ACTIVIDAD N 01

Teora de ConjuntosFidel Vera Obeso

Universidad Nacional del Santa21ACTIVIDAD N 01

OBJETIVO N 01

Determinar y representar conjuntos.

Estudie la informacin destacando los conceptos bsicos, notaciones y formas existentes para la determinacin de conjuntos.

As como en la Geometra las ideas de Punto, Recta y Plano son conceptos bsicos que se admiten sin definicin; las ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, tambin, ideas nosusceptibles de definicin.

NOCIN DE CONJUNTO

Conjunto: Intuitivamente un conjunto es la reunin, coleccin o agrupacin de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denominan elementos miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen al conjunto.Notacin: Para denotar a los conjuntos se usan letras maysculas: A, B, C, X, etc. y para representar a sus elementos se usan letras minsculas: a, b, c, etc.Relacin de Pertenencia: Si un objeto x es elemento de un

conjunto A, se dice que x pertenece al conjunto A que x est en A, y se denota por: x A. En caso contrario, x no pertenece a A y se denota por: x

A.

Ejemplo: Si A es el conjunto formado por: 8, -2, 6, {0,1}, 3 y

1; y B es el conjunto constituido por: 0 y 1;

escribimos:

A = { 8, -2, 6, { 0, 1 }, 3 , 1 ]; B = { 0, 1 }. En este caso:8 A...( V ) -2 A...( V )

6 A...( V ) 1 A 1 B...( V )0 A...( V ) 3 B...( V ){ 0, 1} A...( V ) { { 0, 1} } A...( V )

Seobserva, adems, que el conjunto B pertenece al conjunto A.

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Para representar grficamente a los conjuntos se usan los Diagramas de Venn-Euler que son regiones planas limitadas por figuras geomtricas cerradas, como se ilustra a continuacin conlos conjuntos A y B del ejemplo dado anteriormente.

A B

{0,131

081-26

7 A 7 B (V)9 B 0 B (V){ 0, 1 } B -2 A (V){ 1 } B { 0, 1 } A (V)

DETERMINACION DE CONJUNTOS

I. POR EXTENSION O EN FORMA TABULAR

Cuando se indica explcitamente cada uno de los elementos del conjunto.Ejemplo :

A = { 2, 3, 5, 7, 11 } B = { 1, 4, 9, 16, 25 } C = { a, e, i, o, u }

II. POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVA

Cuando los elementos del conjunto son caracterizados mediante una propiedad comn.

Ejemplo:A = { p / p es un nmero primo p < 12 } B = { x2 / x Z+ x 5 }

C = { x / x es una vocal }

Esquema general:

Conjunto = Forma del elemento

Caracteristicas (Pr opiedadaes)

Ejemplo:

T = { x / x es un pronombre personal en Ingls }

Nota: Otro diagrama para representar grficamente a los conjuntos es el Diagrama de Lewis Carroll.

DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL

HOMBRESMUJERESHablanInglsSe observa que :

No hablan

CCOONNJJUUNNTTOOSS NNUUMMEERRIICCOOSSIngls

Hombres que hablan Ingls

Hombres que no hablan

Son tpicos en matemtica los siguientes conjuntos numricos:= {0,1, 2, 3, 4, ...}= {..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,...}= n / n, d d 0 d ' = {decimales que no pueden exp resarse en forma de fraccion}= '= {^ x + iy / x, y 1 = i i2 = 1}

CONJUNTO FINITO

CLASES DE CONJUNTOS

Un conjunto es finito cuando posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algn momento.Ejemplo :

A ={ x /xesun hablante nativo de Quechua }

B ={ x /xesun mes del ao }

CONJUNTO INFINITO

Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.Ejemplo :

A = { p / p es un nmero primo } B = { x / x R 8 < x < 9 }C = { x / x es una estrella de universo }

CONJUNTOS ESPECIALES

1. CONJUNTO NULO O VACIO

Es aquel conjunto que carece de elementos.

Ejemplo :

A = { x / x es el actual Virrey del Per }B = { x / x N 7 < x < 8 }

Notacin: = { } =A = B = = { }.

{x / x x}.

2. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON

Es el conjunto que tiene un slo elemento.Ejemplo: A = { x / x Z 10 < x < 12 } = { 11 } B = { 2, 2, 2, 2, 2, .............} = { 2 }3. CONJUNTO UNIVERSAL

Es un conjunto referencial para el estudio de una situacin particular que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.Ejemplo:

A = { 1, 2, 3 }; B = { 2, 4, 6, 8 } Pueden ser conjuntos universales:U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, .............}U = = {x / x N }

*Grficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante un rectngulo.

ILUSTRACIN RESUMEN

NO ES UNITARIO

POR EXTENSIN ES:{-1, 0, 1, 2, 3}

NO ES VACO

El conjunto

ES FINITO

B = { x Z / - 2 r.

Compare sus respuestas con la clave!

CLAVE DE RESPUESTAS

1.a.Z = {, -1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

2.b.

a.Z = { V, 0, 1, x R, 2 }.y R / ( - x ) y - x y.

b.F, r Q, p Z / p r.

