2ObjetivosEn esta quincena aprenders a:

Mltiplos y divisores

Antes de empezar 1.Mltiplos y divisores ................... pg. 22Mltiplos de un nmero La divisin exacta Divisores de un nmero Criterios de divisibilidad

Saber si un nmero es mltiplo de otro. Reconocer las divisiones exactas. Hallar todos los divisores de un nmero. Reconocer los nmeros primos. Descomponer un nmero en sus factores primos. Hallar el mnimo comn mltiplo de varios nmeros. Hallar el mximo comn divisor de varios nmeros. Resolver problemas sencillos aplicando estos conocimientos.

2.Nmeros primos ........................ pg. 24Nmeros primos y compuestos Obtencin de nmeros primos Descomposicin factorial

3.m.c.m. y m.c.d. ......................... pg. 26El mnimo comn mltiplo Obtencin del m.c.m. El mximo comn divisor Obtencin del m.c.d.

4.Aplicaciones .............................. pg. 27Problemas de aplicacin

Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor

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Mltiplos y divisoresAntes de empezar

Esta cascada de nmeros se transforma despus en un baile. Los nmeros que bajan, al llegar al centro comienzan un movimiento circular, cada nmero segn su valor, de manera que, al completar un ciclo, un nmero se encuentra con un mltiplo suyo. Segn ello podemos distinguir cuatro clases de nmeros: o o o o El nmero 0, que sigue su camino recto, ajeno a todo, y desaparece. El nmero 1, que incide sobre cada nmero de los que bajan. Los nmeros que al llegar al centro coinciden solamente con el nmero 1. Hacen sus ciclos por la izquierda. Son los nmeros primos. Los nmeros que, al llegar al centro coinciden con algn otro nmero adems del 1, hacen sus ciclos por la derecha. Son los nmeros compuestos.

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Mltiplos y divisores1. Mltiplos y divisoresLos mltiplos de un nmeroLos mltiplos de un nmero natural son los nmeros naturales que resultan de multiplicar ese nmero por otros nmeros naturales. Decimos que un nmero es mltiplo de otro si lo contiene un nmero entero de veces. Los 50 primeros mltiplos de 7:0 35 70 105 140 175 210 245 280 315 7 42 77 112 147 182 217 252 287 322 14 49 84 119 154 189 224 259 294 329 21 56 91 126 161 196 231 266 301 336 28 63 98 133 168 203 238 273 308 343

El nmero 0 solamente tiene un mltiplo, que es el 0. Los dems nmeros naturales tienen infinito nmero de mltiplos. El nmero 0 es mltiplo de todos los nmeros. Todos los nmeros son mltiplos de 1.

La divisin exacta de nmeros naturalesAl dividir dos nmeros naturales puede suceder que su resto sea 0, eso es porque el dividendo es mltiplo del divisor, decimos que es una divisin exacta. Si el resto es otro nmero mayor que 0 la divisin no es exacta. El dividendo no es mltiplo del divisor. Divisin exacta es la que tiene de resto 0.

42 0

7 6 39 7

Divisin exacta, 42 es mltiplo de 7

La divisin no es exacta, 39 no es mltiplo de 8

8 4

Los divisores de un nmeroLos divisores de un nmero natural son los nmeros naturales que le pueden dividir, resultando de cociente otro nmero natural y de resto 0. Ser divisor es lo recproco a ser mltiplo. Si 9 es mltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 9. Un nmero a es divisor de un nmero b si la divisin de b entre a, es exacta. Cada nmero tiene una cantidad concreta de divisores. A la derecha puedes ver algunos ejemplos.

Los divisores de 60 son: 1 5 15 2 6 20 3 10 30 4 12 60

tiene 12 divisores

Los divisores de 24 son: 1 6 2 8 3 12 4 24

tiene 8 divisores

Solamente el 0 tiene infinito nmero de divisores, ya que todos los nmeros son divisores de 0. El nmero 1 tiene solamente un divisor. El 0 y el 1 son nmeros especiales.

