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Modulo No. 4 – v2014

Análisis Cinemático y Dinámico Computacional de Mecanismos Planos

José L. Oliver

Universidad Politécnica Valencia

Ingeniería Mecánica.

Julio 2014

M4 – Análisis Computacional de Mecanismos Planos –v2014- Prof. Dr. José L Oliver

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Contenido

1. INTRODUCCION ........................................................................................................................................................................................................................ 9

1.1. Campo de Aplicación. ....................................................................................................................................................................................................... 9

1.2. Tipos de Análisis. ............................................................................................................................................................................................................ 10

1.3. Tipos de Fuerzas. ............................................................................................................................................................................................................ 13

2. Sistemas Mecánicos Típicos. .................................................................................................................................................................................................. 14

2.1. SINGLE PENDULUM ........................................................................................................................................................................................................ 14

2.2. FOUR-BAR LINKAGE AND SLIDER-CRANK MECHANISM ................................................................................................................................................. 15

2.3. V-8 ENGINE .................................................................................................................................................................................................................... 18

2.4. PUNCH MECHANISM ...................................................................................................................................................................................................... 18

2.5. FLY-BALL GOVERNER ...................................................................................................................................................................................................... 19

2.6. VEHICLE-SUSPENSION .................................................................................................................................................................................................... 21

2.7. WINDSHIELD WIPER MECHANISM ................................................................................................................................................................................. 22

2.8. MATERIAL-HANDLING MECHANISM .............................................................................................................................................................................. 23

2.9. GEARS ............................................................................................................................................................................................................................. 24

2.10. COMPOUND MECHANISMS: QUICK-RETURN SHAPER MECHANISM ......................................................................................................................... 25

2.11. THREE-DIMENSIONAL SYSTEMS: ROBOT ................................................................................................................................................................... 27

2.12. VEHICLE SUSPENSION SYSTEM .................................................................................................................................................................................. 29

3. Fundamentos del Método de Análisis a Utilizar. ................................................................................................................................................................... 31

4. Descripción del Programa de Ordenador a Utilizar. .............................................................................................................................................................. 32

5. Método de las Ecuaciones de Restricción (MER). .................................................................................................................................................................. 35

5.1. Conceptos matemáticos previos. ................................................................................................................................................................................... 35

5.1.1. Introducción. .............................................................................................................................................................................................................. 35

5.1.2. Vectores Geométricos. ............................................................................................................................................................................................... 35

5.1.3. Algebra Matricial. ....................................................................................................................................................................................................... 38

5.1.4. Vectores Algebraicos. ................................................................................................................................................................................................. 40

5.1.5. Transformación de Coordenadas. .............................................................................................................................................................................. 42

5.1.6. Diferenciación de Vectores y Matrices. ..................................................................................................................................................................... 46

5.2. Relaciones Vectoriales Básicas del MER. ....................................................................................................................................................................... 51

5.3. Definición de las Restricciones. ...................................................................................................................................................................................... 53

5.3.1. Introducción. .............................................................................................................................................................................................................. 53

5.3.2. Conceptos Básicos en Cinemática Plana. ................................................................................................................................................................... 53

5.3.3. Restricciones Absolutas. ............................................................................................................................................................................................ 58

5.3.4. Restricciones Relativas. .............................................................................................................................................................................................. 59

5.4. Análisis Cinemático mediante el MER. ........................................................................................................................................................................... 60

5.4.1. ANALISIS DE POSICION ............................................................................................................................................................................................... 62

5.4.2. ANALISIS DE VELOCIDAD ............................................................................................................................................................................................ 64

5.4.3. ANALISIS DE ACELERACION ........................................................................................................................................................................................ 64

5.5. Análisis Dinámico mediante el MER (*). ........................................................................................................................................................................ 65

6. Análisis del CUADRILATERO ARTICULADO con Mathematica. ............................................................................................................................................... 67

6.1. SOLUCION SIMBOLICA del Cuadrilátero Articulado con Mathematica. ........................................................................................................................ 67

6.1.1. Curva con Arcos Casi Circulares - 1ª Forma – Tipo I. ................................................................................................................................................. 73

6.1.2. Curva con Arcos Casi Circulares y Segmento Casi Rectilíneo - 1ª Forma – Tipo I. ..................................................................................................... 73

6.1.3. Curva con Arcos Casi Circulares y dos Segmentos Casi Rectilíneos - 1ª F – Tipo I. .................................................................................................... 74

6.1.4. Curva con Puntos Dobles o Figuras en forma de ocho - 1ª Forma – Tipo I. ............................................................................................................... 74

6.1.5. Curva con Puntos de Retroceso o Cúspides - 1ª Forma – Tipo I. ............................................................................................................................... 75

6.1.6. Curva con Forma de Ala de Avión - 2ª Forma – Tipo I. .............................................................................................................................................. 75

6.1.7. Curva de Acoplador formada por Tres Puntos Dobles – Tipo II. ................................................................................................................................ 76

6.1.8. Curva con Tres Puntos Dobles – Mecanismo de Roberts – Tipo II. ............................................................................................................................ 77

6.1.9. Curva formada por Dos Puntos Dobles – Tipo II. ....................................................................................................................................................... 77


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6.2. Cuadriláteros Articulados de Artobolevsky. DOCUMENTOS CDF. ................................................................................................................................. 79

6.2.1. Mecanismos a-c-0644. ............................................................................................................................................................................................... 79

6.2.2. Mecanismo a-c-0645. ................................................................................................................................................................................................. 80

6.2.3. Mecanismo a-c-0646. ................................................................................................................................................................................................. 81

6.2.4. Mecanismo a-c-0647. ................................................................................................................................................................................................. 82

6.2.5. Mecanismo a-c-0648. ................................................................................................................................................................................................. 83

6.2.6. Mecanismo a-c-0649. ................................................................................................................................................................................................. 84

6.2.7. Mecanismo a-c-0650. ................................................................................................................................................................................................. 85

6.2.8. Mecanismo a-c-0651. ................................................................................................................................................................................................. 86

6.2.9. Mecanismo a-c-0652. ................................................................................................................................................................................................. 86

6.2.10. Mecanismo a-c-0653. ................................................................................................................................................................................................. 87

6.2.11. Mecanismo a-c-0654. ................................................................................................................................................................................................. 88

6.2.12. Mecanismo a-c-0655. ................................................................................................................................................................................................. 89

6.2.13. Mecanismo a-c-0656. ................................................................................................................................................................................................. 90

6.2.14. Mecanismo a-c-0657. ................................................................................................................................................................................................. 91

6.2.15. Mecanismo a-c-0658. ................................................................................................................................................................................................. 92

6.2.16. Mecanismo a-c-0659. ................................................................................................................................................................................................. 93

6.2.17. Mecanismo a-c-0660. ................................................................................................................................................................................................. 94

6.2.18. Mecanismo a-c-0661. ................................................................................................................................................................................................. 95

6.2.19. Mecanismo a-c-0662. ................................................................................................................................................................................................. 96

6.2.20. Mecanismo a-c-0663. ................................................................................................................................................................................................. 97

6.2.21. Mecanismo a-c-0664. ................................................................................................................................................................................................. 98

6.2.22. Mecanismo a-c-0665. ................................................................................................................................................................................................. 99

6.2.23. Mecanismo a-c-0666. ............................................................................................................................................................................................... 100

6.2.24. Mecanismo a-c-0667. ............................................................................................................................................................................................... 101

6.2.25. Mecanismo a-c-0668. ............................................................................................................................................................................................... 102

6.2.26. Mecanismo a-c-0669. ............................................................................................................................................................................................... 103

6.2.27. Mecanismo a-c-0670. ............................................................................................................................................................................................... 104

6.2.28. Mecanismo a-c-0671. ............................................................................................................................................................................................... 105

6.2.29. Mecanismo a-c-0672. ............................................................................................................................................................................................... 106

6.2.30. Mecanismo a-c-0673. ............................................................................................................................................................................................... 107

6.2.31. Mecanismo a-c-0674. ............................................................................................................................................................................................... 108

6.2.32. Mecanismo a-c-0675. ............................................................................................................................................................................................... 109

6.2.33. Mecanismo a-c-0676. ............................................................................................................................................................................................... 110

6.2.34. Mecanismo a-c-0677. ............................................................................................................................................................................................... 111

6.2.35. Mecanismo a-c-0678. ............................................................................................................................................................................................... 112

6.2.36. Mecanismo a-c-0679. ............................................................................................................................................................................................... 113

6.2.37. Mecanismo a-c-0680. ............................................................................................................................................................................................... 114

6.2.38. Mecanismo a-c-0681. ............................................................................................................................................................................................... 115

6.2.39. Mecanismo a-c-0682. ............................................................................................................................................................................................... 116

6.2.40. Mecanismo a-c-0683. ............................................................................................................................................................................................... 117

6.3. ACTIVIDAD 1: Análisis con Mechanica de Cuadriláteros Articulados. ......................................................................................................................... 119

6.4. ACTIVIDAD 2: Análisis con Mathematica de Cuadriláteros Articulados. ..................................................................................................................... 121

6.5. ACTIVIDAD 3: Análisis Cinemático de Cuadriláteros - Creación CDF. .......................................................................................................................... 123

6.6. Análisis Dinámico del Cuadrilátero Articulado (*). ...................................................................................................................................................... 125

7. Análisis del TRIANGULO DE LADO VARIABLE con Mathematica (*). ................................................................................................................................... 127

7.1. Solución Simbólica de la Configuración #1. Aplicaciones (*). ...................................................................................................................................... 129

7.2. Solución Simbólica de la Configuración #2. Aplicaciones (*). ...................................................................................................................................... 131

7.3. Solución Simbólica de la Configuración #3. Aplicaciones(*). ....................................................................................................................................... 133

7.4. Análisis Dinámico del Triángulo de Lado Variable (*). ................................................................................................................................................. 135

8. Análisis de TRAZADORES CON DESLIZADERAS con Mathematica........................................................................................................................................ 137


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9.1. Descripción General del Proceso de Solución Simbólica (*). ....................................................................................................................................... 139

9.2. ACTIVIDAD 4: Análisis con Mechanica de Trazadores con Deslizaderas. ..................................................................................................................... 141

