Métodos Cuantitativos · 2021. 3. 17. · Nodos Arcos Flujo Cruceros Aeropuertos Puntos de...

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Lectura Nr. 4Modelo de redes

Métodos Cuantitativos

Docente:Ricardo Caballero, M.Sc.

[email protected]

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§ Una red se compone de un conjunto de nodos unidos por arcos (o ramas).

§ Asociado con cada red hay un flujo (e.g. tráfico de automóviles, petróleo, etc). El flujomáximo en una red puede ser finito o infinito según la capacidad de sus arcos

§ Se dice que un arco esta dirigido u orientado si permite el flujo positivo solo en unadirección. Una red dirigida tiene todos los arcos dirigidos

§ Una ruta es un conjunto de arcos que unen dos nodos distintos, y que pasan a través deotros nodos en la red. Una ruta forma un ciclo o un bucle si conecta un nodo de vueltaa si mismo a través de otros nodos.

§ Se dice que una red está conectada si cada dos nodos distintos están conectados en almenos una ruta. Un árbol es una red conectada libre de ciclos compuesta de unsubconjunto de todos los nodos, y un árbol de expansión es un árbol que une todos losnodos de la red.

§ Modelos• Árbol de expansión mínima• Ruta mas corta• Flujo máximo

Modelos de redes: Introducción

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§ Modelos• Árbol de expansión mínima• Ruta mas corta• Flujo máximo

Modelos de redes: Introducción

Nodos Arcos FlujoCrucerosAeropuertosPuntos de comunicaciónEstaciones de bombeoCentros de trabajo

CaminosLíneas áreasCables, canalesTuberías Rutas de manejo de materiales

Vehículos AvionesMensajesFluidosTrabajos

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§ La técnica del árbol de expansión mínima implica conectar todos los puntos de una red,al tiempo que minimiza la distancia entre ellos.

§ Una aplicación común se presenta en la pavimentación de carreteras que unenpoblaciones, o de forma directa, o que pasan por otras poblaciones, diseño de redes detelecomunicación, de transmisión eléctrica y otros.

Pasos• Seleccionar cualquier nodo en la red.• Conectar este nodo con el nodo más cercano que minimice la distancia total.• Considerar todos los nodos que están conectados, encontrar y conectar el nodo

más cercano que no está conectado. Si hay un empate en el nodo más cercano,elegir uno de manera arbitraria. Un empate sugiere que existe más de unasolución óptima.

• Repetir el paso tres hasta que todos los nodos estén conectados.

Árbol de expansión mínima

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§ La Constructora Concreto S.A.está desarrollando un proyectohabitacional de lujo en Playa LaBarqueta. El gerente delproyecto tiene que determinar laforma menos costosa desuministrar agua y electricidad acada casa. La red de viviendasse muestra en la figura. Hayocho casas en el golfo y ladistancia entre cada una semuestra en la red, en cientos demetros

Ejemplo 1: Compañía de construcción Laurendale

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Ejemplo 1: Primera iteración § Iniciar con la selección arbitraria del nodo 1.§ Como el nodo más cercano es el nodo 3 a una distancia de 200 m conectamos dichos nodos.

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Ejemplo 1: Segunda y tercer iteración§ Consideramos los nodos1 y 3, y buscamos el siguiente nodo más cercano.§ El nodo 4 es el más cercano al nodo 3.§ Conectamos esos nodos.§ Buscamos ahora el nodo desconectado más cercano a los nodos 1, 3 y 4.§ Es el nodo 2 o el nodo 6.§ Elegimos el nodo 2 y lo conectamos al nodo 3.

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Segunda iteración

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Tercera iteración

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Ejemplo 1: Cuarta y quinta iteración§ Repitiendo el mismo proceso conectamos el nodo 2 al nodo 5.§ Luego, conectamos el nodo 3 al nodo 6.

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Cuarta iteración

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Quinta iteración

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Ejemplo 1: Sexta y séptima iteración§ El nodo 6 se conecta al nodo 8.§ La última conexión es el nodo 8 al nodo 7.

§ La distancia total se encuentra sumando las distancias de los arcos utilizados en el árbol de expansión:

200 + 200 + 300 + 300 + 300 + 100 + 200 = 1600 metros

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Sexta iteración

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Séptima iteración

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La administración de Telefonica debe determinar los caminos bajo los cuales se debentender las líneas telefónicas para conectar todas las estaciones con una longitud totalminima de cable. Los datos se proporcionan en la siguiente figura.

Ejemplo 2: Compañía de cable

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Ejemplo 2: Solución

Se selecciona el nodo O como inicio. El nodo no conectado más cercano a O es A. Seconecta el nodo A con el nodo O.

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Ejemplo 2: SoluciónEl nodo no conectado más cercano a cualesquiera de los nodos O o A es el nodo B (máscercano a A). Se conecta el nodo B con el nodo A.

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Ejemplo 2: SoluciónEl nodo no conectado más cercanoa O, A o B es el nodo C (máscercano a B). Se conecta el nodo Ccon el nodo B.

