk y sus derivadas basta con escribirlo como la proyección de ∂Cgχkmediante el isomorfismo de fibrados que relaciona ambas escisiones. Lascotas para las cartas adaptadas implican que esta proyección tiene cotasde orden O(1), y de orden O(c−1/2

k ) para sus derivadas. En definitiva, si|∇r∂χk|gk ≤ O(c−1/2

k ), también |∇r∂Gχk|gk ≤ O(c−1/2k ).

Para la variedad simplectizada tomamos G = D, y necesitamos aún con-siderar la parte de la derivada a lo largo de TM . Puesto que la métricahace que las copias de M sean ortogonales a la dirección ∂

∂t , usando los ar-gumentos anteriores se concluye que |∇rM ∂(χk |M )|gk ≤ O(c−1/2

k ). Del mismomodo ocurre para las cotas en las derivadas covariantes, para su proyecciónsobre D∗, y para el decaimiento gaussiano. Por tanto si χk es una sucesiónCr-A.H.(Cr) de secciones definidas en M × [−εk, εk], χk |M será una sucesiónCr-A.H.(CCr, CCr), donde C es una constante que no depende de la suce-sión de partida. En particular, de las secciones de referencia en M × [−ε, ε]centradas en los puntos de M × 0 obtenemos otra familia de secciones dereferencia para (M,D, J, g) con las mismas cotas.

Obsérvese que en la manera en la que hemos extendido la métrica y laestructura casi-compleja a la variedad simplectizada, la retracción natural ala que están asociadas las secciones restringidas a M × 0 es la asociada ala métrica.

Por último notamos que la métrica en la simplectización construida exten-diendo a g no juega ningún papel a la hora de asegurarse que las restriccionesverifican las acotaciones adecuadas. Para cualquier métrica podemos elegirun sistema de cartas adaptadas a la variedad del modo obvio y usarlas parahacer estas comprobaciones.

Es importante precisar que podemos usar la simplectización no sólo paraconstruir la teoría intrínseca local, sino para resolver problemas de transver-salidad en M a lo largo de D para χk |M , donde χk es una sucesión A.H.de la simplectización. En efecto, la transversalidad será una afirmaciónsobre ∇D(χk |M ). Por definición ∇D(χk |M ) es la proyección sobre D de∇TM (χk |M ). Se comprueba por tanto que ∇Dχk ∈ Γ(D∗ ⊗ Lk) definidaen la symplectización extiende a ∇D(χk |M ), con lo que podemos tratar deconvertir el problema original de transversalidad en un problema de trans-versalidad para ∇Dχk (que hemos visto coincide de modo aproximado con∂χk) en los puntos de M .

Del mismo modo los argumentos anteriores se aplican en el caso relativo(M,ω,G,N), donde (M,ω) es una variedad simpléctica compacta, N (respQ) es una subvariedad simpléctica (resp. calibrada), y G es una distribucióncasi-compleja definida en un entorno U de N que extiende a TN (resp.a D). Obsérvese que es elemental encontrar una J compatible que hagacomplejas las extensiones locales arbitrarias de TN y D respectivamente.En el caso de una subvariedad simpléctica es posible encontrar en los puntosde N coordenadas A.H. (para M) adaptadas a G y que ademas rectifiquenN (en la carta coincide con Cg×0, y de hecho podemos lograr que G⊕G⊥coincida de modo aproximado con Cg×Cn−g). De ello se deduce que si χk es


una sucesión A.H. de Lk := L⊗k, la restricción a N también es una sucesiónA.H. de (N, J, gN ), donde gN es la métrica inducida. También se prueba que∇Gχk extiende a ∇(χk |N ).

Si lo que tenemos es una subvariedad calibrada, se comprueba sin difi-cultad que –al igual que para subvariedades simplécticas– la restricción deL⊗k define una sucesión muy amplia de fibrados. De nuevo tomando enlos puntos de Q coordenadas A.H. que rectifiquen Q, cuya restricción a Qsean coordenadas A.H. y tal que G⊕G⊥ coincida de modo aproximado conCg×Cn−g, si χk es una sucesión A.H. enM , se comprueba que su restricciónes una sucesión A.H. de (Q,D, J, gQ) y que ∇Dχk extiende a ∇D(χk |Q).

3.5. Fibrados de rango superior

Se tienen resultados similares para fibrados de rango superior. Aquellosque nos interesan especialmente son los de la forma Cm ⊗ Lk, pero tambiénlos que localmente tienen ese aspecto en el sentido aproximado.

Definición 3.35 (véase [3]). Una sucesión Ek →M de fibrados hermitianosde rango m con conexión (unitaria) es asintóticamente muy amplia (o muyamplia) si existen constantes positivas ck →∞, (Cj)j≥0, tal que la curvaturaverifica:

(1) 〈iFk(v, Jv)u, u〉 ≥ gk(v, v)|u|2,∀v ∈ D,(2) |Fk |D − Fk

1,1|D |gk ≤ Crc

−1/2k ,

(3) |∇jFk|gk ≤ Cjc−1/2k ∀j ≥ 0.

Una sucesión Ek de fibrados muy amplia es localmente escindible enel sentido aproximado (o simplemente localmente escindible), si para cadax ∈M se puede encontrar sobre una bola de g-radio fijo secciones unitariasτk,1, ..., τk,m tal que τk,1 ∧ ... ∧ τk,m está acotado inferiormente (son com-parables a una base unitaria), y para la escisión local que inducen, Ek =Lk,1 ⊕ · · · ⊕ Lk,m, la matriz de 1-formas αk,x que representan la diferenciaentre la conexión principal y la suma directa de las inducidas en cada fibradode línea verifica |∇rαk,x|gk ≤ O(c−1/2

k ) para todo r ≥ 0 en la bola de g-radiofijo (lo que en realidad es más fuerte que pedir que sea anule en el sentidoaproximado).

En cualquier caso sólo consideraremos aplicaciones para fibrados de laforma Ek = E ⊗ Lk, donde E es un fibrado hermitiano con conexión. Paraestos fibrados además de disponer de la escisión asociada a la métrica se tienela dada por las curvaturas de Lk. La noción de sucesión de secciones A.H. esobvia al igual que la de sucesión con decaimiento gaussiano. Se compruebafácilmente que al tensorizar las secciones de referencia anteriores con basesunitarias locales de E, se obtienen sucesiones de secciones aproximadamenteholomorfas y con decaimiento gaussiano τ ref

k,x,1, ..., τrefk,x,m formando una base

local.

4. JETS CASI-COMPLEJOS 55

Para una sucesión de fibrados localmente escindibles generales la únicaescisión que podemos encontrar es la de la métrica. Aún así si lo que quere-mos es construir sucesiones de secciones de referencia sin recurrir a la teoríarelativa, podemos considerar los fibrados locales Lk,j y obtener secciones dereferencia locales para ellos. En esta construcción localmente se puede usarcomo elemento auxiliar la correspondiente escisión asociada a las curvaturas(diferente en principio para cada fibrado), obtener para ella secciones de re-ferencia A.H., y aplicar el lema 3.30 para concluir que las sucesiones tambiénson de secciones de referencia con respecto a la escisión natural dada por lamétrica.

Resumiendo, hemos visto que hay tantas nociones de secciones A.H. comoretracciones para la proyección natural T ∗M → D∗. Muchas de estas resul-tan ser equivalentes o incluso fuertemente equivalentes. En particular, parala retracción dada por la métrica podemos encontrar secciones de referenciaporque existen de modo obvio para la teoría asociada a la escisión dada porlas curvaturas.

Es posible construir sin apenas esfuerzo secciones con las mismas propieda-des usando la teoría relativa. Aunque a la luz de los resultados obtenidosusando dicha teoría pudiera parecer que el trabajo realizado para desarrollarla teoría local intrínseca es vano, esto no deja de ser sino una impresión untanto errónea. En el fondo ambas son dos versiones de una teoría A.H. alo largo de distribuciones (o foliaciones en los modelos), y la clase de cons-trucciones locales que se necesitan son esencialmente las mismas: en primerlugar construcciones de cartas de Darboux asociadas a la distribución corres-pondiente que coincidan de modo aproximado con modelos locales obvios,y en segundo, soluciones al problema local de existencia de secciones A.H.también obvias (al menos tras los trabajos de S. Donaldson).

4. Jets casi-complejos

El objetivo principal de la teoría es demostrar, para una sucesión muyamplia de fibrados (localmente escindibles), la existencia de sucesiones desecciones aproximadamente holomorfas con buenas propiedades de transver-salidad. Más explícitamente buscamos ser capaces de hacer el pullback dedeterminadas estratificaciones en el espacio total de los fibrados con los queestamos trabajando; por tanto hemos de ser capaces de lograr transversali-dad de las secciones con respecto a estas estratificaciones. Las condicionesque impondremos a dichas estratificaciones implicarán que la transversalidaduniforme se reducirá a un resultado local de transversalidad estimada parafamilias uniparamétricas de funciones holomorfas. Obsérvese que esta teoríaya existe para el caso par, en el que la principal aplicación es para ciertasestratificaciones de los fibrados de jets pseudo-holomorfos. Desarrollaremosuna teoría similar para jets pseudo-holomorfos en el caso de dimensión impar.


En el marco de la teoría relativa mostraremos que en el caso par existenestratificaciones interesantes asociadas a una polarización, y que bajo de-terminadas condiciones (esencialmente las enunciadas en [4]) la cuestión detransversalidad se reduce de nuevo al teorema local de transversalidad a lolargo de subvariedades para funciones aproximadamente holomorfas probadopor J. P. Moshen [43].

En primer lugar pasamos a introducir los fibrados (hermitianos) de jetspseudo-holomorfos.

4.1. Jets pseudo-holomorfos

El caso integrable. Sea E →M un fibrado hermitiano complejo sobre unavariedad compleja (dimensión par). Para definir los jets holomorfos es nece-sario tener una conexión∇ con F 0,2

∇ = 0, esto es, una estructura (compatible)de variedad compleja en E (teorema 2.1.53 en [15]; recordemos que este re-sultado es válido para cualquier conexión, y si ésta es unitaria equivale aque la curvatura coincida con F 1,1

∇ ). Dicha estructura da lugar a una no-ción de sección holomorfa y por tanto de r-jet holomorfo. El espacio de jetstiene cartas locales naturales obtenidas a través de la elección de coorde-nadas holomorfas en la base y de una trivialización holomorfa del fibrado, yusando ∂0 (definido usando la estructura compleja canónica J0 y la conexióntrivial d) para aplicaciones holomorfas de Cn a Cm; localmente obtenemospor tanto J rn,m, los r-jets holomorfos usuales para aplicaciones holomorfasde Cn en Cm (clases de equivalencia de gérmenes de aplicaciones holomorfasde Cn en Cm).

Se puede usar la conexión para dar una definición diferente de jets holo-morfos (en principio localmente y dependiente de las cartas) considerando eloperador ∂∇ (esto es, si la matriz de formas de conexión en la trivializaciónholomorfa correspondiente es A = A1,0, entonces el 1-jet acoplado de unasección holomorfa τ se define como (τ, ∂0τ +Aτ))). Es importante observarque la clase de información que se obtiene de estos jets acoplados no es la delos jets usuales. En este punto es necesario explicar por qué son útiles. Enprimer lugar asumimos que nuestro fibrado E es de la forma Cm⊗L, donde(L,∇) es un fibrado de línea hermitiano (normalmente uno muy amplio) en elque F∇ = F 1,1

∇ (insistimos en que en caso de que la conexión sea hermitianaesto equivale a la holomorfía del fibrado, y en caso contrario es una condiciónmás fuerte). Una sección holomorfa τ de E define una aplicación φ a CPm−1

fuera de los puntos donde se anula. Pretendemos estudiar la genericidad de φa través de la de τ . Para ello queremos trasladar el correspondiente problemade transversalidad para el r-jet de φ en el fibrado no-lineal J r(M,CPm−1),a un problema de transversalidad para el r-jet acoplado de τ en un fibradode r-jets “acoplados” de secciones holomorfas de Cm ⊗ L, que pasamos adescribir.

Comenzamos dando una noción de r-jets acoplados locales: una vez elegi-das coordenadas holomorfas en la base usamos la conexión plana d actuandoen secciones de T ∗1,0M ∼= T ∗1,0Cn; el r-jet acoplado de una sección τ en un


punto de la carta se define como (τ, ∂∇τ, ..., ∂r∇τ), donde los iterados de ∂∇se construyen usando d (que no ha de confundirse con la derivada exterior)en los factores T ∗1,0M .

Tal y como hemos indicado, en el dominio de una carta compleja el fi-brado L puede ser trivializado con secciones holomorfas de modo que A0,1

–la componente antiholomorfa de la forma de conexión A = A1,0 + A0,1–se anula. Sobre cada punto de M el conjunto de los jets “acoplados” sepueden identificar con los usuales (o planos) y por tanto llenan el fibrado∑r

j=0((T ∗1,0Cn)j) ⊗ Cm (aunque para una misma sección los correspon-dientes r-jets en cada punto serán en general diferentes). En efecto, paracada punto podemos encontrar una trivialización por secciones holomorfascuyos grafos son tangentes a la “distribución horizontal” asociada a la co-nexión. Por tanto, la forma de conexión se anula en el punto. Esto, juntocon la anulación de F 2,0

∇ , da el resultado deseado.

Los jets acoplados también comparten otra importante propiedad conlos planos: dado cualquier (r + 1)-jet σ = (σ0, ..., σr+1) sobre, digamos,el origen, existe α una sección local de J rm,n con α(0) = (σ0, ..., σr) yσ = ∂∇α(0) = ∇α(0); basta usar la misma construcción que en caso planoperturbando linealmente πr+1

r (σ) = (σ0, ..., σr) con polinomios complejoshomogéneos adecuados, y la anulación de la forma de conexión en el origen.

En este punto el disponer de un modelo local para los r-jets acoplados essuficiente para nuestros propósitos (de hecho hemos descrito el model par yel impar no será sino una versión folliada de este último). En cualquier caso,hacemos notar que es posible dar una definición global de r-jets acopladosque siguen teniendo las propiedades fundamentales de los locales.

Si queremos trabajar de modo global con jets acoplados es necesario usaruna conexión en T ∗1,0Cn, por ejemplo la inducida por la de Levi-Civita, lacual nos dará simetría en el caso de que la métrica sea Kähler. Esto es,podemos escoger coordenadas holomorfas normales en las que la matriz deformas de conexión se anula en el origen (o equivalentemente la torsión dela conexión es nula en el origen [25]), lo cual –junto con el hecho de quela curvatura tiene tipo (1, 1)– garantiza que el r-jet acoplado es un tensorsimétrico). Una vez más la propiedad que describe un (r+1)-jet como el 1-jetde una sección local del fibrado de r-jets holomorfos acoplados, se cumple;de nuevo en este caso hay que elegir una carta holomorfa normal.

Es necesario reseñar que la introducción de una métrica desvirtúa estosjets acoplados globales, pues proyectivizando no corresponderían a los jetsusuales. En cualquier caso conviene recordar que, cualquiera que sea ladefinición de r-jets pseudo-holomorfos que nos dispongamos a dar, será talque coincidan de modo aproximado con los de los modelos locales (esto es,los jets “acoplados” que acabamos de describir); en los modelos locales lamétrica es g0 (o si se quiere la aportación en métrica gk de los símbolos deChristoffel y sus derivadas para la conexión de Levi-Civita asociada a g esaproximadamente nula, o dicho de otro modo coincide de modo aproximadocon la aportación de g0, que es nula), por lo que la clase de informaciónque obtendremos de los r-jets pseudo-holomorfos será significativa para elestudio de (sucesiones de) aplicaciones A.H. a espacios proyectivos.


A pesar de todo es interesante observar que en el caso integrable el uso deuna métrica Kähler da una noción de r-jets acoplados globales que llenan elfibrado adecuado y para los que se dispone de representaciones locales (queserán instrumentos fundamentales para el estudio de problemas de transver-salidad).

La ventaja de los jets acoplados es que simplifican el grupo estructural delfibrado (que pasa a ser vectorial) –que en el caso plano es 0Hrn ×Gl(m,C)–donde 0Hrn es el grupo de r-jets de gérmenes de transformaciones biholomor-fas de Cn fijando el origen.

Nótese que si quisiésemos tener r-jets acoplados coincidiendo localmentecon los planos (imaginemos por un momento que el fibrado es trivial demodo que la forma de conexión es nula), entonces la métrica tendría queser también plana y las funciones de transición, siendo isometrías, seríanlineales. El resultado sería una reducción del grupo estructural a Gl(n,C)×Gl(m,C) ⊂ Gl(N,C), donde N es la dimensión de la fibra de J rn,m, que esexactamente lo que se consigue al introducir una conexión.

En la situación impar nuestro modelo es el ya descrito: suponiendo queen la variedad casi-compleja de partida tanto D como J son integrables, pe-dimos una identificación local adaptada a la foliación horizontal en Cn × Rde modo que J coincida la estructura compleja canónica J0 y tal que la cur-vatura restringe a cada hoja como una forma de tipo (1, 1) independientede la coordenada vertical. Para definir los jets holomorfos acoplados (y fo-liados) en la carta se procede del mismo modo que cuando se definen jetsfoliados. Para cada punto se restringe la función a cada hoja (suponemosque hemos trivializado de modo que la restricción a cada hoja de la formade conexión es también independiente de la coordenada vertical) y se con-sidera el correspondiente jet holomorfo acoplado. Por lo tanto sobre cadapunto coinciden con los jets acoplados para variedades complejas (aquí senecesita que la estructura compleja sea independiente de la coordenada ver-tical; al tener la restricción de la forma de conexión también esta propiedad,en esta trivialización cualquier subvariedad en J rn,m se extiende de modonatural a una en J rDh,n,m = J rn,m ×R independiente de la coordenada verti-cal). Si ademas suponemos que el fibrado es Cm ⊗ L en el que la curvaturade L (tal vez foliada) es −iω0, entonces tenemos además trivializacionesholomorfas definidas multiplicando una sección cuya forma de conexión (talvez foliada) es A0 por f(z, s) = e−|(z,s)|

2/4 ó f(z, s) = e−zz/4 (independi-ente de s), que sabemos son soluciones de las correspondientes ecuaciones deCauchy-Riemann.

De nuevo si quisiésemos dar una definición global –aunque el modelolocal es suficiente para nuestros propósitos– sería necesario usar por ejemplola conexión en T ∗1,0(Cn×R) ∼= T ∗1,0Cn (a nivel de fibras). Podemos usar laconexión inducida por la restricción de la de Levi-Civita a cada hoja (aquíel tema de la simetría es más delicado).

Por último en presencia de polarizaciones se considera el modelo localCg × Cn−g, y se trabaja con jets holomorfos foliados a lo largo de las hojasCg ×w, denominando al fibrado correspondiente mediante J rCg ,n,m (y que


coincide con J rg,m × Cn−g). Lo cierto es que a la hora de tratar la transver-salidad no estaremos interesados en trabajar en el fibrado de jets foliados,sino que haremos pullback al fibrado de jets holomorfos y trabajaremos ahí,por lo que en su momento estudiaremos algunas propiedades elementales dela aplicación natural J rn,m → J rCg ,n,m.

Jets pseudo-holomorfos. Sea Ek una sucesión muy amplia de fibrados vec-toriales hermitianos localmente escindibles sobre la variedad casi-compleja(M,D, J, g). Consideramos los fibrados J rDEk :=

∑rj=0((D∗1,0)j)⊗ Ek.

La métrica hermitiana h inducida en D por definición da lugar a unamétrica hermitiana en la componente (0, 1) de D∗C. Ocurre lo propio conla componente (1, 0), sin más que considerar la misma construcción para−J . Usando la inmersión asociada a la métrica tenemos por tanto unamétrica hermitiana en D∗1,0, que a su vez induce otra métrica hermitianaen (D∗1,0)r; para J rDEk la métrica apropiada es hk := ckh, pues en car-tas adaptadas es la comparable a h0 = g0. La conexión de Levi-Civitainduce una conexión en D∗1,0 que junto con la aplicación simetrizadorasymj : (D∗1,0)⊗j → (D∗1,0)j , da lugar a una conexión en (D∗1,0)j . Ésta, yla de Ek dan lugar a una conexión ∇k,r en J rDEk.

La definición de jets pseudo-holomorfos a lo largo de D (o simplementejets pseudo-holomorfos o casi-holomorfos) para una sucesión Ek de fibradosvectoriales hermitianos es la siguiente (véase [4]):

Definición 4.1. Sea τk una sección del fibrado (Ek,∇k). El r-jet pseudo-holomorfo jrDτk es una sección del fibrado J rDEk =

∑j=0r ((D∗1,0)j) ⊗ Ek

definido por inducción tomando el 1-jet pseudo-holomorfo asociado a ∇k,jpara obtener un elemento de D∗1,0 ⊗ (

∑i=0j (D∗1,0)j) ⊗ Ek), y luego com-

poniendo con (symj+1 ⊗ I, · · · , sym2 ⊗ I, I ⊗ I, I) para obtener una secciónde J j+1

D Ek.

Observación 4.2: La definición anterior incorpora el hecho de que los (r+1)-jets están definidos como la simetrización del 1-jet pseudo-holomorfo de unadeterminada sección (holónoma) de J rDEk (en realidad en la definición hemosconsiderado la componente de grado 1 de este 1-jet, que tras simetrizar da lasde grado 1, ..., r+ 1, a las que posteriormente añadimos τk proviniente de laparte de grado cero). Obtenemos el mismo resultado si consideramos todo el1-jet de la sección de J rDEk y simetrizamos adecuadamente, pues obtenemosla misma componente homogénea de grado j, j = 1, ..., r, proveniente de lade grado 1 y de la de grado 0 del 1-jet de la sección de J rDEk).

Observación 4.3: El r-jet τk es suma de r+1 componentes homogéneas. Paradefinir jr+1

D τk no necesitamos todo el r-jet, tan sólo la componente de grador.

Observación 4.4: La definición de jets pseudo-holomorfos sólo tiene real-mente sentido en cuanto a su uso posterior para valores muy grandes dek, ya que la métrica pasa a ser prácticamente plana (en cartas adaptadas a


la métrica o curvaturas) y por tanto la parte no simétrica es también aproxi-madamente nula. Así pues la simetrización tiene un efecto desdeñable ylocalmente los jets coinciden aproximadamente con los jets acoplados holo-morfos definidos en Cn×R con la estructura compleja J0 y la métrica plana.En particular, llenan el fibrado J rDEk.

Observación 4.5: Aunque la conexión en D∗1,0 puede no ser compatible conla métrica hk, lo es en el sentido aproximado. Tampoco esto reviste especialimportancia en el caso holomorfo, porque lo que nos interesará será inducirconexiones con curvatura de tipo (1, 1), sean o no compatibles con la métrica.

Esencialmente todas las propiedades y construcciones locales pueden tras-ladarse de Ek a J rDEk. Para cada punto x en M hay disponible una baselocal de Ek formada por secciones de referencia τ ref

k,x,1, ..., τrefk,x,m. Una vez fi-

jadas coordenadas A.H. (adaptadas a la métrica por ejemplo), tenemos unaidentificación de D∗1,0 con T ∗1,0Cn sin más que considerar dzik ∈ T ∗1,0Cn eidentificarla con su componente en D∗1,0. Conviene recordar que esta iden-tificación tiene sentido en bolas de gk radio O(1), que es la región dondenuestros cálculos han de ser precisos. De lo que ocurre fuera de esta regiónse encarga el decaimiento gaussiano de la secciones de referencia. Es im-portante resaltar que aunque escribamos dzik, nos estaremos refiriendo a laimagen en D∗1,0 mediante la correspondiente aplicación de fibrados (definidalocalmente). La observación que nos interesa es que esta aplicación tienenorma acotada por O(1) y derivadas acotadas por O(c−1/2

k ), pues se cumplelo propio para dzik como sección local de D∗1,0.

Una vez elegidas trivializaciones (por secciones de referencia) y coor-denadas A.H., tenemos una identificación local de J rDEk con J rn,m aso-ciada a la base µk,x,I descrita como sigue: para cualquier (n + 1)-tuplaI = (i0, i1, ..., in), con 1 < i0 < m, 0 ≤ i1 + · · · + in ≤ r, definimosµk,x,I := dz1

ki1 · · · dznk

in ⊗ τ refk,x,i0

. Es elemental comprobar que estabase –en bolas de gk-radio O(1) en las que es comparable con una unitaria–está formada por secciones A.H. con decaimiento gaussiano con respecto ax.

Por tanto, la sucesión J rEk es muy amplia y localmente escindible, conla salvedad de que en la definición de amplitud se pide que la conexión seacompatible con la estructura hermitiana, aunque esto no tiene importanciapues esta propiedad se usa para la construcción de secciones de referencia,de las que ya se dispone por otro cauce.

Cuando tenemos una polarización G, el fibrado de r-jets pseudo-holomor-fos a lo largo de G será J rGEk :=

∑rj=0((G∗1,0)j)⊗Ek. Usando la escisión

D = G⊕G⊥ podemos ver J rGEk como un subfibrado de J rEk. Extendiendopor ceros, toda sección del subfibrado lo es también de J rEk. Empleamosel mismo proceso de inducción que para la definición de jets a lo largo de D,sólo que después o antes de simetrizar (da el mismo resultado), proyectamosortogonalmente TM∗1,0 sobre G∗1,0 (o incluso primero T ∗MC sobre G∗C).

En coordenadas A.H. adaptadas a G y utilizando (g+ 1)-tuplas Ig comolas anteriores, es decir, sólo para las coordenadas z1

k, ..., zgk, se ve que µk,x,Ig ,


donde en este caso dzik, 1 ≤ i ≤ g, se identifica con su proyección primerosobre T ∗1,0M y luego sobre G∗1,0, es una base local del fibrado J rGEk desecciones con decaimiento gaussiano con respecto a x (comparable con unaunitaria en bolas de gk-radio O(1)).

En esta situación hay todavía un punto débil. Teniendo en cuenta quela meta final es construir sucesiones de secciones cuyos r-jets sean transver-sales a determinadas estratificaciones, es necesario que los propios jets seansecciones aproximadamente holomorfas de los correspondientes fibrados paraasí poder aplicar las técnicas de geometría aproximadamente holomorfa. Enparticular las bases locales que pretendemos usar son holónomas y respondena la siguiente definición: si I es una de las (n+1) tuplas usadas anteriormentese define νk,x,I := jrDτ

refk,x,I , donde τ

refk,x,I := (z1

k)i1 · · · (znk )inτ refk,x,i0

∈ Γ(Ek). Eselemental comprobar que constituyen una base en gk-bolas de radio O(1)(comparable con una unitaria) y que las secciones tienen decaimiento gaus-siano; el r-jet es aproximadamente una componente de la derivada a lo largode D, y podemos aplicar las ideas del lema 3.27 para comprobar que cotasen norma Cr+h para τk se transforman en Ch cotas para jrDτk, teniéndosebuen control sobre el cambio de constantes (ya que se obtiene una relaciónmultiplicativa).

Del mismo modo se cuenta con las bases locales νk,x,Ig := jrGτrefk,x,Ig

, dondela definición de τ ref

k,x,Iges la obvia. Es fácil que estas secciones tienen de-

caimiento gaussiano y forman una base del subfibrado en una bola adecuada.Es una observación de D. Auroux que en el caso Kähler (véase [5]) los

jets acoplados no son secciones holomorfas del fibrado J rn,m, con respecto ala estructura compleja inducida por la conexión (debido a la curvatura).

Esta dificultad se supera introduciendo una nueva estructura compleja(una nueva conexión) en J rDEk (resp. en J rEk en el caso par).

Proposición 4.6. Sea Ek → (M,D, J, g) una sucesión muy amplia de fi-brados vectoriales hermitianos localmente escindibles. La sucesión J rDEk,que es muy amplia para las conexiones ∇k,r descritas anteriormente, admitenuevas conexiones ∇k,Hr tal que:

(1) ∇k,r −∇k,Hr ∈ D∗0,1 ⊗End(J rDEk), y por tanto ambas conexionesdefinen los mismos jets aproximadamente holomorfos (e igualmentepara polarizaciones).

(2) Denotemos por Fk,Hr y Fk,r las curvaturas de ∇k,Hr y ∇k,r. Setiene Fk,Hr u Fk,r y por tanto (J rDEk,∇k,Hr) es una sucesión muyamplia. Además, una base local en bolas de gk-radio fijo se obtienecon jrDτ

refk,x,I , donde τ

refk,x,j, j = 1, ...,m es una sucesión de secciones

de referencia de Ek.(3) Si τk : M → Ek es una sucesión de secciones Cr+h-A.H., jrDτk : M →J rDEk es una sucesión de secciones Ch-A.H. para las conexiones∇k,Hr . También se tiene que jrGτk : M → J rGEk ⊂ J rDEk es unasucesión de secciones Ch-A.H.

Para jets integrables acoplados (locales) si la curvatura Fi de cada fibradode línea Li, i = 1, ...,m, restringida a la hojas tiene componentes constantes


(respecto a todas las coordenadas), la anterior modificación da una igualdadpara la restricción de las curvaturas a cada hoja, lo que en particular implicaque la estructura casi-compleja definida es también integrable (en cada hojadel pullback de Dh a J rDh,n,m). Asimismo, si τ es una sección holomorfa(función a Cm), también jrDh,n,mτ es holomorfa para la nueva estructura.

Prueba. Omitiremos los subíndices k y r en las conexiones siempre queno haya lugar a equívoco.

Sea σk = (σk,0, σk,1) una sección (tal vez local) de J 1DEk. Se define

∇H1(σk,0, σk,1) = (∇σk,0,∇σk,1)+(0,−F 1,1D σk,0), donde −F 1,1

D σk,0 ∈ D∗0,1⊗D∗1,0 ⊗ Ek (véase [5]).

La citada expresión define una conexión. Todas las identidades puedenser probadas localmente en bolas de gk-radio fijo; es más, como son identi-dades aproximadas se puede usar la descomposición local de Ek en Lk,1 ⊕...⊕Lk,m dada por una base local de secciones Cr+h-A.H., τk,1, ..., τk,m, juntocon la conexión diagonal inducida, que seguimos llamando ∇, y la correspon-diente curvatura F . Es entonces fácil ver que es suficiente probar el resultadocuando Ek es una sucesión de fibrados de línea.

En una sucesión Lk de fibrados de línea con conexión∇, la escisión TM =D ⊕D⊥ permite escribir la conexión ∇ = ∂ + ∂ +∇D⊥ . Se comprueba quecomo la curvatura para la escisión dada por ella misma es aproximadamentede tipo (1, 1), por los resultados del apartado 2.1 de la sección 2, para laescisión dada por la métrica, F 1,1

D u FD, luego FD u ∂∂ + ∂∂.

El término adicional que se añade para definir la conexión modificadase puede entender mejor a través de la expresión de la curvatura actuandosobre secciones aproximadamente holomorfas τk. Recordamos que en co-ordenadas, para definir la curvatura la conexión se ha de componer con eloperador ∇1 : T ∗M ⊗ T ∗M ⊗ Lk → T ∗M ⊗ Lk definido como sigue: en lacarta en la que T ∗M está trivializada tenemos definida la conexión plana den T ∗M ; el operador ∇1 es d⊗ I − I ⊗∇, que compuesto con la aplicaciónantisimetrizadora asym2 : T ∗M ⊗ T ∗M → ∧2T ∗M da lugar a la curvatura.Es fácil ver, por ejemplo en coordenadas A.H. adaptadas a la métrica (o alas curvaturas), que FD es el resultado de considerar la composición de ∇Dcon ∇1

D := dD ⊗ ID − ID ⊗∇D, y posteriormente con la antisimetrización.

El término ∂∂τk u dD∂τk u d∂τk se anula en el sentido aproximado:escribimos ∂τk =

∑ni=1 dz

ik ⊗ giτk, donde dzik ∈ D∗0,1. Por tanto, (dD ⊗

ID − ID ⊗ ∇D) ∂τk u −(ID ⊗ ∇D) ∂τk. Luego para una sucesión τkaproximadamente holomorfa, FDτk u asym2(−∂∂τk) (las aplicaciones deantisimetrización y simetrización son de orden O(1) y tienen derivadas detamaño O(c−1/2

k )).

El término ∂∂ de la curvatura se puede escribir como la composición de−∂ ⊗ ∂ con la aplicación antisimetrizadora. En definitiva podemos concluirque la conexión modificada actúa sobre la sucesión j1

Dτk aproximadamenteañadiendo el término no antisimetrizado de la componente de la curvaturaen D:

∇H(τk, ∂τk) u (∇τk,∇∂τk − ∂ ⊗ ∂τk).


Así,

∇H,D(τk, ∂τk) u (∇Dτk, ∂∂τk + ∂∂τk − ∂ ⊗ ∂τk) u (∇Dτk, ∂∂τk),

y por tanto,

∂Hj1Dτk u (∂τk, 0) u 0.

En el caso integrable lo que añadimos es exactamente −∂⊗∂ y el 1-jet deuna sección holomorfa es evidentemente holomorfo para la nueva conexión.

Para comprobar las identidades relativas a la conexión modificada usamoscartas adaptadas a la métrica (o a las curvaturas también), y las anterior-mente mencionada bases locales de D∗1,0 y D∗0,1, completadas con dsk a unabase local de T ∗M ⊗ C.

Considérese la base local de J 1DLk dada por (0, dz1

k) ⊗ τk, ..., (0, dznk ) ⊗τk, (1, 0)⊗ τk. La expresión para la primera derivada covariante es:

∇H(0, dzik) = (0,∇dzik), i = 1, ..., n,

∇H(1, 0) = (∇1, 0) = (Aikdzik +Bi

kdzik + Ckdsk,−F 1,1).

La componente de curvatura de ∇ en D se escribe:

FD un∑

i,j=1

Ωijdzik ∧ dz

jk, Ωij =

∂Bjk

∂zik−∂Aik∂zjk

.

Para el subfibrado generado por (0, dz1k), ..., (0, dznk ), la curvatura de ∇H

es la de ∇.En cuanto a la sección (1, 0),

∇2H(1, 0) u ∇H(Aikdz

ik +Bi

kdzik + Ckdsk,

n∑i,j=1

Ωijdzik ⊗ dz

jk) u

u (F∇1,n∑

i,j,l=1

(ΩijAlkdz

ik ∧ dzlk ⊗ dz

jk + ΩijB

lkdz

ik ∧ dzlk ⊗ dz

jk) +

+n∑

i,j=1

(Ckdzik ∧ dsk ⊗ dzjk) +

+n∑

l,i,j=1

(AlkΩijdzlk ∧ dzik ⊗ dz

jk +Bl

kΩijdzlk ∧ dzik ⊗ dz

jk) +

+n∑

i,j=1

(Ckdsk ∧ dzik ⊗ dzjk)) = (F∇1, 0).

Obsérvese que cuando la curvatura a lo largo de D es de tipo (1, 1) ydΩij = 0, como por ejemplo en cartas de Darboux, las igualdades anterio-res se verifican de modo exacto en el caso integrable. Éste es exactamenteel motivo por el cual son satisfechas en el sentido aproximado en nuestrasituación, porque en el caso integrable tenemos igualdades.


Hay otro modo de probar este resultado que se basa en la elección deuna base especial de secciones holónomas. Dada τ ref

k,x A.H., la componentede la correspondiente forma de conexión en D∗ pertenece aproximadamenteal subespacio D∗1,0. Se considera la base local j1

D(zlkτk), donde zlk es unmonomio de grado ≤ 1 (no es estrictamente necesario tomar secciones dereferencia, basta con elegir τk A.H. tal que j1

D(zlkτk) resulten ser una baselocal comparable con una unitaria en una bola de gk-radio constante). Paralos cálculos que siguen τk puede ser cualquier sucesión A.H.

∇H(zlkτk, ∂(zlkτk)) u (∇zlkτk,∇∂(zlkτk)− ∂ ⊗ ∂zlkτk),y la curvatura se puede escribir:

FH(zlkτk, ∂(zlkτk)) u F (zlkτk, ∂(zlkτk))+(0,−∇∧∂⊗∂(zlkτk)−F1,1D ∧∇(zlkτk))

(4.3)Siendo más precisos, el segundo sumando se puede computar como sigue:

−∇ ∧ ∂ ⊗ ∂(zlkτk)− F1,1D ∧∇(zlkτk) u

− asym2(d⊗ I − I ⊗∇(−∂ ⊗ ∂(zlkτk))) + asym2(I ⊗ ∂ ⊗ ∂(∇zlkτk).) (4.4)

El operador −∂⊗∂ es aproximadamente tensorial (porque F 1,1D lo es). Por

tanto, escribiendo ∇(zlkτk) u ∂(zlkτk) +Cdsk⊗ τk = α⊗ τk +Cdsk⊗ τk, α ∈D∗1,0, la segunda componente en el miembro de la derecha de 4.4 es:

asym2(I ⊗ ∂ ⊗ ∂(∇zlkτk)) u asym2(I ⊗ ∂ ⊗ ∂(α⊗ τk + Cdsk ⊗ τk))u

∑i,j

−Ωij((α+ Cdsk) ∧ dzjk ⊗ dzik ⊗ τk

Las derivadas (usuales) de los coeficientes de F 1,1D son de orden O(c−1/2

k ),de modo que la primera componente es:

−asym2(d⊗ I − I ⊗∇(−∂ ⊗ ∂(zlkτk))) u∑i,j

dzlk ⊗ Ωij ⊗ dzjk ⊗ dzik ⊗ τk −

−zlkΩijdzjk ⊗ dz

ik ⊗ (∂τk + Cdsk ⊗ τk) u

∑i,j

Ωij(α+ Cdsk) ∧ dzjk ⊗ dzik ⊗ τk

Por tanto, FH u F .Para probar que los 1-jets de secciones Cr-A.H. son Cr−1-A.H., basta ver

que lo que se ha añadido a la nueva conexión es parte de la curvatura, cuyoscoeficientes son de orden O(1) y sus derivadas acotadas por O(c−1/2

k ).La componente de grado 0 de la derivada covariante de orden r de

j1Dτk = (τk, ∂τk) es ∇rτk. El término de grado 1 es ∇r∂τk más r sumandoshomogéneos de orden r + 1, que son productos de derivadas ∇jτk (de ordenj) y derivadas ∇r−j−2F 1,1

D (de orden r− j). Las cotas para la derivada totalson obvias. Aquellas para la derivada en las direcciones de D se siguen delhecho de que para k >> 0 la mezcla de tipos en las derivadas (de acuerdocon la escisión de los fibrados T ∗M⊗r ⊗ J 1

DEk inducida por la métrica) esde tamaño O(c−1/2

k ). En particular la cota CDr para ∇rDτk se transforma enC ′CDr para ∇r−1

D j1Dτk (aquí se aplican las ideas y resultados del lema 3.27).


Las cotas para la componente antiholomorfa se siguen de similares con-sideraciones y de ∂H(τk, ∂τk) u (∂τk, ∂∂τk), cuando τk es una sucesión desecciones A.H.

Siendo estrictos, hay que notar que todas las igualdades aproximadaspara secciones de J 1

DLk se han computado usando las conexiones ∇k,1. Perode las ideas anteriores se deduce fácilmente que igualdades aproximadas paralas conexiones ∇k,1 implican igualdades aproximadas para ∇k,H1 .

Se comprueba fácilmente en cartas adaptadas (a la métrica por ejemplo)que las j1

D(τ refk,x,I) son sucesiones de secciones A.H con decaimiento gaussiano

formando una base local.

Para poder razonar por inducción necesitamos que los fibrados J rDEk,J 1DJ rDEk admitan una conexión modificada con las propiedades anterio-

res. No podemos concluirlo directamente pues en la prueba anterior hemossupuesto que partíamos de un fibrado de línea. En cualquier caso la pruebaanterior también funciona para estos fibrados aplicando la propiedad (2) delenunciado de esta proposición, que nos dice que la curvatura es aproxima-damente tensorial en el sentido de que para ξk sección de J rDEk, F

1,1H,Dξk

es aproximadamente proporcional a ξk (con igualdad en el caso integrable).Con esta propiedad es fácil ver que de nuevo si ξk es A.H. la modificación,que coincide de modo aproximado con −∂ ⊗ ∂ξk, es de nuevo un operadoraproximadamente tensorial. Se verifica que la prueba para fibrados de líneaque desarrolla la ecuación 4.3 (y acaba cancelando un par de términos) fun-ciona también para el fibrado J rDEk. Además, conviene hacer notar de nuevoque para el modelo local (en bolas de g0-radio O(1)) estamos induciendo encada hoja de Dh una estructura casi-compleja integrable que ademas es cons-tante en las coordenadas de la base (la curvatura no cambia, y ya tenía estapropiedad).

Asumamos que la estructura compleja inicial en J rDEk ha sido modificadade modo que (J rDEk,∇Hr) es una sucesión muy amplia de fibrados para lacual los jets de cierta base local de secciones A.H. conforman una base local desecciones A.H. Para poder aplicar inducción hacemos la identificación usualde J r+1

D Ek con el subfibrado de J 1DJ rDEk generado por secciones holónomas.

El fibrado J 1DJ rDEk tiene una conexión ∇Hr (usando ∇g en D∗1,0 y ∇Hr

en J rDEk) que por inducción puede ser modificada a ∇Hr+1 . Pretendemosprobar que el subfibrado J r+1

D Ek hereda una conexión con las propiedadesdeseadas.

Veamos lo que ocurre en la situación integrable: consideremos la baseτ refk,x,I , donde τ

refk,x,j es holomorfa. Por definición, jr+1

Dhτ refk,x,I = j1

Dh(jrDhτ

refk,x,I).

Las conexiones inducidas por ∇ en J 1Dh,nJ rDh,n,m y J r+1

Dh,n,mson la misma.

Para el primer fibrado, la componentes holomorfa y vertical de esta conexióninducida coinciden por inducción con las de ∇Hr y también con las de lamodificada ∇Hr+1 . Finalmente


∇Hr+1jr+1Dh

τ refk,x,I =

(∇Hr+1

)j1Dh

(jrDhτrefk,x,I) =

=(∂Hr+1 +∇Hr+1,

∂∂sk

)j1Dh

(jrDhτrefk,x,I) =

=(∂ +∇ ∂

∂sk

)j1Dh

(jrDhτrefk,x,I) =

(∂ +∇ ∂

∂sk

)jr+1Dh

τ refk,x,I ,

que por definición es una 1-forma con coeficientes en J r+1Dh,n,m

(pues al finalnos quedan las componentes holomorfa y vertical de la conexión inducidapor ∇). Como la conexión preserva el subfibrado para una base local, ∇Hdefine una conexión en J r+1

Dh,n,m. Una vez más estamos dotando al fibrado

J r+1Dh,n,m

de una estructura casi-compleja integrable en cada una las hojas delespacio total.

En el caso no integrable usamos la aplicación simetrizadora

symr+1 := (symr+1 ⊗ I, · · · , sym2 ⊗ I, I ⊗ I, I) : J 1DJ rDEk → J r+1

D Ek,

compuesta con ∇Hr para definir una conexión ∇Hr+1 en J r+1D Ek. Nótese

que la componente holomorfa ∂Hr+1 y la vertical ∇Hr+1,D⊥ de esta conexióncoinciden con las correspondientes de ∇, la conexión original de J r+1

D Ek.Para la base local jr+1

D τ refk,x,I ,

∇Hr+1jr+1D τ ref

k,x,I = ∂Hr+1jr+1D τ ref

k,x,I + ∂Hr+1jr+1D τ ref

k,x,I +∇Hr+1,D⊥jr+1D τ ref

k,x,I .

Por la observación anterior, el segundo y el tercer sumando pertenecen aJ r+1D Ek. El primero es, por inducción, de orden O(c−1/2

k ). Como jr+1D τ ref

k,x,I

es una base local, el tamaño de la componente no simétrica que tenemosque restar de ∇Hrjr+1

D τ refk,x,I para definir ∇Hr+1j

r+1D τ ref

k,x,I está mayorado por

O(c−1/2k ); de hecho, todas sus derivadas (para la conexión ∇Hr) están aco-

tadas por la misma cantidad (hay que usar las cotas en la componenteantiholomorfa junto con las cotas de orden O(1) para symr+1 y para susderivadas).

Geométricamente, la distribución que define la conexión en el espaciotangente de J 1

DJ rDEk está, en los puntos de J r+1D Ek, a distancia O(c−1/2

k )del espacio tangente del subfibrado (y todas sus derivadas). Por tanto lasmismas igualdades aproximadas valdrán para ambas conexiones.

En cuanto a la curvatura, usando la base local jr+1D τ ref

k,x,I se tiene:

FHr+1 = symr+1 ∇Hr ∧ symr+1 ∇Hr u F∇Hru F 1,1,

donde F 1,1 es la componente (1, 1) de la conexión original de J r+1D Ek. La

igualdad aproximada anterior es válida tanto para ∇Hr como para ∇Hr+1 .Usando consideraciones similares se deduce que el (r+1)-jet de una suce-

sión de secciones Cr+1+h-A.H. de Ek es una sucesión de secciones Ch-A.H.de (J r+1

D Ek,∇Hr+1). El único cambio es la composición con la aplicaciónsimetrizadora. Se comprueba que las diferentes escisiones conmutan con la


simetrización. Esto, junto con las cotas en dicha aplicación reduce la afir-mación sobre las cotas a la correspondiente para las sucesión j1

Dj1Dτk y la

conexión ∇Hr , la cual se cumple por inducción.

El decaimiento gaussiano de jr+1D τ ref

k,x,I se prueba de modo similar.

En lo que se refiere a la teoría relativa, para cualquier sucesión τk desecciones Cr+h-A.H. de Ek, se tiene que jrGτk es una sucesión Ch-A.H. deJ rEk. La comprobación se puede hacer en bolas de gk-radio fijo. En parti-cular, en coordenadas aproximadamente holomorfas compatibles con G. Enesa situación ocurre aproximadamente lo que en el modelo plano. En ésteúltimo, jrGτk es una componente del vector jrτk, e igualmente ocurre con lasderivadas ∇pHrj

rGτk y ∇p−1

Hr∂Hrj

rGτk, p = 0, ..., h.

