MOVEMENTOMOVEMENTOPERIÓDICOPERIÓDICO

2º BACH2º BACH

ÍNDICEÍNDICEԹ Introducción.Introducción.Թ M.A.S.M.A.S.Թ Enerxía do M.A.S.Enerxía do M.A.S.Թ Aplicacións do M.A.S.Aplicacións do M.A.S.Թ Péndulo simple.Péndulo simple.Թ Péndulo Físico.Péndulo Físico.Թ Superposición do M.A.S.Superposición do M.A.S.Թ Resume.Resume.Թ Bibliografía.Bibliografía.

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Movemento periódico:Movemento periódico: Repitense a intervalos de Repitense a intervalos de tempo iguais.tempo iguais.  

Movemento oscilatorio:Movemento oscilatorio: Movemento periódico de Movemento periódico de vaivén respecto a unha vaivén respecto a unha situación de equilibro.situación de equilibro.

PARÁMETROS DO MOVEMENTO VIBRATORIO:PARÁMETROS DO MOVEMENTO VIBRATORIO:

Periodo(T):Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación completa.oscilación completa.

Frecuencia(ƒ):Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones el número de oscilaciones f f = 1/T= 1/Tcompletas efectuadas en la unidad de tiempo.completas efectuadas en la unidad de tiempo.

Elongación:Elongación: en un instante dado es la posición de la en un instante dado es la posición de la partículapartícula respecto de la posición de equilibrio.respecto de la posición de equilibrio.

Amplitud(A):Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación. es el valor máximo de la elongación.

Frecuencia angular(Frecuencia angular( ωω ):): ωω = 2 = 2 π𠃃

ECUACIÓN GENERALECUACIÓN GENERAL

ωt + ϕ :es la fase, cuya unidad en S.I es el RADIÁN

ϕ : es la fase inicial (t = 0)

x = A cos(ω t +ϕ) x = A sin(ω t +ϕ)

M.A.S.M.A.S.

CINEMÁTICA DEL M.A.S.CINEMÁTICA DEL M.A.S.

Si x = A sin ωt

v= dx/dt = A ω cos ωt

a= dv/dt= -A ω2 sin ωt

DINÁMICA DEL M.A.S.DINÁMICA DEL M.A.S.

Para Para xx>0>0, , FF =-k =-kxx Para Para xx<0<0, , FF ==kkxx

-LEY DE HOOKE: define el comportamiento del muelle para un oscilador armónico.

*La fuerza restauradora de un muelle es directamente proporcional a su deformación.

*Fm = -k x

Periodo de las oscilacionesPeriodo de las oscilaciones::

Tomando a= - ω2 x ; tenemos que el periodo es:

El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones.

En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle:restauradora del muelle:

FFmm = m a = m a - k x = m a- k x = m a

T = 2π m / k

ENERGIA ASOCIADA AL ENERGIA ASOCIADA AL OSCILADOR ARMÓNICOOSCILADOR ARMÓNICO

W = | f | |∆r| cos ϕ

1. 1. TRABAJOTRABAJO::

2. 2. ENERGIA CINETICAENERGIA CINETICA::

Aquella capacidad que poseen los cuerpos para Aquella capacidad que poseen los cuerpos para realizar trabajo en función de su movimiento.realizar trabajo en función de su movimiento.

Ec = 1/2 mv2

Ec = 1/2 k (A2 – x2 )

TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICA

WT = ∆Ec

La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza conservativa, porque el trabajo que realiza un conservativa, porque el trabajo que realiza un muelle no depende del camino seguido.muelle no depende del camino seguido.

3. 3. FUERZAS FUERZAS CONSERVATIVASCONSERVATIVAS::

Esta energía, depende de las posiciones de las partículas que forman el sistema.

En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía potencial elástica; por supuesto cuanto mayor sea la compresión del muelle mayor es la energía.

Epelástica = ½ K x2

4. 4. ENERGIA POTENCIALENERGIA POTENCIAL::

El trabajo total realizado sobre una partícula se El trabajo total realizado sobre una partícula se puede expresar como:puede expresar como:

WWTOTAL TOTAL = W= WCC + W + WNCNC = = ∆∆EcEc

Teniendo en cuenta la relación entre el Wc y la Teniendo en cuenta la relación entre el Wc y la ∆∆Ep Ep tenemos: tenemos:

WWNCNC = = ∆∆Ec + Ec + ∆∆EpEp

O lo que es lo mismo: O lo que es lo mismo: WWNCNC = = ∆∆EmEm

5. 5. CONSERVACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA MECÁNICAENERGIA MECÁNICA::

APLICACIONES DEL M.A.S.APLICACIONES DEL M.A.S.M.A.S. vertical

Colgamos una masa del extremo libre de un resorte vertical y se deja

descender suavemente; comienza a oscilar de forma vertical, hasta que el

sistema alcanza el equilibrio.