El nodo no conectado más cercanoa O, A, B o C es el nodo E (máscercano a B). Se conecta el nodo Econ el nodo B.

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Ejemplo 2: SoluciónEl nodo no conectado más cercanoa los nodos O, A, B, C o E es elnodo D (más cercano a E). Seconecta el nodo D con el nodo E.

El único nodo no conectado es el nodo T. Está más cerca del nodo D. Se conecta el nodo T con elnodo D.

Solución: 2+2+1+3+1+5 = 14 millas

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Algoritmo de Dijkstra§ Sea 𝑢! la distancia más corta del nodo origen 1 al nodo 𝑖, y defina 𝑑!"(≥ 0) como la longitud del

arco (𝑖, 𝑗) . El algoritmo define la etiqueta para un nodo 𝑗 que sigue inmediatamente como

[𝑢", 𝑖] = 𝑢! + 𝑑!", 𝑖 , 𝑑!" ≥ 0

Las etiquetas de nodo en el algoritmo Dijkstra son de dos tipos: temporales y permanentes. Una etiqueta temporal en un nodo se modifica si puede hallarse una ruta mas corta al nodo. De lo contrario, el estado temporal cambia a permanentePaso 0. Etiquete el nodo de origen (nodo 1) con la etiqueta permanente [0, -]

Establezca i =1Paso general i:

(a) Calcule las etiquetas temporales 𝑢! + 𝑑!", 𝑖 para cada nodo 𝑗 con 𝑑!" ≥ 0, siempre que j no este etiquetado permanentemente. Si el nodo j ya tiene una etiqueta temporal existente 𝑢", 𝑘 hasta otro nodo k y si 𝑢! + 𝑑!" < 𝑢" reemplace 𝑢", 𝑘 con 𝑢! + 𝑑!", 𝑖

(b) Si todos los nodos tienen etiquetas permanentes deténgase. De lo contrario, seleccione la etiqueta 𝑢#, 𝑠 que tenga la distancia mas corta = 𝑢# entre todas las etiquetas temporales (rompa los empates arbitrariamente). Establezca 𝑖 = 𝑟 y repita el paso 𝑖

Ruta más corta: Algoritmo de Dijkstra§Este modelo busca determinar la trayectoria o ruta más corta entre un origen y un destino en una redde transporte.

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La siguiente red muestra las longitudes en millas entre diferentes ciudades representadaspor los nodos. Encuentre la distancia más corta desde el nodo 1 al resto de las ciudades

Ejemplo 3: Resolución por algoritmo de Dijkstra

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La ruta más corta desde el nodo 1 hacia cualquier ciudad es 1 à 3 à 4 à 2 con unadistancia total de 55 millas.

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Encuentre la ruta más corta entre la ciudad A (punto de origen) y la ciudad H (punto dedestino. Las distancias vienen dadas en Km


A C

G

B D

F

E

H

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5

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A C

G

B D

F

E

H

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5[0,-] [1,A]

[3,A]2

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A C

G

B D

F

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5[0,-] [1,A]

[3,A]

[8,B]

[4,B]

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A C

G

B D

F

E

H

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5[0,-] [1,A]

[3,A]

[8,B]

[4,B] [3,C]

[6,C]

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A C

G

B D

F

E

H

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5[0,-] [1,A]

[3,A]

[8,B]

[4,B] [3,C]

[6,C]

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[7,D]

[5,D]

[8,E]

[8,F]

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A C

G

B D

F

E

H

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1

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5[0,-] [1,A]

[3,A]

[8,B]

[4,B] [3,C]

[6,C]

2

[7,D]

[5,D]

[8,E]

[8,F]

Rutas más cortas posibles:A àCàDàEàH = 8 kmA àCàDàFàH = 8 km

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Ruta más corta: Modelo general de Programación LinealPara mostrar el modelo general de programación lineal para el problema de la ruta máscorta, se utiliza la notación siguiente:

El modelo de programación lineal general para el problema de la ruta más corta es :

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Ejemplo 5: Ruta más corta, formulación como PL

Las alternativas de traslado entre laoficina y cada sitio de construcciónpueden describirse mediante la redde carreteras que se muestra en elsiguiente diagrama. Las distanciasde las carreteras (en millas)entrelos nodos se muestra arriba de losarcos correspondientes. A laempresa le gustaría determinar laruta que minimice la distancia totalde traslado entre la oficina (nodo 1)y el sitio de construcción localizadoen el nodo 6.

Gorman Construction Company tiene varios sitios de construcción localizados en un áreaque abarca tres condados de Estados Unidos. Debido a los múltiples viajes diarios paratransportar personal, equipo y suministros desde la oficina de Gorman a los sitios deconstrucción, los costos asociados con las actividades de transporte son significativos.

