Matemática

DIP

CAN

MTA

0700

3V1

Geometría

Unidad temática: ángulos y polígonosPolígonos convexos

Número de diagonales desde un vértice:

d = n – 3

Cantidad total de diagonales:

D = n · (n – 3)

2

Suma de ángulos interiores:

S = 180° · (n – 2)

Áreas:

Área del triángulo: A = base · altura

2

Área del cuadrado: A = (lado)2 ; A = (diagonal)2

2

Área del rectángulo: A = largo · ancho

Área del rombo: A = base · altura ; A = diagonal1 · diagonal2

2

Área del romboide: A = base · altura

Área del trapecio: A = (base1 + base2)

2 · altura ; A = mediana · altura

Unidad temática: triángulosTriángulo equilátero

R r

Altura (h) = lado · �3

2

Área (A) = lado2 · �3

4

Radio de la circunferencia inscrita (r) = h3

= lado · �3

6

Radio de la circunferencia circunscrita (R) = 2h3

= lado · �3

3

Teoremas en el triángulo rectángulo

Teorema de Pitágoras Relaciones métricas

C

A B

b a

c

cateto cateto

hipotenusa

a2 + b2 = c2

30°

60°

a a2

�3

a2

45°

45°

a�2

a

a

Teorema de Euclides

a

2aa�5

a

3aa�10

C

A BDp

b ahc

q

c

a2 = c · qb2 = c · p

hc2 = p · q

hc= a · b

c

Unidad temática: circunferencia y círculoÁreas y perímetros

Perímetro de la circunferencia: P = 2π · r Área del círculo: A = π · r2

Longitud de arco: L = α

360° · 2π · r Área del sector circular: A = α

360° · π · r2

Perímetro del sector circular: P = α

360° · 2π · r + 2r

Teoremas de ángulos

Ángulo inscrito Ángulo semi-inscrito Ángulo interior Ángulo exterior

B

Pα

A

α = AB2

B

Tα

A

α = AB2

B

D

C

αα

A

α = AB + CD 2

BC

P

DA

α

α = AB – CD 2

Teoremas de segmentos

Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes Teorema de la secante y la tangente

C

D

P

B

A

AP · PB = CP · PD

BA

P

DC

PA · PB = PD · PC

BA

P

C

PA · PB =( PC )2

Unidad temática: trigonometría

Valores conocidos

30° 45° 60°

sen12

�22

�32

cos �32

�22

12

tg�33

1 �3

Razones trigonométricas

sen α = COH

cos α = CAH

tg α = COCA

α

α

α

Para tener presente

cosec α = 1

sen α

sec α = 1

cos α

cotg α = 1tg α

Unidad temática: geometría de proporción

Divisiones de un segmento División interior: P divide interiormente al trazo AB en la razón m : n

División exterior: Q divide exteriormente al trazo AB en la razón m : n

Teorema de la bisectriz

A P B

APPB

= mn

A B Q

AQBQ

= mn

B P C

A

α αABBP

= ACCP

Unidad temática: transformaciones isométricas

Teorema de Thales

L1 // L2 // L3 L1 // L2

EA

AC =

FB

BD ;

EA

EC =

FB

FD ;

AC

EC =

BD

FD

L1

L2

L3

T1 T2

E F

A B

C D

AB

BD =

AC

CE ;

AB

BC =

AD

DE ;

AC

BC =

AE

DE

L1

L2 D

B

E

C

A

BD

DO =

AC

CO ;

BD

BO =

AC

OA ;

DO

OC =

BO

OA

L1

L2A

αα

D

C

B

O

Traslación

P(a, b) + T(u, v) = P’(a + u, b + v) Movimiento vertical

u horizontal

A

y

x

A'

v→

Simetría axial

Con respecto al eje X: P(a, b) ⇒ P’(a, – b)

Con respecto al eje Y: P(a, b) ⇒ P’(– a, b)Efecto espejo

Rotación

Con respecto al origen:

90° antihorario : P(a, b) ⇒ P’(– b, a)

180° antihorario : P(a, b) ⇒ P’(– a, – b)

270° antihorario : P(a, b) ⇒ P’(b, – a)

Movimiento

circular

Simetría central

Con respecto al origen:

P(a, b) ⇒ P’(– a, – b)

Rotación de 180° cuando el

centro está en el origen

Reg

istro

de

prop

ieda

d in

tele

ctua

l de

Cpe

ch.

Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón to

tal o

par

cial

.

Unidad temática: volúmenes y superficies

Cilindro:Área del manto = 2π · r · hÁrea total = 2π · r · h + 2 · π · r2

Volumen = π · r2 · h

h

r

Se genera a partir de la rotación indefinida de un retángulo en torno a un lado.

Cono:Área del manto = π · r · gÁrea total = π · r · g + π · r2

Volumen = 13

π · r2 · h

gh

r

Se genera a partir de la rotación indefinida de un triángulo rectángulo en torno a un cateto.

Esfera:Área = 4π · r2

Volumen = 43

· π · r3

r

Se genera a partir de la rotación indefinida de un semicírculo en torno al diámetro.

Prisma:Volumen = A · h

A

h

Pirámide:

Volumen = 13

· A · h

A

h

Paralelepípedo:Área = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c Volumen = a · b · c

a

b

c

Cubo:Área = 6 · a2

Volumen = a3 Diagonal de la cara = a�2Diagonal del cubo = a�3

a

Unidad temática: geometría analíticaSean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) puntos distintos del plano cartesiano:

Distancia entre P1 y P2: d = �(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Punto medio del segmento P1P2: M = ( x1 + x2

2 ,

y1 + y2

2 ) Pendiente de un segmento: m =

y2 – y1

x2 – x1

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: y– y1 =

y2 – y1

x2 – x1

· (x– x1)

Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente conocida: y– y1 = m · (x– x1)

(a,b)b

y

ax

ordenada

abscisa