9.3. ACTIVIDAD 5: Análisis con Mathematica de Trazadores con Deslizaderas. ................................................................................................................. 143

9.4. ACTIVIDAD 6: Análisis Cinemático de Trazadores - Creación CDF. .............................................................................................................................. 145

9.5. Análisis Dinámico de Trazadores con Deslizaderas (*). ............................................................................................................................................... 147

9.6. Modelos Cinemáticos creados con “Mechanical Systems Pack”. ................................................................................................................................ 149

9.6.1. Mecanismo a-z-1130 ................................................................................................................................................................................................ 149

9.6.2. Mecanismo a-z-1131 ................................................................................................................................................................................................ 151

9.6.3. Mecanismo a-z-1132 ................................................................................................................................................................................................ 153

9.6.4. Mecanismo a-z-1133 ................................................................................................................................................................................................ 155

9.6.5. Mecanismo a-z-1135 ................................................................................................................................................................................................ 157

9.6.6. Mecanismo a-z-1141 ................................................................................................................................................................................................ 159

9.6.7. Mecanismo a-z-1144 ................................................................................................................................................................................................ 161

9.6.8. Mecanismo a-z-1147 ................................................................................................................................................................................................ 163

9.6.9. Mecanismo a-z-1161 ................................................................................................................................................................................................ 165

9.6.10. Mecanismo a-z-1163 ................................................................................................................................................................................................ 167

9.6.11. Mecanismo a-z-1165 ................................................................................................................................................................................................ 169

9.6.12. Mecanismo a-z-1166 ................................................................................................................................................................................................ 171

9.6.13. Mecanismo a-z-1168 ................................................................................................................................................................................................ 175

9.6.14. Mecanismo a-z-1171 ................................................................................................................................................................................................ 177

9.6.15. Mecanismo a-z-1173 ................................................................................................................................................................................................ 179

9.6.16. Mecanismo a-z-1177 ................................................................................................................................................................................................ 181

9.6.17. Mecanismo a-z-1178 ................................................................................................................................................................................................ 183

9.6.18. Mecanismo a-z-1179 ................................................................................................................................................................................................ 185

9.6.19. Mecanismo a-z-1180 ................................................................................................................................................................................................ 187

9.6.20. Mecanismo a-z-1181 ................................................................................................................................................................................................ 189

9.6.21. Mecanismo a-z-1182 ................................................................................................................................................................................................ 191

9.6.22. Mecanismo a-z-1185 ................................................................................................................................................................................................ 193

9.6.23. Mecanismo a-z-1186 ................................................................................................................................................................................................ 195

9.6.24. Mecanismo a-z-1188 ................................................................................................................................................................................................ 197

9.6.25. Mecanismo a-z-1189 ................................................................................................................................................................................................ 199

9.6.26. Mecanismo a-z-1190 ................................................................................................................................................................................................ 201

9.6.27. Mecanismo a-z-1191 ................................................................................................................................................................................................ 203

9.6.28. Mecanismo a-z-1192 ................................................................................................................................................................................................ 205

9.6.29. Mecanismo a-z-1195 ................................................................................................................................................................................................ 207

9.6.30. Mecanismo a-z-1197 ................................................................................................................................................................................................ 209

9.6.31. Mecanismo a-z-1198 ................................................................................................................................................................................................ 211

9.6.32. Mecanismo a-z-1203 ................................................................................................................................................................................................ 213

9.6.33. Mecanismo a-z-1204 ................................................................................................................................................................................................ 215

9.6.34. Mecanismo a-z-1206 ................................................................................................................................................................................................ 217

9.6.35. Mecanismo a-z-1208 ................................................................................................................................................................................................ 219

9.6.36. Mecanismo a-z-1210 ................................................................................................................................................................................................ 221

9.6.37. Mecanismo a-z-1211 ................................................................................................................................................................................................ 223

9.6.38. Mecanismo a-z-1212 ................................................................................................................................................................................................ 225

9.6.39. Mecanismo a-z-1213 ................................................................................................................................................................................................ 227

9.6.40. Mecanismo a-z-1216 ................................................................................................................................................................................................ 229

9.6.41. Mecanismo a-z-1217 ................................................................................................................................................................................................ 231

9.6.42. Mecanismo a-z-1218 ................................................................................................................................................................................................ 233

9.6.43. Mecanismo a-z-1219 ................................................................................................................................................................................................ 235

9.6.44. Mecanismo a-z-1220 ................................................................................................................................................................................................ 237

9.6.45. Mecanismo a-z-1221 ................................................................................................................................................................................................ 239


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9.6.46. Mecanismo a-z-1223 ................................................................................................................................................................................................ 241

9.6.47. Mecanismo a-z-1224 ................................................................................................................................................................................................ 243

9.7. Soluciones Simbólicas con Mathematica de Mecanismos de Artobolevsky. .............................................................................................................. 245

9.7.1. Mecanismo a-z-1130. ............................................................................................................................................................................................... 245

9.7.2. Mecanismo a-z-1133. ............................................................................................................................................................................................... 247

9.7.3. Mecanismo a-z-1135. ............................................................................................................................................................................................... 249

9.7.4. Mecanismo a-z-1141. ............................................................................................................................................................................................... 251

9.7.5. Mecanismo a-z-1144. ............................................................................................................................................................................................... 253

9.7.6. Mecanismo a-z-1147. ............................................................................................................................................................................................... 255

9.7.7. Mecanismo a-z-1164. ............................................................................................................................................................................................... 257

9.7.8. Mecanismo a-z-1165. ............................................................................................................................................................................................... 259

9.7.9. Mecanismo a-z-1166. ............................................................................................................................................................................................... 261

9.7.10. Mecanismo a-z-1167. ............................................................................................................................................................................................... 263

9.7.11. Mecanismo a-z-1171. ............................................................................................................................................................................................... 265

9.7.12. Mecanismo a-z-1173. ............................................................................................................................................................................................... 267

9.7.13. Mecanismo a-z-1173. ............................................................................................................................................................................................... 269

9.7.14. Mecanismo a-z-1177. ............................................................................................................................................................................................... 271

9.7.15. Mecanismo a-z-1178. ............................................................................................................................................................................................... 273

9.7.16. Mecanismo a-z-1186. ............................................................................................................................................................................................... 274

9.7.17. Mecanismo a-z-1190. ............................................................................................................................................................................................... 277

9.7.18. Mecanismo a-z-1191. ............................................................................................................................................................................................... 279

9.7.19. Mecanismo a-z-1192. ............................................................................................................................................................................................... 281

9.7.20. Mecanismo a-z-1194 ................................................................................................................................................................................................ 283

9.7.21. Mecanismo a-z-1195. ............................................................................................................................................................................................... 285

9.7.22. Mecanismo a-z-1198. ............................................................................................................................................................................................... 287

9.7.23. Mecanismo a-z-1203. ............................................................................................................................................................................................... 289

9.7.24. Mecanismo a-z-1204. ............................................................................................................................................................................................... 291

9.7.25. Mecanismo a-z-1206. ............................................................................................................................................................................................... 293

9.7.26. Mecanismo a-z-1208. ............................................................................................................................................................................................... 295

9.7.27. Mecanismo a-z-1211. ............................................................................................................................................................................................... 299

9.7.28. Mecanismo a-z-1212. ............................................................................................................................................................................................... 301

9.7.29. Mecanismo a-z-1216. ............................................................................................................................................................................................... 305

10. Análisis de TRAZADORES ARTICULADOS con Mathematica. ............................................................................................................................................ 307

10.1. Descripción Proceso Especial de Solución Simbólica (*). ......................................................................................................................................... 309

10.2. Análisis Dinámico de Trazadores Articulados (*). .................................................................................................................................................... 311

11. Análisis de Mecanismos con ENGRANAJES con Mathematica. ........................................................................................................................................ 313


11.2. Análisis Dinámico de Mecanismos con Engranajes (*). ........................................................................................................................................... 317

12. Análisis de Mecanismos con 2 GRADOS DE LIBERTAD con Mathematica. ...................................................................................................................... 319


12.2. Análisis Dinámico de Mecanismos con 2 GDL (*). ................................................................................................................................................... 323

13. Artobolevsky Demonstrations Project (AdP). .................................................................................................................................................................. 325

13.1. Modelos Cinemáticos Espaciales con “Visual Nastran Desktop 4D”. ...................................................................................................................... 333

13.1.1. Mecanismo a-z-1141. ............................................................................................................................................................................................... 333

13.1.2. Mecanismo a-z-1161. ............................................................................................................................................................................................... 336

13.1.3. Mecanismo a-z-1188. ............................................................................................................................................................................................... 339

13.1.4. Mecanismo a-z-1190. ............................................................................................................................................................................................... 342

13.1.5. Mecanismo a-z-1197. ............................................................................................................................................................................................... 344

13.1.6. Mecanismo a-z-1210. ............................................................................................................................................................................................... 347

13.1.7. Mecanismo a-z-1219. ............................................................................................................................................................................................... 350

13.1.8. Mecanismo a-z-1221. ............................................................................................................................................................................................... 353


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13.2. Diseño de Modelos Espaciales con “Solidworks”. ................................................................................................................................................... 355

13.2.1. CUAL ES LA INFORMACION DE PARTIDA DE UN MODELO DE ARTOBOLEVSKI? ...................................................................................................... 355

13.2.2. CUAL ES LA FINALIDAD DEL MECANISMO Nº 1165? ................................................................................................................................................ 357

13.2.3. PRIMER MODELO VIRTUAL DISEÑADO: MODELO VIRTUAL INICIAL ........................................................................................................................ 359

13.2.4. SEGUNDO MODELO VIRTUAL DISEÑADO: MODELO VIRUTAL INTERMEDIO ........................................................................................................... 366

13.3. Modelos Espaciales de Mecanismos de Artobolevsky con “Solidworks”. ............................................................................................................... 371

13.3.1. Mecanismo a-z-1138. ............................................................................................................................................................................................... 371

13.3.2. Mecanismo a-z-1139. ............................................................................................................................................................................................... 376

13.3.3. Mecanismo a-z-1140. ............................................................................................................................................................................................... 381

