muestreo 2 [Modo de compatibilidad] · Muestreo aleatorio simple Se le da la urna y se le informa...

17/11/2011

1

Muestreo

Análisis de datos y gestión veterinariaAnálisis de datos y gestión veterinaria

Departamento de Producción Animal – Facultad de Veterinaria

Universidad de Córdoba

Córdoba, 16 de Noviembre de 2011

Población y muestra

Población. Conjunto completo de individuos sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones.

Predecir los resultados

electorales en España

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Población. Conjunto completo de votantes.

Predecir los resultados

electorales en EspañaN = ??

?? = millones de votantes


Muestra. Subconjunto de los valores poblacionales observados.

N = ???? = millones de votantes

n = 10.000votantes

n = 10.000votantes

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calculamos estadísticos, como la edad media de los votantes de la

muestra

n = 10.000votantes

los estadísticos se utilizan como estimadores

de los parámetros de

la población, como la edad media de los votantes de la

población

Inferencias.Generalizaciones apartir de la muestra ala población.


n = 10.000votantes


?¿?¿?¿ 35,5 años ??¿?¿?

Los estadísticosson calculados y conocidos

Los parámetros son los que realmente se

quieren conocer

¿Se puede confiar en que losestadísticos sean similares alos parámetros?

35,5 años

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Los parámetros no son verificables (si lo fueran, notrabajaríamos con muestras).

¿Se puede confiar en que losestadísticos sean similares alos parámetros?

Si, siempre que la muestrarepresente a la población



N = 12 vacas

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N = 12 vacas n = 6vacas

La muestra representa a la población si lascaracterísticas de la población se repiten en la muestra.


La muestra representa a la población si lascaracterísticas de la población se repiten en la muestra.


n = 10.000votantes

¿Si no sabemos cómo es la población, ni siquiera su tamaño?

La representatividad se basa en la forma enque la muestra es seleccionada (los mejoresmétodos son los que se basan en el uso planeadodel azar)

La representatividad se basa en el tamaño dela muestra (en principio, mayores tamañosmejoran la representatividad)

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Muestreo aleatorio simple

5.000 papeletas marcadas con 1

Población (N):

5.000 papeletas marcadas con 0


Se le da la urna y se le informa que contiene un número determinado de papeletas con ceros y unos. Se le pide que estime sus proporciones

Agita la urna (garantizamos la aleatoriedad)

Saca 1.000 papeletassin reposición (n)

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Dado que todos los elementos de la urna tenían la misma probabilidad de ser seleccionados, el muestreo es aleatorio, por tanto:

% unos en la muestra = % unos en la urna + error aleatorio

Si el muestreo es aleatorio:

Estimador = Parámetro + Error aleatorio


521 unos en la muestra = 500 + 21



491 unos en la muestra = 500 - 9


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Distribución en el muestreo de la media muestral

6 papeletas marcadas con:2, 4, 6, 6, 7 y 8

Población (N):

µ = 5,5

Agitamos la urna…

Sacamos 4 papeletas (n)

2, 4, 6, 6

media = 4,5

Media = µ + error aleatorio4,5 = 5,5 -1


Repetimos…

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9

Agitamos la urna…



2, 4, 6, 8

media = 5,0


5,0 = 5,5 - 0,5Repetimos…


Agitamos la urna…


2, 6, 7, 8

media = 5,75


5,0 = 5,5 - 0,55,75 = 5,5 + 0,25

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…Si hay 6 papeletas….…y se extraen sin reposición

4…¿cuántas muestras se

pueden extraer?

La variable “sacamos 4papeletas de la urna”es una variable aleatoriacomo las estudiadas entemas anteriores (cadaextracción es una variablealeatoria).

La distribución de probabilidades de los posibles valores quepuede tomar el estadístico (en este caso, la media) a lo largo detodas las posibles muestras con el mismo número deobservaciones (se denomina distribución muestral) sirve paraestimar el error aleatorio a través del error estándar (yproporciona la base para la inferencia).

