1

Trabajo Resistencia de Materiales

Efectos de un esfuerzo sobre una

muestra de material

Alumno: Gonzalo Muñoz M.

Ayudante: Jaime Yavara

Profesor: Alejandro Saez

Resistencia de Materiales

Fecha de

entrega: 25-04-2013

2

La información contenida en los párrafos que siguen, es de vital utilidad para todo

aquel que pretenda comprender los principales índices del comportamiento de un

material sometido a una fuerza. Razón por la cual se recomienda la lectura a aquellos que

pretendan comenzar algún estudio más profundo sobre reacciones a esfuerzos.

Se espera llegar al lector, y generar una comprensión de los conceptos básicos que

lo prepararan para conocer de mejor manera a la resistencia de materiales.

Resumen ejecutivo

A lo largo de este informe se analizan mediciones realizadas en el sector de

Estación Central, en dependencias de la Universidad de Santiago de Chile. Si bien este

estudio presenta un fin pedagógico, se estudiarán y explicarán las diferentes relaciones

que se pudieran presentar entre los resultados numéricos obtenidos. Fue necesario un

desarrollo matemático para poder interpretar de manera útil y productiva aquellos

valores que de manera primitiva no nos permitían llegar a ninguna conclusión de utilidad.

3

Índice

Objetivos…..……………………………………………………………………………………………………………………………… 4

Introducción……………………………………………………………………………………………………………………………… 5

Marco teórico…………………………………………………………………………………………………………………………... 6

Desarrollo experimental…………………………………………………………………………………………………………… 7

Cálculos y resultados………………………………………………………………………………………………………………… 8

Ejercicio de aplicación..…………………………………………………………………………………………………………….. 9

Conclusión………………………………………………………………………………………………………………………………. 11

Referencia bibliográfica….……………………………………………………………………………………………………….. 12

4

Objetivos

Como objetivo principal de este informe es lograr aplicar de manera práctica y eficiente las

herramientas teóricas adquiridas en la clase de Resistencia de Materiales, a manera de comprobar

experimentalmente como todas las leyes y relaciones aprendidas suelen cumplirse a la hora de

analizar una muestra problema.

Se espera además acercar el estudio de la mecánica de materiales a la realidad de la

carrera de Ingeniería en Minas.

5

Introducción

Sea cual sea el segmento laboral, siempre es importante conseguir la mayor

producción posible de nuestros trabajadores. La mejor forma de lograr esto, es proveerlos

de un ambiente laboral seguro, a manera de liberarlos de preocupaciones vanas.

Situaciones tan simples como una estructura mal sostenida, o algún sector mal diseñado

pueden ser evitadas mediante un simple análisis.

Además, la seguridad no es simplemente un tema obvio, también existen leyes y

normas que deben ser cumplidas a la hora de tener un grupo de gente realizando labores

en algún lugar determinado. Es por esto, que constantemente se realizan estudios sobre

las condiciones de los materiales que conforman nuestro lugar de trabajo, sobre todo en

el ámbito que nos incumbe, la minería.

Este informe servirá como puntapié inicial para lograr comprender los conceptos

básicos que se han de manejar en el estudio de la mecánica de materiales, para resolver la

incógnita de cómo conseguir un espacio laboral seguro, y cada vez más presto al

desarrollo productivo.

¿Por qué estudiar Resistencia de Materiales?

Podemos decir que las teorías de la Resistencia de Materiales tienen como objetivo

estudiar el comportamiento de los sólidos deformables y establecer los criterios que nos

permitan determinar el material más conveniente, la forma y las dimensiones más

adecuadas que hay que dar a estos sólidos cuando se les emplea como elementos de una

construcción o de una máquina para que puedan resistir la acción de una determinada

solicitación exterior, así como obtener este resultado de la forma más económica posible.

Se desprende, asimismo, la necesidad que se tiene en esta rama de conocer las

características mecánicas de los materiales y, en consecuencia, la importancia que tiene

en esta ciencia el método experimental, es decir, los ensayos en el laboratorio que nos

conducen a la determinación, por prueba y error.

Entendiendo esta importancia, notemos lo trascedente que es para un Ingeniero

en Minas el pleno conocimiento de este comportamiento del material, ya que de este

manejo de la composición y desempeño del lugar de trabajo dependen las vidas de todos

aquellos que se encuentren en contacto con la construcción.

6

Marco teórico

Tal como se anunció anteriormente, se estudiarán las propiedades elásticas de los

materiales y cómo reaccionan estos al ser sometidos a un esfuerzo. Definimos esfuerzo, como la

fuerza aplicada por unidad de área:

La reacción del material a un esfuerzo, suele ser la deformación, sea esta una compresión

o una tensión, generando que el cuerpo se acorte, o se estire, respectivamente. Además de estas

dos, podemos destacar los esfuerzos normales y esfuerzos de corte.

