Morales Arellano Juan Carlos Ensayo 1

8/3/2019 Morales Arellano Juan Carlos Ensayo 1

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INSTITUTO TECNOLGICO DE

SAN JUAN DEL RO

MATEMTICAS DISCRETAS

ENSAYO DE LA UNIDAD I

Juan Carlos Morales Arellano

Grupo: A

Profesor: I.S.C. Roberto Gmez Muoz

Jueves 15 de Septiembre de 2011


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ContenidoINTRODUCCIN ................................................................................................................................... 3

UNIDAD 1: SISTEMAS NUMRICOS ..................................................................................................... 3

1.1 Sistemas Numricos .................................................................................................................. 4

1.1.1 Sistema Binario (numeracin en base 2)............................................................................ 4

1.1.2 Sistema Octal (numeracin en base 8) ............................................................................... 5

1.1.3 Sistema Decimal (numeracin en base 10) ........................................................................ 5

1.1.4 Sistema Hexadecimal (numeracin en base 16) ................................................................ 6

1.2 Conversiones entre sistemas numricos................................................................................... 6

1.2.1 Conversin de decimal a binario ........................................................................................ 6

1.2.2 Conversin de binario a decimal ........................................................................................ 7

1.2.3 Conversin de decimal a octal ........................................................................................... 71.2.4 Conversin de octal a decimal ........................................................................................... 7

1.2.5 Conversin de decimal a hexadecimal ............................................................................... 8

1.2.6 Conversin de hexadecimal a decimal ............................................................................... 8

1.2.7 Conversin de binario a octal y viceversa .......................................................................... 9

1.2.8 Conversin de binario a hexadecimal y viceversa .............................................................. 9

1.3 Operaciones bsicas ................................................................................................................ 10

1.3.1 Suma binaria ..................................................................................................................... 10

1.3.2 Resta binaria ..................................................................................................................... 11

1.3.3 Multiplicacin binaria ....................................................................................................... 11

1.3.4 Divisin binaria ................................................................................................................. 12

1.4 Complementos ........................................................................................................................ 12

1.5 Algoritmo de Booth ................................................................................................................. 12

1.6 Aplicacin de los sistemas numricos en la computacin ...................................................... 13

CONCLUSIN ..................................................................................................................................... 14

REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 15


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INTRODUCCINEn el presente ensayo se va a hablar acerca de la Unidad 1 de la materia de Matemticas

Discretas, esta unidad habla acerca de los Sistemas de Numeracin. El propsito de

escribir este ensayo es recordar lo visto en clase para tratar de reafirmar o fortalecer los

conocimientos adquiridos. Primeramente se hablara sobre los sistemas numricos (Binario,

Octal, Decimal y Hexadecimal), luego hablaremos de las conversiones entre estos sistemas

numricos, posteriormente se vern las operaciones bsicas con estos sistemas (Suma,

Resta, Multiplicacin y Divisin), tambin veremos el Algoritmo de Booth y, para

terminar, veremos algo de la aplicacin de los sistemas numricos en la computacin.

UNIDAD 1: SISTEMAS NUMRICOSEsta unidad, como ya se dijo, trata acerca de los Sistemas de Numricos. De lo que

recuerdo y ms o menos investigue. Un sistema numrico es un sistema de numeracin que

utiliza conjuntos de smbolos (dgitos) para representar cantidades.

Se dice que el hombre usa el sistema decimal por una simple razn: porque tiene diez dedos

en total, cinco en cada mano, lgicamente. Incluso las palabras dgito y dedo tienen la

misma raz latina dgitus, por eso usamos una numeracin con diez dgitos o dedos.

Contar del 0 al 10 es fcil, pero qu pasara cuando hay que contar ms de diez cosas? o

Cmo le haramos para contar algo que es muy complicado de contar algo que es muy

complicado de contar utilizando el sistema decimal?, bueno, tratando de resolver estos

problemas el ser humano ha inventado otros sistemas de numeracin aparte del decimal.

Bueno, nosotros vimos cuatro distintos tipos de sistemas de numeracin:

1) El Binario (que es de base 2)2) El Octal (que es de base 8)3) El Decimal (que es de base 10)4) El Hexadecimal (que es de base 16)


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1.1 Sistemas NumricosEl sistema numrico binario representa a los enteros mediante 2 smbolos, el sistema

numrico octal representa a los enteros mediante 8 smbolos, el sistema numrico decimal

representa a los enteros mediante 10 smbolos y el sistema numrico hexadecimal

representa a los enteros mediante 16 smbolos. El valor sobre el cual se basa el sistema (10

en el caso del sistema decimal) es la base del sistema numrico.

