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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FSICAFSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y PTICAMDULO # 2: OSCILACIONES MECNICAS EJEMPLOS TPICOS-Diego Luis Aristizbal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muoz H.Profesores, Escuela de Fsica de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln

Temas

Introduccin Sistema Masa-Resorte Pndulo Simple Pndulo Fsico Otros ejemplos Taller

Introduccin

El estudio de las oscilaciones en resortes y pndulos facilita la comprensin de sistemas ms complejos como: oscilaciones en molculas y tomos (espectroscopa), oscilaciones de estructuras como edificios y puentes, incluso facilitan la comprensin de las oscilaciones electromagnticas que son la base del estudio de las telecomunicaciones (televisin, radio, telefona celular,).

En este mdulo se har el anlisis con suficiente detalle las oscilaciones mecnicas libres correspondientes a:

El sistema masa-resorte. El pndulo simple. El pndulo fsico.

Sistema Masa-Resorte En la Figura 1 se ilustra los estados en los que se puede encontrar el sistema masa-resorte (se considera resorte ideal, es decir, con masa despreciable): longitud natural del resorte (A), masa acoplada y en equilibrio (B) y masa desplazada del equilibrio (C). En la Figura 2 se ilustran los diagramas de fuerza de la masa m en la situacin de equilibrio y en la situacin de no equilibrio. El marco de referencia elegido es el techo y el sistema de coordenadas el eje Y apuntando hacia abajo con su origen en la posicin de equilibrio de la masa m.

Las fuerzas que actan sobre la masa m son: la fuerza que le ejerce el planeta Tierra (el peso mg) y la fuerza que le ejerce el resorte (en equilibrio es igual a y en la situacin de no equilibrio es igual a ). Se estn despreciando las fuerzas que por ejemplo ejerce el aire sobre el cuerpo de masa m (el empuje y la fuerza de friccin).

Figura 1

Figura 2

En la situacin de equilibrio se aplica la primera ley de Newton,

En la situacin de no equilibrio se aplica la segunda ley de Newton,

Sabiendo que

y combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,

que corresponde a la ecuacin diferencial del oscilador armnico con,

Es decir, se concluye que las oscilaciones del sistema masa-resorte son armnicas (MAS) con frecuencia angular natural o propia igual a,

En donde que corresponde a la constante del MAS, es igual la misma constante de rigidez del resorte y m la masa del cuerpo que est acoplado a ste. El periodo P y la frecuencia propia en Hz de este sistema son respectivamente,

Entre mayor sea la masa acoplada, menor es la frecuencia natural con que oscila, o lo que es lo mismo, ms se demora en hacer una oscilacin completa. Entre mayor se , es decir entre ms rgido sea el resorte, mayor es la frecuencia natural con la que oscila.

Las ecuaciones cinemticas correspondientes son,

Video:

Variando la masa en el sistema masa-resorte.

Video:

Variando la constante de rigidez mediante la composicin de dos resortes en paralelo.

Video:

Variando la constante de rigidez mediante la composicin de dos resortes en serie.

Simulacin:

Analizar la simulacin de SimulPhysics correspondiente a Dinmica del MAS, Sistema masa-resorte. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el tem sealado en la Figura 3. Se despliega la simulacin de la Figura 4. En sta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 3

Figura 4Ejemplo 1:

Encontrar el perodo natural de oscilacin de los dos sistemas ilustrados en la Figura 5. Aqu, y corresponden a las constantes de rigidez de los resortes individuales, m corresponde a la masa del cuerpo que est sujeto al sistema de resortes.

Figura 5

Solucin:

El periodo con que oscila un sistema masa-resorte es segn la ecuacin [2],

Una solucin es buscar en cada uno de los sistemas de la Figura 5 un sistema equivalente de constante resultante . En otras palabras buscar la constante de un resorte que reemplace a los dos resortes de constantes y de cada uno de los sistemas de la Figura 5 y que oscilar con un periodo igual a,

Sistema 1: Resortes en serie.

