Monografia de Lenguaje Matematico 17 Marzo 2015
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UNIVERSIDAD CENTRAL FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION ESCUELA DE MATEMATICA Y ESTADISTICA 1
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UNIVERSIDAD CENTRAL
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA
EDUCACION
ESCUELA DE MATEMATICA
Y ESTADISTICA
1
2014Monografía de Lenguaje Matemático
ASIGNATURA DE LENGUAJE MATEMATICO
Índice
1. Lenguaje matemático
Notación y lenguaje 3
Proposición simple 3
Proposición compuesta 5
Valor de verdad 5
Conectores 5
Variables 6
Conjunto 7
Notación 7
Función proposicional 8
- Demostraciones y definiciones
Axioma 9
Teorema 9
Consecuencia lógica 10
Proposición lógicamente verdadera 11
Proposición lógicamente equivalente 12
Leyes proposicionales 12
Tablas de verdad 13
Tautología, contradicción, contingencia 14
Definiciones 16
Tipos de definiciones 16
Demostraciones 17
Tipos de demostraciones 19
Cuantificadores 22
2. Teoría de conjuntos
2
Axiomas y propiedades 24
Operaciones 25
Complemento 25
Teoremas 26
Diferencia simétrica 26
Representaciones graficas 29
Algebra de conjuntos 30
Producto cartesiano 31
Propiedades 32
- Relaciones
Tipos de relaciones 33
Dominio y recorrido 34
Relación inversa 35
Identidad 36
- Función
Composición de funciones 40
Tipos de funciones 41
Función lineal 44
Función cuadrática 47
Gráficos 49
Raíces de una función 51
Función simétrica 52
Función par o impar 54
Función creciente o decreciente 55
Funciones periódicas 56
Algebra de funciones 57
Funciones trigonométricas 59
Ecuación trigonométrica 62
Identidad trigonométrica 62
3. Números reales
Axiomas de campo 63
Axiomas de orden 65
Conjunto de números reales 66
Tipos de conjuntos 67
3
Algebra de conjuntos 68
Números naturales 68
Números enteros 68
Números racionales 69
Completitud de los números reales 70
Axioma del supremo 70
Inecuaciones 71
4. Estadística descriptiva
Tablas de frecuencia 73
Gráficos 75
Medidas de tendencia central 75
Propiedades 76
Medidas de dispersión 80
Propiedades 80
4
Notación y Lenguaje matemático
La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo
XVIII. Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que
limita el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las
notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean
mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La
notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran
cantidad de información. Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna
tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.
El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como
“o”, “y” sólo tiene significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras como
“abierto” y “cuerpo” tienen significados matemáticos muy concretos. La jerga matemática, o
lenguaje matemático, incluye términos técnicos como “homeomorfismo” o “integrabilidad”. La
razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático
requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión
en el lenguaje y en la lógica como el "rigor".
El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática. Los
matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento
sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han
dado varias veces en la historia de esta ciencia.
Proposiciones: afirmaciones o negaciones dependientes del contexto (verdadero o falso)
Ejemplos: “uno mas uno es dos”
“el conjunto de los números naturales es subconjunto de los números esteros”
“el pasto es verde”
Todo argumento que se refiera a objetos matemáticos no es evidente y necesitan de propiedades
lógicas o leyes de la lógica para aceptarse como verdad.
Muchas de las expresiones del lenguaje natural no son preposiciones.
No proposiciones: cualquier frase la cual no afirme ni niegue.
Ejemplos: “hola”
“uno mas uno”
5
“El conjunto de los números naturales”
Las proposiciones también pueden ser compuestas es decir un conjunto de proposiciones
simples que están unidas mediante a partículas o conectores lógicos.
Ejemplos: “llueve y voy al teatro “
“llueve o voy al teatro”
“No voy al teatro”
“si llueve entonces voy al teatro”
“voy al teatro si y solo si llueve”
¿De que depende el valor de verdad de una proposición compuesta?
Depende del valor de verdad de la proposición simple y los conectivos que tenga dicha
proposición
En los ejemplos se utilizan los conectores “y” ; ”o” ; “no” ; “entonces” ; “si y solo si”
Valor de verdad:
“Y”: verdadera solo si ambas son verdaderas
“O”: verdadera si al menos una de ellas es verdadera
“No”: verdadera si la proposición “si” es falsa
“Entonces”: verdadera si no se da el caso que la primera fuera verdadera y la segunda falsa
“Si y solo si” verdadera si ambas son verdaderas o falsas
Otro tipo de proposición es aquella que llevan la expresión, palabra o frase “todo”, ”existe“,
”existe un único” y especifica un cierto tipo de objeto.
Ejemplos: “todo numero es positivo”
“existen números positivos”
“existe un único numero positivo”
A estas expresiones se les llama cuantificadores, la veracidad de una proposición con
cuantificadores depende de la veracidad de las proposiciones que están involucradas
implícitamente en ella.
6
La primera proposición es verdadera si y solo si dado cualquier numero, la proposición que
afirma que este numero sea positivo es verdadera.
La segunda proposición es verdadera si hay al menos un número, tal que la proposición que
afirma que es un número positivo es verdadera.
La tercera proposición es positiva si hay un numero, tal que la proposición que afirma que es
positivo es verdadera y dado cualquier otro numero la proposición que a firma que aquel
numero es positivo sea las frases del lenguaje natural que individualizan a objetos los llamamos
términos.
Ejemplos: “dos”
“Victor”
“el hermano mayor de Juan”
Los términos pueden estar compuestos por términos más simples.
Ejemplos: “Dos mas tres”
“el cuadrado de cinco”
Todos estos están compuestos por términos simples y unidos por conectores llamados
operaciones
Las operaciones pueden ser binarias (relación de dos términos) o unitarias.
Las variables son expresiones en las cual se han reemplazado por letras x, y, z a uno o mas
términos simples.
Ejemplos: “x es positivo”
“y es par”
“Si x es mayor que cinco entonces x es positivo”
Estas frases se llaman predicado o funciones proposicionales y los términos x, y, z se llaman
variables. Las funciones proposicionales no son verdaderas ni falsas, pero al reemplazar la
variables por términos se trasforman en proposiciones.
Análogamente si una función proposicional con variable x se le antepone un cuantificador
seguido de la variable se trasforma en una proposición.
Ejemplos: “todo numero x es positivo”
7
“existen números x, tales que x es positivo”
“existe un único numero x, tal que x es positivo”
En el lenguaje lógico habitual estas expresiones se pueden reducir
“todo numero es positivo”
“existen números positivos”
“existe un único numero positivo”
El valor de verdad de estas proposiciones depende de la veracidad de todas las proposiciones
que se obtienen de la variable x remplazada por un número cualquiera.
Conjunto:
Este término no es realmente definible si no se entiende como una colección de objetos.
Aceptaremos la existencia de conjuntos de objetos con características físicas que llamaremos
elementos.
Simbología:
Términos simples a, b, c,… notación usual √3 ,√2 , juan
Términos cualesquiera t, m, v,… notación usual 2+3, el padre de Juan
Operaciones f(x), g(x,y),… notación usualx+ y , x2 , (x+ y )2
Proposición simple p, q, m,… notación usual 2+2≠ 4 , lluevehoy , voy al teatro
Funciones proposicionales p(x), q(x,y),…notación usual x2+4=5 , 5x−5=20
Conectivos: “no” (¬, -, )
“y” (∧)
“o” (∨)
“o” (∨)
“si entonces” (⇒)
“si y solo si” (⇔ )
“ni,..,ni” (⇓)
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Conjuntos A, B, C,… notación usual sistemas numéricos
Elementos de un conjunto minúsculas cualesquiera notación usual a∈ A
Proposición cualquiera α ,β , γ , …
Funciones proposicionales cualquiera α (x ) , β ( x , y ) , …
En general si α (x )es una FP (función proposicional) y “t” un termino α (t ) denota la proposición
obtenida de α (x )al reemplazar x por t y si F(x) es una operación y t un termino F(t) es el
termino obtenido de F(x) al reemplazar x por t.
Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales
Operaciones usuales +,−,<,> ,=, x2
Actividad: anotar en símbolos
1) “Dos mas dos son ocho” 2+2=8
2) “todo numero natural es par” ∀ x , x∈N es par
3) “si dos es par todo numero es par” 2 es par⇒∀ x , x∈N , x es par
4) “si uno es par entonces tres no es par” 1 es par⇒¬(3 es par )
5) “todo numero natural mayor que cinco es par” ∀ x , x∈N , x>5⇒ x es par
6) “hay números naturales pares mayores que cinco” ∃ x , x∈N , x es par∧ x>5
7) “el producto de dos números naturales pares es par”
∀ x , x∈N , x es par∧∀ yt , y∈N , y es par⇒ x ∙ y es par
8) “existe un único numero natural cuyo cuadrado es cuatro” ∃! x , x∈N , x2=4
9) “no hay un numero natural que sea mayor que todo numero natural”
¬∃ x , x∈N ,∀ y , y∈N ,x> y
10) “el cuadrado de la suma de dos números naturales es igual al cuadrado del primero mas
el doble del producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.
∀ x , x∈ N∧∀ y , y∈N , ( x+ y )2=x2+2 xy+ y2
El concepto de verdad de una proposición simple y/o compuesta, se puede agregar para su
consideración el uso de cuantificadores. En el siguiente esquema se determina el valor de
verdad de las siguientes proposiciones para “p” proposición simple.
α ,β∝osiciones cualesquiera
α (x ) funcion proposicional
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A conjunto
Así:
p es verdadero si y solo si p es verdadero dentro del contexto en que se pida.
¬ α es verdadero si y solo si α es falso.
α∧ β es verdadero si y solo si α y β son verdaderas
α∨ β es verdadero si y solo si alguna es verdadera
α∨ β es verdadero si y solo si solo una de ellas es verdadera
α⇒ β es verdadera si y solo si no se da el caso que α sea verdadera y β falso
α ⇔ β es verdadero si y solo si ambos son verdaderos o ambos son falsos.
∀ x , x∈ A ,α( x) es verdadero si y solo si para todo elemento de a en A, en donde
α (a) es verdadero.
∃! x , x∈ A ,α (x ) es verdadero si y solo si existe un único elemento a en A en donde
α (a) es verdadero y para otro elemento b α (b) es falso.
Justificar las siguientes proposiciones.
1) 4=5 falso
2) 2<3 verdadero
3) 2 ∙3+1>32 ∙ 10 falso
4) 2<3∨4=5 verdadero dado que 2< 3 es verdadero
5) 2<3∧4=5 falso ya que 4=5 es falso
6) 4=5⇒ 2=3 verdadero porque 4=5 es falso
Demostraciones y definiciones
Se consideran aplicaciones matemáticas, se escoge una serie de objetos matemáticos para
estudiar sus propiedades. Estos objetos se llaman objetos básicos, y consideremos que la
naturaleza proviene de nuestra intuición. Cualquier otro tipo de objeto a cual queramos
referirnos tendrá que ser introducido y explicado en términos de los objetos básicos, esto se
llama definición.
De los objetos aceptamos una serie de verdades básicas como intuitivas a los que llamaremos
axiomas.
Cualquier otra verdad que se pretenda establecer, tendrá que ser argumentada de modo que se
justifique como verdadera, a este argumento lo llamaremos demostración, y las verdades así
obtenidas las llamaremos teoremas.
10
Para explicar los conceptos de definición y demostración se requieren algunos conceptos
lógicos.
premisas {si lluevehoy voy al teatro p 1lluevehoy p 2
conclucion {voy alteatro q
( p1∧ p 2)⇒q
Consecuencias lógicas
Diremos que una proposición α es consecuencia de un conjunto de proposiciones
α 1∧α2∧α 3∧…∧α n si y solo si no puede darse que α 1∧α2∧α 3∧…∧α n sean verdadera y
α falsa. En este caso diremos que α 1∧α2∧α 3∧…∧α n son premisas y α una conclusión.
Diremos que α es una consecuencia de α 1∧α2∧α 3∧…∧α n si y solo si α 1∧α2∧…∧αn
implica que α es verdadera.
(α 1∧α2∧α 3∧…∧α n)⇒ α
Ejemplo:
P1 todo numero real es positivo falso, p1 ∀ x , x∈ R , x∈R+¿¿
P2 menos dos es numero real verdadero, ( p2−2)∈ R
q menos dos es positivo falso, (q−2)∈ R+¿¿
Explique si dicho argumento es verdadero
( F∧V )⇒F F⇒F
Algunas proposiciones son consecuencia de un conjunto de proposiciones, pero por su forma
lógica, esta consecuencia es independiente del contenido de este. A este tipo de consecuencia se
le conoce como consecuencia lógica.