ACTIVIDAD N 01

OBJETIVO N 02

Establecer la relacin entre conjuntos y demostrar las propiedades de Inclusin e Igualdad de conjuntos.

Analice el siguiente texto remarcando las definiciones, ilustraciones y propiedades de la Inclusin e Igualdad de conjuntos.

Entre dos conjuntos cualesquiera se pueden establecer las siguientes relaciones:

A. INCLUSIN: Se dice que un conjunto A est incluido, contenido es un subconjunto del conjuntoB, si todo elemento de A es tambin elemento de B. Se denota por: A B. Es decir: A B [ x A / x A x B ].Se lee :A es subconjunto de B si y slo si todo x de A es tal que si x A entoncesx B.Observacin: A partir de la definicin, basta que un slo elemento de A no pertenezca B

para asegurar que A no est incluido o contenido en B; en tal caso se denota por: A B.Ejemplo. Si A = { q, s }

B = { p, q, r, s } A B

r B p

A s

.q

Observacin: Si un conjunto tiene n elementos entonces tiene: 2n subconjuntosEjemplo. Si B = { a, b }

Los subconjuntos de B son: , { a }, { b }, { a, b }. Numero de subconjuntos de B es: 22 = 4.

Ejemplo. Siendo B = { 3, { 3 }, { 4 }, { { 4 } } }.

Dar el valor de verdad a las siguientes proposiciones :- { 3 } B . (V)- { 3 } B . (V)- { { 3 } } B . (V)- { { { 4 } } } B . (V)- { { 4 } } B . (V)- 7 B . (F)- 7 B . (F)Grficamente se representa:

U U

B A H A

A B

A H

Ejemplo: Demostrar que la proposicin A B, equivale a demostrar que:Existe al menos un x A tal que x B.En efecto, la proposicin: A B equivale a decir: No es cierto que A estcontenido en B; esto es : A B ~ [ A B ] ~ [ A / x A x B ] Definicin x A / ~ ( x A x B ) Aplicando la negacin x A / x A ( x B ) ] Ley de p q x A / [ x A x B ] Negacin A B x A / (x A x B )Propiedades de la Inclusin.

La relacin de Inclusin entre conjuntos goza de las siguientes propiedades:1.1 Reflexiva: A A, conjunto A.

1.2 Antisimtrica: Si A B y B A entonces A = B. (*)1.3 Transitiva: Si A B y B C entonces A C.1.4 A, A.(*) Corresponde a la definicin de Conjuntos Iguales, que se ver mas adelante.

Demostracin de 1.1Demostrar que: A A equivale a demostrar que, x A / x A x A, la cual es una proposicin siempre verdadera, pues: p p esuna tautologa como se ilustra a continuacin:

PPP

VV

FV

Demostracin de 1.3Si A B y B C entonces A C.

A A

x A / x A x B pues A B.Adems, x B / x B x C pues B C. Por la propiedad transitiva de la Condicional:[(p q) (q r )] [p r].En consecuencia, x A / x A x C. Es decir A BDemostracin de 1.4 A, A.Recuerde que la proposicin p q es falsa slo si p es verdadera y q es falsa. Luego, A x / ( x ) ( x A), esta ultima proposicin es verdadera puesto que el antecedente ( x

) es falso, por que el conjunto vaco carece de elementos.

Conjuntos Comparables.Los conjuntos A y B son comparables si: A B B A. Si A B B A se dice que A y B son no comparables.

B. IGUALDAD DE CONJUNTOS: =

Los conjuntos A y B son iguales si y slo si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por: A = B [(A B) (B A)].En caso contrario se escribe: A B.

Nota: La definicin establece la necesidad de demostrar la doble inclusin a fin de demostrar la igualdad de dos conjuntos.Ejemplo. Establecer si los siguientes conjuntos son iguales:

A = { 1, -2, 6 }, B = { 1, -2, 6, 1, 6 }.

Se verifica que A = B pues todo elemento de B es tambin elemento de A, B A; y todo elemento de A es elemento de B, A B.Observacin. Del ejemplo se concluye que un conjunto no vara si sus elementos repetidos se escriben una sola vez, en este caso { 1, -2, 6, 1, 6 } = { 1, -2, 6 }.

Propiedades de la Igualdad2.1 Reflexiva: A = A, A.2.2 Simtrica: A = B B = A.2.3 Transitiva: A = B B = C A = C.Demostracin de 2.2Debemos demostrar que B = A, es decir. B A y A B. Por hiptesis A = B y por definicin:A = B ( A B ) ( B A ) ( B A ) ( A B ) Prop. Conmutativa de B = A. A = B B = A.

C. SUBCONJUNTO PROPIO.Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B, si A B A B.En otras palabras, A es subconjunto propio de B, si A B B tiene uno ms elementosque no pertenecen a A. Grficamente,

U

B

A

Ejemplo. Dados los conjuntos:A = { x / x Z x + 3 = x2 9 } B = { -3, 4 }.De A : x + 3 = x2 - 9

x2 x 12 = 0 x-4x 3( x 4 )( x + 3 ) = 0 x = -3 4

A B-3

4A = B

D. CONJUNTOS DIFERENTES: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee

el otro.