El decaimiento gaussiano de las secciones jrτ refk,x,Ig

del subfibrado J rGEkse sigue de consideraciones similares, así como el hecho de que constituyenuna base local del subfibrado comparable con una unitaria en la bola de radiorequerido

Observación 4.7: En esta proposición el hecho de que FH1,k u Fk tiene im-portantes consecuencias. En coordenadas A.H. y tras la identificación localde D∗1,0 con T ∗1,0Cn, la forma de conexión de ∇H es aproximadamente lasuma de las forma de conexión Ak,j en Lk,j (para una trivialización ade-cuada), más la suma de curvaturas ωk,j . Tenemos las cotas O(1) para lanorma de las curvaturas y O(c−1/2

k ) para las derivadas de las componentesen la carta; en el caso de las conexiones, las cotas de O(1) son para la normade la primera derivada, y de orden O(c−1/2

k ) para el resto de derivadas. Enconsecuencia tendremos la misma clase de control sobre la métrica gk in-ducida en el espacio total de J 1

DEk por la de la base, la fibra y la conexión.Por inducción se obtiene la misma clase de control para las sucesiones J rDEk.Para fibrados de la forma Cm⊗L⊗k, si la escisión dada por la métrica coin-cide con la de las curvaturas (como en el caso de las variedades calibradas),escogiendo las trivializaciones adecuadas la conexión y curvatura coincidenaproximadamente con m copias de A0 y ω0.

Esta propiedad supondrá que siempre que tengamos alguna clase de es-tructura en los fibrados de jets, por ejemplo, una sucesión de estratifica-ciones, tal que en las citadas trivializaciones son independientes de k y x,entonces las diferentes cotas asociadas a elementos de dichas estratificaciones(tomadas para el modelo y con elementos métricos euclídeos) no dependeránni de k ni de x.

También usaremos más adelante el hecho de que en el caso holomorfo setienen igualdades (se induce una estructura holomorfa integrable en J rDh,n,mpara la que el r-jet de una sección holomorfa de Cm ⊗ L es holomorfa paraesta nueva estructura).


5. Estratificaciones aproximadamente holomorfas y trans-versalidad

Como hemos venido indicando, el objetivo de la teoría es ser capaces deperturbar ligeramente sucesiones de secciones A.H. (principalmente de losfibrados J rDEk) de modo que sean transversales a ciertas estratificaciones.Es precisamente el hecho de ser secciones A.H. lo que permitirá la existen-cia de dicha perturbación. Hasta ahora hemos trabajado con sucesiones defibrados vectoriales (como la de jets de orden r), pero veremos que hay otrassituaciones de interés en la que el fibrado no es vectorial. Por ello pasamosa considerar sucesiones de fibrados Fk con fibra una variedad casi-compleja(de dimensión par), y una conexión en el fibrado compatible con la métricay la estructura casi-compleja. Para estos fibrados casi-complejos algunos delos conceptos previos se pueden generalizar inmediatamente.

Definición 5.1. Dadas constantes positivas c, CD, C, una sección τ de unfibrado casi complejo es Cr-aproximadamente holomorfa con cotas c, CD, C(Cr-A.H.(CD, C, c)), si se cumplen las siguientes desigualdades:

|τ |+ |∇Dτ |+ ...+ |∇rDτ | ≤ CD

|∇τ |+ ...+ |∇rτ | ≤ C

|∂τ |+ ...+ |∇r−1∂τ | ≤ Cc−1/2

Cuando ck →∞, una sucesión de secciones de una sucesión de fibrados casicomplejos es Cr-aproximadamente holomorfa (Cr-A.H.) si existen constantesCD, C > 0 de modo que las secciones τk son Cr- A.H.(CD, C, ck).

Hablamos de secciones A.H. cuando se tienen sucesiones de constantes(CDj , Cj) controlando las normas de ∇j y ∇jD,∇j−1∂ (esta última multipli-

cada por c−1/2k ) para todo j ∈ N.

5.1. Estratificaciones aproximadamente holomorfas

Los espacios totales de una sucesión de fibrados casi complejos heredanuna métrica gk, una distribución D de la misma codimensión que D y unaestructura casi-compleja Jk. Consideraremos estratificaciones S = (Sak), a ∈Ak, cuyos estratos Sak cortan cada fibra con ángulo mínimo acotado inferior-mente. Asimismo los estratos verificarán una serie de condiciones, que endeterminadas circunstancias serán equivalentes a su holomorfía aproximadacon respecto a gk y Jk. La estratificación será finita en el sentido de que#(Ak) estará acotado independientemente de k y la frontera de cada estrato∂Sak = Sbk − Sak será unión de otros de menor dimensión:

∂Sak =⋃b<a

Sbk

5. ESTRATIFICACIONES A.H. Y TRANSVERSALIDAD 69

Finalmente las estratificaciones serán de Whitney de modo uniforme.

Definición 5.2. (ver [3]) Sea Fk una sucesión de fibrados casi complejos so-bre (M,D, J, g), y (Sak)a∈Ak estratificaciones de Whitney finitas de Fk cuyosestratos son transversales a las fibras. Sea r ∈ N, r ≥ 2. La sucesión de estra-tificaciones es Cr-aproximadamente holomorfa (Cr-A.H.) si para cualquierabierto acotado Uk del espacio total Fk y cualquier ε > 0, es posible encon-trar constantes positivas CDε , Cε, ρε que sólo dependan de ε y del tamaño deUk, pero no de k, de modo que para cualquier punto y ∈ Uk en un estrato Sakverificando dgk(y, ∂Sak) > ε, existen funciones a valores complejos f1, ..., fptal que Bgk(x, ρε) ∩ Sak viene dado por f1 = ... = fp = 0, y se tiene:

(1) (Transversalidad uniforme con respecto a las fibras + comparabili-dad transversal) La restricción de df1 ∧ ... ∧ dfn a T vFk, el espaciotangente a las fibras, está acotada inferiormente por ρε.

(2) (Holomorfía aproximada a lo largo de las fibras) La restricción dela función f = (f1, ..., fp) a cada fibra es Cr-A.H.(CDε , ck).

(3) (Holomorfía aproximada horizontal + variación holomorfa de la res-tricción a la fibra + variación estimada de la restricción a la fibra)Para cualquier λD, λ, ck, y τ Cr-A.H.(λD, λ, ck) sección local de Fkcon imagen intersecando a Bgk(y, ρε), fjτ es Cr-A.H.(λDCDε , λCε, ck).También se tiene que para θ una sección local de τ∗T vFk que seaCr-A.H.(λD, λ, ck), dfτ (θ) es Cr-A.H.(λDCDε , λCε, ck).

(4) (Condición de Whitney estimada) ∀y ∈ Sbk con Sak ⊂ ∂Sbk, el ángulomáximo entre la distribución tangente a los conjuntos de nivel def = (f1, ..., fp) y el tangente a Sbk está mayorado por Cεdgk(y, Sak).

Observación 5.3: Tal y como ya mencionamos, para las principales aplica-ciones de nuestra teoría necesitaremos estratificaciones en las que tengamoscontrol sobre todas las derivadas (estratificaciones A.H.).

Observación 5.4: Cuando D es todo el tangente recuperamos la definicióndada por D. Auroux en [4].

Descripción local de las estratificaciones Cr-A.H. Es posible dar unadescripción geométrica local de una sucesión de estratificaciones Cr-A.H.para aquellas sucesiones de fibrados casi-complejos pk : (Fk, gk) → (M, gk)para las que se dispone de cartas 1-comparables para cada y ∈

∐k∈N Fk (las

constantes fijas para toda la familia).Un primer ejemplo de sucesiones con esta propiedad son los fibrados

triviales con conexión trivial y fibra (Qk, g), Qk compacta. Basta fijar unafamilia de cartas r-comparables en la fibra y multiplicarla por una familiade coordenadas aproximadamente holomorfas para obtener una familia decartas r-comparables en el espacio total y para todo k.

La segunda clase es la ya citada de sucesiones muy amplia de fibradoshermitianos con conexión (lineal). En el dominio de coordenadas aproxi-madamente holomorfas se toma una base del fibrado comparable con unabase unitaria. Si en esta base la forma de conexión está acotada (o equi-valentemente si el ángulo mínimo entre la fibra y la distribución asociada


a la conexión está acotado inferiormente), entonces se obtienen cartas com-parables al multiplicar las coordenadas aproximadamente holomorfas concoordenadas en bolas de un radio acotado superiormente en la fibra (la fibraestá identificada con CN con una métrica comparable con la euclídea). Unacota en la curvatura de orden O(1) da una cota del mismo orden para lossímbolos de Christoffel. En general, cotas de orden O(1) en las derivadasparciales de orden r− 1 de la curvatura dan cotas del mismo orden para lasderivadas de orden r − 1 de los símbolos de Christoffel.

Para nuestras aplicaciones siempre trabajaremos con una de las dos clasesde sucesiones de fibrados casi complejos mencionadas. Además dichas suce-siones tendrán siempre “suficientes” secciones aproximadamente holomorfas.Siendo más precisos, para cada y ∈ Fk, se podrá encontrar τ Cr-A.H. (conconstantes CD, C sólo dependiendo en la norma de y) con τ(pk(y)) = y.Igualmente para cualquier u ∈ τ∗T vFk, existirá θ ∈ Γ(τ∗T vFk) Cr-A.H. conθ(p(y)) = u (las constantes dependiendo de las normas de y y u).

En las cartas 1-comparables de Fk, y para estratificaciones C2-A.H., lascotas no relativas a componentes antiholomorfas requeridas en las propiedades(2) y (3) de la definicion 5.2 se siguen cotas de (uniformes) de orden O(1)para |f |, para |df | –la norma de la derivada– y para |d2f | –la norma de lasderivadas parciales de orden 2– medidas con la métrica inducida o con laeuclídea (de modo equivalente se puede considerar en vez de las derivadasparciales segundas d2f , que sólo está definida en la carta correspondiente,∇df). Si nuestras cartas son r-comparables, se obtienen resultados simi-lares para estratificaciones Cr-A.H. y |djf |, j = 0, ..., r, las normas de lasderivadas parciales de orden menor o igual que r.

También se comprueba que la parte relativa a las componentes antiholo-morfas en las propiedades (2) y (3) de 5.2 se sigue, en cartas r-comparables,de la afirmación correspondiente para dj ∂f , j = 0, ..., r − 1, (las derivadasparciales de orden menor o igual que r de ∂f), donde la estructura casi-compleja usada puede ser cualquiera que coincida aproximadamente con lainducida en la carta. Otra posibilidad –cuando los Fk son fibrados lineales–es en coordenadas A.H. trivializar la fibra con secciones A.H. de modo quese identifique con CN y hacer las comprobaciones usando la estructura casi-compleja Jn+N

0 := Jn0 × JN0 . En efecto, al ser la forma de conexión unaaplicación lineal compleja, de la cota para la parte antiholomorfa con res-pecto a la estructura producto de sigue la buscada para J ; para las derivadassubsiguientes sólo hace falta control de orden O(1) en las derivadas que rela-cionan la distribución de la conexión producto con la de ∇. Dicho control enlas direcciones verticales se sigue del hecho de que la conexión es lineal y enlas “horizontales” de las derivadas de las formas de conexión (curvatura,...).

Estas cartas 1-comparables en el espacio total de los fibrados pueden sermodificadas para otros propósitos de modo que f : R2n+1+2N → R2p, que esuna submersión, sea la proyección en 2p-coordenadas.

En efecto, denotemos a la foliación definida por f mediante ker df . Consi-deramos el plano tangente a la hoja de ker df por el origen y lo modificamosmediante una transformación lineal para hacerlo coincidir con el lugar deceros de 2n + 1 + 2N − 2p coordenadas, que denotamos por x, y de modo


que en lugar de ceros del resto de las coordenadas, que designamos mediantet, sea un subespacio de la fibra; la norma de esta transformación lineal estáuniformemente acotada pues las fibras tienen ángulo mínimo con respecto alas hojas de ker df acotado inferiormente (proviene de la cota inferior para|df1 ∧ · · · ∧ dfp| en la fibra que figura en la condición (1) de 5.2). Definimosφ(x, t) = (x, f(x, t)). La cota en la norma de las derivadas parciales segun-das de f implica que los espacios tangentes a las hojas de la foliación localno varían mucho. En particular, existe una constante r1 > 0 de modo queφ : Bg0(0, r1)→ R2n es un difeomorfismo. También hay constantes positivasr2, r3 tal que Bg0(f(0), r2) ⊂ φ(Bg0(0, r1)) ⊂ Bg0(f(0), r3). La existencia der3 se sigue de la cota para |df |. El ortogonal (euclídeo) a la fibra en el origent = 0, es transversal a todas las fibras cuando se le traslada a cualquier puntode Bg0(0, r1). En cada punto la proyección del ortogonal a la fibra a esteespacio vectorial tiene su norma acotada (controlada por |d2f |). La imagende los vectores unitarios de este subespacio mediante df es un elipsoide cuyadistancia al origen está acotada inferiormente (de nuevo por la cota inferiorpara |df1 ∧ · · · ∧ dfp| en la fibra y porque df es aproximadamente complejaen D). De todo esto se infiere una cota inferior para el determinante de φ(en particular la imagen del plano t = 0 contiene una bola euclídea de ciertoradio r2).

Por tanto la métrica inducida por gk es comparable a la euclídea. Si usa-mos la cota superior en |d2f | obtenemos una cota superior para los símbolosde Christoffel de modo que la métrica inducida es comparable a orden 1 conla euclídea.

5.2. Transversalidad estimada

Pretendemos conseguir transversalidad de secciones A.H. a estratificacio-nes aproximadamente holomorfas en las direcciones de D. Para lograrlo, setransforma el problema de transversalidad local en uno para funciones me-diante el uso de bases de secciones de referencia. Se resuelve el problemalocalmente y se añaden todas las perturbaciones. Dichas perturbacionesocurrirán en pequeños abiertos con intersección no vacía, pues aunque lasbases de referencia son válidas en abiertos de gk-radio O(1), las “colas” de lassecciones de referencia llegan hasta distancias de orden O(c1/6

k ). El modo deasegurarse que no hay interferencia entre ellas es usar el concepto más fuertede transversalidad estimada en vez de la noción usual de transversalidad.

Definición 5.5. Sea (E,∇) → (M,D, g) un fibrado hermitiano con co-nexión. Dada η > 0 y τ una sección de E, decimos que τ es (η,D)-transversal a 0 (o simplemente η-transversal a 0) si en cada punto x donde|τ(x)| < η, se tiene |∇Dτ(x)| > η.

En la definición anterior podemos pensar en ∇D como la restricción a Dde ∇ o como el correspondiente elemento de D∗, pues ambas tienen igualnorma. En realidad, esto es cierto para cualquier retracción i de modo que


qi,i tenga norma acotada por O(1), pues entonces la normas de la restriccióny de su imagen por la retracción correspondiente serán comparables.

Se puede dar una definición más geométrica para la que nos es más con-veniente pensar en ∇D como en la restricción a D de ∇: el espacio totalE tiene una métrica y una distribución D inducida mediante pullback. Ladistribución tangente a la sección 0 se puede extender mediante transporteparalelo a una distribución T || definida en un entorno tubular de radio η,e intersecarla con D definiendo así la distribución T

||D. Si denotamos me-

diante Tτ a la distribución tangente al grafo de τ y llamamos TDτ a suintersección con D, la definición de transversalidad estimada es equivalentea la existencia de un η′ > 0 tal que ∠m(T ||D, TDτ) > η′ en los puntos en losque τ(x) entra en el entorno tubular de radio η′. En la definición original ladistribución con la que se trabaja es H∇D, la intersección de la distribuciónhorizontal asociada a la conexión ∇ con D; pero la conexión es lineal y portanto tangente a la sección 0. Así pues, tenemos dos distribuciones H∇D y T ||Dque al coincidir sobre la sección 0 estarán tan próximas como queramos enun entorno tubular suficientemente pequeño. Este mismo argumento sirvepara probar que la transversalidad estimada para diferentes conexiones esigualmente comparable (y la constante de comparación se sigue de una cotasuperior para la norma de la forma de conexión que las relaciona).

Esta noción la podemos extender a estratificaciones de Whitney finitasS = (Sa)a∈A de E. Denotemos, para cada estrato Sa, el transporte paralelo(conexión de Levi-Civita) del fibrado tangente a un determinado entornotubular mediante T ||Sa; sea T ||DS

a su intersección con D. Bastará por ejem-plo con que el transporte paralelo sea transversal a la fibras para que T ||DS

a

tenga la dimensión esperada (la de Sa menos uno). Para una sección τ deE seguimos denotando mediante Tτ a la distribución tangente a su grafo ymediante TDτ a su intersección con D. Dado un punto x ∈ M , TDτ(x) de-notará al subespacio vectorial de la distribución TDτ en el punto τ(x). Unavez que quede claro que trabajamos con una sección fija τ , T ||DS

a(x) será elsubespacio de la distribución correspondiente en el punto τ(x).

Definición 5.6. Sea η un número positivo. La sección τ es (η,D)-transversala S (o simplemente η-transversal) si en cada punto x en que τ está a dis-tancia menor que η de un estrato Sa, T ||DS

a(x) tiene la dimensión esperaday ∠m(TDτ(x), T ||DS

a(x)) > η.Una sucesión de secciones es uniformemente transversal a 0 (resp. a

una sucesión de estratificaciones) si es posible encontrar η > 0 tal que todaslas secciones son, a partir de un cierto K, η-transversales a 0 (resp. a lasestratificaciones)

La definición anterior sólo tiene sentido fuera de un entorno tubular de lafrontera de cada estrato, ya que en los puntos del estrato a distancia menor oigual que un determinado ε de la frontera, podemos no tener suficiente con-trol en la geometría del estrato de modo que por ejemplo el entorno tubularen el que definimos T ||Sa tienda a cero con ε. Por ello es más conveniente


quedarse con una región compacta del estrato (los puntos a distancia de lafrontera mayor o igual que un cierto ε) y definir transversalidad estimadaen el complementario sólo en los puntos del estrato, es decir, pedimos que siτ(x) pertenece a uno de esos puntos cercanos a la frontera de Sa, que corte alestrato en ese punto con suficiente ángulo. Veremos que para resolver el pro-blema de transversalidad uniforme en esta última región será suficiente pedirque las estratificaciones sean (uniformemente) de Whitney (la condición (4)en la definición 5.2).

La noción de transversalidad uniforme a una sucesión de estratificacio-nes aproximadamente holomorfas se puede dar de modo local, siempre quedispongamos de una familia de cartas 1-comparables como las descritas enel apartado anterior.

Antes de esto es necesario abundar un poco más en la noción de ángulomínimo.

Variaciones del ángulo mínimo y el ángulo máximo. Recordemos quepara medir el ángulo mínimo entre subespacios transversales U, V ⊂ Rn, sehace lo siguiente:

Supongamos en primer lugar que U, V son subespacios complementarios:consideramos V1, la intersección de la esfera unidad con V . Para cada puntov ∈ V1 la distancia a U es la distancia a πU (v), la proyección ortogonal de vsobre U . El ángulo correspondiente se puede comparar con la norma de laproyección ortogonal de v sobre U⊥. De ello se sigue que el ángulo mínimoes comparable con la distancia del elipsoide πU⊥(V1) ⊂ U⊥ al origen.

Con la interpretación anterior del ángulo mínimo es obvio que si en vez deusar la métrica euclídea en U⊥ se usa una métrica comparable a la euclídea, seobtienen cantidades comparables para el ángulo mínimo. También se puedecambiar la métrica en V a otra comparable y obtener un ángulo comparable.En particular podemos representar V como el grafo de una función linealτ∗ : U → U⊥. Por definición la cantidad de transversalidad de τ∗ a 0 esla distancia de pU⊥(graf(τ∗(U1))) al origen. Nótese que graf(τ∗(U1)) es laesfera unidad en V para la métrica inducida por τ∗ y la euclídea en U . Estamétrica inducida será comparable a la euclídea mediante una constante γque se obtiene a partir de una cota superior para la norma de τ∗. Por tanto,bajo esta hipótesis vemos que una cota inferior para el ángulo mínimo esequivalente a una cota inferior para la cantidad de transversalidad de lafunción τ∗.

Más generalmente podemos cambiar la métrica de todo el espacio a unacomparable; se ve claramente que para cualesquiera U , V subespacios com-plementarios, la restricción a V y U⊥ es comparable a la euclídea en ambossubespacios; el elipsoide unidad contiene una bola euclídea de radio ρ1 yestá contenido en una bola euclídea de radio ρ2. Esta propiedad se mantienecuando intersecamos con cualquier subespacio.

Cuando U y V son transversales y tienen intersección no trivial la situaciónes similar. Si se cambia la métrica a una comparable los ángulos mínimosserán comparables: en primer lugar, llamamos W al ortogonal a U ∩ V res-pecto de la nueva métrica. Imaginemos por el momento que dicho ortogonal


coincidiese con el euclídeo. Como acabamos de mencionar, la restricción dela nueva métrica a W será comparable a la euclídea siendo válida la mismaconstante que compara la nueva métrica y la euclídea en el espacio total.En general W no será el ortogonal euclídeo. Pero se comprueba que la apli-cación π(U∩V )⊥ : W → (U ∩ V )⊥ envía los subespacios complementarios enW (cuyo ángulo mínimo hemos de medir) a la intersección de U y V con(U ∩ V )⊥. Así pues, hemos de medir en (U ∩ V )⊥ pero con la métrica in-ducida por la de W mediante π(U∩V )⊥ . Luego nuestro problema se reducea asegurarnos que π(U∩V )⊥ no distorsiona la métrica euclídea demasiado.Basta encontrar una cota inferior para la aplicación, lo que a su vez equi-vale a una cota inferior para ∠m(W,U ∩ V ). Esto último es consecuenciade la posibilidad de comparar la métrica en el espacio total con la euclídea:en efecto, si tal cota no existiese podríamos encontrar una matriz para elcambio de bases (ortonormales) con determinante arbitrariamente pequeño(y por tanto norma arbitrariamente pequeña). Para ello procedemos porcontradicción: tomamos u ∈ (U ∩ V )⊥ de g norma 1 y tal que u+ z ∈W esun vector con norma muy grande; lo reescalamos a λ(u+ v) para que tengag-norma 1, lo que implica que λ será muy pequeño. Se puede completara una base g-ortonormal de W y a continuación a una base g-ortonormalde todo el espacio añadiendo una base g-ortonormal de U ∩ V . Podemosescribir la matriz del cambio de base usando una base euclídea ortonormale1, ..., en, donde e1, ..., es generan U ∩ V y es+1, ..., en hacen lo propio con(U ∩ V )⊥. Atendiendo a esta escisión, la matriz del cambio de base tienecuatro bloques. El superior izquierdo representa el cambio de base en U ∩V ,y por hipótesis su determinante está acotado superiormente. Como el bloquesuperior derecho es nulo sólo nos interesa el inferior derecho. De nuevo porhipótesis las componentes están acotadas superiormente. Teniendo en cuentaque una de las filas está representada por λu (sus componentes en (U ∩V )⊥),el determinante puede hacerse tan pequeño como queramos al ir decreciendoλ.

Es un ejercicio fácil comprobar que cuando el ángulo mínimo se calculatomando cualquier subespacio complementario a la intersección, la cantidadmayor se obtiene cuando el complementario es el ortogonal.

En determinadas circunstancias la elección de un determinado subespaciocomplementarioW para medir el ángulo mínimo hará los cálculos más fáciles.Pero hemos de asegurarnos que ese complementario tiene ángulo mínimo conla intersección acotado inferiormente, para así obtener una noción de ángulomínimo comparable.

Un modo de elegir un complementario es como sigue: consideramosW1 ⊂ U ∩ V y W c

1 un subespacio complementario (en el espacio total);a continuación elegimos W2 ⊂ (U ∩ V ) ∩W c

1 y W c2 un complementario en

W c1 . Iteramos este proceso. En algún paso, llegaremos a un subespacio Wt

de modo que Wt es toda la intersección (U ∩ V ) ∩W ct−1. Definimos nues-

tro complementario W como igual a W ct . Por la propia construcción W es

complementario a U ∩ V .


Lema 5.7. Si en la construcción anterior se tienen cotas ∠m(Wj ,Wcj ) > δj

(como subespacios complementarios de W cj−1), entonces existe una constante

η(δ1, ..., δj) > 0 de modo que ∠m(U ∩ V,W ) > η.

Prueba. Asumamos en primer lugar que el espacio total es de dimen-sión 3 y que t = 2 y dimW1 = dimW2 = dimW = 1. Es más fácil trasladarel problema en el correspondiente de geometría esférica: podemos pensar en(U ∩ V ) ∩ S2 como en el ecuador de la esfera S2. W1 es entonces un puntoen el ecuador (también su antipodal) y W un punto en la esfera; tenemosque mostrar que está suficientemente lejos del ecuador. La hipótesis sobreW c

1 implica que la correspondiente geodésica está suficientemente lejos delpunto W1 en el ecuador. Ello necesariamente implica que corta al ecuadorcon ángulo acotado inferiormente, pues de lo contrario estaría contenida enun entorno tubular arbitrariamente pequeño del ecuador y por tanto arbi-trariamente próxima a W1. Esta condición en el ángulo, junto con el hechode que W es un punto en esta geodésica suficientemente lejos (en la métricade la geodésica) de la intersección con el ecuador –que por definición es W2–implica que la distancia de W al ecuador está acotada inferiormente.

La prueba cuando las dimensiones deW1,W2,W son arbitrarias se puedereducir a la anterior. Si w ∈W , u = u1 + u2 ∈W1 +W2 = U ∩ V , el ángulo∠(w, u) se puede medir en el subespacio R3 generado por w, u1, u2, con lamétrica inducida (que es comparable a la euclídea por serlo la métrica delespacio total y con la misma constante γ). Es obvio que las cotas inferiorespara ∠m(W1,W

c1 ),∠m(W2,W ) son válidas para W1 ∩R3 = 〈u1〉, W c

1 ∩R3 =〈u2〉 ⊕ 〈w〉, W2 ∩ R3 = 〈u2〉 y W ∩ R3 = 〈w〉 (pues los ángulos mínimosque se miden son entre subespacios complementarios). Como consecuencia,∠(w, u) está acotado inferiormente.

Si t ≥ 2, podemos aplicar inducción. Basta considerar W1 = W1 +W2 yW c

1 = W c2 . Por el caso anterior, ∠m(W1, W

c1 ) está acotado por debajo. Por

tanto seguimos con las hipótesis requeridas pero ahora para t− 1.

Este lema tiene como consecuencia el siguiente resultado.

Corolario 5.8. Sean U, V, V subespacios de Rn, con V ⊂ V . Si se tiene unacota ∠m(U, V ) ≥ δ, entonces existe η(δ) tal que ∠m(U, V ) ≥ η.

Prueba. Procedemos a elegir un complementario adecuado. Selecciona-mos W1 = U ∩ V y como complementario W⊥1 . Sabemos que para lasintersecciones U⊥, V ⊥, que son subespacios complementarios deW⊥1 , se tiene∠m(U⊥, V ⊥) ≥ δ. ElegimosW2 = V ∩U⊥ y como complementario, que ya esW , el subespacio generado por V ⊥ y el ortogonal a W2 en U⊥. Si asumimosuna cota inferior para ∠m(W2,W ) podemos usar W como complementario.Por definición W ∩ V = V ⊥ y W ∩ U ⊂ U⊥. Por tanto se sigue que∠m(W ∩ U,W ∩ V ) ≥ δ.

Para encontrar la cota inferior para ∠m(W2,W ) usamos de nuevo el lemaanterior. En vez de empezar conW tomamos V ⊥, que es un subespacio suyo;como complementario (en W⊥1 ) seleccionamos U⊥ y la cota para el ángulomínimo se sigue por hipótesis. En U⊥ tomamos el ortogonal a U⊥ ∩ V y


como complementario el propio U⊥∩V . Teniendo en cuenta el lema anterior,hemos probado una cota para el ángulo mínimo entre U⊥ ∩ V = W2 y elsubespacio generado por V ⊥ y el ortogonal a U⊥ ∩ V que es W .

Ahora ya podemos dar una caracterización local de la transversalidaduniforme con respecto a una sucesión de estratificaciones como en la defini-ción 5.2.

Lema 5.9. Sea Sa una sucesión de estratos de una estratificación como en ladefinición 5.2. Sea y ∈ Fk un punto en el estrato a distancia mayor que ε dela frontera, y sean f1, ..., fp las funciones locales correspondientes definiendoal estrato en Bgk(y, ρε). Entonces la transversalidad uniforme de τk a Saken dicha bola es equivalente (comparable) a la transversalidad estimada a lolargo de las direcciones de D de la función (f1 τk, ..., fp τk) a 0.

En consecuencia, si consideramos en los estratos de la sucesión Sa sólo lospuntos a distancia mayor o igual que ε, la transversalidad uniforme para unasucesión de secciones a dichas regiones se seguirá de una cota inferior comúnpara la cantidad de transversalidad a 0 de los correspondientes problemaslocales de transversalidad estimada para funciones.

Prueba. Por simplicidad omitiremos los subíndices para las seccionesτk.

La prueba consta de dos partes. La primera supone probar que la trans-versalidad estimada de la función f τ a lo largo de D es equivalente a latransversalidad estimada (de TDτ) con respecto a la distribución ker df ∩ D.La segunda, que esto es equivalente a transversalidad estimada con respectoa T ||DS

ak . Comenzamos por la primera parte.

Olvidémonos por el momento de D e imaginemos que tratamos probarla transversalidad para todas las direcciones. En vez de tomar el ortogonala Tτ ∩ ker df , tomamos W definido como el subespacio generado por elortogonal a Tτ ∩ ker df en ker df y dτ(L), donde L es el ortogonal (en labase) al núcleo de d(f τ). Por construcción ∠m(W,Tτ ∩ ker df) coincidecon ∠m(dτ(L), T τ ∩ ker df) medido en Tτ , y una cota inferior para esteúltimo se sigue de una cota superior para la norma de dτ .

A continuación podemos hacer dos cambios de métrica: el primero suponetomar en dτ(L) la inducida por τ∗ y la euclídea en L (de nuevo la cotasuperior para |τ∗| garantiza control en la distorsión de la métrica). El segundocambio tiene lugar en el ortogonal a ker df ∩W en W , donde se considera elpullback de la euclídea en Cp mediante df ; este subespacio forma un ángulomínimo con ker df acotado inferiormente, lo que implica que controlar elcambio de métrica realizado en el es lo mismo que controlarlo en ker df⊥, ocontrolarlo en cualquier complementario V a ker df cuyo ángulo mínimo conker df esté acotado inferiormente. Nuestra elección de V será el ortogonalen T vFk (el tangente a las fibras) a ker df ∩ T vFk. Obsérvese que si secumple ∠m(T vFk, ker df) ≥ η entonces aplicando el lema 5.7 obtenemos lacota buscada.

Llamemos U a la intersección de ker df con el ortogonal a T vFk ∩ ker df .Queremos probar que U no se aproxima mucho a T vFk. Escribiendo U como


el grafo de una aplicación de T vF⊥k al ortogonal en T vFk de T vFk ∩ ker df ,buscamos una cota superior para la norma de dicha aplicación. Si tal cota noexistiese se podría encontrar un vector u en el ortogonal en T vFk de T vFk ∩ker df para el que df(v) es arbitrariamente pequeño. Pero esto contradiría laexistencia de una cota inferior para la restricción de df1 ∧ ...∧ dfn a la fibra.

Es evidente que tras los citados cambios de complementarios y métricas,lo que estamos computando es exactamente la cantidad de transversalidadde d(f τ) con respecto a 0.

En consecuencia la transversalidad estimada de d(f τ) con respecto a0 es equivalente a una cota inferior para ∠m(Tτ, ker df), y la equivalenciadepende de las normas de τ∗, f∗ y el ángulo mínimo ∠m(ker df, T vFk).

Cuando se interseca todo con D el argumento previo funciona igualmente.La única diferencia es que sólo usamos la cota de la restricción de τ∗ a D. Esimportante observar que las elecciones anteriores de nuevos complementariosy los correspondientes cambios de métrica ocurren en D. En este puntousamos que T vFk está contenido en D por lo que el complementario V (enla notación del párrafo anterior) de nuevo puede ser elegido en T vFk, loque nos permite aplicar de nuevo la propiedad (1) de 5.2 para concluir laequivalencia.

Si se comprobase que para cualquier ε > 0 ∠M (T ||DSa, ker df ∩ D) ≤ ε

en un entorno tubular del estrato de radio %(ε), habríamos completado laprueba. Para ello es suficiente probar el mismo enunciado para ∠M (T ||Sa, ker df)y luego usar que ∠m(D, ker df) está acotado inferiormente. Éste es el con-tenido de la proposición 3.7 en [46], donde en su notación V = V ′ = D,U = ker df , U ′ = T ||Sa. En cualquier caso este resultado se puede probarusando las ideas sobre definiciones alternativas del ángulo mínimo. Bastaobservar que para U y U ′ de igual dimensión y ∠M (U,U ′) suficientementepequeño, U ′ es el grafo de una aplicación lineal de U a U⊥. El ángulo máximoes comparable a la distancia del elipsoide pU⊥(U ′1) ⊂ U⊥. Se comprueba queintersecar con un subespacio V suficientemente transversal corresponde atrabajar en un determinado subespacio con métrica comparable.

La prueba de que ∠M (T ||Sa, ker df) ≤ ε se sigue de la existencia de cartas1-comparables para las que f es la proyección en 2p-coordenadas. Tal y comose mencionó en la apartado 3.2 de esta sección, al ser el estrato un espaciovectorial (de codimensión 2p) es posible comparar entornos tubulares parala métrica inducida y la euclídea. En el correspondiente g-entorno tubularde un radio apropiado % cada punto q es el extremo de una g-geodésica.Cualquier vector v ∈ T ||q Sa es el resultado de hacer transporte paralelo de undeterminado vector u ∈ TySa. En dicha geodésica, el transporte paralelo estácontrolado por los símbolos de Chistoffel (también por el vector tangente ala geodésica). Por tanto en el punto de la geodésica para tiempo t ∈ [0, r], ladiferencia entre el transporte paralelo de u para la métrica euclídea y para gestá acotada por etΓ−1, donde Γ > 0 es una constante que depende de las co-tas para la conexión inducida. En particular, |v−u| ≤ etΓ−1. Por definiciónu (sobre el punto q) pertenece a ker df . Así pues, ∠M (T ||Sa, ker df) ≤ erΓ−1.


Observación 5.10: Es importante resaltar que se puede dar una definiciónde transversalidad a una sucesión de estratificaciones A.H. a lo largo deuna distribución cualquiera Q ⊂ TM (para variedades casi-complejas dedimensión par principalmente). La generalización es la evidente y en ella elpullback de Q, que denotamos por Q, juega el papel de D. Además se veque la prueba del lema 5.9 funciona para cualquier distribución, de modo quetransversalidad estimada a un estrato “lejos” de los puntos de su frontera esequivalente a transversalidad estimada a 0 de la función f τ a lo largo delas direcciones de Q. Esto es especialmente interesante en el caso par (nóteseque todas las definiciones y pruebas de esta sección funcionan en el caso partomando D = TM) cuando la distribución Q es integrable, puesto que nosólo podemos estudiar transversalidad en toda la variedad sino hacerlo enhojas aisladas, donde resulta ser equivalente a la transversalidad estimadade la función f τ restringida a la hoja correspondiente. Generalizando estasituación, podemos considerar en vez de toda una foliación definida enM tansólo una hoja, es decir, una subvariedad Q de M . Transversalidad estimadade τ al estrato a lo largo de las direcciones de Q (en los puntos de Q) esequivalente a la transversalidad estimada a 0 de la función (f τ)|Q.

Para un estrato cuya codimensión 2p es menor o igual que la dimensiónde Q, es evidente que transversalidad estimada de f τ a 0 a lo largo deQ implica transversalidad estimada de la función a lo largo de todas lasdirecciones de TM . Cuando la codimensión es menor concluimos que enentornos de gk-radio uniforme (suponiendo control de orden O(1) para lasderivadas de la función) las secciones no tocan el estrato. En cualquier caso,para variedades casi-complejas impares y distribución D, si 2p > dimDtambién ha de ser 2p > dimD + 1 = dimM . De esto se deduce que noes descabellado el poder lograr transversalidad estimada a lo largo de Da estratos de codimensión mayor que la dimensión de D, que también espor definición transversalidad uniforme al estrato a lo largo de todas lasdirecciones de TM .

Lema 5.11. Sea S = (Sak)a∈A una sucesión de estratificaciones aproxima-damente holomorfas como en la definición 5.2. Asumamos que la sucesiónτk es uniformemente transversal a S a lo largo de las direcciones de unadistribución Q cuya dimensión es mayor o igual que la codimensión de losestratos, y que la cota uniforme |∇τk|gk ≤ O(1) se cumple. Entonces paracada a ∈ A, τ−1

k (Sak) es una subvariedad uniformemente transversal a Q.

Prueba. Omitimos los subíndice para secciones y estratificaciones. Laprueba del resultado es especialmente fácil para aquellos puntos de M queτ envía lejos de la frontera de Sak . Es suficiente encontrar un subespacioQc ⊂ ker d(f τ) complementario a Q cuyo ángulo mínimo con Q estéacotado inferiormente (siempre existe al haber asumido dimQ ≥ 2p). Paraello tomamos una base u1, ...., un−q de Q⊥. Existe un único vi en el ortogonala ker d(f τ)∩Q en Q tal que ui+vi ∈ ker d(f τ). Los argumentos usados enrelación con la medida del ángulo mínimo demuestran que la cota buscada esequivalente a una cota superior en la norma de vi, lo que se desprende de lahipótesis en la norma de ∇τ (la norma de df está acotada y el ángulo mínimo


entre la distribución asociada a ∇ y la fibra está acotado inferiormente) yde la cota inferior en la norma de la imagen de vi (consecuencia de la cotainferior para el ángulo mínimo a lo largo de las direcciones de Q).

Simplemente mencionamos que este argumento se puede modificar y envez de trabajar con la función f trabajar con los estratos en el espacio totalde Fk. Por tanto también es cierto para aquellos puntos cercanos a la fronteradel estrato.

En particular se obtiene el siguiente corolario.

Corolario 5.12. Sea S = (Sak)a∈A una sucesión de estratificaciones aproxi-madamente holomorfas como en el definición 5.2 sobre la variedad casi-compleja impar (M,D, J, g). Asumamos que la sucesión A.H. τk es uni-formemente transversal a S a lo largo de las direcciones de D y que la cotauniforme |∇τk|gk ≤ O(1) se cumple. Entonces para cada a ∈ A, τ−1

k (Sak) eso bien vacía si la codimensión de Sak es mayor que la dimensión de D (o deM), o bien una subvariedad uniformemente transversal a D.

En el caso de una variedad de dimensión par y de transversalidad uni-forme a lo largo de las direcciones de una subvariedad (compacta) Q (asu-miendo la citada cota para |∇τk|gk), entonces o bien τ−1

k (Sak) se encuentra agk-distancia de Q acotada inferiormente o bien es una subvariedad (definidaal menos en un gk entorno de Q) uniformemente transversal a Q.

Quisiéramos cerrar esta sección dando un criterio suficiente para compro-bar la holomorfía aproximada de una sucesión de estratificaciones (finitas yde Whitney).

Para ello introducimos las siguientes definiciones:Usando trivializaciones A.H. de Ek, cada fibrado se identifica localmente

con (Cn × R)× Cm → Cn × R mediante las bases escogidas.

Definición 5.13. Decimos que una subvariedad del espacio total (Cn×R)×Cm es constante si no varía en cada fibra. La variedad (constante) es ademásholomorfa si su intersección con una fibra es una variedad holomorfa de Cm.Decimos que la subvariedad es invariante por la acción de Gl(n,C)×Gl(m,C)cuando su intersección con cada fibra lo es.

Hablamos de una estratificación constante de Ek cuando tenemos identi-ficaciones locales para cada punto de modo que los correspondientes estratosson constantes y son el mismo independientemente de k y x para k >> 0(es decir, corresponden al mismo modelo local). Igualmente decimos que laestratificación es además holomorfa si lo es para una familia de identifica-ciones locales. La invariancia mediante la acción de Gl(n,C)×Gl(m,C) serefiere igualmente a invariancia de la intersección de la estratificación concada fibra.

Lema 5.14. Sea (Sak)a∈A una estratificación de Whitney finita de Ek porsubvariedades constantes y holomorfas, e invariante por la acción de Gl(n,C)×


Gl(m,C) ó Gl(n,C) × C∗. En tal caso la sucesión (Sak)a∈Ak es de estratifi-caciones A.H. finitas y de Whitney.

Recíprocamente, a partir de una estratificación de (Cn×R)×Cm → Cn×Rcon las propiedades anteriores, usando las identificaciones locales se puedeinducir una sucesión en Ek de estratificaciones A.H. finitas de Whitney.

Prueba. Usando la identificación local, las condiciones (1), (2), (3) y(4) de la definición 5.2 se verifican de modo trivial. Tal vez debiéramos notarque los estratos (en la fibra sobre el origen por ejemplo) son subvariedadesde Cm y la cotas que se obtienen (por ejemplo para la condición de Whitney)pueden no ser independientes de los puntos. Pero sólo estamos interesadosen regiones compactas, en las que las cotas son uniformes.

En el caso de variedades casi-complejas pares los comentarios anterioresprueban el lema. En la situación impar observamos que el espacio total tieneestructura de variedad casi compleja con una escisión dada por la métrica. Esdecir, el ortogonal a D viene definido por D⊥ y la conexión sobre este fibradode línea. Esto significa que al usar secciones A.H. holomorfas para trivializarobtenemos coordenadas z1

k, ..., znk , u

1k, ..., u

mk , sk en las que los estratos vienen

definidas por funciones A.H. (normalmente independientes de z1k, ..., z

nk , sk)

con respecto a estas coordenadas. De nuevo puede muy bien ocurrir que estascoordenadas no sean estrictamente holomorfas para el espacio total, pues lacorrespondiente dirección vertical puede no coincidir aproximadamente conel ortogonal a D (por la presencia de la conexión). En cualquier caso, elcontrol en la conexión y sus derivadas implica que tenemos coordenadasA.H. en el sentido débil, lo cual nos asegura que si f es A.H. en las citadascoordenadas, lo es también para la estructura de variedad casi compleja delespacio total (aunque las cotas que se obtengan dependerán también de lasque controlan la distorsión de la conexión y sus derivadas).

5.3. Cuasi-estratificaciónes de J rDEk

La aplicación principal que perseguimos de esta teoría es para una estra-tificación generalizada (cuasi-estratificación) de J rDEk, donde Ek es Cm+1⊗Lk, siendo Lk en el caso de variedades calibradas la sucesión muy ampliade potencias del fibrado precuantizable. Mediante esta cuasi-estratificaciónpretendemos estudiar las propiedades de genericidad de la proyectivizaciónde una sección de Ek en aquellos puntos donde no se anula.

A diferencia de lo que ocurre para 0-jets, para jets de orden superior noresulta fácil encontrar sucesiones de estratificaciones A.H. Incluso algunasque se pueden definir de modo natural resultan no ser adecuadas para nues-tros propósitos. La dificultad proviene de que aunque la modificación de laconexión hace que los r-jets de secciones A.H. de Ek sean secciones A.H. deJ rDEk, al componer con las funciones que definen los estratos no hay modode garantizar que el resultado sea A.H. Una condición suficiente sería quelas funciones f que definen localmente los estratos fuesen aproximadamente


holomorfas en el espacio total, y éste es precisamente el punto delicado unavez la conexión ha sido modificada.

Ejemplo 5.15: Sea L⊗k la sucesión de potencias del fibrado precuantizablede una variedad simpléctica. Consideremos en J 1L⊗k la siguiente sucesiónde estratos:

Σk,n = (σ0, σ1)|σ1 = 0

Usando la base µk,x,I , donde I = 1, ..., n, y tomando secciones de referen-cia en cartas de Darboux, tenemos coordenadas z1

k, ..., znk , v

0k, v

1k, ..., v

nk para

el espacio total. Entonces Σk,n viene definido por los ceros de la funciónf = (v1

k, ..., vnk ) : C2n+1 → Cn, que no es holomorfa (o A.H.) con respecto

a la estructura casi-holomorfa modificada del espacio total. Si así fuese,en particular f j1(z1

kτrefk,x) sería A.H., pero dicha composición es de modo

aproximado (1 + z1k z

1k, z

1k z

2k, ..., z

1k znk ). En realidad no sólo se demuestra que

f no es holomorfa (o A.H.) sino que ninguna otra función local definiendoel estrato puede serlo. En efecto, si así fuese su composición con el citado1-jet sería el resultado de componener f j1(z1

kτrefk,x) por la derecha con un

difeomorfismo de Cn. Dicha composición jamás será holomorfa porque porejemplo la imagen de f j1(z1

kτrefk,x) está en Rn (también se ve que tampoco

puede ser A.H.).

Para nuestra principal aplicación es necesario debilitar la noción de es-tratificación:

Definición 5.16. (ver [5]) Sea S una subvariedad de J rDh,n,m. Se defineΘS como el conjunto de puntos σ de S para los que es posible encontrarun (r + 1)-jet cuyo r-jet (truncándolo) es σ, y que visto como 1-jet (a lolargo de Dh o foliado) de una sección local de J rDh,n,m, corta a S en σ

transversalmente a lo largo de Dh (o equivalentemente su restricción a Dh

cota a S transversalmente).Nos referiremos a ΘS como el subconjunto holónomo transversal de S.

Tal vez conviene mencionar que cuando representamos un (r+1)-jet comouna sección local de J rDh,n,m, a efectos de determinar su pertenencia o no a unsubconjunto ΘS dicha representación es esencialmente única. Esto es así puesde la correspondiente función (en la base µI) para tratar transversalidad sólonos interesa su desarrollo en las coordenadas z1

k, z1k, ..., z

nk , z

nk hasta grado 1.

La parte de grado cero queda determinada por el r-jet, las hipótesis implicanque no hay parte antiholomorfa de grado uno (d = ∂ en el origen) y la parteholomorfa queda totalmente determinada por el (r+1)-jet. Esto quiere deciren particular que podemos restringir nuestra atención a representacioneslocales holomorfas si es necesario.