Ejemplo:
α⇒ β ((α⇒ β )∧α)⇒ β=falsoαβ
V ⇒F=F
∴β=F α=V
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((α⇒ β )∧α)⇒ β=V
α β α⇒ β (α⇒ β)∧α ((α⇒ β )∧α)⇒ β
V V V V V
F V F F V
Si α es verdadero podemos considerar que α⇒ β será verdadero necesariamente si β es
verdadero, esto justifica la consecuencia lógica.
a∈ A
∀ x , x∈ A (α ( x ) ) p 1∧ p2⇒c α (a)
V ∧V ⇒V
Si p2 es verdadero para todo elemento en A y como a∈ A es verdadero. Se tiene que la
conclusión α (a ) es verdadera.
Proposiciones lógicamente verdaderas
Las proposiciones verdaderas son consecuencias de cualquier conjunto de proposiciones. Hay
proposiciones verdaderas independientes de su contenido y se llaman lógicas, y son
consecuencia lógica de cualquier conjunto de proposiciones.
Ejemplos:
1. α∨(¬ α)
2. ∀ x , x∈ A A (α (x )∨ (¬ α ( x ) ) )Si x∈ A es una proposición V entonces por el ejemplo 1 la condición es verdadera.
3. ¬(α∧¬α)
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α ¬ α α∨(¬ α)
V F V
F V V
Proposición lógicamente equivalente
En general dos proposiciones son lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de
verdad.
Cuando la proposición depende de la forma lógica y no del contenido hablaremos de
equivalencia lógica. De este modo podemos aseverar que dos proposiciones verdaderas serian
lógicamente equivalentes.
α=β
α ⇔ β
Ejemplo:
¬ (¬ α )=α ¬¿
¬ (¬ V ) ¬¿
¬ F ≡V V=V
La teoría lógica matemática como toda construcción lógica a partir de las ideas básicas con
formas, principios, leyes, teoremas que permiten sintetizar expresiones más complejas.
Leyes proposicionales
p∧ p ≡ p Ley de idempotencia
p∨ p ≡ p
( p∧q )∧ r≡ p∧ (q∧ r ) Ley de asocatividad .
( p∨q)∨r ≡ p∨(q∨ r )
p∧q ≡ q∧ p Ley conmutativa
p∨q ≡ q∨ p
p∧ (q∨ r )≡ ( p∧q )∨ ( p∧ r ) Ley distributiva
p∨ (q∧ r )≡ ( p∨q )∧ ( p∨ r )
p∧V ≡ pp∧F ≡ F Ley de identidad . p∨V ≡Vp∨F ≡ p
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p∧¬ p≡ F p∨¬ p≡V¬ (¬ p )≡ p Ley de complemento . ¬V ≡ F¬ F ≡V
¬ ( p∧q ) ≡¬ p∧¬ q Ley de Morgan
¬ ( p∨q ) ≡¬ p∨¬ q
Ejemplo:
Demostrar que:
1. p⇒q ≡ p∨q
p q p⇒q
V V V
V F F
F V V
F F V
Se observa que los valores de verdad coinciden.
2. ¬ ( p⇒ q ) ≡ p∧¬ q
p q p⇒q ¬( p⇒q)
V V V F
V F F V
F V V F
F F V F
La verificación de todas aquellas proposiciones que no tengan variables pueden hacerse
utilizando las tablas de verdad las que resumen los posibles valores de verdad que pueden tener
las proposiciones que la componen.
Ejemplo:
¬ (α⇒ β )⟺(α∧¬ β)
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P ¬ p q p∨q
V F V V
V F F F
F V V V
F V F V
P ¬ q p∧¬ q
V F F
V V V
F F F
F V F
Caso 1º
α β (α⇒ β ) ¬ (α⇒ β ) ¬ β (α∧¬ β )
V V V F F F
V F F V V V
F V V F F F
F F V F V F
Caso 2º
Tautología
Si una proposición es verdadera independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen se le llama tautología.
Contradicción
Si una proposición es falsa independientemente del valor de verdad de las proposiciones simples
que la componen sele llama contradicción.
Contingencia
Si una proposición no se puede definir como tautología o contradicción se le llama
contingencia.
Ejemplo:
Verifique el valor de verdad de la proposición (α⇒ β )⇔(¬ α∨β )
α β (α⇒ β ) ¬ α (¬ α∨β ) (α⇒ β )⇔(¬ α∨β )
V V V F V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V
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¬ ¿ ⇒ β ¿ ⟺ ¿ ∧ ¬ β ¿
F V V V V V F F
V V F F V V V V
F F V V V F F F
F F V F V F F V
α Puede ser verdadero o falso como también β puede ser verdadero o falso, excepto en
el caso que α sea verdadera e implique que β fuese falsa.
Problema 1º
Luego de un crimen se comprueban los siguientes hechos:
El mayordomo o el hijastro asesino al señor X
Si el mayordomo asesino al señor X, entonces el asesinato no ocurrió antes de
medianoche
Si el testimonio del hijastro es correcto, entonces el asesinato ocurrió antes de
medianoche.
Si el testimonio del hijastro es incorrecto, entonces las luces de la casa no se apagaron a
medianoche.
Las luces de la casa se apagaron a medianoche y el mayordomo no es millonario.
¿Quien es el asesino?
Para verificar proposiciones con variables hay que usar el esquema de verdad.
Ejemplo:
∃ x∈ A , ∀ y∈ A (α ( x , y ))⇒∀ y∈ A∃ x∈ A (α( x , y ))
En este caso se da que si ∃ x∈ A , ∀ y∈ A (α ( x , y ) ) es verdadera entonces existe un elemento a
en A tal que ∀ y∈ A (α (a , y )) es verdadera. Es decir que ∀b en Ase tiene que α (a , b ) es
verdadera pero entonces ∀a ,b se tiene que ∃ x∈ A(α ( x ,b )) sea verdadera, por lo tanto
∀ y∈ A ∃ x∈ A (α(x , y)) es verdad. Es decir que no se puede dar el caso que la primera sea
verdadera y la segunda falsa.
( ( α⇒ β )∧α )⇒ β
((α⇒ β )∧α)⟺ β
Debemos tener presente que algunas de las proposiciones anteriores son implicaciones y la
equivalencia falla.
16
( ( α⇒ β )∧α ) ⇒ β ((α⇒ β )∧α) ⟺ β
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F V
F V F F V F
Para el caso de proposición con variables se reitera la necesidad del esquema de verdad. Es
decir.
∃ x∈ A , ∀ y∈ A (α ( x , y ))⇒∀ y∈ A∃ x∈ A (α( x , y )) Es verdad pero por equivalencia no lo
es.
Definición
Definir es introducir un nuevo símbolo agregando una proposición que indique su significado,
esta proposición define el símbolo y en tal caso hablaremos de la definición del símbolo.
Las definiciones tendrán diferentes formas según cual sea el objeto a definir.
1. La definición de un nuevo termino “a” tendrá la forma ”a = t” donde “t” es un termino
ya conocido. Para definir “a” usaremos “t” conocido y el signo de la igualdad.
Análogamente con los signos +, =, 1 podemos definir 2
2 = 1+1
2. La definición de una operación unitaria f(x) tendrá la forma f(x)=g(x) donde g(x) es una
operación conocida.
Si A es un conjunto de todos los objetos, para los cuales se usara la operación. Entonces se
puede expresar para proporciones.
∀ x∈ A ( f ( x )=g ( x ))
Universo= R operación = ∙
Definir: x2 x2=x ⋅ x
3. La definición de una función proposicional P(x) tendrá la forma p(x )⟺α (x ) donde
α (x) es una función proposicional conocida.
17
Si A es un conjunto de todos los objetos para los cuales se usara la función proposicional p(x)
entonces esta se puede expresar α (x).
∀ x∈ A ( p ( x )⟺α (x ))
Definir que x es un número par
∀ x∈N ,(xes par )⟺∃ y∈N (x= y+ y)
4. La definición de una operación unitaria f(x) puede hacerse usando funciones
proposicionales conocidas. Así α (x , y ) es una función proposicional tal que
∀ x∈ A ,∃ ! y∈ A (α ( x , y )) va a hacer una condición verdadera.
En este caso se pide definir f(x) en A ∀ x∈ A ,∀ y∈ A (f ( x )= y⟺α ( x , y ))
Definir en el conjunto de los números reales, con los símbolos +, 0 el inverso aditivo (-x).
∀ x , y∈ A ( f (x )= y )⟺ p ( x )∧ y=g ( x )∨ (¬ p ( x )∧ y=h ( x ) )
Valor absoluto
|x|={ x si x≥ 0−x si s≤ 0
∀ x∈ R
5. La definición anterior se llama definición por caso o por intervalo es decir
|x|={ x si x≥ 0−x si s≤ 0
lo que resulta equivalente a definir
∀ x , y∈R (|x|= y )⟺x ≥ 0∨ (¬ g ( x ) )⇒( y=x<0)
Las definiciones se introducen como proposiciones verdaderas, siendo ellas consecuencia de
cualquier conjunto de proposiciones.
Demostración
Diremos que demostrar una proposición es obtenerla como consecuencia de axiomas y
definiciones. Una demostración es una lista de proposiciones, cada una de las cuales es o un
axioma o una definición o una proposición ya demostrada o una consecuencia de proposiciones
que aparecen antes de la lista.
Ejemplo:
Demostración del teorema de Pitágoras
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Matemáticamente las hipótesis son datos antes de la implicancia o la información que nace de
un problema y la tesis es el resultado esperado o a demostrar.
Hipótesis:
⊿ ABC Rectángulo en C
a,b catetos c hipotenusa
Tesis: a2+b2=c2
Demostración
Construyamos un cuadrado de lados a+b con a distinto
de b y a+b de forma contigua en los lados.
Unimos los puntos extremos de los segmentos a,b y se
determina el cuadrilátero A`B`C`D`
⊿ D' A A' ⊿ A' B B' ⊿B ' C C ' ⊿C' D D' porLAL⇒D' A '=A ' B'=B' C '=C ' D'=c
Por congruencia LAL α+γ=90 °⇒ β=90 °⇒ A' B' C' D' cuadrado
∴ AT=4( ab2 )+c2
(a+b )2=2 ab+c2a2+2 ab+b2=2 ab+c2a2+b2=c2
19
Demuestra que la suma de los ángulos interiores de un triangulo suman 180º
Hipótesis:
a) ⊿ ABC cualquiera
b) α ,β , γ ángulos interiores
Tesis: α+β+γ=180 °
Demostración
1) Construyamos un triangulo cualquiera
2) α ,β , γ∢ interiores
3) Consideremos el lado AC como la recta L1 más allá de
A y C.
4) Construyamos una recta L2 paralela a L1 por el vértice B
5) Proyectamos el lado AB y BC mas allá de B obteniendo los
ángulos α ' β ' γ ' tal que β=β ' ; γ=γ ' por congruencia de
ángulos alternos internos entre paralelas.
6) Por definición de ángulo completo (180º) afirmamos que
α+β '+γ '=180 °=α+β+γ=180 °
Cada preposición incluida en la lista será entonces un axioma, definición o una consecuencia de
los axiomas y definiciones. Es decir un teorema.
En general muchos de los teoremas no son de la forma(α 1∧α 2∧α 3 …∧αn)⇒ αdonde
α 1∧α 2∧α 3…∧αn son hipótesis y α es la tesis.
Existen varia formas de hacer una demostración tales como:
20
Por contradicción: usando la equivalencia lógica α ≡ α 2⇒ ( p∧ p) para demostrar
(α 1∧α 2∧α 3 …∧αn)⇒ α se debe suponer su negación ,
(α 1∧α 2∧α 3…∧αn)∧¬ α se obtiene p∧¬ p
Por contraposición: usando la equivalencia lógica α⇒ β ≡¬ β⇒¬ αes decir para
demostrar un teorema con una hipótesis de la forma α⇒ β.
Por contraejemplo: usando la equivalencia lógica ¬∀ x∈ Aα (x ) ≡∃ x∈ A ¬ α( x) se
pueden demostrar teoremas de la forma ¬∀ x∈ Aα (x). Es decir buscar un a en A tal
que ¬ α (a) sea verdadera y el a, es un contraejemplo de la proposición ∀ x∈ Aα (x).
Por casos: usando la equivalencia lógica α ≡ ( p⇒ α )∧(¬ p⇒ α ) se puede demostrar α
dividiendo en dos partes la demostración en el caso que p sea verdad y en laso que p
sea falsa.
Por ejecución: usando la equivalencia lógica α∨ β ≡ α⇒ βpara demostrar teoremas de
la forma (α 1∧α 2∧α 3…∧αn)⇒ α∨β obteniendo.
