Movimiento Relativo

Tema 4: Movimiento relativo

Ramón Bravo1

1Departamento de Física AplicadaFacultad de Física

Revisión: 5 de septiembre de 2015

R. Bravo (USC) Tema 4: Movimiento relativo 2015-16 1 / 20

1 Introducción

2 Ejes de referencia en rotación-traslación

3 Ejes de referencia en traslación

4 Ejes de referencia en rotación


1. Introducción.

Movimiento absoluto y movimiento relativoLa descripción de un movimiento se hace siempre respecto de un sistemade referencia.

Si el sistema de referencia está en reposo se dice que es un sistemainercial primario y al movimiento respecto a él se le denomina absoluto.

Cuando el sistema de referencia que se está considerando se mueve en elespacio, a todo movimiento referido a él se le denomina relativo.

Se denomina movimiento de arrastre al que tendría una partícula queestá fija respecto a un sistema de ejes móviles, por el hecho de que éstos semuevan respecto a un sistema de referencia fijo.

Cuando el tiempo medido por dos observadores es el mismo conindependencia de que el sistema de referencia se mueva o esté fijo diremosque se trata de un problema de relatividad clásica, mientras que sidepende de si el sistema es fijo o es móvil diremos que es un problema derelatividad restringida.


Ecuaciones de Poisson

Sea ~C un vector de módulo constante que rotaalrededor de un eje como se indica en la figura.

El origen de ~C se encuentra en O sobre el eje derotación mientras que el extremo A, al ser| ~C | = cte, describe una circunferencia de radio Ralrededor de dicho eje.

0

ω

A

vA

e

C

R

La velocidad del punto A respecto a O será

~vA =d ~C

dt

pero al estar A describiendo un movimiento circular ~vA = ~ω ∧ ~C , y por lotanto

d ~C

dt= ~ω ∧ ~C (1)

Si aplicamos la expresión (1) a los elementos de una base vectorial conorigen en O y que rota en torno al eje con una velocidad ~ω, resulta


d~i

dt= ~ω ∧ ~i , d~j

dt= ~ω ∧ ~j , d~k

dt= ~ω ∧ ~k (2)

que son las denominadas ecuaciones de Poisson.

2. Ejes de referencia en rotación-traslación.A lo largo del desarrollo que vamos a llevar a cabo, utilizaremos la siguientenotación:

Representaremos por X,Y,Z a los ejes de un sistema de referencia fijo conorigen en O, cuya base vectorial estará constituida por los vectores unitarios~i , ~j , ~k .

Análogamente, los ejes X’,Y’,Z’ hacen referencia a un sistema decoordenadas móvil con origen en el punto O’, siendo ~i ′, ~j ′, ~k ′ sucorrespondiente base vectorial.

Supondremos que el sistema de referencia móvil se está trasladandorespecto al sistema fijo, al mismo tiempo que posee un movimiento derotación alrededor de un eje que pasa por O’ con una velocidad angular ~ω.


0

ωP

e

i

r

0'

XY

Z

j

j'

Y'

k

k'

Z'

i'

X'

0'r

r'

Sean ~r el vector de posición de un punto P respecto al sistema fijo, ~r ′ elvector de posición del mismo punto P referido al sistema móvil y ~ro′ elvector de posición del origen móvil O’ respecto a O.De acuerdo con esto (x , y , z) y (xo′ , yo′ , zo′) serán las coordenadas de lospuntos P y O’, respectivamente, referidas al sistema fijo; de maneraanáloga (x ′, y ′, z ′) serán las coordenadas de P referidas al sistema móvil.De la figura podemos ver que

~r = ~ro′ + ~r ′ (3)


donde cada uno de los vectores de posición se expresa en función de suscomponentes por

~r = x~i + y~j + z~k (4a)

~ro′ = xo′~i + yo′~j + zo′~k (4b)

~r ′ = x ′~i ′ + y ′~j ′ + z ′~k ′ (4c)

Si derivamos respecto al tiempo la ecuación (3), nos quedará

d~r

dt=

d~rodt

+d~r ′

dt(5)

donde el término~v =

d~r

dt= x~i + y~j + z~k (6)

representa la velocidad absoluta del punto P pues corresponde a la derivadatemporal del vector de posición respecto al sistema de referencia fijo.


Análogamente

~vo′ =d~ro′

dt= xo′~i + yo′~j + zo′~k (7)

representa la velocidad absoluta del origen de coordenadas móvil O’referido al sistema de coordenadas fijo.

Por último, el término

d~r ′

dt= (x ′~i ′ + y ′~j ′ + z ′~k ′) +

(x ′d~i ′

dt+ y ′

d~j ′

dt+ z ′

d ~k ′

dt

)(8)

en donde hemos tenido en cuenta que tanto las coordenadas (x’,y’,z’)como la orientación de la base (~i ′, ~j ′, ~k ′) varían con el tiempo.

