Prueba Integral Lapso 2013-1 754-1/1

Universidad Nacional Abierta Geometra 754 Vicerrectorado Acadmico Cd. Carrera 126-508 rea de Matemtica Fecha: 25-05-2013

MODELO DE RESPUESTAS

OBJ 1 PTA 1 Empleando leyes lgicas pruebe que: no-(p q) p noq Solucin: no-(p q) no(nop q) Condicional disjuncin o ejemplo 086

nonop noq Ley de De Morgan p noq Ley de la doble negacin OBJ 2 PTA 2 En la figura, se tiene la circunferencia de centro O, inscrita en el tringulo ABC. Si AB =10cm, BC = 8cm y AC = 12 cm. Demuestre que

2AD BFCF+ =

Solucin: Sean a = AD , c = CD , b = BE Por ser los lados del tringulo tangentes a la circunferencia tenemos que a = AD = AE , c = CD = CF , b = BE = BF de AB = 10cm, BC = 8cm, AC = 12cm, (1) a + b = 10 (2) b + c = 8 (3) a + c = 12 Sumando las tres ecuaciones se obtienen lo siguiente (4) a + b + c = 15 restando la ecuacin (1) de la ecuacin (4) y (2) obtenemos que c = 5 , a = 7 y b=3

En consecuencia, 7 3 10 2

5 5AD BFCF+ += = =

OBJ 3 PTA 3 Demuestre que en un tringulo cualquiera la medida de un ngulo exterior a un tringulo es igual a la suma de las medidas de los ngulos interiores no contiguos. Es decir, segn la figura pruebe que x = m

Prueba Integral Lapso 2013-1 754-2/1

OBJ 5 PTA 5 Halle la longitud de una cuerda de O(12) si esa cuerda es mediatriz de un radio. Use la figura siguiente: Solucin: Sea AB la cuerda de O(12) que es la mediatriz del radio OP. Si M es el corte de AB y OP, entonces por hiptesis se tiene que M es el punto medio de OP, y por el teorema 4.3 (la mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia) M es el punto medio de AB. As, OM = 6 y OB = 12. Aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo AOM se ve que OA

2 = OM

2 + MA

2, es decir, 12

2 = 6

2 + MA

2. Luego, MA

2 =

108 y al extraer raz cuadrada se obtiene que MA = 63. Por tanto, AB = 2MA = 123 OBJ 6 PTA 6 Escriba todos los pasos para construir dos circunferencias de tal manera que una de ellas, la menor, est dentro de la regin circular de la mayor, sea tangente a sta y tenga un dimetro igual a dos tercios del radio de la mayor. Solucin: Paso 1: Dibujo un segmento AB Paso 2: Divido el segmento en tres partes iguales, obteniendo Los puntos P y Q como lo indica la figura. Paso 3: Con centro en A y abertura AB se traza la circunferencia Mayor y con centro en P y abertura AP se traza la circunferencia menor. OBJ 7 PTA 7 El tringulo ABC es rectngulo en B. Sea D un punto de BC de modo que [ABC] = 2[ABD]. Entonces AD = 2 2AC - 3BD Solucin: En primer lugar se tiene que

[ABC] = 2[ABD], es decir: (AB)(BC) (AB)(BD)22 2

= , luego (AB)(BC) = 2(AB)(BD) BC=2BD (1) Adems, de acuerdo a la figura: AB2+BD2=AD2 AB2= AD2 -BD2 (2) AB2+BC2=AC2 AB2= AC2-BC2 (3) Igualando (2) y (3) nos queda AD2-BD2= AC2-BC2 AD2-BD2= AC2-(2BD)2 por (1) AD2-BD2= AC2-4BD2 AD2= AC2- 4BD2+BD2 AD = 22 3BDAC

FIN DEL MODELO