13.3.4. Mecanismo a-z-1141. ............................................................................................................................................................................................... 385

13.3.5. Mecanismo a-z-1147. ............................................................................................................................................................................................... 390

13.3.6. Mecanismo a-z-1160. ............................................................................................................................................................................................... 395

13.3.7. Mecanismo a-z-1161 ................................................................................................................................................................................................ 400

13.3.8. Mecanismo a-z-1165. ............................................................................................................................................................................................... 405

13.3.9. Mecanismo a-z-1171. ............................................................................................................................................................................................... 410

13.3.10. Mecanismo a-z-1177. ........................................................................................................................................................................................... 414

13.3.11. Mecanismo a-z-1178. ........................................................................................................................................................................................... 419

13.3.12. Mecanismo a-z-1182. ........................................................................................................................................................................................... 424

13.3.13. Mecanismo a-z-1183. ........................................................................................................................................................................................... 429

13.3.14. Mecanismo a-z-1184 ............................................................................................................................................................................................ 434

13.3.15. Mecanismo a-z-1188. ........................................................................................................................................................................................... 439

13.3.16. Mecanismo a-z-1190. ........................................................................................................................................................................................... 444

13.3.17. Mecanismo a-z-1195. ........................................................................................................................................................................................... 449

13.3.18. Mecanismo a-z-1197. ........................................................................................................................................................................................... 452

13.3.19. Mecanismo a-z-1210. ........................................................................................................................................................................................... 456

13.3.20. Mecanismo a-z-1219. ........................................................................................................................................................................................... 460

13.4. Construcción de Modelos Espaciales en el Taller. ................................................................................................................................................... 465

13.4.1. QUE ES LO QUE SE PRETENDIMOS ........................................................................................................................................................................... 465

13.4.2. PORQUE ES NECESARIO CONSTRUIR UN MODELO REAL ......................................................................................................................................... 465

13.4.3. ESTE ES EL MODELO VIRTUAL DE LA MAQUINA CONSTRUIDA ................................................................................................................................ 466

13.4.4. PIEZAS QUE CONSTITUYEN LA MAQUINA VIRTUAL Y DESCRIPCION CORRESPONDIENTE ...................................................................................... 467


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1. INTRODUCCION

En este módulo se se desarrolla y se aplica un método de análisis cinemático y dinámico de mecanismos totalmente basado en la utilización del ordenador y con muy pocas limitaciones en cuanto al tipo de problema que puede resolverse, abarcando tanto las máquinas o mecanismos que poseen movimiento plano como las que poseen movimiento en el espacio. Se suponen conocidos los fundamentos de la Teoría de Mecanismos y Máquinas que se han presentado en módulos previos. Tras la realización de las actividades prácticas que se proponen, el alumno debería saber utilizar este método sistemático de planteamiento de las ecuaciones en las que se basa el análisis cinemático y dinámico de mecanismos a cualquier sistema mecánico que tuviera que estudiar por razones profesionales.

1.1. Campo de Aplicación. En esta sección, que como todas las que figuran en este módulo han sido seleccionadas de los libros del Prof. Haug, de la Universidad de Iowa, se define el concepto de sistema mecánico, se recuerda el tipo de ecuaciones que se obtienen al estudiar el movimiento y las fuerzas que lo producen en los sistemas mecánicos. Se insiste sobre las no linealidades que aparecen, comentándose a continuación los tres tipos de análisis básicos que es posible realizar con este tipo de sistemas. Se recuerda el concepto de análisis cinemático, como aquel que se basa en el estudio del movimiento independientemente de las fuerzas que lo producen, indicando que para resolver el problema de posición es necesario solucionar un sistema de ecuaciones algebraico no lineal, siendo lineales los sistemas que se plantean para los problemas de velocidad y aceleración. A continuación se recuerda el concepto de análisis dinámico (directo), como el que estudia tanto el movimiento y las fuerzas que lo producen, y se recuerda que para llevarlo a cabo es necesario resolver o un sistema de ecuaciones diferenciales si se plantea utilizando coordenadas independientes; o un sistema mixto de ecuaciones diferenciales y algebraicas, si se utiliza, por ejemplo, coordenadas cartesianas dependientes, tal y como se hará en esta asignatura. Se recuerda que el denominado problema de configuración equilibrio es un caso especial de análisis dinámico. Por último se recuerda en que consiste en análisis dinámico inverso. A continuación se comentan los tipos de fuerzas de fuerzas que se deberían considerar en esta asignatura, que en entre otras van a ser la fuerza de la gravedad, y las fuerzas que provocan elementos mecánicos tales como los muelles y los amortiguadores. Fuerzas todas ellas con las que tomó contacto en asignaturas previas. Por último, se hace una revisión de algunas aplicaciones típicas que se considerarán durante la asignatura. Se recuerda que el mecanismo deslizadera manivela, ya conocido, lo podemos encontrar en un motor de explosión de 8 cilindros en V, en una punzonadora, en un mecanismo regulador de bolas, realizando una descripción pormenorizada de todos estos sistemas mecánicos. Seguidamente se habla del mecanismo cuadrilátero articulado, también conocido, y se indica que lo podemos encontrar en la suspensión trasera de un vehículo industrial, en los limpiaparabrisas de los automóviles, y en determinados sistemas de manutención y almacenaje. De nuevo se describen con detalle todos estos sistemas. A continuación se habla de otros dispositivos mecánicos, ya conocido, comúnmente encontrado en los sistemas mecánicos, como son los engranajes. Seguidamente se habla de mecanismos más complicados como son los mecanismos de retorno rápido, también conocidos. Se presenta el robot industrial y se comentan algunas características generales del mismo. Por último se comentan aspectos interesantes relacionados con los sistemas se suspensión de los automóviles. Se indica que durante la asignatura se tendrá ocasión de tratar con todos estos sistemas resolviendo numéricamente algunos problemas relacionados con ellos. For the purposes of this course, a mechanical system is defined as a collection of interconnected rigid bodies that can move relative to one another, consistent with joints that limit relative motion of pairs of bodies. The motion of a mechanical system may be prescribed (establecer) by defining the time history of the position or relative position of some of its bodies. The motion of the system is then determined by algebraic kinematic relations or from differential equations of motion and externally applied forces, in which case the motion of the system is determined by laws of physics. Kinematics and dynamics of mechanical systems are characterized by large amplitude motion, which leads to geometric nonlinearity that is reflected in the algebraic equations of constraint and differential equations of motion.


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1.2. Tipos de Análisis. Five basically different kinds of analysis are employed in the design of mechanical systems:

Figura 4.1. Análisis de ensamblado. (1) Assembly Analysis is used to assemble all bodies within your model into a configuration that satisfies all joint and constraint connections. Since the model creation process allows for coordinates of body and joint locations to be inexact, the assembly algorithm minimizes the error in all the specified joints to determine body positions which best satisfy the constraints. The results of assembly analysis are the positions of all bodies within your model. Assembly analysis is automatically performed prior to all other types of analysis or it can be performed by itself. (2) Kinematic Analysis of a mechanical system concerns the motion of the system independent of forces that produce the motion. Kinematic analysis is used to calculate the motions of the various bodies in the mechanism, disregarding both their mass properties and any forces in the system. Mechanisms analyzed kinematically must have all degrees of freedom eliminated. This is accomplished by specifying "drivers". For each degree of freedom, a driver must be added to the data which defines the motion of a coordinate or a relationship between coordinates as a function of time. Typically, the time history of position or relative position of one or more bodies in the system is prescribed.


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Figura 4.2. Análisis cinemático. Time histories of position, velocity, and acceleration of the remaining bodies are then determined by solving systems of nonlinear algebraic equations for position and linear algebraic equations for velocity and acceleration. The results of kinematic analysis are the positions, velocities, and accelerations of all the bodies in the model for each time step in the analysis.

Figura 4.3. Análisis Dinámico Inverso. (3) Inverse Dynamic Analysis uses features of both kinematic and dynamic analysis. As in kinematic analysis, drivers must be added to your model in order to eliminate all degrees of freedom. The time history of positions or relative positions of one or more bodies in the system is prescribed, leading to complete determination of position, velocity, and acceleration of the system from the equations of kinematics. However, mass properties of all the bodies are also required as in dynamic analysis. From the motion of the bodies specified by the drivers, the forces required to produce the prescribed motion can be calculated. The equations of motion of the system are then solved, with known position, velocity, and acceleration, as algebraic equations to determine the forces that are required to generate the prescribed motion. The results are the body positions, velocities, and accelerations and the reaction forces in the various joints and constraints in the model. The reaction forces present due to the driving constraints can be interpreted as the forces necessary to generate the prescribed motion. (4) Static Analysis. A special case of dynamic analysis is the determination of an equilibrium position of the system under the action of forces that are independent of time. Static analysis uses the mass properties of bodies and any forces acting upon them to calculate a model configuration which minimizes the potential energy of the system.


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Figura 4.4. Análisis Estático. The resulting position of each body is reported along with the potential energy of the model at the beginning and end of the analysis run. Static analysis is valid for all conservative systems. To perform static analysis for a model which contains nonconservative forces, the user can run the model under dynamic analysis, making sure to include one or more damping elements. When velocities of all bodies approach zero, the model will be in a static equilibrium.

Figura 4.5. Análisis Dinámico Directo. (5) Dynamic Analysis of a mechanical system concerns the motion of the system that is due to the action of applied forces. Dynamic analysis calculates the motion ot the bodies in the system based on the mass properties and forces acting on the bodies. These forces include gravity and any external applied forces. The motion of the system, under the action of applied forces, is required to be consistent with kinematic relations that are imposed on the system by joints that connect bodies in the system. The equations of dynamics are differential equations or a combination of differential and algebraic equations. Initial conditions of the bodies, i.e., initial position and velocity, are specified at the start of an analysis. Rather than specifying initial conditions for every coordinate in the model, it is only necessary to specify conditions for the independent coordinates which are non zero. The results of dynamic analysis are the positions, velocities, and accelerations of all the bodies in the model for each time step and all internal reaction forces in the joints and constraints.