El vector~v ′ = x ′~i ′ + y ′~j ′ + z ′~k ′ (9)

se denomina velocidad relativa pues representa la velocidad del punto Preferida al sistema móvil supuesto éste fijo.


Si tenemos en cuenta las ecuaciones de Poisson, el segundo sumando de laecuación (8) resulta ser

x ′d~i ′

dt+ y ′

d~j ′

dt+ z ′

d ~k ′

dt= x ′(~ω ∧ ~i ′) + y ′(~ω ∧ ~j ′) + z ′(~ω ∧ ~k ′)

= ~ω ∧ (x ′~i ′ + y ′~j ′ + z ′~k ′)

= ~ω ∧ ~r ′ (10)

y por lo tantod~r ′

dt= ~v ′ + ~ω ∧ ~r ′ (11)

Sustituyendo las expresiones (6), (7), y (11) en la ecuación (5) llegamos a

~v = ~vo′ + ~v ′ + ~ω ∧ ~r ′ (12)

Si consideramos al punto P fijo en el sistema móvil, es decir (x’,y’,z’)constantes, entonces la velocidad relativa ~v ′ = 0, y el movimiento de P sedeberá exclusivamente al movimiento del sistema de referencia móvil.


Entonces, la ecuación (12) adopta la forma

~va = ~vo′ + ~ω ∧ ~r ′ (13)

donde ~va es la velocidad de arrastre.En consecuencia la expresión (12) se escribirá finalmente

~v = ~v ′ + ~va (14)

expresión que representa la ley de composición de velocidades: lavelocidad absoluta de una partícula es igual a la suma de la velocidadrelativa más la velocidad de arrastre

Para calcular ahora la aceleración debemos derivar respecto al tiempo laexpresión (12)

d~v

dt=

d~vo′

dt+

d ~v ′

dt+

d(~ω ∧ ~r ′)dt

(15)

A continuación analizaremos cada uno de los términos que aparecen en laecuación anterior.


El vector~a =

d~v

dt= x~i + y~j + z~k (16)

representa la aceleración absoluta del punto P.

Análogamente

~ao′ =d~vo′

dt= xo′~i + yo′~j + zo′~k (17)

representa la aceleración absoluta del origen móvil O’.

Si tenemos en cuenta la expresión (9), el siguiente término será

d ~v ′

dt= (x ′~i ′ + y ′~j ′ + z ′~k ′) +

(x ′d~i ′

dt+ y ′

d~j ′

dt+ z ′

d ~k ′

dt

)(18)

en donde el término~a′ = x ′~i ′ + y ′~j ′ + z ′~k ′ (19)

representa la aceleración relativa, mientras que


x ′d~i ′

dt+ y ′

d~j ′

dt+ z ′

d ~k ′

dt= x ′(~ω ∧ ~i ′) + y ′(~ω ∧ ~j ′) + z ′(~ω ∧ ~k ′)

= ~ω ∧ (x ′~i ′ + y ′~j ′ + z ′~k ′)

= ~ω ∧ ~v ′ (20)

Resulta entonces qued ~v ′

dt= ~a′ + ~ω ∧ ~v ′ (21)

Analicemos ahora el último término de la ecuación (15)

d(~ω ∧ ~r ′)dt

=d~ω

dt∧ ~r ′ + ~ω ∧ d~r ′

dt(22)

donded~ω

dt∧ ~r ′ = ~ω ∧ ~r ′ = ~α ∧ ~r ′ (23)


y teniendo en cuenta la expresión (11)

~ω ∧ d~r ′

dt= ~ω ∧ (~v ′ + ~ω ∧ ~r ′)

= ~ω ∧ ~v ′ + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r ′) (24)

por lo tanto

d(~ω ∧ ~r ′)dt

= ~α ∧ ~r ′ + ~ω ∧ ~v ′ + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r ′) (25)

Si llevamos a la ecuación (15) los resultados dados por (16), (17), (21) y(25) , resulta

~a = ~ao′ + ~a′ + 2~ω ∧ ~v ′ + ~α ∧ ~r ′ + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r ′) (26)

Imponiendo en la ecuación anterior la condición de que (x’,y’,z’) sonconstantes, obtenemos la aceleración de arrastre

~aa = ~ao′ + ~α ∧ ~r ′ + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r ′) (27)


con lo que la aceleración absoluta resulta ser

~a = ~a′ + ~aa + 2~ω ∧ ~v ′ (28)

Al término~ac = 2~ω ∧ ~v ′ (29)

se le denomina aceleración complementaria o aceleración de Coriolis.Esta aceleración será nula cuando no exista rotación, ~ω = 0, cuando nohaya movimiento relativo, ~v ′ = 0, o cuando existiendo ambas, éstas seanparalelas ~ω ∧ ~v ′ = 0.