(α 1∧α 2∧α 3 …∧αn∧¬ β)∨β (α 1∧α 2∧α 3 …∧αn∧¬ α) .
Ejemplo:
Consideremos el conjunto de los números naturales con las operaciones +, ∙ como símbolos de
adición y multiplicación.
Suponemos conocidas las proposiciones mas utilizadas
1. x> y⟺∃ z∈N (x= y+z )
2. x es par⟺∃ z∈N (x=2 z)
3. x es par⟺∃ z∈N ( x=2 z+1 )∨(x=1)
1) Demostrar que 5 > 1
5>1⟺∃ z∈N (5=1+z ) 5−1=1+z−1 4=z
2) Demostrar que 5 es impar
5 es impar⟺∃ z∈N (5=2 z+1 ) 5+1=2 z+1−1 4=2 z
21
4 ∙12=2 z ∙
12
2=z
Se puede agregar a nuestro lenguaje expresiones proposicionales mediante la definición de un
nuevo conectivo.
Definimos ¿…∋(⇓ )
En símbolos p⇓q se lee ni p ni q y usaremos la siguiente interpretación.
p⇓qes verdad si y solo si ambas son falsas.
Demostrar.
¬ p ≡ p⇓ p
p ¬ p p⇓ p
V F F
F V V
p∨q ≡ ( p⇓ q )⇓( p⇓q)
p∧q ≡ ( p⇓ p )⇓(q⇓q)
p q p∧q p⇓ p q⇓ q ( p⇓ p )⇓(q⇓ q)
V V V F F V
V F F F V F
F V F V F F
F F F V V F
Ejercicios:
Demostrar si:
a) ( p⟺q )⇒(q⟺ p) es tautología
22
p ∨ q ¿ ⇓ q¿ ⇓ ¿ ⇓ q¿
V V V V F V V V F F
V V F ≡ V F F V V F V
F V V F F V V F F F
F F F F V F F F V V
¿ ⟺ q¿ ⇒ ¿ ⟺ p¿
V V V V V V V Tautología
V F F V F F V
F F V V V F F
F V F V F V F
b) Si p∧q es verdadero y f ∧ r es falsodetermine el valor de verdad de
p ∧ q f ∧ r
V F F V F F
F F V F F V
F F F F F F
¿ ∨ q¿ ⇒ ¿ ∧ q¿
F V V V F F F Tautología
V V F V V V V
F V V V F F F
c) Dadas las proposiciones
p= (2+2=5 )⇒ (3 ∙ 4=8 )
q=( 4 ∙ 4=1 )∧(3 ≠ 5)¿⇒(4=5) 𝑟=[ (4 ≠3 )∧ (3≠ 5 ) ]⇒(4=5)
Determinar el valor de verdad de ¬ ( p∧q )⟺[r∨¬ ( p∨q )]
p=F⇒F∴ p=V q=( F∧V )⇒V ∴q=F r=(V∧V )⇒F ∴r=V ∴tenemos ¬ (V ∧F )⟺ [ F∨¬ (V ∨V ) ] ¬ F⟺ (F∨¬V ) V ⟺ ( F∨V ) 𝑉⟺𝑉𝑉
Cuantificadores
∀ x∈ A , p ( x )⇒∃ x∈ A ,¬ p(x )
∃ x∈ A , p ( x )⇒∀ x∈ A ,¬ p ( x )
23
∃! x∈ A , p ( x )⇒ [∃ x∈ A , ¬ p ( x ) ]∨[∀ x∈ A ,¬ p ( x )]
Dado el universo “sección de mantención de una empresa” existe un instructivo para los
empleados en el cual deberá indicar todas las expresiones lógicas así como sus interpretaciones.
a) El presente instructivo es valido para todos los empleados de la sección, con acepción
del jefe de sección.
b) Todas las personas de la sección cumplirán turnos diarios, de lunes a domingo de 8
horas cada día con la única excepción de los empleados que según la ordenanza interna
cumplan los turnos complementarios fijados por la jefatura.
c) Si alguno de los empleados da parte de imposibilidad de concurrir a su trabajo por un
determinado día, entonces será reemplazado por al menos un empleado en una o todas
las obligaciones laborales del día. Según turnos y disposiciones de la jefatura.
d) La no continuidad en el cumplimiento de la jornada, según solicitud a esta jefatura, será
evaluada previamente a su aceptación, solo la situación evidente por razones de salud
acreditara la suspensión de la jornada y su reemplazo en los quehaceres designados.
Resolución:
a) x= empleados
p(x)=validación del instructivo
S= sección de mantenimiento
∀ x∈S , p ( x )∧∃! x∈S ,¬ p (x )
b) x=personas
y= personas con ordenanza
p(x)= turnos de 8 hrs
q(y)= turnos complementarios
∀ x∈S , p ( x )∧∀ y∈S , q ( y )
c) x= empleado
y= empleado disponible
p(x)= imposibilidad de asistir al trabajo
q(y)= reemplazo parcial
f(y)= remplazo total
∃ x∈S , p (x )⇒∃ y∈S , [q ( y )∨ f ( y )]
d) p(x)= continuidad de jornada
q(x)= solicitud de retiro aceptada
¬ p ( x )⇒ [q ( x )∨¬ q ( x )]
Unidad 2º
24
Teoría de conjuntos
Presenta variados enfoques, la idea intuitiva, y el enfoque axiomático o matemático.
La idea intuitiva, un conjunto es una reunión de objetos bien definidos y diferenciables entre si,
que se llaman elementos.
Si a es un elemento del conjunto A, se denota con la relación de pertenenciaa A∈
En el caso contrario si a no pertenece a A, se denota con la relación de no pertenencia a A∉
Ejemplos:
1. ϕ(fi) es el llamado conjunto vacio, es decir que carece de elementos2. ℕ es el conjunto de los números naturales3. N0 es el conjunto de los números naturales mas el 04. ℤ es el conjunto de los números enteros5. ℚ es el conjunto de los números racionales6. ℚ’ es el conjunto de los números irracionales7. ℝ es el conjunto de los números reales8. ℂ es el conjunto de los números complejos
Se puede definir un conjunto por extensión, enumerados todos y cada uno de los elementos
o por comprensión indicando una ley general o idea que los caracterice.
Axiomas y propiedades.
- Axioma1: sea A,B conjuntos, entonces ∀ x∈ A (x∈B )∧∀ x∈B ( x∈ A )⇒ A=B
Este axioma dice que dos conjuntos son iguales siempre y cuando todos sus elementos sean
iguales, es decir que un conjunto esta determinado por sus elementos.
- Axioma2: si A es un conjunto y φ(x) es una función proposicional. Entonces existe B
tal que x∈B ⇔(x∈ A∧φ ( x ))
Este conjunto es único y se llama “el conjunto de elementos que están en A y satisfacen φ” y se anota {x :φ(x )}
- Axioma3: ℝ es conjunto.
Con este axioma se tiene que todo conjunto de números reales es un conjunto en particular el
conjunto vacio
25
- Axioma4: si A es un conjunto existe un conjunto B tal que x∈B ⇔∃ y∈ A ( x∈ y )
Este conjunto se llama “unión de los elementos de A” o simplemente “unión de A” y se denota
A∪
Diremos que A es un subconjunto de B si y solo si ∀ x∈ A (x∈B) y se denota A⊆B
- Axioma5: si A es un conjunto existe un conjunto B tal que x∈⇒ x∈ A
Este conjunto se llama “el conjunto potencia de A” y se denota ℘ (A )
- Axioma6: si A,B son conjuntos, existe C talque x∈C⇒(x=A)∨(x=B)
Este conjunto se llama “parte de A y B” y se denota { A , B }
Los conjuntos señalados en los axiomas [4, 5, 6] también se pueden expresar como:
∪ A={x :∃ y∈ A ( x∈ y ) } ℘( A )={x : x⊆A }
{ A , B }={x : x=A∨ x=B } Operaciones.
Se definen las principales operaciones entre conjuntos como:
1. A unión B A∪B=∪ {A , B }
2. A intersección B A ∩ B= {x : x∈ A : x∈B }
3. A menos B A−B={x : x∈ A : x∉ B }
4. Singleton de A { A }={A , A }
5. Complemento de A A'= {x : x∉ A }
En forma organizada ocupando los criterios lógicos
1. A∪B= {x : x∈ A∨ x∈B }
2. A ∩ B= {x : x∈ A∧ x∈B }
3. A−B={x : x∈ A∧ x∉B }
4. { A }={x : x=A }
5. A'= {x : x∉ A }
Proposición o teorema.
26
( A∪B )'=A ' ∩ B'
Si x∈ ( A∪B )⇒ x∉ ( A∪B )
por lo tanto {x∉ A⟶ x∈ A '
∨∧x∉B⟶ x∈B '
⇒ x∈ A' ∩B ' ∴( A∪B )'=A ' ∩ B'
Ejercicios.
Demostrar si A ∩ ( B∪C )= ( A ∩ B )∪(A ∩ C)
1. Supongamos que:
x∈ A ∩ (B∪C )⇒{x∈ A∧
x∈ ( A ∩ B )⇒{x∈ B∨
x∈C
⇒{x∈(A ∩ B)∨
x∈(A ∩C)⇒ x∈ ( A ∩ B )∪(A ∩C )
∴ A ∩ ( B∪C )=( A ∩B )∪(A ∩C)
2. Supongamos que:
x∈ ( A ∩B )∪ ( A ∩C )⇒{x∈ ( A ∩C ) {x∈C∧
x∈ A∨∨
x∈ ( A ∩B ){x∈ A∧
x∈B
⇒{x∈ A∧
x∈B∨
x∈C
⇒ A ∩ ( B∪C )
∴ ( A ∩ B )∪ ( A ∩C )=A ∩ (B∪C )
Podemos agregar los siguientes teoremas para demostrar
1) A∪ A=A
2) A ∩ A=A
3) A∪B=B∪A
4) A ∩ B=B ∩ A
5) A∪ ( B∪C )=(A∪B)∪C
6) A ∩ ( B ∩C )=(A ∩ B)∩C
7) A∪ ( B∩ C )= ( A∪B ) ∩(A∪C )
27
8) A ∩ ( B∪C )= ( A ∩ B )∪(A ∩ B)
9) A−A=∅
10) A−(B∪C )=( A−B )∩(A−C)
11) A−(B ∩C )=( A−B )∪(A−C)
12) A⊆ A
13) ( A⊆B )∧(B⊆C)⇒A⊆C
14) ( A⊆B )⇔ ( A∪B )=B ⇔ A ∩ B=A
15) A⊆B⇔ A−B=∅
Es posible definir aun más operaciones tales como la diferencia simétrica entre otras.
Diferencia simétrica.
Dado A, B conjuntos se define como
A△B=( A∪B )−(A ∩ B)
Demostrar que.
1. A△B=( A−B )∪(B−A)
Supongamos que:
x∈ ( A△ B )⇒ x∈[ ( A∪B )−(A ∩ B)]{x∈ ( A∪B ){x∈ A∨
x∈B∧∧
x∉(A ∩B){x∉ A∧
x∉B
⇒{x∈ A∧
x∉B∨
x∈B∧
x∉ A
⇒ {x∈(A−B)∨
x∈(B−A )⇒ x∈ ( A−B )∪(B−A)
∴ A△B=( A−B )∪(B−A )
2. A△B=∅⇔ A=B
A△B=( A−B )∪ (B−A )=∅ ( A⊆B )∪ (B⊆ A )=∅ 𝐴=𝐵
Demostrar que A⊆B⇔ A∪B=B ⇔ B=A
28
Podemos considerar la doble implicancia en un solo sentido, es decir podemos hacer implicar
además la primera proposición. A⊆B⇒ A∪B=B⇒B=A⇒A⊆B
Separaremos la proposición para la comodidad de la demostración.
A⊆B⇒ A∪B=B⏟1
; A∪B=B⇒B=A⏟2
;B=A⇒ A⊆B⏟3
1. Demostrar que A⊆B⇒ A∪B=B
Supongamos que A⊆B⇒ x∈ A∧ x∈B
Sabemos que ( A∪B )⊆B∧B⊆(A∪B) ; x∈(A∪B)⇒ x∈ A∨ x∈B
Si x∈ A∧ x∈B⇒(A⊆B) entonces…
(A∪B)⊆Bpor lo tanto…
∴ A⊆B⇒ A∪B=B
2. A∪B=B⇒B=A
( A∪B )⊆B∨B⊆ ( A∪B )⇒ ( B⊆A )∧ ( A⊆B ) 𝑥∈( A∪B )⇒ x∈ A∨ x∈B𝑥∈𝐵⇒𝑥∈( A∪B )∴𝐴=𝐵3. B=A⇒ A⊆B (B⊆ A )∧ ( A⊆B )⇒ A⊆B ∴𝐵=𝐴⇒𝐴⊆𝐵
Con esto podemos concluir que A⊆B⇒ A∪B=B⇒B=A⇒A⊆B
Por lo tanto esta demostrado A⊆B⇔ A∪B=B ⇔ B=A
Representaciones graficas
El diagrama de Venn-Euler
A es un conjunto
29
A, B son disjuntos
A, B no son disjuntos
B⊆A A, B no son disjuntos
A⊆B A, B no son disjunto
Algebra de conjuntos.