1.1.1 Sistema Binario (numeracin en base 2)En el sistema numrico binario (base 2), slo necesitamos o smbolos (0 y 1) para

representar los enteros. En la representacin de un entero, leda de derecha a izquierda, el

primer smbolo representa el nmero de unos, el siguiente smbolo el nmero de doses, el

siguiente smbolo el nmero de cuatros, el siguiente smbolo que el nmero de ochos, y as

sucesivamente. En general, el smbolo en la posicin n (donde el smbolo de la extrema

derecha ocupa la posicin 0) representa el nmero de magnitud 2n. Como 2

0=1, el smbolo

en la posicin 0 representa el nmero de 2

0

, o de unos; como 2

1

=2, el smbolo en laposicin 1 representa el nmero de 21, o de doses; como 22=4, el smbolo en la posicin 2

representa el nmero de 24, o de cuatros; y as sucesivamente.

Sin saber cul sistema numrico se est utilizando, una representacin es ambigua; por

ejemplo, 101101 representa un nmero en decimal y otro nmero muy distinto en binario.

Con frecuencia, el contexto indica el sistema numrico en uso, pero cuando se quiere ser

absolutamente claro, colocamos un nmero como subndice para especificar la base (el

subndice 10 denota el sistema decimal y el subndice 2 denota el sistema binario). Por

ejemplo, el nmero binario 101101 puede escribirse 1011012. (Matemticas Discretas,

Richard Johnsonbaugh).

Bueno, esto quiere decir que el sistema de numeracin binario usa la notacin posicional,

entonces el valor de cada dgito depende de la posicin que tiene en el nmero, as por

ejemplo el nmero 11010110 es:

1*(20) + 0*(2

1) + 1*(2

2) + 0*(2

3) + 1*(2

4) + 1*(2

5) = 1 + 4 + 16 + 32 = 5310

Entonces, siguiendo las reglas generales para cualquier base expuestas antes, tendremosque:

Existen dos dgitos (0 o 1) en cada posicin del nmero.

Numerando de derecha a izquierda los dgitos de un nmero, empezando por cero, el valordecimal de la posicin es 2n.


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Por ejemplo, 11012 (en base 2) quiere decir:

1*(23) + 1*(22) + 0*(21) + 1*(20) = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

1.1.2 Sistema Octal (numeracin en base 8)

El sistema octal usa 8 dgitos (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistemade numeracin decimal. Este es el sistema de numeracin que usaramos si tuviramos

manos de cuatro dedos, como los Simpsons :-).

Por ejemplo, un nmero en octal sera 125. Estamos en base 8, as que el nmero en

decimal sera as:

5 * 8^0 + 2 * 8^1 + 1 * 8^2 = 5 + 2 * 8 + 64 = 85 (decimal)

1.1.3 Sistema Decimal (numeracin en base 10)Para representar los enteros en el sistema numrico decimal, utilizamos los diez smbolos0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Al representar un entero, es importante la oposicin de los

smbolos; al leer de derecha a izquierda, el primer smbolo representa el nmero de

unidades, el siguiente smbolo el nmero de decenas, el siguiente smbolo que el nmero de

centenas, y as sucesivamente. En general, el smbolo en la posicin n (donde el smbolo de

la extrema derecha est en la posicin 0) representa el nmero de magnitud 10n. Como

100=1, el smbolo en la posicin 0 representa el nmero de magnitud 100, o unidades; como

101=10, el smbolo en la posicin 1 representa el nmero de magnitud 10 1, o decenas; como

102=100, el smbolo en la posicin 2 representa el nmero de magnitud 10

2, o centenas; y

as sucesivamente. (Matemticas Discretas, Richard Johnsonbaugh).

Bueno, este es el sistema de numeracin ms utilizado, y creo que con la explicacin

anterior es ms que suficiente para entenderlo.


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1.1.4 Sistema Hexadecimal (numeracin en base 16)En el sistema numrico hexadecimal utilizamos los smbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,

B, C, D, E y F para representar los enteros. Los smbolos a-f se interpretan como los

decimales 10-15. (En general, en el sistema numrico de base N, si necesitan Nsmbolos

distintos, los cuales representan 0, 1, 2,., N-1). En la representacin de un entero,

comenzando por la derecha, el primer smbolo representa el nmero de 1, el siguiente

smbolo el nmero de 16, el siguiente smbolo el nmero de 162, y as sucesivamente. En

general, el smbolo en la posicin n (donde el smbolo de la extrema derecha est en la

posicin 0) representa el nmero de 16n. (Matemticas Discretas, Richard

Johnsonbaugh).

1.2 Conversiones entre sistemas numricosLas conversiones entre sistemas numricos se refieren a expresar un nmero que est en

cierto sistema de numeracin hacia otro sistema de numeracin.

