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Facultad de Arquitectura y Diseo Prof. Jorge O. Medina M.Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10

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Introduccin

El centroide y los momentos de inercia son dos propiedades empleadas para determinar la resistencia y

deformacin de elementos estructurales tales como vigas y columnas, ya que definen las caractersticas

geomtricas de la forma y tamao de la seccin transversal de los elementos estructurales. Por ello a

continuacin se establece la definicin y forma de determinar el centroide y los momentos de inercia.

Para precisar la ubicacin del centroide y valorar los momentos de inercia primero se definen y

establecen para reas simples, luego se indica la forma de calcularse en reas compuestas adems se definen

otras propiedades geomtricas que son funcin del centroide y los momentos de inercia.

Centroide

Definicin

El peso de un objeto generalmente se representa por el peso total aunque la realidad sugiere que debe

ser representado como un gran nmero de diferenciales de peso distribuidos en todo el objeto. Un sistema

equivalente al planteado consiste en determinar el peso total o resultante de todos los diferenciales de peso

donde la ubicacin de la resultante es un nico punto denominado centro de gravedad.

El centro de gravedad es el punto de aplicacin en un cuerpo rgido de la resultante de las fuerzas

donde los efectos sobre el cuerpo no varan. En el caso de superficies homogneas, el centro de gravedad se

sustituye por el centroide del rea, el cual considera las reas de los elementos en vez de los pesos y las

expresiones para determinar las coordenadas centroidales son:

=== ydAAyxdAAxdAA ;; (1)

Figura 1. Centroide del reaAy coordenadas de una parte del reaA(Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros(Esttica Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

Centroide de reas compuestas

En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras

comunes (rectngulo, triangulo, circunferencia etc..). Esta forma de anlisis es til y permite determinar el

centroide de cualquier superficie segn:

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2

===

i

ii

i

ii

iA

Ayy

A

AxxAA ;; (2)

Los centroides y el rea comn se obtienen de la aplicacin de frmulas para reas comunes como los

indicados en la tabla del apndice.

Figura 2. Subdivisin de un rea (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer , F. y Johnston, E.,1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

Teorema de Pappus-Guidin

Una superficie de revolucin es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por

ejemplo una esfera se puede generar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos de

revolucin que son obtenidos al girar un rea con respecto de un eje fijo.

Teorema I

El rea de una superficie de revolucin es igual a la longitud de la curva generadora por la distancia

recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie.

Teorema IIEl volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generadora por la distancia recorrida por el

centroide del rea al generar el cuerpo.

Momentos de Inercia

Definicin

El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto y es proporcional a

la ubicacin del rea asociada. Adicional al centroide tenemos el momento de inercia que adems depende de

la distancia que est el rea a un eje dado.

Figura 3. Esquema de Momento de Inercia (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F. y Johnston,E., 1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

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El momento de inercia es una propiedad geomtrica (similar al rea) de una superficie o rea que

representa cuanta rea est situada y que distancia est con respecto a un eje dado. Se define como la suma de

los productos de todas las reas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene

unidades de longitud elevada a la cuatro (longitud

4

). Es importante para el anlisis de vigas y columnas,porque el diseo del tamao de estos elementos est relacionado con el momento de inercia debido a que

define la forma apropiada que debe la seccin del elemento estructural. (Beer y Johnston, 1977; Das,

Kassimali y Sami, 1999; Parker y Ambrose, 1995)

Dada la definicin de momento de inercia, esta se expresa segn la Ecuacin 3.

== dAxIdAyI yx22 ; (3)

Momento de Inercia de franjas diferenciales

Al desarrollar la ecuacin = dAyIx2

para una figura rectangular, es segn la Figura 4 y respecto a

la base del rectngulo, la siguiente:

h

y

b

dy

Figura 4. Momento de Inercia de un rea rectangular

33;

3

0

3

0

22 bhI

ybIdybyIbdyydIbdydA x

h

x

h

xx ===== (4)

Figura 5. Esquema de elemento diferencial de inercia. (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F.y Johnston, E., 1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

La anterior ecuacin se desarrolla para un elemento diferencial segn la Figura 5 y permite obtener el

momento de inercia de un rea cualquiera al ser integrada.

== dxyIdxydI xx33

3

1

3

1 (5)

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4

== ydxxIydxxdI yy22

(6)

Otras propiedades geomtricas relacionadas con el Momento de InerciaAdems del rea y el momento de inercia se tiene otras propiedades geomtricas tiles para establecer

la seccin transversal de un elemento estructural y estn relacionados con el rea y momento de inercia, estas

propiedades son:Momento Polar de Inercia,Radio de Giro yMdulo de Seccin.

