MonomioMonomio es una expresin algebraica en la que se utilizan potenciales naturales de variables literales, un nmero llamado coeficiente. Las nicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un nico trmino. Ejemplos: es monomio. ; ; ; pero si se considera a una constante, entonces no

Elementos de un monomioUn monomio posee una serie de elementos con denominacin especfica. Dado el monomio

, se distinguen los siguientes elementos:

coeficiente: tambien incluye al signo parte literal (exponente natural): grado: 3

El signo se indica si es negativo (). Se omite si es positivo (+) y si es el primer trmino positivo de un polinomio. El coeficiente de un monomio es el nmero que aparece multiplicando a la parte literal. Normalmente se coloca al principio. Si tiene valor 1 no se escribe, y nunca puede ser cero ya que la expresin completa tendra valor cero. La parte literal la constituyen las letras de la expresin. El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su parte literal) o con relacin a una letra. Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+). Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno. Si algn trmino carece de exponente, este es igual a uno. Si alguna parte literal no est presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que: Dada una variable , un nmero natura l y un nmero real es un monomio. la expresin

Si tenemos varias variables: , el nmero real , el producto correspondiente

y los nmeros naturales

tambin es un monomio.

Grado de un monomioEl grado absoluto de un monomio es igual a la suma de los exponentes de las variables que lo componen. Ejemplos tiene grado 3 pues equivale a la expresin: tiene grado 1 pues equivale a tiene grado 2 y equivale respecto de Ejemplos: Ejemplos a la expresin: y respecto de y la suma de los exponentes es 2 + 1 = 3 a la expresin:

BinomioEn lgebra, un binomio consta nicamente de dos trminos, separados por un signo de ms (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresin algebraica formada por la suma de dos monomios.

Ejemplos

puede llamarse "binomio de razones trigonomtricas".

Operaciones sobre binomiosFactor comn

Representacin grfica de la regla de factor comn El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la adicin respecto de la multiplicacin:

o realizando la operacin:

Esta operacin tiene una interpretacin geomtrica ilustrada en la figura. El rea del rectngulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero tambin puede obtenerse como la suma de las dos reas coloreadas (ca y cb). Ejemplo:

Suma por diferenciaEl binomio puede factorizarse como el producto de dos binomios: .

Demostracin:

Esta disposicin suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la

frmula:

.

Producto de dos binomios linealesEl producto de un par de binomios lineales y es:

.

Potencia de un binomio

Un binomio elevado a la n-sima potencia, se escribe: , y puede desarrollarse utilizando la frmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del tringulo de Pascal. El ejemplo ms sencillo es el cuadrado perfecto:

Cuadrado de un binomio

Visualizacin de la frmula para binomio al cuadrado Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por s mismo: .

La operacin se efecta del siguiente modo:

De aqu se puede derivar una regla para el clculo directo: se suman los cuadrados cada trmino con el doble producto de los mismos. Es decir:

Un trinomio de la forma

, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo trmino es negativo:

la operacin da por resultado:

esto es:

Ejemplo:

Aplicacin en el clculo diferencialSi se quiere hallar la derivada de la funcin , se desarrolla el binomio . El coeficiente del trmino en que es viene a ser la derivada de . Observe que si vemos el trinomio del desarrollo como dependiente de el trmino lineal es . Igualmente, para se desarrolla de es , que viene a ser la derivada de Ejemplos: (x+12)2 = X2 +24x+144 (x+-15)2 = X2 +30x+225 (x+20)2 = X2 +40x+400 (x-9)2 = X2 -18x+81 (2x+7)2 = 4X2 +28+49 . En el cuatrinomio, se ve el coeficiente .

TrinomioEn lgebra, un trinomio es un polinomio con tres trminos, la suma de tres monomios.

Surge de elevar al cuadrado un binomio: Resulta un trinomio con 2 trminos "cuadrticos" y un trmino "rectangular", enlazados con una visin geomtrica de las reas de un cuadrado y de rectngulo.