Se define :

A B A B B A

Ejemplo. Dados:

A = { x / ( x 1 )( x 2 )( x 3 ) x = 0 } B = { 0, 1, 2, 3, 4 }De A: ( x 1 )( x 2 )( x 3 ) x = 0

x = 0; 1; 2; 3 A B.

E. CONJUNTOS DISJUNTOS

Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes

Simblicamente :

A y B son disjuntos x / x A x B

Ejemplo. Siendo: A = {2,3,4} y B = {5,6,7}. A y B son disjuntos

Grficamente : A B` 2 54 73 6

F. CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES.

Para hablar de estos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina.Dos conjuntos son equipotentes o coordinables cuando el nmero de sus elementos son iguales.Ejemplo. Siendo:

A = { 10, 11, 12 }

B = { m, n, p } A y B son equipotentes. Simblicamente:

A B n( A ) =n( B )

DIAGRAMAS LINEALESSon representaciones graficas que sirven para indicar relaciones de inclusin entre conjuntos

ASi : A B

BSi : A = B A B

PROPIEDADN Z Q R C

ILUSTRACIN RESUMEN

Es unitario

es slo un smbolo

Tiene 21=2 subconjuntos

Dado el conjuntoA = {{}}

Sus subconjuntos son{ A, conjunto }

ACTIVIDAD N 02

Resuelva los siguientes ejercicios para reafirmar su aprendizaje, compare sus resultados con la clave.

EJERCICIOS GRUPO 3

1.Si A = { 2, 4, 6, 0, 5 }, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.a.{ 2 } A b.{ x / ( x2 5 )( x 2 ) = 0; x Z+ } Ab. 4 A c. A R e. { 6 } Af. 5 A g. A h. Ai. { } A2.Dados los conjuntos A = { x / x N, 2 x 9 }, B = { 2, 4, 6, 8 }

C = { 3, 5, 7 }, D = { 2, 4 }, E = { 1, 3 }. Determinar en cada caso, cul de estos conjuntos puede ser el conjunto X tal que:a. X A y X B b. X A y X Ec. X B y X E d. X A y X Ee. X C y X D.

Sugerencia: Apyese con un diagrama.

3. Representar grficamente las siguientes relaciones:a. A B b. B A c. A = B

d. A y B son comparables.

4. Hallar todos los subconjuntos de A, si:a. A = { 2, -3, 4 } b. A = { { } } c. A =

Cuntos subconjuntos tiene A en cada caso?

5. Demostrar las siguientes propiedades:

a. Si A B y B A, entonces A = B.b. A = A, A.

c. Si A = B y B = C, entonces A = C. d. Si H M M N, entonces H N. e. Si A , entonces A = .

CLAVE DE RESPUESTAS

1. Son verdaderas: a, d, e, f, h, i.

2.X puede ser igual al conjunto que se indica en cada caso a.D B b. Slo B c. Slo Cd. Ninguno e. D

Grficamente:

A B6 D2 C45 E

2 39 1

3.a. B A

b.A B

c. A

A A = B B

A B

d. e.

ACTIVIDAD N 01

OBJETIVO N 03

Efectuar operaciones con conjuntos e interpretar grficamente los resultados.

Infrmese sobre las operaciones entre conjuntos: definicin, notacin, representacin e ilustracin grfica, leyendo el siguiente texto.

Entre conjuntos se pueden realizar las siguientes operaciones: Unin, Interseccin y

Diferencia.

1. UNIN DE CONJUNTOS

La Unin de los conjuntos A y B es otro conjunto, denotado

por A U

B formado por todos los elementos que pertenecen a

A, a B a ambos.

A U B = { x / x Adi

x B}; = Smbolo de la

Para representar grficamente A U B, se tendr presente las relacionesentre los conjuntos dados en cada casoparticular.

AB A A B B

U U U

Observacin. De la definicin se deduce que A (A U B) yB (A U

B).

Ejemplo. Si A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, B = { 3, 4, 5, 6 },

Teora de ConjuntosFidel Vera ObesoC = { 2, 3, 6, 8, 10 }. Hallar (a) A U B (b) B

U

Solucin.

C. Representar grficamente cada caso.A U B = { x / x A x B } = { 2, 3, 4, 5, 6,

7 }B U C = { x / x B x C} = { 3, 4, 5, 6, 2, 8, 10 }Se observa que B A, y que B y C son no comparables con algn elemento comn, luego se tiene:

7 B

23 4 3 5 7 8 4 6

5 6

10

2 2A B

B C

Ejemplo. Sea A = {x R / x2 1 = 0},B = {x R / x2 + 3 = 0} y M = R.

Solucin.

Hallar (a) A U

B (b) M U B (c) A U MA = {-1, 1 }, B = , M = R;

luego:A U

B = A U

= { x / x A x }pero no existe x . Entonces:a. A U B = {-1, 1}, es decir A U = A, A.

b. M U B = Rc. A U M = { x / x A x M } } = R.

2. INTERSECCIN DE CONJUNTOS

La Interseccin de los conjuntos A y B es el conjunto denotado con A B formado por los elementos comunes a ambosconjuntos. Es decir,

A B = { x / x A x B }

Grficamente.

