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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FSICA

FSICA MECNICA

MDULO # 20: SISTEMA DE PARTCULAS -MASA Y MOMENTO DE INERCIA-.

Diego Luis Aristizbal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muoz H.

Profesores, Escuela de Fsica de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln

Temas

Introduccin

PARTE I: MASA

Masa y centro de masa.

Ejemplos sobre centro de masa

PARTE II: MOMENTO DE INERCIA

Momento de inercia y radio de giro respecto a un eje

Teorema de ejes paralelos

Ejemplos sobre momento de inercia

Introduccin

Hasta esta parte del curso se ha tratado esencialmente el equilibrio de la partcula, la esttica del cuerpo

rgido y la dinmica de la partcula. Para completar el estudio de la mecnica se debe generalizar lo tratado

a dinmica de los sistemas de partculas. Por lo tanto los mdulos que faltan tratarn este tema, y se

dividirn as:

Mdulo # 20: Sistemas de partculas -Masa y Momento de Inercia-

Mdulo # 21: Sistema de partculas Teoremas Generales-

Mdulo # 22: Sistema de Partculas -Dinmica del Cuerpo Rgido (I)-

Mdulo # 23: Sistema de partculas Dinmica del Cuerpo Rgido (II)-

Mdulo # 24: Sistema de partculas Hidrodinmica-

Mdulo # 25: Sistema de partculas Masa Variable-

Mdulo # 26: Sistema de partculas Primera Ley de la Termodinmica-

En este mdulo se trataran con profundidad las magnitudes escalares masa inercial y momento de inercia.

La primera se ha trabajado en los mdulos anteriores, sin embargo en este mdulo se profundizar sobre

esto.

La masa inercial se relaciona con la inercia de traslacin de un cuerpo, mientras que el momento de inercia

se relaciona con la inercia de rotacin de ste.

2

PARTE I: MASA

Masa y centro de masa

Importancia del centro de masa

Un sistema de partculas es un conjunto de partculas. Considera los cuerpos o los objetos como agregados

de partculas (puntos materiales) que interaccionan. Un sistema de partculas puede estar en cualquiera de

los estados de agregacin: gas, lquido, slido. Tambin puede obedecer modelos como: cuerpo rgido o

cuerpo deformable. A su vez se puede ser discreto o continuo.

En lo que se refiere a la traslacin de un sistema de partculas, se mostrar en los mdulos # 20 y # 21,

que ste lo hace como si toda la masa estuviera concentrada en su centro de masa (CM) y como si todas las

fuerzas actuasen all. En otras palabras la traslacin de un sistema de partculas se puede reducir a la

traslacin en una partcula cuya masa es la masa de todo el sistema, ubicada en el CM y con todas las

fuerzas actuando all.

Con base en lo anterior es que es muy importante saber cul es la posicin del CM de un sistema de

partculas.

Masa de un sistema de partculas

Sea un sistema discreto de partculas cuyas masas son im , i=1,2,,N.

La masa M de este sistema es,

N

i

i=1

M = m [1]

Figura 1

Centro de masa de un sistema de partculas

El centro de masa (CM) de un sistema de partculas, como se dijo atrs, es el punto en donde se puede

considerar que est concentrada la masa del sistema para ser tratado ste como una sola partcula para

efectos de traslacin. Esto se mostrar en los mdulos # 20 y # 21.

3

Para el caso de un sistema de partculas, dado un marco de referencia y un sistema de coordenadas fijo a

ste con origen O, Figura 2, el CM es el punto definido por la siguiente ecuacin,

N

i i

i=1CM

m r

r = [2]M

Siendo los ir la posicin de la partcula i.

Figura 2

En coordenadas rectangulares,

N

i i

i=1CM

m x

x = M

N

i i

i=1CM

m y

y = M

N

i i

i=1CM

m z

z = M

En la Figura 3 se ilustra un caso unidimesional.

Figura 3

4

i i

i=1CM

1 2 3 4

m x

x = m + m + m + m

Centro de masa de un sistema de partculas continuo

4

Para un sistema de partculas continuo se toma un elemento diferencial de volumen dV que contiene una

masa dm, Figura 4.

Figura 4

Las expresiones para sistemas discretos se convierten ahora en

m

M = dm = [3]

CM

m

1r = r dm [4]

M

Ejemplos sobre centro de masa

Ejemplo de un sistema de partculas discreto

En la Figura 5 se ilustra un sistema discreto de partculas las cuales estn ubicadas en los vrtices de un

cubo de lado 2,00 m. Si m1=m2=m3=m4= 5,00 g y m5=m6=m7=m8=10,0 g hallar el centro de masa del sistema.