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1.3. Tipos de Fuerzas. An important consideration that serves to classify mechanical systems concerns the source of FORCES that act on the system. This is particularly important in modern mechanical systems in which some form of control is exerted. Force effects due to electrical and hydraulic feedback control subsystems play a crucial role in the dynamics of modem mechanical systems. The scope of mechanical system dynamics is, therefore, heavily dependent on the classes of force systems that act on the system. The most elementary form of force that acts on a mechanical system is gravitational force, which is normally taken as constant and acting perpendicular to the surface of the earth. Other relatively simple forces that act on bodies in a system, due to interaction with their environment, include aerodynamic forces and friction and damping forces that act due to the relative motion of the components of the system. An important class of forces that act in a mechanical system is associated with compliant elements, such as coil springs, leaf springs, tires, shock absorbers, and a multitude of other deformable components that have reaction forces and moments associated with them. Forces due to compliant elements act between bodies in the system and are functions of their relative position and velocity. A mechanical system is defined as a collection of bodies (or links) in which some or all of the bodies can move relative to one another. Mechanical systems may range from the very simple to the very complex.


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2. Sistemas Mecánicos Típicos.

To be more concrete regarding classes of mechanical system kinematic and dynamic applications to be considered in the course, it is helpful to review a few typical engineering applications.

2.1. SINGLE PENDULUM An example of a simple mechanical system is the single pendulum, shown in Fig. 6. This system contains two bodies-the pendulum and the ground.

Figura 4.6. Ejemplos del sistema mecánico simple: pédulo simple.


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2.2. FOUR-BAR LINKAGE AND SLIDER-CRANK MECHANISM Examples of more complex mechanical systems are the four-bar linkage and the slider-crank mechanism, shown in Fig. 7 and 8, respectively. The four-bar linkage is the most commonly used mechanism for motion transmission. The slider-crank mechanism finds its greatest application in the internal-combustion engine.

Figura 4.7. Ejemplos de sistema mecánico simple: mecanismo cuatro barras o cuadrilátero articulado.


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Figura 4.8. Ejemplos de sistema mecánico simple: mecanismo deslizadera-manivela o triangulo de lado variable.


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2.3. V-8 ENGINE The V-8 engine shown schematically in Fig. 9 contains many moving parts and illustrates a number of the most common mechanisms employed in machine design. The crankshaft of the engine rotates in lubricated bearings and contains eccentric rotational bearings with connecting rods, which are subsequently coupled through rotational bearings to translating pistons that move in combustion cylinders. The crankshaft-connecting rod-piston assembly comprises what is commonly called a first example of the slider-crank mechanism, which is used in this application and in many other machine components. The basic purpose of this mechanism is to transfer forces that are induced by combustion of fuel on the pistons into torques that act about the axis of rotation of the crankshaft, hence inducing the rotational motion that is used to propel a vehicle or to drive rotating machinery. Cams are typically used to induce the precisely timed motion of the cam-follower, which controls the position of the valve stem through a rocker arm, to open and close the intake and exhaust valves during engine operation. To close a valve and to maintain contact between the cam and follower, valve springs are used, as shown. While there are numerous other mechanisms within an engine, these basic components provide examples of typical machine elements.

Figura 4.9. Sección de un motor de 8 cilindros en V.

2.4. PUNCH MECHANISM A second application of the slider-crank mechanism is the punch mechanism shown schematically in Fig. 10. The crank is rotated about pivot point O through some angle of oscillation. The coupler, which is pivoted with the crank at point A and with the punch at point B, transmits load to the punch that translates in the machine housing, to provide reciprocating motion of the punch.


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Figura 4.10. Mecanismo de estampación. Careful control of dimensions permits a modest torque that acts through a substantial driving angle of the crank to be transformed into a very large force that acts through a short range of motion of the punch, to deform or cut the workpiece.

2.5. FLY-BALL GOVERNER A third example of a slider-crank mechanism is the fly-ball governer shown in Fig. 11. Relatively massive balls are attached to arms thaf are pivoted to a rotating shaft, so that they rotate with the shaft. Coupler arms are pivoted in the ball arms and a collar that is constrained to translate along the shaft. The ball arms, couplers, collar, and shaft form two slider-crank mechanisms that operate in spatial motion. This entire mechanism rotates with angular velocity w of the shaft. As the shaft speeds up, centrifugal forces act on the balls to throw them out, causing the collar to move upward, hence increasing the distance s shown in Fig. 11. The purpose of the fly-ball governor is to control the operating speed of an engine. A mechanism couples the position s of the collar to the fuel feed of an intemal combustion engine that drives the shaft. The mechanism is designed so that, at the desired speed of the engine, centrifugal forces on the balls and gravitational and spring forces that act on the mechanism reach an equilibrium state with the collar at a given height.


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Figura 4.11. Control centrifuge de bolas. If an increased load is applied to the engine that reduces the angular velocity w of the shaft (e.g., a vehicle encountering a hill or a lawn mower encountering tall grass), the balls will drop and the collar will move downward. The mechanism that couples the position of the collar with the fuel intake provides additional fuel, which in turn speeds the engine and causes centrifugal forces on the balls to increase, raising the balls toward their nominal height and reducing fuel feed to its nominal value. This is a typical application of a slider-crank mechanism.


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2.6. VEHICLE-SUSPENSION Another mechanism that is commonly encountered in mechanical design is the four-bar linkage, such as that shown in the vehicle-suspension application of Fig. 12. The suspension linkage on each side of the vehicle is made up of upper and lower control arms that are pivoted in rotational joints in the frame and in the wheel assembly. This mechanism permits motion of the wheel assembly relative to the frame and transmission of road forces to the frame through a coil suspension spring and shock absorber, as indicated in Fig. 12. The dimensions of the arms and attachments are carefully designed to cause the wheels to remain in as nearly a vertical position as possible during roll motion of the vehicle. Suspension springs and dampers are designed to provide vehicle stability and to transmit loads with small variation to the frame of the vehicle, even though extreme variations in force occur between the tire and road surface.

Figura 4.12. Mecanismo de suspensión de un vehículo.


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2.7. WINDSHIELD WIPER MECHANISM The windshield wiper mechanism shown in Fig. 13 is another application of four-bar linkages that transmits motor-driven rotation of the crank to the reciprocating motion of windshield wipers.

Figura 4.13. Mecanismo limpia parabrisas. The crank and left rocker arm are pivoted in the vehicle frame at points A and B. The crank coupler is pivoted in the crank at point C and in the left rocker arm at point D. The crank, crank coupler, left rocker, and frame of the vehicle constitute a the first four-bar linkage. Since the distance from B to D is greater than the distance from A to C, a full rotation of the crank causes only a partial rotation of the left rocker arm, leading to the desired reciprocating motion of the left windshield wiper. The dimensions of the various links are carefully selected to generate the desired range of motion. A second four-bar linkage is formed by the right rocker arm that is pivoted in the frame of the vehicle at point G and the rocker coupler that is pivoted in the left and right rocker arms at points E and F. This second linkage transmits reciprocating motion from the left rocker arm to the right rocker arm, hence driving the right windshield wiper.


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2.8. MATERIAL-HANDLING MECHANISM Still another example of a four-bar linkage is the material-handling mechanism shown in Fig. 14. The crank (body 1) is pivoted in ground (body 4) at point D and with the material handler (body 2) at point C. The material handler is in turn connected to the follower arm (body 3) at point B and the follower arm is pivoted in ground at point A.\

Figura 4.14. Manipulador de paquetes. The purpose of the mechanism is to permit counterclockwise rotation of the crank to lower the material-handling arm to a position that permits loading of cargo from a dolly located on the floor. Subsequent clockwise rotation of the crank raises the cargo so that it can be transmitted to a conveyer belt and moved to another station within a fabrication or storage facility. It is geometrically clear from the schematic diagram of Fig. 14 that the dimensions of components of the mechanism must be carefully selected so that the material handler is in the proper position and orientation for both pickup and deposit of the cargo onto the conveyer belt.


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2.9. GEARS

Gears, typified by the circular gear pair shown in Fig. 15, are commonly used in mechanical equipment to transmit rotation and torque at varying speeds and magnitudes, respectively, for both control of motion and transmission of power.

Figura 4.15. Par de engranajes. While the details of the design of gear teeth are not treated completely in this course, it is presumed that the geometry of the gears is designed so that continuous contact is maintained at the gear pitch circles, shown in Fig. 15 with radii of 120 and 180 mm. If the smaller gear is driven, the larger gear follows. One full revolution of the larger gear requires 1.5 revolutions of the smaller gear. However, one unit of torque applied to the smaller gear is transmitted as 1.5 units of torque to the shaft of the larger gear. Gearing mechanisms, therefore, permit great latitude in the adjustment of speeds of shafts and torques transmitted.


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2.10. COMPOUND MECHANISMS: QUICK-RETURN SHAPER MECHANISM

Compound mechanisms, such as the quick-return shaper mechanism shown schematically in Fig. 16, are made up from combinations of many of the basic kinematic couplings that have been encountered in the preceding examples. In this application, body 1 is designated as ground. Bodies 2 and 3 are gears of substantially different pitch diameter, with gear 2 pivoted in ground at point A and gear 3 pivoted in ground at point B. A motor drives the shaft of gear 1, resulting in smaller angular velocity of the larger gear. A coupler, body 4, is attached to the larger gear with a rotational joint at point C. A rocker arm, body 5, is pivoted in ground at point D and slides freely through the coupler of body 4. Thus, as body 3 rotates, body 5 undergoes an oscillating motion. Another coupler, body 6, is connected by rotational joints with body 5 at point E and with the slider, body 7, at point F. Body 7 translates relative to ground and carries a cutting tool that contacts a workpiece and removes material.


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Figura 4.16. Mecanismo de retorno rápido. By carefully selecting the dimensions of the components of the machine, the cutting tool can be made to move to the left (the cutting stroke) at relatively low speed and to return more quickly to the beginning of the cutting stroke.


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2.11. THREE-DIMENSIONAL SYSTEMS: ROBOT While the motion of the systems in previous figures are planar (two-dimensional), other mechanical systems may experience spatial (three-dimensional) motion. For example, the robot, or manipulator, of Fig. 17 is made up of nine bodies, including ground (body 1).