22ersidad Nacional del SAB A A B B

U U Univ

U anta

Nota : ( A B ) A y ( A B ) BConjuntos Disjuntos: A y B son disjuntos si A B = .

Ejemplo. Siendo A = { 2, 4, a }, B = { a, b, c, d }, C = {

b, c }. Hallara.A B, b. B C c. A C Representar grficamente cada caso.

Solucin.A B = { x / { x / x A x B } = { a }B C = { x / x B x C } = { b, c } A C = { x / x A x C } =

Tenemos:

Universidad Nacional del Santa28`` A B

44 b

2 cdU

B4 Ca 6 dU

A 2a4

b BcU

a. A B, b. B C c. A CNota. Si X Y, entonces X Y = X.

3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS

La Diferencia de los conjuntos A y B, en ese orden, denotado por A B, es el conjunto formado por todos los elementos deA que no pertenecen a B. Es decir,

A B = { x / x A x B }Se lee : A diferencia B A menos B Grficamente:

UUUAB A A B B

A - BA partir de la definicin se deduce que:a. A B B A b. A A = c. A B = A B

Complemento de un Conjunto.

El complemento del conjunto A respecto al conjunto universal

U, es el conjunto A formado por todos los elementos de U

que no estn en A. Es decir,

A = { x / x U x A }

En otras palabras, el complemento de A es el conjunto formado por los x A, esto es:A = U A. Grficamente:

A

A

Otras notaciones : C A A.

Observaciones : a. A U A = Ub. A A = Ejemplo. Demostrar que A B = A B.

Solucin.A - B = A B equivale a demostrar que:( I ) ( A B )( A B ) y ( II ) ( A B)(A B ). Demostracin de ( I ):[( A B ) ( A B )] x ( A B ) / x ( A B ) x ( A B )Pero x (A B)(x A) ( x B) Def. de diferencia ( x A ) ( x B ) Def. de B x ( A B ) Def. de interseccin

Se ha demostrado que si un elemento cualquiera x, tal que x ( A B ) implica que x ( A B ).

Por definicin de inclusin, se concluye que : ( A B ) ( A B ).Demostracin de ( II ):[(A B) (A B)] x (A B)/x(A B)x(A B). Pero x (A B) (x A) (x B) Def. Interseccin ( x A ) ( x B ) Def. de B x ( A B ) Def. DiferenciaLuego,x ( A B ) x ( A - B ).

De ( I ) y ( II ) se concluye la demostracin. Ejemplo. Hallar A, si A = { x / x Z, x es impar }. Solucin: A = { x / x U x A }

Siendo: U = ZA = { x / x Z, x es par .}

4. DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOS.

La Diferencia Simtrica de los conjuntos A y B, denotado porA B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen solamente a A solamente a B, es decir:

A B = ( A B ) ( B A )

Grficamente:

A B

U

A B

Ejemplo. Si A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 4, 6, 7, 9 } y

C = { 1, 9 }. Hallar:a. A B b. B C c. A C

Solucin.a. A B = ( A B ) U

( B A ), donde:A B = { x / x A x B } = { 2, 3, 5 } B A = { x / x B x A } = { 1, 9 } Entonces A B = { 2, 3, 5, 1, 9 }.b. B C = ( B C ) U = B C;

es decir: B C = {x /x B x C }={4, 6, 7}

C B = {x / x C x B} = x pues C B.Luego, B C = ( B C ) U

= B C,es decir: B C = { 4, 6, 7 }.

b.Anlogamente, siendo A y C conjuntos disjuntos: A C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 9 }Grficamente,

AB A A B B

a. A B

Observaciones :1. Si C B entonces B C es el complemento de C

con respecto a B.

2. Si A y B son conjuntos disjuntos entoncesA B = A B.3. A B = ( A B ) - ( A B).

ACTIVIDAD N 02

Analice los ejercicios resueltos sobre operaciones con conjuntos y su interpretacin grafica.

EJEMPLOS DE APLICACIN

A continuacin se presentan algunos ejercicios resueltos sobre uso de las definiciones y operaciones con conjuntos.1. La proposicin x ( A B) es equivalente a:a. ( x A ) ( x B ) b. ( x A ) ( x B ) c. x (A - B )d. ( x A ) ( x B )

Solucin.x (A B) [(x A) (x B)] Def. de Intersec. [( x A ) ( x B )] Def. de B [ x ( A- B )] Def. de diferencia.Luego, las expresiones equivalentes a x (A B) son (c)

y( d).

2. A cul de las expresiones corresponde la regin sombreada?a. [B ( A C )] U [( A C ) B ]Ab. [B ( A C )] U [( A C ) B ] Bc. [B ( A C )]U

[( A B ) C]

CSolucin.

Distinguimos la reunin de dos regiones sombreadas:

- La superficie formada por elementos que solo estn en B

y no en A C; esto se expresa por: B ( A U C ).

-La inferior formada por los elementos que estn en la interseccin de A con C pero que no pertenecen a B;esto es: (A B) B.

Luegola expresin dada es (b) correspondiente a la regin sombreada.

ILUSTRACIN RESUMEN

B A = A-B = { x / x A x B }

A U B = { x / x AA

Operaciones con conjuntos

A B = ( A B ) ( B A )

A B = { x / x A

ACTIVIDAD N 02

Resuelva los siguientes ejercicios para autoevaluar su aprendizaje.

