Mecanica de Sistemas y Fenomenos Ondulatorios 2009

Practico 2

Ejercicio 1 Considere los pendulos de la figura. El primero consta de una masa sujeta por un hilo y elsegundo de una esfera soldada a una barra de masa despreciable. Considerando ambos movimientos en unplano vertical, hallar las ecuaciones de movimiento utilizando las ecuaciones de Lagrange. Hallar la frecuenciade las pequenas oscilaciones en ambos casos.

M,R

m

L

L

Ejercicio 2 Sea el sistema de la figura, donde la polea es un disco de masa M y radio R que puede girarsin rozamiento en torno a su centro fijo. El hilo no desliza sobre la polea y se supone que siempre esta tenso.Ambos resortes tienen constante k y longitud natural l0, y la longitud del hilo es L = 3l0 + piR.

a) Hallar las ecuaciones de movimiento utilizando las ecuaciones de Lagrange.

b) Hallar la frecuencia de las pequenas oscilaciones.

c) Hallar la tension en cada lado del hilo en funcion de la configuracion.

m2

m1

M,R

2Lo

Ejercicio 3 Hallar las ecuaciones de movimiento para los sistemas que se muestran en la figura:

a) Barra AB con un extremo contra el piso y otro contra la pared. Los contactos son lisos.

b) El resorte se mueve en la direccion vertical. La articulacion A es lisa.

c) Pendulo doble. Las articulaciones son lisas y A es fijo.

d) El hilo pasa por un orificio al que se hace oscilar verticalmente de la forma y(t) = A sin(t).

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m,2l

A

B

m,2l

m,2l r

m

y

m,2l

m

k,l0

A a) b)

c) d)

Ejercicio 4 El sistema de la figura sin la masa M se encuentra en equilibrio. Se coloca la sobrecarga M ycomienza a moverse. En el eje del disco hay un par resistente viscoso de magnitud B. Hallar las ecuacionesde movimiento.

2m,R

m M

m

z

Ejercicio 5 El sistema de la figura consta de un disco de masa M y radio R sujeto a la pared por unresorte de constante k y longitud natural l0. Arrollado al disco hay un hilo ideal que se sujeta a una masam, la cual cuelga en C de una roldana de centro fijo y masa despreciable. Se supone que el disco rueda sindeslizar por el piso.

a) Hallar la ecuacion de movimiento.

b) Hallar la posicion de equilibrio del sistema y el perodo de las pequenas oscilaciones en torno a esta.

C .

O m

R k,l0

Ejercicio 6 El disco grande de la figura, de radio R = 3a/4, gira libremente alrededor de su centro O fijo.El disco pequeno, de radio r = a/4, se encuentra inicialmente en contacto con el punto mas alto y sale convelocidad despreciable. El coeficiente de rozamiento estatico es f .

a) Hallar las ecuaciones de movimiento.

b) Suponiendo que f = 1, hallar el angulo D a partir del cual los discos deslizan entre s.

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m,r

m,R

O

Ejercicio 7 Un aro de masa despreciable y radio a rueda sin deslizar sobre una gua rectilnea horizontal.Un disco de radio r < a y masa m tiene por eje un diametro AB del aro y gira alrededor de dicho diametro.En un cierto instante, se coloca el aro a rodar sobre la gu(i)a con velocidad angular , el diametro ABvertical y el disco girando con velocidad angular . Determinar hacia que lado del plano vertical vuelca elaro en el movimiento posterior en funcion de y .

m,r

A

B

a

Ejercicio 8 Se considera una esfera homogenea de centro C, radio R y masa M , unida rgidamente a labarra CQ, de masa despreciable y longitud l. Q es una articulacion esferica lisa. La esfera se apoya, rodandosin deslizar, sobre un plano horizontal que gira con velocidad angular variable (t) alrededor del eje verticalOQ. La distancia OQ es constante y vale h. Hallar las ecuaciones de movimiento del sistema.

Q

C

M,R

O

(t)

h

l

Ejercicio 9 Una barra homogenea de longitud 2l y masam se mueve de modo que sus extremos permanecensobre un aro liso de igual masa y radio

2l, el cual gira libremente y sin rozamiento alrededor de su diametro

horizontal, AB.

a) Hallar las ecuaciones de movimiento del sistema.

b) Se obliga al aro a moverse con velocidad angular 0 constante en torno al diametro AB. Determinarpara que valor de 0 existe una solucion con la velocidad angular de la barra relativa al aro constante.Hallar la relacion que deben cumplir las condiciones iniciales para este movimiento.

c) Hallar el par impuesto sobre el aro para que se de el movimiento de la parte anterior.

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A B O

Ejercicio 10 Investigar si se conserva algun momento generalizado en los ejercicios (6) y (7). Particular-mente, en el ejercicio 7, indicar que consecuencias tiene el vuelco del aro sobre la velocidad angular deldisco.

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