Los divisores de 73 son: 1 73Slo tiene 2 divisores, el 1 y l mismo

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Mltiplos y divisoresCriterios de divisibilidadEl nmero 1650 Acaba en 0, es mltiplo de 2 Sus cifras suman 1+6+5+0=12, es mltiplo de 3 Acaba en 0, es mltiplo de 5 Tambin es mltiplo de 10 1+5=6, 6+0=6, y 6-6=0 es mltiplo de 11 El nmero 49275 4+9+2+7+5=27, es mltiplo de 3 y tambin de 9. Acaba en 5, es mltiplo de 5

Podemos saber fcilmente si un nmero es divisible por otro sin necesidad de hacer la divisin, observando estas caractersticas:

Los mltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8. En los mltiplos de 3 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta tambin un mltiplo de 3. Los mltiplos de 5 terminan en 0 5. En los mltiplos de 9 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta tambin un mltiplo de 9. Los mltiplos de 10 terminan en 0. En los mltiplos de 11 si sumamos los valores individuales de las cifras que estn en posiciones par, aparte sumamos los valores individuales de las cifras que estn en posiciones impar, restamos esas cantidades nos da un mltiplo de 11, el 0 tambin lo es.

EJERCICIOS resueltos1. Cules de los siguientes nmeros son mltiplos de 6? 33, 54, 9, 88, 68, 6, 89, 53, 73, 77, 42, 3.Solucin: Son mltiplos 54, 6 y 42. 33, 9, 88, 68, 89, 53, 73, 77, y 3.

No son mltiplos

2.

Busca los 9 divisores de 36. Solucin: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.

3.

Cules de los siguientes nmeros son divisores de 48? 4, 7, 6, 35, 10, 8, 24, 1, 3, 17, 21, 12. Solucin: Son divisores 4, 6, 8, 24, 1, 3, 12. No son divisores 7, 35, 10, 17, 21.

4.

El nmero 74652, es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11? Solucin Es divisible por 2, 3, 4, y 6. No es divisible por 5, 8, 9, 10 y 11.

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Mltiplos y divisores2. Nmeros primos y compuestosNmeros primos y nmeros compuestosAl comprobar cuntos divisores tienen los nmeros observamos que: El 1 es el nico nmero que solamente tiene un divisor, por eso es un nmero especial. El 0 tiene infinito nmero de divisores, ya que todos los nmeros son divisores de 0, tambin es un nmero especial. Los dems nmeros pueden ocurrir dos casos que tengan slo 2 divisores, el 1 y el mismo nmero, o que tengan ms.

601 es un n primo. 602 es un n compuesto,se puede vivir por 2.

603 es un n compuesto,se puede dividir por 3.

604 es un n compuesto,se puede dividir por 2.

605 es un n compuesto,se puede dividir por 5.

Los nmeros primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo nmero primo. Los nmeros compuestos son los que tienen ms de dos divisores, son los ms frecuentes.

606 es un n compuesto,se puede dividir por 2 y por 3.

607 es un n primo. 608 es un n compuesto,se puede dividir por 2.

Obtencin de nmeros primosNo existe un mtodo directo para sistemticamente todos los nmeros primos. obtener

609 es un n compuesto,se puede dividir por 3.

610 es un n compuesto,se puede dividir por 2, 5 y 10.

Para poder afirmar que un nmero es primo debemos comprobar que ese nmero no es mltiplo de los primos menores que l, nos basta comprobarlo con los menores que la raz cuadrada.

611 es un n compuesto,se puede dividir por 13.

dejamos, pero a partir de l contamos de 2 en 2 y tachamos los nmeros que sean mltiplos de 2. b) El primer nmero de los que quedan es el 3, lo dejamos y desde el nmero 3 eliminamos, contando de 3 en 3, los nmeros que sean mltiplos de 3. c) El siguiente nmero de los que quedan es el 5, lo dejamos y desde el nmero 5 eliminamos los nmeros que sean mltiplos de 5. d) As vamos avanzando, cuando llegamos a un nmero que no ha sido eliminado lo dejamos, pero a partir de l eliminamos los nmeros que sean sus mltiplos. As hasta el final. Habrn quedado solamente nmeros primos.

La Criba de Eratstenes es un procedimiento para obtener los primeros nmeros primos. Se colocan en un cuadro los nmeros naturales a partir del nmero 2. a) Comenzamos por el nmero 2, lo

En el recuadro puedes ver los nmeros primos menores que 100.