EJERCICIOS GRUPO 4

Universidad Nacional del Santa291. Dados los conjuntos: A = {x Z + :

x < 10} , B = {2 x :

x Z + , x < 5} ,C = {2 x 1:Hallar:

x Z + , x 5} , D ={3, 4, 5}, E = {3, 5}.a. (C B )'

' ( D E )

b. ( A E ) ( B

C ) ( DE ) A D

c.{(D E '

) ( A'

B '

) (C

E ' ) } U (C B )'

'

' ( D E )B E C A

A D

d.{(

B ) (

E C ) (( AE )

E ) }

( DE ) D ' C '

D'

' B '

B C '

I ( A E ) ( B C )'

2.Qu condiciones deben cumplir los conjuntos Ay B para que se verifiquen las siguientes relaciones?a. A B =

b. A B = B c. A B = U

d. A = U e. A B = A f. A

B = B

g. A B = B A h. A B = A B

i. A B = B A

1. Si

A = {x

+ : x > 4 x = 6}B = {x

+ : x > 0

x 6}C = {x

/ ( x 1 x2 4 x 3)}

a. (C B )'

Hallar:' ( A C ')

b. ( A C ') ( B

'' C ) ( DE ) A B c. {(

B ) (

C C ) (( AC )

B ) }

( ) ( ) ( AC ) A ' C '

A'

' B '

B C '

I A C

B A '

Teora de ConjuntosFidel Vera Obeso

Universidad Nacional del Santa30

ACTIVIDAD N 01

OBJETIVO N 03

Demostrar las leyes del lgebra deconjuntos.

Analice la siguiente informacin sobrelas

propiedades de las operaciones conconjuntos y las demostraciones realizadas.

Las definiciones de las operaciones con conjuntos, son:1) A B x A / x A x B2) A = B A B B A3) A B = { x / x A x B }

4)A B={x/x AxB }

5)A B={x/x A xB}AB=A B

6) A B = ( A B ) ( B A )7) A = { x / x U x A} A = { x / x A } A continuacin se presentan las Propiedades de las Operaciones

con conjuntos, bajo el ttulo de Leyes Bsicas del lgebra de

Conjuntos. Se demuestran algunas de ellas.

LEYES BSICAS DEL LGEBRA DE CONJUNTOS

1. Idempotencia1 a) A A = A 1 b) A A = A2. Conmutativa2 a) A B = B A 2 b) A B = B A3. Asociativa3 a) A ( B C ) = ( A B ) C3 b) A ( B C ) = ( A B ) C4. Distributiva

4 a) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )4 b) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )5.5 a) A = A 5 a) A = A6.6 a) A U = A 6 b) A U = A7.7 a) A A = U 7 b) A A = 8.8 a) ( A ) = A 8 b) U = , = U

9. Leyes de D' Morgan9 a) ( A B )' = A' B'9 b) ( A B )' = A' B'10. Leyes de Absorcin10 a) A ( A B ) = A10 b) A ( A B ) = AA continuacin se demuestran: 2 (a), 4 (b), 8 (a) y 9 (b).Demostracin (2a) A B = B A.Recuerde que dos conjuntos son iguales si y slo si se verifica la doble inclusin: (I) ( A B ) ( B A ) y (II) ( B A ) ( A B )

Entonces debe demostrarse (I) y (II); recurriendo a la definicin de Inclusin. (I) (A B) (B A) x (A B) / x (A B) x (BA)Pero, x ( A B) ( x A ) ( x B ) Def. Unin ( x B ) ( x A ) Conmut. de x ( B A ) Def. UninLuego, x ( A B ) x ( B A).Con lo que queda demostrado: (A B) (B A) Def. InclusinII) ( B A) ( A B) x (B A)/ x (B A) x (A B)Pero, x ( B A ) ( x B ) ( x A ) Def. Unin ( x A ) ( x B ) Conmut. de x ( A B ) Def. Unin x ( B A) x ( A B) , esto es ( B A ) ( A B ) por

definicin de Inclusin.De (I) y (II) se sigue: A B = B A.

Universidad Nacional del Santa49

Demostracin (4b) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

Equivale a demostrar:(I) [ A ( B C ) ] [

( A B ) ( A C ) ] y(II) [ ( A B ) ( A C ) ]

[ A ( B C ) ].

(I) x A ( B C ) / x A ( B C) x ( A B) (A C)

Pero x A ( B C ) x A ( x B C ) Def. Intersec x A [ x B x C] Def. Unin ( x A x B ) ( x A x C ) Propiedaddistributiva de con respecto a :[p ( q r ) ( p q ) ( p r )]. ( x A B ) ( x A C ) Def. Intersec

x [ ( A B ) ( A C ) ] Def. Unin

Entonces x [

A ( B C )

] x [ ( A B ) ( A C ) ]

[ A ( B C) ] [ ( A B ) ( A C )] Def. de .