A continuacin se demostrar que si se tiene dos resortes de longitudes naturales L1 y L2 y constantes de rigidez y y se empalman en serie, es equivalente a tener un resorte de longitud natural L1 + L2 con una constante de rigidez que cumple,

Demostracin:

En la figura 6 se ilustra el sistema de resortes empalmados en serie. Como se estn considerando resorte ideales, sus masas son despreciables, y por lo tanto la fuerza Fr que se realiza sobre el resorte 1 se transmite con la misma intensidad a travs de ste y a travs del resorte 2 estn o no en equilibrio: se deja al lector para que mediante la aplicacin de las leyes de Newton muestre esto (ayuda: elaborar el diagrama de fueras de cada resorte).

Figura 6Por lo tanto como,

y de la aplicacin dela ley de Hooke a cada resorte,

Se obtiene,

Si por ejemplo dos resortes de igual constante se empalman en serie, la constante del conjunto de estos dos resortes slo es la mitad, : es menos rgido.

De la ecuacin (1) se deduce que la constante equivalente es,

y por lo tanto reemplazando en la ecuacin (1) se obtiene para el periodo de oscilacin del sistema resultante,

Sistema 2: Resortes en paralelo

A continuacin se demostrar que si se tiene dos resortes de longitudes naturales L1 y L2, con L1=L2, y constantes de rigidez y , y se empalman en paralelo, es equivalente a tener un resorte de longitud natural L=L1=L2 con una constante de rigidez que cumple,

Si por ejemplo dos resortes de igual constante y longitud L se empalman en paralelo, la constante del conjunto de estos dos resortes es el doble, : es ms rgido.

Tarea: Se deja al lector ste anlisis.

El periodo de oscilacin de este sistema es,

Algo bien interesante:

Los resortes en serie se distribuyen la deformacin,

Los resortes en paralelo se distribuyen la fuerza,

Pndulo SimpleSe define el pndulo simple como una masa puntual que pende de un hilo inextensible. En la Figura 7 se ilustra una posicin general de un pndulo simple oscilando; en la misma figura se representa las fuerzas que actan sobre la masa pendular: el marco de referencia elegido es el techo y el sistema de coordenadas elegido de acuerdo a la simetra es el que corresponde a ejes que tienen las direcciones de la aceleracin tangencial y de la aceleracin centrpeta de la masa.

Figura 7

Aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene,

En estas ecuaciones F corresponde a la tensin en la cuerda, g es la aceleracin de la gravedad, m es la masa pendular, es la posicin (elongacin) angular, es la velocidad angular, es la aceleracin angular y L es la longitud pendular.

De la ecuacin (2) se obtiene,

De la ecuacin (2) se obtiene,

Esta ecuacin diferencial NO es lineal, y por lo tanto el pndulo simple no oscila con MAS. Sin embargo para pequeas oscilaciones, , por tanto,

es decir, para pequeas amplitudes (pequeas oscilaciones) el movimiento pendular es armnico. La frecuencia angular propia de oscilacin de este sistema es,

y el periodo y la frecuencia propia en Hz son,

y No dependen de la masa pendular.

La cinemtica del movimiento pendular para pequeas oscilaciones es en funcin de las variables angulares (elongacin angular , velocidad angular y aceleracin angular ),

Video:

Independencia del perodo de oscilacin de un pndulo simple de la masa pendular.

Video:

Dependencia del perodo de oscilacin de un pndulo simple de la longitud del hilo.

Simulacin:

Analizar la simulacin de SimulPhysics correspondiente a Dinmica del MAS, Pndulo simple. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el tem sealado en la Figura 8. Se despliega la simulacin de la Figura 9. En sta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 8

Figura 9

Ejemplo 2:

Un pndulo simple tiene una masa de 0,250 kg y una longitud de 1,00 m. Se desplaza un ngulo de 15,0 y se suelta. Calcular: (a) su rapidez mxima, (b) la aceleracin angular mxima, (c) la mxima fuerza de restitucin.

Solucin:

Una representacin de la escena fsica y del diagrama de fueras sobre la masa pendular se ilustra en la Figura 7. Tambin all se observa el sistema de coordenadas elegido; como marco de referencia se escogi el techo.