1. A∪ A Idempotencia
2. A ∩ A
3. ( A∪B )∪C=A∪(B∪C ) Asosiatividad
4. ( A ∩ B ) ∩C=A ∩(B ∩C)
5. A∪B=B∪A Conmutatividad
6. A ∩ B=B ∩ A
7. A∪ ( B∩ C )= ( A∪B ) ∩(A∪C ) Distributividad
8. A ∩ ( B∪C )= ( A ∩ B )∪(A ∩ C)
9. A∪∅=A
10. A ∩℧=A Identidad
11. A∪℧=℧
12. A ∩∅=∅
13. A∪ A'=℧
14. A ∩ A'=∅
15. ( A' )'=A Complemento
16. ℧ '=∅
30
17. ∅ '=℧
18. ( A∪B )'=A ' ∩ B ' Morgan
19. ( A ∩ B )'=A'∪B '
Verificar con diagrama de Venn-Euler
1. A ∩ ( B∪C )= ( A ∩ B )∪(A ∩ B)
2. ( A ∩ B )'=A'∪B '
3.
A−(B ∩C )=( A−B )∪(A−C)
Producto cartesiano.
Sean A, B conjuntos se define A × B, el producto cartesiano entre A y B.
A × B ¿ {(x , y)/∈ A , y∈B }
Ejemplo:
31
A={a , b }
B= {1,2,3 }
A × B= (1, a ) (1 , b ) (2 , a ) (2, b ) (3 , a )(3 ,b)
Nota: A × B ≠ B × A
Otra forma
Si A, B son conjuntos y x∈ A∧ y∈B entonces c , y∈ A ∩B, donde {x } , {x , y }∈℘(A∪B)
Nota:
A={0,1,2 } ℘ ( A )={{0 }, {1 } , {2 }, {0,1 } , {0,2 }, {1,2 } , {0,1,2 } ,∅ } 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ( x , y )∈℘ (A∪B)
Esto nos permite la definición formal
Definición: A, B conjuntos, entonces:
A × B=¿
Usualmente:
A × B= {(x , y)/ x∈ A , y∈B }
A × B= {(x , y)/ x∈ A , y∈B }
Ejemplo:
(1) R ×∅= {(x , y )/ x∈R , y∈∅ }=∅
(2) R × R={(x , y) /x∈R∧ y∈R }
(3) R ×{0 }={(x , y)/ x∈R∧ y=0 }
R ×{0 }={(x ,0)/x∈R }
32
(4) {0,1 } × {2 }={(0,2 ) ,(1,2)}
El concepto de producto cartesiano se puede amplificar a tres o más conjuntos.
Tríos ordenados.
A, B, C conjuntos A × B ×C={(x , y , z)/ x∈ A∧ y∈B∧ z∈C }
Propiedades
Las propiedades básicas del producto cartesiano se indican en los siguientes teoremas:
1. A × B=B × A ⇔ A=∅ ∨B=∅ ∨ A=B
2. A × B=∅ ⇔ A=∅∨B=∅
3. A × ( B∪C )=( A × B )∪(A ×C )
4. ( A∪B )× C=( A ×C )∪(B × C)
5. A × ( B ∩C )=( A × B ) ∩(A × C)
6. ( A ∩ B ) ×C=( A ×C )∩(B ×C)
7. A × ( B−C )= ( A × B )−(A × C)
8. ( A−B )× C= ( A × C )−(B ×C)
Problema:
(1) Se define el trió ordenado (a, b, c)=[(a, b), c]
Demostrar que (a ,b , c )= (a ’ , b ’ , c ’)⇒a=a '∧b=b '∧c=c '
(2) Sea A, B, C conjuntos no vacios
Demostrar A × B ×C=C × A × B⇒ A=B=C
Relación.
El concepto de relación lo podemos entender a partir de una función proposicional x < y sobre ℝ. Esta establece una relación entre dos números reales cualquiera, (por ejemplo1 < 2). En este
caso diremos que los números 1 y 2 en ese orden, están conectados por la relación “ser menor
que” o simplemente, que el par ordenado (1,2) cumple con la relación “menor que” y esta
relación a su vez estará determinada por todos aquellos pares ordenados de números reales que
los satisfagan.
{(x , y )/x , y∈ R∧ x< y }
De este modo la relación se considera un conjunto de pares ordenados.
33
Definición.
i) R es relación binaria ⇔ℛ es conjunto de pares ordenados
ii) Si A, B son conjuntos distintos de vacio y R⊆A × B. ℛ es relación binaria de A en B
iii) Si A es un conjunto y ℛ una relación de A en A. decimos que ℛ es relación en A.(en general se habla de relación en lugar de relación binaria).Se puede entender el concepto de relación ternaria como un conjunto de tríos ordenados, esto
corresponde a una función proposicional con tres variables.
Ejemplo:
{(x , y , z )/ x , y , z∈R∧ x+ y=z }
Se puede utilizar la notación x R y para los (x , y )∈R
R={(x , y)/ x , y∈R∧ x+ y=l }
O sea x R y ⇔ x+ y=l
Tipos de relación.
Sea A ≠∅ , A={a , b , c } , R sobre A × A
Se define:
1. R es reflejado si y solo si ∀a∈ A ( a , a )∈ R
R1= {(a , a ) , (b , b ) , (c ,c ) (b , c ) }refleja R2= {(a , a )(a ,b)}no refleja
2. R es simétrica si y solo si (a , b )∈R∧(b , a)∈R
R1 y R2 No son simétricas
R3= {(a , a) }simetrica
R4={( a , c ) (c ,a )(b ,b)} simetrica
3. Res anti-simétrica si y solo si (a , b )∈R∧(b , a)∉R
R5= {(a , c )(a , b)}antisimetrica
4. R es una relación transitiva si y solo si (a , b )∈R∧ (b , c )∈ R⇒(a , c)∈R
R6={(a , b )(a ,a)} transitiva
R7={(a , b ) (a ,b ) (b , b ) }transitiva
34
5. R es relación equivalencia si y solo si R es simétrica, refleja y transitiva
R={(a ,a ) (a ,b ) (b ,c ) (a , c ) (c ,a ) (c , c ) (b ,b ) (b ,a ) (c ,b ) } 6. R es relación de orden si y solo si R es refleja anti-simétrica y transitiva.
R={(a ,a ) (a ,b ) (b ,b ) }
La relación R={(x , y)/ x∈ A , y∈B } diremos que y es imagen de x por R y que x es pre
imagen de y por R.
Ejemplo:
R={(1 ,−3 ) (−2,5 ) (√2 ,−√3 ) } I={−3,5 ,−√3 }
PI={1 ,−2 ,√2 }
En toda relación de A en B distinguiremos el conjunto
de los primeros y segundos elementos más
exactamente.
Definición: Sea A, B conjuntos y R⊆A × B
, se define
1. Dom ( R )= {x∈ A /∃ y∈B(( x , y )∈R)} y se llamara dominio de la relación R
2. Rec ( R )={ y∈ B/∃ x∈ A ,((x , y )∈R) } y se llamara recorrido de la relación R
Ejemplo:
R={(x , y)/ (x , y )∈R∧ x>2∧ x+ y=1 } Determinar Dom ( R ) y Rec (R)
Dom ( R )= {x∈R /∃ y∈ R(x>2∧ x+ y=1)}
Dom ( R )= {x∈R /x>2∧∃ y∈ R( y=1−x)} Dom ( R )= {x∈R /x>2 }
Dom ( R )=¿2 , ∞+¿¿ ¿
Rec ( R )={ y∈ R/∃ x∈R(x>2∧ x+ y=1)}
Rec ( R )={ y∈ R/∃ x∈R(x>2∧ x=1− y )}
35
Rec ( R )={ y∈ R/1− y>2 }
Rec ( R )=¿−∞,−1¿
Relación inversa
Sea R relacion de A en B, entonces la relación definida de B en A por
R−1={( y , x )∈B × A ,(x , y)∈R } se llama relación inversa deR.
Ejemplo.
R={(a 1 , b 2 ) ( a2 , b 1 ) (a 3 , b 1 ) }
R−1={(b2 , a1 ) (b 2 , a2 ) (b1 , a3 ) }
Exprese con un grafico la relación ℛ y R−1
R={(x , y)/ x , y∈R , x+ y=−3 }
R={(x , y)/ x , y∈R , y=−3−x }
x + y = -3
y = -3 – x
R−1={( y , x )/ x , y∈R , y+x=−3 }
R−1={( y , x ) / x , y∈R , y=−3−x }
x + y = -3
y = -3 – x
36
x y
0 -3
-3 0
x y
0 -3
-3 0
Exprese de forma general la relación inversa
R={(0 ,−3 ) (−3,0 )… } R−1={(−3,0 ) (0 ,−3 )… } ℛ={( x , y )/ y=−x−3 }
R−1={( x , y ) / x=− y−3}
Definición
Sea A un conjunto y ℛ relación
ID ( A )={( x , y )/ x , y∈ A∧ x= y } Se llama identidad de A
Ejemplo:
Verificar si ID(A)−1=ID(A)
R={(1,1 ) …} R−1={(1,1 ) …} Demostrar que:
En ℤ se definex R y ⇔∃ z∈Z (x− y=2 z )
Demostrar si ℛ es relación refleja, simétrica y transitiva.a) ReflejaSupongamos que a∈Z ,a−a=2 zPero si z = 0 z∈Z , a−a=2∙ 0
a−a=0
a=ab) SimétricaConsiderea ,b , c∈Z
c∈Z⇒−c∈Z
a−b=2(−c )
a−b=−2c
b−a=2 c
37
c) Transitiva
Supongamos que a ,b , c∈Z
a−b=2 p∈Z
b−c=2q∈Z
a−b+b−c=2 p+2q 𝑎−𝑐=2(𝑝+𝑞)∈Z
Funciones.
En general una función f(x) es un caso particular de una relación. Se puede pensar que la
relación entre los elementos de dos conjuntos es una operación unitaria.
La definición de una función f(x) se puede entender de manera intuitiva o formalmente como:
1) F es una función de A en B si y solo si f es una relación y
∀ x∈Dom (f )∃! y∈Rec ( f )((x , y )∈ f )
2) Si A y B son conjuntos entonces f es función de A en B si y solo si f es función de y el
Dom (f )=A∧Rec ( f )⊆B
Función real.
Se llama f una función real si y solo si f es función y f ⊆R × R
Determinar si las siguientes relaciones son o no funciones:
1. f={(x , y )/ x , y∈R∧ x= y2 }
si y2=x⟹ y=√ x
38
x y
-2 /
-1 /
0 0
1 1 ; -1
2 1,4 ; -1,4
No es función
39
2. f={(x , y )/ x , y∈R , y=x2 }
Dom (f )=R𝑅𝑒𝑐
( f )=¿Si es función
3. f={(x , y )/ x , y∈ R , x+ y=1 }
Dom (f )=R𝑅𝑒𝑐( f )=R
Si es función
4. f={(x , y )/ x , y∈ R , y=2 x−1 }
40
x y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
2 -1
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
Dom (f )=R𝑅𝑒𝑐( f )=R
5. f={(x , y )/ x , y∈ R , x+ y ≤ 1 }
No es función
6. f={(x , y )/ x , y∈R , x2+ y2=4 }
41
x y
-2 x≤ 3
-1 x≤ 2
0 x≤ 1
1 x≤ 0
2 x≤−1
x y
-1 +√3 ;−√3
0 2 ;−2
1 +√3 ;−√3
No es función
Composición de funciones.
Sea f y g funciones, se define g composición con f
g∘ f= {(x , y ) / x∈Dom (f )∧ y∈Rec (g)∧ y=g( f (x ))}
Explicación:
f : A⟹ B g=B⇒C ( g∘ f ) : A⇒C ( g∘ f ) (x )=g ( f ( x ))
Ejemplo:
f={(x , y )/ x , y∈ R , f (x )=1 – x }
g= {(x , y)/ x , y∈R , g(x )=x+2 }
Obtener ( g∘ f ) (−2 )
1) ( g∘ f ) (−2 )=g (f (−2 ))=g (1 — 2 )𝑔(3 )=3+2=5
2) ( g∘ f ) (x )=g ( f ( x ) )=g (1−x )= (1−x )+2=3−x
Nota:
42
( g∘ f ) (x ) ≠ ( f ∘g )(x)
3) Sean f y g funciones reales definidas por f ( x )=x2 g (x )=1x
determinar el
( g∘ f )(x)
( g∘ f ) (x )=g ( f ( x ) )=g (x2 )= 1
x2 ( g∘ f ) (x )= 1
x2, x≠ 0
Tipos de funciones.