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Mltiplos y divisoresDescomposicin factorial de 220220 es divisible por 2 220:2 = 110 1100 es divisible por 2 110:2 = 55 55 es divisible por 5 55:5=11 220=2110 220=2255 220=22511 220=225111

Descomposicin factorial de un nmeroDescomponer un nmero en factores es ponerlo como producto de factores primos. Se procede de la manera siguiente: Dividimos el nmero por el primer nmero primo que podamos. El cociente que haya resultado lo colocamos bajo el nmero. Si podemos seguimos dividiendo sucesivamente ese cociente por el mismo nmero primo. Cuando no podamos hacer la divisin por ese nmero primo lo hacemos por el siguiente primo que se pueda. As sucesivamente hasta que el cociente final sea 1. Finalmente ponemos ese nmero como producto de potencias de factores primos. un

11:11=1

11 es divisible por 11

Se dispone as:

220 220:2 110 110:2 55 55:5 11 11:11 1

2 2 5 11

220=22511

EJERCICIOS resueltos5. Indica si estos nmeros son primos o compuestos. 76, 51, 23, 60, 72, 47, 36, 64, 21, 30, 53, 49.Solucin Son primos 23, 47 y 53. Son compuestos 76, 51, 60, 72, 36, 64, 21, 30 y 49.

6.

Descompn factorial del nmero 31164.Solucin: 31164= 22 3 72 53.

7.

Halla el mnimo comn mltiplo de 6 y 8.Descompuestos en factores son: 6= 2 3 8= 23 Solucin: m.c.m.(6, 8)= 24

8.

Halla el mnimo comn mltiplo de 15, 9 y 10.Descompuestos en factores son: 15= 3 5 9= 32 10= 2 5 Solucin: m.c.m.(15, 9, 10)= 2 32 5 = 90

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Mltiplos y divisores3. Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisorMnimo comn mltiploEl mnimo comn mltiplo de varios nmeros, a, b, c, etc., es el nmero ms pequeo que es mltiplo de todos esos nmeros, sin considerar el 0. Se escribe m.c.m. (a, b, c, )

Calcular el m.c.m y el m.c.d.Comenzamos por descomponer los nmeros en factores primos: 12 2 6 2 3 3 1 30 2 15 3 5 5 1

EJEMPLO:

m.c.m. de 12 y 30

Mltiplos de 12 12, 24, 36, 48, 60, 72, 96, 108, 120, Mltiplos de 30 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, Hay muchos ms nmeros que son a la vez mltiplos de 12 y de 30, pero el menor de todos es 60. m.c.m (12,30)= 60

12=223

30=235

m.c.m (12,30) = 2235 = 60 m.c.d (12,30) = 23 = 6 El mnimo comn mltiplo de varios nmeros es el producto de los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. El mximo comn divisor de varios nmeros es el producto los factores comunes elevados al exponente menor.Los nmeros que no tienen divisores comunes (salvo el 1), se llaman primos entre s. Por ejemplo el 72 y el 55, el 8 y el 9, el 15 y el 16.

Mximo comn divisorEl mximo comn divisor de varios nmeros a, b, c, etc., es el nmero ms grande que es divisor de todos esos nmeros. Se escribe m.c.d. (a, b, c, )

EJEMPLO:

m.c.d. de 12 y 30

Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores de 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 1, 2, 3 y 6 son divisores de 12 y de 30, el mayor es el 6. m.c.d (12,30)= 6

EJERCICIOS resueltos9. Halla el m.c.d. de 64 y 100Descompuestos en factores son: Solucin m.c.d.(64, 100) = 22 = 4 64 = 26 100 = 22 52

10.

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de 15 y 18, despus multiplcalos. Efecta tambin el producto 1518, qu observas?Solucin: m.c.d.(15, 18)=3 m.c.m.(15, 18)=90 Su producto = 18 15 = 270 El producto de su m.c.d. por su m.c.m. = 3 90 = 270

11.

Los nmeros 8 y 21 no tienen divisores comunes, son primos entre s. Cul es su m.c.m.?.Solucin: Si no tienen factores comunes, su m.c.d. es 1. Su m.c.m. es su producto = 821= 168

12.