Figura 4.17. Robot manipulador. The first degree of freedom is the rotation angle q1, of the base (body 2) about a vertical axis fixed in ground. The second degree of freedom is the rotation q2 of the pivot arm (body 3) about the horizontal axis fixed in body 2. The third degree of freedom is translation q3 of the boom (body 4) in a guide that is fixed in body 3. The fourth degree of freedom is rotation q4 of the first wrist pivot (body 5) relative to body 4. The fifth degree of freedom is rotation q5 of the second wrist pivot (body 6) relative to body 5. The sixth degree of freedom is rotation q6 of the hand mechanism (body 7) relative to body 6. The final degree of freedom is relative rotation q7 of the robot fingers (bodies 8 and 9).


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Figura 4.18. Robot con base estacionaria.

Figura 4.19. Robot con base móvil. Such a mechanism permits the end-effector to grasp and manipulate workpieces. A robot can be fixed to a stationary base or to a movable base, as shown in Fig. 19. The motion and the position of the end effector of a robot are controlled through force actuators located about each joint connecting the bodies that make up the robot.


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2.12. VEHICLE SUSPENSION SYSTEM The final compound mechanism example that illustrates the scope of study to follow is the vehicle of Fig. 20, whose suspension system is shown schematically in Figs. 21 and 22.

Figura 4.20. Automóvil. This commonly employed high performance vehicle suspension consists of a McPherson strut front suspension and a trailing arm rear suspension. Each front wheel assembly is attached to the chassis of the vehicle through a lower control arm and a telescoping strut assembly, as shown in Fig. 21.

Figura 4.21. Suspensión delantera tipo McPherson.


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Concentric with the strut assembly are suspension spring and damping components. The spherical joints at the top and bottom of the strut assembly permit steering rotation of the wheel assembly about the strut. The more elementary rear suspension shown in Fig. 22 is simply a control arm that is pivoted in the chassis to permit the rear wheel assembly to move relative to the chassis.

Fig. 22.- Esquema de la suspensión de un automóvil. Spring and damping components attached between the rear control arm and chassis provide for support of the chassis and cushioning of extreme tire-road forces. These examples represent typical machines that are encountered in mechanical system kinematic and dynamic analysis and design. The breadth of such applications is extensive. While applications and environments differ greatly, many technical similarities permit the development of a uniform approach to computer-aided kinematic and dynamic analysis.


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3. Fundamentos del Método de Análisis a Utilizar.

En esta sección se hace una pequeña revisión de los distintos planteamientos que se pueden utilizar para resolver los problemas cinemáticos y dinámicos que aparecen en los sistemas mecánicos. Se hace referencia a los métodos gráficos, a los métodos muy particulares que se utilizan para algunos mecanismos en concreto, y al método analítico que se estudia en asignaturas previas. Se indica que ese método estaba dentro de los denominados lagrangianos, y que como se conoce se basaba en la formulación de las ecuaciones del movimiento en términos de un conjunto mínimo de variables que permitían definir la posición y orientación absoluta y relativa de todos los cuerpos que formaban el sistema mecánico. Se indica que es útil para su utilización en el análisis de pequeños sistemas mecánicos con movimiento plano, y que es necesario utilizar otros métodos para el análisis de sistemas más complejos o de todos aquellos que se muevan en el espacio. A continuación se indica que para conseguir los objetivos de esta asignatura, se desarrollarán los fundamentos teóricos de un método que se basa en la utilización de coordenadas cartesianas dependientes, que fue introducido en la Universidad de Iowa por el Profesor Haug a finales de los años 70, y que dio lugar a un código computacional comercial denominado DADS, que compite por el mercado con el programa ADAMS de que dispone el Area de Ingeniería Mecánica de la U.P.V. Se indica que este último se basa en la utilización de coordenadas relativas y que se desarrolló en los años 60, comienzos de los 70. Para establecer las diferencias entre estos dos planteamientos, se comenta brevemente como se plantearía utilizando ambos métodos el análisis de un mecanismo deslizadera-manivela típico. Se indica que utilizando la formulación lagrangiana, ya conocida, sería necesario definir una coordenada generalizada, y dos coordenadas secundarias. Para el resolver el problema de posición habría que solucionar un sistema de ecuaciones algebraico no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, y para resolver el problema dinámico, un una única ecuación diferencial, altamente no lineal de segundo orden en variable generalizada elegida, tal y como se hizo en la asignatura Teoría de Máquinas. A continuación se describe la forma de plantear el problema que se desarrollará en esta asignatura. Se indica que en primer lugar se procede a desconectar los cuerpos que forman el mecanismo. Se consideran como variables cartesianas generalizadas las orientaciones angulares de los dos cuerpos, y las coordenadas del centro de masas de uno de ellos. Se indica que para el ensamblado del mecanismo, esas cuatro variables han de satisfacer tres relaciones cinemáticas, que se denominarán ecuaciones de restricción, y que son ecuaciones no lineales que es necesario resolver numéricamente. A continuación se indica que las ecuaciones del movimiento se plantean en términos de los denominados multiplicadores de Lagrange, resultando en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden y tres ecuaciones algebraicas de restricción, en función de las cuatro coordenadas generalizadas cartesianas y de los tres multiplicadores de Lagrange. Se indica que si bien el sistema a resolver tiene un mayor número de ecuaciones, estas son sencillas de resolver.


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4. Descripción del Programa de Ordenador a Utilizar.

En esta sección se presentan los conceptos básicos relacionados con el programa de ordenador que se utilizará para obtener los objetivos prácticos de esta asignatura. Se indica que se denomina Mechanical System Pack, que lo denominaremos Mechanica, y que es una colección de herramientas formuladas en terminología del programa Mathematica. Esta formado por una completa biblioteca de unas 50 restricciones geométricas bi y tridimensionales, que su sistema de comandos es un sistema orientado a objetos, que posee implementados todas las técnicas que se desarrollarán en esta asignatura, que posee una serie de funciones gráficas que permiten la visualización tanto del mecanismo como de los resultados que se obtienen de sus análisis, y que además es capaz de proporcionar en forma simbólica tanto las ecuaciones del movimiento, como las ecuaciones de restricción algebraicas, como las matrices de inercia, como las fuerzas de Coriolis. Se indica que esta última característica es fundamental para entender por completo el método en el que se basa y que se explica a lo largo de la asignatura. Se presenta de una forma esquemática la forma de construir con este programa tanto un modelo bidimensional como uno tridimensional, del mecanismo deslizadera manivela típico que aparece en los motores de combustión alternativos, comentando de forma genérica las distintas fases de su construcción. (Estas secciones están pendientes de desarrollo)


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MODELO BASICO 2D


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MODELO BASICO 3D


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5. Método de las Ecuaciones de Restricción (MER).

5.1. Conceptos matemáticos previos.

5.1.1. Introducción.

Esta es una de las secciones de las dedicadas a analizar la cinemática y dinámica de sistemas mecánicos en los que todos los cuerpos se mueven en un plano o en planos paralelos. Las razones que motivan el comenzar presentando los métodos aplicados a sistemas planos se basa en las siguientes consideraciones: (1) la representación analítica de la posición y orientación de cuerpos en al plano es mucho menos compleja que la de cuerpos en el espacio; (2) los conceptos analíticos y los métodos de creación de modelos son mucho más fáciles de aprender en el contexto de los sistemas planos; y (3) conocidos estos conceptos, su extensión a la aplicación a sistemas espaciales resulta fácil de comprender. Teniendo esto en cuenta, en esta sección se introduce el análisis basado en vectores y los conceptos relacionados con la posición y orientación de cuerpos en el plano. Se indica que el álgebra de vectores y matrices forma los fundamentos matemáticos de la cinemática y dinámica, y que el estudio de la geometría del movimiento es el primer paso para abordar el análisis cinemático y dinámico de los sistemas mecánicos. Se indica que el álgebra vectorial en su forma geométrica no es adecuada para la formulación computacional del problema. Por ello, en este tema se presenta una formulación matricial sistemática del álgebra vectorial a la que se denomina representación vectorial algebraica, y que se desarrollará a lo largo de toda esta parte de la asignatura. Esta forma de representación vectorial, en contraste con la tradicional forma geométrica, es más fácil de utilizar, tanto para la manipulación de fórmulas, como para la implementación computacional. Teniendo en cuenta que el cálculo diferencial de varias variables juega un papel fundamental tanto para formular como para resolver las ecuaciones del movimiento de los sistemas mecánicos, en esta sección se desarrolla sus ideas básicas.

5.1.2. Vectores Geométricos. En esta sección se revisan las ideas básicas sobre vectores geométricos en el plano. Se da una definición, se recuerda la regla del paralelogramo, se introduce el concepto de sistema de referencia cartesiano ortogonal, las componentes cartesianas de un vector, el concepto de vector unitario, el concepto de producto escalar de dos vectores, el concepto de vectores ortogonales y su representación. Por último se resuelven algunos ejemplos (Esta sección esta en fase de desarrollo).