Existen variadas funciones que determinan correspondencias o relaciones biunívocas.
1. Función inyectiva
Sea f función, f es inyectiva si y solo si
∀ x∈Dom( f )∧∀ y∈Dom( f )(x≠ y⇒ f ( x )≠ f ( y ))
Ejemplo:
Si es inyectiva
No es inyectiva
43
2. Función epiyectiva
Sea f una función de A en B se dice que f(x) es epiyectiva si y solo si Rec ( f )=B
En este caso se dice que f es una función de A sobre B, esta consideración hace que este
tipo de funciones la llamen función sobreyectiva.
44
Ejemplo:
No es sobreyectiva
Si es sobreyectiva
Analizar si las siguientes funciones son
inyectivas o sobreyectivas.
- f ( x )=x2−1 sobreyectiva
- g ( x )=x+2 sobreyectiva e inyectiva
Las funciones que son inyectivas y sobreyectivas se dé no minan funciones “biyectivas”. Es
decir, sea A, B conjuntos f(x) es función biyectiva de A sobre B si y solo si f es una función
inyectiva de A sobre B.
Ejemplo:
- Sea f función real definida por f ( x )= x+1x−1
demostrar que f es inyectiva. (tener presente
que x≠1
Dom (f )=R− {1 }
x , y∈R−{1 }
entonces f (x )= x+1x−1
f ( y )= y+1y−1
x+1x−1
= y+1y−1
( x+1 ) ( y−1 )=( y+1 ) ( x−1 )
xy−x+ y=xy+ x− y
45
2 y=2 x⇒ x= y
∴ f ( x )= x+1x−1
, x≠ 1
Observación:
Debemos notar que si los elementos del dominio de f tienen imágenes diferentes, entonces cada
elemento del recorrido tiene una única pre-imagen o imagen con la inversa de la función. Esto
nos asegura que la inversa es una función.
Recordemos que si f : A → B es una función biyectiva entonces la función inversa f−1: B → A
definida por x= f−1 ( y )⇔ y=f (x ).
Ejemplo.
1) f : R → R
x→ f ( x )=x2
¿f tiene inversa?
46
No tiene inversa
2) f : R → R x→ y=2 x−3
¿Tiene inversa?
47
f ( x )=2 x−3y+3
2=x
x+32
= y⇒ f ( x )→ f −1 ( x )= x+32
Nota:
U=I−C (unidad=ingreso – costo ) 𝐼=𝑝∙𝑞 ( ingreso=precio ∙ cantidad )𝐶=c f+cv (costo=costo fijo+costo variable)
Problemas:
1. La producción de una industria alimenticia tiene un costo fijo diario de $45.000. y el
costo variable por la fabricación de su producto estrella, es de $3.500 por unidad.
Anotar la ecuación del costo total y calcular el monto en $ para la elaboración de de 325
unidades.
C=c f+cv 𝐶=$45.000+$3.500∙𝑥𝑥=𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑙𝑙𝑎𝐶 (325 )=$ 45.000+$3.500 ∙325𝐶(325 )=$ 1.182 .500
2. El ingreso por la venta de cierto articulo esta dada por I ( x )=450 x y el costo de
elaboración C ( x )=250 x+20.000 ¿Cuántas unidades deberán confeccionarse para
determinar el punto de equilibrio?
I ( x )=c ( x ) 450𝑥=250𝑥+20.000200𝑥=20.000𝑥=1003. Suponga que el costo fijo de un artículo es de 45.000 UM. Así mismo el costo variable
es de un 60% del precio de venta que es de 15 UM ¿Cuál es la cantidad del equilibrio?
Función lineal.
Normalmente la recta se interpreta como una ecuación lineal o de primer grado con dos
variables y=mx+b donde x, y son variables m la pendiente y b el coeficiente de posición.
48
Ejemplo:
y=3 x+2
x y
0 2
−23
0
Función general.
Ax+By+C=0 En donde
m=−AB
;b=−CB
Ejemplo:
1. 2 x+5 y−6=05 y=6−2x 𝑦=6
5−2
5x
2. y=12
x−34
y=4 x−68
8𝑦=4𝑥−60=4𝑥−8𝑦−60=2𝑥−4𝑦−3
Si consideramos la recta que pasa por el punto p(x, y) cuya pendiente es m podemos decir que
y− y0=m(x+x0)
Ejemplo:
- (2 ,−12 ) y m=3 en su forma de ecuación principal:
49
y+ 12=−3 ( x−2 )
𝑦+12=−3 x+6
𝑦=−3𝑥+6−12
𝑦=−3𝑥+112
De lo anterior podemos deducir que como
y− y0=m ( x+x0 )⇒y− y0
(x−x0 )=m
Otra forma es la ecuación de la recta reducida al origen del sistema de coordenadas.
xa+ y
b=1
Ejemplo:
- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,3 ) y (5 ,−8)anotar en su
forma general y principal.
Ecuación principal
y−3=−8−35−2
( x−2 )
y−3=−113
( x−2 )
y−3=−113
x+ 223
y=−113
x+ 223+3
y=113
x+ 313
Ecuación general
0=113
x+ 313− y
0=11 x+31−3 y
50
- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y tiene pendiente de −12
y−5=−123
( x−2 ) 𝑦−5=−1
2x+1
𝑦=−12
x+6
- Deducir la formula para la ecuación de la recta que pasa por los puntos
A (x1 , y1 ) y B(x2 , y2)
Sabemos que
y− y0=m ( x+x0 )⇒y− y0
(x−x0 )=m
⇒y− y0
(x−x0 )=
y2− y1
(x2−x1 )
𝑦−y1=y2− y1
(x2−x1 )(x+x1 )
- Deducir una formula de la recta de pendiente m y que corta al eje y en el punto (0, b)
y−b=m ( x−0 ) 𝑦=𝑚x+b - Sea p(x, y) un punto cualquiera de la recta. Se trata de encontrar la pendiente m de la
recta que pasa por los puntos ( x , y ) ,(0 ,b) por lo tanto
m= y−bx−0
𝑚𝑥=𝑦−𝑏𝑚𝑥+𝑏=𝑦
- Deducir la ecuación de la recta cuyo punto de intersección con los ejes x e y son (a, 0) y
(0, b) respectivamente
y− y1
x−x1
=y2− y1
x2−x1
⇒ y−0
x−a=b−0
0−a⇒−𝑎𝑦=𝑏( x−a )⇒−𝑎𝑦=𝑏𝑥−𝑎𝑏⇒−ay=bx−ab
ab
51
⇒−ayab
=bxab
−abab
⇒− yb= x
a−1
⇒1= xa+ y
b
Función cuadrática.
Expresión de la forma y=a x2+bx+c a , b , c∈ R
Ejemplo:
1. y=2 x2−1
2.y=−3x2+5 x−2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -44 -24 -10 -2 0 -4 -14
3. y=x2+2
52
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 17 7 1 -1 1 7 17
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 11 6 3 2 3 6 11
Se determinan los puntos de intersección con los ejes coordenados para esta ecuación.
(i) Si y=a x2+bx+c
si x=0⇒ y=c
(ii) Si y=0⇒ 0=a x2+bx+c⟶ecuacion de2º grado
Demostrar solución general de a x2+bx+c=0⇒ x=−b ±√b2−4ac2 a
x=−b±√b2−4 ac2a
2 ax=−b ±√b2−4 ac 2 ax+b=±√b2−4 ac (2 ax+b )2=b2−4 ac 4a2 x2+4 abx+b2−b2=−4 ac4a2 x2+4 abx+4 ax=0𝑎x2+bx+c=0
Determinar la condición general o característica de los puntos de intersección de la función
cuadrática con el eje x.
Proposicion1:
x1+ x2=−b±√b2−4 ac
2 a+−b±√b2−4 ac
2a
x1+ x2=−2b2 a
x1+ x2=
−ba
Proposicion2:
53
x1∙ x2=(−b+√b2−4ac2a )(−b−√b2−4ac
2a ) x1 ∙ x2=
(−b )2−(√b2−4 ac )2
4 a2
x1 ∙ x2=b2−(b2−4 ac )
4 a2
x1 ∙ x2=4 ac
4 a2 x1 ∙ x2=
ca
Determinar la función cuadrática cuyas intersecciones con el eje x son los puntos 2 y 4
Como
x1+ x2=−ba∧ x1 ∙ x2=
ca
2+4=−b
a∧2 ∙ 4= c
a
6=−ba∧8= c
a
⇒{ a=1b=−6c=8
∴la ecuacion sera0=x2−6 x+8
Gráficos:
Se dice que S es un gráfico si y solo si corresponde al conjunto de todos los puntos que
satisfagan la condición S.
Ejemplo: grafique en R × R=R2
1. y ≤ x2
54
2. y>x+1
3. x2+ y2≤ 4
4. x2+ y2≥ 4
55
5. f ( x )=|x|i) Grafique
ii) Determine Dom( f )
iii) Determine Rec (f )
Dom (f )=R 𝑅𝑒𝑐( f )=R+¿∪ {0 }¿
Raíces y símbolos de una función
f ( x )=x2−1 0∈𝐷𝑜𝑚( f )⇒ f (0 )=−1 , A (0 ,−1 )
0∈Rec (f )⇒ x2−1=0⇒ x2=1 x1=1 ; x2=−1 B (0,1 ) ,C (0 ,−1 ) si f ( x )>0⇒ x2−1>0
( x+1 ) (x−1 )>0 ⇒{( x+1 )>0∧ ( x−1 )>0
∨( x+1 )<0∧ ( x−1 )<0
Considerando que la función f ( x )=x2−1, permite determinar tres intervalos de definición a
partir de (x+1) (x-1) > 0 se tiene que f(x) es positiva ∀ x∈ ¿−∞,−1[∪ ]1, ∞+¿.
Estas ideas se pueden formalizar mediante f sea función real.
(i) X es raíz o cero de f si y solo si x∈Dom (f )∧ f ( x )=0
(ii) Sea A⊆Dom( f ), f es positiva en A, si y solo si ∀ x∈ A ( f ( x )<0)
Ejemplo:
Analizar la función f ( x )=√1−x2 indicando las raíces o ceros de la función e intervalos en que
f es positiva y negativa.
56
si x=0⇒ y=√1⇒ y=± 1𝑠𝑖𝑦=0⇒0=√1−x2
⇒0=1−x2⇒1=x2⇒ x=±1
Ahora: f ( x )>0
√1−x2>0 1−x2>0𝑥<±1
57
Función simétrica:
y=2 x2−6 x
y=00=2 x2−6 x0=x (2 x−6 )x1=00=2 x−6x2=3
Eje de simetría.
x1+x2
2=(−b ±√b2−4ac
2 a+−b±√b2−4 ac
2a ) x1+x2
2=
−2 b2 a2
=
−ba2
=−b2a
Determinar el eje de simetría de la función f ( x )=−3x2+5 x+1
−b2 a
⇒− 5−6
⇒ 56
Punto máximo.
x=−b2 a
⇒ y=a(−b2 a )
2
+b (−b2 a )+c
𝑦=𝑎( b2
4 a2 )+b (−b2a )+c
y= b2
4 a− b2
2 a+c
58
𝑦=b2−2b2+4ac4 a
𝑦=4 ac−b2
4 a
Las simetrías se pueden estudiar con respecto al eje x, como con respecto al eje y o al origen.
Ejemplo:
Consideremos la ecuación x2+( y−2)2=1
x2+ y2−4 y+4=1 x2+ y2−4 y+3=0 x2+ y2+Ax+By+C=0 Ecuación de la circunferencia
A=−2 a 𝐵=−2𝑏𝐶=a2+b2−r2
Centro:
(a , b )=centro −2𝑎=𝐴⇒𝑎=− A
2
−2𝑏=𝐵⇒𝑏=−B2
∴(−A2
,−B2 ) punto centro
Centro de la circunferencia en cuestión (−A2
,−B2 )=(0,2)
Radio 1
Es decir se trata de una circunferencia de centro (0,2) y
radio 1 se puede observar una simetría con respecto al eje y
ya que un punto p1con coordenadas (x, y) pertenece al
grafico entonces p2 con coordenadas (-x, y) también
pertenece a dicho grafico. Es decir que x2+¿ .