Figura 5

5

Solucin:

Los vectores posicin de las partculas son:

1 r = 2,00 k m

2 r = 2,00 j +2,00 k m

3 r = 2,00 i + 2,00 j +2,00 k m

4 r = 2,00 i + 2,00 k m

5r = 0 m

6 r = 2,00 j m

7 r = 2,00 i + 2,00 j m

8 r = 2,00 i m

Reemplazando en las ecuaciones [1] y [2] se obtiene la los resultados de la Tabla 1.

Tabla 1

Partcula mi (g) xi (m) mixi (g.m) yi (m) miyi (g.m) zi (m) mizi (g.m)

1 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 10,0

2 5,00 0,00 0,00 2,00 10,0 2,00 10,0

3 5,00 2,00 10,0 2,00 10,0 2,00 10,0

4 5,00 2,00 10,0 0,00 0,00 2,00 10,0

5 10,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

6 10,0 0,00 0,00 2,00 20,0 0,00 0,00

7 10,0 2,00 20,0 2,00 20,0 0,00 0,00

8 10,0 2,00 20,0 0,00 0,00 0,00 0,00

i im x = 60,0 i im y = 60,0 i im z = 40,0

CM iM= m = 60,0 g i iCMm x

x = =M

1,00 m i iCM

m yx = =

M

1,00 m i iCM

m zx = =

M

0,67 m

CM r = 1,00 i + 1,00 j + 0,67 k m

En la Figura 6 se ilustra el resultado.

6

Figura 6

Ejemplos de sistema de partculas continuo

Antes de entrar a tratar algunos ejemplos del clculo de centros de masa en sistemas de partculas

continuos es interesante tener presente las siguiente ideas bsicas::

Si el cuerpo es homogneo el centro de masa (CM) coincide con el centroide (denominado tambin

centro geomtrico) de la figura geomtrica.

Si el campo gravitacional es uniforme (por ejemplo el generado por el planeta Tierra cerca de su

superficie) el centro de masa (CM) del cuerpo coincide con su centro de gravedad (CG).

Si un cuerpo es volumtrico y posee un plano de simetra, su centroide estar en ese plano; si posee

dos planos de simetra el centroide estar localizado sobre la recta de interseccin de los dos planos;

si posee tres planos de simetra que se intersectan en un solo punto, su centroide coincidir con ese

punto.

Si un cuerpo superficial (es decir plano, de muy poco espesor), tiene un eje de simetra, el centoride

estar en este eje; si posee dos ejes de simetra el centroide coincidir con el punto donde se

intersectan estos dos ejes.

Si un cuerpo es lineal (es decir tipo filamento), tiene dos ejes de simetra, el centroide coincidir con

el punto donde se intersectan estos dos ejes.

Ejemplos de algunos cuerpos que se les puede ubicar el centroide con slo analizar su simetra:

Esfera maciza o hueca: es el centro de la esfera.

Cubo: es el centro del cubo.

Cilindro macizo o hueco: en el centro del eje del cilindro.

Placa rectangular: donde se cortan las diagonales.

Placa circular: centro del crculo.

Aro circular: centro del crculo.

Filamento rectangular: donde se cortan las diagonales.

7

En un tringulo equiltero: donde se cortan las alturas.

En la Figura 7 se ilustra un cuerpo plano homogneo: donde se cortan los dos ejes de simetra est

ubicado el centroide C.

Figura 7

Ejemplos con densidad de masa volumtrica ()

Cono:

Centro de masa de un cono homogneo de altura h, radio R y densidad , Figura 8.

Figura 8

El CM est sobre el eje de simetra, es decir,

CMx = 0 CMy = 0

A continuacin se calcula, CMz . De la ecuacin [4] se deduce que,

CM

m

1z = z dm

M

8

De la geometra y de la definicin de densidad se tiene,

2dm = r dz

r (h - z) =

R h

(h - z)r = R

h

Por lo tanto,

h2

2

CM 2

0

Rz = z h - z dz

h M

Resolviendo la integral y como,

21M = R h3

se obtiene,

CM

hz =

4

Semiesfera:

Centro de masa de una semiesfera homognea de radio R y densidad , Figura 9.

Figura 9

El CM est sobre el eje de simetra, es decir,

9

CMx = 0 CMy = 0

A continuacin se calcula, CMz . De la ecuacin [4] se deduce que,

CM

m

1z = z dm

M


2dm = r dz

2 2 2r = R - z

Por lo tanto,

R

2 2

CM

0

z = z R - z dz

M


32M = R3

se obtiene,

CM

3Rz =

8

Ejemplos con densidad de masa superficial ()

Tringulo:

Centro de masa de un tringulo homogneo de radio b y altura h y densidad superficial , Figura 10.