Si usamos la trivialización dada por la base µI , se extienden de modonatural algunas de las nociones introducidas al final de la sección anterior.Una subvariedad de J rDh,n,m se llama constante si en la trivialización anteriorno depende de las coordenadas de la base.


Una estratificación de J rDh,n,m es constante si todos sus estratos sonsubvariedades constantes. En una estratificación constante cada estratoqueda descrito por su intersección con la fibra sobre el origen. Es ob-vio que para toda subvariedad constante S su subconjunto ΘS es tambiénconstante. También se comprueba que si S es invariante por la acción deGl(n,C)×Gl(m,C) (en cada fibra), entonces ΘS tiene la misma propiedadde invariancia.

La definición 5.16 puede ser trasladada a los fibrados J rDEk usando re-presentaciones locales para ∇H . El problema que se plantea es que por elhecho haber modificado la conexión si nuestro estrato Sk viene dado porcondiciones que involucran componentes que no son de orden cero, una vezque identificamos J rDEk con J rDh,n,m, ΘSk no se identifica con ΘS porqueno podemos comparar en general las representaciones locales para dDh y∇H,D. En cualquier caso hay ejemplos en los que esto se cumple de modoaproximado.

En cualquier caso es conveniente usar representaciones locales A.H. paralos (r + 1)-jets.

Definición 5.17. Sea σk un (r+ 1)-jet pseudo-holomorfo sobre un punto x.Una sección αk de J rDEk es una (CD, C)-representación c-local de σk si αkes una sección local C1-A.H.(CD, C) definida en Bgk(x, c) (donde las citadascotas son válidas), y verifica:

(1) αk(0) = πr+1r σk

(2) ∇H,Dαk(0) = σk,

donde ∇H,D es la componente de ∇H a lo largo de D (usando como siemprela escisión asociada a la métrica).

El siguiente paso es demostrar que para los (r + 1)-jets existen (CD, C)-representaciones (globales) para ciertas constantes que no dependen ni dek ni de x (aunque dependan de la norma del (r + 1)-jet). Este hecho esconsecuencia de ciertas características de la conexión modificada ∇H .

Lema 5.18. Sea Ek una sucesión muy amplia de fibrados (localmente es-cindibles) sobre M y (J r+1

D Ek,∇H) la sucesión de fibrados de (r + 1)-jetspseudo-holomorfos con la conexión modificada. Para cualquier (r + 1)-jetσk sobre cualquier punto x ∈ M , existe un número natural K y constantespositivas CD, C que dependen en la norma de σk y en la geometría de M ,pero no en k y x, tal que existe una representación (CD, C)-A.H (global) αkde σk.

Prueba. Fijemos coordenadas aproximadamente holomorfas adaptadasa la métrica en las que J coincide en el origen con J0. Usando la identificaciónlocal inducida por estas cartas junto con una elección de base local (porejemplo dada por secciones de referencia τ ref

k,x,j), trasladamos la conexión ∇Ha J rDh,n,m y la seguimos denotando ∇H . Puesto que las representacioneslocales son herramientas para tratar con los puntos de un estrato dondeuna sección A.H. necesariamente corta con poca transversalidad, asumiremos


por el momento la existencia de una sucesión Sk de estratificaciones A.H.de J rDEk, que en las identificaciones locales anteriores coinciden con unaestratificación S de J rDh,n,m invariante por la acción de Gl(n,C)×Gl(m,C).Para cada estrato Sak sería razonable definir ΘSak

como el subconjunto de Sakde los r-jets σ para los que existe un (r + 1)-jet extendiendo a σ, con unarepresentación local (no necesariamente A.H.) transversal a Sak (a lo largode D). Sería deseable que usando la identificación local con J rDh,n,m, ΘSakse identificase a su vez con ΘSa , pero esto de nuevo no es cierto en general.Para que esto ocurriese sería suficiente relacionar las representaciones locales(en la carta) con respecto a dDh y ∇H,D, o para ser más precisos, el valorde la componente en D∗ de la forma de conexión en el punto en cuestión(digamos, el origen). Puesto que se ha asumido que S es invariante por laacción de Gl(n,C) × Gl(m,C), podemos usar dicha acción para modificarla forma de conexión de ∇H,D (mientras mantenemos d y S). Si fuésemoscapaces de lograr con esta acción la anulación de la forma de conexión lapropiedad buscada se cumpliría.

Veamos lo que ocurre en los modelos. Para el caso Kähler (dimensión par)sería suficiente trivializar Ek con secciones holomorfas de modo que la formade conexión se anule en el origen; a continuación tomaríamos coordenadasnormales (tenemos una métrica Kähler), con lo que la conexión no modificadase anularía en el origen. Ocurre sin embargo que para la conexión modificadasiempre tendremos la parte antiholomorfa. Por tanto parece razonable usaruna trivialización holónoma (por jets de secciones holomorfas), en la que laparte antiholomorfa es nula.

En el caso no integrable (impar) es posible también lograr que la conexiónno modificada (a lo largo de D) se anule. Lo hace de modo aproximado me-diante la elección de trivializaciones A.H. adecuadas que anulan la forma deconexión proveniente de Ek. Como la métrica tiene peso O(c−1/2

k ) una pe-queña modificación en la elección de dzik ∈ D∗1,0 del tamaño anterior hace elresto. Nótese que a diferencia del caso integrable esta pequeña modificaciónno proviene necesariamente de la elección de nuevas coordenadas A.H., peroen cualquier caso sólo usamos la acción de Gl(n,C).

Para la conexión modificada no parece posible lograr el citado objetivoempezando con la base µI (que es homogénea en el sentido que cada secciónsólo tiene componentes no nulas de un determinado grado) y usando tansólo la acción de Gl(n,C)×Gl(m,C); dicha acción preserva los subfibradoshomogéneos de J rDEk, mientras que la conexión no preserva secciones delos mismos. En particular para J 1

DLk y cualquier sección τ con τ(0) 6= 0,∇H1(τ, 0) = (∇τ,−F 1,1

D τ), con −F 1,1D τ(0) 6= 0 (de algún modo esto refleja lo

que ocurre en el ejemplo 5.15).

Es más o menos evidente lo que tenemos que hacer para lograr repre-sentaciones locales. Partimos de la base νk,x,I de J r+1

D Ek. Sobre el origen,cualquier (r + 1)-jet σ es una combinación lineal

∑I βIνk,x,I . Por la linea-

lidad de los jets σ = jr+1D (βIτ ref

k,x,I), y por tanto πr+1r σ = jr(βIτ ref

k,x,I)(0).Como la anterior es una sección A.H., σ−∇H,Djr(βIτ ref

k,x,I)(0) tiene tamaño

O(c−1/2k ). Basta por tanto hacer una pequeña perturbación lineal (tamaño


O(c−1/2k )) en las coordenadas x1

k, y1k, ..., x

nk , y

nk para obtener la representación

local requerida, cuyas cotas vienen dadas en función de las de las τ refk,x,j y de

la norma del (r+1)-jet en cuestión. Como es lógico todas las cotas obtenidasno dependen ni de k ni de x.

Definición 5.19. Sea Sk una subvariedad de J rDEk transversal a las fibras,y sean CD, C, c > 0. Se define ΘSk(CD,C,c) ⊂ Sk como el conjunto de puntosσk de Sk para los que existe una representación (CD, C)-A.H. c-local αk deun levantamiento de σk cortando a Sk (en σk) transversalmente a lo largode las direcciones de D.

En determinadas situaciones nos olvidaremos de las constantes y hablare-mos de ΘSk como los puntos para los que existen levantamientos con repre-sentaciones transversales. Esto sólo ocurrirá cuando usando identificacioneslocales dichos subconjuntos coincidan con los ΘS correspondientes.

Observación 5.20: Aunque la definición anterior se ha dado para un sólofibrado, cobra realmente sentido para una sucesión de los mismos. El motivoes que para una sucesión de secciones Cr+1-A.H.(CD, C) de Ek, si la sucesiónde r-jets es uniformemente transversal a una sucesión Sk de subvariedades deJ rDEk (para k mayor que un cierto K), necesariamente lo hará en los puntosde ΘSak (CD,C,c), donde las constantes CD, C sólo dependen de CD,C y de lageometría de Ek y M –pero no de k– (y c es un número positivo menor queel radio de inyectividad).

Observación 5.21: Si un (r+ 1)-jet σk es la derivada a lo largo de D de unacierta sección Cr+1-A.H.(CD, C) local, entonces ||σk|| ≤ CD +O(c−1/2

k ).

Recordamos el siguiente ejemplo ya citado por D. Auroux [5]:

Ejemplo 5.22: Denotemos mediante Zk el conjunto de r-jets correspondien-tes a secciones que cortan la sección 0 de Ek.

Zk = σ = (σ0, ..., σr) |σ0 = 0

Si miramos Zk como una subvariedad Z de J rDh,n,m y trabajamos en elmarco integrable (en el que no hay necesidad de usar constantes que acotanla falta de holomorfía), se comprueba fácilmente que ΘZ consta de aquellosjets para los que σ1 es sobreyectiva (y por tanto será vacío si m > n). Siahora pensamos Z como una sucesión Zk de subvariedades de J rDEk, lossubconjuntos ΘZk(CD,C,c) serán de nuevo vacíos si la dimensión compleja dela fibra de Ek es mayor que n. En caso contrario constarán de aquellos r-jets σ para los que disponiéndose de representaciones c-locales con las cotasapropiadas para el (r+ 1)-jet (σ, 0), σ1 es sobre (la conexión en Ek es linealy por tanto tangente a la sección 0).

Obsérvese que éste es un ejemplo muy peculiar pues el estrato vienedefinido sólo por condiciones involucrando la parte de grado 0. Esto quieredecir que la modificación de la conexión le no afecta para nada, por lo que


en identificaciones locales en las que Zk va a Z, también ΘZk (definido sinimponer restricciones a las representaciones locales) va exactamente a ΘZ .

Siendo nuestro objetivo final perturbar sucesiones de secciones aproxima-damente holomorfas τk de modo que sus r-jets sean transversales a deter-minadas estratificaciones (cuasi-estratificaciones), y teniendo en cuenta quedichas perturbaciones han de ser arbitrariamente pequeñas en las direccionesde D (digamos en Ch-norma, i.e., controlando las h primeras derivadas co-variantes a lo largo de D de la diferencia), el conjunto de r-jets con los quetrabajaremos estará siempre uniformemente acotado; y lo mismo ocurrirácon aquellos (r+ 1)-jets que pueden definir (h ≥ 1). Por tanto trabajaremoscon sucesiones de estratos en regiones uniformemente acotadas. Esto querrádecir que si nos fijamos en los subconjuntos ΘSk(CD,C,c), donde las constantes(CD, C) se eligen mayores que las que controlan hasta orden 1 la holomorfíaaproximada de jrDτk (y de modo que existan representaciones c-locales de unconjunto uniformemente acotado de (r + 1)-jets conteniendo a jr+1

D τk y susperturbaciones próximas), la falta de transversalidad con respecto a Sk der-jets de sucesiones A.H. suficientemente próximos a jrDτk (para que las cotas(CD, C) sean también válidas para ellas hasta orden 1), se puede formular entérminos de su pertenencia (aproximada) al complementario de ΘSk(CD,C,c)

en Sk.

Definición 5.23. (véase también [5]) Sea (A,≺) un conjunto con una relaciónbinaria sin ciclos (a1 ≺ · · · ≺ ap ⇒ ap ⊀ a1). Una cuasi-estratificación deWhitney de J rDh,n,m finita indexada por A es una familia finita de subvarie-dades diferenciables (Sa)a∈A no necesariamente disjuntas tal que:

(1) ∂Sa ⊆⋃b≺a S

b,(2) para cualquier punto en la frontera q ∈ ∂Sa ha de existir b ≺ a tal

que o bien q /∈ ΘSb o bien Sb ⊂ ∂Sa y se cumple la condición deWhitney para Sb ⊂ ∂Sa (o al menos q pertenece a aquellos puntoslejanos a la frontera donde dicha condición se cumple).

La cuasi-estratificación se dirá constante (resp. holomorfa) si sus estratostienen esta propiedad.

Para los fibrados J rDEk se puede dar una noción similar a la anterior desucesión de cuasi-estratificaciones de Whitney finitas aproximadamente holo-morfas: la familia de subvariedades no necesariamente disjuntas (Sak)a∈Aktiene que ser transversal a las fibras, con ecuaciones locales como en la defini-ción 5.2 para puntos en los estratos con radio (uniformemente) proporcionala la distancia a la frontera y satisfaciendo las condiciones (1), (2) y (3) deaquella definición. La diferencia ocurre en los puntos de la frontera: allítenemos ∂Sak ⊆

⋃b≺a S

bk, y existe un numero natural K tal que para todo

k ≥ K, en cualquier punto de la frontera q ∈ ∂Sak tiene que existir b ≺ a talque q ∈ Sbk y se da una de la siguientes situaciones:

i Sbk ⊂ ∂Sak y la condición de Whitney uniforme (la cuarta en ladefinición 5.2) se cumple en todos los puntos de Sbk, o al menos en


los lejanos a su frontera a los que q pertenece (y no necesariamenteen todos los estratos de índices precedentes).

ii q aproximadamente no pertenece a ΘSbk; esto es, para cada terna de

constantes positivas (CD, C, c) existe otra constante positiva C quedepende de ellas pero no de k, tal que para cualquier (r + 1)-jet σcon πr+1

r σ = q, cualquier (CD, C)-representación local α de σ cortaa Sbk (en q) con ángulo mínimo a lo sumo Cc−1/2

k .

Es obvio que para variedades casi-complejas pares, y para Sk una estrati-ficación A.H. de Whitney finita, podemos definir igualmente los subconjuntosΘSak (C,c), y dar la correspondiente definición de cuasi-estratificación.

5.4. La cuasi-estratificación de Thom-Boardman-Auroux paraaplicaciones a espacios proyectivos

Intentamos estudiar la genericidad para las aplicaciones a espacios proyec-tivos CPm asociadas a sucesiones A.H. de secciones de Ek = Cm+1 ⊗ Lk.Para ello introducimos el fibrado no lineal de r-jets pseudo-holomorfos enCPm y analizamos sus propiedades principales en las dos proposiciones quesiguen. Antes recordamos que Zk denota la sucesión de estratos de J rDEk–ya introducida en el ejemplo 5.22– de r-jets cuya parte de grado cero seanula. También definimos J rDE∗k := J rDEk − Zk, y en el caso de variedadescasi-complejas de dimesión par definimos también J rE∗k := J rEk − Zk, yJ rGE∗k := J rGEk − ZGk en presencia de una polarización G, donde de nuevoZk denota el conjunto de r-jets del fibrado J rEk cuya componente de grado0 se anula y ZGk = Zk ∩ J rGEk.

Definición-Proposición 5.24. Se puede definir un fibrado no linealJ rD(M,CPm) de r-jets pseudo-holomorfos a lo largo de D, y para una funciónφ : (M,D, J, g) → CPm una noción de r-jet jrDφ ∈ Γ(J rD(M,CPm)) con lassiguientes propiedades:

(1) Existe una aplicación de fibrados jrπ : J rDE∗k → J rD(M,CPm) quees una submersión. Para cada sección τk de Ek, en los puntos dondeno se anula hay definida una proyectivización φk y se tiene que

jrπ(jrDτk) = jrDφk. (5.5)

(2) Las fibras de J rD(M,CPm) admiten una estructura casi-complejaintegrable de modo la aplicación jrπ es holomorfa a lo largo de lasfibras, y además para cada sucesión τk A.H. de Ek, jrπ(jrDτk) ∈Γ(J rD(M − τ−1

k (0),CPm)) es una sucesión de secciones A.H.

Para variedades casi-complejas de dimensión par se define de modo aná-logo el fibrado J r(M,CPm) con estructura casi-compleja canónica integrableen las fibras. Se tiene igualmente una submersion jrπ : J rE∗k → J r(M,CPm)holomorfa a lo largo de las fibras. Dada φ : M → CPm, se tiene la corres-pondiente definición de r-jet pseudoholomorfo jrφ y se verifica:

jrπ(jrτk) = jr(π τk), (5.6)


Para cada sucesión τk A.H. de Ek, jrπ(jrτk) ∈ Γ(J r(M − τ−1k (0),CPm)) es

una sucesión de secciones A.H.

Si tenemos una polarización G podemos definir J rG(M,CPm)irG→ J r(M,CPm)

de modo que tenemos el siguiente cuadrado conmutativo de submersiones:

J rE∗kprG−−−−→ J rGE∗kyjrπ yjrπ

J r(M,CPm)prG−−−−→ J rG(M,CPm)

Las aplicaciones prG son las inducidas por la proyección ortogonal de T ∗Men G∗ y si jrGτk es una sección de J rGE∗k, la restricción de jrπ satisface:

jrπ(jrGτk) = jrG(π τk). (5.7)

Si τk es una sucesión A.H., jrGφk es también una sucesión A.H. deJ r(M − τ−1

k (0),CPm) contenida en J rG(M − τ−1k (0),CPm).

Prueba-Definición. Definimos el fibrado no lineal J rD(M,CPm) delsiguiente modo. Tomamos un sistema de cartas para CPm. Por ejemplo,en Cm+1 con coordenadas z0, ..., zm consideramos la proyección canónicaπ : Cm+1 − 0 → CPm, y tomamos las cartas ϕ−1

i : Ui → Cm enviando[z0, ..., zm] a ( z

1

z0 , ...,zm

z0 ); denotamos por Ψji al cambio de coordenadas ϕ−1j

ϕi. Para cada carta ϕi se considera el fibrado

J rD(M,Cm)i := (r∑j=0

(D∗1,0)j)⊗ Cm.

Sobre cada punto x, en la intersección Ui∩Uj identificamos la fibra sobrex de J rD(M,Cm)i con la de J rD(M,Cm)j usando la misma transformaciónjrΨji que la aplicación holomorfa Ψji asociada al cambio de carta induce enJ rn,m. Dicho de otro modo, si tomamos coordenadas locales conteniendo a xe identificamos localmente D∗1,0 con T ∗1,0Cn, J rD(M,Cm)i se identifica conJ rDh,n,m. Por tanto un r-jet σ viene representado por el r-jet de una funciónholomorfa F : Cn → Cm. La identificación en cuestión supone igualar σ conel r-jet asociado a Ψji F como elemento de J rDh,n,m

∼= J rD(M,Cm)j . Estaaplicación no depende de la identificación local con T ∗1,0Cn (de nuevo pode-mos componer por la derecha F con la correspondiente aplicación lineal), porlo que de estar en principio definida localmente pasa a estarlo globalmente.Estas aplicaciones definen una relación de equivalencia, es decir, la condiciónde dar lugar a un cociclo se verifica pues así ocurre para jets integrables, porlo que tenemos un fibrado (localmente trivial) bien definido.

Sea φ : (M,J,D) → CPm. Su r-jet jrDφ se define como sigue: las cartasdel proyectivo dan lugar a aplicaciones φi := ϕ−1

i φ : M → Cm. Usandola conexión trivial d en este fibrado trivial, tenemos (para cada k) una co-nexión inducida ∇ (la parte en D∗1,0 es no trivial) con la que podemosdefinir el correspondiente r-jet jrDφi (simetrizado). Es necesario comprobar


que jrDφj = jrΨji(jrDφi). Más generalmente, en vez de usar un difeomor-fismo Ψji : Cm → Cm podemos usar una aplicación holomorfa cualquieraH : Cm1 → Cm2 para construir una aplicación jrH : J rD(M,Cm1)→ J rD(M,Cm2),de modo que para una función φ : M → Cm1 se tiene jrD(H φ) = jrH(jrDφ).

La prueba es por inducción. En primer lugar podemos suponer m2 = 1 ybasta hacerla para la componente de orden r del r-jet. Para calcular j1

D(Hφ)hay que tomar en ∇(H φ) la componente a lo largo de D (usando la escisióndada por la métrica). A continuación la parte holomorfa, y por último sesimetriza. Así,

∇(H φ) =m1∑a=1

∂H

∂za∇φa,

es una suma de derivadas parciales de H multiplicada por las componentes∇φa de∇φ. La expresión algebraica resulta ser la misma que para j1H(j1

Dφ),salvo que en la segunda tenemos las derivadas parciales de H multiplicandoa las componentes ∇φa del 1-jet j1

Dφ. En cualquier caso, tomar ∇D(H φ)supone sustituir en la expresión algebraica anterior los∇φa por∇Dφa. ComoH es holomorfa, ∂(H φ) equivale a quedarse con la componente ∂φa de∇Dφa (en la expresión algebraica podemos tomar las derivadas parciales deH como función holomorfa). La simetrización no es necesaria para 1-jets.

Para j2D(H φ) ocurre algo similar.

∇j1D(H φ) =

m1∑b,a=1

∂2H

∂za∂zb∇φa ⊗ ∂φb +

m1∑c=1

∂H

∂zc∇∂φc. (5.8)

En esta expresión algebraica llamamos términos de orden (2, 0) a los quecontiene una derivada covariante segunda, o lo que es lo mismo, una derivadaparcial deH primera, y términos de orden (1, 1) al resto (una derivada parcialsegunda o el producto de dos derivadas covariantes primeras). De nuevotomar la componente a lo largo de D y luego la parte holomorfa no alterala expresión algebraica; tan sólo sustituimos ∇φa por ∂φa y ∇∂φc por ∂2φc.La expresión algebraica es la misma que la de j2H(j2

Dφ). La única diferenciaes que en la segunda tenemos ∂2

symφc, la simetrización de ∂2φc. Por tanto,todo se reduce a demostrar que la simetrización de 5.8 es la misma expresiónalgebraica pero sustituyendo ∂2φc por su simetrización.

Observamos que lo dicho hasta ahora vale para cualquier función H.Sobre el punto x que estemos trabajando, definimos H ′ : Cm1 → C comola parte homogénea de grado dos del desarrollo de Taylor de H en x. Esevidente que j2

D(H ′ φ) es la parte de grado (1, 1) en 5.8. Como hemosvisto, la expresión algebraica de j2

D(H ′ φ) coincide con la de j2H ′(j2Dφ).

Pero en este caso hay una igualdad pues las diferencias sólo ocurre en laparte de orden (2, 0). Siendo j2H ′(j2

Dφ) por hipótesis simétrico ocurre lopropio con j2

D(H ′ φ). En consecuencia la parte de orden (1, 1) de j2D(H φ)

es simétrica, luego la simetrización, que es lineal, no la altera. Es evidenteque la simetrización de cada sumando ∂H

∂zc∇∂φc es∂H∂zc∂

2symφc.

Por definición, para calcular jrH(jrDφ) después de la identificación local(usando cartas adaptadas a la métrica) elegimos F holomorfa cuyo r-jet usual


coincida con jrDφ, y se define como jrDh(H F ). Los sumandos son productostensoriales de elementos ∂riFa1 con

∑ri = r, multiplicados por una derivada

parcial en las variables zai de orden el número de factores en el productotensorial. Por hipótesis suponemos que al sustituir en esta expresión ∂riFa1

por ∂risymφai obtenemos jrD(Hφ). De ello se sigue que la expresión algebraicapara ∇jrD(H φ) es la de jr+1(H F ) ∼= jr+1H(jr+1

D φ). Tomar la parteholomorfa no la altera. En cada sumando de ∂jrD(H φ) todos los factoresdel producto tensorial salvo a lo sumo 1, que será de la forma ∂∂risymφa1 , seránya simétricos. Queremos demostrar que symr(∂jrD(H φ)) = jr+1H(jr+1

D φ).Como symr(jr+1H(jr+1

D φ)) = jr+1H(jr+1D φ) nos es suficiente probar que

la simetrización de cada sumando es igual a sustituir ∂riFa1 por ∂risymφaiy simetrizar la expresión correspondiente, y éste es un resultado elementalrelativo a los productos simétricos.

De lo anterior concluimos que el r-jet pseudo-holomorfo de una aplicacióna CPm está bien definido.

El en caso de una variedad par la definición de J r(M,CPm) es idéntica.En presencia de una polarización G se puede definir de modo análogo el fi-brado de r-jets holomorfos a lo largo de G. Usando las cartas anteriores delproyectivo se consideran los subfibrados J rG(M,Cm)i := (

∑rj=0 (G∗1,0)j)⊗

Cm, donde J rG(M,Cm)i ⊂ J r(M,Cm)i usando la escisión G⊕G⊥ = TM . Secomprueba fácilmente que las identificaciones jrΨji : J r(M,Cm)i → J r(M,Cm)jpreservan estos subfibrados, ya que por definición los elementos de este subfi-brado se caracterizan por anularse cuando actúan sobre algún vector de G⊥;la expresión algebraica que da lugar a la identificación también tiene estapropiedad.

También la prueba que demuestra jrφ está bien definida es exactamentela misma que la dada para variedades casi-complejas impares, y una mínimamodificación demuestra que el r-jet a lo largo de G está bien definido (en laprimera escindimos la derivada covariante para quedarnos con ∇D y en lasegunda hacemos lo propio para obtener ∇G).

La siguiente propiedad que queremos probar es que hay una submersiónjrπ : J rDE∗k → J rD(M,CPm) (resp. jrπ : J rE∗k → J r(M,CPm) que restringea una submersión J rGE∗k → J rG(M,CPm)), de modo que para cualquier sec-ción τk de Ek, en los puntos en los que no se anula jrD(π τk) = jrπ(jrDτk)(resp. jr(π τk) = jrπ(jrτk) y jrG(π τk) = jrπ(jrGτk)), i.e., la ecuaciónes5.5, 5.6 y 5.7 se verifican.

Situándonos de nuevo en el caso de dimensión impar, observamos quela aplicación jrπ tiene la misma expresión que en el caso integrable. Esdecir, elegimos una identificación local y una sección de Lk para trivializar,de modo que el r-jet σ en cuestión sea el r-jet holomorfo en un punto deuna función holomorfa F . Componemos con la carta adecuada ϕ−1

i paradefinir jrπ(σ) como el r-jet de ϕ−1

i F ; por los mismos motivos anteriores,está bien definido independientemente de las coordenadas A.H. y la cartade CPm elegida. Observamos también que no importa la trivialización deLk escogida, o en otras palabras, la conexión ∇ usada en Lk. El motivo esque ϕ−1

i F es en realidad una sección de Cm ⊗ (Lk ⊗ L−1k ) con conexión


∇ ⊗ ∇−1 = d (pues componer con la carta corresponde a dividir por unacoordenada). También es evidente que jrπ es una submersión.

Por último, jrD(π τk) = jrπ(jrDτk) porque al componer con una cartaϕ−1i por definición jrD(π τk) es jrD(ϕ−1

i π τk). Igualmente por definiciónjrπ(jrDτk) es jr(ϕ−1

i π)(jrDτk), y la igualdad de ambas expresiones ya hasido probada (pues la definición de jrπ no depende de la conexión en Lk,por lo que podemos trivializar el fibrado y considerar la conexión d).

El razonamiento para variedades de dimensión par que prueba quejrπ : J rE∗k → J r(M,CPm) es una submersión y que la ecuación 5.6 severifica, es exactamente el mismo. Cuando tenemos una polarización G,la conmutatividad del diagrama 5.24 se sigue de la conmutatividad en elcaso holomorfo (pues por un camino restringimos la correspondiente funciónholomorfa a una hoja Cg × · y luego componemos con π, y por el otrohacemos las operaciones en orden opuesto, siendo el resultado el mismo).También es obvio que jrπ : J rGE∗k → J rG(M,CPm) es una submersión.

En cuanto al punto (2) de esta definición-proposición es evidente que,tanto para variedades casi-complejas pares como para las impares, la fibrade los fibrados (triviales) de jets pseudo-holomorfos para aplicaciones a CPmadmite una estructura holomorfa canónica, pues al componer con cada cartase identifican con ciertos CN , y los cambios de carta son aplicaciones holo-morfas ya que sus fórmulas coinciden con las del caso integrable, para el quees obvio que son holomorfas.

Para probar que las jrπ son holomorfas a lo largo de las fibras, una vezmás usamos que la restricción es una aplicación de CN1 en la fibra corres-pondiente (un cierto CN tras componer con las cartas inducidas por las ϕi),cuya fórmula es la del caso integrable que resulta ser trivialmente holomorfa.

Es necesario introducir una métrica y una estructura casi-compleja enJ rD(M,CPm) para así poder dictaminar cuando una sucesión de secciones esA.H. Una vía es mediante el uso de una conexión (por ejemplo provenientedigamos de la conexión de Fubini-Study de CPm y de la de T ∗D). Ennuestro caso elegimos hacer algo diferente pero equivalente. Simplementeseleccionamos un sistema de cartas holomorfas para CPm de modo que encada carta sólo nos ocupemos de un dominio compacto, y tal que los cambiosde carta para regiones compactas tengan cotas uniformes en la familia. Porejemplo, en CP1 podemos tomar todas las cartas resultado de eliminar unhiperplano (punto). Para esta familia compacta trabajaríamos en cada cartafuera de la imagen de la bola de radio ε centrada en el punto eliminado (quetiene cierre compacto en la carta).

Cada carta ϕ define J rD(M,Cm)ϕ ⊂ J rD(M,CPm) que es de la forma(∑r

j=0 (D∗1,0)j) ⊗ Cm=J rDCm. En cada uno de estos fibrados vectorialesconsideramos la estructura casi-compleja y la métrica inducida por la co-nexión que de modo natural se define si vemosM×Cm →M como una suce-sión de fibrados vectoriales hermitianos con la conexión trivial (y la métricah0). Componiendo por ejemplo con una de las cartas anteriores ϕ, es evidenteque si τk es una sucesión A.H. de Ek, entonces donde su proyectivización φkestá definida, ésta resulta ser una sucesión de funciones A.H. Se sigue portanto que jrDτk es una sucesión A.H. de secciones de J rD(M,Cm)ϕ = J rDCm.


Obsérvese que la noción esta bien definida porque al cambiar de carta lasdiferentes métricas son comparables. Igualmente, las identificaciones entreJ rD(M,Cm)ϕ y J rD(M,Cm)ϕ′ son aproximadamente holomorfas, pues usandocoordenadas A.H. las correspondientes estructuras casi complejas coincidende modo aproximado con la canónica de J rDh,n,m,, y para éstas el cambio decarta viene dado, tal y como hemos visto, por un difeomorfismo holomorfo.En el caso par ocurre exactamente lo mismo, y si hay una polarización G,usando cartas adaptadas a G se verifica trivialmente que jrGφk es una suce-sión de secciones A.H. de J r(M,CPm) cuya imagen cae en el subfibradoJ rG(M,CPm).

Una vez que hemos definidos los fibrados no lineales de r-jets de apli-caciones a CPm y hemos determinado su relación con J rDE∗k (resp. J rE∗k ,J rGE∗k), queremos trasladar problemas de transversalidad de jrD(π τk) acuasi-estratificaciones de J rD(M,CPm), a problemas de transversalidad dejrDτk al pullback de la cuasi-estratificación a J rDE∗k . Siendo un poco másprecisos, en primer lugar es necesario definir –para cierta clase de estratosPSak de J rD(M,CPm)– los correspondientes subconjuntos ΘPSak holónomostransversales, para lo cual veremos que no hay dificultad por estar definidosestos fibrados no lineales mediante pegados de fibrados de la forma J rDCm.El propósito a la hora de definir estos subconjuntos es doble: por un ladopermiten definir la noción de cuasi-estratificación de J rD(M,CPm), y en estesentido verifican que cuando consideramos en Sak := jrπ∗PSak el subcon-junto ΘSak

:= jrπ∗ΘPSak , este último no pertenece de modo aproximado aΘSak (CD,C,c), para ciertas constantes. La consecuencia inmediata es que sipartimos de una cuasi-estratificación de Whitney PS adecuada, entonces siconsideramos su pullback S y le añadimos los estratos Zk, obtenemos unacuasi-estratificación de Whitney a falta solamente de asegurarnos que losestratos Sak cuando se acercan a Zk se acumulan en puntos de Zk −ΘZk . Elsegundo propósito de la introducción de los subconjuntos ΘPSak es que inter-vienen en la definición de la cuasi-estratificación de Thom-Boardman-Auroux(aunque veremos que ésta será refinada en J rD(M,CPm) a una estratificacióngenuina de Whitney, de modo que al hacer pullback y añadir Zk la condiciónde ser una cuasi-estratificación sólo será usada para al cierre en Zk de cadaestrato).

En la teoría relativa partimos de una sucesión adecuada de estratos PSGkde J rG(M,CPm), y queremos lograr transversalidad uniforme a ellos de jrG(πτk) haciendo lo propio con jrGτk con respecto a SGk := jrπ∗PSGk ⊂ J rGE∗k ; asu vez esto lo lograremos obteniendo transversalidad a Sk := pr∗G S

Gk ⊂ J rE∗k .

Para ello es necesario también definir los subconjuntos ΘPSGky estudiar sus

propiedades.

Definición-Proposición 5.25. Si PSk es una sucesión de estratos deJ rD(M,CPm) (resp. J r(M,CPm)), de modo que para una elección de cartasfijas de CPm y elecciones de coordenadas A.H. se identifica con un estratoPS de J rDh,n,m (resp. J rn,m) e invariante por la acción de Gl(n,C), entoncesexiste una definición obvia de ΘPSk que en las identificaciones locales coincidecon ΘPS (definido en 5.16). Por tanto para Sk –el pullback de PSk en J rDE∗k


(resp. J rE∗k)– podemos definir ΘSk como el pullback de ΘPSk . Además severifica que tomando trivializaciones A.H. de Lk, si consideramos la submer-sión correspondiente J rDh,n,m+1 − Z → J rDh,n,m (resp. J rn,m+1 − Z → J rn,m)en la que Sk se identifica con un estrato S, la imagen de ΘSk en la carta coin-cide exactamente con ΘS (cuya definición es la dada en 5.16). Por último,se cumple que los puntos en Sk −ΘSk de modo aproximado no pertenecen aΘSk(CD,C,c) (resp. ΘSk(C,c)), para determinadas contantes.

Para la teoría relativa suponemos que para una elección de coordenadasA.H. adaptadas a G y cartas holomorfas del proyectivo, la sucesión PSGk ⊂J rG(M,CPm) se identifica con un estrato PSG de J rCg ,n,m = J rg,m × Cn−g,invariante por la acción de Gl(g,C). Entonces existe una definición obviade ΘPSGk

que en las identificaciones locales coincide con ΘPSG. Sin másque hacer pullback de este subconjunto por cualquiera de los dos lados deldiagrama conmutativo 5.24 tenemos una definición global de ΘSk . Yendopor la parte baja del diagrama conmutativo 5.24 podemos definir PSk :=pr∗G PSGk , y se tiene que ΘPSk (definido en el primer párrafo de esta definición-proposición) coincide con pr∗G ΘPSGk

. Por tanto, podemos aplicar el párrafoanterior para concluir que los puntos de Sk − ΘSk aproximadamente nopertenecen a ΘSk(C,c), para determinadas contantes.

Definición-prueba. Queremos definir los conjuntos ΘPSk y ΘSk y verla relación de estos últimos con los subconjuntos ΘSk(CD,C,c) de Sk. Enprimer lugar si suponemos la existencia de cartas con las propiedades citadas,tenemos los fibrados J rD(M,CPm)i = J rDCm para los que la definición deΘSk,i y su identificación con ΘSi es obvia, por ser los fibrados de r-jetspseudo-holomorfos de una sucesión (constante) de fibrados triviales con co-nexión trivial, y ser los estratos invariantes por la acción de Gl(n,C). Denuevo, sólo tenemos que probar que pegan bien mediante las aplicacionesjrΨji. Una vez más, al disponer de la citada identificación local basta conestudiar la situación en el caso integrable.

Sea ψ un r-jet en ΘPSi . Esto implica la existencia de un ψ levan-tándolo y una sección local α con las propiedades obvias. Tal y comohemos indicado, la representación local de ψ es esencialmente única a efec-tos de transversalidad al estrato. Ello implica que cualquier otra tendráesta propiedad. En particular, ψ es por definición el (r + 1)-jet de una fun-ción holomorfa local F (independiente de sk si se quiere). Por definición,jrDhF (0) = ψ y dDhj

rDhF (0) = ∂jrDhF (0) = jr+1

DhF (0) = ψ. Se sigue por

tanto que jr+1Ψjiψ es un levantamiento de jrΨjiψ con representación localjrΨjij

rDhF = jrDh(Ψij F ), que es obviamente transversal a jrΨjiPSi = PSj ,

pues esta aplicación es un difeomorfismo.

Al estar ΘPSk bien definido lo propio ocurre con su pullback a J rDE∗k .Ahora queremos probar que para la submersión jrπ : J rDh,n,m+1 − Z →J rDh,n,m el pullback de ΘPS coincide con ΘS , lo cual se sigue fácilmentede las ideas anteriores. Si σ es un r-jet cualquiera que se proyecta en φ,cualquier levantamiento ψ es proyección de uno σ. Para este último tenemosuna representación local jrDhH, con H holomorfa, y es claro que jrDh(π H)


es una representación local para ψ. Como jrπ es una submersión, la trans-versalidad de jrDhH a S es equivalente a la transversalidad de jrDh(π H) aPS.

Para finalizar probaremos que todo r-jet σ ∈ Sk − ΘSk no pertenecede modo aproximado a ΘSk(CD,C,c), para ciertas constantes que dependenesencialmente de la norma de los levantamientos σ considerados y de lasconstantes asociadas a las bases νk,x,I . La no pertenencia de dicho σ aΘSk es equivalente a la no pertenencia de jrπ(σ) = ψ a ΘPSk . Sabemosque para cualquiera que sea el levantamiento σ de σ, es posible encontrarrepresentaciones locales A.H. de la forma α = jrDξk + hIj

rDτ

refk,x,I , donde las

hI son polinomios de grado 1 en las coordenadas x1k, y

1k, ..., x

nk , y

nk de tamaño

O(c−1/2k ). Es evidente que jrπ(α) − jrD(π ξk) y su derivada a lo largo de

D tienen tamaño O(c−1/2k ), lo que en particular implica que jrπ(α) está a

distancia O(c−1/2k ) de definir un levantamiento de φ. De ello se deduce que

el ángulo con que jrπ(α) corta a PSk es a lo sumo de orden O(c−1/2k ), lo que

a su vez implica el mismo resultado para α y Sk.

En la teoría relativa para cada carta ϕ−1i tenemos una sucesión de sub-

fibrados vectoriales J rG(M,Cm)i → J r(M,Cm)i. El subfibrado tiene laconexión inducida por la de J r(M,Cm)i (que es la que proviene de modonatural de la inducida por la de Levi-Civita y la métrica en G∗). Es posiblemodificar ligeramente la trivialización de G∗1,0 que proviene de las cartasadaptadas a G (la perturbación es de tamaño O(c−1/2

k )), para que la corres-pondiente conexión tenga forma de conexión trivial en el origen. Si la estra-tificación es invariante respecto a la acción de Gl(g,C), entonces se puededefinir de modo obvio el subconjunto ΘPSGk,i

y tras la identificación local coin-cide con ΘPSGi

(pues para cada J rG(M,Cm)i con la acción de Gl(g,C) en lafibra logramos que la forma de conexión se anule). Usando la identificaciónlocal con r-jets foliados holomorfos se prueba que los subconjuntos holónomostransversales pegan bien al cambiar de carta. Para PSk := pr∗G PSGk , tenemoslos conjuntos ΘPSk . Empleando de nuevo la identificación local por cartasadaptadas a G, se tiene que los r-jets a lo largo de G se identifican conJ rCg ,n,m = J rg,m × Cn−g, y la proyección de J rn,m sobre el subfibrado es laproyección trivial suprimiendo determinadas coordenadas (aquellas corres-pondientes a elementos de la base µk,x,I , donde I no es de la forma Ig). Deesto se sigue que ΘPS es el pullback de ΘPSG . El argumento que usamos esque la proyección J rn,m → J rCg ,n,m viene inducida por la submersión holo-morfa canónica Cn → Cg, lo que nos permite razonar exactamente igual quecomo lo hicimos para probar que ΘS ⊂ J rn,m+1 coincide con el pullback deΘPS ⊂ J rn,m. Usando el lado inferior y el izquierdo del diagrama conmu-tativo 5.24 se obtiene una descripción local de ΘSk (que se define como elpullback usando cualquiera de los dos lados del cuadrado) como jrπ∗ΘPSk ,y por tanto aplicando la parte primera de esta proposición se tiene que lospuntos de Sk−ΘSk aproximadamente no pertenecen a ΘSk(C,c), para ciertasconstantes.


La cuasi-estratificación de Thom-Boardman-Auroux no es más que elpullback a J rDE∗k mediante jrπ de la correspondiente estratificación enJ rD(M,CPm) (véase por ejemplo [1, 7]), completada con los estratos Zk. Ladefinición es la misma que la dada por D. Auroux en [4]. Veámosla.

Dado σ ∈ J rDE∗k , denotamos por φ = (φ0, ..., φr) su imagen en J rD(M,CPm).Se define

Σk,i = σ ∈ J rDE∗k |dimC kerφ1 = iSi max(0, n−m) < i ≤ n, los Σk,i son subvariedades diferenciables cuya

frontera es la unión de ∪j>iΣk,j , y de un subconjunto de Zk −ΘZk .Es evidente que Σk,i está definido mediante condiciones para φ. Además

también es obvio que los estratos son pullback de estratos constantes y ho-lomorfos PΣk,i, y no hay dificultad en verificar la descripción dada de suscierres (también a la vista de la descripción dada de ΘZk).

Para r ≥ 2, ΘΣk,i es el conjunto de r-jets σ = (σ0, ..., σr) ∈ Σi tal que

Ξk,i;σ = u ∈ D1,0, (iuσ, 0) ∈ TσΣk,i

tiene la codimensión esperada en D1,0, que no es otra que la codimensión deΣk,i en J rDEk.

En efecto, podemos trabajar con las proyecciones y observar que ΘPΣk,ison exactamente aquellos elementos de PΣk,i para los que hay levantamientoscon representaciones locales transversales. Es evidente que como el términoañadido al r-jet es de orden r + 1 > 2, el resultado no depende del levan-tamiento, que puede ser por ejemplo con componente de grado r + 1 nula.Definimos

PΞk,i;σ = u ∈ D1,0, (iuφ, 0) ∈ TφPΣk,i,Se comprueba que ΘPΣk,i son los φ para los que PΞk,i;σ tiene la codimen-

sión de PΣk,i en J rD(M,CPm). Es fácil ver usando las ideas de la proposición5.25 que el pullback de ΘPΣk,i es el conjunto descrito anteriormente.

Si p+ 1 ≤ r, definimos inductivamente

Σk,i1,....,ip,ip+1 = σ ∈ Θk,i1,...,ip ,dim ker(φ1 ∩ Ξk,i1,...,ip;σ) = ip+1,con

Ξk,I;σ = u ∈ D1,0, (iuσ, 0) ∈ TσΣk,I.Como en el caso previo, se define ΘΣk,I como los puntos en los que la

codimensión de Ξk,I;σ en D1,0 es la misma que la codimensión de Σk,I enJ rDEk.

Si i1 ≥ · · · ≥ ip+1 ≥ 1, Σk,i1,...,ip+1 es una subvariedad diferenciable (cons-tante y holomorfa) cuyo cierre en Σk,i1,...,ip es la unión de los Σk,i1,...,ip,j , j >ip+1, un subconjunto de Σk,i1,...,ip − Θk,i1,...,ip [7]. El problema es que paravalores altos de r, n,m, el cierre total del estrato resulta muy complicadode analizar, y lo que hemos definido, una vez añadido Zk, puede muy bienno ser una cuasi-estratificación de Whitney. Para valores bajos de r, n,mlo que tenemos en J rDEk resulta ser una cuasi-estratificación de Whitney,por provenir de una estratificación de Whitney de J rD(M,CPm) y por noacumularse los estratos en ningún punto de ΘZk .


En cualquier caso se pueden usar los resultados de Mather [39] para re-finar la estratificación de J rD(M,CPm) (que es constante, holomorfa e inva-riante por la acción de Gl(n,C)×Hrm, siendo Hrm el grupo de r-jets de trans-formaciones biholomorfas de Cm en Cm), de modo que localmente (tras lasidentificaciones) obtenemos una estratificación de Whitney constante, holo-morfa e invariante por la acción de Gl(n,C)×Hrm en cada J rDh,n,m, y tal quelas subvariedades PΣk,I son uniones de estratos del refinamiento. Como con-secuencia de la citada invariancia los refinamientos –definidos eligiendo cartasen CPm y coordenadas A.H.– éstos pegan bien y definen un refinamiento quees independiente de las elecciones. De este modo el pullback es una estratifi-cación finita de Whitney de J rDE∗k tal que los Σk,I son unión de estratos. Esimportante reseñar que como todos los estratos están contenidos en el cierrede Σk,max(0,n−m)+1, las fronteras cerca de Zk están contenidas en Zk −ΘZk .Por tanto al añadir Zk se obtiene una cuasi-estratificación de J rDEk.

Si hay una polarización trabajamos con las mismas definiciones perousando J rGEk y J rG(M,CPm); el resultado es en primer lugar una estra-tificación PSG de de J rG(M,CPm) que localmente –como J rCg ,n,m se iden-tifica con J rg,m × Cn−g– coincide con la correspondiente estratificación deThom-Boardman de J rg,m multiplicada por Cn−g (análogamente a lo queocurre en el caso impar que localmente es una versión uniparamétrica delcaso par). Yendo por la parte baja del cuadrado conmutativo, el pullback deesta estratificación PS se reduce localmente multiplicar por las coordenadasrestantes de J rn,m, pues recordemos que la submersión J rn,m → J rCg ,n,m essin más la supresión de determinadas coordenadas. Por tanto para refinarS, el pullback de SG a J rE∗k , procedemos por la parte baja del diagramade refinando primero PSG localmente (lo que a su vez hacemos refinandouna fibra de PSG en J rg,m ×Cn−g). Los refinamientos locales de PSG peganbien pues son invariantes mediante la acción de Gl(g,C) ×Hrm y por tantodefinen una estratificación de Whitney en J rG(M,CPm) que no depende nide las coordenadas A.H. adaptadas a G ni de las cartas de CPm elegidas. Supullback a J rGE∗k refina SG a otra estratificación de Whitney. Finalmenteel pullback de esta ultima mediante prG : J rE∗k → J rGE∗k es otra estratifica-ción de Whitney que refina a S, a la que añadimos Zk (que es el pullbackde ZGk ⊂ J rGEk), siendo el resultado una cuasi-estratificación de J rEk (lasdescripciones locales implican que los estratos se acumulan en puntos deZk −ΘZk).