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§ Permite determinar la cantidad máxima de material que puede fluir en una red.§ El objetivo de un problema de flujo máximo es determinar la cantidad máxima de flujo (vehículos,

mensajes, fluidos, etc) que pueden entrar y salir de un sistema de red en un periodo dado.§ La cantidad de flujo esta limitada debido a las restricciones de capacidad en los diversos arcos de la

red (por ejemplo: el tipo de carretera limita el flujo de vehículos en un sistema de transporte, asicomo el tamaño de la tubería el flujo de petróleo en un sistema de distribución)

Modelo de flujo máximo

Por ejemplo: considere una red deoleoductos que transporta petróleo crudodesde pozos hasta refinerías. Se instalanestaciones intermedias de reforzamiento ybombeo a distancias apropiadas paramover el crudo en la red. Cada segmentode tubería tiene una velocidad de descargafinita (capacidad) de flujo de crudo. Unsegmento de tubería puede serunidireccional o bidireccional según sudiseño.La siguiente imagen muestra la red delejemplo

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§ Identificar los nodos de origen y destino

§ Identificar la capacidad más alta que sale del nodo de origen

§ Identificar el nodo intermediario

§ Repetir como si el nodo intermediario fuera el nodo de origen hasta llegar al nodo dedestino

§ Se detiene hasta que no haya capacidad que salga del nodo de origen.

Modelo de flujo máximo: Algoritmo

𝐶 capacidad

𝑖𝑗 índicesdelosnodos

k flujomínimodelcaminoseleccionado𝐶!","! = (𝐶! − 𝑘, 𝐶" + 𝑘)

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§ Determinar el flujo máximo entre el nodo de origen y destino en la siguiente red:

Ejemplo 6: Flujo máximo

§ Un corte define un conjunto de arcos cuya eliminación de la red interrumpe el flujo entrelos nodos fuente y suminidero.

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𝑘 = min(∞, 30, 20)𝑘 = 20

𝐶!","! = (𝐶! − 𝑘, 𝐶" + 𝑘)𝐶%.', '.% = 30 − 20, 0 + 20 = 10,20

𝐶'.(, (.' = 20 − 20, 0 + 20 = (0,20)

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𝑘 = min(∞, 20, 30, 10, 20)𝑘 = 10

𝐶!","! = (𝐶! − 𝑘, 𝐶" + 𝑘)𝐶%.), ).% = 20 − 10, 0 + 10 = 10,10

𝐶).', '.) = 40 − 10, 0 + 10 = 30,10

𝐶'.*, '.) = 10 − 10, 5 + 10 = 0,15

𝐶*.(, (.* = 20 − 10, 0 + 10 = 10,10

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𝑘 = min(∞, 10, 30)𝑘 = 10

𝐶!","! = (𝐶! − 𝑘, 𝐶" + 𝑘)𝐶%.), ).% = 10 − 10, 10 + 10 = 0,20

𝐶).(, (.) = 30 − 10, 0 + 10 = 20,10

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𝑘 = min(∞, 10, 10, 20)𝑘 = 10

𝐶!","! = (𝐶! − 𝑘, 𝐶" + 𝑘)𝐶%.', '.% = 10 − 10, 20 + 10 = 0,30

𝐶'.), ).' = 10 − 10, 30 + 10 = 0,40

𝐶).(, (.) = 20 − 10, 10 + 10 = 10,20

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𝑘 = min(∞, 10, 10)𝑘 = 10

𝐶!","! = (𝐶! − 𝑘, 𝐶" + 𝑘)𝐶%.*, *.% = 10 − 10, 0 + 10 = 0,10

𝐶*.(, (.* = 10 − 10, 10 + 10 = 0,20

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𝐸𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑑 𝑒𝑠 𝑑𝑒 60 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

Cantidad de flujo Dirección

2030100201020020

1 à 21 à 31 à 42 à 32 à 53 à 43 à 54 à 34 à 5

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Ejemplo 7: Formulación de un problema de flujo máximo comoProgramación LinealUn pequeño pueblo esta en proceso de desarrollar un sistema de caminos en su zonacentro. Uno de los planeadores de la ciudad le gustaría determinar el numero máximo deautomóviles que pueden transitar a través de la ciudad de oeste a este. La red de caminosse muestra en la siguiente figura . Las calles se indican mediante los arcos respectivos

10

0 21

3

1

1

1

221

3

6

02

0 1

1

1

2

3

4

5

6Puntooeste

Puntoeste

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§ Render, B. (2016). Métodos cuantitativos para los negocios. Editorial Pearson.

§ Taha, H. (2011). Investigación de operaciones. Editorial Pearson.

§ Render, B. & Heizer, J. (2014). Principios de administración de operaciones. Pearson

§ Chase, R. & Jacobs, F. (2014). Administración de operaciones, producción y cadena desuministro. McGraw – Hill

§ Hillier, F. & Lieberman, G. (2015). Investigación de operaciones. McGraw-Hill

§ Anderson, D. & Sweeny, D. (2019). Métodos cuantitativos para los negocios. Cengage

Bibliografía

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Contacto

Ricardo Caballero, M.Sc.

Docente Tiempo CompletoFacultad de Ingeniería IndustrialCentro Regional de Chiriquí Universidad Tecnológica de Panamá

E-mail: [email protected]

https://www.academia.utp.ac.pa/ricardo-caballero

mailto:[email protected]

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