Fuerza recuperadora -> F=kl

En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl

k=mg/l -> f= 1/2 π k/m

M.A.S. angular

La frecuencia angular y frecuencia vienen dadas por:

Ejemplo: rueda de balance de un reloj mecánico

Un resorte espiral ejerce un momento de torsión de restitución proporcional al

desplazamiento angular respecto de la posición de equilibrio.

τ = -K Θ

El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)

PÉNDULO SIMPLEPÉNDULO SIMPLE

Constituido por una Constituido por una masa puntual masa puntual suspendida de un punto suspendida de un punto fijo mediante un hilo fijo mediante un hilo inextensible cuya masa inextensible cuya masa es despreciable.es despreciable.

ENERGÍA ASOCIADA AL PÉNDULO SIMPLEENERGÍA ASOCIADA AL PÉNDULO SIMPLE

Por haber ganado altura, decimos que adquiere energía Por haber ganado altura, decimos que adquiere energía potencial gravitatoria. Es decir, en el centro no tiene energía potencial gravitatoria. Es decir, en el centro no tiene energía potencial y en los extremos si. Podemos entonces, aplicar el potencial y en los extremos si. Podemos entonces, aplicar el principio de conservación de la energía y afirmar que la energía principio de conservación de la energía y afirmar que la energía cinética del centro se ha transformado en potencial en los cinética del centro se ha transformado en potencial en los puntos de máxima amplitud.puntos de máxima amplitud.

ECUACIONES DEL PÉNDULO SIMPLEECUACIONES DEL PÉNDULO SIMPLE

x = A cos (ω t + φ) = A cos (2π ƒt + φ)x = A sen(ω t + β) = A sen (2π ƒt + β)

Periodo del péndulo:

T = 2π L / |g|

PÉNDULO FÍSICOPÉNDULO FÍSICO

El período del péndulo físico para pequeñas amplitudes de

oscilación:

Al desplazarse el cuerpo, el peso (mg), causa un momento de torsión de restitución:

τ = - (mg) (d senθ)

El péndulo físico oscila solamente por acción de su peso

Si se suelta el cuerpo, oscila;

Para ángulos pequeños, el movimiento será armónico simple. (al aproximar senθ con θ). Entonces:

τ = - (mg d) θ

Para amplitudes mayores, el movimiento es armónico, pero no simple.

Frecuencia:

Momento de inercia:

Periodo:

SUPERPOSICIÓN DEL M.A.S.SUPERPOSICIÓN DEL M.A.S.La superposición tiene lugar cuando dos fuerzas perturbadoras actúan simultáneamente siendo el

movimiento resultante la suma de los distintos M.A.S.

x1(t) = A1 sen (ω1t + ψ1)x2(t) = A2 sen (ω2t + ψ2)

x(t) = x1(t)+ x2(t) == A1 sen (ω1t + ψ1) + A2 sen (ω2t + ψ2)

En una dimensión: FRECUENCIAS IGUALES

Α) Ψ 1 = Ψ 2 -> interferencia constructiva

Β) Ψ 1 = Ψ 2 + π -> interferencia destructiva C) Ψ1 = Ψ2 + π/2 -> m.a.s. en cuadratura

Casos particulares:

Resulta un M.A.S. de la misma frecuencia, donde:

A2 = A12 + A2

2 + 2A1 A2 cos|Ψ1 −Ψ2|

tgΨ = A1 sen Ψ1 + A2 sen Ψ2

A1 cos Ψ1 + A2 cos Ψ2

FRECUENCIAS DISTINTAS

PULSACIONES

El movimiento resultante no es un M.A.S.

La amplitud resultante será:

A2 = A12 + A2

2 + 2A1 A2 cos (Ψ1 −Ψ2)

Es el resultado de la superposición de dos M.A.S. de frecuencias ligeramente diferentes.

x(t) = A cos ω1- ω2 t sen ω1+ ω2 t

2 2

En dimensiones perpendiculares:

FRECUENCIAS IGUALESx(t) = A sen (ω t + α)y(t) = B sen (ω t + β)

Con δ = α – β eliminamos t, y obtenemos:

FRECUENCIAS DISTINTAS

x = A sen (ωxt + α)y = B sen (ωyt + β)

La trayectoria no será una elipse, salvo que ωx= ωy

En el caso general es una curva conocida como “curva de

Lissajous”.

RESUMENRESUMEN

BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

ڟ ““Física” .- Física” .- Paul A. Tipler - Ed.Reverté,sa.Paul A. Tipler - Ed.Reverté,sa.

ڟ ““Física Universitaria” (vol. 1) .- Física Universitaria” (vol. 1) .- Sears, Zemansky, Young, Sears, Zemansky, Young, Freedman - Pearson.Freedman - Pearson.

ڟ ““Física” Física” (2º Bto.)(2º Bto.) .- J.L.Hernández Neira, M.Gisbert Briansó .- .- J.L.Hernández Neira, M.Gisbert Briansó .- Bruño.Bruño.

ڟ ““Física” Física” (2º Bto.)(2º Bto.) .- Á.Peña, J.A.García .- Ed.McGraw-Hill. .- Á.Peña, J.A.García .- Ed.McGraw-Hill.