Distribución en el muestreo de la media muestralMuestra Media muestral

2, 4, 6, 6 4,502, 4, 6, 7 4,752, 4, 6, 8 5,002, 4, 6, 7 4,752, 4, 6, 8 5,002, 4, 7, 8 5,252, 6, 6, 7 5,252, 6, 6, 8 5,502, 6, 7, 8 5,752, 6, 7, 8 5,754, 6, 6, 7 5,754, 6, 6, 8 6,004, 6, 7, 8 6,254, 6, 7, 8 6,256, 6, 7, 8 6,75

Todas las muestras tienen la misma

probabilidad de ser seleccionadas (1/15)

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Muestra Media muestral2, 4, 6, 6 4,502, 4, 6, 7 4,752, 4, 6, 8 5,002, 4, 6, 7 4,752, 4, 6, 8 5,002, 4, 7, 8 5,252, 6, 6, 7 5,252, 6, 6, 8 5,502, 6, 7, 8 5,752, 6, 7, 8 5,754, 6, 6, 7 5,754, 6, 6, 8 6,004, 6, 7, 8 6,254, 6, 7, 8 6,256, 6, 7, 8 6,75



La distribución muestral de la media (función de probabilidad):

Px(4,50) = 1/15 Px(6,25) = 2/15Px(4,75) = 2/15 Px(6,75) = 1/15Px(5,00) = 2/15Px(5,25) = 2/15Px(5,50) = 1/15Px(5,75) = 3/15Px(6,00) = 1/15


Px(4,50) = 1/15 Px(6,25) = 2/15 Px(5,00) = 2/15Px(5,25) = 2/15 Px(4,75) = 2/15 Px(6,75) = 1/15Px(5,50) = 1/15 Px(5,75) = 3/15 Px(6,00) = 1/15

Px(x)

3/15

2/15

1/15

0 4,5 5,5 6,5 7,5

El valor esperado de la media muestral es:

Por tanto, el valor esperado de la media muestral es lamedia poblacional

1 2 1( ) ( ) (4,5) (4,75) ... (6,75) 5,5

15 15 15E X xPx x

= = + + + =

∑

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X2 X3 X4X1Se trata de 4 variables aleatorias,cuya esperanza es:

Por tanto, la suma de las 4 variables aleatorias será:

siendo n=41

n

i x

i

E X nµ=

=

∑

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 xE X E X E X E X µ= = = =

La media muestral esperada será:

( )1

1 n

x

i x

i

nE X E X

n n

µµ

=

= = =

∑


Px(x)

3/15

2/15

1/15

0 4,5 5,5 6,5 7,5

La distribución de la media muestral está centrada en la media poblacional.

Por el teorema central del límite, sabemos además que sigue una distribución normal

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5,0 = 5,5 - 0,55,75 = 5,5 + 0,25

………

Cuando el número de muestras se hace muy grande, el promedio de las medias muestrales tiende a la media

poblacional (µ)


Dado que todos los elementos de la urna tenían lamisma probabilidad de ser seleccionados, el muestreoes aleatorio, por tanto:

% unos en la muestra = % unos en la urna + error aleatorio



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El error aleatorio cambia con cada extracción



No es posible conocer cuánto medirá en unaextracción particular

Es posible calcular su tamaño probable (error estándar)

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Px(x)

3/15

2/15

1/15

0 4,5 5,5 6,5 7,5



6 papeletas marcadas con:2, 4, 6, 6, 7 y 8

Población (N):

µ = 5,5


15 combinaciones Sacamos 5 papeletas (n)

6 combinaciones

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6 combinaciones

Muestra Media muestral2, 4, 6, 6, 8 5,02, 4, 6, 6, 7 5,22, 4, 6, 7, 8 5,42, 4, 6, 7, 8 5,42, 6, 6, 7, 8 5,84, 6, 6, 7, 8 6,2



La distribución muestral de la media (función de probabilidad):

Px(5,0) = 1/6Px(5,2) = 1/6Px(5,4) = 1/3Px(5,8) = 1/6Px(6,2) = 1/6


Px(x)

2/6

1/6

0 4,5 5,5 6,5 7,5


Px(5,0) = 1/6 Px(5,2) = 1/6 Px(5,4) = 1/3Px(5,8) = 1/6 Px(6,2) = 1/6

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Px(x)

2/6

1/6

0 4,5 5,5 6,5 7,5

Ambas distribuciones de la media muestral se centran en la media poblacional.Si n se incrementa, la varianza muestral disminuye.La varianza muestral determina el error aleatorio, y sirve para calcular su tamaño probable.