Definición 5.26. (ver [5]). Dada (M,D, J, g) (resp. (M,J,G, g)) y unasucesión muy amplia de fibrados de línea Lk, y denotando Cm+1⊗Lk por Ek,la cuasi-estratificación de Thom-Boardman-Auroux (T-B-A) de J rDEk (resp.J rEk, J rGEk) es la cuasi-estratificación dada por la subvariedad Zk ⊂ J rDEk(resp. Zk ⊂ J rEk, ZGk ⊂ J rGEk) y un refinamiento como el descrito de laestratificación de Thom-Boardman de J rDE∗k (resp. de J rE∗k, J rGE∗k).

Decimos que una sucesión τk A.H. de secciones de Ek → (M,D, J, g)(resp. Ek → (M,J, g)) es r-genérica si es uniformemente transversal a lacuasi-estratificación de Thom-Boardman-Auroux. En tal situación hablare-mos equivalentemente de r-genericidad de φk, la sucesiones de aplicacionesa CPm inducidas (fuera de las subvariedades base).


Lema 5.27. La cuasi-estratificación de Thom-Boardman-Auroux de J rDEk(resp. J rEk) es aproximadamente holomorfa (y evidentemente finita y deWhitney).

Además, en el caso relativo el pullback a J rEk de la cuasi-estratificaciónde T-B-A de J rGEk es también una cuasi-estratificación aproximadamenteholomorfa.

Prueba. En primer lugar la descripción de los cierres de los estratosen Zk implica que la condición de cuasi-estratificación se cumple. Hacemosnotar que para valores pequeños de r, n,m para los que no es necesario refinarpara obtener una estratificación de Whitney en J rD(M,CPm), su pullback esuna cuasi-estratificación de J rDEk una vez añadimos los estratos Zk.

El punto más delicado es comprobar que los estratos son efectivamenteaproximadamente holomorfos. En primer lugar nos centramos en la sucesiónZk. Aunque para esta sucesión la propiedad es obvia lo demostraremos deun modo que tendrá consecuencias interesantes.

En efecto, Zk ⊂ Ek es obviamente una sucesión A.H. Veremos que laproyección natural πrr−h : J rDEk → J

r−hD Ek es A.H. De este modo, el pull-

back de una sucesión A.H. de estratos en J r−hD Ek dará lugar a una sucesiónA.H. de estratos de J rDEk. En particular, Zk ⊂ J rDEk será una sucesión deestratos A.H. por ser el pullback de la sección 0 de Ek.

La proyección πrr−h es obviamente A.H. pues localmente la elección decoordenadas A.H. y de una base de secciones de referencia jrDτ

refk,x,I , da lugar a

coordenadas A.H. del espacio total, z1k, ..., z

nk , u

Ik, sk (I recorriendo las (n+1)-

tuplas usuales). Como la imagen de jrDτrefk,x,I es j

r−hD τ ref

k,x,I , que es una secciónA.H. (y por tanto vendrá dada por coordenadas A.H. vI′k (zk, sk) para unabase de secciones jrDτ

refk,x,I′ , donde I

′ recorre las (n+ 1)-tuplas adecuadas), yla proyección es lineal compleja en las fibras, la aplicación es evidentementeA.H. (de nuevo tenemos el problema de la elección de coordenada “vertical”sk, pero en cualquier caso el comentario de la prueba del lema 5.14 tambiénse aplica aquí).

Para los estratos ΣI queremos hacer algo similar con la proyecciónjrπ : J rDE∗k → J rD(M,CPm).

Tenemos similares propiedades pues la imagen de una trivialización jrDτrefk,x,I

es jrD(π τ refk,x,I) también A.H. Igualmente a lo largo de las fibras la función

es holomorfa, aunque la diferencia estriba en la no linealidad de dichas res-tricciones.

Adoptamos pues una estrategia diferente. La holomorfía aproximada dela aplicación a orden cero (la norma de la parte (1, 0) de la diferencialdela aplicación) es obvia. Si ambas estructuras fuesen integrables, bastaríaestudiar la diferencial y determinar eventualmente su holomorfía. Podemosencontrar localmente (en el producto de una bola de gk-radio O(1) en labase por una bola en la fibra de radio también O(1)) nuevas distribucionescon estructuras casi-complejas en los espacios totales de los fibrados que sonintegrables, coinciden aproximadamente con las iniciales y para las que jrπes holomorfa.


Para ello tomamos cartas de Darboux para Lk y sustituimos D,J porDh, J0. Los resultados de la proposición 4.6 en el caso integrable (y paracurvatura con derivada trivial, como es el caso de ω0) implican que las per-turbaciones de la conexión definen una estructura compleja integrable J . Laintegrabilidad para J0 en J rDh(Cn×R,CPm) es obvia. Recordemos que trasla identificación local de los jets con J rDh,n,m+1 y J rDh,n,m se ha comprobadoque la definición de jrπ coincide con la de la situación integrable, para la quela holomorfía muy clara por serlo a lo largo de las fibras y enviar suficientessecciones holomorfas de J rDh,n,m+1 a secciones holomorfas de J rDh,n,m. Másconcretamente, para cada punto σ ∈ J rDh,n,m+1, y para cada vector v en elespacio tangente que no sea tangente a la fibra, podemos hallar una funciónholomorfa F cuyo r-jet en x es σ y tal que el espacio tangente al grafo con-tiene a v. Como jrπ(jrDhF ) = jrDh(π F ) también es una sección holomorfa,se deduce que jrπ∗(Jv) = J0(jrπ∗(v)).

Igualmente es evidente que en el dominio en el que trabajamos la nuevasestructuras complejas integrables coinciden aproximadamente con las ini-ciales.

Exactamente la misma prueba demuestra que jrπ : J rE∗k → J r(M,CPm)es A.H. En el caso relativo, y para una sucesión de estratos PSk verificandolas condiciones de 5.25, la holomorfía aproximada de pr∗G j

rπ∗Sk se siguede la conmutatividad del diagrama 5.24, y de la holomorfía aproximada dejrπ : J rE∗k → J r(M,CPm) y de prG : J r(M,CPm) → J rG(M,CPm) (paraesta última se sigue fácilmente de que la proyección ortogonal T ∗1,0M →G∗1,0 es J-lineal).

Observación 5.28: Ahora ya podemos indicar de un modo más preciso comoaplicar la teoría relativa. En efecto, si trabajamos con la simplectización(M,D, J, g), o incluso con (M,ω) variedad sympléctica en la que tenemos N(resp. (Q,D)) una subvariedad simpléctica (resp. calibrada) y G una dis-tribución casi compleja extendiendo TN (resp. D), y partimos de χk sucesiónA.H. de Ek, sabemos por el apartado 2.3 que la restricción de χk a N (resp.Q) es una sucesión de secciones A.H. Podemos por tanto proyectivizarla paraobtener φk |N (resp. φk |Q) una aplicación a CPm, cuya r-genericidad se re-duce a un problema de transversalidad para jr(φk |N ) (resp. jrD(φk |Q)), quees una sección de J r(N,CPm) (resp. J rD(Q,CPm)). Teniendo en cuentaque cuando tomamos cartas del proyectivo el fibrado no lineal anterior seidentifica con J r(N,Cm) (resp. J rD(Q,Cm)) –para el que no hay curvatura–es evidente que el r-jet coincide de modo aproximado con ∇r(φk |N ) (resp.∇rD(φk |Q)). Igualmente jrGφk, el r-jet a lo largo de G –definido en todoslos puntos de M en donde G está definida– coincide de modo aproximadocon ∇rGφk. Igual que indicamos en el apartado 2.3 y teniendo en cuentala ausencia de curvatura, se comprueba que (∇rGφk)|N u ∇r(φk |N ) (resp.(∇rGφk)|Q u ∇

rD(φk |Q)). Por tanto el r-jet a lo largo de G jrGφk extiende

de modo aproximado al r-jet de la restricción de φk. La última observaciónnecesaria es que la identificación de J r(N,CPm) (resp. J rD(Q,CPm)) conJ rG(M,CPm) en los puntos de la subvariedad inducida por T ∗N ∼= G∗ (resp.


D∗ ∼= G∗)–consecuencia de la retracción métrica– preserva las estratifica-ciones de T-B-A. En consecuencia, si obtenemos transversalidad uniformede jrGφk en los puntos de la subvariedad a la estratificación de T-B-A deJ rG(M,CPm), también obtenemos transversalidad uniforme para el r-jet dela restricción.

6. El teorema principal

Tal y como hemos venido mencionando, para la mayoría de las aplica-ciones necesitaremos partir de secciones A.H. de Ek que perturbaremos paraque sus r-jets sean transversales a cuasi-estratificaciones A.H. de J rDEk. Seráposible controlar las cotas de dicha perturbación a lo largo de las direccionesde D hasta un orden finito arbitrario. Introducimos para ello una nuevanotación: diremos que una sección τk es C≥h-A.H.(CD) si la sucesión esA.H., i.e., hay cotas para las derivadas de todos los órdenes, y la constanteCD controla la norma y derivadas a lo largo de D hasta orden h. Tambiénhablaremos de secciones C≥h-A.H. sin mencionar explícitamente la cota.

Teorema 6.1. Sea Ek una sucesión muy amplia de fibrados vectoriales her-mitianos localmente escindibles y S = (Sak)a∈Ak una sucesión C≥h-A.H. decuasi-estratificaciones finitas de Whitney de J rDEk (h ≥ 2). Sea δ una cons-tante positiva. Existe una constante η > 0 tal que para cualquier sucesión τkC≥r+h-A.H.(CD) de Ek, es posible encontrar una sucesión A.H. σk de Ekde modo que para todo k mayor que un cierto K,

(1) |∇jD(τk − σk)|gk < δ, j = 0, ..., r + h.(2) jrDσk es η-transversal a S.

En el enunciado anterior K y las constantes Cj controlando las derivadastotales y la parte antiholomorfa de σk dependerán de toda la sucesión decotas (CDj , Cj) de τk (que podemos suponer creciente). La constante η noserá en general independiente de un número finito de las CDj y Cj

Es muy importante que todas nuestras construcciones no dependan deltamaño de las constantes Cj de la sucesiones a las que se las apliquemos. Elmotivo es que estas cotas pueden ir cambiando a medida que modificamos lassecciones (la perturbación final será el resultado de añadir de modo sucesivoun número muy elevado de pequeñas perturbaciones). La única dependenciaque admitimos es la de la elección de la constante K a partir de la cualnuestras afirmaciones se verifican: por ejemplo, en coordenadas A.H. parapasar de cotas a lo largo de Dh a cotas a lo largo de D son necesarias las co-tas globales, aunque no su valor exacto (lo contrarrestamos aumentando k);igualmente ocurre al hacer arbitrariamente pequeñas las partes antiholomor-fas (de tamaño Crc

−1/2k ). También haremos depender ciertas construcciones

en la cota Cr+2 de la sección inicial τk que queremos perturbar.

6. EL TEOREMA PRINCIPAL 99

Tendremos también un resultado análogo de transversalidad a lo largo desubvariedades compactas para variedades casi-complejas de dimesión par conpolarización. La prueba es una modificación menor de la dada por D. Aurouxen [4] para variedades casi-complejas pares unida a los resultados locales deJ. P. Mohsen [43]. Aún así enunciaremos el correspondiente teorema.

Teorema 6.2. Sea Ek una sucesión muy amplia de fibrados vectoriales her-mitianos localmente escindibles sobre la variedad casi-compleja polarizada(M,J,G, g) de dimensión par, y sea Q una subvariedad compacta de M .Consideremos S = (Sak)a∈Ak una sucesión Ch-A.H. de cuasi-estratificacionesfinitas de Whitney de J rEk cuyos estratos son pullback de estratos (subva-riedades) de J rGEk (h ≥ 2). Sea δ una constante positiva. Existen unaconstante η > 0 y un número natural K tal que para cualquier sucesiónCr+h-A.H.(C) τk de Ek, es posible encontrar una sucesión Cr+h-A.H. σk deEk tal que para todo k mayor que K,

(1) |∇j(τk − σk)|gk < δ, j = 0, ..., r + h (σk es Cr+h-A.H.(δ)).(2) jrGσk es η-transversal a S a lo largo de Q (de las direcciones de TQ

en los puntos de Q).

Obsérvese que en el caso relativo no tenemos por qué trabajar con suce-siones cuyas derivadas de todos los órdenes estén controladas, y tanto Kcomo η dependen sólo de C. No es así en el caso impar porque el compor-tamiento de las sucesivas perturbaciones es mucho peor por ser la distribuciónD no integrable en general; básicamente, las derivadas a lo largo de las di-recciones de D serán arbitrariamente pequeñas sólo si tenemos controladaslas derivadas totales hasta un orden muy alto, y k se hace muy grande. Larazón exacta quedará clara a lo largo de la prueba.

El teorema 6.2 no es realmente el resultado que buscábamos, pero casi;nuestro objetivo es un teorema de transversalidad para “cuasi-estratificaciones”SG de J rGEk (realmente lo que tiene que ser una cuasi-estratificación esS ⊂ J rEk, el pullback de SG). El motivo de recurrir al fibrado J rEk es notener que demostrar la amplitud del fibrado J rGEk.

Si tenemos una estratificación SGk en J rGEk la manera de definir transver-salidad con respecto a una distribución TQ de TM es la obvia; simplementenotamos que para el transporte paralelo usamos la métrica en J rGEk inducidapor la de J rEk; usando además trivializaciones locales de Ek, cartas aproxi-madamente holomorfas adaptadas a G y la correspondiente métrica euclídea,obtenemos identificaciones locales para J rEk ∼= J rn,m+1 y J rGEk ∼= J rCg ,n,m+1

de modo que J rn,m+1 = J rg,m+1×Cu; es más, hemos visto que la estratificaciónS de J rn,m+1 también aparece como un producto de SG por Cu. La métricaeuclídea es comparable a gk y a la inducida en J rGEk (la restricción de laeuclídea a esta última subvariedad); para la métrica euclídea transversalidadestimada de jrGτk a S es exactamente lo mismo que transversalidad estimadade jrGτk a SG. La consecuencia de todo esto es el siguiente resultado.

Corolario 6.3. Sea Ek una sucesión muy amplia de fibrados vectoriales her-mitianos localmente escindibles sobre la variedad casi-compleja polarizada


(M,J,G, g) de dimensión par, y sea Q una subvariedad compacta de M .Consideremos S = (Sak)a∈Ak una sucesión de estratificaciones de J rGEk cuyopullback a J rEk es una sucesión Ch-A.H. de cuasi-estratificaciones finitasde Whitney (h ≥ 2). Sea δ una constante positiva. Existen una constanteη > 0 y un número natural K tal que para cualquier sucesión Cr+h-A.H.(C)τk de Ek, es posible encontrar una sucesión Cr+h-A.H. σk de Ek tal que paratodo k mayor que K,

(1) |∇j(τk − σk)|gk < δ, j = 0, ..., r + h (σk es Cr+h-A.H.(δ)).(2) jrGσk es η-transversal a SG a lo largo de Q (de las direcciones de

TQ en los puntos de Q).

La consecuencia de este corolario es obvia. Si partimos de (M,w) con(Q,D) subvariedad (compacta) calibrada y G polarización J-compleja ex-tendiendo a D (igualmente cuando lo que tenemos es una subvariedad sim-pléctica), suponemos que SG proviene de una estratificación SD de J rDEk →(Q,D) mediante la identificación J rDEk ∼= J rGEk en los puntos de Q. Es fácilver que transversalidad estimada a SG (que requiere el uso de la métrica in-ducida en Q) es comparable sobre Q a la definición dada de transversalidadestimada a SG. Por tanto, deducimos transversalidad estimada de (jrGτk)|Qa SG. En ausencia de curvatura (por ejemplo cuando trabajamos con lasproyectivizaciones) o cuando r = 0 –que son las circustancias que se daránpara todas las aplicaciones que vamos a enunciar– hay una identificaciónaproximada entre (jrGτk)|Q y jrD(τk |Q), lo que implica transversalidad de laúltima sucesión y que es el objetivo final de la teoría relativa: construirsucesiones A.H. de secciones cuya restricción a la subvariedad tenga buenaspropiedades de transversalidad (y posiblemente también la propia sucesióndentro de M).

6.1. Prueba del teorema principal

La prueba sigue las mismas líneas que la dada por D. Auroux en [4]para el caso par, aunque con ciertas complicaciones técnicas que discutimosa continuación.

Definición 6.4. Una familia de propiedades Pk(η, x)x∈M,η>0,k>>0 de sec-ciones de Ek se denomina local Cr+1-abierta si dada una sucesión τk Cr+h-A.H. cumpliendo P(η, x) (h dependerá de la propiedad P), para cualquiersucesión de secciones Cr+h-A.H. χk tal que |∇jD(τk − χk)|gk ≤ ε, j =0, ..., r+1, χk satisface P(η−Lε, x) para k mayor que un cierto K(CR), conL > 0 independiente de η, ε, x y de las sucesiones de secciones.

Es importante hacer notar que en la definición anterior solamente lasderivadas a lo largo de D son tenidas en cuenta.

Fijemos una sucesión de estratos Sbk de J rDEk. Una sección τk satisfacePk(η, x) si o bien jrDτk(x) se encuentra a distancia de ∂Sbk menor que N1η


y en caso de que corte al estrato lo hace con ∠m(TDSbk, TDτk) ≥ η, o biense encuentra a distancia de ∂Sbk mayor que N2η y es η transversal a Sbk. Loscoeficientes N1 > N2 > 0 son constantes (probablemente muy grandes) de-pendientes de η. El coeficiente N1 aparece porque en puntos cuya distanciaal borde del estrato es próxima a N1η, el radio de la bola donde la descripciónlocal de la estratificación dada en la definición 5.2 es válida, es al menos η.Por el contrario N2 puede ser elegido mayor que N1 − 1 y simplemente nospermite tener una región de solapamiento para las dos nociones de transver-salidad. También η tiene que ser suficientemente pequeño en relación a lasconstantes (CD, C) de τk.

Definimos transversalidad uniforme con respecto a una sucesión de es-tratos Sbk como la existencia de un cierto η > 0 tal que Pk(x, η) se cumplepara todo x y k >> 0 (simplemente hemos añadido la noción de transversali-dad uniforme para puntos cercanos a la frontera del estrato). Si se prueba quePk(x, η) –tal y como la acabamos de definir para una sucesión de estratos Sbkde una estratificación– es una propiedad local Cr+1-abierta (o simplementeabierta), al llevar a cabo perturbaciones cuyo tamaño (en las direccionesde D) sea una fracción de η mantendremos, digamos, η2 -transversalidad conrespecto a Sbk en todos los puntos de M para la nueva sucesión.

Reordenamos los estratos de la Sk tal que para cualquier b, ∂Sbk ⊂∪a<bSak . Para probar que Pk(x, η) con respecto a Sbk es una propiedad abiertaes necesario suponer que Pk(x, α) se cumple para todos los estratos prece-dentes, donde α es un múltiplo apropiado de η. Necesitamos asumir estapropiedad para poder tratar el caso de los puntos cercanos a la frontera.

Es importante también hacer notar que una vez se supone la transversa-lidad con respecto a los estratos de índices precedentes, las construcciones(esencialmente la cantidad de transversalidad que vamos a obtener) depen-derá de las constantes C de τk (en realidad dependen del tamaño de laprimera derivada covariante de jrDτk cuya cota se deduce de Cr+2). Comohemos mencionado, cuando logramos transversalidad estimada a una suce-sión de estratos la cota Cj nos será imposible de determinar. Si el númerode estratos es mayor que dos, habremos de repetir la construcción para lasnuevas secciones; al depender la cantidad de transversalidad que lograremosde Cr+2, tampoco podremos acotarla por debajo (veremos que la excepciónse da para 0-jets).

Lema 6.5. Sea τk una sucesión C≥r+h-A.H.(CD) para la que P(x, α) secumple con respecto a los estratos precedentes a Sbk y en todos los puntos deM (h ≥ 2). Entonces si η es suficientemente pequeño (dependiendo tambiénde Cr+2) y ε es de nuevo pequeño comparado con η, Pk(x, η) de τk conrespecto a Sbk es una propiedad local Cr+1-abierta.

Prueba. Nótese que para la prueba necesitamos suponer que la propiedadque perseguimos se cumple para los estratos precedentes. Esto no suponeuna contradicción porque al menos el primer estrato no tiene frontera con loque podemos comenzar la inducción.


Asumamos que τk satisface P(η, x) (con respecto a Sbk). Si χk es otrasucesión de secciones Cr+1-A.H.(ε, Cr+1), entonces para k suficientementegrande |jrDχk| < B1ε y |∇DjrDχk| < B1ε (B1 tan próximo como queramos a1).

Eligiendo L suficientemente grande es posible encontrar nuevas constan-tes N ε

1, Nε2 tal que si y = jrD(τk+χk)(x) está a distancia de la frontera mayor

queN ε2(η−Lε), la distancia a la frontera de q = jrDτk(x) es mayor queN2η (la

distancia en el espacio total de J rDEk es comparable a la distancia respectoa la métrica hermitiana a lo largo de las fibras). También si la distancia paray es menor que N ε

1(η − Lε), la correspondiente para q es menor que N1η.

Tratemos en primer lugar el caso en que y, q están lejos de la frontera.Podemos suponer que tanto y como q (y los correspondientes subespaciosvectoriales TDjrD(τk +χk)(x) y TDjrDτk(x)) están en el dominio de una carta1-comparable, producto de una carta coordenada aproximadamente holo-morfa por una bola en la fibra; usamos la métrica euclídea g0 y su trans-porte paralelo pues en esta carta es comparable al de la métrica gk. Paraε una fracción de η suficientemente pequeña y k suficientemente grande,∠M (TDjrD(τk + χk)(x), TDjrDτk(x)) ≤ B2ε, donde B2 no depende de k, x.El motivo es que el espacio tangente al grafo de cada sección (a lo largo deD) coincide de modo aproximado con el (r + 1)-jet, y la diferencia usando∇D es comparable a la obtenida usando dD. Igualmente el gk-transporteparalelo de T ||Sbk(y) a lo largo del segmento en la fibra que une y con q, di-fiere de él mismo (usando métrica y transporte paralelo euclídeo para medir)en una cantidad proporcional a la distancia. Si esta variación es suficiente-mente pequeña comparada con ∠m(T ||Sbk, D), ocurre lo propio con T ||DS

bk(y)

y T||DS

bk(q). Por tanto, para ε suficientemente pequeño comparado con η,

inferimos P(η − Lε, x) para χk. Observamos que para un η de partida su-ficientemente pequeño la constante κ1 tal que se puede tomar ε = κ1η nodepende de η (ni de las cotas de la sección pues de nuevo hacemos tender laparte antiholomofa a cero incrementando k adecuadamente).

La segunda posibilidad es que q se encuentre a distancia de la fronterainferior a N1η. Veremos que si esta cantidad está elegida adecuadamente,un punto p ∈ Sak , a < b, a distancia de q menor de la citada nunca podrá nopertenecer aproximadamente a ΘSak

. Por tanto podremos aplicar la condiciónde Whitney.

Si τk es una sección Ch+r-A.H.(CD, C), para cualquier x ∈ M y q =jrDτk(x), existen constantes positivas ρ1, ρ2 tal que jrDτk(Bgk(x, ρ1)) ⊂ Bgk(q, ρ2)(recordamos que jrDτk es C

h-A.H.(CD, C)); la elección de constantes dependede C.

Sea p ∈ Bgk(q, ρ2) y sea su proyección sobre M el punto x′. Llamemosp − q′ = jrDτk(x

′). Existen unos coeficientes únicos βI tal que q′ = βIνk,x,I .Por la linealidad de los jets jrD(τk+βIτ

refk,x,I)(x

′) = p. Escogemos ρ2 de modoque el tamaño de estos coeficientes sea una pequeña fracción de la cantidad detransversalidad α de jrDτk en x. Queremos demostrar que α-transversalidadde jrDτk en q (la imagen de x) implica α − B3dgk(p, q) transversalidad dejrD(τk+βIτ

refk,x,I) en p (la imagen de x′), lo que contradiría, para una elección


de ρ2 adecuada, la no pertenencia aproximada de p a ΘSak. Simplemente ob-

servamos que tenemos que demostrar una relación similar para la variaciónde T ||DS

ak(q) a T ||DS

ak(p) y la de TDjrDτk(x) a TDjrD(τk + βIτ

refk,x,I)(x

′) (me-dida por ejemplo en las cartas producto anteriormente citadas con métricaeuclídea y su transporte paralelo). La primera relación ya está probada; encuanto a la segunda, usamos la desigualdad triangular comparando primeroTDj

rDτk(x) con TDjrDτk(x

′), y luego éste ultimo con TDjrD(τk + βIτrefk,x,I)(x

′).Esta última comparación se sigue del tamaño de los coeficientes β (es lamisma situación que ya hemos probado para puntos lejanos a la fronteradel estrato); para la primera usamos la cota en ∇∇DjrDτk que controla lavariación de TDjrDτk (de modo aproximado, pues D es no integrable).

Se elige N1η menor que ρ2. En particular el punto p está lejos de la fron-tera de Sak ⊂ ∂Sbk, es decir, pertenece a la región de Sak donde la condición deWhitney se cumple. En esta situación existe un ρ > 0 tal que para cualquiery ∈ Bgk(p, r)∩Sbk, ∠M (T ||Sak(y), TSbk(y)) ≤ B4ρ, donde tanto ρ como B4 nodependen ni de k ni de y. Las cantidades ∠m(D, T ||Sak),∠m(D, T ||Sbk) estánacotadas inferiormente. Esto supone que ∠M (T ||DS

ak(q), TDSbk(q)) ≤ B5ρ,

y por tanto la existencia de una pequeña constante κ2 > 0 tal que paratodo α > 0 suficientemente pequeño, α-transversalidad de jrDτk a Sak implicaα2 -transversalidad a Sbk en el entorno de radio ρκ2.

De nuevo imponemos que N1η sea a lo sumo un medio de min(ρ2, ρκ2) yesto concluye la prueba.

Observación 6.6: Nótese que en el proceso de inducción la cantidad de trans-versalidad obtenida en los puntos cercanos a la frontera no se usa para nada;ahí, la constante Cr+2 es importante a la hora de elegir el tamaño del entornode ∂Sbk donde se deduce α

2 -transversalidad por la condición de Whitney.

Para probar el teorema 6.2, se define la propiedad P(x, η) para la sucesiónCr+h-A.H.(C) τk como η-transversalidad en x a Sbk de jrGτk a lo largo de Q.Se prueba de modo similar que esta es una propiedad local Cr+1-abierta(la definición usa toda la derivada ∇ en vez de la ∇D de las variedadesimpares). Simplemente hay que asegurarse de que |∇r+1χk|gk ≤ ε, implica|∇QjrGχk|gk ≤ Lε, y que |∇r+2τk|gk ≤ C da lugar a una cota uniforme para|∇∇Qτk|. Ya hemos visto que de una Cr+h-cota C, se pasa a una Ch-cotaC = B′C para jrGτk; por tanto la primera cuestión es obvia y la segunda seconsigue usando una familia de cartas adaptadas a TQ×TQ⊥ en los puntosde Q. Igualmente notamos que si x ∈ Q y jrGχk(x) corta a Sak a lo largode TQ con ángulo acotado por debajo, entonces pertenece al subconjuntoholónomo transversal ΘSak

. Con estas puntualizaciones el argumento anteriorfunciona para Q.

Elijamos ahora una constante c1 tal que para cualesquiera x, x′ ∈M condk(x, x′) ≤ c1 se tenga dgk(τk(x), τk(x′)) ≤ η

2 . La constante dependerá de(CD, Cr+2). Definimos los “puntos buenos” para τk, Bτk , como el conjuntode puntos x ∈M tal que τk(x) está a distancia menor que 2η de los puntosde Sbk que se encuentran a distancia de ∂Sbk mayor que N2η. La propiedadinteresante es que si x ∈ Bτk , entonces Bgk(x, c1) está en una región donde las


funciones de la definición 5.2 están disponibles. También, para una pertur-bación χk de tamaño (a lo largo de D) menor que η

2 , la imagen de Bgk(x, c1)mediante jrD(τk + χk) permanece en dicha región. Si x /∈ Bτk , tanto jrDτkcomo jrD(τk + χk) envían la bola Bgk(x, c1) fuera del conjunto de puntos adistancia de Sbk ∩ Bgk(∂Sbk, N2η) mayor que η. Resumiendo, si x /∈ Bτk y χkes de tamaño ε menor que η

2 , se verifica Pk(x′, η − Lε) para τk + χk conrespecto a Sbk en todos los puntos x′ ∈ Bgk(x, c1). Por tanto, sólo tendremosque trabajar para lograr transversalidad en los puntos de Bτk .

En el caso relativo podemos encontrar igualmente una constante c1 conpropiedades similares y centrarnos en el correspondiente conjunto de puntosbuenos Bτk , que será en los únicos en los que tendremos que perturbar paralograr transversalidad estimada.

Proposición 6.7. Sea P(η, x)x∈M,η>0,k>>0 una familia de propiedades lo-cales Cr+1-abiertas de secciones de Ek. Asumamos que existen constantespositivas c, c′, c,′′ e, tal que para cualquier δ > 0 y ξk sucesión de seccionesC≥r+h-A.H.(CD) de Ek (h ≥ 2), se pueden encontrar para cualquier x ∈Msecciones χk,x C≥r+h-A.H. con las siguientes propiedades para k >> 0:

(1) χk,x es C≥r+h-A.H.(c′′δ).(2) Las secciones 1

δχk,x tienen decaimiento gaussiano con respecto a xcon cotas para todas las derivadas, de modo que la que controla lasdirecciones de D hasta orden r+ h sólo depende de la geometría dela variedad (en particular no depende de la sucesión ξk).

(3) ξk + χk,x satisface la propiedad P(γ, y) para todo y ∈ Bgk(x, c) conγ = c′log(δ−1)−e.

Entonces dado cualquier α > 0 y cualquier sucesión τk de secciones C≥r+h-A.H. de Ek, existe una sucesión σk de secciones C≥r+h-A.H. tal que para ksuficientemente grande τk−σk es C≥r+h-A.H.(α), y las secciones σk verificanla propiedad P(η, x), para un cierto η uniforme, y para todo x ∈M .

Prueba. Véase por ejemplo [50].

En la proposición anterior la constante c es uniforme y puede ser elegidatan pequeña como queramos; para nuestra sucesión τk imponemos que c seamenor que ρ1. Para cualquier punto x /∈ Bτk seleccionamos como perturbaciónla sección cero. Así pues, la prueba del teorema 6.1 (resp. 6.2) se reduce amostrar la existencia de las perturbaciones χk para los puntos en Bτk , paracualquier sucesión ξk que sea C≥r+h-A.H. (resp. Cr+h-A.H.).

La perturbación local. (Continuación de la prueba del teorema principal).Sea x un punto en Bτk y ξk una sucesión de secciones Cr+h-A.H(CD) verifi-cando |∇jDjrDτk−∇

jDj

rDξk|gk ≤ δ, j = 0, ..., h, donde δ < η

2 . De ello se deduceque jrDξk(Bgk(x, c1)) se encuentra en la región donde se tiene la descripciónlocal de la estratificación de la definición 5.2. Por la condición (3) en dichadefinición, la función F = (f1 jrDξk, ..., fp jrDξk) es C≥h-A.H.(C1,ηC

D),con C1,η una constante uniforme. Por el lema 5.9 y para γ > 0 suficiente-mente pequeña, γ-transversalidad de F es equivalente a Aγ-transversalidad


de jrDξk, donde A es una constante uniforme. Si se elige c1 suficientementepequeña, la bola Bgk(x, c1) estará en el dominio de coordenadas aproximada-mente holomorfas, donde disponemos de la base local jrDτ

refk,x,I del fibrado de

r-jets; trataremos de perturbar usando elementos de esta base que generanlas direcciones complementarias al estrato.

Reescalando las secciones, podemos asumir que |τ refk,x,I |Cr+h ≤

1δ . Siendo

más precisos es importante observar que la función a perturbar es F , ypor tanto lo haremos usando una base adecuada de secciones A.H. de Cp,que es el espacio de llegada de esta función. Para cada I, la función ΘI =(df1(jrDξk)j

rDτ

refk,x,I , ..., dfp(j

rDξk)j

rDτ

refk,x,I) con valores en Cp es C≥h-A.H.(C2,γC

D),para una cierta constante uniforme C2,γ . Usando la condición (1) de 5.2,y tal vez haciendo c1 más pequeño, se concluye la existencia de númeroscomplejos λI,i, i = 1, ..., p,

∑I |λI,i| < 1, de modo que para las funciones

Θi = ΘI se tiene que |Θ1(x) ∧ · · · ∧ Θp(x)| es comparable a una base uni-taria de Cp (porque los correspondientes r-jets son comparables a una baseunitaria del ortogonal a ker df). En esta base F = µ1Θ1 + · · ·µpΘp, dondelas propiedades de F y de las Θi implican que µ = (µ1, ..., µp) es C≥h-A.H. sobre esa bola (una función C≥h-A.H. con valores en Cp en función deuna base A.H. tiene coordenadas C≥h-A.H.). Se definen las perturbacionescorrespondientes ζk,x,i =

∑I λI,iτ

refk,x,I , que son secciones de Ek.

Si fuera necesario se reescala un entorno de x para que la imagen deBgk(x, c1) en la carta adaptada a la métrica contenga a B+ × [0, 1], dondeB+ ⊂ Cn es la bola euclídea de radio 1. Fijamos también un c < c1 tal quela imagen de Bgk(x, c) está contenida en B1/2 ⊂ Cn ×R, la bola euclídea enCn×R de radio 1

2 . Hacemos pullback de µ a la carta para obtener una funciónµ : Cn × R → Cp, a la que podemos aplicar el resultado de transversalidadlocal que extiende al de S. Donaldson para funciones A.H. de Cn a Cp, cuyaprueba posponemos hasta el final de la sección.

Proposición 6.8. Sea F : B+ × [0, 1] → Cp, 0 < δ < 12 una constante y

σ = δ(log(δ−1)−e, donde e es un entero fijo adecuado dependiendo sólo delas dimensiones n, p. Asumamos que para cada s ∈ [0, 1], Fs satisface lassiguientes estimaciones en B+:

|Fs| ≤ 1, |∂Fs| ≤ σ, |∇∂Fs| ≤ σ

Entonces existe una curva diferenciable w : [0, 1] → Cp tal que |w| < δ yla función F −w es σ-transversal a 0 sobre B1/2 a lo largo de las direccionesde Cn. Es más, si |∇j∂F/∂s| < Cj para todo j ∈ N, se puede escogerw de modo que |djw/dsj | < Φj(δ), para todo j ∈ N y djw/dsj(0) = 0 ydjw/dsj(1) = 0 para todo j ∈ N, donde Φj es una función que sólo dependede las dimensiones n, p.

En la proposición 6.8 las normas se computan respecto a la métrica eu-clídea, la derivada covariante es la asociada a ésta (es decir, derivadas par-ciales usuales), y la estructura casi-compleja es J0.

Podemos aplicar esta proposición una vez que k sea suficientemente grande(y posiblemente después de reescalar), pues por ejemplo usando los resultados


del lema 3.27 sabemos que la holomorfía aproximada de la función equivalea la holomorfía aproximada de la misma pero usando los elementos planosde la carta adaptada, es decir, Dh, J0, g0 (y las cotas, al menos para órdenesfinitos, son proporcionales si k se escoge suficientemente grande).

En consecuencia podemos encontrar una curva en Cp, (w1, ..., wp), tal queµ−w sea γ-transversal a 0 sobre B1/2. Esto supone la A1γ transversalidadde µ − w a 0 sobre Bgk(x, c1), para un A1 uniforme, y por tanto que F −w1Θ1 − · · · − wpΘp es A2γ-transversal a 0 sobre la misma bola.

Es importante resaltar que hemos obtenido es una solución para el pro-blema de transversalidad en el fibrado de r-jets, pero lo que buscamos es unasolución al problema de transversalidad fuerte, esto es, una perturbación quesea el r-jet de una sucesión de secciones de Ek. El candidato natural es lasucesión

χk,x = −(w1ζk,x,1 + · · ·+ wpζk,x,p).

Es evidente que χk,x es una sucesión A.H. con decaimiento gaussiano conrespecto a x. Para probar que hasta orden r + h las constantes gobernandolas derivadas y el decaimiento gaussiano a lo largo de D son comparables aδ, es necesario que las derivadas en esas direcciones de las funciones w seannulas o nulas en el sentido aproximado. Por construcción, y a diferenciadel caso par en el que estas funciones son constantes, estas derivadas nose anulan. En las correspondientes coordenadas A.H. son constantes a lolargo de Dh. Como tenemos cotas uniformes en las componentes verticalespodemos concluir que las derivadas a lo largo de D son aproximadamentenulas. La sutileza radica en que si hubiésemos trabajado con sucesionesCr+h, habríamos podido inferir cotas uniformes para las derivadas de whasta orden h; pero para continuar el proceso inductivo necesitamos controlde orden r + h (de orden h para los r-jets). Este es el motivo preciso parahaber introducido las sucesiones C≥r+h.

En lo relativo a la transversalidad si llamamos

F = (f1 jrD(ξk + χk), ..., fp jrD(ξk + χk)),

es suficiente una cota para |∇jD(h − (h − w1Θ1 − · · · − wpΘp)|gk , j = 0, 1,de tamaño A2

γ2 para obtener A2

γ2 -transversalidad para ξk + χk. Nótese que

la diferencia entre ambas funciones proviene del hecho de que cuando com-ponemos con f y perturbamos linealmente, la correspondiente perturbaciónno es lineal en las fibras de J rDEk. En otras palabras, en cartas con la fo-liación ker df rectificada las fibras de J rDEk no son espacios vectoriales. Encualquier caso, la falta de linealidad está controlada por la segunda derivadade f . Siendo más precisos,

F = F − w1Θ1 − · · · − wpΘp +O(c−1/2k ) +O((δ + c

−1/2k )2),

por las cotas en las segundas derivadas de las fi y por el hecho de que jrDσk,x−(w1Θ1 + · · ·+ wpΘp) es de tamaño O(c−1/2

k ). La observación importante esque no sólo obtenemos C0-control de tamaño O(c−1/2

k ) + O((δ + c−1/2k )2),

sino también para las derivadas a lo largo de D. Debido a la fórmula deγ en función de δ, si δ es suficientemente pequeño este último término deorden cuadrático en δ es mucho más pequeño que A2γ. El resultado es


A3γ-transversalidad para F sobre Bgk(x, c), lo que equivale a A4γ- trans-versalidad de jrD τk a Sak sobre la citada bola. Por tanto, ξk + χk satisfaceP(A4δlog(δ−1)−e), y) para todo y ∈ Bgk(x, c), y esto completa la prueba delteorema 6.1.

La prueba del teorema 6.2 es la misma pero con dos modificaciones.La primera es que podemos generar las direcciones complementarias a ladistribución ker df usando los r-jets a lo largo de G, ya que el estrato es porhipótesis el pullback de una subvariedad de J rGEk mediante la proyecciónortogonal J rEk → J rGEk. La segunda es el resultado de J. P. Mohsende transversalidad local relativa a una subvariedad Q (ver la sección 5 de[43]). Como en dicho resultado la perturbación es una combinación lineal delas secciones τ ref

k,x,Igpodemos usar secciones Cr+h-A.H. Además, la cantidad

final de transversalidad sólo dependerá de la geometría de la variedad y laestratificación y de la cota controlando las derivadas de orden menor o igualque r + h.

Demostración del teorema de transversalidad local. (Proposición 6.8).La prueba es una modificación menor de la proposición 5.1 en [50], que a suvez es una extensión de la demostración del lema 11 en [32], que de nuevoes una pequeña generalización de la proposición 3 en [2] y de la proposición25 en [12].

Para la función Fs : Cn → Cp se define U(Fs, w, δ, σ) como la imagenen B(0, δ) de los puntos en B′ = B(0, 1

2) ⊂ Cn para los que Fs − ws esσ-transversal a cero (aquí nos referimos a transversalidad de Fs en todas lasdirecciones, que son las de Dh).

El punto clave es demostrar que U(Fs, w, δ, σ) contiene al complementariode un conjunto W que es unión de un determinado número de bolas de radioσ mayorado por N(δ). Asumiendo dicho resultado, para un par de puntos x,y en el complementario se considera una curva definida del modo siguiente: elsegmento [x, y] corta a ∂W en a lo sumo 2N puntos. Los trozos de segmentoen el interior de W son reemplazados por curvas diferenciables a trozos,resultado de empalmar geodésicas en las porciones de esferas que conformandicha frontera. Por último perturbamos adecuadamente la curva w0 a otraw1 diferenciable.

La prueba de que es posible encontrar una curva w1 con su derivadasde orden i acotadas en términos de una función Φi(δ) es como sigue: cadapedazo diferenciable de w0 es o bien un segmento o bien un trozo de geodésicaen la correspondiente esfera. Luego todas las derivadas de cada uno estánacotadas en términos de σ, y por tanto de δ, siempre que tengan longitudacotada inferiormente por una fracción de δ. Para hacer la función diferen-ciable multiplicaremos por una función de corte en cada unión. La función decorte será fija, y tan solo variará por el reescalamiento elegido. Si podemosutilizar en ambos lados de la unión un trozo de curva con longitud acotadainferiormente por una fracción de σ, habremos probado el resultado deseado.

Lo único que necesitamos hacer es tomar las bolas que conforman W conun poco de cuidado. En realidad tomaremos un recubrimiento de la bolade radio δ por bolas de radio σ. Tal y como hemos venido haciendo hasta


ahora, dado que buscamos ciertas constantes uniformes en δ y σ tomaremosel recubrimiento para σ = 1 y luego reescalaremos.

Para este valor de σ consideramos el recubrimiento por bolas de un ciertoradio ρ centradas en los puntos de la retícula entera. El radio ρ se elige demodo que:

(1) ρ >√

2p2 , con lo que obtenemos un recubrimiento.

(2) Las intersecciones de las esferas siempre ocurren en posición general.

Recubriremos Cp para que al contraer la construcción multiplicando porun σ arbitrario todavía obtengamos un recubrimiento de la bola de radio δ.Aunque tengamos un número infinito de bolas la invariancia por traslacionesimplica que la condición de tener intersecciones en posición general tieneque ser comprobada tan sólo en un número finito de ellas, de lo que sedesprende la existencia de ρ con las propiedades requeridas. La propiedadque es importante para nosotros es que la esfera Sn−1, frontera de cadabola, queda dividida en regiones con la siguiente propiedad: cada región Rtiene su frontera ∂R estratificada con estratos de dimensión máxima ∂Ri.Para cada r > 0 definimos ∂Ri,r como los puntos en ∂Ri a distancia desu frontera mayor que r (la unión de la frontera es la unión del resto delos estratos). Es posible encontrar un r0 tal que para cualesquiera puntosx ∈ ∂Ri,r0 , y ∈ ∂Rj,r0 ,i 6= j, podemos encontrar una geodésica a trozos cuyalongitud total está acotada superiormente y la de cada trozo diferenciableinferiormente. De nuevo esto es una consecuencia de que basta comprobarla afirmación para un número finito de bolas del recubrimiento.

Dados δ y σ arbitrarios, reescalamos la construcción de modo que ρ seconvierte en σ y nos quedamos con las bolas intersecando la bola de radio δ.W se define como la unión de las bolas que intersecan al complementario dela imagen de U(Fs, w, δ, σ). Por los resultados por ejemplo del lema 11 en[32], sabemos que el número de bolas deW está acotado por un cierto N(δ).Comprobamos que dos puntos en ∂W pueden ser unidos por una curva hechade trozos de geodésicas, de modo que el número de trozos está acotado porun múltiplo del número de bolas N , y cada trozo tiene longitud acotadainferiormente por bσ, con b independiente de σ. Si el punto inicial o finalestán demasiado cerca de la frontera de la correspondiente región de la esferapodemos alejarnos de ésta lo suficiente y luego volver, para lo que basta conincrementar el númeroN(δ) que acota el número de “trozos diferenciables” dela curva a N +2. En cuanto a los segmentos, aquellos que no son ni el inicialni el final, si conectan bolas con intersección luego su distancia está acotadapor debajo por un múltiplo de σ; si no, lo cambiamos por un segmento queva del punto inicia al centro de la bola (que contiene al segmento y no estáen W ) y otro del centro al punto final. Para los segmentos inicial y final nosalejamos hacia el centro de la bola si los puntos están demasiado cerca de∂W y volvemos mediante otro segmento al punto de intersección con ∂W .

Simplemente recordamos que la curva final w se construye tomando cortesCn × s ⊂ Cn × [0, 1], construyendo ahí curvas wq como las descritas yconectando con segmentos verticales. Como la longitud de dichos segmentosestá acotada inferiormente adecuadamente, la perturbación anterior usando

7. APLICACIONES 109

funciones de cortes en las uniones da una curva w con las cotas requeridas.

7. Aplicaciones

Pasamos a probar los resultados enunciados en la introducción.

Prueba del teorema 1.5. Consideramos una situación un poco másgeneral que la del enunciado del teorema 1.5. Partimos de Ek → (M,D, J, g)una sucesión muy amplia de fibrados hermitianos localmente escindibles derangom. Nótese que para una variedad calibrada de tipo entero una sucesióntal sería por ejemplo Cm ⊗ L⊗k.