Anlogamente se demuestra (II). En efecto,

x [ ( A B ) ( A C )

] / x [ ( A B) ( A C ) ]

x (A B ) x ( A C) Def. de Interseccin

[ x A x B ] [ x A x C ]

[ (p q) (p r)

] p ( q r) x A ( x B x C )

Def. de Unin x A [ x ( B C ) ]Def. de Interseccin x [ A ( B C ) ]

Luego x [ ( A B ) ( A C )

] x [ A ( B C ) ]

Def. de Inclusin

[ ( A B ) ( A C ) ]

[ A ( B C) ].

De (I) y (II) se concluye que:A ( B C ) = (A B) (A C).Demostracin (8a) ( A ) = A.Debe demostrarse que : ( I ) ( A ) A y ( II ) A ( A ).

(I) x ( A ) / x ( A ) x A Def. Complemento [ x A] Negacin de [ x A ] Def. Complemento [( x A ) ]Negacin de x A pues: ( p) pLuego ( A ) A por definicin de Inclusin.

(II) x A / x A [( x A ) ] Doble Negacin [ x A] Negacin de [ x A ] Def. Complemento x A Negacin de x ( A ) Def. Complemento A ( A ) por definicin de Inclusin.

De (I) y (II) se sigue la igualdad. Demostracin (9b) ( A B )' = A' B'. Debe demostrarse:(I)( AB ) AB y (II)AB ( AB ) Para I x ( AB ) / x ( AB ) x AB Def. Complemento [ x (AB)] Negacin de [x A x B] Def. Interseccin

Recuerda que: (p q) p q. ( x A ) ( x B ) ( x A ) ( x B ) Negacin de ( x A ) ( x B ) Def. Complemento x ( A B ) Def. UninLuego, x ( AB ) x ( A B ) ( AB ) AB Por Def. de Inclusin

Para II x (A B) / x (A B) (x A) (x B) Def. Unin ( x A ) ( x B ) Def. Complemento ( x A ) ( x B ) Negacin de [ (x A) (x B) ]

Por que ( p q ) (p q)

[ x A B ] Def. Interseccin x A B Negacin de x ( A B ) Def. ComplementoLuego, x ( A B ) x ( A B ), lo cual demuestra que:( A B ) ( A B ).

De ( I ) y ( II ) ( A B ) = A B.

ILUSTRACIN RESUMEN

AsociativaA (B C) = (A B) C A (B C ) = (A B) C

DistributivaA (B C) =(A B) (A C)

Leyes del lgebra de conjuntos

Morgan(A B) = A B (A B) = A B

AbsorcinA (A B) = A

ConmutativaA ( A B) = A

A B = B AA (A B) = A B A ( A B) = A B

A B = B A

ACTIVIDAD N 02

Demuestre a continuacin las leyesdel

lgebra que se mencionan

EJERCICIOS GRUPO 5

I.Utiliza convenientemente las definiciones de las operaciones con conjuntos para resolver los problemas que se plantean a continuacin.1. Cul es la expresin equivalente a: x [A (AB )]?a. x A x Bb. x Ac. ( x A ) ( x B )2. Cul es la expresin equivalente a: x [A(B C)]?a. x A ( x B x C )b. x ( A B ) x ( A B )c. x ( A B ) ( x C )d. x A x B x C

3.Cules de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas?a. A B A B = B b. A B = B Ac. A B B A = ( A B )d. A B A B II. Desarrollar:

1.Dados los conjuntos A, B, C y D, efectuar las operaciones indicadas y representar grficamente losresultados, siendo:

A = { x / x =

2n 13

, n }

B = { x / x2 7x = 0 }

C = { x / ( x 2 )( x2 9 )( x 4 ) = 0 }a. ( B A )

C b. ( B C ) - Ac. ( B C ) A d. A C Nota. U = .2. Con los conjuntos A y B se define una nueva operacin, tal que :A B = ( A B ) B.

Si A = { 5, 4, 7, 6, 2 }, B = { 1, 3, 5, 7, 9 }. Hallar:a. A B b. B A c. ( B A ) B

II.Repetir el siguiente diagrama y sombrear la regin que se solicita en cada caso.A Ba. A ( B C ) b. A ( B C ) c. ( A B ) Cd. ( A C ) A C U

III. Hallar la expresin que representa la siguiente regin sombreada.

A B

C

IV. Qu relacin conjuntista representa la regin sombreada?.

B a) [( A B) C ']U ( A ' B ' C ') 'Cb) ( A B ) CAc) (B C ) ( A B C )

d) ( A ' B ' C ') ' U ( A C ') U (B C ')

e) ( A B C) U (C A ') U (C B ')

V. Deducir del siguiente diagrama las operaciones que se han realizado para obtener la

regin sombreada.

H M P

a) (P Q)(H ' M )b) ( H ' M ) (P Q)

c) (P Q) (H M )

Qd) (H M ) U (P Q)

e) (P Q) (H M )

ACTIVIDAD N 01

OBJETIVO N 03

Hallar el Conjunto Potencia de un Conjunto cualquiera y demostrar sus propiedades.

Estudie la siguiente informacin que se ofrece sobre el Conjunto potencia y sus propiedades.

Definicin. El Conjunto Potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Es decir,

P ( A ) = { X / X A }

Nota. 1) X P(A) X A.

