PRIMERA INTEGRALMODELO

LAPSO 2008-1 754-1/3

rea de Matemtica

Universidad Nacional Abierta GEOMETRIA 754

Vicerrectorado Acadmico Fecha: 8-3-08

rea de Matemtica Carreras: 508-126

PREGUNTAS y RESPUESTAS

Obj 1 Pta 1

Indique, explicando por qu cuales de las siguientes afirmaciones son proposiciones:

1. Es falso que una semirrecta tenga dos orgenes.

2. Ven ac!

3. Jos est loco

4. Siete es un nmero primo.

5. Los ngulos rectos son iguales.

6. La familia no es

7. Dnde est carmen?

8. 3 18 = 12

9. x + 4 = 13

10. Si n es un entero, entonces 3n es par.

Solucin:

La Matemtica trata sobre proposiciones y su validez dentro de determinados sistemas

axiomticos. Luego es importante reconocer las proposiciones matemticas. Vamos a

analizar las respuestas a esta pregunta.

1. Es una proposicin verdadera, una semirrecta tiene un solo origen.

2. No es una proposicin, es slo una exclamacin sin valor de verdad alguno.

3. Es una apreciacin subjetiva, no tiene valor de verdad y por ende no puede ser una

proposicin.

4. Obviamente es una proposicin, verdadera en este caso.

5. Una proposicin verdadera.

6. No es una proposicin, de hecho la frase carece de sentido an en el castellano que

hablamos coloquialmente.

7. Bueno , yo no se donde est pero si se que esto no es una proposicin.

- 2-Primera Integral GEOMETRIA 754

8. Una proposicin falsa.

9. No es una proposicin ya que no tiene un valor de verdad definido.

10. Proposicin sin duda, pero falsa.

Obj 1 Pta 2

Escriba la negacin de la proposicin dada

1. Es falso que un segmento tenga tres extremos.

2. No todo ngulo es obtuso.

3. Algunas preguntas no pueden responderse.

4. Todos los ciegos no pueden ver.

5. Luis y Juan tienen sed.

6. Jos y Luisa son hermanos.

7. Carlos va al cine o Luis viene a casa.

Solucin:

Conviene recordar algunas cosas aqu, y las voy a enunciar tal como las aprend en mi

primer ao de estudios de Matemtica: la negacin de un para todo es un existe y la

negacin de un existe es un para todo. Por ejemplo, si afirmamos TODOS LOS

HOMBRES SON MORTALES, su negacin es EXISTE AL MENOS UN HOMBRE

INMORTAL. Si afirmamos, EXISTE UN MURCIELAGO QUE VE su negacin es

TODOS LOS MURCIELAGOS SON CIEGOS.

En trminos simblicos

Afirmacin: se tiene ( )

Negacin: para el cual ( )

x p x

x p x

El estudiante UNA deber escribir en smbolos lgicos lo otro que afirmamos.

Vamos a empezar a construir nuestras negaciones.

1. Existen segmentos que tienen tres extremos.

2. Hay ngulos que son obtusos.

3. Toda pregunta tiene una respuesta.

4. Hay ciegos que ven

5. o Luis o Luisa no tienen sed.

6. Jos y Luisa no son hermanos

7. Ni Carlos va ala cine ni Luis viene ac.

- 3-Primera Integral GEOMETRIA 754

Nota: Escoja una y solo una de las preguntas anteriores para el objetivo 1. Si trabaja

ambas el objetivo ser considerado NO logrado.

Obj 2 Pta 3

Demuestre que si a es un nmero real positivo, entonces 1 2aa

Solucin:

En el texto de Daro Durn est demostrada la desigualdad de la media aritmtica ygeomtrica

2a b

ab

donde a,b son reales positivos. En particular si hacemos 1ba en la desigualdad anterior

obtenemos1 1

1 11 22 2

a aa aa a

a a

Obj 3 Pta 4

Sea M el punto medio de la mediana AD de un tringulo ABC. La recta BM corta al lado AC

en un punto E que triseca a ese lado.