Error estándar.Indica el tamaño probable del error aleatorio.

xEEn

σ=


Px(x)

2/6

1/6

0 4,5 5,5 6,5 7,5

Ambas distribuciones de la media muestral se centran en la media poblacional.

Si n se incrementa, la varianza muestral disminuye.

La varianza muestral determina el error aleatorio, y sirve para calcular su tamaño probable.

Error estándar.Indica el tamaño probable del error aleatorio.

xEEn

σ=

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Siempre que el muestreo sea aleatorio:

Mientras mayor sea n, menor será el error aleatorio.

Si n respecto a N es muy pequeño, se puede asumirque los valores individuales de la muestra se distribuyenindependientemente unos de otros.

P.e. Muestra de 1.000 votantes sobre el censo total devotantes en las elecciones presidenciales españolas (Nentorno a 30 millones).

Probabilidad primera extracción = 1/30 millones

Probabilidad segunda extracción = 1/(30 millones – 1)

Probabilidad 999 extracción = 1/(30 millones – 999)

El error cometido al asumir independencia es muy pequeño,por lo que

xEEn

σ=


Siempre que el muestreo sea aleatorio:

Mientras mayor sea n, menor será el error aleatorio.

Si n respecto a N no es muy pequeño, no se puede asumirque los valores individuales de la muestra se distribuyenindependientemente unos de otros.

P.e. Muestra de 4 sobres sobre 6 sobres.

Probabilidad primera extracción = 1/6

Probabilidad segunda extracción = 1/(6-1)

Probabilidad cuarta extracción = 1/(6-3)

El error cometido al asumir independencia es muy grande,por lo que se aplica el factor de corrección porpoblación finita (N – n)/(N – 1):

·1

x N nEE

Nn

σ −=

−

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Si la distribución de la población es normal:

Sigue una distribución normal estándar

Si la distribución de la población no es normal pero n esgrande, Z se considera que sigue una distribución normalestándar por el teorema central del límite.

x

x

XZ

µσ−

=


La tasa de abortos en una cooperativa lechera sigue unadistribución normal con media 12,2% y desviación típica 3,6%. Setoma una muestra aleatoria de 9 explotaciones. ¿Cuál es laprobabilidad de que la media muestral sea menor del10%?

µx = 12,2 σx = 3,6 n = 9

x

x

XZ

µσ−

=

( ) 10 1010 x x x

x x x

XP X P P Z

µ µ µσ σ σ

− − −< = < = <

3,61,2

9

x

xEEn

σσ= = = =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

10 12,210 1,83

1, 2

10 1,83 1 1,83 1 0,9664

10 0,0336

z z

P X P Z P Z

P X F F

P X

− < = < = < −

< = − = − = −

< =

xEEn

σ=

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Distribución en el muestreo de una proporción muestral

Se le da la urna y se le informa que contiene un númerodeterminado de papeletas con ceros y unos. Se le pideque estime sus proporciones

Agita la urna (garantizamos la aleatoriedad)

Saca 1.000 papeletassin reposición (n)


Si en la urna hay 5.000 papeletas con ceros y 5.000papeletas con unos:

Px(1)=0,5

En la muestra (1.000), el número esperado de

unos será:

n�p = 1.000 � 0,5 = 5000

La proporción esperada será:

(n�p)/n = (1.000 � 0,5)/1.000 = 0,5

Sea X el número de éxitos en n observaciones, donde la probabilidad de éxito es p.