Figura 10

10

A continuacin se calcula, CMy . De la ecuacin [4] se deduce que,

CM

m

1 = y dm

My


dm = b' dy

h - yb' =

b y

h - yb' =

hb

Por lo tanto,

h

CM

0

b y = y h - y dy

hM


b hM =

2

se obtiene,

CM

hy =

3

Es decir, el centro de masas est donde se cortan las tres medianas del tringulo, llamado baricentro.

Semicrculo:

Centro de masa de semicrculo homogneo de radio R y densidad superficial , Figura 11.

Figura 11

11

El centro de masa se encuentra sobre el eje de simetra, por lo tanto,

CMx = 0


CM

m

1 = y dm

My


dm = b dy

2 2b = R - y2

Por lo tanto,

h

2 2

CM

0

2 y = y R + y dy

M


2M = R

se obtiene,

CM

4Ry =

3

Ejemplo con densidad de masa lineal ()

Semicircunferencia:

Centro de masa de un alambre delgado homogneo en forma de semicircunferencia de densidad lineal ,

Figura 12.

Figura 12

12

El centro de masa se encuentra sobre el eje de simetra, por lo tanto,

CMx = 0


CM

m

1 = y dm

My


dm = R d

y = R sen

Por lo tanto,

2

CM

0

R y = sen d

M


M = R

se obtiene,

CM

2Ry =

En diferentes textos de fsica, o de mecnica para ingenieros, o en la Internet se encuentran tablas con las

expresiones para calcular centros de masa de algunos cuerpos homogneos.

Ejemplo con cuerpos homogneos compuestos

Es muy comn en ingeniera tener que calcular el centro de masa de cuerpos compuestos. En estos casos,

conocidos los centros de masas de las partes, para calcular el centro de masa de todo el cuerpo se procede

como si fuera un conjunto de partculas (ecuaciones [1] y [2]), cada una ubicada en el centro de masa de la

parte correspondiente con la masa de sta; si se trata de un hueco esta parte se toma como si tuviera

masa negativa.

Ejemplo:

Encontrar el centro de masa de la placa homognea de la Figura 13.

13

Figura 13

En la Figura 14 se ilustra en las partes en las que se dividi esta placa.

Figura 14

En la tabal 2 se ilustran los clculos. Como la densidad es uniforme, para facilitar los clculos se supuso que

su valor es igual a la unidad (1,00 g.cm-2): esto no afecta el resultado. Con esta suposicin la masa es

numricamente igual al rea.

Tabla 2

Partcula mi (g) xi (cm) mixi (g.cm) yi (cm) miyi (g.cm)

Parte 1 36,0 4,00 144 -2,00 -72,0

Parte 2 96,0 6,00 576 4,00 384

Parte 3 -50,3 6,00 -302 8,00 -402

Parte 4 56,5 6,00 339 10,6 599

i im x = 757 i im y = 509

CM iM= m = 138,2 g i iCMm x

x = =M

5,48 cm i iCM

m yy = =

M

3,68 cm

14

Es decir la posicin del centro de masa es,

r = 5,48 i + 3,68 j cm

PARTE II: MOMENTO DE INERCIA

Momento de inercia y radio de giro respecto a un eje

Sea un conjunto de partculas que giran alrededor de un eje que pasa por O, Figura 15. El momento de

inercia respecto a un eje que pasa por O, Io, se define como,

n

2

o i i

i=1

I = m R [5]

Su unidad en el SI es kg.m2 y es una magnitud escalar.

Figura 15

El momento de inercia juega un papel esencial en el estudio de la rotacin, anlogo al que desempea la

masa inercial en el movimiento de traslacin. Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Depende

de la masa del cuerpo y de la forma como sta se distribuye, es decir, tambin depende de la geometra.

Esta magnitud es muy til cuando un cuerpo se puede modelar como un cuerpo rgido.

Si el cuerpo rgido es un continuo, Figura 16, el momento de inercia respecto a un eje toma la siguiente

forma,

2

o

m

I = R dm [5]

15

Figura 16

Para comprender mejor el concepto de momento de inercia se puede recurrir a los siguientes

experimentos:

Una bailarina que gira con sus brazos abiertos al recogerlos aumenta la velocidad angular de giro

debido a que disminuye su momento de inercia si variar su masa: la misma masa queda ms cerca del eje

de rotacin.

Un clavadista de natacin para lograr dar varios giros alrededor de un eje que pasa por su centro de

masa encoge su cuerpo; esto se debe a que disminuye su momento de inercia: la misma masa estar ms

cerca del eje de rotacin.

Si el planeta Tierra se achatara, es decir, aumentara el radio de la lnea del ecuador, aumentara su

momento de inercia y rotara ms lento aumentado la duracin de los das.