Con la condicin inicial dada la masa pendular oscila con una amplitud angular que podra considerarse pequea y por lo tanto las oscilaciones sern armnicas: las siguientes ecuaciones cinemticas estn dadas por las ecuaciones [10], [11] y [12],

(a) La rapidez angular mxima se presenta cuando la masa pendular pasa por la posicin de equilibrio y es igual a,

Se debe tener la precaucin de no olvidar expresar las variables angulares en radianes,

El periodo, ecuacin [8],

La frecuencia angular,

Reemplazando en (1),

La rapidez lineal mxima es,

(b) La aceleracin angular mxima se presenta cuando la masa pendular se encuentra en algunos de los extremos de la oscilacin y es igual a,

Reemplazando valores,

Nota: no confundirse con el manejo de rad, rad2 y rad3, ya que dimensionalmente son la unidad: en otras palabras se mide en s-1 y en s-2.

(c) La magnitud de la mxima fuerza de restitucin es,

Ejemplo 3

En el techo de un ascensor se cuelgan un sistema masa-resorte y un pndulo simple. Comparar los periodos de oscilacin de estos sistemas oscilantes cuando el ascensor est en reposo respecto al edificio, con los valores de stos cuando el ascensor est: (a) subiendo con velocidad constante, (b) bajando con velocidad constante, (c) subiendo con aceleracin constante , (b) bajando con aceleracin constante, (e) en cada libre.

Solucin:

Figura 10

En la Figura 10 se ilustra una representacin de la escena fsica. El piso del edificio es un marco de referencia inercial, mientras que el ascensor solo es marco de referencia inercial cuando se mueve con velocidad constante respecto al edificio.

En primera instancia se analizar la situacin en la cual el ascensor sube con aceleracin . Respecto al ascensor, que es un marco de referencia NO inercial la gravedad medida denominada gravedad aparente o mejor gravedad efectiva, , cuyo valor se puede obtener mediante el uso de la relaciones de movimiento relativo. Para comprender bien esto, supngase la masa m en cada libre dentro del ascensor:

En donde, es la aceleracin de la masa m respecto a O, es la aceleracin de m respecto a O (gravedad efectiva y es la medida en marco de referencia no inercial), es la aceleracin de O respecto a O,

(aceleracin de la masa m respecto al edificio, que es un marco de referencia inercial)

(aceleracin del ascensor respecto al edificio)

Por lo tanto la aceleracin de m respecto al ascensor es,

siendo entonces la gravedad efectiva igual a,

Por lo tanto el periodo del pndulo se ve afectado, siendo para el ascensor en reposo,

y en el ascenso subiendo con aceleracin a,

Es decir el periodo se ve disminuido y por lo tanto la frecuencia aumenta.

Para los casos en los que el ascensor sube o baja con velocidad constante, sera una situacin equivalente a cuando el ascensor est en reposo (marco de referencia inercial), y la gravedad medida sera la real: el periodo no cambia respecto a su valor con el ascensor en reposo.

Cuando el ascensor baja con aceleracin ,

y si el ascensor baja en cada libre el pndulo no oscila, .

Tarea: Analizar el caso del sistema masa-resorte.

Pndulo FsicoUn pndulo compuesto (o pndulo fsico) es cualquier cuerpo rgido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal bajo la accin de la fuerza de gravedad. En la Figura 11 se ilustra una posicin general de un pndulo compuesto oscilando. En la misma figura se representa las fuerzas que actan sobre el cuerpo rgido (se han despreciado el torque de friccin en el eje, el rozamiento con el aire y la fuerza arquimediana). El marco de referencia elegido es el piso sobre el que se ubica el soporte del pndulo; el sistema de coordenadas es el normal-tangencial.

Figura 11

La distancia desde el punto de apoyo O hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a . Si el momento de inercia del cuerpo rgido respecto a un eje que pasa por O es , la segunda ley de Newton de rotacin da como resultado,

Se debe observar que la fuerza de reaccin R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rgido no hace torque, por lo que no aparece en la ecuacin. Adems, tambin es necesario resaltar que esta ecuacin diferencial no es lineal, y por lo tanto el pndulo fsico no oscila con MAS. Sin embargo, para pequeas oscilaciones, , por tanto,

es decir, para pequeas amplitudes (pequeas oscilaciones) el movimiento pendular es armnico. La frecuencia angular propia de oscilacin de este sistema es,

y el periodo y la frecuencia propia en Hz son,

Aplicando el teorema de ejes paralelos,

en donde es el momento de inercia del cuerpo rgido respecto a un eje que pasa por el centro de masa y es paralelo al eje que pasa por O.