Solucin:

Trazamos por D una paralela auxiliar a EB que corta a AC en K. Vamos a aplicar un par de

veces el teorema de Thales. Observe que por Thales debemos tener que 1AE AMEK MD

. Luego

AE EK . Un razonamiento similar, por medio de Thales, demuestra que 1EK BDKC DC

- 4-Primera Integral GEOMETRIA 754

Luego EK KC y uniendo esto con lo anterior vemos que EK KC =AE. La demostracinest lista.

Nota: El dibujo abajo, realizado con Geogebra demuestra la plausibilidad del resultado. Vaya al

Moodle del curso ( http://academico.una.edu.ve/foro) para ver una animacin que ilustra el uso

de Geogebra para realizar la construccin.

Obj 4 Pta 5

Si un tringulo y un cuadriltero se trazan sobre la misma base y el cuadriltero est

completamente dentro del tringulo, entonces el permetro del tringulo es mayor que el

permetro del cuadriltero.

Solucin:

- 5-Primera Integral GEOMETRIA 754

Observe el dibujo que hemos trazado usando Geogebra.

Aplicamos la desigualdad triangular varias veces. Observe que por desigualdad triangular

tenemos que

DF< BD+BF, DE

- 6-Primera Integral GEOMETRIA 754

El siguiente dibujo, usando Geogebra demuestra el resultado. El resultado se demuestra

usando el teorema de Pitgoras o congruencia de tringulos. Observe que los tringulos

ACE y ADB son rectngulos (por qu?), y AC= radio de la circunferencia ms pequea y

la hipotenusa AE es el radio del crculo mayor. Invitamos al estudiante UNA a analizar

similarmente lo que ocurre con el tringulo ADB. Cul es su conclusin?.

Nota: El dibujo arriba, realizado con Geogebra, demuestra la plausibilidad del resultado. Vaya

al Moodle del curso ( http://academico.una.edu.ve/foro) para ver una animacin que ilustra el

uso de Geogebra para realizar la construccin.

Obj 6 Pta 7

Construir un tringulo rectngulo conociendo la hipotenusa y la razn de los cuadrados de

los catetos.

- 7-Primera Integral GEOMETRIA 754

Solucin:

Suponemos que damos tres segmentos de longitudes: la unidad, la hipotenusa y la razn de

los cuadrados de los catetos. Conocer la razn de los cuadrados de los catetos equivale a

conocer la razn entre los catetos ya que si2A A

r rB B

As podemos considerar dados un segmento de longitud 1, otro de longitud r y otro con la

longitud de la hipotenusa.

Construimos en un extremo del segmento de longitud 1 una perpendicular y sobre ella

llevamos el segmento de longitud r . Formamos un tringulo con estos puntos y

prolongamos la hipotenusa. Sobre ella llevamos la longitud que nos dan como hipotenusa

del tringulo a construir. Prolongamos la recta de la base y trazamos la perpendicular desde

el punto que determinamos al llevar la longitud del segmento de la longitud que nos dan

como hipotenusa del tringulo a construir. Trazamos la perpendicular sobre la base.

El dibujo abajo ilustra lo que hemos hecho.

- 8-Primera Integral GEOMETRIA 754

Nota: El dibujo arriba, realizado con Geogebra, indica la construccin.. Vaya al Moodle del

curso ( http://academico.una.edu.ve/foro) para ver una animacin que ilustra el uso de

Geogebra para realizar la construccin.

Obj 7 Pta 8

Sobre los lados de un tringulo rectngulo issceles de cateto b se construyen tres

cuadrados hacia el exterior. Calcule el rea del tringulo formado por los centros de los

cuadrados.

Solucin:

Dejamos este ejercicio al estudiante UNA para que contine su prctica, como pista le

decimos FIJESE bien en la figura que se obtiene al realizar la construccin (con Geogebra

la hemos hecho abajo). Qu relacin tienen los segmentos KL y AC?

FIN MODELO