Figura 4.22. Vector que parte del punto A y va al punto B. Regla del paralelogramo:

c = a+b


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Regla del paralelogramo:

a b = b+a

( ) a = a + b

Figura 4.23. Componentes cartesianas de un vector: Componentes cartesianas de un vector:

x ya = a i + a j Suma de dos vectores:

x x y y x yc = a + b = (a + b ) i + (a + b ) j = c i + c j Producto escalar (dot product) de dos vectores:

a . b = a b cos (a,b)

a . b = b . a

Figura 4.24. Proyección del vector a sobre el vector u


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Vectores unitarios:

i . j = j . i = 0

i . i = j . j = 0

Para cualquier vector:

2a . a = a a cos 0 = a Propiedades del producto escalar:

(a + b) . c = a . c + b . c

x x y ya . b = a b a b

2 2x ya = a . a = a + a

Figura 4.25. Vector perpendicular al vector a. Vector perpendicular a un vector dado:

y xa = -a i + a j


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5.1.3. Algebra Matricial. En primer lugar se insiste en que la utilización de matrices permite la representación sistemática de un sistema de ecuaciones, así como la organización de su desarrollo, simplificación y solución. A continuación se define el concepto de matriz, dimensiones de una matriz, el concepto de transpuesta de una matriz, matriz columna y matriz fila, y se indica la forma de representarlas dando algunos ejemplos. Se recuerdan los conceptos de matriz cuadrada, de matriz diagonal, de matriz identidad, matriz nula, suma de matrices, diferencia entre dos matrices y término general de una matriz y se dan algunos ejemplos. Seguidamente se recuerda el concepto de producto de matrices, producto de una matriz por un escalar, y matriz simétrica. Se introduce el concepto de matriz anti-simétrica, concepto muy utilizado en cinemática, y se comentan algunas propiedades de las operaciones con matrices. Se introducen los conceptos de dependencia e independencia lineal, y se dan algunos ejemplos. A continuación se introduce el concepto de rango de una matriz, matriz de rango completo, matriz singular, matriz no singular, y se recuerda el concepto de matriz inversa. Se introduce el concepto de matriz ortogonal , otro concepto muy utilizado en cinemática, y se dan algunos ejemplos. Matriz de dimensiones m x n:

11 12 1n

21 22 2n

ij

m1 m2 mn

a a a

a a a a

a a a

A

Traspuesta de una matriz:

TA Matriz columna:

T

1 2 n = a , a , ... , aa

Matriz fila:

1 2 m = b , b , ... , b b

Representación de una matriz:

2

n = , , ... , =

1

1 2

m

b

bA a a a

b

Suma de matrices:

ij ij = + = ( a + b )C A B

Tres matrices con la misma dimensión: ( + ) + = + ( + ) = + + A B C A B C A B C

Producto de matrices:


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1

2

ij ij 1 2 n

m

a = , b = , , ... ,

a

aA B b b b

a

p

ik kj ijk=1

= = a b = c

C A B

ijc = i ja b

A B B A ( ) A B C AC BC

( ) ( ) AB C A BC ABC Multiplicación de una matriz por un escalar:

ija C A

Matriz simétrica:

ij ij jia , a a , TA A A

Matriz “simetrica-skew” o anti-simetrica:

ij ij ji iia , a a , a 0, TA A A

Propiedades:

( ) T T TA B A B

( ) T T TAB B A

Condición de dependencia lineal:

j j j , j=1,...,m ; ; 0 , j=1,...,m ja a 0

Condición de independencia lineal:

j j j , j=1,...,m ; ; 0 , j=1,...,m ja a 0

A una matriz cuadrada A de rango completo (‘full rank”) se la denomina matriz no singular. Para este tipo de matrices existe la matriz inversa:

1 1AA A A I

1 T T 1( ) ( ) A A

1 1 1( ) AB B A

Matriz ortogonal:

T T 1 T , A A AA I A A


40

5.1.4. Vectores Algebraicos. En esta sección se comienza presentando la representación algebraica de un vector frente a su representación geométrica, respecto a un sistema cartesiano de referencia. Se indica que cuando un vector algebraico representa a un vector geométrico en el plano, el vector algebraico posee dos componentes. Se indica la representación algebraica de la suma de dos vectores, de producto de un vector por un escalar, del vector nulo. Se indica que la representación algebraica de vectores permite la definición de vectores con mas de tres componentes, denominándoselos n vectores. Se presenta la representación algebraica del producto escalar de dos vectores geométricos, de un vector ortogonal a un vector dado, introduciéndose el concepto de matriz de rotación ortogonal y se dan algunos ejemplos. Representación geométrica de un vector en el sistema de referencia cartesiano x y :

x ya = a i + a j Representación algebraica de un vector en el sistema de referencia cartesiano x y :

Tx

x yy

a a , a

a

a

Suma de dos vectores en forma geométrica:

c a b Suma de dos vectores en forma algebraica: c a b

La representación algebraica permite que sea posible definir vectores con mas de tres componentes. Por ejemplo, los siguientes vectores algebraicos podrían combinarse para formar un vector de 6 componentes:

T T T

x y x y x y

T T T Tx y x y x y

a , a , b , b , c , c

a , a , b , b , c , c , ,

a b c

d a b c

Producto escalar de dos vectores geométricos en forma algebraica:

Tx x y ya.b a b a b a b

Vector perpendicular a un vector dado en forma geométrica:

y xa = -a i + a j

Vector ortogonal (perpendicular) a un vector dado, representado en forma algebraica:

y

x

a

a

a Ra


41

R es la matriz de rotación ortogonal:

T0 1 1 0

, , 1 0 0 1

R R R I RR I Ec. 2.3.6

Figura 4.26. Rotación de un vector a .


42

5.1.5. Transformación de Coordenadas. Se proporciona la representación algebraica de un mismo vector en dos sistemas de coordenadas cartesiano con el mismo origen. Se desarrolla la relación matemática que existe entre ambos, obteniéndose la denominada matriz de rotación. Se presenta la ecuación que relaciona ambos vectores cuando los orígenes de los sistemas de referencia cartesianos no coinciden, ecuación que se utiliza posteriormente. Se presentan algunos ejemplos.

Figura 4.27. Dos sistemas de referencia cartesianos con el mismo origen. Sistema de referencia cartesiano x y fijo, un segundo sistema de referencia cartesiano

x y , con el mismo origen, con un ángulo entre sus ejes x e x, positivo en sentido contrario al reloj. Un vector geométrico s puede representarse mediante los vectores algebraicos:

T

x y

T

x' y'

s , s

' s , s

s

s

Por trigonometría elemental:

x x' y'

y x' y'

s s cos s sin

s s sin s cos


43

Figura 4.28. Vector s en los dos sistemas de referencia cartesianos con el mismo origen.

Por lo tanto, sy 's están relacionados por la matriz de transformación:

's As Matriz de transformación de rotación:

cos sin( )

sin cos

A A

A es ortogonal, por lo tanto T 1A A , y:

T' s A s


44

Figura 4.29. Traslación y rotación entre sistemas de referencia cartesianos. Cuando los orígenes de los sistemas de coordenadas x y e x y no coinciden, el

análisis llevado a cabo previamente se puede aplicar entre los sistemas de referencia

x y y el trasladado x y .

P P P' r r s r As Ec. 2.4.8

Consideremos un par de sistemas de referencia:

i i j j' ' s A s A s

Como iA y

jA son ortogonales:

T

i i j j ij j' ' ' s A A s A s

ijA es la matriz de transformación entre ambos sistema de coordenadas:

j i j iTij i j

j i j i

cos( ) sin( )

sin( ) cos( )

A A A

que no es mas que la matriz de transformación de rotación ortogonal debida a la rotación del sistema de referencia jun ángulo

j i respecto al sistema de referencia i.


45

Figura 4.30. Tres sistemas de referencia cartesianos con el mismo origen.


46

5.1.6. Diferenciación de Vectores y Matrices. Se indica que en la cinemática y dinámica de sistemas mecánicos, los vectores que representan las posiciones de los puntos en los cuerpos, y las ecuaciones que describen la geometría del sistema van a ser funciones del tiempo y de algunos otras variables, con lo que al analizar esas ecuaciones para obtener velocidades y aceleraciones, necesariamente tendrán que calcularse sus derivadas temporales y sus derivadas parciales. En esta sección se define dichas derivadas y se introduce la notación de calculo diferencial matricial que se utilizará a lo largo de toda la asignatura. Se comienza analizando las derivadas de vectores que localizan puntos. Se presenta la derivada temporal de un vector utilizando su representación geométrica y su representación algebraica, es decir utilizando notación matricial. Se define la derivada de la suma de dos vectores, la regla del producto para la derivación. Se indica como calcular la velocidad y la aceleración de ese punto, y se dan algunos ejemplos. A continuación se presenta la derivada temporal de una matriz cuyas componentes dependen del tiempo y se revisan las reglas elementales de diferenciación. Seguidamente se indica que al tratar con sistemas de ecuaciones diferenciales y algebraicas no lineales en varias variables, que son las que aparecerán en los análisis cinemático y dinámico de los sistemas mecánicos, será esencial emplear la notación del cálculo matricial. Por lo que se presenta dicha notación. Se introduce el vector de variables del sistema, una función diferenciable de ese vector, y un vector de un vector de funciones diferenciables escalares del mismo. Se define a continuación la notación del calculo diferencial que se utilizará, definiendo las derivadas de ambos. Se insiste en que según esta notación, la derivada de una función escalar con respecto a una variable vectorial es un matriz fila, y que este es uno de los pocos símbolos en el desarrollo que es una matriz fila, en lugar del mas común matriz columna. Se insiste también en que la derivada de una función vectorial, cuyos elementos son funciones de la variable vectorial del sistema, es una matriz. Se indica que la notación utilizando subíndices que se utiliza aquí, resulta útil en adelante para evitar confusiones al derivar parcialmente. Para sacar partido de esta notación, sin embargo, es de crítica importancia que se utilice una definición matricial correcta de las derivadas. Por último, se presentan por una parte la regla de diferenciación para el producto escalar de dos vectores, insistiendo en que la que podría intuitivamente parecer como la apropiada regla de la diferenciación para el producto, ni si quiera está definida, y mucho menos es válida. Y por otra, la regla de la cadena para la diferenciación de funciones vectoriales de varias variables utilizando la notación de cálculo matricial presentada. Se procede a resolver algunos ejemplos. Al analizar velocidades y aceleraciones, se deben calcular las derivadas temporales de vectores que localizan puntos. Consideremos el vector a(t). Representación geométrica del vector en el sistema de referencia cartesiano estacionario x y :

x ya(t) = a (t) i + a (t) j Representación algebraica del vector en el sistema de referencia cartesiano estacionario x y :

Tx

x yy

a (t)(t) a (t), a (t)

a (t)

a

Derivada temporal del vector a(t) utilizando su representación geométrica:

x y x y

d d d da(t) a(t) = a (t) i + a (t) j = a (t) i+ a (t) j

dt dt dt dt

Derivada temporal del vector a(t) utilizando su representación algebraica, es decir

notación matricial:


47

T

T

x y x y

d d da , a a , a

dt dt dt

a a

Por lo tanto, para vectores que están representados en términos de sus componentes en un sistema de referencia cartesiano estacionario, la derivada temporal se obtiene diferenciando sus componentes: Derivada de la suma de dos vectores:

d( )

dt a b a b

Regla del producto para la diferenciación:

T T T

d( )

dt

d( )

dt

a a a

a b a b a b

Ec. 2.5.13

Si a es el vector de posición que permite localizar la posición de un punto en un sistema de referencia cartesiano estacionario, a será las velocidad de ese punto. Si el módulo de

un vector (t)a es constante, es decir si T(t) (t) ca a , entonces T 0a a . Esto indica

que la velocidad de un punto cuya distancia al origen del sistema de referencia es constante es ortogonal (perpendicular) al vector de posición de ese punto. La segunda derivada temporal de (t)a es la aceleración del punto:

T

x y

d d( (t)) a , a

dt dt a a

Derivada temporal de una matriz, ij(t) b (t) B cuyas componentes dependen de t:

ij

d db

dt dt

B B

Reglas elementales de diferenciación:

d( )=

dt

d( )

dt

d( )

dt

B C B C

BC BC BC

B B B

Al tratar con sistemas de ecuaciones diferenciales y algebraicas no lineales en varias variables , que son las que aparecen en los análisis cinemático y dinámico de sistemas mecánicos, es esencial emplear la notación del calculo matricial. Para comenzar a utilizar la notación que se empleará aquí, hagamos que:

T

1 kq , , qq sea un k-vector de variables reales,

a( )q una función diferenciable escalar de q, y

T

1 n( ) ( ), , ( ) q q q un n-vector de funciones diferenciables de q.