Busca dos nmeros primos entre si cuyo producto sea 72.Solucin: Si no tienen factores comunes, su m.c.d. es 1. Su m.c.m. es su producto = 89= 72

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Mltiplos y divisores4. Problemas de aplicacin1) Tengo una coleccin de minerales, guardados cada uno en una cajita cuadrada, todas iguales. Deseo poner esas cajitas en exposicin de manera que formen un rectngulo completo. De cuntas maneras lo puedo hacer? Cul es la disposicin que ms se parece a un cuadrado?Los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 Puedo poner las cajitas en rectngulos de las siguientes maneras: 1x30 2x15 3x10 5x6 30x1 15x2 10x3 6x5 Cualquiera de estas dos disposiciones es la ms cuadrada

2) Estas ruedas dentadas forman un engranaje. Cuntos dientes de cada rueda deben pasar para que vuelvan a coincidir los puntos sealados en color rojo?. Cuntas vueltas habr dado cada una de las ruedas?12 dientes 8 dientes

La rueda azul tiene 8 dientes, la amarilla 12. El nmero de dientes que deben pasar para que vuelvan a coincidir es un mltiplo de 8 y de 12, adems el menor de los mltiplos comunes. 8=23 12=223 mc.m. (8,12)=233=24 Los puntos rojos volvern a coincidir cuando hayan pasado 24 dientes. La rueda azul habr girado 24:8 = 3 vueltas. La rueda amarilla habr girado 24:2 = 2 vueltas.

3) Tengo cuentas de colores para formar collares, hay 120 azules, 160 rojas y 200 blancas. Quiero montar collares lo ms grandes que sea posible, cada collar con el mismo nmero de cuentas sin que sobren y sin mezclar colores. Cuntas cuentas debo emplear en cada collar?. Cuntos collares puedo hacer de cada color?.Si no pueden sobrar cuentas de ninguno de los tres colores, el nmero de cuentas que debo emplear es un divisor de 120, 160 y 200. Como adems quiero hacerlos lo ms grandes que se pueda ser el m.c.d. 120=2335 160=2553

200 = 2352

m.c.d. (120,160,200)=2 5=40 40 cuentas emplear en cada collar Puedo hacer 120:40=3 collares azules, 160:40=4 collares rojos, 200:40=5 collares blancos.

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Mltiplos y divisoresPara practicar

1. Es 176 mltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

11. Halla el mnimo comn mltiplo de:

9, 41?Aplica los criterios de divisibilidad o realiza la divisin para ver si el resto es 0. o o Divisibilidad por 2 o por 5 que la ltima cifra lo sea. Divisibilidad por 3 o por 9 que la suma de las cifras lo sea.

a) 72, 60. b) 150, 90 c) 9, 24, 6 d) 36, 15, 4Es conveniente que primero hagas la descomposicin factorial de esos nmeros.12. Halla el mximo comn divisor de:

2. Es 198 divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 41?3. Escribe los 10 primeros mltiplos de

a) 72, 24 b) 56, 81 c) 84, 108, 36 d) 54, 60, 18Es conveniente que primero hagas la descomposicin factorial de esos nmeros.

8.4. Escribe los mltiplos de 12 menores

que 100.5. La descomposicin en factores primos

de 15000 es divisores tiene?

23354.

Cuntos

M.c.d. o m.c.m.?13. Ana viene a la biblioteca del instituto,

Para ello hacemos la descomposicin en factores primos, aumentamos en uno a cada uno de los exponentes. El producto de esos exponentes aumentados es el nmero de divisores.6. Cuntos divisores tiene el nmero

abierta todos los das, incluso festivos, cada 4 das y Juan, cada 6 das. Si han coincidido hoy. Dentro de cuntos das vuelven a coincidir? 27 azules y 42 rojas y quieren hacer el mayor nmero posible de hileras iguales. Cuntas hileras pueden hacer? de 10 dm de largo y 6 de ancho, en cuadrados lo ms grandes posibles y cuyo lado sea un nmero entero de decmetros. Cul debe ser la longitud del lado?

14. Mara y Jorge tienen 30 bolas blancas,

810?