Aplicando la definicin de radio de giro,

En donde corresponde al radio de giro del cuerpo rgido respecto al CM.

Por lo tanto,

Y reemplazando en la ecuacin [14],

Tarea: Cul es la interpretacin fsica del radio de giro?

Tabla de radios de giro de algunos cuerpos homogneos y con simetraCuerpo

Anillo

Disco

Cilindro0

Placa rectangular

Varilla

Esfera hueca

Esfera maciza

Longitud de pndulo simple equivalente ():

Es la longitud que debe tener un pndulo simple para que oscile con el mismo periodo de un pndulo fsico. Para calcularla basta con igualar las ecuaciones [8] y [16] y se obtiene,

Las ecuaciones cinemticas del pndulo fsico son las mismas que para el pndulo simple,

Ejemplo 4:

Un aro circular de radio R se cuelga sobre el filo de un cuchillo. Demostrar que su perodo de oscilacin es el mismo que el de un pndulo simple de longitud 2R.

Solucin:

La longitud de pndulo simple equivalentes, ecuacin [17] es,

y por lo tanto en este caso,

Es decir un pndulo simple de longitud igual a dos veces el radio del anillo oscila con igual periodo que ste.

Ejemplo 5:

Una varilla delgada tiene una masa M y una longitud L. Uno de los extremos de la varilla se sujeta en un pivote fijo y la varilla oscila alrededor del pivote con oscilaciones pequeas. Encontrar la frecuencia de estas oscilaciones. Si se apoya una partcula de masa M al extremo final de la varilla, cul ser su nuevo periodo?

Solucin:

En la Figura 12 se ilustran las dos situaciones fsicas: a la izquierda la varilla y a la derecha la varilla con otra masa en su extremo inferior.

Figura 12

Periodo de la varilla:

De la ecuacin [16],

Periodo de la varilla con masa en su extremo:

De la ecuacin [14] se obtiene,

en donde las primas significa los valores de esas magnitudes para el nuevo sistema: varilla + partcula en su extremo. As:

Pero segn el teorema de ejes paralelos,

Como para la partcula que se ubic en el extremo de varilla, y reemplazando (4) en (3), se obtiene,

Ahora se ubicar la posicin del nuevo CM. Este es equivalente al CM de dos partculas, una ubicada en el CM de la varilla y la otra ubicada en el extremo de la varilla, por lo tanto,

Reemplazando (2), (5) y (6) en (1),

Otros ejemplos de sistemas oscilando con MAS

Ejemplo 6:

Un bloque de madera cuya densidad relativa respecto al agua es tiene dimensiones a, b, c. Mientras est flotando en el agua con el lado a vertical, se le empuja hacia abajo y se le suelta. Hallar el perodo de las oscilaciones resultantes Es armnico el movimiento?

Solucin:

En la Figura 13 se ilustra la escena fsica. El marco de referencia puede ser la el recipiente que contiene el agua y el sistema de coordenadas elegidos es el eje Y con origen O en la superficie del agua. En la misma figura se ilustra el diagrama de fuerzas: mg es el peso del bloque y E y E las correspondientes fuerzas arquimedianas (se ha despreciado la fuerza de rozamiento de viscosidad).

Figura 13Aplicando la primera ley de Newton en la situacin de equilibrio,

El principio de Arqumedes expresa que el empuje E es igual al peso del fluido desalojado,

En donde es la densidad del agua, por lo tanto,

Aplicando la segunda ley de Newton en la situacin de No equilibrio,

Aplicando el principio de Arqumedes,

Y por lo tanto,

Reemplazando (1) en (2),

y como,

en donde es la densidad del cuerpo, se obtiene,

que corresponde a la ecuacin diferencial del oscilador armnico. Es decir el bloque oscila con MAS y con una frecuencia angular natural igual a,

siendo,

y su periodo de oscilacin es,

Sera como el periodo de un pndulo simple con longitud equivalente,

Ejemplo 7:

La Figura 14 muestra una barra uniforme que se apoya sobre dos cilindros que giran en sentidos contrarios. El coeficiente de friccin entre la barra y los cilindros es . Mostrar que el efecto neto de las fuerzas de friccin es una fuerza restauradora lineal y que la frecuencia angular natural con que oscila el centro de masa de la barra ser igual a:

Solucin:

Figura 14

En la misma figura se ilustra el diagrama de fuerzas tanto en situacin de equilibrio como de NO equilibrio. El marco de referencia puede ser el piso y el sistema de coordenadas elegido es XY con origen en la posicin de equilibrio de la barra.

Las ecuaciones correspondientes a las leyes de newton en la situacin de No equilibrio son,

Adicionalmente,

De (1), (2), (3), (4) y (5) se obtiene,

Que corresponde a un MAS con frecuencia angular propia,

y su periodo de oscilacin es,

Es decir su periodo es el mismo que el de un pndulo simple cuya longitud equivalentes es,

Taller

1. Se cuelga un resorte del techo de un ascensor en reposo. Su longitud natural es de igual a 30,0 cm y su constante elstica de 500 N/m. Se coloca un cuerpo en el extremo libre del resorte y ste se estira 10,0 cm, quedando en reposo. Un pasajero observa que, durante algunos segundos la posicin en la que el cuerpo queda en reposo respecto de l corresponde a un estiramiento del resorte de 13,0 cm. Entonces, en ese lapso, cul es la aceleracin del ascensor respecto a la planta baja del edificio?Rp. 3,00 m/s2

2. Un bloque de 25,0 kg se cuelga de una serie de resortes como se indica en la Figura 15: k1= 8,00 kN/m, k2= 12,00 kN/m, k3= 16,00 kN/m, k4=6,00 kN/m, k5= 24,00 kN/m y k6= 3,00 kN/m. Para cada uno los arreglos de resortes determinar para sus oscilaciones de amplitud 3,00 cm: (a) el periodo, (b) la frecuencia, (c) la rapidez mxima, (d) la aceleracin mxima.Rp. (a) 0,517 s y 0,356 s (b) 1,93 Hz y 2,81 Hz (c) 0,365 m.s-1 y 0,530 m.s-1 (d) 4,43 m.s-2 y 9,36 m.s-2

Figura 15

3. Un pndulo simple tiene una longitud de 5,00 m. (a) Cul es el periodo del MAS de este pndulo si est colgado de un elevador que acelera hacia arriba a 5,00 m.s-2?, (b) cul es su periodo si el elevador acelera hacia abajo a 5,00 m.s-2?, y (c) cul es el periodo para este pndulo si es puesto en un camin que acelera horizontalmente a 5,00 m.s-2?Rp. (a) 3,65 s, (b) 6,41 s, (c) 4,24 s.

4. Un pndulo fsico consiste de una barra de masa despreciable de longitud 2L que oscila en torno a un eje a travs de su centro, Figura 16. Una masa m1 se une al extremo inferior de la barra y una masa m2 al extremo superior. Cul es el periodo de este pndulo?

Rp.

Figura 165. Una partcula de masa m resbala dentro de una superficie semiesfrica de friccin despreciable y de radio R. Mostrar que si sta se suelta muy cerca de la posicin de equilibrio, oscilar armnicamente con una frecuencia angular propia igual a la de un pndulo simple de longitud R.

6. Un carro consiste en un cuerpo y cuatro ruedas sobre ejes con friccin despreciable. El cuerpo tiene una masa m. Las ruedas son discos uniformes de masa M y radio R. Suponer que el carro puede oscilar sin deslizarse bajo la accin de un resorte de constante de rigidez k, Figura 17. Si se toma en cuenta el momento de inercia de las ruedas, mostrar que las oscilaciones del carro son armnicas con frecuencia natural,

Ayuda: En la Figura 17 se ilustra el diagrama de fuerzas cuando el carro se desplaza hacia X creciente. f es la fuerza de friccin sobre cada rueda. Tener en cuenta que si cada rueda rota , el carro se desplaza .

Figura 17

FIN.