48

Utilizando como índice de fila iy como índice de columna j, definimos la siguiente

notación de cálculo matricial:

j 1xk

a aa

q

q

q

i

j nxkq

q

q

Téngase en cuenta que la derivada de una función escalar con respecto a una variable vectorial es un matriz fila. Este es uno de los pocos símbolos en el texto que es una matriz fila, en lugar del mas común matriz columna. Téngase en cuenta también, que la derivada de una función vectorial , cuyos elementos son funciones de la variable vectorial q, es una matriz. La notación utilizando subíndices que se utiliza aquí,

resulta útil en adelante para evitar confusiones al derivar parcialmente. Para sacar partido de esta notación, sin embargo, es de crítica importancia que se utilice una definición matricial correcta de las derivadas. La derivada parcial del producto escalar de dos funciones de n-vectores,

T

1 n( ) g ( ), , g ( )g q q q y T

1 n( ) h ( ), , h ( )h q q q ,

tras una cuidadosa manipulación, resulta ser la regla del producto para la diferenciación:

n nT T

k k k kk 1 k 1j

n n nk k k k

k k k kk 1 k 1 k 1j j j j

( ) ( ) ( g h ) ( g h )q

g h g h = ( h g ) (h ) (g )

q q q q

qg h g hq q

T T T T T T( ) ( )

q q q

g hg h g h h g h g g h

q q q

Téngase en cuenta que la que podría intuitivamente parecer como la apropiada regla del producto para la diferenciación, ni si quiera está definida, y mucho menos es válida, es decir:

T T T( )

q qg h g h g hq

Si T

1 m( ) ( ), , ( ) g g g y T

1 m= ( ) g ( ), , g ( )g g q q q

son funciones vectoriales de variables vectoriales, la regla de la cadena para la diferenciación, utilizando notación de cálculo matricial, se obtiene como:

ni i l

l 1j l jmxk mxk

( ( )) g( )

q q q

q g q

g q gg

g q

Si B es una matriz constante de dimensión m n , y p y qson vectores de variables de

dimensiones m y n, respectivamente, un m-vector y un n-vector, se verifican las siguientes relaciones útiles:


49

T T T

T T T T

( )

( )

d( )

dt

Bq Bq

p Bq q Bp

p Bq q B p p Bq


50


51

5.2. Relaciones Vectoriales Básicas del MER. En esta sección se presentan las relaciones vectoriales básicas en las que se basa el método de análisis cinemático basado en el MER (Método de las Ecuaciones de Restricción). Se considera un sistema de referencia cartesiano fijo en un cuerpo móvil, que permite definir su posición y orientación con respecto a un sistema de referencia global estacionario. Se considera un punto del cuerpo móvil citado. Se presenta la relación entre el vector de posición de ese punto respecto del sistema de referencia global y el sistema de referencia móvil, utilizando la matriz de rotación que se obtuvo anteriormente. A continuación se obtienen las derivadas temporales del vector de posición de ese punto, es decir, su velocidad y su aceleración, definiéndose las derivadas temporales de la matriz de rotación.

Figura 4.31. El punto P está fijo en un sistema de referencia x y

Muy a menudo en las aplicaciones, un sistema de referencia Cartesiano x y esta fijo en

un cuerpo móvil para definir su posición y su orientación, con respecto a un sistema de referencia global x y estacionario. Considere el punto P que esta fijo en un sistema de

referencia x y , como se muestra en la Fig. 12. El vector que localiza (vector de

posición) al punto P en el sistema de referencia x y está dado por la Ec. 2.4.8 como:

P P P' r r s r As Ec. 2.6.1


52

donde P's es el vector constante de las coordenadas del punto P en el sistema de referencia x y y A es la matriz de transformación entre el sistema x y y el sistema x y .

Al estar el sistemax y moviéndose y cambiando su orientación con el tiempo, el vector

ry la matriz de transformación A son funciones del tiempo. Los resultados sobre diferenciación que se obtuvieron en la Sección 6.5 se pueden utilizar para obtener las

derivadas temporales de Pr , como:

P P' r r As Ec. 2.6.2 Utilizando la Ec. 2.4.4:

sin cosd( )

cos sind

A A A B Ec. 2.6.3

Por lo que la Ec. 2.6.2 quedará: P P' r r Bs Ec. 2.6.4

Téngase en cuenta que utilizando la matriz de rotación ortogonal R , Ec. 2.3.6, tendremos: Ec. 2.6.5 y también:

AR RA Ec. 2.6.5 Por lo tanto, la Ec. 2.6.4 puede escribirse como: P P P P' ' r r ARs r As r s Ec. 2.6.7

Por último, teniendo en cuenta que:

cos sind

sin cosd

B B A Ec. 2.6.8

Tomando la derivada temporal de la Ec. 2.6.4, obtenemos la aceleración del punto Pcomo: P P P P 2 P' ' ' ' r r Bs Bs r Bs As Ec. 2.6.9

Formas alternativas de esta misma ecuación se pueden obtener utilizando las Ecs. 2.6.5 y 2.6.6, como: P P 2 P P 2 P' ' r r As As r s s Ec. 2.6.1


53

5.3. Definición de las Restricciones.

5.3.1. Introducción. Partiendo de la base que para definir la posición y orientación de cuerpo en plano se van a utilizar dos coordenadas de posición y una coordenada angular, en esta sección se desarrolla una serie de restricciones. Se consideran tanto restricciones absolutas, las que pueden existir entre un cuerpo móvil y el fijo, como relativas, las que existen entre cuerpos móviles. Las restricciones desarrolladas incluyen restricciones puntuales y de orientación: absolutas y relativas, y las restricciones correspondientes a los pares giratorios y prismáticos. Además, y con el fin de controlar el movimiento de los sistemas mecánicos, se introducen una serie de restricciones de conducción.

5.3.2. Conceptos Básicos en Cinemática Plana. La cinemática, como estudio del movimiento, es útil por dos razones. Por una parte, porque con frecuencia en ingeniería mecánica es necesario generar, transmitir, o controlar el movimiento mediante el uso de levas, engranajes, y mecanismos de barras. Y por otra parte, también a menudo es necesario determinar la respuesta dinámica de un sistema de cuerpos interconectados resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas, formulando y resolviendo las ecuaciones del movimiento, siendo imprescindible para conseguir este objetivo tener cuantificada la cinemática del sistema. En esta sección se recuerda el concepto de cuerpo rígido, se define el concepto de sistema de referencia fijo con un cuerpo. Se define de nuevo, el concepto de mecanismo y de cinemática, y se recuerda la distinción existente entre análisis y síntesis. Se introduce el concepto de coordenadas generalizadas, como conjunto de variables que especifican de forma unívoca la posición y orientación de todos los cuerpos que forman parte de un mecanismo. Se distingue entre coordenadas generalizadas independientes y dependientes, y se indica la forma de representar en esta asignatura a las coordenadas generalizadas que describen la configuración del sistema que se está analizando. Se indica que para determinar la configuración del sistema es necesario definir un sistema de referencia fijo con cada uno de los cuerpos que lo forman, y que de esta forma cualquier cuerpo se puede localizar en el plano especificando las coordenadas globales de posición del origen de su sistema de referencia y el ángulo que define la rotación de ese sistema respecto del sistema global. Se indica como de esta forma se definirá el vector columna de las coordenadas generalizadas correspondientes a ese cuerpo. Se establece la relación entre el vector de coordenadas generalizadas de cada cuerpo y el del sistema completo, indicándose que esas coordenadas no son independientes sino que están relacionadas por ecuaciones de restricción. Por otra parte se define el concepto de restricción cinemática entre dos cuerpos, como las condiciones impuestas sobre el movimiento relativo de ambos. Se indica que cuando esas condiciones están expresadas mediante ecuaciones algebraicas en términos de las coordenadas generalizadas, reciben el nombre de ecuaciones de restricción cinemáticas holonómicas, y se indica la forma de representarlas. Se distingue entre restricciones temporales y restricciones estacionarias. Por último se definen las restricciones no holonómicas como aquellas ecuaciones que contienen desigualdades o relaciones entre componentes de velocidad. A continuación se indica que el fundamento analítico del análisis cinemático ayudado por ordenador es una biblioteca de pares que restringen el movimiento de un cuerpo o el movimiento relativo entre pares de cuerpos. Y se insiste en una idea que es absolutamente fundamental, y es que las ecuaciones algebraicas de restricción asociadas a cada uno de esos pares deben ser totalmente equivalentes al par físico. Se comenta que a menudo las ecuaciones de restricción se obtienen a partir de la geometría del par, es decir que la geometría de par implica a la ecuación de restricción. Pero que esto no es suficiente, las ecuaciones de restricción también tienen que implicar a la geometría del par. Es decir, que esta aplicación debe ser en términos matemáticos biunívoca. Si no se formulan de esta forma el modelo matemático que se resuelve no definirá el movimiento real del sistema. En cualquier caso, sobre este asunto se insistirá cuando se desarrollen cada una de las restricciones.


