Modelo de Respuestas: Prueba Integral Lapso 2010-1 754-1/2

Universidad Nacional abierta Geometra (754) Vicerrectorado Acadmico Cd. Carrera 126-508 rea de Matemtica Fecha: 12-06-2010

MODELO DE RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 Demostrar la siguiente equivalencia usando leyes lgicas

(q r) p (q p) (r p) Nota: q es la negacin de q NO USAR TABLAS DE VERDAD Solucin: OBJ 2 PTA 2 En la figura la suma de los ngulos A0B y C0D es 55o y la suma de los ngulos A0C y B0D es 95o Cunto mide, en grados, el ngulo A0D? Solucin: Consideremos la grfica siguiente: Datos: la suma de los ngulos A0B=f y C0D = h es f+h = 55 (1) y la suma de los ngulos A0C y B0D es k + j = 95 (2) Debemos encontrar cunto mide el ngulo A0D Tenemos, de la grfica, que k = f+g y j = h +g luego sumando miembro a miembro tendremos que k+j = f+h+2g = 95 por (2), es decir, 55+2g = 95 por (1) de aqu se obtiene que g = 20 Como A0D = k+j-g pues g se estara sumando dos veces en k+j y debe restarse una vez, se obtiene que A0D = 95-20 = 75

Modelo de Respuestas: Prueba Integral Lapso 2010-1 754-2/2

OBJ 3 PTA 3 Los tringulos ABC y PBQ de la figura son semejantes y adems, el valor

de la razn 32

ABPB = Cul es el valor de x?

Solucin: Como los tringulos ABC y PBQ son semejantes, por dato, sus lados son proporcionales, por ejemplo,

ACPQ

ABPB = , es decir,

932

32

=xx 6x-18 = 3x-6 3x=12x=4

OBJ 4 PTA 4 En el rectngulo ABCD, HC = 6cm y DH = 2cm. Calcular la longitud de DB Solucin: Tenemos que ACBD = , por ser diagonales de un rectngulo. Adems 6+=+= AHHCAHAC Luego, )1(6+= AHBD Calculemos AH Los tringulos AHD y DHC son semejantes, por ser tringulos rectngulos.

Por lo tanto: 32

62

2=== AHAH

HCDH

DHAH

Reemplazando AH en (1) se obtiene que 3

20632 =+=BD

OBJ 5 PTA 5 En la figura adjunta el cuadrado est circunscrito en la circunferencia. La longitud del lado del cuadrado es 2. Si el rea del cuadrado se duplica por cunto debe multiplicarse el radio de la circunferencia para que ella permanezca tangente a los lados del cuadrado? 2 Solucin: Se sabe que el rea del cuadrado es A=2.2 = 4 y que el radio de la circunferencia es r =1 (la mitad del lado del cuadrado). Si duplicamos el rea del cuadrado tendremos que 2A = 2(4) = 8. Si L es el lado del nuevo cuadrado se tendr que L2 = 8 de

donde L = 2 2 o 22L = y como r debe ser

2L se concluye que hay que

multiplicar a r=1 por 2

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OBJ 5 PTA 6 Si en O(k) se traza un dimetro AB y un radio OC perpendicular a AB y se prolonga el dimetro AB a ambos lados de O(k) en longitudes iguales AE=BD de tal manera que las rectas CE y CD cortan a O(k) en F y G respectivamente, entonces demuestre que CFO= CGO. La figura siguiente ilustra la situacin: NOTA: Se logra el objetivo 5 respondiendo correctamente P al menos una de las preguntas Demostracin: Considrese el segmento FG 1) OF=OG por ser radios de la circunferencia 2) OC es la mediatriz de FG , por el teorema 2.16 3) FP = PG y OPF es recto, por definicin de mediatriz 1.23 4) OP = OP por identidad 5) OPF = OPG por ltimas dos afirmaciones y por LAL 6) OFG = OGF por ser partes correspondientes de tringulos congruentes. 7) FPC = GPC pues PC=PC, FP=PG, FPC=GPC=90 y LAL 8) CFG = CGF por ser partes correspondientes de tringulos congruentes. 9) OFG+CFG = OGF+CGF sumando miembro a miembro 6 y 8 10) CFO = CGO afirmacin 9 y adicin de ngulos. OBJ 6 PTA 7 Considere el paralelogramo ABCD dado en la figura. Explique, detalladamente, cmo hara, usando regla y comps, para encontrar un punto P entre D y C de tal manera que BPA = BPC Si apoyamos el comps en A con abertura igual a AB y trazamos un arco de circunferencia ste cortar a DC en P. Como AP = AB por ser la misma abertura de comps, el tringulo APB es issceles y por el teorema del tringulo issceles los ngulos BPA y ABP son iguales, pero los ngulos ABP y BPC son iguales, por ser alternos internos entre las paralelas DC y AB ya que ABCD es un paralelogramos, por dato, luego por transitividad BPA = BPC OBJ 6 PTA 8 Escriba, detalladamente, los pasos que le permitan, usando con regla y comps, trazar una circunferencia de radio conocido r y que pase por dos puntos dados P y Q. La figura ilustra los datos dados. Sugerencia: Considere la mediatriz de PQ

NOTA: Se logra el objetivo 6 respondiendo correctamente al menos una de las preguntas Solucin: Apoyando el comps en P y con abertura PQ se traza una primera semicircunferencia, ahora apoyando el comps en Q y con abertura QP se traza una segunda semicircunferencia que cortar a la primera en A y B, por A y B pasa la

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mediatriz L de PQ L Apoyando el comps en P o en Q con abertura igual al radio r dado O se traza un arco que cortar a la mediatriz L en O. Finalmente, se apoya el comps en O y con abertura OP se traza la circunferencia pedida. P Q Gracias a que todo punto de L equidista de los extremos de PQ , Por teorema 2.16 y definicin 1.23 se garantiza que la circunferencia tambin pasar por Q. OBJ 7 PTA 9 En la figura A0 = 4, cul es el valor del rea de la zona rayada? donde 0 es el punto medio de AB.

A = 442

)2

(2

2

2222

22

2 rrrrrrr ===

FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS