RESUMEN:

En esta práctica sobre el momento de inercia comprobamos tres prácticas del mismo tema, el primero fue determinar la constante de un resorte a través de un torque aplicado al eje del resorte.La segunda fue cuando determinamos el momento de inercia de dos masas puntuales e iguales que se encuentran a una distancia igual del eje de rotación, en esta parte de la práctica hicimos una grafica de la inercia versus el cuadrado de la distancia en donde la pendiente de esta grafica fue parecida a la suma de las dos masas puntuales. En la última parte comprobamos el teorema de los ejes paralelos o de Steiner en donde cambiamos el disco y por consecuencia se cambia el eje de rotación, cada vez mas lejos del centro de masa para cada dato siguiente, después de esto hicimos una grafica de la inercia versus el cuadrado de la distancia del centro de masa al eje de rotación en donde el valor de la pendiente tiene que fue parecido al valor de la masa del disco

Objetivos:

Verificar los momentos de inercia de masa puntuales Comprobar el teorema de los ejes paralelos o de Steiner

de un disco

INTRODUCCION:

Momento de inercia

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el

momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:

Fuerza

En física, la fuerza es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas (en lenguaje de la física de partículas se habla de interacción). Según una definición clásica, fuerza es toda causa agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales. No debe confundirse con los conceptos de esfuerzo o de energía.

En el Sistema Internacional de Unidades, la fuerza se mide en newtons (N).

Oscilación

Se denomina oscilación a una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o sistema. Si el fenómeno se repite, se habla de oscilación periódica. Oscilación, en física, química e ingeniería, movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio. El recorrido que consiste en ir desde una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación.

En mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

Ocasionalmente, a partir del término inglés (torque), recibe el nombre de torque. Este término intenta introducirse en la terminología española, bajo las formas de torque o torca, aunque con escasa fortuna, ya que existe la denominación par que es la correcta en español.

Período

En física, período de oscilación es el intervalo de tiempo entre dos puntos equivalentes de una onda u oscilación, también se puede asociar a la frecuencia mediante la relación:

Ley de Hooke para los resortes

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:

Donde k se llama constante elástica) del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud.

Rotación

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante del eje de rotación.

Una rotación pura de un cuerpo queda representada mediante el vector velocidad angular, que es un vector de carácter deslizante, situado sobre el eje de rotación.

MATERIARES A UTILIZARSE:

o Soporteo Eje de torsióno Varilla de

acoplamientoo Cilindros (masas

puntuales)o Disco para eje de

torsióno Dinamómetro

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

El momento de inercia es una magnitud que establece la resistencia que presenta un cuerpo a cambiar su velocidad angular. En donde τ=Iα; en esta ecuación I representa el momento de inercia y α representa la aceleración angular.

Si se tiene una distribución discreta de masa el momento de inercia puede calcularse con: I=∑m r2; y si es una distribución de masa continua se transforma en: I=∫r2 dm. Si se conoce el momento de inercia de un cuerpo en donde el eje de rotación pasa por el centro de masa, es posible calcular el momento de inercia de un cuerpo de masa M, con relación a un eje paralelo al primer eje situado a una distancia r, con el teorema de Steiner o de los ejes paralelos que expresa que I=I 0+M r2

El objeto cuyo momento de inercia se desea establecer, se ajusta a un resorte de torsión fijo a una base metálica. Si se ejerce un momento de torsión (torque) al resorte, este recorre un angulo ϴ, al soltarlo el resorte ejerce un torque de restauración proporcional al angulo ϴ, por lo tanto: τ=−Kθdonde K es la constante del resorte, de aquí se puede establecer la igual de torque y – Kθ=Iα. Como α es la aceleración angular esta puede ser expresada como la segunda derivada del desplazamiento angular con respecto al

tiempo, por lo tanto la ecuación puede ser escrita como: ⌈ d2 θd t 2 ⌉+[ Kθ

I ]=0. La resolución a

esta ecuación diferencial es: θ=θ0 sen ( ωt+δ )Esto significa que el momento de inercia del objeto acoplado al resorte puede establecerse conociendo en periodo de oscilación T y la constante K del resorte, al

despejar I, queda I= K t2

4 π2

Parte 1: Determinación de la constante K del resorte

Si se aplica un torque τ=Fr al eje dl resorte, donde F es la fuerza y r el brazo del momento, el torque recuperador τ=−Kθ del resorte equilibra el torque externo aplicado,

es decir: ∑ τ=Fr−Kθ=0, en donde se despeja K y queda: K= Frθ

.

Para el procedimiento usamos la ecuación anterior, para establecer K fijamos un angulo π rad y medimos diferentes valores de F en r, donde se encuentren equilibrado en angulo establecido, r escogimos que cada vez se aleje mas del centro de masa. (los datos de esta parte del problema están ubicados en parte de abajo en la sección resultados)

Parte 2: Momento de inercia de masa puntuales

El momento de inercia de 2 masas M puntuales e iguales, que se encuentran a una distancia r del eje de rotación, de acuerdo a la ecuación anteriormente revisada queda I=2 M r2. Esta ecuación puede verificarse ajustando dos cilindros de masa M, por medio de una varilla a distancias r iguales al eje de rotación del resorte.

Las masas con la varilla se constituyen como el objeto, sujeto al eje del resorte cuyo momento de inercia puede ser calculado conociendo la constante K del resorte y el periodo de oscilación, entonces el momento de inercia de la varilla con las masas será I t=I v+2 M r 2 donde I v es el momento de inercia de la varilla.

En el procedimiento de esta parte de la práctica ajustamos las masas a diferentes sustancia r del eje de oscilación, damos la vuelta correspondiente al angulo escogido, esta vez fue media vuelta, para cada r medimos su correspondiente periodo de oscilación, con estos datos completamos la tabla que se encuentra en resultados y hacemos la correspondiente grafica de el momento de inercia versus la distancia r al cuadrado.

Parte 3: Teorema de los ejes paralelos o de Steiner

A la ecuación de los ejes paralelos la comprobamos utilizando un disco metálico que se fija al eje del resorte en diferentes posiciones a lo largo del radio del disco.

Cambiando el eje de oscilación del disco, el momento de inercia del disco con relación a cada nuevo eje será: I disco=I 0+M d2, donde I 0 es el momento de inercia del disco con relación al eje del resorte que pasa por el centro del disco y d la distancia del centro al

eje e oscilación. El momento I disco se puede obtener por la ecuación: I disco=K t 2

4 π2 .

Para el procedimiento de esta parte de la práctica fijamos el disco metálico al soporte con el tornillo de ajuste pasando el eje del resorte por el centro del disco, medimos el periodo de oscilación, cambiamos la posición del disco colocando las perforaciones de este en el eje de rotación, variándolo una distancia d del centro, y medimos el periodo de oscilación para cada posición. Con estos datos completamos la tabla de datos que se encuentra en la sección resultados y luego procedimos a realizar la grafica del momento de inercia versus la distancia d al cuadrado.

Diseños:

RESULTADOS:

Parte 1

ϴ(rad) r(m) F(N) K .= Frθ

Π 0.05 1.50 0.0239Π 0.10 0.75 0.0239Π 0.15 0.50 0.0239Π 0.20 0.40 0.0255Π 0.25 0.25 0.0200Π 0.30 0.15 0.0143 X

K prom= 0.0234

Parte 2

r(m) r2(m2) T(s) T2(s2) I= K t2

4 π2 *10-3(kg.m2)

0.05 25 2.71 7.34 4.350.10 100 3.50 12.25 7.260.15 225 4.53 20.52 12.160.20 400 5.60 31.36 18.590.25 625 6.77 45.83 27.160.30 900 7.82 61.15 36.25

Masas puntuales: 236g c/u Masa de la varilla: 126g

Ivarilla= (1/12)ML2 = 1/12(0.126)(0.6)(0.6)= 3.78*10-3

Pendiente = 442g Intercepto = 3.57*10-3

%=|valor real−valor teoricovalor real | %=|3.78−3.57

3.78 |%=|472−442

472 | % = 5.56%

% = 6.36%

Nota: el valor de la pendiente y el intercepto se encuentran calculados detrás de su respectiva grafica

Parte 3

d(m) d2(m2) T(s) T2(s2) I disco=K t 2

4 π2 . (kg.m2)

0 0 4.13 17.06 0.01014 16 4.35 18.92 0.01128 64 4.54 20.61 0.0122

12 144 5.02 25.20 0.014916 256 6.28 39.44 0.0234 X

Masa de el disco = 126g

Pendiente = 138 g

%=|valor real−valor teoricovalor real |

%=|138−126126 |

% = 9.52%

Nota: el valor de la pendiente se encuentran calculado detrás de su respectiva grafica

Discusión:

En la práctica del momento de inercia realizamos tres partes primero calculamos el valor de la constante K del resorte; la cual fue muy necesaria porque este valor fue usado mas después en las otras dos partes para calcular el momento de inercia total del sistema. En la segunda parte de la práctica tomamos los datos de los diferentes periodos y al partir de los cuadrados de estos calculamos el valor de la inercia para cada sección de radio de la varilla, después que obtuvimos los datos tuvimos que realizar la grafica de el momento de inercia versus el cuadrado de el radio r esta grafica resulto ser una relación lineal porque están directamente relacionadas por lo tanto el valor de la pendiente de esta grafica resulto ser un valor aproximado al valor de las dos masas, a través de estos sacamos el respectivo porcentaje de error y este estuvo dentro de los parámetros comprendidos; también encontramos el intercepto con el eje y y este resulto ser un valor muy parecido al valor de la inercia de la varilla que se la encuentra mediante la fórmula anteriormente mostrada, también con estos calculamos el porcentaje de error y este también estuvo dentro de los parámetros comprendidos.

En la tercera parte de la grafica utilizamos la aplicación de la ley de los ejes paralelos o de Steiner, en la cual íbamos modificando el eje de rotación y calculábamos el periodo y partir de este encontrábamos el momento de inercia, con estos datos hicimos la grafica del momento de inercia

versus el cuadrado de la distancia del eje de rotación al centro de masa del disco en este también comprobamos que se trataba de una relación directa y por lo tanto el valor de la pendiente encontrada tuvo una magnitud aproximada al valor de la masa del disco, con estos datos calculamos el respectivo porcentaje de error el cual también estuvo dentro de los parámetros permitidos.

Conclusiones:

Se verifico una relación directa entre el momento de inercia y el cuadrado de las distancias por lo cual pudimos concluir que la pendiente de la grafica realizada entre estas dos se trataba de la masa y queda comprobada la ecuación empleada en el momento de inercia.

Se comprobó que existe relación entre un eje paralelo al eje del centro de masa en la cual el momento de inercia de los ejes manipulados por nosotros fue igual a la suma del momento de inercia de un eje que pasa por su centro de masa mas la suma de la masa del disco por el cuadrado de las distancias entre estos dos ejes, lo cual comprobamos con la grafica en el cual el valor de la pendiente resulto ser el valor de masa del disco y el intercepto fue el valor de la inercia del eje en su centro de masa.

Bibliografía:

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