1.2.1 Conversin de decimal a binarioConvertir un nmero decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar

divisiones sucesivas entre 2 y escribir los residuos obtenidos en cada divisin en orden

inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo:

Para convertir al sistema binario el nmero 7710 haremos divisiones que darn los residuos

siguientes:

77: 2 = 38 Residuo: 138: 2 = 19 Residuo: 019: 2 = 9 Residuo: 19: 2 = 4 Residuo: 14: 2 = 2 Residuo: 02: 2 = 1 Residuo: 01: 2 = 0 Residuo: 1y, tomando los residuos en orden inverso obtenemos la cifra binaria: 71010 = 10011012

Para los nmeros con punto decimal, se parte del punto decimal hacia la derecha

desarrollando las potencias de dos con exponentes negativos comenzando desde -1 hasta

donde sea necesario. Ejemplo: 3.2510= 1*21+1*2

0.0*2-1+1*2-1


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1.2.2 Conversin de binario a decimalPara esta conversin se hace lo siguiente:

Se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones

de todos los dgitos cuyo valor sea 1.

Veamos dos ejemplos:

1011112 = 1.25+0.24+1.23+1.22+1.21+1.20 = 4510

101012= 1.24+0.2

3+1.2

2+0.2

1+1.2

0= 2110

1.2.3 Conversin de decimal a octalEsta conversin se hace de forma parecida a la de decimal a binario. En este caso se hacen

divisiones sucesivas entre 8 y escribimos los residuos obtenidos en cada divisin en orden

inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo:

Para escribir en octal el nmero decimal 12210 tendremos que hacer las siguientesdivisiones:

122: 8 = 15 Residuo: 215: 8 = 1 Residuo: 71: 8 = 0 Residuo: 1

Tomando los residuos obtenidos en orden inverso tendremos el nmero octal:12210 = 1728

1.2.4 Conversin de octal a decimalLa conversin de un nmero octal a decimal es sencilla, solo se desarrolla la potencia de

cada posicin en una cifra octal y se multiplica por cada dgito del nmero decimal.

Por ejemplo:

Para convertir el nmero 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dgito ysumar:

2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910

2378 = 15910


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1.2.7 Conversin de binario a octal y viceversaPara convertir el nmero binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits y lossustituiremos por su equivalente octal:

1012 = 58

0012 = 180112 = 38

y, as: 1010010112 = 5138

Ahora, la conversin de nmeros octales a binarios se hace, siguiendo el mismo mtodo,

reemplazando cada dgito octal por los tres bits equivalentes.

Por ejemplo:

Para convertir el nmero octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cadauno de sus dgitos:

78 = 111258 = 101208 = 0002

y, as: 7508 = 1111010002

1.2.8 Conversin de binario a hexadecimal y viceversaPara expresar en hexadecimal un nmero binario bastar con tomar grupos de cuatro bits,empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal.

Por ejemplo:

Para expresar en hexadecimal el nmero binario 1010011100112 tomaremos grupos decuatro bits, empezando por la derecha, y los reemplazamos por su equivalente enhexadecimal:

10102 = A16

01112 = 71600112 = 316

y, as: 1010011100112 = A7316


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En caso de que los dgitos binarios no formen grupos completos de cuatro dgitos, se deben

aadir ceros a la izquierda hasta completar el ltimo grupo.

Por ejemplo:

1011102 = 001011102 = 2E16

La conversin de nmeros hexadecimales a binarios se hace del mismo modo:reemplazando cada dgito hexadecimal por los cuatro bits binarios que le correspondan.

Por ejemplo:

Para convertir a binario el nmero hexadecimal 1F616 hallaremos sus equivalencias endgitos binarios:

116 = 00012

F16 = 11112

616 = 01102

y, as: 1F616 = 0001111101102

1.3 Operaciones bsicas

1.3.1 Suma binaria

En binario, la cifra ms alta es el 1, por lo tanto, cuando en la suma encontramos dos unos

resulta 1 + 1 = 10, entonces se deja el 0 y se arrastra el 1 para ser sumado a la izquierda.

Debido al 1 de arrastre pueden juntarse tres unos, con lo que obtenemos 1 + 1 + 1 = 11luego dejaremos un 1 y arrastramos otro 1 a la izquierda. Ejemplo:


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1.3.4 Divisin binaria

En este ejemplo, hay que comenzar cogiendo 4 cifras del dividendo para sobrepasar al

divisor. As resulta que 1011 entre 111 toca a 1 (solo puede ser 1 o 0). 1 por 111 es 111 y

falta 100 hasta llegar a 1011. Bajando la siguiente cifra (un 0) resulta que 1000 entre 111toca a 1. As sucesivamente.