Teorema de ejes paralelos

Un resultado muy importante en el clculo de los momentos de inercia es el llamado teorema de los ejes

paralelos o teorema de Steiner, que puede enunciarse as: el momento de inercia de un cuerpo respecto a

un determinado eje es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de

masa, ms el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes. Sea o el

momento de inercia respecto a un eje que pasa por O, cm el momento de inercia respecto a un eje paralelo

y que pasa por el centro de masa CM, m la masa del cuerpo y d la distancia entre los ejes, entonces este

teorema establece que,

2

o CMI = I + m d [6]

Demostracin:

En la Figura 17 se ilustra un cuerpo rgido y dos ejes de rotacin paralelos: uno que pasa por el centro de

masa CM, y otro por el punto O. El momento de inercia respecto al eje que pasa por O es,

16

Figura 17

2

o

m

I = y' + d dm

2 2om

I = y' + 2dy' + d dm

2 2

o

m

I = y' dm d dm + 2d y' dmm m

como,

'm

cm

y dm

yM

corresponde a la posicin del CM respecto al CM que obviamente debe ser cero,

cmy = 0

entonces,

m

y' dm = 0

y por lo tanto,

2 2

o

m

I = y' dm d dmm

2 2

o

m

I = y' dm md

2

o cmI =I + md

17

Radio de giro y su importancia

A veces se escribe el momento de inercia de un cuerpo como,

2

o oI = mR

en donde oR se le denomina radio de giro del cuerpo.

Se define el radio de giro como la distancia desde el eje de rotacin a un punto donde podramos suponer

concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga

como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro. Es analizar el cuerpo rgido como

si fuera una partcula girando y ubicada a la distancia igual al radio de giro y con toda la masa del sistema.

Ejemplos sobre momento de inercia

Partcula:

El momento de inercia de una partcula de masa m que gira alrededor de un eje con un radio R. Figura 18.

Figura 18

2

oI = mR

Su radio de giro respecto a ese eje es,

oR = R

Anillo:

Momento de inercia de un anillo homogneo de radio R y masa m que rota alrededor de un eje que pasa por

su centro de masa, Figura 19.

18

Figura 19

Se aplica la ecuacin [5],

2

CM

m

I = R dm

2

CM

m

I = R dm

2

CMI = mR

Su radio de giro respecto al eje que pasa por el CM es,

CMR = R

Ahora si se quiere el momento de inercia respecto a un eje O que pasa por un punto de su periferia y que

es paralelo al eje que pasa por su centro de masa CM, Figura 20, se aplica el teorema de ejes paralelos,

Figura 20

19

2 2

o'I = mR + mR

2

o'I = 2mR

Su radio de giro respecto al eje que pasa por el O es,

o'R = 2 R

Varilla:

Momento de inercia de una varilla homognea de longitud L y masa m que rota alrededor de un eje que pasa

por su centro de masa, Figura 21.

Figura 21


2

CM

m

I = x dm

Como la densidad es uniforme (densidad lineal ),

dm = dx

L+

22

CM

L-

2

I = x dx

L+

22

CM

L-

2

MI = x dx

L

2

CM

1I = mL

12

20


CM

3R = L

6



Figura 22

2

2

o'

1 LI = mL m

12 2

2

o'

1I = mL

3

Su radio de giro respecto al eje que pasa por o es,

o'

3R = L

3

Disco:

Momento de inercia de un disco homogneo de radio R y masa m que rota alrededor de un eje que pasa por

su centro de masa, Figura 23.

21

Figura 23


2

CM

m

I = r dm

Como la densidad es uniforme (densidad superficial ),

dm = 2r dr

R

3

CM

0

I = 2 r dr

4

CM 2

2 m RI =

R 4

2

CM

1I = mR

2


CM

2R = R

2



22

Figura 24

2 2

o'

1I = mR m R

2

2

o'

3I = mR

2

Su radio de giro respecto al eje que pasa por o es,

o'

6R = R

2

Esfera maciza:

Momento de inercia de una esfera maciza homognea de radio R y masa m que rota alrededor de un eje que

pasa por su centro de masa, Figura 25.

Figura 25

Se puede partir del momento de inercia del disco,

23

2

CM

1dI = dm r

2

Como la densidad es uniforme (densidad volumtrica ),

2dm = r dz

R

22 2

CM

-R

I = R - z dz

2

R

22 2

CM3

-R

mI = R - z dz

42R

3

2

CM

2I = mR

5


CM

10R = R

5

En diferentes textos de fsica, o de mecnica para ingenieros, o en la Internet se encuentran tablas con las

expresiones para calcular los momentos de inercia de algunos cuerpos homogneos.

TAREA

Resolver el taller sobre centro de masa y momento de inercia

FIN.

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