7. Halla los divisores de 6728

6728=23292 Calcula primero el nmero de divisores, resultar ms fcil.8. Halla los divisores de 147. 9. Decide

15. Un ebanista quiere cortar una plancha

razonadamente primo o no.247 son los menores que 5, 7, 11, 13.

si

247

es

Los posibles primos que pueden dividir a247 son 2, 3,

16. La alarma de un reloj suena cada 9

10. Decide

razonadamente primo o no.

si

131

es

minutos, otro cada 21 minutos. Si acaban de coincidir los tres dando la seal. Cunto tiempo pasar para que los tres vuelvan a coincidir?

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Mltiplos y divisoresPara saber msCuntos nmeros primos hay?En qu proporcin estn los nmeros primos respecto al total de nmeros naturales?Los nmeros primos son bastante frecuentes entre los primeros nmeros naturales, pero conforme vamos a nmeros grandes, escasean los nmeros primos, ello nos poda hacer pensar que a partir de cierto nmero ya no haya ms nmeros primos. Para resolver esta duda hagamos este razonamiento, que ya hicieron los antiguos griegos:Si la cantidad de nmeros primos fuera concreta podramos multiplicarlos todos ellos, obtendramos el nmero m. El nmero m, lgicamente sera compuesto, pero el nmero que le sigue m+1 al ser dividido por cualquier nmero primo dara de resto 1 por tanto no sera mltiplo de ninguno de ellos, es decir sera primo. Luego siempre podemos obtener otro nmero primo ms, o sea que el conjunto de nmeros primos es ilimitado.

Soy perfecto!Qu es un nmero perfecto?Se dice que un nmero es perfecto cuando es igual a la suma de sus divisores, excepto l mismo. Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6 1+2+3=6 El 6 es un n perfecto. Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14, 28 1+2+4+7+14=28 28 tambin es perfecto. El siguiente nmero perfecto es el 496. Te atreves a comprobarlo?. Despus viene el 8128, el 33550336 y el 8589869056, fjate que acaban en 6 o en 8. Ya Euclides descubri una frmula para calcular nmeros perfectos: 6=23=21(22-1) 28=47=22(23-1) 496=1631=24(25-1) 8128=64127=26(27-1) Pero cuidado no se cumple para todas las potencias de 2 sino slo cuando 2n-1 es un nmero primo, un primo de Mersenne!.

Cul es el mayor nmero primo conocido?Pues hasta la fecha, este que tiene nada menos que 12.978.189 de dgitos!, por lo que obviamente no se puede escribir aqu.

243112609 - 1 =3164702693302559231480022181166697152511

Fue descubierto el 23 de agosto de 2008 en la Universidad de California y su descubridor gan el premio de 100.000 dlares, ofrecido por la EFF al primero que consiguiese un primo con ms de 10.000.000 de dgitos. Hace el n 46 de la lista de primos de Mersenne, aunque el n 45 fue descubierto 2 semanas ms tarde. En la actualidad hay un premio de 150.000 dlares para el primero que consiga un n primo con ms de 100.000.000 de cifras, as que nimo!.

Este nmero primo pertenece a los llamados primos de Mersenne, que son nmeros primos de la forma

2n-1Deben su nombre a Marin Mersenne, fraile franciscano que en 1644, enunci que estos nmeros eran primos para determinados valores de n. As los nmeros primos y los nmeros perfectos estn relacionados. 29

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Mltiplos y divisoresRecuerda lo ms importanteLos mltiplos de un nmero son los que resultan de multiplicar ese nmero por cualquier nmero natural.Ejemplo: mltiplos de 7={0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... } La divisin exacta es aquella cuyo resto es 0, el dividendo es mltiplo del divisor. Es exacta. 48:8 = 6

Los divisores de un nmero son aquellos que le pueden dividir, su divisin es exacta. Todos los nmeros naturales son divisores de 0.Ejemplo: los divisores de 18 son seis D(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}

48 es mltiplo de 8 8 es divisor de 48

El nmero 1 tiene un solo divisor, es el 1.