59
Analizar la relación S= y2=x
si y2=x⇒ y=√x
Si
(P1(x , y)∈S∧P2(x ,− y )∈S )⇒ y2=x es simetrica
Analizar la relación T= x2
4+ y2=1
Si (P1 ( x , y )∈T∧ P2 (−x ,− y )∈T )
⇒ x2
4+ y2=1∈T ∧− x2
4+(− y )=1∈T
Los casos anteriores, particularmente corresponden a relaciones en R × R. Estas simetrías
también se presentan en el caso de funciones. En tales casos se habla de funciones pares o
impares.
Definición:
Sea f una función real
(i) F es par si y solo si ∀ x∈Dom (f ) ¿
(ii) F es impar si y solo si ∀ x∈Dom (f ) ¿
60
Ejemplo
- Dada la función f ( x )=x2−1 demostrar si f es par o impar.
Manera intuitiva:
f (2 )=22−1=3 𝑓(−2 )= (−2 )2−1=3∴𝑓( x )=f (−x ) . f es par
Manera formal:
( f (−x )=(−x )2−1⇒ x2−1 )⇒ f (−x )=f ( x ) ∴𝑓𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟- Analizar si f ( x )=3
2x es par o impar
f ( x )=32
x⇒ f (−x )=32
(−x )=−32
x ⇒𝑓(−x )=−f ( x )∴𝑓𝑒𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Si se da el caso que f ( x )=f (−x )=−f (x) sele llama función cero
Función creciente y decreciente.
Consideremos f ( x )=x2−1y observemos la condición 1< 2
Como f(1)= 0 y f(2)= 3 1<2⇒ f (1 )=0< f (2 )=3
Es decir si establecemos la relación de los elementos del dominio podemos considerar
igualmente 2 > 1
f (2 )=3> f (1 )=0es decir se invirtieron los ordenes en el dominio de lo que se puede observar
que la primera situación se presenta si a>0 yb>0 es decir a<b⇒ f ( a )< f (b)
La segunda si a<0 yb<0 es decir que a<b⇒ f ( a )> f (b) cuando a y b son negativos
Diremos que f es creciente en los reales positivos y decrecientes en los reales negativos.
Esto se puede formalizar de la siguiente manera:
Definición:
61
Se f función real e I intervalo tal que I⊆Dom (f )
(i) F es estrictamente creciente en I si y solo si ∀ x , y∈ I (x< y⇒ f ( x )<f ( y ))
(ii) F es estrictamente decreciente si y solo si ∀ x , y∈ I ¿
Ejemplo.
- Indicar si f ( x )=2 x−5es creciente o decreciente.
Sabemos que
f (x)< f ( y )⇔ 2 x−5<2 y−5
2 x−5+5<2 y−5+5
2 x<2 y
2 x /2<2 y /2
x< y
La función es creciente
- Determine si f ( x )=x2−1 es creciente o decreciente
f ( x )< f ( y )⇔ x2−1< y2−1 x2−1+1< y2−1+1 x2< y2 x2− y2<0 ( x− y ) ( x+ y )<0 ⇒( x− y )<0∨ ( x+ y )<0⇒𝑥<𝑦 ∨ x← y
De lo anterior se tiene que
si x , y∈R+¿f (x )<f ( y ) ⇔ x< y¿
Si x , y∈R−¿f ( x )< f ( y )⇔ x > y ¿
Funciones periódica:
En general son aquellas que tienen la propiedad de repetirse cada cierto intervalo.
Definición.
Sea f función real, f es periódica si y solo si existe e menor p∈R+¿ ¿ tal que
∀ x∈Dom (f ) ¿ el menor p se llama periodo de la función.
62
Nota: La grafica de la función podría implicar que una condición se repita pero no
periódicamente.
Ejemplo
Analizar de forma analítica la función real f ( x )=5
Es decir si f ( x+4 )=5=f (x)
análogamente f ( x+2 )=5=f (x)
Es decir existe el menor p>0 talque f ( x+ p )=f (x )
Analizar si la función f ( x )={ x si 0≤ 0<1x−2 si1 ≤ x ≤ 2
Analíticamente se podría pensar que dicha función se extiende hacia el ∞ positivo y negativo de tal manera que se puede entender que la función presenta un periodo en el intervalo -2 a 2. Es decir la grafica de la función se repite sin considerar esta una contradicción.Algebra de funciones.Dada una o varias funciones reales pueden obtenerse nuevas funciones, aplicando las ya
definidas y operaciones con estas.
Sean f, g funciones reales y λ∈R se define:
1. ( λf ) ( x )=λf (x )
2. ( f ± g ) ( x )=f ( x ) ± g (x)
3. (−f ) (x )=−f (x )
4. ( f ∙ g ) ( x )=f (x) ∙ g(x )
5. ( 1f ) ( x )= 1
( f ( x ) )
6. ( fg ) ( x )= f (x )
g ( x )
7. ¿
8. |f|( x )=|f (x)|
Ejemplos:
1. Sea f ( x )=2 x+5 obtener (– f )(x) y graficar f y –f
63
(−f ) (x )=−(2x+5 ) (−f ) (x )=−2 x−5
f ( x )=2 x+5 Los gráficos de ambas rectas indican una condición
de simetría ya que (−x , y )∈ f ∧ (−x ,− y )∈(−f ) con respecto a x.
2. Sea f ( x )=2 x analizar |f|( x )=2|x|
f ( x )=2 x -4 0 4
x -2 0 2
La |f|( x )=2|x| intersección con f ( x )=2 x tienen el mismo recorrido para los valores positivos
de la función.
3. Sea la función f ( x )=√1−x2 y g ( x )=f (2x ). Obtener la grafica de f y g
g ( x )=f (2 x )=√1−4 x2
64
x 0 1 2 3
y -5 -7 -9 -11
x 0 1 2 3
y 5 7 9 11
|f|( x )=2|x| 4 0 4
x -2 0 2
f ( x )=√1−x2 0 ± 1 0
x -1 0 1
g ( x )=f (2x ) -1 0 1
x−12
012
Es decir la aplicación determina con respecto a f (x) una elipse cuyo radio menor es de 12
del
anterior.
Funciones trigonométricas.
Sea f (x)función real. Se puede considerar la definición en el circulo goneometrico (círculo de
radio unitario) o particularmente en el triangulo rectángulo.
65
La medida del Angulo x se puede expresar en radianes o grado, siempre en un sentido contrario
a los punteros del reloj (levógiro).
Se define entonces: Otra forma:
sen ( x )=bx sen ( x )= y cos ( x )=ax
cos (x )= x
66
sen ( x )= catetoopuestohipotenuza
=ac
cos (x )= cateto adyacentehipotenuza
=bc
tg (x )= cateto opuestocatetoadyacente
=ab
Del estudio de la función sen(x ), se tiene en general:
Dominio: conjunto de los números reales (R)
La función sen(x ) es periódica, de periodo 2 π
sen (2π+x )=sen (x), como 2 π es ángulo completo se tiene:
p (ax ,b y )=p(ax+2 π , bx+2 π)
Podemos considerar si p>0∧ p<2 π
a) p<π , sen ( p )>0∧ sen ( 0 )=0⟹ sen (0)≠ sen( p)
b) p=π , sen ( π2 )=1∧ sen(−π
2 )=−1⟹ (−π2 )≠ sen( π
2 )c) p>π , sen ( p )<0∧ sen ( 0 )=0⟹ sen (0)≠ sen( p)
Es decir p es el periodo de la función sen ( x )para, p<2 π. Por lo tanto el periodo es 2 π por
consiguiente la función sen(x ) se puede estudiar en el intervalo ¿
Considerando el periodo señalado se puede analizar el sen (0 )=0 en el intervalo ¿0 ,π2¿ crece
de 0 a 1 sen( π2 )=1
Intervalo ¿π2
, π ¿, decrece de 1 a 0.
sen (π )=0en¿ π ,32
π ¿ decrece de 0 a 1
67
sen( 32
π )=−1en¿32
π ,2 π ¿ creciente de -1 a 0
Gráficamente:
y=cos ( x)
x -180º -90º -45º -30º 0º 30º 45º 90º 180º 270º 360º
y -1 0 0,70 0,86 1 0,86 0,70 0 -1 0 1
tg (x )= sen ( x )cos ( x )
tg(x) 0 // -1 0 0.5 1 // 0
x -180º -90º -45º 0º 30º 45º 90º 180º
68
Otras funciones:
cotg ( x )= cos ( x )sen ( x )
sec ( x )= 1
cos (x ) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐( x )= 1
sen (x )
Ecuación trigonométrica.
Una ecuación trigonométrica es una proposición verdadera para un valor del ángulo de la
función trigonométrica.
Ejemplo.
1. sen ( x )=0⇒ x={ x1=0° ,360 ° ,720 ° …x2=180 ° , 360 ° ,520 …
∨{ x1=0 °+360 °kx2=180 °+360 °k
Es decir se puede entender que las soluciones entre 0º y 360º serian lo anterior
Sabemos que el seno es nulo en el eje de las abscisas y tiene como periodo 360º
69
Sabemos que sen ( x )=0⟹arcsen (sen ( x ))=arcsen (0)( f ∘ f−1 )=x
⟹ x=0 °+180 °k
2. cos (x )=0⇒ x={ x1=90°+3 kx2=270°+3 k
Identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas
identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen
incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los
ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos
permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones
algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar
expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades
trigonométricas.
Identidades fundamentales.
1. csec ( x )= 1sen ( x ) 2. sec ( x )= 1
cos (x )
3. tg (x )= sen ( x )cos ( x )
4. cotg ( x )= cos ( x )tg (x )
5. 1+t g2 ( x )=sec2(x) 6. 1+cot g2 ( x )=cse c2(x)
7. sen (−x )=−sen(x ) 8. cos (−x )=cos (x)
9. tg(−x )=−tg(x)10. sen( π
2−x)=cos (x)
11. cos ( π2−x )=sen(x ) 12. tg( π
2−x)=ctg(x)
Formulas de suma y resta de ángulos.
1.
sen ( x+ y )=sen ( x )cos ( y )+cos ( x ) sen( y)
2.
sen ( x− y )=sen ( x ) cos ( y )−cos ( x ) sen( y )
3.
cos (x+ y )=cos ( x ) cos ( y )−sen ( x ) sen( y)
4.
cos (x− y )=cos ( x ) cos ( y )+sen ( x ) sen( y)
70
5. tg (x+ y )= tg ( x )+tg ( y )1−tg ( x ) tg( y)
6. tg (x− y )= tg ( x )−tg ( y )1+ tg ( x ) tg( y)
Identidades de producto
1. sen2 ( x )=12(1−cos (2 x ))
2. cos2 ( x )=12
(1+cos (2 x ) )
3. sen ( x )cos (x )=12
sen (2 x )
4. sen ( x ) sen ( y )=12(cos ( x− y )−cos ( x+ y ))
5. sen ( x )cos ( y )=12(sen ( x− y )+sen ( x+ y ))
6. cos (x ) cos ( y )=12(cos ( x− y )+cos ( x+ y ))
Formulas del ángulo doble
1. sen (2x )=sen ( x ) cos (x)
2. cos (2 x )=cos2 (x )−se n2(x)
3. tg (2x )= 2 tg ( x )1−t g2 ( x )
Los números reales.
En el conjunto de los números reales debemos considerar las proposiciones de los números
reales que se refieren a las operaciones básicas de la aritmética tales como, la suma, el producto
y al orden delos productos, como a os subconjuntos definidos. Es decir, conceptos y objetos
matemáticos que pueden ser considerados de una estructura simple a una compleja. Esto es
cantidad de objetos y operaciones definidas.
Se construye el con junto de os números reales a partir de ideas básicas o axiomas que
aceptaremos sobre estos objetos iníciales.
Consideremos axiomas de campo, orden y supremo, considerando los subconjuntos incluidos en
los números reales.