( ) (1 )Var X np p= −( )E X np=ˆx

Xp

n=

ˆ( )

(1 )ˆ( )

x

x

E p p

p pEE p

n

=

−=

(1 )ˆ( ) ·

1

ˆ

ˆ( )

x

x

x

p p N nEE p

n N

p pZ

EE p

− −=

−

−=

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Tras una epidemia de lengua azul en Córdoba, se estima que el30% de las explotaciones resulta insegura. Se toma una muestrade 250 explotaciones para determinar la proporción de las queresultan inseguras. Hallar la probabilidad de que laproporción en la muestra esté entre el 25% y el 30%.

p = 0,30 n = 250

(1 )ˆ( )x

p pEE p

n

−=

ˆ

ˆ( )

x

x

p pZ

EE p

−=

( )ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ0,25 0,35ˆ0,25 0,35

0, 25 0,35

x

x

p p p

p p

p pp pP p P

p pP Z

σ σ σ

σ σ

−− −< < = < < =

− −= < <

ˆ

(1 ) 0,30·0,60p

p p

nσ

− = = =

(1 ) 0,30·0,600,029

250

= = =

( ) ( )ˆ0, 25 0,35 1,72 1,72

(1,72) ( 1,72) 0,9573 (1 0,9573) 0,9146

x

z z

P p P Z

F F

< < = − < < =

= − − = − − =

Distribución en el muestreo de la varianza muestral

Si la distribución poblacional es normal, entonces:

sigue una distribución

( )22

1

1·1

n

x i

i

s X Xn =

= −− ∑

2

( 1)nχ −

( ) 2

2

1 ·x

x

n s

σ−

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22

chi-cuadrado

f(chi-cuadrado)

0 4 8 12 16 20 24

0

0,04

0,08

0,12

0,16


2

( 1)nχ −

(n - 1) = grados de libertad

( )2

( 1) 1nE nχ − = − ( )2

( 1) 2( 1)nVar nχ − = −

2

5χ


2

( 1)nχ −

(n - 1) = grados de libertad

( )2

( 1) 1nE nχ − = − ( )2

( 1) 2( 1)nVar nχ − = −

chi-cuadrado

f(chi-cuadrado)

0 10 20 30 40

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,12

10χ

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Es la distribución de la suma de loscuadrados de variables aleatoriasnormales estándar independientes

2

υχ

Si la distribución poblacional es normal, entonces:

sigue una distribución 2

( 1)nχ −

( ) 2

2

1 ·x

x

n s

σ−


Cuando una fábrica de piensos funciona adecuadamente, el pesode los sacos de 50 kg sigue una distribución normal condesviación típica 3,6. Se toma una muestra aleatoria de 4 sacos.¿Qué probabilidad hay de que la varianza sea superior a30?.

n = 4 σx = 3,6 σx2 = 12,96

( )

( )

22

2 2

2 2

3 3

( 1) 30( 1)30

30·36,94

12,96

x

x

x x

n s nP s P

P P

σ σ

χ χ

− −> = > =

= > = >

( ) 2

2

1 ·x

x

n s

σ− 2

( 1)nχ −

( )( )

( )

2

3

2

3

2

6,25 0,10

7,81 0,05

0,05 30 0,10x

P

P

P s

χ

χ

> =

> =

< > <

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La inferencia basada en la media muestral es robustadebido a que si la distribución de la población de la queextrae la muestra se desvía de la normal, el error cometidoen el cálculo de probabilidades es pequeño.

La inferencia basada en la varianza muestral es muysensible a las desviaciones de la distribución de lapoblación respecto a la normal, por lo que el error cometidoen el cálculo de probabilidades es grande.

Sesgo

Estimador = Parámetro + Error aleatorio + Sesgo

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Sesgo

Estimador = Parámetro + Error aleatorio + Sesgo

Sesgo. Distorsión causada por la selección de lamuestra, que potencia o excluye cierto tipo deresultados.

Sesgo

Sesgo. Distorsión causada por la selección de lamuestra, que potencia o excluye cierto tipo deresultados.

- El sesgo se controla aleatorizando el muestreo.

- Es difícil de detectar.

- Si se detecta, tampoco se “puede” corregir.

- Cualquier tipo de selección provoca sesgo.

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Sesgo

Por ejemplo. Para estudiar la opinión de los españolessobre la ley del aborto, hacemos una encuesta a 100.000españoles.

Los encuestadores preguntan a la salida de misa en lapuerta de las iglesias.

La muestra es seleccionada aleatoriamente a partir dellistín telefónico.

Los encuestadores preguntan a padres y madres en lapuerta de los colegios.

Sesgo

Ejemplos de sesgo.

Los indecisos.

Sesgo de respuesta.

Sesgo de no respuesta.

Sesgo del hogar.

Sesgo del entrevistador.

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