Dado un punto cualquiera x, la construcción de una subvariedad pasandopor x y de codimensión real 2m es como sigue (véase [38]). Es necesarioseleccionar secciones de referencia “adaptadas a x”. Como queremos que lasubvariedad pase por x, en coordenadas adaptadas a la métrica podemostomar las secciones zjkτ

refk,x,j , j = 1, ...,m ≤ n y considerar su suma directa,

que será una sección de Ek. Esta sucesión de secciones A.H. se anula en xy es uniformemente transversal en una bola de gk-radio fijo centrada en x.En el proceso de globalización empezamos por estas bolas y no aplicamosperturbación alguna. La cuestión es no alterar lo que ocurre en x al perturbaren otros puntos. Nos interesan esencialmente aquellos a distancia menorque O(c1/6

k ) pues este es el tamaño del soporte de nuestras secciones dereferencia. Si y es un punto de éstos, multiplicamos las secciones de referenciaτ refk,y,j por una función hy,x que sea J-compleja en y, se anule en x, estéacotada por debajo en una bola centrada en y de gk-radio fijo y tenga susderivadas acotadas por arriba. De este modo, al multiplicarla por la secciónde referencia seguimos teniendo una sección A.H. con decaimiento gaussianocon respecto a y y que localiza nuestro problema en una bola de gk-radio fijo.Siempre que la distancia entre x e y esté acotada inferiormente, la elecciónde hy,x con las citadas propiedades es posible. Esto lo podemos lograr puessólo tenemos que perturbar en puntos a una determinada gk-distancia de x(pues en una pequeña gk-bola de radio O(1) la elección inicial de seccionesnos da transversalidad uniforme).

Por tanto, es posible encontrar una sucesión de secciones A.H. τk deEk uniformemente transversales a 0 y anulándose en x (como estamos con0-jets basta que la sucesión sea C2-A.H.). Denotemos mediante Wk a lassubvariedades τ−1

k (0) (para k suficientemente grande son subvariedades), queson uniformemente transversales a D (corolario 5.12) y aproximadamentecasi-complejas.

Para estudiar su topología procedemos como en el caso simpléctico y decontacto (véase [12, 32]).

Se considera la función fk = log |τk|2 : M − Wk → R, una función deMorse que nos dará una construcción por cirugía de M a partir de Wk.


Para finalizar la prueba del teorema basta con probar que efectivamentelos puntos críticos de fk son aislados (función de Morse), y su índice es mayorque n−m.

Es claro que fk tiende a −∞ cuando nos acercamos a Wk, y además six es un punto crítico necesariamente |τk(x)| ≥ η, donde η es la cantidad detransversalidad uniforme.

En efecto, si el punto crítico tomase valor en el entorno tubular donde hayη-transversalidad, por ser ∇Dτk sobreyectiva se podría encontrar un vectorv ∈ D de modo que ∇vτk(x) = τk(x).

Siendo

dfk =1|τk|2

(〈∇τk, τk〉+ 〈τk,∇τk〉),

la derivada dfkv(x) no se anularía contradiciendo la existencia de un puntocrítico en x para fk.

En particular podemos hacer una perturbación de τk de tamaño O(c−1/2k )

fuera de un entorno de Wk de gk-radio O(1) (pues sabemos que son puntosregulares para fk), de modo la nueva fk es de Morse. Hacemos notar quela condición de Morse es automática para las direcciones de D, pero que enprincipio los puntos críticos de fk podrían venir en familias uniparamétricastrasnversales a D.

Atendiendo a la ecuación anterior es evidente que

∂fk =1|τk|2

(〈∂τk, τk〉+ 〈τk, ∂τk〉). (7.9)

Como en el punto crítico todas las componentes de la derivada se anulan,usando 7.9 se tiene la siguiente igualdad en x,

|〈∂τk, τk〉| = |〈τk, ∂τk〉|, (7.10)

cuya importancia reside en el hecho de que conocemos el tamaño de la partede la derecha.

Si derivamos 7.9 y evaluamos en x, se tiene:

∂∂fk =1|τk|2

(〈∂∂τk, τk〉 − 〈∂τk, ∂τk〉+ 〈∂τk, ∂τk〉+ 〈τk, ∂∂τk〉). (7.11)

Recordamos que seguimos usando la métrica gk. Teniendo en cuentala igualdad aproximada ∂∂ + ∂∂ u F 1,1

D y las estimaciones para las partesantiholomorfas, podemos transformar 7.11 en

∂∂fk = 〈F 1,1D τk, τk〉 − 〈∂τk, ∂τk〉+O(c−1/2

k ). (7.12)

Como sabemos que la norma de τk está acotada inferiormente en el puntocrítico, al ser F 1,1

D la curvatura de un fibrado localmente escindible se tieneque para todo vector u ∈ D de gk-norma uniformemente acotada inferior-mente, 〈F 1,1

D (u, Ju)τk, τk〉 = O(1).

7. APLICACIONES 111

Consideremos el subespacio Hx de Dx constituido por los vectores queson enviados por ∂fk(x) a la recta compleja en la fibra de Ek generada porτk. Claramente Hx es complejo y su dimensión real es al menos 2n−2m+2.

Si u ∈ Hx,|τk||∂uτk| = |〈∂uτk, τk〉| = |〈τk, ∂τk〉|,

luego |∂|Hxτk| = O(c−1/2k ), y en consecuencia sobre este subespacio el término

dominante del lado derecho de 7.12 es 〈F 1,1D τk, τk〉.

Teniendo en cuenta que el Hessiano Hfk restringido a D verifica Hfk(u)+Hfk(Ju) = −2i∂∂fk(u, Ju), sobre Hx será necesariamente negativo.

Supongamos ahora que el índice del Hessiano fuese menor que n−m−1.Ello supondría la existencia de un subespacio V ⊂ Dx de dimensión realal menos n + m en el que Hfk sería no negativo. Necesariamente V ∩ JVtendría dimensión al menos 2m, pero esto contradiría el hecho de que seanegativo sobre Hx, pues la intersección (V ∩ JV ) ∩Hx sería no nula.

Usando un argumento clásico de teoría de Morse se infieren los resultadosrelativos a los grupos de homotopía y homología.

Observación 7.1: Nótese que la perturbación que hemos hecho de τk paraque fk sea una función de Morse no afecta a sus ceros, lo cual quiere decirque los resultados topológicos son para la topología relativa de (M,Wk).

El siguiente teorema que queremos probar es el relativo a la existencia devariedades determinantales, que sigue siendo un problema de transversalidadpara 0-jets (fibrados Ek), pero ya no con respecto a la sección 0 sino conrespecto a una sucesión no trivial de estratificaciones A.H.

Prueba de la proposición 1.6. Al igual que en el caso anterior, pode-mos comenzar con Lk → (M,D, J, g) una sucesión de fibrados de línea muyamplia sobre una variedad casi-compleja. Si partimos de una variedad cali-brada de tipo entero Lk será por ejemplo L⊗k, la sucesión de potencias delfibrado precuantizable.

Sean E, F fibrados hermitianos vectoriales con conexión y consideremosla sucesión Ik := E∗ ⊗ F ⊗ Lk. En el espacio total de Ik consideramos lasucesión de estratificaciones Sk cuyos estratos son Sik = A ∈ IK | rk(A) =i, donde A ∈ End(E,F ⊗ Lk) y rk(A) es su rango.

Aplicando el lema 5.14 se infiere que Sik es una sucesión de estratifica-ciones A.H. Por tanto aplicando el teorema 6.1 se deduce la existencia desucesiones de secciones A.H. τk de Ik uniformemente transversales a Sik.

Así, para k suficientemente grande M está estratificada por las subvarie-dades Siτk = x ∈ M | rk(τk(x)) = i, que son uniformemente transversalesa D y aproximadamente casi-complejas.

Si partimos de una variedad calibrada compacta de tipo entero, la estra-tificación anterior es por subvariedades calibradas.


Teorema 7.2. Sea Lk una sucesión muy amplia de fibrados de línea sobre(M,D, J, g) y sea Ek = Cm⊗Lk. Cualquier sucesión de secciones A.H. de Ekadmite una perturbación arbitrariamente pequeña (en el sentido de sucesionesC≥r+h ó Cr+h-A.H., según se utilice la teoría intrínseca o la relativa), talque la sucesión resultante de sus proyectivizaciones φk : M − Ak → CPm esr-genérica (Ak subvariedad de puntos base de codimesión real 2m+ 2).

Prueba. La prueba no es más que la aplicación del teorema de trans-versalidad fuerte a la estratificación de T-B-A.

En este punto es necesario observar que la situación no es tan buenacomo en el caso par. La descripción de las sucesiones de funciones A.H.cerca de los diferentes lugares de degeneración (los estratos inducidos por laestratificación de T-B-A) tiene complicaciones añadidas.

En primer lugar, y al igual que en el caso par, para obtener formas nor-males es necesario perturbar las funciones para que sean holomorfas en loslugares de degeneración, ya que de lo contrario la holomorfía aproximada noes significativa por ser la parte holomorfa nula (o más generalmente degene-rada). En el caso impar tenemos que contar con el hecho de que hay unadirección no holomorfa que no controlamos. Lo más que podremos hacer porlo tanto será aplicar teoremas de genericidad usuales a esta dirección, lo queen determinadas circunstancias nos permitirá determinar hasta cierto puntola expresión de la aplicación en coordenadas adecuadas.

Un caso en que se da esta situación es cuando el espacio de llegada tiene lasuficiente dimensión como para que la aplicación genérica sea una inmersiónsin autointersecciones, tal y como ocurre en el corolario 1.8, que pasamos aprobar.

Prueba del corolario 1.8. Más generalmente partimos de una suce-sión muy amplia de fibrados de línea Lk sobre (M,D, J, g), y se consideraEk = Cm ⊗ Lk, donde m ≥ n+ 2.

Aplicamos el teorema 6.1 ó 6.2 a la estratificación de T-B-A de J 1DEk →

(M,D, J, g) (resp. J 1GEk → (M × [−ε, ε], J,G, g) con G = D y a lo largo de

Q = M × 0)), para obtener aplicaciones φk 1-genéricas. Por como se haelegido m, el conjunto de puntos base y puntos en los que ∂φk no es inyectivason vacíos. Es evidente que por construcción φ∗k[ωFS ] = [ωk].

Por último, la elección de m permite perturbar la sección τk ∈ Γ(Ek) demodo que φk sea una inmersión sin autointersecciones. Es más, escogiendola perturbación de tamaño O(c−1/2

k ) ninguna de las propiedades previas sepierden (seguimos teniendo una sucesión de secciones A.H. 1-genérica).

Finalizamos este apartado comentando que es posible lograr transversa-lidad estimada a un número finito de estratificaciones del mismo fibrado.Por ejemplo, podemos obtener el resultado de genericidad necesario paradefinir inmersiones transversas a un número finito de subvariedades com-plejas (regulares) de CPm y más generalmente el análogo a las foliacionesde codimensión 1 para variedades simplécticas [9]. En el primer caso hayque considerar para cada subvariedad la estratificación J 1

D(M,CPm) cuyoúnico estrato está definido por los 1-jets cuya componente de grado 0 es un

7. APLICACIONES 113

punto de la subvariedad; a continuación se levanta a una estratificación S ′ deJ 1DE∗k (no importa la estructura cerca de Zk pues la transversalidad a estos

estratos implica que la sucesión permanece lejos de ellos). De este modo sedefine otra estratificación de J 1

DEk que resulta ser trivialmente A.H. por serlas aplicaciones entre las sucesiones de fibrados involucradas en los pullbacksaproximadamente holomorfas (ésta es siempre la propiedad delicada; el restoson evidentes).

Cualquier sucesión de secciones A.H. de Ek que sea 1-genérica y uni-formemente transversal a S ′, una vez perturbada para dar inmersiones enel proyectivo sin autointersecciones, dará lugar a aplicaciones φk uniforme-mente transversales a lo largo de D a la correspondiente subvariedad.

Recordemos que una foliación holomorfa de codimesión 1 de CPm vienedada por$ una sección holomorfa de T ∗1,0CPm⊗L, donde L es un fibrado delínea holomorfo. Definimos en J 1

D(M,CPm) el subconjunto PS$ de puntosenviados a la sección 0 mediante $ : J 1

D(M,CPm)→ L. Se pude consideraruna partición del mismo en estratos correspondientes a las subvariedades delconjunto singular de $, y en el complementario a éstos. Se comprueba quetransversalidad uniforme a los primeros implica transversalidad uniforme alúltimo estrato en un entorno tubular de los primeros [9] (una especie decondición de Whitney).

De este modo –y para k >> 0– φ∗k$ define tras una pequeña modificaciónadecuada una sucesión de foliaciones calibradas (singulares). Básicamenteesta perturbación es para obtener formas normales en los ceros de $(j1

Dφk)correspondientes al estrato de codimensión compleja n; entre otras cosasgarantiza que las hojas cuando se acercan a las componentes de esta subva-riedad siguen siendo calibradas.

Digamos que la existencia de inmersiones en espacios proyectivos conpropiedades de transversalidad añadidas respecto a foliaciones es un resul-tado no trivial, a diferencia de las inmersiones del corolario 1.8 para lasque la teoría de clases características da un resultado similar (aunque sinholomorfía aproximada).

Otra posible aplicación es, tal y como propone D. Auroux en el casopar [4], lograr aplicaciones a CPm que sean r-genéricas, y que compuestascon determinadas proyecciones CPm → CPm−h sigan siendo r-genéricas (denuevo la holomorfía aproximada de las nuevas estratificaciones se verificapor estar utilizando aplicaciones A.H. para hacer el pullback; también laestructura cerca de las fronteras de los estratos es la adecuada).

También es posible hacer una construcción análoga pero para aplicacionesa grassmannianas Gr(r,m), partiendo de secciones de Cr+1⊗Ek, Ek de rangom (véase [46, 5]).


8. Formas normales para aplicaciones aproximadamenteholomorfas a CP1

En esta sección Ek denotará la sucesión de fibrados C2⊗Lk, donde Lk esuna sucesión de fibrados de línea muy amplia sobre la variedad casi-compleja(M,D, J, g).

En el fibrado J 1DEk la cuasi-estratificación de Thom-Boardman-Auroux

tiene tan sólo dos estratos: Zk y Σk,n.Por lo visto en las secciones anteriores sabemos que cualquier sucesión

de secciones C≥1+h-A.H. (resp. C1+h-A.H. usando la teoría relativa), h ≥2, puede ser perturbada a una sucesión τk con control arbitrario para lasderivadas de orden hasta 1 + h a lo largo de las direcciones de D (resp.en las direcciones de todo el tangente), de modo que sea uniformementetransversal a Zk y Σk,n.

Como consecuencia, se obtiene φk : M − Ak → CP1 una sucesión A.H.(donde A.H. querrá decir C≥1+h-A.H. ó C1+h-A.H. según la teoría utilizada)de funciones a CP1 con las siguientes propiedades:

(1) El conjunto de puntos base Ak = τ−1k (Zk) es una subvariedad com-

pacta deM de codimensión real 4 que corta a D de modo uniforme-mente transversal (el ángulo mínimo está acotado inferiormente) ytal que el subespacioD∩TAk ⊂ D es aproximadamente J-complejo.

(2) Σn(φk), definido como el conjunto de puntos donde ∂φk es singular(y en los que en principio no se tiene dDφk = 0 pues hay una parteantiholomorfa posiblemente no nula), es una subvariedad compactade codimensión 2n (un conjunto de nudos) uniformemente transver-sal a D.

Hasta ahora la clase de coordenadas aproximadamente holomorfas quehemos usado –salvo en los espacios totales de ciertos fibrados– han sidolas asociadas a la métrica y aquellas fuertemente equivalentes (la direccióntransversal aD, además de tener ángulo mínimo acotado inferiormente, teníasus derivadas acotadas por O(c−1/2

k )). En esta sección haremos uso de la no-ción más general de coordenadas A.H. (con cotas para las derivadas de ordenO(1)) que además no estarán asociadas a todos los puntos de la variedad sinoa puntos de una sucesión de subvariedades.

El contenido de las siguientes proposiciones es mostrar que similarmentea como ocurre en el caso complejo, podemos encontrar coordenadas A.H.z1k, ..., z

nk , sk, tal que en los puntos de Ak la función φk es el cociente de dos

coordenadas z1k, z

2k, y en los de Σn(φk) es el análogo a una de Morse compleja

(cuadrática en las zk).

Proposición 8.1. Para todo punto a ∈ Ak existen coordenadas A.H. z1k, ..., z

nk ,

sk centradas en a (y una carta holomorfa en CP1) tal que en una bola degk-radio fijo en el dominio de las coordenadas, Ak es el espacio z1

k = z2k = 0,

y la función fuera de los puntos de Ak tiene la expresión φk(zk, sk) = z2k

z1k.

8. FORMAS NORMALES PARA APLICACIONES A CP1 115

Prueba. Partamos de coordenadas A.H. usuales centradas en a ∈ Akjunto con una trivialización A.H. de Lk, por ejemplo por secciones de re-ferencia. Por tanto nuestra sección estará representada por un par de fun-ciones f ik : Cn × R→ C, i = 1, 2, A.H.; ambas dan lugar a una foliación porsubvariedades de codimensión real 4 uniformemente transversal a Dh y concorte con Dh aproximadamente complejo. Podemos suponer, usando unatransformación lineal compleja compuesta con otra cuyo tamaño no excedeO(c−1/2

k ), que en el origen el corte con Dh es el subespacio z1k = z2

k = 0 (ob-sérvese que en el origen J coincide con J0 de modo aproximado, pero nadagarantiza la igualdad). Las coordenadas buscadas se obtienen rectificandola foliación, o lo que es lo mismo, usando f1

k , f2k , z

3k, ..., z

nk , sk como nuevas

coordenadas. Para ellas las dos propiedades de φk son evidentes por cons-trucción. La transversalidad uniforme implica que el dominio de las nuevascartas contiene una bola de gk-radio uniforme (ya que las imágenes de lasfunciones en las antiguas coordenadas llenan una bola de C de radio acotadoinferiormente). Las cotas de orden O(1) (junto con las que miden la faltade holomorfía) para las derivadas totales de f1

k , f2k implican que las nuevas

coordenadas son A.H.

Observación 8.2: En estas coordenadas A.H., nuestra forma restringida aDh(0) = D(0) es aproximadamente de tipo (1, 1). Para ciertos resultados esposible que no queramos hacer referencia a la estructura auxiliar J de nuestravariedad calibrada. En tal caso no tiene sentido hablar de coordenadas A.H.En cualquier caso, podemos modificar las secciones y obtener coordenadascentradas en los puntos de A y con una propiedad de compatibilidad conrespecto a ω.

Proposición 8.3. Existe una perturbación de τk de orden a lo sumo O(c−1/2k )

de modo que para las correspondientes funciones φ′k podemos encontrar co-ordenadas A.H. centradas en los puntos b de Σn(φ′k), y cartas holomorfas enCP1, tal que

φ′k(zk, sk) = φ′k(0, sk) + (z1k)2 + · · · (znk )2

Siendo más precisos, es posible encontrar radios ρ2 > ρ1 > 0, nuevasdistribuciones Dk, estructuras casi-complejas Jk y funciones φ′k, tal que:

(1) Dk u D, Jk u J , siendo Dk = D, Jk = J fuera del entorno tubularde Σn(φk) de radio ρ2, y ambas integrables en el entorno tubular deradio ρ1.

(2) φk u φ′k, φk = φ′k fuera del entorno tubular de Σn(φk) de radio ρ2,y φ′k holomorfa en el entorno tubular de radio ρ1.

Prueba. Para cada componente de Σn(φk)λ, λ ∈ Λk, consideramos elentorno tubular construido mediante la aplicación exponencial en cada puntob en las direcciones de D(b). Este fibrado normal es por fibras casi-complejas.Se sigue fácilmente que el fibrado es por tanto complejo. Como tiene porbase S1, es necesariamente trivial.


Teniendo en cuenta que cada componente Σn(φk)λ –una vez parametrizadapara que tenga gk-velocidad 1– tiene cotas para sus derivadas del orden O(1),es posible encontrar una trivialización del fibrado cuyas secciones tengan án-gulo con D acotado inferiormente (sus grafos como funciones de S1 en elespacio total del fibrado normal) y todas sus derivadas acotadas por O(1).Usando dicha trivialización, tenemos por tanto una aplicación,

ϕk,λ : Nρ(Σn(φk)λ)→ Cn × S1

Es importante reseñar que el radio del entorno tubular ρ es independientede k, y llena un entorno tubular de 0× S1 cuyo radio euclídeo es tambiénindependiente de k y λ. Estas aplicaciones son complejas en los puntos deΣn(φk)λ (envían J a J0).

Sin más que componer con las proyecciones canónicas de Cn se cons-truyen coordenadas A.H. z1

k, ..., znk , θk, donde podemos pensar que θk toma

valores o bien en un intervalo apropiado, o bien en [0, 2π] cuando nos intereseparametrizar todo el entorno tubular (nótese que éstas son las coordenadasA.H. más generales).

Las fibras y estructura compleja J0 del fibrado inducen una foliación yestructura compleja integrable locales que denotamos mediante Dh y J0.En el dominio de ϕk,λ es evidente que D u Dh y J u J0. La distribución yestructura casi-compleja globales del enunciado son el resultado de interpolarlas anteriores. Quizás es necesario resaltar varios puntos.

i. Usamos funciones meseta para interpolar que dependen de la dis-tancia euclídea a 0×S1. Si éstas no varían demasiado rápido, lascotas de O(c−1/2

k ) entre las nuevas estructuras globales y las inicialesD, J se verificarán trivialmente. Como el radio ρ es independientede k, λ, podemos hacer una elección tal de funciones meseta.

ii. La interpolación Dk entre D y Dh se hace poniendo Dh como elgrafo de una función D → D⊥; si se quiere, perturbamos en ladirección de D⊥) (también podría hacerse usando la coordenadaangular θk).

iii. El caso de las estructuras casi-complejas es similar. En primer lu-gar, pensamos en ellas como secciones de T ∗M⊗TM anulándose enD⊥. De este modo ambas restringen a estructuras casi-complejasen Dk. Interpolamos usando la estructura lineal del espacio deendomorfismos para definir tensores Jk, que coinciden aproximada-mente con J0 y J . Estos nuevos tensores no necesariamente tienenpor cuadrado −I, pero sí aproximadamente. No es difícil perturbar-los para definir Jk con Jk u Jk, y J2

k = −I: es suficiente elegir unatrivialización de la forma e1, J0e1, ..., en, J0en, con |∇jei|gk ≤ O(1),∀j ∈ N. Se define Jk sobre la base anterior mediante la fórmulaJk(ei) = Jk(ei), J2

k (ei) = −ei. Las cotas para las derivadas de labase implican que el nuevo tensor coincide de modo aproximadocon Jk. Por definición, Jk es casi-compleja. Además, en los puntosdonde Jk coincide con J0 y J respectivamente, Jk lo sigue haciendo.

En los fibrados normales con coordenadas Cn × S1 es posible considerarotra teoría aproximadamente holomorfa diferente, sobre la que abundaremos


un poco en la siguiente sección. Esencialmente, como Dh es integrable no esnecesario usar retracciones para definir derivadas covariantes de secciones deD∗h. Podemos restringir la métrica gk a cada hoja y usar la conexión de Levi-Civita para esta métrica inducida. En cualquier caso, como en cada hoja lossímbolos de Christoffel y todas sus derivadas tendrán tamaño O(c−1/2

k ), sepuede usar la conexión trivial en cada hoja (cada hoja es la fibra de un fibradounitario trivial). Es claro que una sucesión de secciones φk : Cn×S1 → CP1

es A.H. (para D, J ó Dk, Jk) si y solamente si son A.H. para la teoría foliadaen Dh con J0 y g0, donde g0 es la métrica euclídea en Cn×[θ0−ε, θ0+ε], parapequeños intervalos de gk-longitud O(1) recubriendo S1 (en realidad equivalea considerar la métrica inducida por la producto g′ en Cn×S1 con factores laeuclídea y la esférica respectivamente). Nótese que por construcción la teoríaA.H. foliada coincide con la dada por la retracción asociada a la métricag0 (o a g′); es evidente que esta retración local pese a no ser fuertementeequivalente a i, sí que es equivalente, por lo que podemos aplicar el lema3.30.

Es más, ∂φk y ∂0φk están relacionadas mediante una aplicación de fi-brados qi,i0 (la comparación en cada hoja de la métrica euclídea con la in-ducida), y lo propio ocurre con ∇D∂φk u ∂2

symφk y ∂20φk, pero aquí ya de

modo aproximado y en un entorno de radio suficientemente pequeño.

Nótese que según la observación 3.32 ésta es una característica propia deteorías fuertemente equivalentes, y en principio no de las equivalentes comoes el caso. Ocurre sin embargo que se tiene:

∂20φk u qi,i02 (∂2

symφk) + dDqi,i0(∂φk).

El segundo término se anula en 0 × S1 y el primero está acotado pordebajo, por lo que en un entorno de radio ρ suficientemente pequeño tenemosel resultado requerido.

La primera consecuencia es que la variación de ∂φk es como la de ∂0φken Nρ(0 × S1). Esto se traduce en que si ρ se ha elegido suficientementepequeño ∂0φk tiene los mismos ceros que ∂φk (es decir, tan sólo un S1 deceros en el dominio de ϕk,λ). Además, como ambas componentes holomorfasestán relacionadas por una aplicación de fibrados que es la identidad en lasección 0, los ceros de ∂0φk son exactamente 0×S1 = Σn(φk)λ. Del mismomodo, los ceros de ∂Jkφk resultan ser exactamente los de ∂φk.

Para la teoría foliada podemos escribir φk en las coordenadas zk, θk encada hoja. Por simplicidad, omitimos de ahora en adelante los subíndicespara la coordenada angular.

En este punto es razonable interpretar nuestro problema de aproximaciónpara φk como uno para una familia con parámetro S1 de funciones de Cnen C aproximadamente holomorfas. Recordemos que en principio φk tieneimagen en CP1, y queremos encontrar cartas ϕk : C → CP1 de modo queϕ−1k φk(Nρ(Σn(φk)λ)) tenga imagen uniformemente acotada, para así tener

cotas uniformes. En principio es posible encontrar puntos en CP1 fuera de laimagen del toro sólido Nρ(0×S1). Encontrar bolas de radio uniforme fuerade dicha imagen es evidentemente un problema de transversalidad uniforme.


En efecto, elegimos por ejemplo el punto ∞ = [0 : 1] ∈ CP1, que definede modo obvio una sucesión A.H. de estratos PS∞k en J 0

D(M,CP1). Su pull-back a J 1

D(M,CP1) define la sucesión de estratos PS∞k que es también A.H.Es obvio que esta sucesión es transversal a PΣk,n, por lo que la intersecciónPΣ∞k,n define una sucesión de estratos A.H. Es más, podemos descomponerPΣk,n en esta intersección y su complementario PΣC

k,n. En definitiva y ha-ciendo pullback a J 1

DEk, obtenemos Σ∞k,n,ΣCk,n, Zk una cuasi-estratificación

A.H. finita de Whitney. Si suponemos τk transversal a ésta, φk(Nρ(Σn(φk)λ))permanecerá a una cierta distancia η de ∞ ∈ CP1, para k >> 0.

Con esta observación podemos suponer que φk(zk, θ) es una sucesión deaplicaciones A.H. en las coordenadas zk, θ (y con imagen acotada en C).

En este punto y siguiendo las ideas de [12] y [50], es posible hacer unaprimera elección de φ′k que satisface todas la hipótesis de la proposición salvola proximidad a φk.

Llamemos Hθ(zk) a la forma cuadrática asociada a 12∂0∂0φk(0, θ), el hes-

siano foliado en los puntos de 0 × S1. Definimos φ′k interpolando entreH(zk) + φk(0, θ) y φk en un anillo adecuado (tal y como hicimos con ladistribución y la estructura casi-compleja).

Es evidente la holomorfía de φ′k con respecto a Jk en el entorno tubularcorrespondiente.

En cuanto a la diferencia entre φk y H(zk)+φk(0, θ), simplemente obser-vamos que en cada hoja Cn×θ la segunda es, por lo dicho anteriormente,de modo aproximado el desarrollo de Taylor de la primera hasta grado 2.Por tanto,

φk(zk, θ)− (H(zk) + φk(0, θ)) = O(c−1/2k (|zk|+ |zk|2)) +O(|zk|3).

La función φ′k donde coincide con H(zk) + φk(0, θ) verifica que |∂φ′k| ≥|∂φ′k|, dándose la igualdad en los puntos de Σn(φk): en efecto, para ∂0 y ∂0

es evidente; el resultado deseado se obtiene observando que la derivada deφk en la dirección de ∂

∂θ está acotada superiormente y la forma cuadráticaH está acotada por debajo. Escogiendo de modo adecuado el anillo dondetiene lugar la interpolación la propiedad anterior se cumple para φk, quesigue siendo A.H. y con las propiedades de transversalidad requeridas.

Es posible elegir φ′k con propiedades aún mejores; básicamente, en vezde tomar la primera componente holomorfa significativa del polinomio deTaylor, se toma toda la serie. De modo más preciso y siguiendo las ideas de S.Donaldson y D. Auroux ([12, 2]), observamos que la restricción de φk a cadahoja Cn × θ es A.H. Se puede encontrar una función H ′(zk, θ) : B(0, ρ′)×S1 → C, r′ < r, verificando:

(1) H ′ es diferenciable.(2) H ′θ : B(0, ρ′) ⊂ Cn → C es holomorfa para todo θ ∈ S1.(3) Para todo j ∈ N existe una constante positiva Cj tal que si k >> 0

las derivadas parciales hasta orden j de φk − H ′ están acotadaspor Cjc

−1/2k , o dicho de otro modo, φk u H ′ como funciones de

B(0, ρ′)× S1 en C.


Este resultado de aproximación se sigue de una versión con parámetrosde la solución al problema ∂ en la bola de radio 1 de Cn. Por una cuestiónde completitud, en el apéndice A presentaremos una solución elemental alproblema ∂ con parámetros derivada de la solución sin parámetros (corolarioA.2).

Definimos φ′k interpolando entre φk y H ′. Como φ′k coincide aproximada-mente con φk, los puntos donde ∂0φ

′k se anula coinciden de modo aproximado

con aquellos donde ∂φk lo hace. Es más, podemos añadir una perturbacióndel tamaño requerido para que coincidan (sería una traslación en cada hojaañadida a H ′). También se tiene que el hessiano 1

2∂0∂0φ′k está acotado infe-

rior y superiormente de modo uniforme.

Nada de lo anterior cambia si añadimos perturbaciones de tamañoO(c−1/2k )

que sean holomorfas y anulándose hasta orden al menos 2 en el origen decada hoja. En particular, con una de este último tipo es posible lograr que elHessiano de H ′θ en el origen tenga autovalores distintos (propiedad genérica).

Sólo queda aplicar el lema de Morse con parámetro para encontrar unaaplicación Ψ: Cn × S1 → Cn × S1, (zk, θ) 7→ (w(zk), θ), de modo queφ′k(zk(w)) = φ′k(0, θ) + (w1)2 + · · · (wn)2.

Recordemos simplemente que una prueba del lema de Morse está basadaen la diagonalización de matrices simétricas (véase por ejemplo [42]). Paradicho proceso, en cada uno de los n pasos es necesario hacer una transforma-ción lineal tal que la entrada superior izquierda de una determinada matrizsimétrica Mθ sea no nula; es en este paso donde es necesario suponer quelos autovalores de la matriz son diferentes (de este modo los autoespaciostiene dimensión compleja uno y dicha transformación lineal puede reducirsea elegir un determinado autoespacio, siendo esta elección diferenciable en θ).

Combinando las proposiciones anteriores se demuestra la existencia de“pinceles de Lesfchetz” para variedades calibradas.

Definición 8.4. En una variedad calibrada una carta ϕ : Cn × R → M sedice compatible con ω (o diremos que son coordenadas compatibles) si en elorigen Dh coincide con D y, con respecto a J0, la restricción de ω es positivay de tipo (1, 1).

Tal y como referimos antes, usamos esta clase de cartas cuando no que-remos hacer referencia a la estructura casi-compleja J elegida, de modo queel concepto de coordenadas A.H. no tiene sentido. Es obvio que una cartaen la que J0 coincide con J en el origen es compatible con ω.

Prueba del teorema 1.10. Basta elegir una J compatible y construiruna sucesión de secciones de C2⊗Lk que sea uniformemente transversal a lacuasi-estratificación de J 1

DEk con estratos Zk,Σ∞k,n,ΣCk,n. Una vez aplicadas

las proposiciones 8.1 y 8.3, para valores de k suficientemente grandes la terna(Ak, φ′k,Σn(φ′k)) da una estructura de pincel de Lefschetz. Simplemente co-mentamos que la genericidad de φ′k(Σn(φ′k)) es obvia aplicando una de las


perturbaciones de la proposición 8.3 independiente de las coordenadas holo-morfas. También es necesario notar que la proposición 8.1 da coordenadasaproximadamente holomorfas, que no son necesariamente compatibles con ω(el problema es que TAk∩D no es necesariamente J complejo). En cualquiercaso, siguiendo las ideas de S. Donaldson o F. Presas ([14, 50]) es posiblemodificar la función de modo que dispongamos de coordenadas adaptadas aω con la expresión requerida para la función.

Al igual que para variedades de contacto, la existencia de pinceles deLefschetz construidos mediante secciones A.H. de C2⊗Lk permite relacionarla topología de dos divisores cualquiera de una variedad calibrada (M,D,ω)construidos como ceros de secciones A.H. de Lk uniformemente transversalesa 0 (posiblemente para estructuras casi-complejas diferentes).

Proposición 8.5. Sea (M2n+1, D, ω) una variedad calibrada cerrada (de tipoentero) y sean J1 y J2 estructuras casi-complejas compatibles. Sean τ1

k y τ2k

dos sucesiones de secciones A.H. de Lk con respecto a las correspondientes es-tructuras casi-complejas, ambas uniformemente transversales a 0. Entoncesexiste un K ∈ N tal que para k ≥ K el divisor W 1

k es cobordante a W 2k

mediante un cobordismo en el que sólo adjuntamos asas de dimensión n.

De ello se deduce en particular que Hi(W 1k ;Z) ∼= Hi(W 2

k ;Z) y πi(W 1k ) ∼=

πi(W 2k ), para i = 0, ..., n − 2 (un resultado más débil que el teorema del

hiperplano de Lefschetz para divisores).

Prueba. La prueba es semejante a la dada para variedades de contactoen [50]. Por completitud, damos un bosquejo de la misma.

En primer lugar se considera el caso J1 = J2. Con las secciones τ1k y τ2

k seconstruye la sucesión A.H. (τ1

k , τ2k ) de C2⊗Lk. La perturbamos para obtener

así un pincel de Lefschetz pero sin formas normales para Bk := Σn(φk). Sila perturbación es suficientemente pequeña comparada con la cantidad detransversalidad inicial η de ambas secciones, las nuevas secciones, para lasque seguimos manteniendo el mismo nombre, darán divisores isotópicos a losiniciales. Por tanto podemos suponer de entrada la 1-genericidad de (τ1

k , τ2k ).

En el correspondiente pincel de Lefschetz φk : Ak → S2 hemos de compararlas fibras sobre 0 e∞. El cobordismo será la imagen inversa de un segmentoque una estos puntos. Siendo más precisos es necesario explotar antes Men los puntos de Ak en las direcciones de D; el entorno tubular tiene porfibra C2 y cada punto de la sección cero es sustituido por un CP1. Hacemosnotar que esta operación sólo es topológica (diferenciable), y no pretendemosdefinir ninguna estructura calibrada en el blow-up M .

El conjunto φk(Bk) divide S2 en componentes conexas isomorfas a discos.Es evidente que las fibras (ahora sí son fibras de verdad si consideramos M)sobre puntos en las mismas componentes son isomorfas, pues φk es ahí unasubmersión. Por tanto hay que ver que ocurre cuando un segmento uniendo0 y ∞ atraviesa f(Bk).

La perturbación de φk necesaria para obtener la forma normal adecuadaen los puntos de Bk no afecta para nada a los puntos de W 1

k y W 2k .

9. VARIEDADES CASI-COMPLEJAS FOLIADAS 121

Si el segmento corta a Bk en un punto b, tomamos una carta centrada enb y la modificamos de modo que φ′k(z, s) = s+ iO(s2) + (z1)2 + · · · (zn)2 (elcobordismo ocurre en un entorno arbitrariamente pequeño del origen dondela citada modificación existe). Igualmente, alteramos el segmento para quecoincida con el eje imaginario de C (en este caso f(Bk) es tangente al ejereal en el origen de C).

Teniendo esta expresión para la función, es fácil construir una función deMorse adecuada para el cobordismo y computar el índice del punto crítico,que resulta ser n (ver [50]).

Cuando J1 y J2 difieren basta demostrar que una vez fijada una distanciaen el espacio de estructuras casi-complejas compatibles, para cada J existenun εJ de modo que si J ′ dista de J menos que εJ , es posible encontrarsucesiones τk y τ ′k A.H., cuyos divisores son isotópicos para k >> 0. Denuevo referimos al lector a [50] para la demostración de esta afirmación.

9. Variedades casi-complejas foliadas

Sea (M,D, J, g) una variedad casi-compleja para la que la distribución Des la asociada a una foliación F . En esta situación no es necesario escogeruna retracción para la proyección T ∗M → D∗ para definir una derivadacovariante en este último fibrado. Podemos usar en cada hoja g|F y suconexión de Levi-Civita. En principio esto da lugar a una nueva teoría A.H.que sin duda es la más natural en este tipo de situación. Usamos el subíndiceF para denotar los operadores asociados a esta teoría.

Para esta teoría, se tienen todos los teoremas de transversalidad fuerte yformas normales que teníamos para la asociada a la retracción de la métrica.No es necesario hacer de nuevo todos los desarrollos.

Para cada sucesión Ek de fibrados muy amplios localmente escindibles,tenemos las aplicaciones

rj(D∗1,0)j ⊗ Ek → (D∗1,0)j ⊗ Ek,

inducidas por la retracción r asociada a la métrica. Se comprueba fácil-mente en cartas adaptadas a la métrica que, no sólo τk es A.H. si y sólo silo es para la teoría foliada, sino que además rj(∂

jsym,Fτk) coincide de modo

aproximado con ∂jsymτk. Por tanto, la imagen de jrFτk por el correspondientemorfismo de fibrados coincide de modo aproximado con jrDτk. Se compruebaque las correspondientes estratificaciones de Thom-Boarmann-Auroux estánrelacionadas mediante la aplicación de fibrados J rFEk → J rDEk inducida porr. Por tanto, si jrDτk es uniformemente transversal a ella, para k suficiente-mente grande también lo será jrFτk.

Si uno se decide a repetir todas las construcciones de la teoría intrínsecaen el caso foliado, es conveniente usar cartas adaptadas a la foliación entodo el dominio, y no sólo en el origen. La ventaja que se logra al hacer


coincidir Dh con D, es que las perturbaciones locales wτ refk,x,j son constantes

a lo largo de Dh y por tanto de D. Esto significa que incluso para r-jets(r ≥ 0) podemos considerar sucesiones de secciones Cr+h-A.H., (h ≥ 2), nohabiendo ninguna necesidad de trabajar con secciones C≥r+h-A.H. para lasque hay que controlar todas las derivadas.

Nótese que los resultados geométricos para ciertas variedades calibra-das foliadas son corolarios directos de los resultados uniparamétricos de lateoría para variedades simplécticas. Esto es algo que comentamos en la in-troducción como motivación, y que ahora podemos hacer más preciso. Paraque no sea necesario entrar en consideraciones locales es necesario trabajarcon familias uniparamétricas de variedades simplécticas. En otras palabras,nuestra variedad calibradaM(M,ω, ϕ) es el “mapping torus” asociado a unsimplectomorfismo ϕ de (M,ω).

M(M,ω, ϕ) :=M × [−1, 1]∼ϕ

Para construir divisores W (o más generalmente pinceles de Lefschetz(A, f,B)), basta encontrar una familia uniparamétrica de los mismos Wt

con ϕ(W1) = W−1. Seleccionamos J−1 compatible y construimos Wk,−1

como los ceros de una sección τk transversal a 0. Es evidente que ϕ−1∗ (J−1)

es compatible con ω, y τk ϕ es ϕ−1∗ (J−1)-A.H. y transversal a 0. Sus

ceros son las subvariedades simplécticas Wk,1 = ϕ−1(Wk,−1). El resultadouniparamétrico nos garantiza, para k suficientemente grande la existencia defamilias Wk,t de subvariedades simpléctica interpolando entre Wk,−1 y Wk,1.

En el caso de los pinceles de Lefschetz, al menos en lo concerniente a gene-ricidad, se interpola igualmente entre las secciones τk y τk ϕ de C2 ⊗ Lk.Al ser ϕ una aplicación ϕ−1

∗ (J) − J compleja, la transversalidad uniformede j1

Dτk implica el mismo resultado para j1D(τk ϕ) (donde la cantidad de

transversalidad está relacionada por la norma de ϕ). El resultado de iso-topía en [14] (modificable para lograr no sólo continuidad, sino diferenciabi-lidad en el parámetro) da una interpolación (Ak,t, φk,t, Bk,t) entre las ternas(Ak,1, φk,1, Bk,1) y (Ak,−1, φk,−1, Bk,−1), donde la Ak,t, Bk,t son simplécticas,y φk,t A.H. para determinadas estructuras casi-complejas Jt. El cálculo deformas normales es, tal y como hemos visto, una generalización fácil del de lateoría par, luego toda la construcción se puede considerar como un corolariode dicha teoría.

9.1. Foliaciones calibradas en 3-variedades cerradas

Quisiéramos ver las aplicaciones de nuestros resultados al caso específicode 3-variedades con foliaciones taut.

Normalmente cuando se define una foliación en una 3-variedad se suelepedir que los cambios de carta sean Cr en las direcciones de las hojas, y almenos continuas en la dirección transversal (si trabajamos con laminaciones

9. VARIEDADES CASI-COMPLEJAS FOLIADAS 123

entonces el modelo transversal ya no es un intervalo sino una variedad topo-lógica, para la que sólo tiene sentido hablar de continuidad). Se suele decirentonces que el cociclo es Cr.

Toda nuestra teoría necesita diferenciabilidad, en otras palabras, que lafoliación venga dada por una 1-forma diferenciable. En este punto se puedeutilizar un resultado que establece que para cualquier foliación dada por uncociclo Cr (en particular C∞) se puede escoger una estructura diferenciableen M3 para la que la foliación viene definida por una 1-forma Cr (véase elcomentario 1.1.2 en [17]). En cualquier caso todas las estructuras diferen-ciables en una 3-variedad son conjugadas.

Existe una segunda debilitación. Por un reciente resultado de D. Cale-gari [8], cualquier foliación F definida por un cociclo Cr es isotópica a unafoliación dada por un cociclo diferenciable (C∞), tal que las hojas dan inmer-siones diferenciables y tienen variación local continua en la topología C∞. Aesta nueva foliación F ′ le podemos aplicar el resultado del párrafo anterior,y así tendremos una foliación en M3 definida por una 1-forma diferenciable.Es más, la condición de ser una foliación taut también se cumple si F lo era(pues la condición de ser taut es topológica).

En consecuencia, nuestras técnicas se pueden aplicar a cualquier foliacióntopológica taut (se aplican a F ′ y se deshace la isotopía).

Quisiéramos reescribir algunos de los teoremas en este caso específico.El teorema 1.5 nos da la existencia de ciclos transversales por cada punto

y carece de importancia, pues es la propia caracterización de una foliacióntaut.

En cuanto a la existencia de pinceles de Lefschetz hay una primera par-ticularidad que es la ausencia de puntos base (tienen codimensión 4).

Corolario 9.1. Sea (M3,F) una foliación taut en una 3-variedad cerrada yω una 2-forma cerrada de tipo entero que domina/calibra la foliación. Exis-ten pares (f,B), siendo B un enlace transversal a F y f : M3 → S2 unaaplicación diferenciable tal que:

(1) f es submersión a lo largo de D en M3 −B.(2) f(B) está en posición general (dotando a S2 de una estructura par-

ticular de CW-complejo particular).(3) En cada punto b ∈ B hay coordenadas z, s compatibles con ω, y

coordenadas complejas en S2, de modo que f(z, s) = g(s) + z2, cong(0) = 0, g′(0) 6= 0.

Quisiéramos dar una interpretación de los pinceles de Lefschetz como laextensión uniparamétrica de las construcciones existentes para superficies.

Para ello partimos de una superficie Σ, en este caso de Riemann, y pre-tendemos relacionarla con la más sencilla de todas las superficies de Riemann,es decir, con CP1 ∼= S2. Dicha relación viene dada por un recubrimiento ram-ificado f : Σ→ S2, que es una aplicación holomorfa con puntos de índice 2,o lo que es lo mismo, con cartas holomorfas tal que la aplicación es z 7→ z2.Nótese que desde el punto de vista topológico la aplicación viene totalmente


descrita por el lugar de ramificación, su imagen, y el índice en cada puntode ramificación.

La versión uniparamétrica del resultado anterior, o mejor dicho para fo-liaciones, sería una aplicación que definiera en cada hoja una cubierta ramifi-cada con las propiedades anteriores. Es lógico que el conjunto de ramificaciónvenga dado por una familia uniparamétrica de divisores de Σ, es decir, porun enlace transversal a F . Por último, los puntos de ramificación no podránser en general aislados, y lo mejor que podemos lograr es que su imagen estéen posición general.

La estructura de pincel de Lefschetz es por tanto la extensión natural afoliaciones taut de las aplicaciones holomorfas de superficies de Riemann aesferas.

CAPÍTULO II

Una nueva construcción de variedades de Poisson

1. Introducción y resultados

El uso de métodos casi-complejos en geometría simpléctica –sobre los queya nos hemos extendido sobradamente– junto con la introducción de técnicasde cirugía han aumentado notablemente nuestra compresión de la topologíade variedades simplécticas (véanse los artículos [26, 28, 12, 24]).

Hemos visto que los métodos casi-complejos son aplicables a variedadescalibradas, que podemos entender como una clase de familias uniparamétri-cas de variedades infinitesimales simplécticas.