Los esfuerzos normales son aquellos en que la fuerza aplicada es perpendicular con el área

de interés, y los esfuerzos de corte son aquellos en la fuerza no es perpendicular al área. Luego

definimos el concepto de deformación unitaria como la deformación sobre el largo total del

cuerpo:

Para estudiar el estiramiento, revisaremos también la Ley de Hooke, la cual

establece que la deformación unitaria que experimenta un material elástico es

directamente proporcional a la fuerza aplicada:

Definiremos el módulo de Young, para materiales elásticos lineales como:

Presentamos también el coeficiente de Poisson, como una constante elástica que

proporciona una medida del estrechamiento de sección de un material elástico lineal

cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la

de estiramiento:

Este coeficiente es adimensional y todos los valores estarán dentro del intervalo (-

1; 0,5)

7

El módulo de cizalladura (G) es una constante elástica que caracteriza el cambio de

forma que experimenta un material elástico (lineal e isótropo) cuando se aplican esfuerzos

cortantes. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de elasticidad transversal

tiene el mismo valor para todas las direcciones del espacio.

El módulo de compresibilidad (K) de un material mide su resistencia a la

compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar

una disminución unitaria de volumen dada.

La resistencia máxima a la compresión presentada por un cuerpo, se calculará

mediante una relación, donde el 25% de la carga mínima se llevará a un 100%, luego el

75% de la carga máxima se llevará a un 100%, y se realizará la media aritmética entre

estos dos valores obtenidos.

Desarrollo experimental

Los datos con los cuales se realiza el análisis de esta experiencia fueron

conseguidos de manera indirecta, es decir, no se participó su obtención en el laboratorio.

Los valores de las cargas y las deformaciones fueron entregados mediante un archivo de

texto (.txt) y uno de Excel (.xls) respectivamente.

Se nos informó que la máquina que medía las cargas, generaba un dato

aproximadamente diez veces por segundo, mientras que la otra no lo realizaba tan rápido,

por tanto se procedió a seleccionar el último valor del segundo correspondiente, y a calzar

con las deformaciones. Como solo nos interesan las compresiones, despreciaremos los

valores positivos, y utilizaremos el módulo de aquellos que se presentan negativos.

Por razones técnicas el archivo que indica la carga de ruptura de la muestra

presentaba una columna intercalada con KN y JN, solo se utilizaron aquellos en KN.

8

Cálculos y resultados

Como los cálculos a realizar son repetitivos, se seleccionará una muestra y sus

respectivos valores para calcular de manera representativa e ilustrar el cómo se obtuvo

cada una de las medidas posteriores.

Lo primero que calcularemos será el esfuerzo,

Como ya conocemos la deformación unitaria, procedemos a realizar un gráfico que

relacione ambos, y por las condiciones del material, hacemos el ajuste lineal respectivo de

la curva obtenida.

Calcularemos el módulo de Young para cada uno de los valores de la muestra, y

estimaremos un promedio representativo:

De la misma manera, al estudiar la gráfica vemos como la pendiente de la recta

deformación-esfuerzo, representa el ajuste lineal y un valor equivalente al del módulo de

Young, modelándola según la Ley de Hooke, obteniéndose .

Posterior a esto, nos disponemos a calcular el coeficiente de Poisson, mediante el

estudio de la gráfica de la deformación axial y la deformación transversal

y = 30000000x - 5000000

0

10000000

20000000

30000000

40000000

50000000

60000000

0,0000000,0002000,0004000,0006000,0008000,0010000,0012000,0014000,0016000,0018000,002000

Deformación unitaria vs Esfuerzo

9

Notemos que la pendiente de nuestra recta representa al coeficiente de Poisson.

Entonces diremos , sabemos también que G, o módulo por elasticidad de

corte viene dado por la relación:

Ahora procedemos a calcular el módulo de compresibilidad (K)

Ejercicio de aplicación

Asumiendo que nuestra muestra es representativa de la roca que compone el crown pillar,

procederemos a utilizar la relación ya anunciada en el marco teórico. Diremos que el esfuerzo

mínimo representa un 25% de un total de 100%, luego el esfuerzo máximo un 75% de un total de

100%. Posterior a esto, calcularemos la media aritmética entre los dos valores obtenidos

y = 0,3028x - 2E-05

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0000000,0002000,0004000,0006000,0008000,0010000,0012000,0014000,0016000,0018000,002000

D.U. Axial vs D.U. Tangencial

10

Dada una malla de explotación de 15 x 20 m², en tipo teniente, lo que implica un factor

que dobla el lado de la malla, y 15 zanjas, debemos calcular el área total abarcada, y restar el área

total de las bases de las zanjas, que asumiremos de 15x10 m².

Ahora mediante la fórmula de esfuerzo, despejamos la carga sobre el Crown Pillar,

Siendo la carga que soportaría aproximadamente el Crown Pillar.

11

Conclusión

El valor obtenido para el módulo de Young del material fue de , y el punto de

fractura se presenta a los

. El coeficiente de Poisson se presentó dentro del

rango aceptable , los demás valores obtenidos son

G =

Interpretando G, podemos deducir que para variar el volumen de nuestro material en un

x%, se requiere aplicar

La carga aproximada que soportaría el crown pillar estudiado antes de colapsar

es .

12

Referencias bibliográficas

L. Ortiz Berrocal, Elasticidad, ed. McGraw-Hill, Madrid, 1998.

S. Timoshenko, Resistencia de Materiales. Primera parte, 1957.

http://es.wikipedia.org/wiki/Módulo_de_Young#Enlaces_externos. Visto 25/04/13 2:26