Momento polar de inercia

El momento polar de inercia es una propiedad importante para las secciones relacionadas con ejes

cilndricos, polares adems de elementos sometidos a torsin y se define segn la Ecuacin 7.

yxOO IIJdArJ +== 2

(7)

Figura 6. Momento Polar de Inercia (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E.,1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

Radio de giro

El radio de giro es una propiedad que se obtiene de considerar el rea concentrada en una franja

paralela a un eje con un espesor diferencial, el radio de giro representa la distancia del rea transformada para

que tenga el mismo momento de inercia respecto a eje dado (vase Figura 7). El radio de giro es til en el

diseo de columnas y se determina segn la Ecuacin 8 (Beer y Johnston, 1977; Das, Kassimali, y Sami,

1999).

Figura 7. Radio de giro. (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F. y Johnston, E., 1977. Bogot,Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

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5

A

Jr

A

Ir

A

Ir OO

y

yx

x === ;; (8)

Mdulo de seccin

El mdulo de seccin se define como la relacin del momento de inercia respecto a la distancia de la

fibra ms alejada al eje neutro1, esta propiedad es til en el diseo de vigas y se determina segn la Ecuacin

9 (Parker y Ambrose, 1995).

y

IS xx = ;

x

IS

y

y = (9)

Y

x

CIx

Iy

Figura 8. Modulo de Seccin

Momento de inercia de reas compuestas

Para establecer los momentos de inercia de reas compuestas, se debe considerar que el momento de

inercia vara segn el eje que se considere, por ello previamente se define el teorema de ejes paralelos quevalora el momento de inercia de una seccin con respecto a un eje cualquiera una vez conocido el momento

de inercia con respecto al eje centroidal.

De esta forma se establece el valor de la inercia de un rea compuesta al relacionar el momento de

inercia centroidal de cada rea simple con respecto al centroide del rea compuesta.

Figura 9. Esquema del Teorema de los Ejes Paralelos (Tomado de Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I) por Beer, F. yJohnston, E., 1977. Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.)

Teorema de los ejes paralelos

Cuando se combinan superficies, los momentos de inercia de cada rea requieren de la transmisin del

momento de inercia al nuevo eje centroidal del rea compuesta, esta se logra mediante el Teorema de los ejes

paralelos o Teorema de Steiner, donde el momento de inercia con respecto a una eje dado es igual al

1 Distancia que es igual a la longitud de la fibra al centroide.

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momento de inercia con respecto al eje centroidal paralelo al eje dado ms el producto del rea multiplicado

por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.

2AdII += ; 2drr += ; 2AdJJ

CO+= (10)

Areas compuestas

Un rea compuesta se puede subdividir en varias reas comunes cuyas expresiones de momento de

inercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del rea compuesta es igual a la suma de los

momentos de inercia de cada rea comn, siempre y cuando cada momento de inercia este referido al mismo

eje; para ello se emplea el teorema de los ejes paralelos.

=

=n

i

ejeeje iII

1

(11)

C

A1

A2

A3xc1

xc3

xc2

Figura 10. Clculo de Inercia de reas compuestas.

En la Figura 10 se observa un rea subdividida en tres figuras simples donde para determinar el

momento de inercia centroidal (eje horizontal c), es igual a la suma de los tres momentos de inercia referidos

al mismo eje c, por lo tanto previo a la aplicacin de la Ecuacin 11 es necesario aplicar la Ecuacin 10 para

relacionar el momento de inercia centroidal de cada una de las reas que la componen (ejes xc1,xc2,xc3) al eje

c.

Referencias

Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I). Bogot,

Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.

Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica. Mxico D.F,

Mxico: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.

Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniera simplificada para Arquitectos y Constructores. Mxico

D.F, Mxico: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.

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Apndice

Centroides y Momentos de Inercia de Figuras comunes

Forma x y Areax

I y

I

Rectngulo

2

B

2

H

BH

12

3BH

12

3HB

Triangulo

3

H

2

BH

36

3BH

3

B

3

H

2

BH

36

3BH

36

3HB

Circulo

2

D

2

D

4

22 Dr

=

4

4r

4

4r

MedioCirculo

2D

34r

2

2r

42

72

649r

8

4r

CuartoCirculo

3

4r

3

4r

4

2r

42

144

649r

42

144

649r

Media elipse 0

3

4b

2

ab 3

2

72

649ab

8

3ba

Cuarto de

elipse

3

4a

3

4b

4

ab 3

2

144

649ab

a32

144

649

Parbola 0

5

3h

3

4ah

175

16 3ah

15

4 3ha

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Centroides y Momentos de Inercia de Figuras comunes

Forma x y Areax

I y

I

Media

parbola

8

3a

5

3h

3

2ah

175

8 3ah

480

19 3ha

Extracto

parablic

o 4

3a

10

3h

3

ah

2100

37 3ah

80

3ha

Extractos

de forma

generala

n

n

2

1

+

+

hn

n

24

1

+

+

1+n

ah

( )( )( )2

32

121312

147

++

++

nn

ahnn

( )( )23

23 ++ nn

ha

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