Axiomas de campo
71
1. R es cerrado con la operación suma ¿
∀ x , y∈R⇒(x+ y)∈R
2. La suma es conmutativa en R
∀ x , y∈R⇒ ( x+ y )=( y+x)
3. La suma es asociativa en R
∀ x , y , z∈R⇒ (x+ y )+z=x+( y+z)
4. El “0” es neutro aditivo
0∈R∧∀ x∈R⇒ (0+x )=x
5. Todo numero real tiene un inverso aditivo
∀ x∈R ,∃! y∈R / x+ y=0
Análogamente analizamos algunas de las condiciones para la multiplicación (∙)1. R es cerrado con la multiplicación
∀ x , y∈R⇒(x ∙ y)∈R
2. La multiplicación es conmutativa en R
∀ x , y∈R⇒ ( x ∙ y )=( y ∙ x )
3. La multiplicación es asociativa en R
∀ x , y , z∈R⇒ (x ∙ y ) ∙ z=x ∙( y ∙ z)
4. El “1” es neutro multiplicativo
1∈R∧∀ x∈ R⇒ (1∙ x )=x
5. Todo numero real distinto de “0” tiene inverso multiplicativo
∀ x∈R∧ x≠ 0⇒¿
6. El producto es distributivo sobre la suma
∀ x , y , z∈R⇒ x ∙ ( y+z )=x ∙ y+ x ∙ z
Para expresar axiomas o proposiciones, se puede prescindir del cuantificador universal. Si no es
posible o razonable se debe insistir en su uso
1. Cancelación de la suma x+z= y+z⇒ x= y
2. Cancelación de la multiplicación x ∙ z= y ∙ z⇒ x= y
3. El producto de un numero por cero es cero x ∙0=0
4. La no existencia de divisores de cero x ∙ y=0⇒ x=0∨ y=0
5. Unicidad del neutro aditivo x+ y= y⇒ x=0
6. Unicidad del neutro multiplicativo x ∙ y= y⇒ x=1
7. Unicidad del inverso aditivo x+ y=0∧ x+z=0⇒ z= y
8. Unicidad del inverso multiplicativo x ∙ y=1∧ x ∙ z=1⇒ y=z
72
Con estas propiedades se pueden definir nuevos conceptos.
1) Inverso aditivo:
el inverso aditivo de un numero es aquel numero real que sumado con el de por
resultado “0”. ∀ x , y∈R(−x= y⇔ x+ y=0)
2) Resta: ∀ x , y∈R(x− y=x+(− y ))
3) Inverso multiplicativo: ∀ x , y∈R( x≠ 0⇒( 1x= y⇔ x∙ y=1))
4) División: ∀ x , y∈R( y≠ 0⇒ xy=x ∙
1y )
5) Cuadrado de: ∀ x∈R ( x2=x ⋅ x )
Propiedades:
1. – (x+ y )=(−x )+(− y )
2. −1 ∙ x=−x
3. x2=0⇒ x=0
4. ( x+ y )2=x2+2 xy+ y2
Axiomas de orden:
El orden de los números reales:
- Es lineal x≠ y⇒(x< y∨ x> y )
- Es asimétrico x< y⇒ (x> y )
- Es transitivo ( x< y∧ y<z )⇒ x<z
- Se preserva al sumar un numero real x< y⇒ x+ z< y+z
- Se preserva al multiplicar por un numero R+¿ ¿ ( x< y∧0<z )⇒ x ∙ z< y ∙ z
Con estos axiomas se puede definir:
1. x> y ⇔ y<x “ x es mayor que y ”
2. x≥ y ⇔ ( x> y∨ x= y ) “ x es mayor o igual que y ”
3. x≤ y ⇔ ( x< y∨ x= y ) “x es menor o igual que y “
4. x>0 “x es mayor que cero”
5. 73x<0 “x es menor que cero”
Con las estructuras anteriores podemos plantear las siguientes propiedades.
1. ¬(x<x)
73
2. ¬ (x< y )⇒ x ≥ y
3. x>0⇒ (−x )<0
4. ( x>0∧ y>0 )⇒ x+ y>0
5. ( x< y∧ z<v )⇒ x+z< y+v
6. x> y⇒ x− y>0
7. x>0∧ y>0⇒ x ∙ y>0
8. x>0⇒ 1x>0
9. x2≥ 0
10. x< y∧ z<0¿⇒ xz< yz
11. x>0∧ x< y⇒ 1y< 1
x
12. x< y⇒ x< x+ y2
< y
13. x−1<x<x+1
Valor absoluto.
Definición: |x|={ x si x>00 si x=0−x si x<0
Propiedades:
∀ x , y∈R se tiene que:
1. |x|≥ 0
2. |x|=|−x|
3. |x|2=|x2|=x2
4. |x ∙ y|=|x|∙|y|
5. |xy|=|x|
|y|∀ y , y≠ 0
6. |x|≤ a⇔−a≤ x≤ a
7. |x|≥ a⇔ x ≤−a∨ x≥ a
8. |x+ y|=|x|+|y|
Conjunto de números reales:
Axiomas:
74
c1: dos conjuntos de números reales con los mismos elementos son iguales, es decir, si A, B son
conjuntos de números reales entonces ∀ x∈R (x∈ A⇒ x∈B )⇒ A=B
c2: dada una propiedad en los números reales, existe en el conjunto de números reales que
satisfacen esa propiedad. Es decir si p(x) es función proposicional entonces existe A talque
x∈ A ⇔ (x∈R∧ p ( x ) )
Ejemplo:
Sea p ( x ): x+1>5 en R
x>5 “ p(x ) es verdadera ya que x>4”
Definición:
Si p(x ) es función proposicional y A conjunto entonces
A={x∈ R : p (x ) ⇔∀ x∈R (x∈ A ⇔ p ( x ) )}
Con los axiomas anteriores podemos identificar o definir ciertos conjuntos de números reales.
1. ∅= {x∈R : x≠ x } conjunto vacio
2. R+¿={ x∈ R : x>0 }¿ conjunto de los números reales positivos
3. R−¿={ x∈ R : x< 0}¿ conjunto de los números reales negativos
4. {a }={x∈ R : x=a } singleton conjunto con un elemento
5. (a , b )={x∈ R : x=a∨ x=b } par de números reales
6. (a , b , c )= {x∈R : x=a∨ x=b∨ x=c } trió de números reales
7. [a , b ]= {x∈R : a≤ x≤ b } intervalo cerrado de números reales de extremos a, b
8. ¿ intervalos semicerrado
9. ¿a ,b¿={x∈ R: a<x ≤b } intervalo semiabierto
10. ¿a ,b¿ intervalo abierto
11. ¿−∞ ,b ¿ intervalo abierto semiinfinito
12. ¿−∞ ,b ¿= {x∈R :−∞<x≤ b } intervalo semiabierto semiinfinito
13. ¿a ,∞ ¿ intervalo abierto semiinfinito
14. ¿antervalo semicerrado semiinfinito
15. ¿−∞ , ∞¿ intervalo infinito
Con las expresiones anteriores se pueden definir relaciones de operaciones básicas de números
reales en dichos conjuntos.
75
Definición:
Si A, B son conjuntos de números reales entonces:
a) A⊆B⇔ ∀ x∈R (x∈ A⇒ x∈B)
b) A∪B= {x∈ A∨ x∈B }
c) A ∩ B= {x∈ A∧ x∈B }
d) A−B={x∈ A∧ x∉B }
Para definir los conjuntos de números reales conocidos (naturales, enteros, racionales, etc.)
debemos conocer la idea de conjunto inductivo.
Ejemplo: los números naturales
1=1
2=1+1 ley de identidad
3=1+1+1 Ósea el conjunto de los números naturales debe tener la propiedad de contener el 1 y de ser
cerrado bajo la operación suma, además no deberá contener otros elementos, es decir deberá ser
el conjunto más pequeño con esta propiedad.
Definición: si A es un conjunto de números reales A será inductivo si y solo si
1∈ A∧∀ x∈ R(x∈ A⇒ x+1∈ A)¿
Números naturales:
Definición:
N= {x∈R /∀ A inductivo , x∈ A } y se llama el conjunto de los números naturales
Otra opción es definir el conjunto de los números naturales con el “0” lo que implicaría.
Modificar la definición del conjunto inductivo.
A es inductivo ⇔0∈ A∧1∈ A∧∀ x∈R(x∈ A⇒ x+1∈ A)¿
N0= {x∈R /∀ A inductivo , x∈ A }
Números enteros:
Definición:
Z={x∈ R/ x∈ N∨ x=0∨(−x)∈N } y se llama el conjunto de los números enteros
76
Las propiedades de los números enteros se basan en los números naturales constituyendo asi sus
estructuras y propiedades. A partir de los números enteros podemos definir un nuevo conjunto
llamado los números racionales.
77
Números Racionales.
Definición:
Q={x∈ R ,∃ p∈Z ,∃q∈N (x= pq )} y se llama el conjunto de los números racionales
Las propiedades de los números racionales dependen de los números enteros y de los números
naturales.
Las condiciones anteriores nos permiten definir:
1. Q+¿=Q∩R+¿¿ ¿
2. Q−¿=Q∩R−¿¿ ¿
3. Z+¿=Z ∩R +¿=N ¿ ¿
4. Z−¿=Z ∩ R−¿¿ ¿
Completitud de los números reales.
Los sistemas numéricos anteriores junto con los números irracionales completan la recta de los
números reales. El concepto de completitud de los números reales esta basado en el llamado
axioma del supremo.
Necesitamos previamente los siguientes conceptos:
Sea A⊆R∧a∈R
1. a es cota superior de A si y solo si ∀ x∈ A (x≤ a)
2. a es cota inferior de A si y solo si ∀ x∈ A (x≥ a)
3. A es acotado superiormente si y solo si ∃a∈ R(a escota superior de A)
4. A es acotado inferiormente si y solo si ∃a∈ R(a escota inferior de A)
5. A es acotado si y solo si A es acotado superior e inferiormente.
6. a es supremo de A si y solo si a y b son cotas superiores de A y b ≤ a es decir, a es la
mayor de las catas superiores.
7. a es ínfimo de A si y solo si a y b son cotas inferiores de A y a ≤ b es decir, a es la
menor de las cotas inferiores.
8. a es máximo de A si y solo si a es cota superior de A y a∈ A
9. a es mínimo de A si y solo si a es cota inferior de A ya∈ A
Teorema:
78
Si a ,b∈R y a ,b son supremos, ínfimos, máximos o mínimos de A⊆R entonces a=b
Supongamos que a ,b son supremos.
Como a es supremo ∀ x∈R (x cota superior de A⇒a ≥ x) reemplasemos x por b y tendremos
que a ≥ b pero como b es supremo tenemos que b ≥ a por lo tanto si
a ≥ b∧b ≥ a⇒ a=b y eso demuestra la unicidad del supremos de la misma manera pasa con el
ínfimo el máximo y el mínimo.
De la idea anterior podemos definir usando la siguiente connotación.
1. ¿ (A )=a ⇔a es supremo de A
2. inf ( A )=a ⇔ a esinfimo de A
3. max ( A )=a⇔ aes maximode A
4. min ( A )=a⇔ a esminimo de A
Axioma del supremo:
Todo conjunto de números no vacio y acotado superiormente tiene un supremo en los reales.
La propiedad análoga para conjuntos no vacios acotados inferiormente es consecuencia de este
axioma.
Teorema: todo conjunto de números reales no vacios y acotados inferiormente tiene un ínfimo
en los reales.
Otra condición se puede dar en los siguientes teoremas.
1. Propiedad Arquimediana.
∀ x , y∈R+¿ ,∃n∈n∈ N (nx> y ) ¿ se dice que R es un cuerpo arquimediano.
2. N no es acotado superiormente.
∀ x∈R ,∃n∈N (n> x)
3. ∀ x∈R+¿ , ∃n∈N ( 1
n< x)¿
4. ∀ x∈R ,∃! p∈Z ( p≤ x< p+1)
5. ℚ es denso en R
∀ x , y∈R ,∃q∈Q(x< y⇒ x<q< y)
Otros teoremas permiten definir condiciones de uso en operaciones básicas.
Teorema:
79
∀ x∈R+¿ , ∃! y∈R +¿( y2=x)¿ ¿
En otras palabras todo número real positivo admite raíz cuadrada, lo que permite definir:
1. √0=0
2. ∀ x∈R+¿¿¿ y se le llama raíz cuadrada positiva de x.
Teorema:
1. R ≠ Q
2. Existe un conjunto de números reales A talque si A ≠∅∧ A⊆Q∧ Aes acotado
superiormente en Q y A no tiene supremo en ℚ lo que permitirá.
π=R−Q a este conjunto se le conoce como el conjunto de los números irracionales.
Las ideas anteriores permiten tener la recta numérica con total completitud ya que los números
reales son densos. Es decir, témenos una recta en el sentido estricto del concepto.
Inecuaciones.
Una inecuación en una variable es una función proposicional que tiene alguna de las siguientes
formas.
f ( x )>g(x )
f ( x ) ≥ g (x)
f ( x )<g(x )
f ( x ) ≤ g (x)
Donde f ( x ) y g (x) son operaciones.