1.4 Complementos

El complemento a 1 de un nmero binario se obtiene invirtiendo todas sus cifras (ponerceros en lugar de unos y unos en lugar de ceros), incluyendo los ceros a la izquierda si es el

caso. Por ejemplo, el valor 10011 en un registro de 8 bits (cifras) ser 00010011 y sucomplemento a 1 ser 11101100.

El complemento a 2 de un valor binario se obtiene sumando 1 al complemento a 1. Porejemplo, el complemento a 2 de 10011 (el mismo anterior) ser 11101100 + 1 = 11101101.

Para restar sumando: Es posible obtener la diferencia de dos nmeros binarios de forma

distinta a la resta. Solo es necesario sumarle al minuendo el complemento a 2 delsustraendo y no tomar en cuenta el ltimo bit de la izquierda y listo. Ejemplo:

100101Minuendo 100101Minuendo

- +

000111Sustraendo 111001Complemento a 2 del Sustraendo

011110Resultado 1011110Resultado

1.5 Algoritmo de Booth

Supongamos dos nmeros, multiplicando y multiplicador, con longitudes en bits, x para elprimero, e y para el segundo:

Construimos una matriz de tres filas y x+y+1 columnas. Identificaremos las filascomo, A la primera, S la segunda y P la tercera.

Se inician los x primeros bits de cada fila con:


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o A, el multiplicando.o S, el complemento a dos del multiplicando.o P, ceros.

Los siguientes y bits se completan con:o

A, ceros.o S, ceros.o P, el multiplicador.

Para finalizar la matriz, se inician a 0 todos los valores de la ltima columna.Una vez iniciada esta matriz, se realiza el algoritmo.

Se realizan y iteraciones del siguiente bucle.1. Comparar los dos ltimos bits de P, para realizar la siguiente accin:

00 o 11: no se hace nada.

01: P = P + A. Se ignora el acarreo. 10: P = P + S. Se ignora el acarreo.2. Desplazamiento aritmtico de P a la derecha (se conserva el bit de signo).

Finalmente, tras y iteraciones, se elimina el ltimo bit de la derecha (menossignificativo), obteniendo el resultado.

1.6 Aplicacin de los sistemas numricos en la computacin

Un bit es un dgito binario (la palabra bit proviene de binary digit), es decir, un 0 o un 1. En

una computadora digital, los datos y las instrucciones se codifican mediante bits. (El

trmino digital se refiere al uso de los dgitos 0 y 1). La tecnologa determina la forma

fsica de representar los bits dentro de un sistema de cmputo. El hardware actual se basa

en el estado de un circuito electrnico para representar u bit. El circuito debe poder estar en

dos estados (uno que represente 1, y el otro 0).

La computadora est diseada sobre la base de numeracin binaria (base 2). Por su

simplicidad y por poseer nicamente dos dgitos diferentes, el sistema de numeracin

binario se usa en computacin para el manejo de datos e informacin. Normalmente aldgito cero se le asocia con cero voltios, apagado, desenergizado, inhibido (de la

computadora) y el dgito 1 se asocia con +5, +12 volts, encendido, energizado (de la

computadora) con el cual se forma la lgica positiva. Si la asociacin es inversa, o sea el

nmero cero se asocia con +5 volts o encendido y al nmero 1 se asocia con cero volts o

apagado, entonces se genera la lgica negativa.


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CONCLUSIN

Bueno, pues los sistemas numricos se me hacen interesantes, cada uno tiene sus propias

reglas y smbolos, se pueden convertir o se puede pasar un numero de in sistema de

numeracin a otro siguiendo ciertos pasos, las operaciones bsicas del sistema binario sonun tanto fciles, lo que si se me complico es el algoritmo de Booth que segn es un mtodo

rpido y sencillo para la multiplicacin y divisin binaria.

Pude observar que dependiendo de lo que se necesite hacer u obtener, se puede usar un

sistema de numeracin u otro para hacer ms eficiente el trabajo y mostrar buenos

resultados, tambin pude ver que el sistema de numeracin binario es que ms se utiliza en

el campo de la computacin ya que es simple y posee nicamente dos dgitos diferentes, y

esto lo hace ideal para manejar datos e informacin.


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REFERENCIAS

JOHNSONBAUGH, Richard,Matemticas discretas, 4a ed. Editorial PEARSON ALLENDOERFER y OAKLEY, Fundamentos de matemticas universitarias, 3a

ed. Editorial McGraw Hill

http://www.monografias.com/trabajos28/sistemas-numeracion/sistemas-numeracion.shtml

http://www.modelo.edu.mx/univ/virtech/prograc/cbyn01.htm

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