2) A P(A) , P(A); pues: A A , A.

Ejemplo 1. Si A = { 1, 2 , 3 } , entonces { 1 } A , { 2 } A, etc.Entonces:

P(A) = { , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1, 2 } , { 1, 3 } , { 2, 3 } , A }.

Ejemplo 2. P() = { }.

Ejemplo 3. A = { x / x 4 = 0 } P(A) = { , A }.

Ejemplo 4. Dado el siguiente conjunto:A = { , { }, { { } }, { { { } } } } Determinar el valor de verdad de cada proposicin.

A ......... ( V )

A ......... ( V )

{ { } } A ......... ( V )

{ { } } A ......... ( V ) { { } } P(A) ......... ( V )

{ { { } } } P(A) ......... ( V )

{ { { { } } } } P(A) ......... ( V )

Propiedades del P (A):

1) A B P(A) P(B).

2) A = B P(A) = P(B).

3) [P(A) P(B) ] P(A B).

4) P(A B) = P(A) P(B).Demostracin de ( 1): A B P(A) P(B).

) Si A B P(A) P(B).

En efecto, sea X P (A) X A Def. de P(A)

X B Prop. Transitiva de la Inclusin. X P(B) Definicin de P(B) Luego, X P(A) X P(B) P(A) P(B).

)P(A) P(B) A B

Sea x A { x } A Subconjunto de A

{ x } P(A) Def. P(A)

{ x } P(B) pues P(A) P(B)

{ x } B Def. P(B)

x B Sub conjunto de B A B por definicin de Inclusin.

Demostracin de (3) [ P(A) P(B) ] P(A B).Sea X [

P(A) P(B) ]

[ XP(A)

] [ X P(B) ]

Def. Unin ( X A ) ( X B ) Def. Conj. Pot. X ( A B ) X P(A B)Luego P (A) P (B) P (A B)

ILUSTRACIN RESUMEN

P(A)

X P(A) X A

Conjunto potencia de A

Se denota porP(A)

Se define por{X/XA}

A P(A) Si X = , P(A) ={}Tiene 2n elementos, n es el nmerode letras de A

ACTIVIDAD N 02

Resuelva los siguientes ejercicios para evaluar su aprendizaje.

EJERCICIOS GRUPO 5

1) Hallar el Conjunto Potencia de C, siendo C = { , c , { } }.2) En qu caso se cumple que: A P(A) ?

3) Siendo A = { a , } y B = { { } , { a } } , hallar:a. P(A) P(B)

b. P(A B)

4) Demostrar que:

a. A = B P(A) = P(B)

b. P(A B) = P(A) P(B).

CLAVE DE RESPUESTAS1) P(C) = { , { } ,{ c }, { { } } , { ,c } , { ,{ } } , { c, { } } , C}

2) Si A = A = {}3) P(A) P(B) =

P (A) = {,{a},{},{{}},{{a}},{a,},{a,{}},{a,{a}},{,

{}},{,{{a}},{{}},{a}},{a,,{}},{a,{},{a}},{,{},{a}},{a,,{a}},AB}

ACTIVIDAD N 01

OBJETIVO N 06

Resolver problemas diversos relativos al Nmero Cardinal de Conjuntos.

Infrmese sobre las propiedades del nmero cardinal de conjuntos y sus aplicaciones que se ofrecen en el siguiente texto.

Naturalmente que la idea del nmero de elementos de un conjunto finito cualesquiera, es primitiva por lo que se admite como la cantidad de elementos que hay en un conjunto. Sedenota por,

n( A ) = card (A).

Nota.( A ) tambin se llama nmero cardinal del conjunto A.

Ejemplo.Si A = {a,b,c} y B = {1,-3,5,{3},2}, entonces n(A)= 3, n(B)= 5, n[P(A)] = 23 = 8, n[P(B)]=5 = 32.Propiedades:

1) Si A y B son conjuntos finitos disjuntos, entonces:

n(A B) = n( A ) + n( B ), si A B

Obviamente que si A B = , entonces n ( A B ) = 0. A B es la parte sombreada del grfico,

entonces:

A B

n(A B) = n( A ) + n( B ).U

2)Si A y B son conjuntos finitos arbitrarios,no necesariamente disjuntos, expresamos:

A

A B

A B

B

B A

U

A = ( A B ) ( A B ),Con ( A B ) ( A B ) = .

Entonces por (1):

n(A B) = n(A) + n(AB)

n(A) = n(A B) + n(A B)

3)Si A y B son conjuntos finitos arbitrarios,no necesariamente disjuntos, entonces:

A

A B

A B

B

B A

n(A B) = n(A) + n(B) n(AB) U

En efecto, en el grfico dado observamos que:A B = [(A B) (A B)] (B A); es decirA B es la unin de tres conjuntos disjuntos entre s. Luego:n(A B) = n[(A B) (A B)]+ n(B A) por (1)= n(A B) + n(A B)+ n (B A) por (1)= [n(A) n(A B)]+ n(A B)+ n(B) n(A B)

por (2) n( A B ) = n(A) + n(B) n(AB).Nota .- Ud. puede tomar A B = (A B) B y demostrar

lo mismo.