Trinomio de segundo grado en una variableAl igualar a cero se obtiene una ecuacin de segundo grado, la cual ya lo haban resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros clculos Como una funcin representa en la geometra analtica, la ecuacin de una parbola, y sta tiene aplicaciones en la fsica, al describir la trayectoria de un mvil lanzado; como tambin en el diseo de los faros de un auto. El clculo del rea subtendida por un sector parablico, fue realizado por Arqumedes en poca anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del clculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibnitz, en la poca moderna. Ejemplos:

x^2+2xy+y x^2+2xz+z a+b+c 2x^2+8xy+y x+xy+y

PolinomioEn matemticas, un polinomio es una expresin constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (nmeros fijos llamados coeficientes), utilizando nicamente las operaciones aritmticas de suma, resta y multiplicacin, as como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinacin lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas. Es frecuente el trmino polinomial, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algn parmetro, como por ejemplo en tiempo polinomial. Los polinomios son objetos muy utilizados en matemticas y en ciencia. En la prctica, son utilizados en clculo y anlisis matemtico para aproximar cualquier funcin derivable; las ecuaciones polinmicas y las funciones polinmicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemtica elemental hasta reas como la fsica, qumica, economa y las ciencias sociales. En reas de las matemticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en lgebra abstracta y geometra algebraica.

Definicin algebraicaPolinomios de una variablePara a0, , an constantes en algn anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio sern nmeros) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir ms concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0, , an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o trmino independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mnico o normado.

Polinomios de varias variablesLos polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total ms de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el ltimo de ellos es un momonio de tres variables (ya que en l aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Grado de un polinomioSe define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. Ejemplos P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del trmino independiente). P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno. P(x) = 3x + 2x, polinomio de grado dos. P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos. Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como En particular los nmeros son polinomios de grado cero.

Operaciones con polinomiosLos polinomios se pueden sumar y restar agrupando los trminos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada trmino de un polinomio por cada uno de los trminos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes. Ejemplo Sean los polinomios: producto es: y , entonces el

Para poder realizar eficazmente la operacin se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una frmula analtica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta frmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relacin entre el grado de los polinomios y y el polinomio producto :

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operacin ) por lo que la expresin puede extenderse tambin al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.

Funciones polinmicasUna funcin polinmica es una funcin matemtica expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x] se puede definir una funcin polinmica asociada a l dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo:

La funciones polinmicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los rdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinmicas son muy sencillos de evaluar numricamente, y se usan ampliamente en anlisis numrico para interpolacin polinmica o para integrar numricamente funciones ms complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilizacin de la regla de Horner. En lgebra lineal el polinomio caracterstico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teora de los grafos el polinomio cromtico de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vrtices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas reas del anlisis numrico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. stas son usadas en la interpolacin spline y en grficos por computadora.

Ejemplos de funciones polinmicasNote que las grficas representan a las funciones polinomiales y no a los polinomios en s, pues un polinomio solo es la suma de varios monomios.

Polinomio de grado 2: f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2).

Polinomio de grado 3: f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2).

Polinomio de grado 4: Polinomio de grado 5: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5. f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2. La funcin

es un ejemplo de funcin polinmica de cuarto grado, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.

Factorizacin de polinomiosEn un anillo conmutativo una condicin necesaria para que un monomio sea un factor de un polinomio de grado n > 1, es que el trmino independiente del polinomio sea divisible por la raz del monomio:

necesariamente divide a En caso de que el polinomio no tenga trmino independiente se sacar la incgnita como factor comn y ya est factorizado. Tambin se puede factorizar usando las igualdades notables. Un polinomio factoriza dependiendo del anillo sobre el cual se considere la factorizacin, por ejemplo el polinomio no factoriza sobre pero s factoriza sobre :

Por otra parte sobre :

no factoriza ni sobre

, ni tampoco sobre

aunque factoriza

Un cuerpo en el que todo polinomio no constante factoriza en monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado. Ejemplos: Ejemplo 1: Escribe el siguiente polinomio en orden descendente. 3x2 - 5 + 4x3 - 2x Solucin: 4x3 + 3x2 -2x -5 Ejemplo 2: Escribe el polinomio en orden descendente. x + 6x2 -1 + 5x3 Tu solucin:

5x3 + 6x2 + x - 1 Ejemplo 3: Identifica el grado del polinomio 8x3 - 2x2 -7 Solucin: El exponente mayor de la variable x es 3. El grado de 8x3 - 2x2 - 7 es grado 3. Ejemplo 4: Identifica el grado del polinomio 9x4 - 3x2+ 11 Tu solucin: Si el exponente mayor es 4, entonces el grado del polinomio es 4. Ejemplo 5: Simplifica (7y2 - 6y + 9) + ( -8y2 -2). Usar el formato vertical. Solucin: 7 y2 + - 6y + 9 + -8 y2 + -2 -y2 + -6y + 7 -y2 - 6y + 7