El estudio de familias de variedades simplécticas conduce de modo natu-ral a la noción de variedad de Poisson. Es para estas variedades paras lasque queremos extender una técnica de cirugía procedente de la geometríasimpléctica.

Definición 1.1. Una estructura de Poisson en una variedad M es una es-tructura de álgebra de Poisson en su haz de funciones. Esto es, dadas dosfunciones f, g definidas localmente se define en la intersección de los domi-nios un corchete bilineal f, g verificando las siguientes propiedades:

(1) Antisimetría, f, g = −g, f.(2) Regla de Leibniz, f, gh = gf, h+ f, gh.(3) Identidad de Jacobi, f, g, h+ g, h, f+ h, f, g = 0.

De modo alternativo una estructura de Poisson en una variedad M vienedada por un bivector Λ que cumple [Λ,Λ] = 0, siendo [·, ·] el corchete deSchouten (véase por ejemplo [54]).

El corchete de Poisson f, g de dos funciones viene dado en función deΛ mediante la fórmula Λ(df, dg). Es más, el tensor de Poisson Λ define demodo natural un morfismo de fibrados #: T ∗M → TM cuya imagen resultaser una distribución involutiva SΛ en cuyas hojas se induce de modo canónicouna estructura simpléctica. Recíprocamente cualquier foliación S (generali-zada) por variedades simplécticas en una variedad, tal que para cualesquierafunciones diferenciables los campos de vectores hamiltonianos asociados a larestricción de la función a cada hoja pegan en un campo de vectores dife-renciable, induce una única estructura de Poisson cuya foliación simplécticaes precisamente S [54]. De este modo se hace precisa la idea anteriormentecitada de que las estructuras de Poisson son el marco geométrico para des-cribir familias de variedades simplécticas.

125

126 II. UNA NUEVA CONSTRUCCIÓN DE VARIEDADES DE POISSON

Si nos fijamos en los ejemplos conocidos de variedades de Poisson, seobserva que en muchas ocasiones el punto de partida es una estructura alge-braica (un álgebra de Lie, un cociclo, etc.), y a continuación se construye lavariedad de Poisson cuya álgebra de Poisson está relacionada con la estruc-tura algebraica inicial.

Sería igualmente interesante explorar el punto de vista contrario. Dadauna variedad M determinar todas las estructuras de Poisson no triviales quesoporta. Por supuesto esta es una tarea extremadamente difícil debido ala no linealidad de las estructuras de Poisson (la condición de cierre es unaecuación en derivadas parciales no lineal). En este sentido cabe mencionar elya citado trabajo de M. Bertelson que ha analizado en [6] la caracterizaciónde aquellas foliaciones regulares que proceden de estructuras de Poisson.

Siguiendo con este punto de vista, otra vía cuyo seguimiento es obli-gado es comprobar la posibilidad de extender determinadas construccionestopológicas (diferenciables) a la categoría de Poisson. Esto ya se ha hechoen el marco simpléctico; D. McDuff [40] ha definido el “blowing-up” de unavariedad simpléctica. R. Gompf [24] ha usado la suma conexa normal paraconstruir variedades simplécticas con grupo fundamental arbitrario (entreotras muchas cosas). En este sentido la geometría simpléctica es flexible enacusado contraste con la geometría Kähler.

Es evidente que se pueden construir familias triviales de variedades sim-plécticas sin más que tomar el producto de una variedad simpléctica M conuna variedad compacta arbitraria Q (con estructura de Poisson trivial). Lacorrespondiente estructura de Poisson producto tendrá el mismo grupo fun-damental que M siempre que π1(Q) = 0. Luego a menos que estemos enel caso de familias uniparamétricas, la existencia de familias de variedadessimplécticas con grupo fundamental arbitrario es obvia (aunque para nadasu clasificación).

El problema de la construcción de familias de variedades simplécticascon grupo fundamental arbitrario se reduce por tanto al caso particularde variedades de Poisson con hojas simplécticas de codimensión 1, y másconcretamente a la búsqueda de 5-variedades de Poisson de rango 4 (hojassimplécticas de dimensión 4) con grupo fundamental arbitrario.

Para resolver el problema anterior introduciremos una construcción de“cirugía” para variedades de Poisson que extiende de modo natural la cons-trucción de Gompf (teorema 4.4).

Comenzaremos recordando en la sección 2 como cualquier 3-variedadcerrada orientable admite una estructura regular de Poisson de rango 2. Estaconstrucción, que se basa es resultados clásicos de la teoría de foliaciones en3-variedades, contiene las ideas esenciales que nos permitirán proponer unatécnica de cirugía para variedades de Poisson.

A grandes rasgos, partiremos de la conocida suma normal conexa de varie-dades simplécticas a lo largo de subvariedades de codimensión 2, y daremosuna generalización para variedades de Poisson que esencialmente será unaversión paramétrica de la anterior (con parámetro compacto). Para ello seránecesario recordar ciertas propiedades de las estructuras de Poisson fibradas

2. ESTRUCTURAS DE POISSON EN 3-VARIEDADES 127

(definición 3.1), puesto que lo que sustituirá a la subvariedad simplécticaserá una subvariedad de Poisson transversal fibrada (definición 3.2).

La sección 4 estará dedicada a probar que la variedad foliada construidamediante suma conexa normal admite una estructura de Poisson extendiendoa las de los sumandos, y que es única en un sentido que se precisará (teorema4.4). La manera de proceder para probar este resultado es evidente: sin sermuy precisos, se pretende encontrar unos ciertos modelos para las estructurasde Poisson en los subconjuntos que se quieren identificar. Estos modelosserán versiones paramétricas de los simplécticos, y será posible encontrarlosporque el modo de hacerlo para variedades simplécticas es mediante el uso deciertos operadores, que por supuesto también existiran con las propiedadesrequeridas para familias compactas.

En la sección 5 estudiaremos la clase modular (véase [57]) de algunasde las variedades construidas mediante cirugía. Los resultados indican elfuerte carácter topológico de la construcción pues ciertas propiedades de laestructura de Poisson de los sumandos se podrán ver alteradas en la sumaconexa normal.

Es esta flexibilidad lo que nos permitirá demostrar en la sección 6 laaplicación principal de la construcción de cirugía introducida.

Teorema 1.2. Sea G cualquier grupo finitamente presentado. Entoncespara cualesquiera enteros n, d ≥ 4, d par, existe una variedad de Poissoncerrada y orientada (Mn,d,Λ) de dimensión n y rango constante d tal queπ1(Mn,d) ∼= G. Estas variedades tienen clase de Godbillon-Vey nula, peroaquellas con una foliación simpléctica de codimensión 1 no son unimodulares(ni variedades calibradas). Es más, pueden escogerse de modo que admitanestructuras spin.

Concluimos este capítulo en la sección 7 con una segunda aplicación queconsideramos interesante a la luz del estudio previo que hemos hecho de lasvariedades calibradas. En ella describimos condiciones bajo las cuales si lasvariedades de Poisson de partida son calibradas de clase entera, entonces lasuma conexa normal, que es variedad de Poisson regular con hojas simpléc-ticas de codimensión 1, admite un levantamiento a una estructura calibradaque extiende a la de los sumandos (teorema 7.1).

2. Estructuras de Poisson en 3-variedades

Una estructura regular de Poisson de rango 2 en una 3-variedadM3 no essino una foliación por superficies con una forma de área foliada diferenciable.Si M3 es orientable encontrar una estructura tal es una problema elementalde topología diferencial, cuya única parte no trivial es introducir una foliaciónpor superficies orientables.


Vamos a bosquejar una solución a éste problema (en la que no le pedimosmucho a la foliación), porque contiene las ideas esenciales que dan lugar a laconstrucción de cirugía para variedades de Poisson más generales.

Recordemos que toda 3-variedad cerrada y orientable se puede obtenermediante cirugía en un enlace con componentes kj . Es más, los “framings”son de la forma (mj ± 1lj), donde mj , lj son el meridiano y la longitudrespectivamente del toro frontera. Nótese que las componentes del enlacese pueden elegir tan próximas al nudo trivial como queramos, y por tantotransversales a la foliación de Reeb R de S3, i.e., los nudos son subvariedadestransversales a las hojas que heredan la estructura de Poisson trivial. Unavez que se han vaciado entornos tubulares de kj , en los toros sólidos Tj =D2 × S1 que se van a pegar la frontera de las hojas de R serán curvas en∂Tj que no separan (y cortando una vez el meridiano). Como dichas curvasson no triviales en la homología del toro sólido Tj , no será posible pegaruna superficie abierta en cada una de estas curvas para “cerrar” las hojas.En su lugar podemos vaciar un pequeño entorno tubular Nj de la longitudαj = 0 × S1, y encontrar una aplicación φj : Tj − Nj → S1 × I × S1

que envié la imagen de la curva mj en Tj a S1 × 0 × e, el meridianoS1 × I × S1 ⊂ D2 × S1. Por tanto el pullback de la foliación de Reeb deS1 × I × S1 da lugar a una foliación excepto en el toro sólido que vaciamos,donde de nuevo podemos añadir una componente de Reeb.

Luego hemos probado el ya clásico resultado:

Proposición 2.1 ([36]). Toda 3-variedad cerrada y orientable admite unaestructura de Poisson regular de rango 2.

Usando las ideas anteriores se ve que cualquier nudo fibrado en una 3-variedad da lugar a una foliación con una componente de Reeb y una compo-nente de Reeb modificada, en la que en lugar de tener discos aproximándoseal toro T 2 se tienen superficies orientadas agujereadas (las superficies deSeifert del nudo).

Es en dimensiones mayores que 3 donde las construcciones de cirugía sonuna herramienta muy importante para “diseñar” variedades con determinadaspropiedades topológicas. Luego contar con una construcción tal compatiblecon las estructuras de Poisson nos permitiría concluir la existencia de varie-dades de Poisson con un amplio espectro de propiedades topológicas.

3. Estructuras de Poisson fibradas

Hemos visto que para llevar a cabo la construcción de cirugía de la secciónanterior en 3-variedades de Poisson no es necesario preocuparse sobre comodefinir el tensor de Poisson en la nueva variedad, sino tan sólo de definir lafoliación por superficies.

3. ESTRUCTURAS DE POISSON FIBRADAS 129

No es difícil proponer una construcción de cirugía para variedades dePoisson que extiende la suma conexa normal para variedades simplécticas.Sin ser muy específicos, usaremos una subvariedad transversal a la foliacióny que corta a cada hoja en una subvariedad simpléctica. Ello nos permitirárealizar la suma conexa normal a lo largo de cada subvariedad simpléctica(en la hoja correspondiente), demostrando así que la variedad resultanteadmite una estructura de Poisson determinada (hasta cierto punto) por lasestructuras de partida.

Veremos que si se adopta el marco adecuado, los resultados a probarresultarán ser generalizaciones naturales de aquellos de Gompf [24].

3.1. Estructuras de Poisson compatibles en fibrados

Sea π : P → Q un fibrado (siempre localmente trivial).

Definición 3.1. Decimos que una estructura de Poisson ΛP en P es com-patible con la estructura de fibrado si las hojas simplécticas de ΛP son lasfibras de π (luego las fibras son conexas). También denominaremos a la terna(P, π,ΛP ) como una variedad de Poisson fibrada.

Si P es compacta la definición anterior equivale a decir que el espacio dehojas es una variedad diferenciable Q de modo que la proyección π : P → Qes una submersión.

Empezamos por recordar que siempre que se tiene una foliación (regular)se puede hacer el calculo exterior usual en los fibrados asociados a la dis-tribución que define la foliación. En nuestro caso tendremos una fibraciónlocalmente trivial π : P → Q y el fibrado en cuestión en el que estaremosinteresado será el de vectores verticales, i.e., el núcleo de π. Hablaremos decampos de vectores y k-formas verticales, derivadas de Lie en la dirección decampos de vectores verticales, y derivadas exteriores de k-formas verticales.

Denotaremos el conjunto de k-formas verticales mediante Ωkfib(P → Q),

y por dπ la derivada exterior vertical (o simplemente mediante d si no hayposibilidad de confusión). Recordemos que se puede hacer el pullback deformas verticales mediante morfismos de fibrados, y que toda relación entérminos de derivadas de Lie también se cumple para campos de vectoresy formas verticales (porque se cumple en cada fibra y define una seccióndiferenciable del fibrado vectorial correspondiente).

El citado cálculo diferencial no es sino el asociado al algebroide de Lieque la fibración (o más generalmente una foliación) define [10].

Para los grupos de cohomología del complejo (Ω∗fib(P → Q), dπ) em-pleamos la notación Hk

fib(P → Q). Se tienen las correspondientes aplica-ciones de “olvido” f : Ωk(P )→ Ωk

fib(P → Q), y f : Hk(P )→ Hkfib(P → Q).

Es mera rutina el comprobar que una estructura de Poisson ΛP compa-tible con la fibración π : P → Q viene determinada por una 2-forma vertical


cerrada no singular ωP ∈ Ω2fib(P → Q) (luego [ωP ] ∈ H2

fib(P → Q)). Lla-maremos a ωP la 2-forma de Poisson (o simplemente la forma de Poisson)de ΛP .

Usaremos determinados resultados de la cohomología H∗fib(P → Q).Comenzamos por recordar que en una variedad riemanniana cerrada la

teoría de Hodge nos da para cada k-forma α una descomposición única:

α = dβ ⊕ δη ⊕ ρ,donde β es coexacta, η exacta y ρ armónica, y las tres son imágenes de αmediante operadores diferenciales.

Se tienen resultados similares para la teoría de Hodge relativa para el par(N,K), donde N es una variedad compacta y K un conjunto cerrado (paraformas con soporte contenido en N −K). Una consecuencia obvia es que setienen los resultados anteriores para una variedad compacta N con fronterano vacía y formas con soporte en el interior de N (basta aplicar teoría deHodge relativa al doble de la variedad).

Cuando π : P → Q es una fibración localmente trivial y P cerrada, sepuede aplicar teoría de Hogde a lo largo de las fibras para obtener la mismadescomposición de la ecuación (3.1) para k-formas verticales. Observemosque cualquier métrica en P restringe a una métrica en cada fibra en la quepodemos aplicar teoría de Hodge usual. El resultado de pegar los correspon-dientes operadores en cada fibra son operadores de proyección diferencialesya que en una trivialización estamos simplemente trabajando con familiasdiferenciables de k-formas y métricas.

Si P es compacta y ∂P 6= ∅, la teoría de Hodge relativa (P, ∂P ) (usandoformas cuyo soporte no interseca ∂P ) también se cumple porque en cadatrivialización (que usamos para comprobar la diferenciabilidad de la cons-trucción) las fronteras se identifican como conjuntos.

Una consecuencia de lo anterior es que para π : P → Q localmente trivialy P cerrada (resp. compacta con ∂P 6= ∅), una forma vertical cerrada (resp.una forma cerrada cuyo soporte no interseca ∂P y por tanto se anula enun entorno de esta frontera) es exacta si y solamente si lo es a lo largo decada fibra (resp. exacta con forma potencial anulándose en un entorno de lafrontera).

También se infiere que para una familia diferenciable (compacta) de k-formas verticales exactas se puede encontrar una familia diferenciable de(k − 1)-formas cuya derivada exterior es la familia inicial. Si todas las k-formas se anulasen en un entorno de la frontera, las k− 1-formas también loharían en ese entorno.

3.2. Subvariedades de Poisson transversales fibradas

Una subvariedad de Poisson [56] de una variedad de Poisson (M,ΛM ) sedefine como la terna (P,ΛP , j), donde j : (P,ΛP )→ (M,ΛM ) es un morfismode Poisson que sumerge P enM sin autointersecciones. Además de éstas, hay

3. ESTRUCTURAS DE POISSON FIBRADAS 131

subvariedades de una variedad de Poisson que heredan de modo natural unaestructura de Poisson (la foliación induce una foliación por subvariedadessimplécticas que definen una estructura de Poisson), aunque la inclusiónnatural no es un morfismo de Poisson. Consideraremos subvariedades devariedades de Poisson desde este punto de vista más general.

Por tanto, una subvariedad de Poisson de una variedad de Poisson seráuna subvariedad intersecando las hojas en subvariedades simplécticas y here-dando una estructura de Poisson (necesariamente única) a partir de ΛM .

En nuestro caso nos concentraremos en una clase especial de subvarieda-des de Poisson compatibles con la una fibración dada.

Definición 3.2. Sea (M,ΛM ) una variedad de Poisson de dimensión n yde rango d, (P,ΛP ) una variedad de Poisson donde P es compacta y fibrasobre la variedad Q de dimensión n−d, y ΛP es compatible con la fibración.Una inmersión sin autointersecciones j : P → (M,ΛM ) se dice que sumerge(P,ΛP ) como una subvariedad de Poisson transversal fibrada de (M,ΛM ) si:

i j(P ) está contenido en el conjunto regular de (M,ΛM ).ii j(P ) corta transversalmente las hojas simplécticas de (M,ΛM ).iii j(P ) hereda una estructura de Poisson de (M,ΛM ) que coincide con

ΛP .

La existencia de una subvariedad tal implica que las hojas simplécticasde (M,ΛM ) están dispuestas de un modo “razonable” en un entorno de lasubvariedad. Para ser más preciso:

Lema 3.3. Si j : P → (M,ΛM ) sumerge la variedad de Poisson fibrada(P,ΛP ) → Q en M como una subvariedad de Poisson transversal fibradade codimensión r de (M,ΛM ), entonces su fibrado normal (isomorfo a unpequeño entorno tubular), con la estructura de Poisson inducida, es tambiénuna variedad de Poisson fibrada sobre Q.

Prueba. Para cada x ∈ P denotemos mediante Sj(x) a la hoja simpléc-tica de ΛM por el punto j(x). ΛM |Sj(x)

es el inverso de una forma simplécticaωM (x) en Tj(x)Sj(x), y Tj(x)(j(P ) ∩ Sj(x))⊥ωM –el ortogonal simpléctico deTj(x)(j(P )∩Sj(x))– es un r-plano simpléctico transversal a Tj(x)j(P ), por loque lo podemos tomar como modelo de fibra para el fibrado normal ν(P ) dela inmersión. Es más para cada hoja SP ⊂ P , la restricción del citado modeloes también el modelo para la inmersión de la hoja correspondiente SP ⊂ SM .De hecho podemos considerar cualquier estructura compleja compatible enel conjunto regular de (M,ΛM ) y la métrica correspondiente en cada hoja.Tj(x)(j(P )∩S(j(x)))⊥ωM es entonces el ortogonal de Tj(x)(j(P )∩Sj(x)) conrespecto a esta métrica a lo largo de las hojas, la cual puede ser usada paraidentificar el fibrado normal con un pequeño entorno tubular de j(P ). Esteconjunto abierto hereda una estructura de Poisson que mediante el isomor-fismo trasladamos al fibrado normal (diferentes isomorfismos, dependiendode la elección de estructura casi-compleja, dan estructuras de Poisson iso-morfas).


La localidad trivial de π : ν(P )→ Q se sigue de la del fibrado de esferasasociado, que es una variedad compacta (y la proyección una submersiónsobreyectiva)

4. La construcción principal: cirugía de Poisson

Sea (M,ΛM ) una variedad de Poisson de dimensión n y de rango d. Con-sideremos (P,ΛP ) una variedad compacta fibrada de Poisson de dimensiónn− 2 sobre el espacio base Q, éste de dimensión n− d.

Supongamos que tenemos dos inmersiones (siempre sin autointersecciones)disjuntas ja : P → M , a = 1, 2, ambas sumergiendo (P,ΛP ) como una sub-variedad de Poisson transversal fibrada de (M,ΛM ). Asumamos que losfibrados normales νa (usando el modelo proporcionado por el lema 3.3 y con-siderando la orientación inducida por la estructura de Poisson) tienen clasede Euler opuesta. Después de identificar νa con un entorno tubular Va deja(P ), cualquier isomorfismo que invierta la orientación ψ : ν1 → ν2 induceun difeomorfismo ϕ : V1 − j1(P ) → V2 − j2(P ) que preserva la orientaciónde las fibras (los planos), como la composición de ψ con el difeomorfismoh(x) = x

‖x‖2 que manda cada fibra sin el origen de “dentro hacia fuera”.

Definición 4.1. Denotemos como #ψM a la subvariedad diferenciable fo-liada que se obtiene de M − (j1(P ) ∪ j2(P )) identificando V1 − j1(P ) conV2 − j2(P ) vía la composición h ψ.

Si M es una unión disjunta M1∐M2 y ja envía P en Ma, la citada

variedad será llamada suma conexa normal de M1 y M2 a lo largo de P (víah ψ), y usaremos la notación M1#ψM2.

Es fácil comprobar que el tipo de difeomorfismo (como variedad foliada)está determinado por (j1, j2) y la identificación invirtiendo la orientaciónψ : ν1 → ν2 (salvo isotopías preservando las fibras). Una vez que las identifi-caciones anteriores han sido elegidas, las (clases de) posibles elecciones estánen biyección con [P, S1] ∼= H1(P ;Z).

4.1. Observaciones topológicas

Si partimos de una orientación µM en (M,ΛM ), ésta determina en unentorno de ja(P ) –junto con la estructura de Poisson– una orientación enP , y esta última a su vez con la estructura de Poisson restringida ωP unaorientación en Q. Si las orientaciones en Q inducidas de este modo por laslos entornos Va coinciden, entonces µM induce una orientación en #ψM .

Hay resultados muy bien conocidos sobre la topología deM1#ψM2 (véase[24]).

4. LA CONSTRUCCIÓN PRINCIPAL: CIRUGÍA DE POISSON 133

En primer lugar #ψM es cobordante (con cobordismo orientado) a M .Se comprueba al identificar en el cobordismo trivial M × [0, 1] entornos dej1(P ) y j2(P ) en el nivel 1, y a continuación “redondeando las esquinas”para obtener la variedad diferenciable X que da el cobordismo.

En consecuencia los números de Pontrjagin (#ψM orientado) se com-portan aditivamente, y en el caso de dimensiones pares las formulas para lacaracterística de Euler y la signatura son, respectivamente:

χ(M1#ψM2) = χ(M1) + χ(M2)− 2χ(P ).

σ(M1#ψM2) = σ(M1) + σ(M2), (#ψM orientado)

Al igual que para variedades simplécticas, si #ψM está orientada la cons-trucción de cirugía es compatible, eligiendo las trivializaciones (“framing”)adecuadas, con estructuras spin.

Así pues podemos concluir:

Lema 4.2. SiM admite una estructura spin y H2(P ;Z) no tiene Z2–torsión,existe una elección de ψ para la que #ψM admite una estructura spin queextiende la de M .

Prueba. Véase la proposición 1.2 en [24].

4.2. Observaciones relativas a la foliación de #ψM

Si se parte de una variedad regular transversalmente orientable M , en-tonces #ψM también es regular y transversalmente orientable (orientabilidaden variedades de Poisson es equivalente a orientabilidad transversal), y suclase de Godbillon-Vey GV (#ψM) puede ser computada en términos de lade M . En particular:

Lema 4.3. Sea M transversalmente orientable. Entonces GV (M) = 0 si ysolamente si GV (#ψM) = 0.

Prueba. Es posible vaciar entornos tubulares fibrados (cerrados) Wa

de ja(P ) tal que se tenga una inclusión i : M − (W1 ∪W2) → #ψM , y unentorno de la frontera de M − (W1 ∪W2) sea un fibrado sobre P (con fibraun anillo).

La anulación de GV (M) implica, por naturalidad, la anulación de la clasede Godbillon-Vey de M − (W1 ∪W2). Como los “extremos” fibran sobre P ,se puede escoger un representante β de la clase que se anule en ellos e inferirla existencia de una forma γ anulándose también en ellos y cuya derivadaexterior es β. Finalmente, extendiendo β y γ a formas β y γ definidas enM , se tiene dγ = β, donde [β] = GV (M).

Las otra dirección se prueba de un modo similar.


4.3. Construcción de la forma de Poisson en #ψM

El objetivo principal es construir una forma de Poisson en #ψM . Paraello es necesario modificar ligeramente la construcción previa.

Al tener que definir una estructura simpléctica en cada una de las hojasresultantes es más conveniente usar en vez de los fibrados normales (cuyasfibran tienen área infinita), los fibrados ν0

a de discos de radio π−1/2. Com-ponemos ψ (que podemos suponer invierte la forma de área en cada fibra)con la aplicación

i(x) =(

1π‖x‖2

− 1)1/2

x ,

que envía de dentro hacia fuera cada disco menos su origen.Hacemos notar que V1, V2 e Y , la imagen de (V1 ∪ V2) × [0, 1] en X (la

variedad cobordismo entre M y #ψM), son fibrados localmente trivialessobre Q.

Cualquier forma cerrada ω ∈ Ωkfib(V1 ∪ V2 → Q) satisfaciendo j∗1ω = j∗2ω

induce una forma ΩV ∈ Ωkfib(V → Q), que es única salvo una elección de k-

forma exacta dα, α ∈ Ωk−1fib (V → Q) con soporte compacto, donde V ⊂ #ψM

es la imagen de V1 ∪ V2 en #ψM .Para obtener un representante ΩV en esta familia se contraen entornos

disjuntos de ja(P ) (conteniendo V 0a , la imagen de ν0

a) sobre ja(P ), y se ex-tendiende esta aplicación a una retracción diferenciable ρ : M →M isotópicaa la identidad, que coincide con la identidad fuera de un conjunto compactode V1 ∪ V2, preserva las fibras de Va, y conmuta con 2 ψ −1

1 en V1 y V2.La k-forma en cuestión es la restricción a V de la inducida en Y por ρ∗ω.

Diferentes elecciones de retracción darán lugar a dos k-formas cuya dife-rencia será un elemento de Ωk

fib(V → Q) con soporte compacto. La exactitudde esta forma cerrada, tal y como indicamos, es equivalente a su exactitudrestringida a cada fibra. Esta comprobación se reduce al proceso descrito porGompf. Recordemos que al “redondear esquinas” para obtener Y , podemospensar que se han añadido nuevos niveles , i.e., tendríamos una aplicaciónp2 : Y → [0, 1 + ε] tal que el nivel 1 + ε es V , donde las circunferencias deradio π−1/2 se identifican. Según descendemos de 1+ε a 1, identificamos cir-cunferencias de radio cada vez más pequeño hasta que alcanzamos el nivel 1donde j1(P ) y j2(P ) son identificadas. Los niveles correspondientes a valoresmenores que 1 son difeomorfos a V1 ∪ V2.

Dada otra retracción ρ′, para evaluar la diferencia de las k-formas ρ∗ω|V −ρ′∗ω|V , enviamos la subvariedad de dimensión k (posiblemente singular) so-bre la que tenemos que integrar a una homótopa Mk ⊂ p−1

2 (1 + ε] (“empu-jando para abajo”), de modo que esté contenida en p−1

2 ([0, 1]) y en el nivel1 esté contenida en j1(P ) × 1. A continuación se corta Y para deshacerla identificación y se proyecta (V1 ∪ V2)× [0, 1]→ V1 ∪ V2 × 0. La proyec-ción de Mk define una subvariedad con frontera M ′k sobre la que se integraρ∗ω − ρ′∗ω. Como las retracciones son homótopas a la identidad, tanto ρ∗ωcomo ρ′∗ω representan la misma clase de homología que ω. Este hecho, junto


con la igualdad j∗1ω = j∗2ω, implica que∫M ′k

ρ∗ω − ω = 0 =∫M ′k

ρ′∗ω − ω.Luego la integral de la diferencia se anula.

Ahora ya tenemos todas la herramientas para demostrar que la construc-ción de cirugía funciona para variedades de Poisson.

Teorema 4.4. Sea (M,ΛM ) una variedad de Poisson de dimensión n y derango d ≥ 2, y sea (P,ΛP ) una variedad cerrada de Poisson de dimensiónn − 2 tal que ΛP es compatible con la estructura de fibrado π : P → Q,donde Q es una variedad de dimensión n− d. Sean ja : (P,ΛP )→ (M,ΛM ),a = 1, 2, dos inmersiones disjuntas de (P,ΛP ) que lo sumergen como subva-riedad de Poisson transversal fibrada de (M,ΛM ). Supongamos que existe unisomorfismo invirtiendo la orientación de los fibrados normales ψ : ν1 → ν2.Entonces #ψM , la suma normal conexa a lo largo de ja(P ), admite unaestructura de Poisson Λ caracterizada como sigue:

Dadas identificaciones disjuntas ja : νa → Va de los fibrados normalescon entornos tubulares Va de ja(P ) que envían fibras en hojas, si denotamosmediante V a la imagen de V1∪V2 en #ψM , V es un fibrado localmente trivialcon base Q. Entonces existe una única clase (salvo isotopías de fibrados) enV conteniendo elementos ω satisfaciendo la siguiente caracterización:

(1) Sea ΩV cualquiera de las 2-formas inducidas en V por ωM (tal ycomo hemos indicado previamente al enunciado de este teorema).Entonces ω − ΩV ∈ Ω2

fib(V → Q) (que es cerrada) tiene soportecompacto y es exacta (no depende del representante).

(2) Podemos elegir la identificación j1 : ν1 → V1 ⊂ M (salvo isotopía(rel. j1(P )) con soporte compacto) de modo que la forma de PoissonωM sea SO(2)-invariante en V 0

1 = j1(ν01), siendo ν0

1 el fibrado dediscos abiertos de radio π−1/2, y en el cierre de cada fibra de V 0

1 seasimpléctica con área t0 independiente de la fibra (se puede hacer unaisotopía de la inmersión inicial en otra fijando el complemento decada disco de radio r > π−1/2). Las formas (1−s)ωM +sπ∗ωP , 0 ≤s < 1, son todas de Poisson en el cierre de V 0

1 .(3) Existe una 2-forma (vertical) cerrada ζ con soporte compacto en

V 02 = j2(ν0

2), siendo ν02 el fibrado de discos abiertos de radio π−1/2,

de modo que para todo t ∈ [0, t0] la forma ωM + tζ es de Poissontanto en V1 ∪ V2 como en j2(P ).

(4) Hay una aplicación χ : ν2 → ν2 (preservando los discos) isótopa a laidentidad con soporte en ν0

2 , tal que fuera de un subconjunto com-pacto K de V 0

1 , la aplicación ϕ = j1 ψ i χ j2 : V 01 − j1(P )→

V 02 − j2(P ) (donde j1 es como en el punto (2)) es Poisson con res-

pecto a la forma de Poisson ωM = ωM + t0ζ en M (i.e, se modificala inmersión j2 a χ j2). La variedad #ψM se obtiene a partir de(M − (K ∪ j2(P )), ωM ) pegando a través de ϕ (se sigue por tantoque ω coincide con ωM en la imagen en #ψM del complemento deV 0

1 ∪ V 02 ).


Las diferentes elecciones de inmersiones de los fibrados normales estánconectadas por una isotopía que preserva la clase de isotopía descrita ante-riormente.

Finalmente, la forma ω depende de modo diferenciable de ωM , ωP (y portanto de j1, j2) y puede ser construida con cada Va, a = 1, 2, incluido en unentorno preasignado de ja(P ).

La prueba del teorema 4.4 es el contenido de los siguientes apartados.

4.4. El operador de contracción

Recordamos que ν(P ) es un fibrado con grupo estructural SO(2).Denotemos mediante τs : ν(P ) → ν(P ), 0 ≤ s ≤ 1, a la multiplicación

por s en cada disco y sea Xs el correspondiente campo de vectores. Como Xs

es un campo de vectores vertical, se puede definir el operador I : Ωkfib(ν(P )→

Q)→ Ωk−1fib (ν(P )→ Q) a través de la fórmula:

I(ρ) =∫ 1

0τ∗s (iXsρ)ds

Al igual que en el caso no paramétrico, si ρ es cerrada y j∗ρ = 0 entoncesdI(ρ) = ρ. También es cierto que I conmuta con cualquier acción quepreserve la estructura de SO(2)-fibrado.

Corolario 4.5. Sean ω1, ω2 dos formas de Poisson en ν(P ) compatibles conla estructura de fibrado ν(P ) → Q, verificando j∗ω1 = j∗ω2 e induciendola misma orientación en ν(P ). Existen U1, U2 entornos de P en ν(P ) y unisomorfismo φ : ν(P ) → ν(P ) isotópico a la identidad (rel P ) mediante unaisotopía con soporte compacto, tal que φ : U1 → U2 verifica φ∗ω2 = ω1. Siambas forman ya coincidían sobre un compacto C de P , podemos asumir quela isotopía tiene soporte en un entorno preasignado del cierre de P − C.

Es posible elegir el isomorfismo φ dependiendo de modo diferenciable deω1 y ω2. De hecho si partimos de dos familias diferenciables ω1,r, ω2,r, b ≤r ≤ c que coinciden en un entorno fijo de un compacto dado C, y construi-mos isomorfismos (aplicando la construcción que sigue) φb, φc verificandoφ∗bω2,b = ω1,b y φ∗cω2,c = ω1,c, entonces existe una familia diferenciable φrque cumple φ∗rω2,r = ω1,r en un entorno fijo de P y que coincide con laidentidad en el entorno preasignado del cierre de P − C.

Prueba. Como en la prueba del teorema de Darboux-Weinstein, consi-deramos la 2-forma vertical η = ω1 − ω0 y la familia ωt = ω0 + tη (también2-formas verticales cerradas).

Es posible encontrar un pequeño entorno de P en el que las ωt son nodegeneradas (porque en P ambas formas inducen la misma orientación en losdiscos normales y por la compacidad de P ). Ahí, sabemos que η = dα, conα = I(η), y por tanto que es posible encontrar una familia (diferenciable) de


vectores verticales Yt caracterizada por la ecuación iYtωt = −α. Después deusar una función meseta apropiada, esta familia 1-paramétrica define un flujoglobal Ψt en ν(P ) que fija P . Sin más que computar d

dt(Ψ∗tωt) se concluye

que Ψ∗tωt no depende de t cerca de P .Si las formas ya coincidían en un entorno de C, η se anulará en dicho

entorno.En cuanto a las familias observamos que en el proceso anterior hay una

elección de función meseta, y que es posible unir de modo diferenciable doselecciones cualesquiera.

Corolario 4.6. Sea (M,ΛM ) una variedad de Poisson de dimensión n yrango d. Sea (P,ΛP ) una variedad cerrada de Poisson regular de dimensiónn−2 que fibra sobre la variedad Q de dimensión n−d, y tal que ΛP es com-patible con la estructura de fibrado. Asumamos que ja : (P,ΛP )→ (M,ΛM ),a = 1, 2, sumerge (P,ΛP ) como subvariedad de Poisson transversal fibradade (M,ΛM ) (y disjuntas). Supongamos que ambos fibrados normales son tri-viales, y sea ψ : ν1(P )→ ν2(P ) un isomorfismo identificándolos e invirtiendola orientación de las fibras (si los fibrados son triviales existen de modo au-tomáticos isomorfismo tanto preservando como invirtiendo la orientación delas fibras). Entonces #ψM admite una estructura de Poisson Λ.

Prueba. Podemos identificar cada fibrado normal con P ×R2 de modoque en cada disco z ×D2 la forma de área dx ∧ dy es enviada a dy ∧ dx.También disponemos de isomorfismos ja : P ×D2

ε → Va, a = 1, 2, y ψ : P ×D2ε → P ×D2

ε .El punto principal es que como ambos fibrados normales son triviales,

j∗1ω1+dx∧dy (resp. j∗2ω2−dx∧dy) son estructuras de Poisson que restringena j∗aωa sobre P . Por tanto, podemos encontrar un número positivo δ > 0,y difeomorfismos ja : P × D2

δ → Ua con j∗1ω1 = j∗1ω1 + dx ∧ dy, ψ∗j∗2ω2 =j∗1ω1−dx∧dy, Ua ⊂ Va entornos de ja(P ). Componiendo ψ con la aplicación(r, θ) 7→ (

√δ2 − r2, θ), que invierte la forma de área en cada fibra y por tanto

preserva las formas de Poisson, definimos de modo evidente una estructurade Poisson en #ψM .

En la construcción anterior la estructura de Poisson coincide con ΛMen M − (j1(P ) ∪ j2(P )). Pero será necesario permitir perturbaciones en unentorno de una de las inmersiones para tener unicidad salvo isotopía.

La traba principal para resolver el problema propuesto en el teorema4.4 es que en general no es posible definir una estructura de Poisson en νainducida por j∗aωa y la estructura simpléctica de los ortogonales simplécticos,a menos que el fibrado normal sea trivial.

Se puede superar la dificultad anterior como sigue: consideremos ν0a , los

fibrados de discos de radio π−1/2, e identifiquemos los discos menos su origencomponiendo la aplicación i con ψ para obtener B, un fibrado de esferas S2

con grupo estructural SO(2) cuyas fibras están dotadas de una forma de áreaωS2 invariante por la acción de SO(2), y cuya integral vale 1 en cada una delas esferas.


Tenemos dos inmersiones i0 : P → B, i∞ : P → B con j1i0 = j1, j2i∞ =j2. Usamos la notación E0 = B − P∞ (resp. E∞ = B − P0).

Usando las ideas de Thurston (véase [41], teorema 6.3) se construye una2-forma vertical η cuya restricción a cada fibra el la anterior forma de área:para ello se comienza con una forma β en q : B → P representando el dual dePoincaré de P0 y cuya integral en cada fibra es 1 (en cada esfera transversala P0). Podemos escogerla con soporte en un pequeño entorno de P0 de modoque se anule en P∞. Tomamos trivializaciones hk : q−1(Uk)→ Uk×S2 de B yuna partición de la unidad ρk subordinada a Uk. Como h∗kπ

∗S2ωS2−β = dαk

en q−1(Uk), η = f(β + d∑

k(ρk q)αk), siendo f la aplicación de “olvido”f : Ω2(B) → Ω2

fib(B → Q), satisface nuestras demandas. El resultado depromediar η − q∗i∗0η (ambas q, i0 son levantamientos de id : Q→ Q) bajo laacción de SO(2) es una 2-forma vertical SO(2)-invariante, a la que todavíallamaremos η. Dicha forma restringe a la forma de volumen canónica encada esfera que además verifica i∗0η = 0.

Es posible elegir η para que η|E0 extienda sobre ν1 a una 2-forma verticalcerrada que sea simpléctica en los planos (las fibras). Tan sólo necesitamostomar β con soporte fuera de P∞, tal que en la intersección de ese entornocon q−1(Ui) (Ui contractible) αk se define como h∗kπ

∗S2α

′, donde α′ verificadα′ = ωS2 en ese entorno. En particular, la restricción de la 1-forma α =12(r2− 1

π )dθ ∈ Ω1(R2−0) (dada en coordenadas polares) al disco de radioπ−1/2 admite una extensión a una forma α′ en S2 − 0 con dα′ = ωS2 .

Las formas ωt = q∗j∗1ω1 + tη son no degeneradas para 0 < t ≤ t1 ya que,tal y como Thurston ha observado, q∗j∗1ω1 es no degenerada en el ortogonalal espacio tangente a las esferas (que no depende de t pues está determinadopor η).

Para una elección de η que extienda a ν1 tal y como acabamos de describir,las formas ωt serán simplécticas cerca del cierre de E0 ∼= ν0

i en ν1, para t1 ≤ tsuficientemente pequeño.

4.5. Comparación de las estructuras de Poisson en B, E0 E∞

Una vez definida la familia anterior de 2-formas cerradas no degeneradasen B, quisiéramos comparar una de ellas con aquellas definidas en E0 ∼= ν0

1

y E∞ ∼= ν02 que provienen de ω1 y ω2.

De acuerdo con el corolario 4.5 para cada t podemos encontrar entornos(Wt

0, ωt) de P0, y (Wt∞, ωt) de P∞, que son Poisson equivalentes a ciertos

entornos (dependiendo de t) de (j1(P ), ω1) y (j2(P ), ω2). Pero nada nosgarantiza que para algún valor de t se tenga que B =Wt

0 ∪Wt∞.

Para solventar esto nos inspiramos de nuevo en la construcción de Gompf:en E0 consideramos ϕ = I(η) y se definen los campos de vectores verticalesYt, 0 < t ≤ t1 a través de la condición iYtωt = −ϕ (también están definidosen un entorno del cierre de si η se eligió con extensión a ν1). La propiedadcrucial es que estos campos de vectores son SO(2)-invariantes. Para unt0 fijo, el flujo Ψt, totalmente determinado mediante la condición de que


sea la identidad para t = t0, es SO(2)-invariante y por supuesto verificaΨ∗tωt = ωt0 .

En principio se tiene que para cualquier conjunto compacto K ∈ E0 quesea SO(2)-invariante, existe un intervalo J de t0 en (0, t1] en el que el flujoΨ: K × J → E0 está definido. Pero se puede demostrar que Ψ está definidoen E0× [t0, t1]. Cualquier punto x en E0 determina una SO(2)-orbita en sufibra y por tanto un disco D(x). Se define:

A(x) =∫D(x)

η

y,

At(x) =∫D(x)

ωt ,

donde se ha hecho “pull-back” de las formas al disco.La aplicación A : E0 → [0, 1) es una submersión diferenciable, propia,

SO(2)-invariante y que verifica At(x) = tA(x). Dado x ∈ E0, t0 ∈ (0, t1] yK = D(x), se obtiene como antes un flujo en D(x). Llamemos D(Ψt(x)) aldisco cuya frontera es la SO(2)-orbita de Ψt(x) (coincide con Ψt(∂D(x))).Se tiene:

tA(Ψt(x)) = At((Ψt(x))) =∫D(Ψt(x))

ωt

=∫

Ψt(D(x))ωt =

∫D(x)

Ψ∗tωt =∫D(x)

Ψ∗t0ωt0 = t0A(x),

Luego podemos concluir que A(Ψt(x)) = t0t A(x). Como A, que es propia,

disminuye a lo largo de las líneas de flujo (con t aumentando), estas líneasde flujo no pueden abandonar E0 lo que implica que Ψ está definida enE0 × [t0, t1]. La desigualdad A(Ψt1(x)) < t0

t1supone que eligiendo t0 sufi-

cientemente pequeño Ψt1 envía E0 en un entorno tubular cualquiera prefijadode P0. En particular escogemos t0 de modo que Ψt1(E0) ⊂ Wt1

0 . Por tantoj1Ψt1 envía (E0, ωt0) dentro de (j1Ψt1(E0), ω1). De hecho, para una elecciónapropiada de η el morfismo de Poisson Ψt1 extiende a un entorno del cierrede E0, lo que permite extenderlo a su vez a un difeomorfismo Ψt1 : ν1 → ν1

isotópico a la identidad mediante una isotopía con soporte compacto (perosolamente Poisson en un entorno del cierre de E0 ∼= ν0

1) .La restricción de cada ωt a P∞ induce también una estructura de Poisson,

aunque en general i∗∞ωt 6= j∗2ω2. Se puede modificar ω2 en un entorno dej2(P ) (ω2 no ha estado involucrada en toda la construcción previa) paraque la igualdad anterior sí se de: se toma µ : B → B una aplicación SO(2)-equivariante levantando id : P → P , tal que µ fija un entorno de P∞ ycolapsa un entorno de P0 a P0. La composición de la restricción de j−1

2

a V 02 con µ puede ser extendida a una aplicación λ de un entorno cerrado

U2 de V 02 en V2 (un entorno de ∂U2 es enviado a P0). Podemos modificar

la estructura de Poisson de (U2, ω2) ⊂ (V2, ω2) (sin modificar la foliaciónsimpléctica), añadiendo a ω2 una 2-forma vertical cerrada = ζ tal que ω2 + ζ


es no degenerada (y por tanto Poisson) y ζ se anula en un entorno de ∂U2

en U2.

Denotemos ζ = λ∗η. Existe t2 > 0 (por la compacidad de P ) tal que paratodo 0 ≤ t ≤ t2, ωM = ω2 + tζ es no degenerada. Para resolver el problemasimplemente necesitamos elegir nuestro t0 previo más pequeño que t2 (y usarpor supuesto ωM = ωM + t0ζ).

Por tanto es posible pegar definiendo una forma de Poisson ω en V quesatisface todos los requerimientos del teorema 4.4. Siendo más precisos,podemos encontrar una aplicación χ : E∞ → E∞ isotópica a la identidadmediante una isotopía (rel P∞) con soporte en ν0

2 , y Poisson con respecto alas formas ωt0 y ωM + t0ζ, en un entorno U∞ de P∞ (la aplicación admiteuna extensión a un difeomorfismo de ν2 isotópico a la identidad). Se pegaempleando la aplicación j2 χ i ψ Ψ−1

t1 j−1

1 : V 01 → V 0

2 , donde inter-pretamos Ψt1 y χ como difeomorfismos de los fibrados normales (en vez detener dominio en el fibrado de esferas B). Las inmersiones que finalmenteempleamos son j1 Ψt1 , y modificamos j2 componiendo por la derecha conχ : ν2 → ν2.

La única condición que falta por verificar es que la diferencia [ω − ΩV ](que por construcción tiene soporte compacto) es exacta. Como lo podemosdemostrar fibra a fibra basta verificar que

〈ω − ΩV , F 〉 = 0, ∀F ∈ H2(N ,Z), (4.13)

para todas las fibras N de V → Q. Esta vez no escribimos la demostraciónde la igualdad (4.13) porque es palabra por palabra el enunciado probadopor Gompf ([24] pág. 547-548).

En cuanto a la unicidad, si ωt ∈ H2fib(V → Q), t ∈ [0, 1], es una familia

diferenciable cualquiera de formas de Poisson tal que ωt − ΩV son exactasy con soporte compacto, las formas ωt − ω0 son exactas en cohomologíacon soporte compacto (es posible encontrar un compacto común W de Vconteniendo todos los soportes). De ello se sigue la posibilidad de encontraruna familia αt de 1-formas con soporte compacto para las que d

dtωt = ddt(ωt−

ω0) = dαt, lo que permite aplicar el teorema de Moser [45] para mostrarla existencia de una isotopía con soporte en W ⊂ V que envía mediantepullback la familia inicial a ω0.