Ejemplo:
1. √ x2+1>2
(√x2+1 )2>22
x2+1>4
x2+1−1>4−1
80
x2>3
x>√3
S=¿√3 , ∞ ¿
2. |x−13|≤3
−3 ≤ x−13
≤3
−3+ 13
≤ x−13+ 1
3≤ 3+ 1
3
−83
≤ x≤103
S=[−83
,103 ]
3. |2 x+6|≥ 6
2 x+6≤−6 2 x+6≥6
2 x≤−12 2 x≥ 0
x≤122
x≥02
x≤−6 x≥ 0
S= {x /x ≥ 0∨ x≤−6 , x∈R }
4. |x−2|≤|3 x+6|
( x−2 ) ≤(3 x+6) −( x−2 ) ≤−(3 x+6)
S1=¿−∞ ,−4¿∪¿x−3 x≤ 6+2 −x+2 ≤−3 x−6
−2 x≤ 8 −x+3 x≤−6−2
x≥−82
2 x≤−8
x≥−4x≤−8
2
81
S2=¿−∞ ,−1¿∪¿
x≤−4
−( x−2 ) ≤(3 x+6) ( x−2 ) ≤−(3 x+6)
−x+2 ≤3 x+6 x−2 ≤−3 x−6
−x−3 x≤ 6−2 x+3 x≤−6+2
−4 x≤ 4 4 x≤−4
−x≤44
x≤−44
x≥−1 x≤−1
82
Estadística descriptiva.
Variables: distinguiremos en lo fundamental variables discretas y continuas, son
discretas las variables cuyo recorrido pertenece a los números enteros y continuos las
que tienen recorrido en los números reales.
si bien la clasificación de variables adopta múltiples criterios, consideremos variables
numéricas con la condición anterior.
Ordenación de información: se ordena la información numérica en tablas de
frecuencias.
Ejemplo: caso 1º
Se tiene la información de los ingresos de un grupo de empleados en miles de UM.
285 342 480 250 380
225 185 500 620 480
520 350 250 500 450
360 320 380 420 180
600 520 400 410 200
240 360 400 250 520
Ordenaremos el recorrido de las variables en intervalos o clases, intervalos de igual connotación
que los intervalos matemáticos, usaremos intervalos cerrados, abiertos ¿.
El numero optimo de intervalos esta dado por la formula [ [1+3,3 ∙ log (n)] ] n = numero de
datos.
En este caso [ [1+3,3 ∙ log (30 ) ] ]=[ [5,85 ] ]=5
Para completar la tabla de frecuencias debemos tener en cuenta mas que solo en número de
intervalos si no una serie de datos a considerar tales como:
Amplitud: se define la amplitud de los intervalos como
xmax−xmin
numerode intervalos
Marca de clase o valor de la variable: se define como un valor representativo de l
intervalos
xi−1+x i+1
2
83
Frecuencia absoluta o frecuencia: es el número de datos que quedan comprendidos en
cada intervalo o clase
∑i=1
n
mi=m
Frecuencia relativa: es la relación entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la
muestra.
hi=n i
n∑i=1
n
hi=1
Frecuencia acumulada: es la suma acumulativa, termino a termino a de frecuencia
absoluta.
∑i=1
n
ni=tamaño de la muerstra
Frecuencia relativa acumulada: es la suma acumulativa, termino a término de la
frecuencia relativa.
∑i=1
n
hi=1
Tabla de frecuencia:
¿ x i ni hi N i H i 100 ∙ hi 100 ∙ H i
180 - 268 224 8 0.26 8 0.26 26% 26%
268 - 356 312 5 0.16 13 0.42 16% 42%
356 - 444 400 7 0.23 20 0.65 23% 65%
444 - 532 488 8 0.26 28 0.91 26% 91%
532 - 620 576 2 0.06 30 0.97 6% 97%
Con los datos arrojados por la tabla de frecuencias podemos responder las siguientes preguntas.
1. ¿Cuántos empleados ganan a lo más 350 mil UM? R: 13
2. ¿Qué porcentaje de empleados tienen un ingreso de a lo mas 532 mil UM? R: 91%
3. ¿Qué porcentaje de empleados tiene un ingreso de entre 268 y 444 mil UM? R: 39%
Se puede graficar la idea anterior mediante gráficos poligonales, de barras y simples.
84
Poligonal: es un conjunto de segmentos rectilíneos que unen las marcas e clases o valores de la
variable.
1 2 3 4 502468
10
Histograma: grafico de barras, se utiliza preferentemente en intervalos correlaciones o clases y
se asocia a una frecuencia cualquiera.
Debe existir una proporción entre el área de la barra y el número total de los elementos de su
frecuencia.
1 2 3 4 50123456789
Medidas de posición.
En general las medidas de posición se distinguen como la medidas de tendencia central y
medidas que no son de tendencia central pero se disponen en todo el recorrido de la variable,
tienden a ocupar el centro de la distribución.
MTC: promedio media aritmética.
Si la distribución tiene frecuencia
x=∑i=1
n
x in i
n
85
Si la distribución no tiene frecuencia:
x=∑i=1
n
x i
n
Existen otros tipos de medias tales como:
Media ponderada: Se asocia a una media de elementos de distinta ponderación o peso.
x p=∑i=1
n
x i wi
∑i=1
n
wi
0<wi<1
Media estratificada: Es la media que se calcula sobre grupos, subgrupos, estratos, muestras, etc.
xest=∑i=1
n
x ni
n
Ejemplo:
El promedio de notas de la primera evaluación, en el grupo de mujeres fue de 6,2 con seis
mujeres. El promedio de el grupo de hombres se desconoce y tiene siete integrantes. Si el
promedio total o estratificado fue de un 5,2 determine el promedio de los hombres.
xest=6 xm+7 xh
6+7
5,2=37,2+7 xh
13
67,6=37,2+7 xh
30,4=7 xh
4,34=xh
Propiedades de la Media.
1. xmin≤ x≤ xmax
2. M (k )=k k constante
3. M (kx )=kM ( x)
4. si y=ax ±b⇒M ( y )=M (ax ± b )=aM ( x ) ±b
86
5. ∑i=1
n
¿¿¿
Ejemplo:
Caso 1°: los empleados tienen tres alternativas de reajuste.
A. Un reajuste del 18%
B. Una asignación por parejo de 32.000 UM
C. Un reajuste del 9% y adicionalmente 22.000UM
Modificar el ingreso promedio.
x=373,066
¿ x i ni x in i
180 - 268 224 8 1792
268 - 356 312 5 1560
356 - 444 400 7 2800
444 - 532 488 8 3904
532 - 620 576 2 1152
A. x=373,06⇒M nueva=373,06 ∙1,18=440,848
B. x=373,06⇒M nueva=373,06+32=405,6
C. x=373,06⇒M nueva=373,06 ∙1,09+22
Supongamos que la distribución anterior se estratifica y observamos.
¿ x i ni x in i
180 - 268 224 8 1792
268 - 356 312 5 1560
356 - 444 400 7 2800
444 - 532 488 8 3904
532 - 620 576 2 1152
1. Determine la media estratificada y compare con la media inicial.
x1=307,6 x2=505,6 xest=373,6 la media estratificada coincide con la media inicial
87
2. Si en el primer estrato se da un reajuste de un 5% y en el segundo se da una asignación
de 9.000 UM determine la media de cada estrato y la media total.
x1=307,6 ∙ 1,05=322,98 x2=505,6+9=514,6 xest=386,8
Moda:
Se llama la moda de un conjunto de observaciones de la variable x al valor que toma la
variable x que presenta la mayor frecuencia.
88
Ejemplo:
x i ni
1 2
2 2 mo=4
3 4
4 6
En el caso que la variable sea continua debemos determinar el valor modal.
mo=x i−1+c ( mi+1
mi+1+mi−1)x i−1=¿ Limite inferior del valor modal
c=¿ Amplitud del valor modal
mi+1=¿ Frecuencia del intervalo modal
mi−1=¿Frecuencia anterior al intervalo modal
Se llama intervalo modal al intervalo de mayor frecuencia.
Ejemplo caso 1°:
Determinar el intervalo modal del grupo de empleados.
Nota: se trata de una distribución bimodal. Es decir existen dos máximos relativos.
mo (1 )=180+88 (55 )=268
mo (2 )=444+88 ( 29 )=463,55
La mediana:
Sean x1 , x2 ,…, xn n observaciones de la variable x, se llama mediana a un valor de el cual
separa la muestra en 2 partes iguales es decir en 50% si han sido ordenadas por magnitud.
En el supuesto que la variable esta ordenada en la tabla de frecuencias con intervalos y es
continua en todo punto se determina la mediana como:
89
me=x i+e( n
2−n i−1)n i
x i=¿ Limite inferior de intervalo mediano
e=¿ Amplitud de intervalo mediano
ni−1=¿ Frecuencia acumulada
ni=¿ Frecuencia de intervalo mediano
Ejemplo caso 1°:
Determinar el ingreso mediano.
Intervalo mediano: [356 – 444[ ni=20
me=356+88(15−13 )
7
me=381,1428
Nota: la mediana se recomienda en situaciones extremas o de valores segregados.
La mediana resulta adecuada solo en estratos de frecuencias.
Existen otras medianas que son medidas de posición pero no de tendencia central, son los
llamados Fractiles, se distinguen los percentiles, cuartiles, quintiles entre otros.
Percentiles:
Se le llama percentil p a una serie de valores x1 , x2 ,…, xn de la variable x, los valores que
puede tomar un percentil van del 0% al 100%, los valores se dividen de forma que aun lado
están los que no superan el p% y al otro los que superan al p% pero no al 100% si la
distribución esta ordenada por magnitud.
En el supuesto que la información esté ordenada en una tabla de frecuencia con intervalos y sea
continua en todo punto, se determina el percentil con la expresión:
p=x i−1+c ( P . N100
−N i−1
np)x i−1=¿ Limite de intervalo percentivo
c=¿ Amplitud del intervalo percentivo
P . N100
=¿ Expresión porcentual del supuesto
N i−1=¿ Frecuencia acumulada anterior al intervalo percentivo
np=¿ Frecuencia del intervalo percentivo
90
Ejemplo caso 1°:
Determinar a que percentil corresponde 500.000 UM
500=444+88( 30 p100
−20
8 ) 500=444+11( 30 p−2000
100 ) 56=11( 30 p−2000
100 ) 56=11( 3 p−200
10 ) 560=33 p−2200
2760=33 p
276033
=p
83,63=p
Medidas de Dispersión:
Son medidas de dispersión la desviación típica y la varianza. Consideremos la dispersión
medible como la desviación típica o estándar y la variabilidad como la varianza.
Varianza:
La varianza es una medida de dispersión relativa a algún punto de referencia. Ese punto de
referencia es la media aritmética de la distribución. Más específicamente, la varianza es una
medida de que tan cerca, o que tan lejos están los diferentes valores de su propia media
aritmética. Cuando más lejos están las X i de su propia media aritmética, mayor es la varianza;
cuando más cerca estén las Xi a su media menos es la varianza
Var [x ]=∑i=1
n (x i−x )2 ∙ ni
n
Desviación típica:
Es sin duda la medida de dispersión más importante, ya que además sirve como medida previa
al cálculo de otros valores estadísticos. La desviación típica se define como la raíz cuadrada de
la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de la distribución. Es
decir
91
√Var [x ]=√ (∑i=1
n
(x i−x )2 ∙ ni)n
Se puede determinar la variabilidad en términos relativos, a manera de prescindir de particulares
unidades de medida, mediante el coeficiente de variación.
Coeficiente de variación: √Vx
∙100
Propiedades de la varianza:
1. La varianza es un numero real positivo Var [x ]>0
2. La varianza de una constante es cero.
3. La varianza de una variable mas o menos una constante es igual a la varianza de la
variable V [x ± k ]=V [x ]
4. La varianza de una constante multiplicada por una variable es el cuadrado de la
constante multiplicado por la varianza de la variable.V [kx ]=k2 V [ x ]
5. La varianza se puede expresar como la diferencia entre la media cuadrática y el
cuadrado de la media.
Var [x ]=1n (∑i=1
n
x i2 ni)−( x )2
Ejemplo:
Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el
momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1Calcular varianza
92
Promedio
x=61050
=12,2
Varianza
V [x ]=752650
=1,68
Gustavo Benavente
Miguelangel Aspee, presento la versión inicial de la Monografía de Lenguaje Matemático y Sistemas Numéricos.En general estamos de acuerdo en los contenidos planteados y su adecuada simbología , debiendo solo una complementación y mínima reordenación sobre la cual trabajaremos en el transcurso del año , según lo convenido.Creo que se esta en condiciones de proceder a la instancia siguiente.Atte. Ricardo Rivero
26/0172012.
93
x i ni N i x i · n i x² i · n i
9 1 1 9 81
10 4 5 40 400
11 9 14 99 1089
12 16 30 192 2304
13 11 41 143 1859
14 8 49 112 1568
15 1 50 15 225
50 610 7526
