Momentos y centros de masa

Suponga una lámina con densidad variable 𝜌 𝑥, 𝑦 , entonces

𝜌 𝑥, 𝑦 = lim∆𝐴→0

∆𝑚

∆𝐴

La masa de la lámina es

m = lim 𝑘,𝑙→∞

𝜌(𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗)∆𝐴

𝑙

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

𝑚 = 𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝐷

• El momento de toda la lámina alrededor del eje x es:

• El momento de toda la lámina alrededor del eje y es:

𝑀𝑥 = lim 𝑘,𝑙→∞

𝑦𝑖𝑗𝜌(𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗)∆𝐴

𝑙

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

𝑀𝑥 = 𝑦𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝐷

𝑀𝑦 = lim 𝑘,𝑙→∞

𝑥𝑖𝑗𝜌(𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗)∆𝐴

𝑙

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

𝑀𝑦 = 𝑥𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝐷

• Las coordenadas del centro de masa de la lámina que ocupa la región D, con función de densidad 𝜌 𝑥, 𝑦 es:

𝑥 , 𝑦 =𝑀𝑦

𝑚,𝑀𝑥

𝑚

𝑥 , 𝑦 =1

𝑚 𝑥𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝐷

, 𝑦𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝐷

Para un sólido

Si la función de densidad de un cuerpo sólido que ocupa la región E es 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 entonces su masa es

𝑚 = 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉𝐸

Los momentos alrededor de los 3 planos de coordenadas es

𝑀𝑦𝑧 = 𝑥𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉

𝐸

𝑀𝑥𝑧 = 𝑦𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉

𝐸

𝑀𝑥𝑦 = 𝑧𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉

𝐸

El centro de masa (centroide) está situado en el punto

𝑥 , 𝑦 , 𝑧 =𝑀𝑦𝑧

𝑚,𝑀𝑥𝑧𝑚,𝑀𝑥𝑦

𝑚

Ejemplo:

• Encuentra el centro de masa de un sólido de densidad constante que esté acotado por el cilindro parabólico 𝑥 = 𝑦2 y los planos 𝑥 = 𝑧, z = 0 y 𝑥 = 1