La clase de isotopía de la 2-forma de Poisson construida está totalmentedeterminada. Una elección diferente de t ≤ t0 puede ser absorbida usandola versión parametrizada del corolario 4.5. Igualmente, si en vez de tomarla 2-forma η de la construcción anterior hubiésemos escogido η, la familiaηs = sη + (1 − s)η es válida para que se le aplique la construcción, y pode-mos aplicar el mismo corolario a la familia resultante de difeomorfismos Ψs,t.Cualesquiera otras elecciones que se han hecho pueden ser conectadas me-diante familias diferenciables, y lo mismo ocurre si cambiamos las inmer-siones de los fibrados normales (preservando las foliaciones) o ψ por otrosrepresentantes que sean isotópicos a éstos.

5. LA CLASE MODULAR DE #ψM 141

No sólo la construcción –a pesar de las diferentes elecciones que se hacen–determina una única clase de isotopía de 2-formas de Poisson, sino que re-cíprocamente, cualquier 2-forma ω que verifique las cuatro condiciones delenunciado del teorema 4.4 está en la misma clase de isotopía.

Empleamos ψ para recuperar el fibrado de esferas B y las inmersionesmodificadas para definir en B una 2-forma de Poisson ωt0 que es SO(2)-invariante y que coincide con ωM en V 0

1 y con ωM cerca de j2(P ). Notamosque está 2-forma es de nuevo el resultado de aplicar la construcción anteriorpara η = 1

t0(ωt0−q∗ωP ) y t1 = t0. La SO(2)-invariancia implica que las fibras

son ωt0-ortogonales a P∞, con lo que η resulta ser no degenerada en las fibrasen P∞. La no degeneración de ωt en P∞ , (t ≤ t0) se sigue de la condición(3) aplicada primero a TP∞. Es posible extender η a ν1 contrayendo lainmersión j1 : ν1 →M (rel E0) si fuera necesario (la no degeneración es unacondición abierta). Aplicando la construcción a la inmersión de la condición(2) (contraída (rel E0) en caso de ser necesario), para tiempo t = t0 seobtiene la misma inmersión (Ψt0 = id) pues la forma inicial ya era Poisson.Lo mismo ocurrirá para la segunda inmersión (la corrección χ en este casoes la identidad), siempre que escojamos la ζ dada que define ωM , en vez deelegir ζ = λ∗η. De ello se deduce que la aplicación que realiza el pegadocoincide con ϕ−1 cerca de j2(P ).

Existe un problema con la elección de ζ, pues muy bien pudiera no ser dela forma λ∗η, donde λ extiende la restricción de j−1

2 a V 02 (aunque se tiene

j∗2ζ = i∞η, y se puede asumir que ζ se anula fuera de j2(B − P0) = V 02 ).

Es necesario mostrar que las formas ω y ω′, esta última construida usandoζ ′ = λ∗η, son isotópicas (mediante una isotopía que fija el complementariode un conjunto compacto en V ), y esto se reduce a mostrar que las formasconstruidas usando ζs = sζ ′+ (1− s)ζ satisfacen la condición 1 del teorema.Exactamente las mismas ideas que usamos para verificar que 〈ΩV −ω, F 〉 =0, ∀F ∈ H2(N ;Z) (véase [24] pág. 549), dan el resultado buscado.

5. La clase modular de #ψM

Sea (M,ΛM ) una variedad de Poisson que por simplicidad asumimosorientable. Un invariante importante de la estructura de Poisson es la clasemodular [57]. De un modo impreciso podemos describirla como la obstruc-ción a la existencia de una medida transversal invariante por la acción detodos los campos hamiltonianos.

La clase modular es un campo de vectores que pertenece al primer grupode la cohomología de Poisson de (M,ΛM ) (véase [54]). Para cada forma devolumen µ, un campo de vectores (una derivación) que representa la clasemodular queda definido mediante la fórmula:

φµ : f 7→ divµXf ,


donde Xf es el vector hamiltoniano asociado a f y divµ la divergencia conrespecto a µ.

Una variedad de Poisson cuya clase de Poisson se anula es llamada uni-modular. De la expresión anterior se deduce trivialmente que una variedadde Poisson orientable es unimodular si y solamente si existe una forma devolumen invariante por la acción de todos los campos hamiltonianos. Como–al menos en el conjunto regular– toda forma de volumen es el producto ex-terior de la forma de volumen de Liouville a lo largo de cada hoja (siempreinvariante por los campos hamiltonianos) y una forma de volumen transver-sal, la invariancia de esta forma de volumen transversal es equivalente a lade la forma de volumen total (por ello hemos hablado de la clase modularcomo la obstrucción a la existencia de una forma de volumen transversalinvariante).

Asumamos que #ψM está orientada.

Proposición 5.1. Si (#ψM,Λ) unimodular entonces (M,ΛM ) también loes, pero el recíproco no es cierto.

Prueba. Empezamos por observar que si (N,ΛN ) es una variedad dePoisson orientada y U un abierto de N tal que (U,ΛN |U ) es unimodular,entonces (N,ΛN ) será unimodular si alguna de las formas de volumen invari-antes en (U,ΛN |U ) admite una extensión a una forma de volumen invarianteen (N,ΛN ).

Veremos que también hay ejemplos de variedades (N,ΛN ) unimodularespara las que no todas las formas de volumen invariantes en un determinadoabierto extienden a formas de volumen invariantes en (N,ΛN ).

En caso de que (N,ΛN ) sea una variedad de Poisson fibrada y U cortecada hoja en un abierto conexo (no vacío), entonces cualquier forma devolumen en (U,ΛN |U ) extiende a una única forma de volumen invariante en(N,ΛN ) [57]. Una consecuencia elemental es que en una variedad de Poissongeneral (N,ΛN ) si tomamos un cerrado V contenido en un abierto U , tal queU (conexo) está fibrado y V interseca cada fibra en un conjunto no vacío cuyocomplementario en la fibra es conexo, entonces (N,ΛN ) es unimodular si ysolamente sí (N − V,ΛN |N−V ) es unimodular. Un corolario de esto es quecualquier perturbación del bivector de Poisson en V que preserve la foliaciónno afecta a la unimodularidad (resp. no unimodularidad) (N,ΛN ).

De lo anterior se deduce que la unimodularidad de (#ψM,Λ) implica lade (M,ΛM ).

Si comenzamos con (M,ΛM ) unimodular, al fibrar Va sobre Q, cualquierforma de volumen en (M,ΛM ) determinará un par de formas de volumenen Q. Es obvio que (#ψM,Λ) será unimodular si y solamente si existeuna forma de volumen invariante para la que ambas formas inducidas en Qcoinciden.

Aunque en general esto no ocurrirá (y acabaremos la prueba de la proposi-ción construyendo contraejemplos), pasamos a describir una situación en laque sí se da esta circunstancia.

5. LA CLASE MODULAR DE #ψM 143

Definición 5.2. Sea (M,ΛM ), (P,ΛP ) y j1 : (P,ΛP ) → (M,ΛM ) como enel teorema 4.4. Asumamos que j1(P ) tiene fibrado normal trivial. Una vezfijada una trivialización ψ del fibrado normal, podemos aplicar la construc-ción de cirugía a la unión disjunta de (M,ΛM ) con (M,ΛM ). Denotamos lavariedad correspondiente mediante (M#ψM,ΛM#ΛM )

Corolario 5.3. Sea (M,ΛM ), (P,ΛP ) como en la definición anterior. En-tonces (M,ΛM ) es unimodular si y solamente si (M#ψM,ΛM#ΛM ) es uni-modular.

Para construir contraejemplos empezamos por probar el siguiente lema:

Lema 5.4. Existe variedades de Poisson fibradas (de hecho fibrados simpléc-ticos) con abiertos para los que hay formas de volumen invariantes que noextienden a formas de volumen invariantes en toda la variedad.

Prueba. La idea es comenzar con nuestro conjunto abierto fibrado paraa continuación identificar varias fibras en una sola (de modo que estaremosimponiendo restricciones sobre la forma de volumen en el espacio base de laque tenemos que hacer pull-back).

Consideramos la variedad de Poisson fibrada S2n−1×D2 → S2n−1, dondeD2 es el correspondiente disco cerrado unidad con su forma simpléctica usual(téngase en mente el caso n = 1). Para cada punto de S2n−1 consideramos suimagen mediante la aplicación antipodal e identificamos las fronteras de losdiscos correspondientes vía una reflexión (digamos, en el eje y) ry : S1 → S1.La variedad resultante es un fibrado simpléctico sobre RP2n−1 con fibra laesfera con su forma de área usual (otro modo de construirlo es considerarS2n−1 ⊂ R2n ⊂ R2n+1, tomar un entorno tubular cerrado de radio fijo deS2n−1 ⊂ R2n+1, identificar su frontera empleando la aplicación antipodal, yfinalmente reescalar la forma de área). Si borramos los ecuadores de todas lasfibras obtenemos el fibrado de discos iniciales. En este subconjunto abiertolas formas de volumen invariantes provienen de formas en S2n−1, pero sóloaquellas invariantes por la aplicación antipodal en S2n−1 extienden a formasde volumen invariantes en toda la variedad.

Existe un tercer modo de construir estas variedades comenzando por lavariedad de Poisson final, y que además nos da muchos más ejemplos: elegi-mos (Q,G, (F, ω), ρ) donde Q es una variedad compacta, G es un subgruponormal de π1(Q) de índice finito y ρ es una representación de K = π1(Q)/Gen el grupo de simplectomorfismos de (F, ω) tal que hay puntos en F conestabilizadores triviales. QG, la cubierta de Q asociada al subgrupo G esun fibrado con grupo estructural K, y podemos construir el fibrado asociadoa la representación ρ por simplectomorfismos. La variedad resultante M esun fibrado simpléctico y por tanto una variedad de Poisson; como fibrado,al tener grupo estructural finito posee la propiedad de levantamiento único.Fijamos un punto base x0 de Q y un punto z en la fibra sobre x0 con esta-bilizador trivial. El levantamiento comenzando en z de todas las clases decaminos π1(Q, x0) da una inmersión de QG en M (transversal a las fibras).En la fibra sobre x0, los puntos próximos a z tienen estabilizador trivial lo


que implica que el fibrado normal a la inmersión de QG es trivial. Podemosincluso tomar un entorno tubular que sea el resultado de empujar un pe-queño disco en la fibra centrado en z usando la propiedad de levantamientoúnico trivial, lo que da un subfibrado simpléctico. Es evidente que las formasde volumen invariantes en este pequeño entorno tubular de QG que extien-den a formas de volumen invariantes en toda la variedad son aquellas queprovienen de formas de volumen en QG invariantes por la acción de K.

Ahora ya estamos en condiciones de probar la proposición 5.1:Para construir el contraejemplo empezamos con dos copias de las fibra-

ciones simplécticas (Q,G, (F, ω), ρ)→ Q del lema 5.4 (con F una superficie)y consideramos en ambas la misma inmersión de QG. A continuación se fijauna forma de volumen µ en QG que desciende a Q. Escogemos un puntoz ∈ QG y consideramos un difeomorfismo f : QG → QG homotópico a laidentidad (rel z) que sea la identidad en los restantes puntos de la órbita dez (por la acción de K) y que no preserve µ en z. Identificamos ambas in-mersiones de QG enM a través de f y hacemos suma conexa normal usandocualquier “framing” ψ para así obtener una variedad que no es unimodular.Si lo fuese, una forma de volumen invariante induciría una forma de volu-men ehµ en QG invariante tanto por la acción de K como por la acción deK conjugada con f , pero esto no puede ocurrir en el punto z.

6. Variedades de Poisson con grupos fundamentales arbi-trarios

Usando los resultados previos es posible probar el teorema para varie-dades de Poisson regulares enunciado en la introducción, y que extiende unresultado fundamental de Gompf.

Prueba del teorema 1.2. Como ya comentamos en la introduccióntan sólo es necesario probar el caso n = 5, d = 4, ya que el caso par es con-secuencia del trabajo de Gompf (multiplicando sus variedades simplécticaspor esferas de la dimensión apropiada), y el los impares de dimensiones ma-yores se siguen de multiplicar el de dimensión 5 por variedades simplementeconexas de la dimensión apropiada.

En primer lugar es útil recordar la prueba de Gomfp: comenzamos conuna 4-variedad simpléctica cerrada T 2×Σg tal que G se obtiene colapsandociertos caminos del grupo fundamental (añadiendo relaciones). La formasimpléctica se elige para que estos caminos sean curvas simples de determi-nados toros simplécticos sumergidos. El punto crucial es que las variedadesque se pegan a lo largo de estos toros sumergidos (mediante suma conexanormal) son superficies elípticas racionales (a lo largo de una de sus fibrasregulares), y el grupo fundamental de la variedad resultante, que no dependede la elección de “framing”, es el inicial con la homotopía de estos toros anu-lada.

6. GRUPOS FUNDAMENTALES ARBITRARIOS 145

Es conveniente recordar cómo es la topología de estas variedades elípticas

racionales. Son difeomorfas a CP29# (−CP2) y un modelo se puede cons-

truir explotando nueve puntos en CP2 en posición general (donde dos cúbicas

genéricas se cortan). Se obtiene así una fibración p : CP29# (−CP2) → CP1

cuyas fibras son el pincel de cúbicas generado por las dos dadas (un pin-cel de Lefschetz holomorfo). La fibra genérica es una cúbica diferencia-ble (topológicamente un toro) y también se tienen 12 fibras singulares quetopológicamente son esferas con un punto de auto-intersección (el resultadode colapsar una curva regular que no separa en la fibra genérica). Es fácilcomprobar que el complemento de una fibra regular es simplemente conexo:de un modo impreciso, el complemento fibra sobre un disco por lo que sólohay que ocuparse de la fibra. Siguiendo la descripción de R. Kirby en [33],se ve que dicho complemento se puede construir comenzando con D2 × T 2,T 2 = 〈a〉×〈b〉; extender la fibración a un disco mayor (en CP1) que contengauna fibra singular equivale a pegar una 2-asa (con un determinado “framing”)sobre uno de los dos generadores a o b (hay 12, y 6 de las cirugías se hacensobre a y las otras 6 sobre b). El último paso es pegar un entorno de la fibraregular sobre ∞ ∈ CP1. Por tanto cualquier camino contenido en una fibraes trivial en p−1(CP1 − 0,∞).

La construcción de la 5-variedad de PoissonM con π1(M) ∼= G comienzacon la elección de una de las 4-variedades simplécticas de Gompf (MG, ωMG

)

con π1(MG) = G. Podemos asumir que MG = NG#CP29# (−CP2) y que la

fibra eliminada es p−1(∞).En un primer momento consideramosM1 = MG×S1 con la estructura de

Poisson producto (la 2-forma vertical p∗1ωMG, a la que denominamos ωMG

).En MG la fibra p−1(0) = T es un toro simpléctico sumergido trivialmente(con fibrado normal trivial) con forma simpléctica ω0. Sea M2 = T × S3

con la estructura de Poisson producto –con factores ω0 y la estructura dePoisson de S3 determinada por la foliación de Reeb y la forma de volumenusual– y sea k ⊂ S3 el nudo trivial, que es una subvariedad de Poisson deS3 transversal a la foliación.

Las variedades de Poisson P1 = T ×S1 ⊂M1, P2 = T ×k ⊂M2, son am-bas subvariedades de Poisson transversales fibradas sumergidas trivialmente.Cualquier identificación de k con el factor S1 de P1 identifica P1 y P2 comovariedades de Poisson. Cualquier identificación entre sus fibrados normalesnos permitirá construir la correspondiente suma normal conexa. En estasituación particular disponemos de “framings” canónicos; el de P1 proviene

de la proyección p : CP29# (−CP2)→ CP1 y el de P2 del framing 0 del nudo

trivial. Si usamos este “framing” y a, b, s como base de H3(T × S1;Z)(la elección de s depende de la orientación elegida para M1), cualquier otro“framing” vendrá dado por una terna (l1, l2, l3) ∈ Z3. Denotaremos la corres-pondiente variedad de Poisson mediante M1#(l1,l2,l3)M2.

El cómputo del grupo fundamental de dichas variedades es mera rutina,pero lo describiremos porque estas no son exactamente las variedades quebuscamos. Como siempre en estos casos se aplica el teorema de Seifert-VanKampen:


Denotamos mediante D1 al disco unidad contenido en en CP1 y tomamosW2 = k×D2 un pequeño entorno tubular de k en S3. Sean V1 = p−1(D1)×S1, V2 = T ×W2. Se tiene M1 − V1 = (MG − p−1(D1)) × S1, y π1(MG −p−1(D1)) tiene los mismos generadores que π1(MG) y las mismas relaciones,excepto la que asegura que el camino α, un levantamiento de α = ∂D1, estrivial. π1(M2 − V2) es el grupo libre generado por a, b y por el caminoβ = ∂D2 generando la homotopía de S3 − W2. Se sigue que el camino sgenerando la homotopía de S1 en (MG−V1)×S1 va a una curva isotópica ak+ l3β. Las curvas a, b ⊂ T ×x ⊂M2−V2 se ven como las curvas simplescorrespondientes generando la homología de una fibra sobre un punto en∂D1, más algún múltiplo de α. Por último, los caminos α y β se identifican.

Es probable que la variedad que hemos construido no tenga el grupo fun-damental que buscábamos pues nada nos asegura que α sea contractible, peroen cualquier caso hemos convertido el problema de “matar” el generador dela homotopía de S1 en MG × S1, en un problema que supone “matar” la ho-motopía generada por una curva en una variedad cuya topología conocemosmuy bien.

Sea T2 el toro en MG generado por los caminos α + a, b. T2 es un torosimpléctico trivialmente sumergido (podemos asumir que la estructura sim-pléctica en p−1(0) × D2

1+ε es la estructura producto). Al aplicar la sumaconexa normal para variedades simplécticas a MG y a una superficie elípticaregular –a lo largo de T2 y una fibra regular– se obtiene una variedad sim-pléctica MG. Es obvio que π1(MG) = π1(MG), pero en MG tenemos ademásun disco contenido en MG − p−1(D1) cuya frontera es α.

Si hacemos suma conexa normal de MG × S1 y T × S3 a lo largo de P1

y P2 (T = p−1(0) está por supuesto en MG), obtenemos una variedad dePoisson M1#(l1,l2,l3)M2 verificando π1(M1#(l1,l2,l3)M2) ∼= G.

Es interesante mencionar que el tipo de difeomorfismo de M1#(l1,l2,l3)M2

depende a lo sumo de l3. Basta observar que M2− V2 es un entorno tubularde T × β, donde β es un camino en el interior de M2 − V2 isotópico a β,por lo que ∂(M2 − V2) tiene una estructura de S1-fibrado (sobre T × β).Por ello el tipo de difeomorfismo de la suma conexa normal está totalmentedeterminado por la imagen en ∂(M1 − V1) de la estructura de S1-fibrado de∂(M2 − V2) (ya que M1#(l1,l2,l3)M2 es el resultado de colapsar a un puntolas fibras de la fibración descrita), y estas fibraciones están clasificadas por elvalor de l3 (el autor no sabe si diferentes valores de l3 dan lugar a variedadescon diferente tipo de difeomorfía).

Si en vez de emplearse superficies elípticas racionales se emplean super-ficies de Kummer en la construcción de MG, tanto M1 como M2 admitenestructuras spin. Para cualquiera de estas estructuras, como H2(Pi;Z) notiene torsión, es posible encontrar enteros l1, l2, l3 tal que M1#(l1,l2,l3)M2

admite una estructura spin extendiendo a las de los dos bloques.

Observación 6.1: En las variedades de dimensión 5-construidas hay 3 clasesde hojas simplécticas: una familia parametrizada por S1 de hojas difeo-morfas a MG − T1 y cuyo grupo fundamental es por tanto G; otra familiaparametrizada por S1 de hojas difeomorfas a R2×T1. Ambas familias llenan

7. CIRUGÍA DE FOLIACIONES CALIBRADAS 147

abiertos conexos separados por una hoja compacta T1×T , donde T es el toroque separa en la foliación de Reeb de S3. Cualquiera de las hojas abiertastiene a la cerrada como conjunto de puntos de acumulación.

7. Una aplicación para la construcción de foliaciones ca-libradas

La suma conexa normal de dos variedades de Poisson calibradas es unavariedad de Poisson regular con hojas de codimensión 1. La existencia de unlevantamiento a una estructura calibrada se puede estudiar a través de unasucesión espectral. En nuestro caso, vamos a dar condiciones suficientes yuna construcción efectiva de dicho levantamiento.

Teorema 7.1. Sean (M2n+1a ,Fa, ωa), a = 1, 2, dos foliaciones calibradas de

tipo entero. Sea (P 2n−1,ΛP ) una variedad de Poisson fibrada sobre S1 (fibrasconexas) para la que se tienen dos inmersiones ia : P →Ma, a = 1, 2, comosubvariedad transversal fibrada de Poisson de (M2n+1

a ,Fa,Λa), y tal que secumple:

(1) H2(P ;Z) no tiene torsión.(2) Los fibrados normales de las inmersiones, νa(P ), son triviales.(3) Las 2-formas positivas ωP,a = i∗aωa definen la misma clase de coho-

mología en H2(P ;Z) (ya sabíamos que definían la misma 2-formafoliada).

Entonces, para ciertas elecciones de isomorfismo ϕ existen estructurasde Poisson Λ definidas en la suma normal conexa M1#ϕM2 que admitenlevantamientos a una estructura calibrada de tipo entero ω.

Prueba. Recordemos que al ser los fibrados normales de las inmersionestriviales, la cirugía puede realizarse sin perturbar las 2-formas foliadas. Siaplicamos el teorema 4.4 sin modificar las estructuras obtenemos Λ, una2-forma foliada cerrada y no degenerada en M1#ϕM2.

Queremos definir el levantamiento ω como i por la curvatura de un ciertofibrado de línea hermitiano con conexión, cuya elección es obvia a la luz delas condiciones impuestas.

Tomemos un levantamiento entero de ωa y una elección (La,∇a) de fi-brado de línea con conexión hermitiana cumpliendo iFa = ωa.

Los pullbacks LP,a = i∗aLa son fibrados isomorfos ya que para ambos lascurvaturas ωP,a definen la misma clase de cohomología real (condición (3)),y al no haber torsión en H2(P ;Z) los fibrados LP,a son representantes dela única clase de isomorfía de fibrados de línea hermitianos con conexiónasociada a la clase de cohomología [ωP,1] = [ωP,2].

El isomorfismo local que define M1#ϕM2 identifica un abierto A1, que esun entorno tubular de i1(P ) menos la subvariedad (la sección cero del fibradonormal), con A2, otro entorno tubular de i2(P ) menos la sección cero, de


modo que cuando nos aproximamos a j1(P ) por A1 estamos alejándonos dej2(P ) en A2.

Queremos demostrar que la identificación ϕ : A1 → A2 admite un levan-tamiento a un isomorfismo de fibrados Ψ: L1|A1

→ L2|A2. La existencia

de dicho levantamiento se sigue de que LP,1 y LP,2 son fibrados de líneahermitianos isomorfos.

En efecto, podemos pensar en los anillos como en familias Sa,t, t ∈ (1, 0)de fibrados triviales de círculos sobre ja(P ) tal que ϕ envía S1,t a S2,1−t. Larestricción a Sa,t = S1×ja(P ) de La es isomorfa al pullback de LP,a mediantep2 : S1×ja(P )→ ja(P ). Por tanto estas restricciones son isomorfas. FijemosΨ uno de esos isomorfismos de fibrados.

El fibrado hermitiano L1#ΨL2 → M1#ϕM2 admite dos conexiones com-patibles ∇1 y ∇2 que sólo están parcialmente definidas. Éstas se solapan porejemplo en el anillo A1 ⊂M1#ϕM2. Sea β una función meseta en M1#ϕM2

que se anula en M1−A1, comienza a crecer un poquito después de entrar enel anillo, alcanza el valor 1 antes de abandonarlo y lo mantiene en M2 −A2.Llamemos A1 ⊂ A1 a los puntos donde su valor es distinto de 0 y 1. Unprimer intento sería considerar la conexión compatible β∇1 + (1 − β)∇2.Su curvatura multiplicada por i da lugar a una 2-forma cerrada. Clara-mente coincide con ω1

∐ω2 en el complemento de A1. Sobre este segundo

anillo quisiéramos que su curvatura a lo largo de las hojas coincidiese conβF1 + (1− β)F2 = −iΛ. Esto no es cierto en general porque en A1 se tiene∇1 = ∇2 + B, donde B es en principio una 1-forma a valores complejos nonula.

En vez de intentar definir una nueva identificación Ψ, modificamos laconexión ∇2 globalmente en M2.

Como∇1 es compatible, B = iC, donde C es una 1-forma a valores reales.Consideramos la restricción del fibrado y conexiones a las hojas simplécticasde A1. La 1-forma foliada C|F1

es exacta ya que ω2|F1+ idC|F1

–la curvaturafoliada de (L2,∇2) pensado como fibrado sobre A1 tras la identificación– esΛ = ω1|F1

= ω2|F2en A1.

Por tanto es posible encontrar en cada hoja una función potencial paraC|F1

. Es fácil hacer una elección en cada hoja de modo que el resultado seauna función diferenciable en A1. Por ejemplo tomamos una “sección” P deA1 (una copia de P que corta a cada hoja de A1 una vez), y escogemos laúnica función f que se anula en P . El siguiente paso es extender f , definidaen principio en un subconjunto de M2, a una función g definida en todo M2.Probablemente es necesario modificarla en los puntos cercanos a j2(P ), y lohacemos de modo que g|A1

= f .

En L2 definimos la conexión compatible ∇2 = ∇2− idg. Es evidente que∇ = β∇1 +(1−β)∇2 es una conexión compatible en L1#ΨL2 cuya curvaturafoliada coincide con −iΛ.

ω := iF∇ es la 2-forma cerrada que calibra la foliación de M1#ϕM2 ycuya restricción a las hojas coincide con Λ.

CAPÍTULO III

Clasificación global de multivectores genéricos degrado máximo

1. Introducción

La reciente clasificación por O. Radko [51] de las estructuras de Poissongenéricas en superficies orientadas, suscita al cuestión de hasta que punto esposible extender estos resultados a dimensiones superiores.

Esta clasificación –aunque está descrita en el lenguaje de la geometríade Poisson– se basa en resultados clásicos de topología diferencial y en laclasificación de formas de área en superficies cerradas. La razón es que endimensión 2 la condición de integrabilidad que un campo de bivectores hade cumplir para definir una estructura de Poisson, se satisface trivialmente.Así para estructuras de Poisson en una superficie orientada Σ, el delicadoproblema de clasificar soluciones de una ecuación en derivadas parciales nolineal se reduce a la clasificación de secciones (genéricas) del fibrado trivialX2(Σ) ≡ Γ(∧2(TΣ)). En esta situación se dispone de todas la herramientasde la geometría diferencial y el problema se simplifica enormemente.

En este capítulo demostraremos que la clasificación de Radko se puedeextender a dimensiones superiores para campo de multivectores genéricos degrado máximo.

Un campo de bivectores en una superficie es una estructura de Poissonde grado máximo. Más generalmente, un campo de multivectores de gradomáximo es una estructura de Nambu de grado máximo.

Las estructuras de Nambu son generalizaciones naturales de las estruc-turas de Poisson: una estructura de Nambu de grado r en una variedad Mes un corchete antisimétrico r-multilineal,

·, . . . , · : C∞(M)× · · · × C∞(M)︸︷︷︸r

→ C∞(M),

que satisface la regla de Leibniz en cada entrada, y una Identidad Fundamen-tal que extiende de modo natural a la identidad de Jacobi. Para estructurasde grado máximo dicha Identidad Fundamental es vacía.

A pesar de la similitud formal entre estructuras de Nambu y de Poisson,para r > 2 la Identidad Fundamental impone condiciones mucho más res-trictivas que las que se esperarían de la identidad de Jacobi. Dicho de otromodo, las estructuras de Nambu son de algún modo más complicadas deencontrar que las de Poisson. Como contrapartida las estructuras de Nambuson más fáciles de describir.

149

150 III. CLASIFICACIÓN DE MULTIVECTORES GENÉRICOS MAXIMALES

Estamos interesados en estructuras de Nambu de grado máximo genéri-cas en una variedad compacta orientable M . Por la regla de Leibniz dichaestructura viene descrita por un campo de multivectores Λ ∈ Xtop(M), y lagenericidad significa que Λ corta transversalmente la sección 0 del fibradode línea trivial ∧topTM . En particular el lugar de ceros H del campo demultivectores Λ es una hipersuperficie de M . Mostraremos como asignara cada componente conexa H i de H un invariante numérico, llamado elperiodo modular, que depende solamente del germen de Λ en H i. Tambiénconstruiremos un invariante global, el volumen de Liouville generalizado, quemide la razón entre los volúmenes de las diferentes componentes conexas delcomplemento de H. Estas nociones generalizan las correspondientes para2-variedades de Poisson.

Nuestro principal resultado es el siguiente:

Teorema 1.1. Una estructura de Nambu genérica Λ ∈ Xtop(M) está de-terminada, salvo difeomorfismo preservando la orientación, por el tipo dedifeomorfismo del par orientado (M,H) junto con sus periodos modulares yvolumen de Liouville generalizado.

En dimensión 2 este resultado recupera la clasificación de [51].Usando el teorema 1.1 daremos una descripción el grupo de cohomología

de Nambu H2Λ(M) que determina las deformaciones infinitesimales de la es-

tructura de Nambu. Asimismo probaremos que para dimensiones mayoresque 2 el grupo de cohomología de Nambu H1

Λ(M), que determina los auto-morfismos externo de la estructura, es de dimensión infinita.

El esquema del capítulo es como sigue. En la sección 1 recordamos ladefinición de una variedad de Nambu de grado r (definición 2.1) y citamosalgunas de sus propiedades más importantes.

Introducimos las estructuras de Nambu genéricas de grado n en una n-variedad orientada (definición 3.1) en la sección segunda. Se define, paracada hipersuperficie H en el lugar de ceros del campo de n-vectores Λ, unpar de invariantes equivalentes. Son el campo modular de (n − 1)-vectoresXH

Λ (definición 3.2) y la (n − 1)-forma modular ΩHΛ , que son dos modos

equivalentes de describir la linealización de Λ a lo largo de H.En la sección 3 introducimos el periodo modular THΛ , que es la integral (o

la clase de cohomología) de la (n− 1)-forma y depende solamente de los val-ores de Λ en un entorno tubular de H. Recíprocamente, podemos recuperarla estructura de Nambu en un entorno tubular de la hipersuperficie orientada(H,ΩH

Λ ) una vez que el periodo modular THΛ ha sido fijado (proposición 4.4).La prueba del resultado principal se da en la sección 4 (teorema 5.2),

donde también se introduce el volumen regularizado de Liouville.En la sección 5 entre las posibles teorías de cohomología que se pueden

asociar a la estructura de Nambu, se considera (i) el grupo de automorfismosexteriores infinitesimales y (ii) el grupo de deformaciones infinitesimales de laestructura. El último resultará tener tantos generadores como el número deinvariantes citados, y exhibiremos un conjunto explícito de generadores queextiende el dado para 2-variedades de Poisson (teorema 6.1). Por otro lado

2. ESTRUCTURAS DE NAMBU 151

mostraremos que el primer grupo de cohomología es de dimensión infinitapara n ≥ 3, algo esperado a la luz de los cómputos locales de estos gru-pos presentados en [44]; también recuperaremos de modo elemental ciertoscálculos de cohomología de Poisson para superficies.

Por último, en la sección 6 observaremos que la correspondencia entreclases de isotopía de bivectores genéricos en S2 y clases de isomorfía deárboles con pesos y signos dada en [51], también se verifica para aquellasestructuras genéricas de Nambu en Sn cuyo lugar de ceros H sólo contieneesferas (proposición 7.5).

2. Estructuras de Nambu

Las variedades de Poisson (M, ·, ·) son los espacios de fase relevantespara la mecánica hamiltoniana. En un sistema hamiltoniano la evolución decualquier observable f ∈ C∞(M) se obtiene resolviendo la e.d.o.

df

dt= H, f,

donde H ∈ C∞(M) es el hamiltoniano, una cantidad conservada para elsistema (la “energía”).

En 1973 Nambu [48] propuso una generalización de la mecánica hamil-toniana basada en un corchete n-ario. La dinámica de un observable f ∈C∞(M) vendría gobernada por la e.d.o. análoga

df

dt= H1, ...,Hn−1, f,

asociada a n− 1 hamiltonianos H1, ...,Hn−1, teniendo por tanto n− 1 can-tidades conservadas.

Para que se tuviesen las propiedades dinámicas “esperadas” este corchetetenía que satisfacer determinadas restricciones que fueron clarificadas porTakhtajan [53], quién dio la siguiente definición axiomática de una estructurade Nambu.

Definición 2.1. Una estructura de Nambu de grado r en una variedad Mn,con r ≤ n, es un corchete r-multilineal y antisimétrico,

·, . . . , · : C∞(M)× · · · × C∞(M)︸︷︷︸r

→ C∞(M),

satisfaciendo:

(i) La regla de Leibniz:

fg, f1, . . . , fr−1 = fg, f1, . . . , fr−1+ f, f1, . . . , fr−1g,(ii) La Identidad Fundamental:

f1, . . . , fr−1, g1, . . . , gr =r∑i=1

g1, . . . , f1, . . . ., fr1 , gi, . . . , gn;


La regla de Liebniz muestra que el operador Xf1,...,fr−1 : C∞(M) →C∞(M) que se asocia a r − 1 funciones f1, . . . , fr−1 mediante

Xf1,...,fr−1(g) = g, f1, . . . , fr−1,

es una derivación y por tanto un campo de vectores. Es el llamado campode vectores hamiltoniano asociado a f1, . . . , fr. Más generalmente, de laidentidad de Liebniz se infiere la existencia de un campo de r-vectores Λ ∈Xr(M) tal que

Λ(df1 ∧ · · · ∧ dfr) = f1, . . . , fr.

Por otro lado, la Identidad Fundamental es equivalente al hecho de queel flujo de cualquier campo de vectores hamiltoniano Xf1,...,fr−1 es una trans-formación canónica, i.e., preserva el corchete de Nambu. La correspondienteversión infinitesimal es

LXf1,...,fr−1Λ = 0.

Obviamente, para estructuras de Nambu de grado máximo la Identidad Fun-damental se cumple trivialmente.

Ejemplo 2.2: En Rn existe una estructura de Nambu canónica de gradomáximo que generaliza la estructura de Poisson canónica en R2. El corchetede Nambu asigna a n funciones f1, . . . , fn el Jacobiano de la aplicación Rn →Rn, x 7→ (f1(x), . . . , fn(x)), tal que

f1, . . . , fn = det[∂fi∂xj

].

Más generalmente cualquier forma de volumen µ ∈ Ωtop(M) en una varie-dadM determina una estructura de Nambu: si (x1, . . . , xn) son coordenadasen M para las que µ = fdx1 ∧ · · · ∧ dxn, entonces el tensor de Nambu es

Λ u1µ

=1f

∂

∂x1∧ · · · ∧ ∂

∂xn.

La Identidad Fundamental para r > 2 es de una naturaleza mucho másrestrictiva de lo que cabría esperar atendiendo a lo que ocurre para r = 2,donde se reduce a la identidad de Jacobi; si r > 2, además de requerirla verificación de un sistema de primer orden de ecuaciones en derivadasparciales cuadráticas, los coeficientes necesariamente tienen que cumplir undeterminado sistema de ecuaciones algebraicas cuadráticas. Por ejemplo siM es un espacio vectorial, para un r-vector constante el sistema de ecuacionesdiferenciales se verifica trivialmente, mientras que las relaciones algebraicasson no triviales y de hecho coinciden con las ecuaciones de Plücker. Por lotanto tan sólo los r-vectores descomponibles definen estructuras de Nambuconstantes.

Otro ejemplo de la rigidez es la siguiente proposición, ya bien conocida(véase [53]):

Proposición 2.3. Sea Λ una estructura de Nambu. Para cualquier funciónf ∈ C∞(M) la contracción idfΛ también define una estructura de Nambu.

3. ESTRUCTURAS GENÉRICAS DE GRADO MÁXIMO 153

Esta rigidez hace que sea más complicado “encontrar” estructuras deNambu que de Poisson, pero también que su descripción sea más sencilla.De ahora en adelante asumiremos que r es mayor que 2 si n ≥ 3.

En primer lugar, los campos de vectores hamiltonianos generan una fo-liación generalizada cuyas hojas son o bien puntos, llamados puntos singu-lares, o bien tiene dimensión igual al grado de la estructura. Alrededor deestos puntos regulares se tiene la siguiente forma canónica para la estructurade Nambu (véase por ejemplo [55]):

Proposición 2.4. Sea x0 ∈M un punto regular de una estructura de NambuΛ de grado r. Existen coordenadas locales (x1, . . . , xn) centradas en x0 paralas que

Λ =∂

∂x1∧ · · · ∧ ∂

∂xr.

Para los puntos singulares existen algunos resultados profundos de linea-lización debidos a Dufour y Zung [16].

3. Estructuras genéricas de grado máximo

En esta sección consideramos estructuras de Nambu de grado n en unavariedad M de dimensión n, orientable y compacta. Recuérdese que enesta situación la Identidad Fundamental se verifica trivialmente, por lo queuna estructura de Nambu es simplemente un campo de multivectores Λ ∈Xn(M). Solamente trataremos con estructuras de Nambu (de grado máximo)genéricas:

Definición 3.1. Una estructura de Nambu Λ ∈ Xn(M) se dice genérica sicorta a la sección 0 del fibrado de línea ∧nTM de modo transversal.

Las secciones genéricas forman un abierto denso en la topología de Whit-ney C∞.

Fijemos de ahora en adelante una sección genérica Λ ∈ Xn(M). Suconjunto de ceros, que denotamos mediante H, es la unión de un númerofinito de hipersuperficies conexas: H =

⋃i∈I H

i, #I <∞. Escojamos una yllamémosla H.

Sobre los puntos de H tenemos una cierta información de carácter linealasociada a Λ; nos referimos a la derivada intrínseca dΛH ∈ T ∗HM ⊗ ∧nTM .Se puede definir como dΛH ≡ ∇Λ|H , donde ∇ es cualquier conexión linealen ∧nTM . El resultado es independiente de la conexión elegida (pues todasellas son tangentes a la sección 0). La derivada intrínseca da la linealizaciónde la estructura de Nambu en H: si vemos Λ como una sección, es el espaciotangente al grafo de Λ. Es importante hacer notar que dΛH nunca se anuladebido a que hemos asumido transversalidad.


dΛH es una sección de T ∗HM⊗∧nTM , pero debido a la especial naturalezade nuestro fibrado de línea (trivial) tiene dos interpretaciones equivalentesque pasamos a explicar:

Fijemos una forma de volumen Ω en un entorno de H en M , de modoque dΛH ⊗ Ω ∈ T ∗HM .

Definición 3.2. El campo modular de (n−1)-vectores de Λ a lo largo de H esel único campo de (n−1)-vectores XH

Λ ∈ Xn−1(H) tal que iXHΛ

Ω = dΛH⊗Ω.

La definición no depende de la elección de Ω: si Ω es otra forma devolumen entonces Ω = fΩ, donde f es una función que nunca se anula, setiene:

iXHΛfΩ = dΛH ⊗ fΩ.

ComoXHΛ es tangente aH y no se anula nunca, podemos definir la (n−1)-

forma modular a lo largo de H como la (n− 1)-forma dual ΩHΛ ∈ Ωn−1(H);

esto es, ΩHΛ (XH

Λ ) = 1. Si escogemos Y un campo de vectores sobre H quesea transversal a H, la forma modular a lo largo de H viene dada por

ΩHΛ = (−1)n−1 1

dY ΛH ⊗ Ωj∗iY Ω,

donde j : H →M es la inclusión. Esta expresión es independiente de Y .La (n− 1)-forma modular a lo largo de H no se anula nunca, por lo que

define una orientación en H.Es evidente que cualquier elemento de entre dΛH , XH

Λ y ΩHΛ , determina

a los otros dos.Vamos a relacionar las definiciones anteriores con la conocida noción de

clase modular en una variedad de Poisson. Para cualquier estructura deNambu de grado r en una variedad orientable existe una generalización na-tural de la clase modular [30], que pasamos a recordar. De nuevo fijamos unaforma de volumen Ω enM . Para cualesquiera n−1 funciones f1, . . . , fn−1 enM podemos calcular la divergencia de su campo de vectores hamiltoniano:

(f1, . . . , fn−1) 7→ div Ω(Xf1,...,fn−1) ≡ 1ΩLXf1,...,fn−1

Ω.

La expresión anterior define un campo de (n− 1)-vectoresMΩΛ en M . Si

Ω = gΩ es otra forma de volumen, para una función g que nunca se anula,se tiene

MΩΛ =MΩ

Λ +Xg,

donde Xg es el campo de (n− 1)-vectores

Xg(f1, . . . , fn−1) = f1, . . . , fn−1, g.

Es posible introducir determinados grupos de cohomología para elimi-nar esta ambigüedad de modo que la clase de cohomología [MΩ

Λ] esté biendefinida y sea independiente de Ω. Esta clase es la llamada clase modularde la estructura de Nambu y es la obstrucción a la existencia de una formade volumen en M invariante por todos los automorfismos hamiltonianos.

4. CARACTERIZACIÓN LOCAL DE LA ESTRUCTURA DE NAMBU 155

Cada forma de volumen Ω determina un campo modular de (n − 1)-vectores MΩ

Λ que representa la clase modular y que dependerá de Ω. Sinembargo, en los puntos singulares todos los campos modulares tienen elmismo valor (véase [30]).

El campo modular de (n−1)-vectores XHΛ a lo largo de H de la definición

3.2 no es sino la restricción a H de cualquier campo modular. En nuestrocaso tiene además la propiedad adicional de no anularse en ningún punto yde ser tangente a H.

4. Caracterización local de la estructura de Nambu

En esta sección estudiaremos el comportamiento local de una estruc-tura de Nambu genérica Λ ∈ Xn(M) en un entorno de su lugar de ceros.Mostraremos que el germen de Λ en una componente conexa H de su lugarde ceros está determinado, salvo isotopía, por los periodos modulares (quedefinimos más abajo).

Como la derivada intrínseca es functorial se concluye inmediatamente que

Lema 4.1. Dadas dos estructuras de Nambu genéricas Λ1 y Λ2 con lugaresde ceros H1 y H2 respectivamente y un difeomorfismo de estructuras deNambu ψ : (M,Λ1) −→ (M,Λ2), entonces

ψ∗XH1Λ1

= XH2Λ2, y ψ∗ΩH1

Λ1= ΩH2

Λ2.

Por tanto, se sigue que una condición necesaria para que dicha difeomor-fismo de estructuras exista es que las clases de cohomología [ΩH2

Λ2] y [ΩH1

Λ1] se

correspondan la una a la otra.Recordamos que dada una estructura de Nambu genérica Λ, cada com-

ponente H de su lugar de ceros H tiene una orientación inducida por Λ. Portanto una clase de Hn−1

dR (H) está totalmente determinada por su valor en elciclo fundamental H.

Definición 4.2. El periodo modular THΛ de la componente H del lugar deceros de Λ es

THΛ ≡∫H

ΩHΛ > 0.

De hecho este número positivo determina la estructura de Nambu, salvoisotopía, en un entorno de H. Para probar esta afirmación recordamos elsiguiente resultado clásico referido a la clasificación de formas de volumen,una de cuyas versiones hemos empleado de modo extensivo en el capítuloanterior.

Lema 4.3. (Moser, [45]) Sea M una variedad orientable cerrada, Ω1 y Ω2

dos formas de volumen en M . Si [Ω1] = [Ω2] ∈ Htop(M), entonces existe


un difeomorfismo isotópico a la identidad que envía Ω1 a Ω2. Es más, lopodemos escoger para que sea la identidad en el cierre del complemento delcerrado donde ambas formas de volumen coinciden.

El citado resultado se adapta fácilmente a formas de volumen en va-riedades compactas con frontera no vacía que coinciden en entornos de lafrontera.

Ahora ya podemos probar el resultado principal de esta sección.

Proposición 4.4. Sean Λ1 y Λ2 estructuras de Nambu genéricas en M quecomparten una componente H en su lugar de ceros, y para la que los periodosmodulares coinciden: THΛ1

= THΛ2. Entonces existe un difeomorfismo ϕ : M →

M isotópico a la identidad y entornos U1 y U2 de H, tal que ϕ envía (U1,Λ1)a (U2,Λ2).

Prueba. En primer lugar usamos el lema de Moser para construir undifeomorfismo φ : M → M isotópico a la identidad que preserva H (comoconjunto) y envía ΩH

Λ1a ΩH

Λ2. Luego podemos asumir de entrada que ΩH

Λ1=

ΩHΛ2, y el problema se reduce al correspondiente de linealización global.

Fijemos un collar U = [−1, 1]×H de la hipersuperficieH, con coordenadatransversal r. Denotando a la estructura de Poisson mediante Λ, definimosΛ0 = (−1)n−1 ∂

∂r ∧XHΛ . Podemos escribir Λ = fΛ0 para alguna f ∈ C∞(U);

la linealización de Λ es Λ1 = rΛ0. Buscamos un cambio de coordenadas quesólo reparametriza la coordenada radial:

φ : U → U, (r, x) 7→ (g(r, x), x),

y satisface φ∗fΛ0 = rΛ0. Obtenemos una e.d.o. para g cuyas soluciones song(x, r) = ke

R1fdr, con k ∈ R. Como f se anula a orden 1 a lo largo de la

dirección radial, esta e.d.o. tiene una familia uniparamétrica de solucionesdiferenciables que fijan H y definen difeomorfismos (para k 6= 0) en un collarde H. Eligiendo una solución con k > 0 se obtiene el cambio de coordenadasdeseado.

Observación 4.5: La existencia de una familia uniparamétrica de solucionespara la ecuación anterior refleja el hecho de que para cualquier estructuralineal cr ∂∂r ∧ X

HΛ , el reescalamiento de la coordenada radial es una trans-

formación canónica. Obsérvese también que la reflexión a lo largo de H esuna transformación canónica invirtiendo la orientación del entorno tubular.Como estamos interesados en transformaciones isotópicas a la identidad (ypor tanto preservando la orientación de entorno) nuestra elección de g arribaes con k > 0.