4) Si A, B y C son conjuntos finitos tales que: A B C

entonces:

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) n(AB) n(AC) n(BC) + n(A B C).

Basta tomar: (A B C) = A (B C) y aplicar (1) y (3).Para fines prcticos es conveniente representar A B en un diagrama de Venn compuesto por zonas disjuntas como se ilustra a continuacin:

A B

a b c

U

Donde: a = n( A B )b = n( A B )c = n( B A )

Ejemplo 1. De un grupo de 100 alumnos: 49 no hablan Ingls, 53 no hablan Francs y 27 no hablan Ingls ni Francs.Cuntos alumnos hablan uno de los idiomas?

Solucin:

Hablan Ingls = I Hablan Francs = F

Grficamente:

n( I ) = 49 n( I ) = 51,n( F ) = 53 n( F ) = 47.

Hablan un solo idioma

I F

a b c

Por dato:

Luego:

U

c + 27 = 49 c = 22, a + 27 = 53 a = 26.

a + c = 48.

ILUSTRACIN RESUMEN

P2P1

Cardinal de un conjunto

P3

Es el nmero de elementos de un conjuntos

ACTIVIDAD N 02

Resuelva los siguientes ejercicios para evaluar su aprendizaje.

EJERCICIOS GRUPO 7

1) Los conjuntos A, B y C, tienen k, 3k y ( k-1) elementos, respectivamente.

A y B tienen k/2 elementos comunes; A y C tienen k/4, y B y C tienen 2.

Si existe un nico elemento comn a los tres conjuntos. Hallar el nmero de elementos de: [ ( A B ) ( A B) ] C.

2) En una encuesta realizada a 150 personas sobre sus preferencias de tres productos A, B

y C, se encontr el siguiente resultado: 82 consumen el producto A. 54 consumen el producto B. 50 slo consumen el producto A. 30 slo consumen el producto B. El nmero de personas que consumen slo B y C es la mitad de laspersonas que consumen slo A y C.El nmero de personas que consumen slo A y B es el triple de las personas que consumen los tres productos.El nmero de personas que no consumen los productos mencionados son tantos como los que consumen slo C.

Determinar:

a) El nmero de personas que consumen slo dos de los productos. b) El nmero de personas que no consumen A, B ni C.c) El nmero de personas que por lo menos consumen uno de los productos.

3)Un club consta de 78 personas; de ellas 50 juegan ftbol , 32 bsquet y 23 vley. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces:a) Cuntas personas practican slo un deporte?

b) Cuntas personas practican slo dos deportes?

c) Cuntas personas practican al menos dos deportes?

d) Cuntas personas practican como mximo dos deportes?

4)En un Congreso Internacional de Medicina, se debati el problema de la Eutanasia, plantendose una mocin: 115 europeos votaron a favor de la mocin, 75 cardilogos votaron en contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardilogos votaron a favor.

Si el nmero de cardilogos europeos excede en 30 al nmero de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones. Cuntos mdicos participaron en el congreso?

5)Se hizo una encuesta a 160 alumnos del CEPUNS sobre la preferencia de 4 carreras profesionales: Ingeniera de Sistemas (S), Enfermera (E), Comunicacin Social (C) y Biologa en Acuicultura (B), obtenindose los siguientes datos: Ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B). 22 slo con (S) 20 slo con (E) 20 slo con (C) 20 con (S) y (B) pero no con (E) 6 slo con (C) y (E) 4 con (S) y (C) 24 con (B) y (E) 28 slo (B).Cuntos prefieren slo (S) y (E), si a todos por lo menos les gusta una carrera profesional?

6)De 700 postulantes que se presentaron a la UNS o a la UNT, 400 lo hicieron a la UNT, igual nmero a la UNS, ingresando la mitad del total de postulantes. Los no ingresantes se presentaron a la UNMSM, de stos 90 no se presentaron a la UNS y1800 no se presentaron a la UNT. Cuntos postulantes ingresaron a la UNT y a la

UNS?.

7)Suponga que los brevetes slo se consiguen legalmente, los que tienen brevete profesional saben mecnica mientras que los que tienen brevete particular slo estn autorizados a manejar automviles y as lo hacen.Si tienen los siguientes datos referente a un grupo de personas: 21 no tienen brevete profesional o no manejan camiones. 13 saben encender un vehculo pero no tienen brevete. 8 saben manejar vehculos pero no tienen brevete. 2 saben mecnica y manejan camiones. El mismo nmero sabe manejarvehculos pero no maneja camiones ni tiene brevete. 11 no tienen brevete pofesional y no manejan camiones. 3 tienen brevete particular.Adems, tngase en cuenta que los que saben mecnica tienen brevete profesional. Se pregunta lo siguiente:a) Cuntos son en total?.

b) Cuntos no tienen brevete?.

c) Cuntos cometen infraccin de manejar vehculos sin tener brevete?. d) Cuntos saben encender un vehculo pero no manejarlos?.8)En un avin hay 9 jvenes, 5 nios peruanos, 9 hombres, 7 jvenes extranjeros, 14 peruanos, 6 peruanos varones, y 7 mujeres extranjeras.a) Cul es el nmero de personas del avin?

b) Cuntos son solamente peruanos?