Los nmeros primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo nmero.Ejemplo: nmeros primos ={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ... }

Los nmeros compuestos son los que tienen ms de 2 divisores. Se les llama as porque se pueden poner como producto de potencias de nmeros primos.Ejemplo: nmeros compuestos ={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...}

Descomponer factorialmente un nmero es ponerlo como producto de potencias de nmeros primos.Ejemplo: 63=327

El mnimo comn mltiplo de varios nmeros es el nmero ms pequeo que es mltiplo de todos ellos, sin tener en cuenta el 0.Producto de los factores comunes y no comunes elevados al exponente mayor

Ejemplo: 54= 233 60= 2235 m.c.m.(54, 60) = = 22335 = 540 m.c.d. (54, 60) = 23 =6

El mximo comn divisor de varios nmeros es el nmero ms pequeo que es divisor de todos ellos.Producto de los factores comunes elevados al exponente menor

Cuando dos nmeros no tienen en comn ms divisores que el 1 se dice que son primos entre s.Ejemplo 49 y 24 son primos entre s porque m.c.d.(49, 24)=1

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Mltiplos y divisoresAutoevaluacin

1. Escribe tres mltiplos de 26.

2. Escribe cuatro divisores de 24.

3. Indica si estas divisiones son exactas o no:a) 39 : 4 b) 23 : 9

4. Basndote en los criterios de divisibilidad indica si el nmero49755 es mltiplo o no de los indicados: a) de 2 : b) de 3: c) de 5: d) de 11:

5. En qu cifra pueden terminar los nmeros primos a partirde 5?

6. Indica si los nmeros 61, 60 y 65 son primos o compuestos.

7. Haz la descomposicin factorial del nmero 240.

8. Calcula el m.c.m.(45,75)

9. Indica si los nmeros 25 y 28 son primos entre s o no.

10. Calcula el m.c.d.(45, 75)

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Mltiplos y divisoresSoluciones de los ejercicios para practicar1. 176 es mltiplo de 2, 4, 8. 2. 198 es divisible por 2, 3, 4, 9, 11 3. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80.El 0 tambin se puede considerar ya que es mltiplo de todos.

11. a) 72= 2332

60=2235 m.c.m.(72,60)=360 90=2325 b) 150=2352 m.c.m.(150, 90)=450

c) 9=32 24=233 6=23 m.c.m(9, 24, 6) = 72 d) 36=2232 15= 35 m.c.m.(36,15,4)=180 4=22

4. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 5. Al descomponer en factores primoslos exponentes son: 3, 1, 4. Aumentados cada uno de ellos en una unidad y multiplicados: 425=40 divisores. 252=20 divisores.

12. a) 72=2332

24=233 m.c.d.(72, 24)= 24

b) 56=237 81=33 m.c.d.(56,81)=1, primos entre s. c) 84=2237 108=2233 m.c.d.(84,108,36)=12 d) 54=233 60=2235 m.c.d.(54,60,18)=6 36=2232 18=232

6. 810= 2345, 7. 6728= 23292

Su nmero de divisores es 43=12. Hacemos 6 rayitas arriba y 6 abajo. 1 3 9 27 29 87 22707 7569 2523 841 783 261 Observa que una vez calculados los de arriba, se divide el n 22707 entre ellos y se obtienen los de abajo. 1 147 23= 6 divisores 3 7 49 212

13. Los das que han de pasar para

volver a coincidir en la biblioteca son m.c.m.(4, 6)= 12 das. hacer es el m.c.d.(30, 27, 42)= 3 hileras. m.c.d.(10, 6)= 2 dm.

14. El nmero de hileras que pueden

8. 147=37

15. La longitud del lado en dm es el 16. m.c.m.(9, 21, 15)= 315 minutoshan de pasar para coincidir de nuevo.

9. 247 es divisible por 13, compuesto. 10. 131, no es divisible por 2, ni por 3, nipor 5, ni por 7, ni por 11. Es primo.

Soluciones AUTOEVALUACIN1. 52, 78, 260 por ejemplo 2. 2, 3, 4, 6 (tambin 8, 12, 1, 24) 3. Ninguna de las dos 4. Es mltiplo de 3 y de 5 5. En 1 , 3, 7 9, como 11, 13, 17, 19 6. 61 primo, 60 y 65 compuestos 7. 240=2435 8. 225 9. Son primos entre s 10. 15No olvides enviar las actividades al tutor

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MATEMTICAS 1 ESO