Resulta finalmente que

~a = ~a′ + ~aa + ~ac (30)

expresión que representa la ley de composición de aceleraciones: laaceleración absoluta es igual a la suma de la aceleración relativa más laaceleración de arrastre más la aceleración complementaria.


3. Ejes de referencia en traslación.

Si el sistema móvil solamente se traslada, entonces ~ω = 0 y la base(~i ′, ~j ′, ~k ′) se mantendrá paralela a si misma.

En este caso, las expresiones (14) y (30) se reducen a

~v = ~vo′ + ~v ′ (31)~a = ~ao′ + ~a′ (32)

Para estudiar este tipo de movimientos lo más adecuado es tomar elsistema de referencia fijo y el móvil paralelos entre sí, de forma que~i = ~i ′, ~j = ~j ′, ~k = ~k ′.

Ejemplo 1Un avión debe volar hacia el norte. La velocidad del avión respecto al airees de 200 km/h y el viento sopla de oeste a este a 90 km/h. Calcular cuáldebe ser el rumbo del avión y qué velocidad debe llevar el avión respecto alsuelo.


Situemos los sistemas de referencia como se indica en la figura.

velocidad absoluta del avión:

~v = ~vav = vav~j

velocidad absoluta del aire:

~vo′ = ~vai = vai~i

N

O,O'

vav

θ

vai-vai

v'

Y,Y'

X,X'

EW

Según la ecuación (31) la velocidad relativa del avión respecto al aire es~v ′ = ~v − ~vo′ = ~vav + (−~vai )

Ahora bien, como vai = 90 km/h, v ′ = 200 km/h, resulta

vai = v ′ sen θ ⇒ sen θ =vaiv ′

=90200

⇒ θ = 26, 7o

vav = v ′ cos θ = 200 cos 26, 7 = 178, 7 km/h

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Movimiento de traslación rectilíneo uniforme

Si el sistema móvil posee un movimiento de traslación rectilíneo uniforme,~vo′ = cte y por lo tanto ~ao′ = 0. La ecuación (32) se reduce a

~a = ~a′ (33)

La aceleración de una partícula es la misma en todos los sistemas dereferencia con movimiento de traslación uniforme, enunciado que se conocecomo principio de la relatividad de Galileo.

Este principio fue generalizado por Einstein postulando que todas las leyesde la naturaleza son las mismas para todos los observadores en movimientorelativo de traslación uniforme.

4. Ejes de referencia en rotación.

Para esta situación particular, tanto la velocidad como la aceleración detraslación de O’ son nulas: ~vo′ = 0, ~ao′ = 0


Por lo tanto, las correspondientes ecuaciones de arrastre (13) y (27) severán modificadas

~va = ~ω ∧ ~r ′ (34)

~aa = ~α ∧ ~r ′ + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r ′) (35)

Ejemplo 2Evaluar la velocidad y aceleración a la que está sometida una personainmóvil sobre la superficie de la Tierra en un punto de latitud norte 40o.Radio de la Tierra 6375 km.Situemos los sistemas de referencia como seindica en la figura: origen común ycoincidiendo los ejes Z y Z’.El sistema móvil está rotando en torno al ejeZ’ con una velocidad angular ~ω = ω~k ′.El vector de posición del punto P será~R = R(cos θ~i ′ + sen θ~k ′)

0,0'

X

θ

R

ω

X'

Y

Z,Z'

vaaa

P


Como la persona está inmóvil en el punto P, la distancia O’P será constantey por consiguiente ~v ′ = ~a′ = 0 así como la aceleración de Coriolis ~ac = 0.

En consecuencia, la velocidad absoluta coincide con la de arrastre

~v = ~va = ~ω ∧ ~R = Rω cos θ~j ′

y está por tanto dirigida según la tangente al paralelo que pasa por P.

La aceleración absoluta coincide también con la de arrastre

~a = ~aa = ~ω ∧ (~ω ∧ ~R) = ω~k ′ ∧ Rω cos θ~j ′ = −Rω2 cos θ~i ′

poniendo de manifiesto que la aceleración está dirigida hacia el eje derotación y es normal a él.

Dado que la Tierra tarda 24 horas en girar sobre su eje, la velocidad derotación vendrá dada por


ω =2πT

=2π

24 · 3600= 7, 27 · 10−5 rad/s

y para una latitud θ = 40o, resulta

~v = 6375 · 103 · 7, 27 · 10−5 · cos 40 ~j ′ = 355 ~j ′ m/s

~a = −6375 · 103 · (7, 27 · 10−5)2 · cos 40 ~i ′ = −0, 026 ~i ′ m/s2

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