5. DESCRIPCIÓN GLOBAL DE LAS ESTRUCTURAS DE NAMBU 157

5. Descripción global de las estructuras de Nambu

Una condición previa evidente para la existencia de un difeomorfismoentre dos variedades de Nambu (con estructuras genéricas) es que haya undifeomorfismo de las variedades enviando el lugar de ceros de una de las es-tructuras al de la otra, y preservando las orientaciones inducidas. Asumiendoque esta condición se cumple nuestro problema es el de transformar una es-tructura genérica Λ1 en otra estructura Λ2, con lugar de ceros orientadocomún H =

⋃i∈I H

i.En primer lugar y tal y como vimos en la sección anterior, si los periodos

modulares de cada componente coinciden, es posible encontrar collares U i1 yU i2 de las hipersuperficies H i, y un difeomorfismo isotópico a la identidad ϕenviando (U1,Λ1) a (U2,Λ2), donde Uj =

⋃i∈I U

ij .

En segundo lugar, H escinde M en las hojas maximales de ambas estruc-turas. Las restricciones de las estructuras de Nambu a cada una de estascomponentes definen formas de volumen; los volúmenes son infinitos luego notiene sentido pedir que coincidan. En su lugar, se puede intentar definir lasrazones de los volúmenes de las diferentes componentes, que son finitas; estoda lugar a dificultades de cómputo, así que lo que hacemos es observar quepara una componente H del lugar de ceros, una forma de volumen Ω definidaen un entorno de H y la forma de volumen Λ−1 definen orientaciones en elcomplemento de H que coinciden a un lado de H y difieren al otro. Dadacualquier función h ∈ C∞(M) anulándose linealmente en las componentesde H (su grafo es transversal a la sección cero y se anula exactamente en H),definimos M ε(h) = f−1(R − (−ε, ε)), con ε > 0 lo suficientemente pequeñocomo para que M ε(h) contenga al complemento de la unión de los collaresde los H i. Se define también

V εΛ(h) =

∫Mε(h)

Λ−1.

Aquí Λ−1 denota la forma de volumen dual a Λ, y para integrar usamosla orientación dada en M .

La siguiente definición generaliza la dada en [51] para el caso de varie-dades de Poisson de dimensión 2.

Definición 5.1. El volumen regularizado Liouville de Λ se define como

VΛ = limε→0

V εΛ(h),

donde h es cualquier función anulándose linealmente en H.

Es necesario comprobar que el límite existe y es finito y que no dependede la elección de la función h. En realidad, tan sólo tenemos que probarla independencia en la elección de función, pues si esto se cumple podemosusar una función que coincida localmente con la coordenada radial en la queel campo de n-vectores es lineal. Para esta función la existencia del límite(finito) es trivial.


Para comprobar la independencia de la elección de h, fijamos coordenadas(r, x) en un entorno de cada componente H tal que Λ = (−1)n−1r ∂∂r ∧X

HΛ ,

y consideramos dos casos:

1. Asumamos que h(r, x) = g(x)r, con g(x) 6= 0 para todo x ∈ H.La diferencia V ε

Λ(h) − V εΛ(r) se anula para todo ε > 0. El motivo

es que en cada collar tenemos la medida producto, y la integral seobtiene haciendo la media (la integral) sobre las regiones abiertasde H donde g < 1 y g > 1, de las integrales de una la función impar±1r sobre dos intervalos que son simétricos con respecto al origen y

no lo contienen.2. Asumamos ahora que h se anula linealmente en H. Entonces, h −

∂h∂r (0, x)r se anula en la dirección radial hasta al menos orden 2 enlos puntos de H. La compacidad de H implica que para todo x ∈ Hy todo ε > 0, existen constantes k1 y k2 tal que el valor absolutoV ε

Λ(h) − V εΛ(∂h∂r (0, x)r) está acotado por la media sobre H de la

integral de la función ±1r sobre los segmentos [−bε,−aε] ∪ [aε, bε],

donde aε > k1ε y bε − aε < k2ε2. Por tanto, existe una constante k

(independiente de x y r) tal que la integral sobre los segmentos enel radio por x está acotada por kε; esto hace que la integral totaltenga valor absoluto menor que kεTHΛ . Así pues, cuando ε → 0 ladiferencia se anula.

Los periodos modulares y el volumen regularizado determinan la estruc-tura de Nambu:

Teorema 5.2. Para j = 1, 2, sean Mj variedades compactas orientadascon estructuras de Nambu genéricas Λj y lugar de ceros Hj =

⋃i∈I H

ij.

Asumamos que existe un difeomorfismo ψ que envía (M1,H1) a (M2,H2)preservando las orientaciones inducidas en el lugar de ceros. Entonces existeun isomorfismo entre las dos estructuras de Nambu isotópico a ψ, si y sola-mente si las siguientes condiciones se cumplen:

i. Los periodos modulares coinciden, i.e., THi1

Λ1= T

ψHi1

Λ2, ∀i ∈ I,

ii. Los volúmenes regularizados coinciden, i.e., VΛ1 = εVΛ2 , donde ε =1 si ψ preserva la orientación y ε = −1 si invierte las orientacionesde los Mi.

Prueba. Ya sabemos que si los periodos modulares de cada componentecoinciden es posible encontrar collares U i1 y U i2 de las hipersuperficies H i, yun difeomorfismo isotópico a la identidad ϕ que envía (U1,Λ1) a (U2,Λ2),donde Uj =

⋃i∈I U

ij .

H escinde M en las hojas maximales de ambas estructuras, cuya áreacon respecto a cualquiera de las formas duales Λ−1

i es infinita. Para cadahoja L seleccionamos una hipersuperficie H i0 en su frontera y reducimosadecuadamente U i01 o U i02 (recordemos que hay transformaciones canónicasque lo hacen) tal que podemos encontrar subvariedades compactas Wj ⊂ Lque son el resultado de vaciar en L el lado correspondiente del collar de radiodigamos 1

2 (podemos tomar el radio original igual a 1), verificando: (i) el Λ−11 -

volumen de W1 coincide con el Λ−12 -volumen de W2, y (ii) ϕ envía W1 a W2.

6. COHOMOLOGÍA DE NAMBU 159

Finalmente, aplicamos el teorema de Moser para concluir la existencia de undifeomorfismo isotópico a la identidad que hace coincidir las estructuras deNambu en L.

Observemos que cuando modificamos el tamaño de U i01 , estamos cam-biando el volumen tanto de L − U1 como de L′ − U1, donde L y L′ son lashojas cuya frontera contiene a H i0 . Se deduce que podemos hacer coincidirlos campos de n-vectores, además de en los collares de H, en todas las hojasmaximales salvo posiblemente una. Para comprobar esto último tomamos elgrafo dual a la escisión definida por H, en el que cada vértice representa unahoja maximal y un segmento uniendo dos vértices representa la hipersuper-ficie en su frontera común. Este grafo es en realidad un árbol (es contráctil);fijamos un vértice v0 en el árbol y consideramos la distancia (en el sentidode grafos) con respecto a v0. Podemos entonces proceder en etapas, dondeen cada una de ellas consideramos los vértices a la misma distancia, y em-pezando por los más lejanos. Para todos los vértices de la primera etapa,i.e., para las correspondientes hojas maximales, aplicamos el razonamientodel párrafo anterior a la hipersuperficie que representa el único segmento quelo alcanza (no hay ciclos en el árbol). A continuación borramos todos estosvértices y los segmentos incidentes y aplicamos el mismos razonamiento alsubárbol resultante. Continuamos este proceso hasta llegar a los vérticesa distancia 1. Podemos usar todos los segmentos menos uno y quedaránuna hipersuperficie que separa las dos últimas hojas maximales. El hecho deque los volúmenes regularizados coinciden implica que para una determinadaelección de collar las áreas de los correspondientes subconjuntos de las hojascoinciden, con lo que finalizamos la prueba.

El conjunto de estructuras genéricas de Nambu soporta una acción deDiff0(M) (resp. Diff+(M)). Su espacio de órbitas tiene tantas componentesconexas como clases de isotopía (respectivamente clases de difeomorfismo ori-entado) de hipersuperficies orientadas H =

⋃i∈I H

i. El teorema 5.2 da unaparametrización explícita de cada componente conexa del correspondienteespacio de moduli.

6. Cohomología de Nambu

Hay diferentes teorías de cohomología que se pueden asociar a una va-riedad de Nambu (véase [30, 44]). Aquí estaremos interesados en la coho-mología asociada al complejo

0 −→ ∧n−1C∞(M) −→ X(M) −→ Xn(M) −→ 0,donde la primera aplicación es f1 ∧ · · · ∧ fn−1 7→ Xf1,...,fn−1 , mientras quela segunda es X 7→ LXΛ. Nótese que los grupos de cohomología asociadostiene un significado geométrico sencillo:

• H0Λ(M) es el espacio de Casimires de la estructura de Nambu.


• H1Λ(M) es el espacio de automorfismo externos de la estructura de

Nambu.• H2

Λ(M) es el espacio de deformaciones infinitesimales de la estruc-tura de Nambu.

Los cómputos cohomológicos para gérmenes de estructuras de Nambudefinidas por cuasi-polinomios (funciones anulándose en el origen cuyo idealasociado tiene codimensión finita) han sido hechos por Monnier en [44].Aquí estamos interesados en estructuras de Nambu globales con el tipo desingularidad más simple. Los cómputos que vamos a llevar a cabo se puedenentender como una versión infinitesimal del teorema de clasificación; en par-ticular, H2

Λ(M) resultará ser el espacio tangente en el punto (en la clase) [Λ]en el espacio de moduli de estructuras de Nambu genéricas.

El resultado principal de esta sección es el siguiente

Teorema 6.1. Sea Λ una estructura genérica de Nambu en una variedadcerrada orientada M con lugar de anulación H =

⋃i∈I H

i. El grupo H2Λ(M)

tiene dimensión #I + 1 y un conjunto de generadores viene dado por

β1(−1)n−1r∂

∂r∧XH1

Λ , . . . , β#I(−1)n−1r∂

∂r∧XH#I

Λ , Ω,

donde Ω es una forma de volumen, y cada βi es una función de corte consoporte en un collar de la hipersuperficie H i.

Se puede dar una descripción geométrica del isomorfismo H2Λ(M) '

R#I+1 del siguiente modo: cada Θ ∈ Xn(M) es cohomólogo a un campode n-vectores cuyo lugar de anulación contiene a H y es genérico en un en-torno de H. De este modo se puede escribir [Θ] = [gΛ] donde g es unafunción diferenciable que toma el valor constante ci en el collar de cada U i.El isomorfismo es

[Θ] 7−→

(TH

1

Λ

TH1

Θ

, . . . ,TH

#I

Λ

TH#I

Θ

, V H,ΛΘ

),

donde:

(a) THi

Λ

THi

Θ

= ci,

(b) V H,ΛΘ es la integral regularizada de g 1Λ .

El resto de esta sección la dedicamos a la prueba del citado teorema,que se basa en un argumento del estilo “Mayer-Vietoris”: en primer lugarse computan los grupos de cohomología en los collares y a continuaciónse pegan los resultados usando la información acerca de los automorfismosinfinitesimales de la estructura en esos entornos.

6.1. Cómputo de H2Λ(U)

Fijemos H ⊂ H y U = (−1, 1)×H un collar.


Proposición 6.2. H2Λ(U) ' R y un generador es la linealización

(−1)n−1r ∂∂r ∧XHΛ .

Prueba. Cualquier campo de vectores X se puede escribir comoX = A ∂

∂r +XH , donde A ∈ C∞(U), XH ∈ (−1, 1)× TH. DefiniendoΛ0 = (−1)n−1 ∂

∂r ∧XHΛ , se tiene:

LXΛ = AΛ0 + rLXΛ0 =

= (A− r∂A∂r

)Λ0 + (−1)n−1r∂

∂r∧ LXHX

HΛ =

= (A− r∂A∂r

+ rdiv ΩHΛ (XH))Λ0,

donde div ΩHΛ (XH) es la divergencia de XH con respecto a ΩHΛ .

Queremos mostrar que cualquier campo de n-vectores fΛ0 en U es equi-valente a uno lineal. Comenzamos por hacer que se anule en el origen (dela coordenada r) añadiendo L−f ∂

∂rΛ (de modo que se convierte en r ∂f∂rΛ0),

y continuamos llamándolo fΛ0. Asumamos por un momento que se anulaal menos hasta orden 2 en el origen. Podríamos entonces escribir f = r2g.Obsérvese que L−r R

gdrΛ = (−r∫gdr+r

∫gdr+r2g)Λ0 = fΛ0. Escribiendo

f = rf , nos fijamos en el valor c =∫0×H fΩH

Λ ∈ R, y vemos que siempre

se puede encontrar Y ∈ X(H) tal que f|H + divΩHΛ (Y ) = c. El campo den-vectores Λ1 = fΛ0 + LY Λ tiene a cΛ0 como parte lineal constante en H.Finalmente, Λ1 − crΛ0 se anula en H hasta orden al menos 2, por lo que esun coborde.

Aun es necesario demostrar que no existen perturbaciones que envíenuna estructura lineal a otra con un periodo relativo diferente (la constante carriba). Esto equivale a probar que la ecuaciónEc ≡ A−r ∂A∂r −rdiv

ΩHΛ (XH) =cr no tiene soluciones para c = 1. De hecho también necesitamos estudiar laecuación E0 de los automorfismos infinitesimales de Nambu.

Lema 6.3. La ecuación E1 no tiene soluciones y Z1Λ(U), el espacio de solu-

ciones de E0, se puede identificar con el siguiente espacio vectorial:

Z1Λ(U) ≡< r

∂

∂r,XH ∈ (−1, 1)× TH| divΩHΛ (XH(0)) = 0 >

Prueba del lema 6.3. En las ecuaciones Ec el término divΩHΛ (XH) sepuede escribir como ψr, donde ψr, r ∈ (−1, 1) es una familia diferenciable defunciones en C∞(H) que satisfacen

∫H ψrΩ

HΛ = 0, ∀r ∈ (−1, 1). Podemos

pensar en ellas como en datos dados en las ecuaciones. Así, las solucionesde E1 se pueden escribir de modo explícito en la forma:

A = kr + r

∫ψr − 1r

dr, k ∈ R

Cualquier solución ha de ser una continuación diferenciable de la expre-sión anterior, pero ésta no puede existir. En efecto, como ψ0 tiene integralnula, es posible encontrar un punto x en H para el que ψ0(x) = 0. Por tanto,


en un pequeño segmento [−ε, ε]×x la función de variable real r∫ ψr(x)−1

r dr

es, salvo una función diferenciable, rlnr (ni tan siquiera C1).

Esto finaliza el cómputo de H2Λ(U).

Observación 6.4: En cuanto a E0 sus soluciones son de la forma

A = kr + r

∫ψrrdr,

que serán diferenciables si y sólo si ψ0 = 0, o equivalentemente si el corres-pondiente campo de vectores XH(0) tiene divergencia nula con respecto aΩH

Λ . Luego podemos identificar el espacio de soluciones Z1Λ con:

Z1Λ ≡< r

∂

∂r,XH ∈ (−1, 1)× TH| divΩHΛ (XH(0)) = 0 >

6.2. De H2Λ(U) a H2

Λ(M)

El paso que resta es pegar toda la información local. Acabamos de de-mostrar que en la misma coordenada radial en la que Λ se linealiza podemosencontrar un representante Θ de la clase de cohomología tal que Θ|U i =

ci(−1)n−1r ∂∂r ∧ XHi

Λ = ciΛ, donde el periodo relativo THi

Λ

THi

Θ

es ci, pudiendo

muy bien ser cero. En particular para una estructura que no se anule nuncatodos los invariantes locales se anulan, pues sin más que mirar a su n-formadual es evidente que al no anularse podemos empujar su grafo hacia abajo (ohacia arriba) hacia la sección 0, para lograr que se anule en los U i. Podemosllevar a cabo dicha operación sin que cambie el volumen (lo hacemos aleatori-amente y luego multiplicamos por la razón entre los volúmenes resultantes).

También hemos visto que podemos limitarnos a trabajar con cobordesX para los que X|U i es una solución de E0 en las coordenadas radiales. Esnecesario probar que el volumen global regularizado con respecto a Λ estábien definido, lo que equivale a demostrar que el volumen regularizado deLXΛ se anula siempre que X sea un automorfismo infinitesimal de Λ en U i.

Si h es una función que coincide con la coordenada radial en cada U i,M r(h) = M −

⋃i∈I(r, r)×H i. Se tiene:

∫Mr(h)

LXΛ =∫Mr(h)

diX1Λ

= ±∑i∈I

(∫r×Hi

iX1Λ−∫−r×Hi

iX1Λ

)

Y para una componente fija H y X = kr + r∫ divΩHΛ (XH)

r dr ∂∂r + XH , lafunción

∆(r) =∫r×H iX

1Λ vale:


∆(r) = (−1)n−1

∫r×H

1r

(kr + r

∫divΩHΛ (XH)

rdr

)ΩH

Λ = (6.14)

= (−1)n−1

∫r×H

(k +

∫divΩHΛ (XH)

rdr

)ΩH

Λ (6.15)

Dado que divΩHΛ (XH)(0) = 0, la fórmula anterior define una funcióndiferenciable para todo r ∈ [−1, 1]. Su derivada se calcula fácilmente:

d∆dr

= (−1)n−1 d

dr

∫r×H

(k +∫

divΩHΛ (XH)r

dr)ΩHΛ =

= (−1)n−1

∫r×H

divΩHΛ (XH)r

ΩHΛ = 0

La anulación está clara para r 6= 0, y se sigue por continuidad. Luego ∆(r)es constante y V H,ΛΘ está bien definida.

Tan sólo resta probar que dos campos n-vectores Θ1 y Θ2 con iguallinealización y volumen regularizado están en la misma clase. Su diferencia

Θ se anula en un entorno de la frontera de M −U ; la forma 1

Λ(Θ) · 1Λ tiene

soporte compacto (contrayendo los collares si es necesario) e integral nula,por lo que se puede encontrar un campo de vectores Y con soporte compactocuya divergencia es 1

Λ(Θ) · 1Λ . Se sigue que LY Λ = Θ, donde Y extiende a Y

trivialmente.La afirmación acerca de la base de H2

Λ(M) se sigue sin dificultad.

6.3. Algunos comentarios sobre H1Λ(M) y H0

Λ(M)

Centraremos nuestra atención en lo que ocurre en un collar U . Ahínecesitamos la descripción de los campos hamiltonianos para llegar a algunasconclusiones. Dada f ∈ C∞(U) descomponemos en cada punto su derivadadf = ∂f

∂r dr + dHf . El espacio vectorial B1Λ(U) de campos hamiltonianos se

puede describir:

B1Λ(U) = (−1)n−1rXH

Λ (dHf1, . . . , dHfn−1)∂

∂r+

+n−1∑j=1

(−1)n−ir∂fj∂r

XHΛ (dHf1, . . . , ˆdHfj , . . . ., dHfn−1),

con f1, . . . , fn−1 ∈ C∞(U).Luego todos los campos hamiltonianos se anulan necesariamente a lo largo

de H. Para cada H i denotemos mediante Xfree(Hi) al espacio vectorial decampos de vectores con divergencia nula con respecto a la forma de volumenΩHi

Λ . Denotando momentáneamente por ri a la correspondiente coordenadaradial, se tiene el siguiente


Corolario 6.5.

(1) < ri∂∂ri

> ⊕Xfree(H i) ⊂ H1Λ(U i).

(2)⊕i∈I

(< φi ·ri ∂∂ri > ⊕φi ·Xfree(H i)) ⊂ H1Λ(M), donde φi son funciones

de corte con soporte en los collares. Para n ≥ 3 este espacio esclaramente de dimensión infinita.

Prueba. La afirmación sobre los vectores con divergencia nula es evi-dente. En cuanto al tamaño del espacio simplemente observamos que seidentifica con las (n − 2)-formas cerradas en H i que contiene a las exactas.De la descripción de B1

Λ(U) vemos que el coeficiente de r ∂∂r contiene el fac-tor XΛ(dHf1, . . . , dHfn−1), que no puede ser no nulo en cada r × H porcompacidad.

Observamos que el caso n = 2 resulta ser muy especial, y de hechoH1

Λ((−1, 1)× S1) se calcula sin dificultad.

Corolario 6.6. H1Λ((−1, 1) × S1) está generado por el campo modular de

vectores XS1

Λ y por r ∂∂r .

Prueba. XS1

Λ trivializa TS1 de modo queXH = gXS1

Λ , g ∈ C∞((−1, 1)×S1). Se comprueba que

B1Λ = −rXS1

Λ (dS1f)∂

∂r− r∂f

∂rXS1

Λ | f ∈ C∞((−1, 1)× S1)

Z1Λ =

(kr + r

∫XS1

Λ (dS1g)r

dr

)∂

∂r+ gXS1

Λ

,

donde g ∈ C∞((−1, 1)× S1), g|S1 = k1, k, k1 ∈ R.

Así pues, gXS1

Λ − k1XS1

Λ es un cociclo; basta tomar f = −∫ g−k1

r dr.

En general la determinación deH1Λ(U) parece ser un problema muy difícil.

Del mismo modo parece que no es razonable esperar poder calcularH0

Λ(M). Por ejemplo, para n = 3 vemos que Xf,g = 0 implica que df ydg han de ser proporcionales. Si asumimos que f es una función genérica,g tiene que ser constante en sus superficies de nivel. Luego hay tantas elec-ciones para g como el tamaño del anillo de funciones del espacio de hojasM3/f . Ésta es una variedad de dimensión 1 que puede ser muy diferentepara un mismo M3 (se puede construir a partir de una descomposición enasas para M3 mirando como cambia el π0 al añadir asas).

7. UNAS FAMILIAS ESPECIALES DE ESTRUCTURAS DE NAMBU 165

7. Unas familias especiales de estructuras de Nambu

Como hemos visto, el problema de la clasificación de estructuras genéricasde Nambu en una variedad cerrada dada incluye el de la clasificación deciertas disposiciones de hipersuperficies (aquellas disposiciones que provienende ceros de una función). ParaMn se puede considerar el árbol dual a (M,H)y poner un signo más si la orientación del n-tensor en la hoja maximalcorrespondiente coincide con la de M , y un menos en caso contrario. Darlos signos equivale a dar las orientaciones de las hipersuperficies.

Para S2, Radko [51] define Gk(S2) como el conjunto de estructuras genéri-cas de Poisson en S2 con lugar de ceros formado por k curvas.

Un árbol con signos y pesos se define como un árbol al que se le haasignado un signo más o menos a cada vértice, de modo que vértices adya-centes tienen signo opuesto; cada segmento se pesa con un número positivo(el periodo modular), y se asigna un número real a todo el grafo (el volumenregularizado). En el citado artículo se prueba el siguiente:

Teorema 7.1 ([51]). El conjunto Gk(S2) coincide, salvo isomorfismos preser-vando la orientación, con las clases de isomorfismo de árboles con signos ypesos con k + 1 vértices (el isomorfismo ha de preservar el número real quese le asigna al grafo).

El resultado se basa en el hecho de que hay una correspondencia unoa uno entre las disposiciones de k círculos en S2 (de hecho salvo isotopía)y las clases de isomorfismo de árboles con k + 1 vértices (nótese que a unárbol se le pueden poner signos de dos maneras). Es posible encontrar unaisotopía entre dos disposiciones con igual grafo porque, salvo isotopía, elcirculo se sumerge en S2 de modo único descomponiendo S2 en dos discos, yeste resultado admite una conocida generalización a dimensiones superiores.

Teorema 7.2 (Teorema de Schoenflies diferenciable). Cualquier inmersióndiferenciable (sin auto-intersecciones) j : Sn−1 → Sn es la frontera de unabola n-dimensional y por tanto escinde la esfera en dos bolas n-dimensionales.En particular, es isotópica a la inmersión estándar en la que Sn−1 se sumergeen Rn ⊂ Rn ∪ ∞ = Sn como la frontera de la bola euclídea de radio 1.

También es cierto para inmersiones en Rn.

Una consecuencia evidente es el siguiente resultado:

Lema 7.3. Hay una correspondencia uno a uno entre disposiciones de k(n− 1)-esferas en Sn, salvo isotopía, y clases de isomorfismo de árboles conk + 1-vértices.

Definición 7.4. Definamos Gk(Sn) como el conjunto de estructuras genéri-cas de Nambu en Sn cuyo lugar de anulación está constituido por k esferas.


Demos a Sn la orientación usual, de modo que podemos poner signos alos árboles duales. Acabamos de probar la siguiente

Proposición 7.5. El conjunto Gk(Sn) es, salvo isotopía, el mismo que el declases de equivalencia de árboles con k + 1 vértices con signos y pesos.

Conclusiones y futuras líneas de investigación

En esta tesis hemos estudiado diferentes aspectos de tres clases de geome-trías de carácter topológico, estructuras 2-calibradas, estructuras de Poissony estructuras de Nambu. Los resultados de mayor interes han sido aque-llos probados para variedades calibradas compactas. Para ellas hemos de-mostrado la existencia de una geometría aproximadamente holomorfa queda multitud de construcciones topológicas compatibles con la estructura ca-librada: pinceles de Lefschetz, ciclos calibrados, subvariedades determinan-tales e inmersiones en CPm sin autointersecciones y transversales a determi-nadas foliaciones holomorfas de CPm.

Se ha analizado la geometría local de las variedades calibradas, probandola existencia de cartas de Darboux y secciones de referencia localizadas defibrados de línea muy amplios. También se han clarificado algunos aspectosde la propia teoría aproximadamente holomorfa para variedades simplécticas(o casi-complejas pares), como los relacionados con la modificación de laestructura casi-compleja de los fibrados de r-jets pseudo-holomorfos, y laconstrucción de los fibrados no lineales de r-jets de aplicaciones a espaciosproyectivos y sus correspondientes propiedades.

Además de los resultados indicados y matizados de manera detallada enel texto, hay una serie de preguntas y potenciales aplicaciones que surgen demodo natural, principalmente asociadas al estudio de las foliaciones calibra-das.

En primer lugar, y cuando la hojas son variedades complejas, es lógicopreguntarse si es posible deformar las secciones A.H. a secciones holomorfas alo largo de las hojas. La diferencia con el caso par, en la que esto si es posiblees la ausencia en principio de un operador que detecte secciones holomorfas(como el asociado a la métrica Kähler en el caso de variedades pares) conlas propiedades de elipticidad requeridas.

Más concretamente, podemos particularizar a las foliaciones taut en 3-variedades. Para ellas, toda estructura casi-compleja es integrable con loque la pregunta anterior cobra aun más sentido. Es más, los resultados deE. Ghys muestran que es posible desarrollar una teoría significativa parasecciones holomorfas a lo largo de las hojas (véase [21]). En particular, E.Ghys prueba resultados de existencia de aplicaciones holomorfas a CP2 queson inmersiones locales en cada hoja, que es exactamente la misma clasede resultados que nosotros podemos lograr pero con aplicaciones A.H. Sinduda, el estudio profundo de los métodos de Ghys puede arrojar luz sobrecomo lograr dicha perturbación a secciones genuinamente holomorfas, perousando los métodos locales de trabajo (básicamente empleando secciones dereferencia holomorfas) desarrollados en esta memoria.

167

168 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

Creemos que también es necesario un estudio detallado de los aspectoscombinatoriales de los pinceles de Lefschetz para foliaciones taut, pues es-tas estructuras son herramientas potenciales para el estudio de la topologíade foliaciones taut. Sin ser muy concretos, la imagen del enlace de puntossingulares da lugar a una estructura particular de CW-complejo en S2. Suimagen inversa define una superficie con singularidades (la estructura de es-tas autointersecciones se sigue de los modelos locales). Toda la informaciónde la estructura taut está contenida esencialmente en esta superficie singularfoliada (pues su complemento son toros sólidos foliados trivialmente), luegouna caracterización “combinatorial” de estas superficies sería de gran utili-dad. Dado que toda foliación taut admite estructuras de pincel de Lefschetzcompatibles, podríamos ser capaces de reconstruir no sólo la foliación, sinola foliación con una estructura de pincel compatible.

Existen otra clase de aplicaciones que se obtienen de la teoría desarrolladapara las que es suficiente partir de variedades de cuasi-contacto compactas,esto es, variedades M2n+1 dotadas de 2-formas ω cerradas y no degeneradas(y para las que luego se escoge cualquier distribución transversa al núcleo deω como elemento auxiliar). Para ello se construyen aplicaciones n-genéricasφk : M → CPn. Por definición, esta es la dimensión menor para la que nohay puntos base con lo que las aplicaciónes están definidas en todo M . Elpullback de ωFS está en la clase de cohomología de kω, y podemos conside-rarla como una elección de 2-forma en dicha clase con propiedades dinámicasinteresantes. φ∗kωFS degenera a lo largo de una subvariedad estratificada Σk,que es el lugar de degeneración de φk. Aún así hay que tener en cuenta quela interpretación geométrica sólo es cierta en el sentido aproximado. Para lo-grar las interpretaciones usuales es necesario que la aplicación sea holomorfaen un entorno de los correspondientes estratos, lo cual es posible cuando n es1 ó 2 (por ejemplo, para n = 2 hay una 3-variedad Σ1(φk), en la que el rangocae a 2, y dentro de ésta un enlace de puntos Σ1,1(φk), en los que el núcleoes aproximadamente tangente a Σ1(φk)). Esta nueva 2-forma da lugar a unsistema dinámico (en principio no diferenciable) definido como sigue: consi-deramos Xk el campo de vectores en el núcleo de φ∗kωFS , con coorientaciónpositiva y cuya componente a lo largo del núcleo de kω vale 1 en la métricagk. Este campo sólo está definido fuera Σk. Para dar una definición globalmultiplicamos por la única función g ∈ C∞(M) tal que g(kωn) = φ∗kω

nFS

sobre F . La función g tiende a cero al aproximarse a Σk, lo que da una ex-tensión por ceros de gXk. En principio dicha extensión no es necesariamentediferenciable. Si partimos de una 3-variedad con una foliación taut entoncesel campo definido sí es diferenciable. Todavía en dimensión 3 y para una dis-tribución D arbitraria dominada por ω, se comprueba que aunque el campogXk no es necesariamente diferenciable, es posible reescalarlo (usando cartasde Darboux que recubran el divisor Σk y pegando con funciones meseta) paradefinir un campo de vectores diferenciable y proporcional a Xk en el que nohemos añadido puntos fijos. Es de esperar que existan reescalamientos degXk para dimensiones arbitrarias que den lugar a campos diferenciables (ycon los mismos puntos fijos). Es evidente que la existencia de formas nor-males nos facilitaría dicha tarea y daría una descripción del flujo cerca Σk.Sería necesario un estudio cualitativo por medios alternativos de dicho flujo

CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN 169

en la proximidad de Σk. Lo interesante de este flujo es que las trayectoriasson o bien fijas, o bien tienden a Σk (tanto cuando el tiempo tiende a ∞como a −∞), o bien son periódicas. En dimensión 3 está no es sino unainformación obtenida de una estructura de pincel de Lefschetz (en realidadmás debil, pues el pincel también da información sobre el espacio órbitas).Por supuesto, si en vez de comenzar con una estructura de cuasi-contactoempezamos por ejemplo con una foliación calibrada, ademas se tiene quetanto las órbitas no fijas como el lugar de degeneración son transversos a lafoliación.

Obsérvese también que aunque todas las aplicaciones de la teoría A.H.han sido obtenidas para variedades calibradas, de modo deliberado hemosdesarrollado la teoría relativa de modo que sea aplicable no sólo para sim-plectizaciones, sino en situaciones más generales.

Es más o menos evidente que la teoría desarrollada tiene como corolariosinmediatos la existencia de construcciones relativas para subvariedades sim-plécticas o calibradas de variedades simplécticas compactas (en realidad parasubvariedades simplécticas las construcciones relativas se pueden deducir sindificultad de la teoría aproximadamente holomorfa para (M,ω)). Pongamosel siguiente ejemplo: dada (M,ω) una variedad simpléctica compacta (detipo entero) cualquier hipersuperficie orientada Q con un campo de vectorestransverso X definido en un entorno de Q define de modo canónico unaestructura calibrada en Q (la distribución D es el núcleo de iXω). Pode-mos por ejemplo construir pinceles de Lefschetz relativos para la cuarteta(M,ω,Q,X), es decir, pinceles de Lefschetz para (M,ω) que restringen apinceles de Lefschetz en (Q,D, ω|Q) (en realidad sólo hay modelos para lospuntos base en A∩X como puntos base de la estructura de pincel para M).Este caso es especialmente interesante cuando LXω = qω, q ∈ Z, pues Qserá o bien una hipersuperficie de contacto, o bien Poisson (en este últimocaso un fibrado simpléctico por ser [ω] entera). Nótese que la variedad sim-pléctica puede tener frontera no vacía, y la hipersuperficie en cuestion sersu frontera. El ejemplo obvio que tenemos en mente es el de los llenadossimplécticos (“symplectic fillings”) de variedades de contacto.

También existen estructuras de pincel relativo para ternas (M,ω,N),donde N es cualquier subvariedad simpléctica.

Pasando a los contenidos del capítulo segundo, se ha definido una cons-trucción de cirugía para variedades de Poisson, mostrándose como corolariode estas construcciones que el grupo fundamental no obstruye la existenciade estructuras de Poisson. Siguiendo con el espíritu más topológico de estecapítulo, una cuestión que creemos sería interesante investigar es la siguiente:cuando partimos de variedades de Poisson integrables en el sentido de R. L.Fernandes y M. Crainic [11] (por ejemplo de foliaciones calibradas de tipoentero) y la correspondiente suma conexa normal también lo es (ésta a su veztambién es otra pregunta interesante; en cualquier caso, sabemos que paraciertas cirugías calibradas el resultado es también una variedad calibrada ypor tanto integrable), ¿corresponde la construcción del grupoide de Lie (quees una variedad abierta) a alguna clase de cirugía en los respectivos grupoidessimplécticos? Nótese que para abordar esta cuestión contamos como armaprincipal la descripción –más o menos manejable– del grupoide simpléctico

170 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

como un cociente de clases de A-caminos (véase [11] para las definicionescorrespondientes). Lo curioso de la cuestión es que tanto la cirugía de Pois-son como la simpléctica, ocurren a lo largo de subvariedades de codimensión2. Si existe una construcción del grupoide mediante alguna cirugía “simpléc-tica” asociada a los grupoides asociados a los sumandos y a la subvariedadfibrada, esta operación habrá de ser necesariamente nueva por emplear comonexo una “subvariedad” de codimensión 4.

Por último, en el tercer capítulo hemos dado una clasificación de las es-tructuras de Nambu genéricas en variedades orientables. Creemos que en lorelativo a la clasificación de estructuras geométricas sin invariantes locales(o con invariantes fácilmente descriptibles, como es el caso de las estructurasde Nambu genéricas), las cuestiones más interesantes se centran de nuevo enlas estructuras de Poisson (incluso en superficies), pero con singularidadesmás complejas. De hecho, no sólo es intersante la clasificación de las propiasestructuras, sino de otras clases de objetos asociados a ellas. Por ejemplo,incluso para las estructuras de Poisson genéricas, sería interesante describirel espacio de conexiones contravariantes (véase [18]), y más explicitamente,la existencia de estructuras geométicas en dicho espacio (recordemos que elmoduli de conexiones contravariantes para estructuras simplécticas en su-perficies tiene una estructura simpléctica, o de Poisson cuando la frontera esno vacía).

APÉNDICE A

El problema ∂ de Neumann con parámetros

El problema ∂ de Neumann, en principio para dominios Ω ⊂ Cn confrontera diferenciable, plantea la existencia de soluciones y la regularidad delas mismas para la ecuación líneal en derivadas parciales

∂β = α, (A.1)

donde α es una (p, q) forma –en principio de cuadrado integrable– y quenecesariamente ha de ser ∂ cerrada.

La referencia básica que seguiremos en esté apéndice –de entre la muchasexistentes– es el capítulo 7 de [35].

Una primera observación es que si β es una solución y λ es una (p, q −1)-forma con coeficientes holomorfos, β + λ es otra solución. Por tantopara obtener una teoría razonable es necesario elegir de modo canónico una“buena” solución. Una elección lógica es si hay solución, tomar aquella quees ortogonal a las funciones holomorfas en Ω.

Enunciaremos un teorema de existencia, en el que el control de la solu-ción en la frontera de Ω dependerá de la geometría de la misma. Para ellorecordamos que un dominio cerrado Ω es estrictamente pseudo-convexo sisu forma de Levi es definida positiva en todos los puntos (definición 7.4.3en [35]). Igualmente, H(p,q)

s (Ω) denota el espacio de Hilbert de (p, q)-formascon coeficientes en el correspondiente espacio de Sobolev, y ∧p,q(Ω) las (p, q)-formas con coeficientes diferenciables (también en la frontera). El resultadofundamental que vamos a usar es el siguiente.

Teorema A.1. (Teorema 7.9.14 en [35]) Sea q ≥ 1, α ∈ H(p,q)0 (Ω), donde Ω

es estrictamente pseudo-convexo. Entonces existe una única β ∈ H(p,q)0 (Ω)

tal que β es ortogonal al núcleo de ∂ y ∂β = α. Si α ∈ ∧p,q(Ω) entoncesβ ∈ ∧p,q−1(Ω) y se tiene la siguiente estimación fundamental:

|β|s ≤ As|α|s, ∀α ∈ ∧p,q(Ω), (A.2)

donde As no depende de α, y | · |s es la correspondiente norma Sobolev.Llamaremos a β la solución canónica.

Es necesario resaltar que uno de los puntos más delicados es el análisis deganacia de regularidad en la frontera, diferente a la del interior (“hipoelipti-cidad”).

Pretendemos, a partir de este teorema, deducir mediante métodos muyelementales una versión con parámetros del mismo para datos diferenciablesy con estimaciones para normas Ch.

171

172 A. EL PROBLEMA ∂ DE NEUMANN CON PARÁMETROS

Para nuestra aplicación principal Ω es B2n, la bola unidad –que es eviden-temente estrictamente pseudo-convexa– y no necesitamos toda la potenciadel resultado anterior.

En efecto, a partir de φ(z, θ) ∈ C∞(B2n(0, 1+ε)×S1), queremos construirotra función φ′ ∈ C∞(B2n(0, 1− ε)×S1) que sea holomorfa para cada θ fijoy cuya distancia a φ en norma Ch venga controlada por la de ∂φ. Paraello queremos resolver la ecuación A.1 con αθ = ∂φ(z, θ), y emplear la únicasolución βθ dada por A.1 para definir φ′(z, θ) = φ(z, θ)−βθ(z). Es más, comono necesitamos que φ′ esté definida en el mismo dominio que φ, es suficientecon tomar αθ = f∂φ, donde f es una función de corte de modo que αθ tengasoporte compacto en el interior de B2n, con lo que no necesitamos el delicadoanálisis de lo que ocurre en la frontera.

En cualquier caso, veremos que a partir del teorema A.1 se deduce elsiguiente corolario.

Corolario A.2. Sea (P, g) una variedad compacta riemanniana de dimen-sión u, q ≥ 1 y Ω un dominio de Cn estrictamente pseudo-convexo y com-pacto. Sea α(z, t) ∈ ∧p,q(Ω ×M) verificando ∂αt = 0. Entonces existe unaúnica β ∈ ∧p,q−1(Ω×M) tal que βt es ortogonal al núcleo de ∂ y ∂βt = αt.Además, existen constantes Bj, ∀j ∈ N que no dependen de α tal que

|β|Cj ≤ Bj |α|Cj , (A.3)

donde | · |Cj es la suma de las normas del supremo para la forma y sus jprimeras derivadas covariantes. Usamos la métrica producto con factores laeuclídea y g, y las derivadas covariantes se toman usando la correspondienteconexión de Levi-Civita.

Prueba. Definimos β(z, t) de modo que βt sea la solución canónica dadapor el teorema A.1 con dato αt. Simplemente observamos que la unicidadde la construcción hace que obtengamos una función bien definida.

Veremos que una vez probada la diferenciabilidad de β las cotas de A.3se siguen de modo obvio.

Observamos que basta con probar el teorema siendo P un abierto de Ru(con coordenadas t1, ..., tu).

Sea (z′, t′) ∈ Ω×Ru un punto cualquiera. Para probar continuidad de βaplicamos la desigualdad triangular para escribir

|β(z, t)− β(z′, t′)| ≤ |β(z, t)− β(z′, t)|+ |β(z′, t)− β(z′, t′)|.

De la continuidad de βt garantizada por el teorema A.1 se tiene que lacontinuidad de β en (z′, t′) se seguiría de probar que para todo ε > 0 existeun δ > 0 tal que

supz∈Ω|β(z, t)− β(z, t′)| ≤ ε, si |t− t′| ≤ δ. (A.4)

Definamos para cada t ∈ Ru, γt(z) := βt(z) − βt′(z). Es inmediatoverificar que γt : Ω → C es ortogonal a las funciones holomorfas –por serdiferencia de funciones en dicho espacio vectorial– y que ∂γt = αt − αt′ . Enconsecuencia γt es la solución canónica con dato αt−αt′ , por lo que podemos

A. EL PROBLEMA ∂ DE NEUMANN CON PARÁMETROS 173

aplicar las estimaciones fundamentales. En particular, y recordando que | · |sdenotan a las correspondientes cotas Sobolev, para s > n se tiene:

|γt|C0 ≤ Ks|γt|j+n ≤ KsAs|αt − αt′ |s ≤ KsAsVs|αt − αt′ |Cj+n . (A.5)

La primera desigualdad se sigue del teorema de inmersión de Sobolev, lasegunda del teorema A.1 y la tercera es obvia. Por último, αt−αt′ , junto consus derivadas (en las coordenadas de Cn) se anulan para t′. La compacidadde Ω junto con la diferenciabilidad de α hacen que A.4 se satisfaga.

El siguiente paso es probar que ∂β∂tm

, 1 ≤ m ≤ u, existe y es continua.El candidato obvio es la solución canónica con dato ∂α

∂tm. Llamemos β a

dicha solución. Fijemos un t′ ∈ Ru y consideremos la función ζ(z, t) :=βt′ +

∫ tmt′m

β(z, t1, ..., tm−1, v, tm+1, ..., tu)dv. Si demostramos que ζ coincide

con β entonces por el teorema fundamental del cálculo ∂β∂tm

= β. Como β esa su vez una solución canónica, como acabamos de ver será continua. Todoesto demostraría que β es C1 (la existencia y continuidad de las derivadasparciales a lo largo de las direcciones de Cn están garantizadas por el teoremaA.1).

En primer lugar como β es contínua, ∂∫ tmt′m

βdv =∫ tmt′m

∂β(z, v)dv. Por

tanto, ∂ζ = αt′ +∫ tmt′m

∂α∂t dv = αt(z). Además, si F es una función holomorfa

cualquiera, ∫Ω

(∫ tm

t′m

βdv)F dw =∫ tm

t′m

(∫

ΩβF dw)dv = 0,

pues las integrales conmutan por la continuidad de β y F .Luego ζ coincide con β por ser ambas la solución canónica con dato α.En lo que se refiere a las derivadas parciales segundas, aquellas que sólo

involucran las variables zi, zj existen y son contínuas por el teorema A.1. Laexistencia y continuidad de ∂2β

∂zi∂tm, ∂2β∂zj∂tm

y ∂2β∂tq∂tm

, con 1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤q,m ≤ u, se siguen de que ∂β

∂tmes una solución canónica y según acabamos

de demostrary es C1. La continuidad de las derivadas parciales ∂2β∂zi∂zj

, ∂2β∂zj∂zi

es consecuencia de la desigualdad correspondiente a A.5, pero partiendo dela norma | · |C2 en el término más a la izquierda.

La última posibilidad es una derivada del tipo ∂2β∂tm∂zi

ó ∂2β∂tm∂zj

, cuyaexistencia y continuidad se sigue del lema de Schwarz. Recordemos que ensu forma más débil nos asegura que si tanto ∂2β

∂zi∂tm(resp. ∂2β

∂zj∂tm) como ∂β

∂zi

(resp. ∂β∂zj

) existen y son contínuas, entonces ∂2β∂tm∂zi

(resp. ∂2β∂tm∂zj

) existe, es

contínua y coincide con ∂2β∂zi∂tm

(resp. ∂2β∂zj∂tm

). El único ingrediente necesario

es la continuidad de ∂β∂zi

(resp. ∂β∂zj

), y esto se prueba de la desigualdad A.5para normas | · |C2 .

Una vez que hemos demostrado que β es C2, la diferenciabilidad a ór-denes superiores se prueba por inducción, usando la conmutatividad de lasderivadas parciales. En efecto, si asumimos que β es Ch, y tenemos unaderivada parcial de orden h+ 1, ésta puede ser de tres tipos. El primero es

174 A. EL PROBLEMA ∂ DE NEUMANN CON PARÁMETROS

áquel en que no se deriva con respecto a ninguna variable tm, y la existenciay continuidad se sigue del teorema A.1 y la desigualdad correspondiente aA.5 pero partiendo de normas | · |Ch+1 . En segundo lugar tenemos aquellasderivadas parciales para las que se deriva con respecto a una variable tmantes de llegar al orden n + 1. Podemos poner dicha derivada parcial enprimer lugar, y usar que ∂β

∂tmes de clase Ch por inducción. La tercera clase

de derivadas parciales son aquellas en que aparece una única variable tm ylo hace en último lugar. De nuevo podemos aplicar el lema de Schwarz a lacorrespondiente derivada de orden h− 1 de β.

En consecuencia deducimos que la solución canónica β : Ω × Ru → C esdiferenciable.

La existencia de las cotas Bj de modo que A.3 se cumple es obvia, puessiempre que tengamos una derivada parcial de orden j la podremos escribirde la forma ∂jβ

∂za∂zb∂tc, con a, b, c representando ciertos multiíndices. Basta

ahora con considerar el problema ∂ para ∂α∂tc , y aplicar las cotas del teorema

A.1 junto con las provenientes de la inmersión de Sobolev apropiada paraobtener el resultado buscado.

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