N ÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008

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NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

Número complejo en forma binómica

a + bi

a y b reales, i unidad imaginaria

a es la parte realbi es la parte imaginaria

Número complejo a + bi

• Si b = 0 → a + bi = a es real

• Si a = 0 → a + bi = bi es imaginario puro

• Si a = 0 y b = 0 → a + bi = 0 + 0i es el número complejo cero

Unidad imaginaria i

i = -1 i2 = -1

Números complejos conjugados

Tienen la misma parte real y la parte imaginaria de signo contrario

z = a + bi, su conjugado z = a - bi



OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA (I)

Suma de números complejos

Se suman por separado las partes real e imaginaria

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la suma de números complejos

• Asociativa• Conmutativa• Elemento neutro 0 + 0i• Elemento opuesto –(a + bi) = -a -bi

Producto de números complejos

(a + bi)·(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad – bc)i

Propiedades del producto de números complejos

• Asociativa• Conmutativa• Elemento neutro 1 + 0i• Elemento inverso (excepto el cero)• Distributiva respecto de la suma

(a + bi)· [(c + di) + (e + fi)] = (a + bi)·(c + di) + (a + bi)·(e + fi)



OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA (II)

Potencias de i

i0 = 1 i4 = i3·i = 1i1 = i i5 = i4·i = ii2 = -1 i6 = i5·i = -1i3 = i2·i = -i i7 = i6·i = -i ………… ……...........

Las potencias de i se repiten de cuatro en cuatro. Para hallar una potencia de i se divide el exponente entre 4 y se calcula la potencia de i cuyo exponente sea el resto de la división

Potencias de números complejos

(a + bi)n = (a + bi)· (a + bi)· ………………… (a + bi) n veces

Cociente de números complejos

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador

a + bic + di =

a + bic + di ·

c - dic - di =

(ac + bd) + (bc - ad)ic2 + d2 =

(ac + bd)c2 + d2 +

(bc - ad)c2 + d2 i

El producto de un número complejo z y su conjugado z es un número real

z · z = (a + bi) · (a – bi) = (a2 – b2i2) + (ab – ab)i = a2 + b2



FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

• Números reales positivos: argumento 0°

• Números reales negativos: argumento 180°

• Números imaginarios puros bi:

O Si b > 0: argumento 90°O Si b < 0: argumento 270°

Forma polar de z

Un número complejo z= a + bi se expresa en su forma polar o módulo argumental z = mα donde m es el módulo y el argumento de z, respectivamente.

Características de números complejos en forma polar

• mα = m’β m = m’ y α = β + k · 360° k entero

• El complejo conjugado de mα es m-α = m360°- α

El complejo opuesto de mα es mα + 180°

z= a + bi P (a, b)

• Módulo de z: m = |z| =

• Argumento α de z : tg α = ba

a2 + b2



FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

¡OJO!

Paso de forma trigonométrica a forma polar de:

z = m (cos α - i sen α) = m [cos (- α) + i sen (- α)] = m-α

ya que cos α = cos (–α) y sen α = - sen (- α)

Forma trigonométrica de z

cos α = a = m cos α

sen α = b = m sen α

z = a + bi = (m cos α) + (m sen α) i = m (cos α + i sen α)

am

bm



OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Producto de números complejos

mα · m’β = (m · m’) α+β

Potencias de números complejos

(mα)n = mnnα

En forma trigonométrica se cumple:

(mα)n = [m (cos α + i sen α)]n

mnnα = mn [cos (nα) + i sen (nα)]

De donde se deduce la fórmula de De Moivre:

(cos α + i sen α)n = [cos (nα) + i sen (nα)]

Radicación de números complejos

Buscamos la raíz n-ésima rθ de mα que cumple:

(rθ)n = mα rnnθ = mα

• Módulo rθ : rn = m r =

• Argumento rθ : nθ – α = k·360° θ =

Por tanto, todas las raíces n-ésimas de un número complejo son:

α + k·360n

nm α= ( m) α+k ·360 con k = 0,1,…,n-1

n

n

nm

Cociente de números complejos

= mα m

m’β m’ α-β ( )

Inverso de un número complejo

1 10 1 1 1mα mα m 0-α m -a m 360°-a

= = = =( ) ( ) ( )

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