54

Se define el concepto de grados de libertad (GDL) de un sistema mecánico o movilidad, como la diferencia entre el número de coordenadas generalizadas definidas en él, y el número de ecuaciones de restricción holonómicas definidas por los pares que lo forman. De esta forma se introduce la idea que las ecuaciones de restricción no son suficientes en número para determinar todas las coordenadas generalizadas asociadas al sistema, es decir su movimiento. Con lo que se indica que para determinar el movimiento del sistema, el ingeniero debe definir: (1) o bien un número GDL de condiciones adicionales de conducción que permitan unívocamente determinar las coordenadas generalizadas algebraicamente (análisis cinemático); (2) o bien las fuerzas que actúan sobre el sistema, en cuyo caso el vector de coordenadas generalizadas es la solución de las ecuaciones diferenciales del movimiento (análisis dinámico). A continuación se procede a desarrollar las ecuaciones en las que se basa el análisis cinemático, suponiendo por lo tanto que se han definido un número GDL de restricciones de conducción. Se puntualiza que a este tipo de sistemas se les denomina cinemáticamente conducidos. Se define el vector de restricciones del sistema, que incluye las restricciones cinemáticas y las de conducción, y se indica que este vector igualado a cero constituye el sistema de ecuaciones que habrá que resolver numéricamente para solucionar el problema de posición. Se indica que el vector de coordenadas generalizadas que se obtiene no se puede derivar temporalmente para obtener los vectores de velocidades y aceleraciones generalizadas, al haber sido obtenido de forma numérica. Con lo que para plantear el problema de velocidad es necesario derivar las ecuaciones de restricción utilizando la regla de la cadena, obteniéndose la ecuación vectorial de velocidad, indicándose la forma habitual de expresarla, e indicando que a la matriz de coeficiente se la denomina matriz jacobiana. Se indica a continuación que para plantear el problema de aceleración es necesario derivar las ecuaciones de velocidad utilizando la regla de la cadena, obteniéndose la ecuación vectorial de aceleración, indicándose la forma habitual de expresarla, e indicando de nuevo que a la matriz de coeficientes se la denomina matriz jacobiana. Seguidamente se comenta que la matriz jacobiana que aparece en las ecuaciones de velocidad y aceleración juega un papel fundamental en la teoría y métodos numéricos de la cinemática y de la dinámica de mecanismos. Se indica que aunque podría ensamblarse directamente para todo el mecanismo usando las definiciones del cálculo matricial desarrollado en una sección previa, se ensamblará de una forma sistemática para cada una de las restricciones que se consideran en las siguientes secciones. Se insiste en que sin ninguna duda esta matriz es la más importante matriz que se utiliza en la cinemática y dinámica de los sistemas mecánicos restringidos. Se ponen dos ejemplos, que aunque son mecanismos elementales, ilustran el método basado en las ecuaciones de restricción (MER) para la formulación y solución de las ecuaciones cinemáticas de los sistemas mecánicos generales. El resto de esta sección se dedica a la derivación de una biblioteca de restricciones cinemáticas entre pares de cuerpos, que permitirán resolver un amplio rango de tipos de mecanismos y máquinas. Se indica que a las ecuaciones de restricción cinemáticas resultantes se les acoplarán las restricciones de conducción que determinarán de forma única el movimiento del sistema. Con el fin de facilitar la interpretación de los desarrollos que se hacen en las siguientes secciones, se insiste en que se debe tener en cuenta que el objetivo del análisis cinemático ayudado por ordenador es la creación de un método sistemático para la formulación y resolución de las ecuaciones cinemáticas que pueda implementarse en un computadora digital. Y que sólo si se adopta un planteamiento sistemático podrá el ingeniero delegar en la computadora el arduo trabajo de la derivación analítica relacionada con el análisis. Es este objetivo el que provoca la aparición de matrices excesivamente grandes, como las que se encuentran en algunos ejemplos. En cualquier caso, se indica que las matrices jacobianas que se definen en muchos de los mecanismos que se analizan contienen muchos ceros y unos, y que esta estructura elemental se puede aprovechar adecuadamente para resolver de forma eficiente las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del análisis cinemático. Teniendo en cuenta lo largo del desarrollo que viene a continuación, no es posible desarrollar con todo detalle todas las ecuaciones de restricción cinemáticas y de conducción se hace preciso seleccionar algunas, tanto cinemáticas como de conducción, desarrollándolas con todo detalle, mostrando el procedimiento adecuado, y en los demás


55

casos proporcionar las correspondientes ecuaciones tabuladas adecuadamente, para que sea posible formular mediante ellas los ejercicios que se propongan. Las coordenadas generalizadas se designan en este texto con el vector columna

T1 2 nc[q , q , , q ]q , donde nc es el número total de coordenadas utilizadas para

describir la configuración del sistema. Se define un sistema de referencia x' y' en cada uno de los cuerpos del sistema. El

cuerpo ipuede localizarse especificando las coordenadas globales T

i ix, yr del origen

del sistema de referencia i ix' y' definido en él, y el ángulo i de rotación de dicho

sistema respecto del sistema de referencia global x y . El vector T

i i i ix , y , q es

el vector de coordenadas generalizadas cartesianas correspondiente al cuerpo i. Utilizando coordenadas generalizadas cartesianas para cada cuerpo del sistema, se está definiendo un conjunto de coordenadas no reducido (máximo) para especificar la posición y orientación de cada cuerpo en el sistema.

Figura 4.32. Coordenadas generalizadas cartesianas correspondientes al cuerpo i. Si el mecanismo plano está formado por nb componentes móviles, el vector de coordenadas

generalizadas del sistema lo representaremos mediante TT T T

1 2 nb, , , q q q q . Ya que los

cuerpos rígidos que forman el mecanismo están interconectados mediante pares cinemáticos, existirán ecuaciones de restricción que relacionarán las coordenadas generalizadas. Por lo tanto, las coordenadas generalizadas cartesianas son generalmente dependientes (no independientes). Una restricción cinemática entre dos cuerpos impone condiciones sobre el movimiento relativo entre ellos. Cuando esas condiciones están expresadas como ecuaciones algebraicas en función de las coordenadas generalizadas, se les denomina ecuaciones de restricción cinemáticas holonómicas. Un sistema de nh ecuaciones de restricción cinemáticas holonómicas que no dependen explícitamente del tiempo se puede expresar como:

TK K K1 nh( ) ( ), , ( ) q q q 0. Este tipo de restricciones se les denomina

restricciones estacionarias.


56

Si el tiempo aparece explícitamente, como en el caso de acoplamientos cinemáticos dependientes del tiempo, K( ,t) q 0, donde trepresenta el tiempo, a las restricciones se

les denomina restricciones dependientes del tiempo. Existe un tipo de ecuaciones de restricción más generales que contienen desigualdades en función de componentes de velocidad que se denominan restricciones no holonómicas. En estas notas de clase se utilizará el término restricción para referir restricciones holonómicas, a no ser que se indique lo contrario. La base analítica del análisis cinemático ayudado por ordenador consiste en una biblioteca de pares que restringen el movimiento de un cuerpo o el movimiento relativo de un par de cuerpos. Se deben obtener ecuaciones algebraicas de restricción que sean equivalentes a los pares físicos existentes. Si nc nh , es decir si el número total de coordenadas es superior al número de ecuaciones de restricción holonómicas, estas ecuaciones de restricción no son suficientes en número para determinar q. Este suele ser la situación más usual, ya que un sistema

mecánico normalmente ha sido designado para permitir el movimiento, lo cual le distingue de una estructura, cuya función es transmitir cargas y evitar el movimiento. Si las restricciones son consistentes e independientes, entonces se dice que el sistema tiene movilidad igual a nc nh , es decir M nc nh . Para determinar el movimiento de un sistema, el ingeniero debe definir: (1) o bien un número M de condiciones adicionales de conducción que permitan unívocamente determinar (t)q algebraicamente (análisis cinemático); (2) o bien las fuerzas que actúan sobre el

sistema, en cuyo caso (t)q es la solución de las ecuaciones diferenciales del movimiento

(análisis dinámico). Si se han especificado un númeroM de restricciones de conducción independientes, que se representarán mediante D( ,t) q 0, será posible determinar la configuración del sistema

como una función del tiempo. Es decir, las restricciones combinadas

K

D

( )( ,t)

( ,t)

qq 0

q Ec. 3.1.4

podrán resolverse para obtener (t)q . De un sistema de este tipo se dirá que es un sistema

conducido cinemáticamente. Si se supone que se han utilizado métodos numéricos para resolver el sistema de ecuaciones previo y obtener q para instantes de tiempo discretos, ya que q no se conoce

explícitamente como función del tiempo, no podrá diferenciarse para obtener qo q. Una

alternativa que es adecuada para obtener valores numéricos, consiste en utilizar la regla de la cadena de la diferenciación y evaluar las derivadas de ambos miembros de la ecuación vectorial de las restricciones con respecto al tiempo para obtener la ecuación de velocidad: q tq 0

ó

q tq Ec. 3.1.9

Si q

es una matriz no singular, esta ecuación vectorial se podrá resolver y obtener los

valores de q en instantes discretos de tiempo.

De forma similar, ambos miembros de la ecuación anterior se pueden diferenciar con respecto al tiempo, utilizando de nuevo la regla de la cadena, para obtener:


57

t( ) q q q q tq ttq q q q q

donde con el fin de aplicar la regla de la cadena todas las variables se consideran independientes, en particular qq 0. Ya que

t t q q, este resultado se puede

reordenar para obtener la ecuación de aceleración.

t( ) 2 q q q q ttq q q q Ec. 3.1.10

Si q

es una matriz no singular, esta ecuación vectorial se podrá resolver y obtener los

valores de q en instantes discretos de tiempo.

La matriz q

que aparece en las ecuaciones de velocidad y aceleración juega un papel

fundamental en la teoría y métodos numéricos de la cinemática y de la dinámica de mecanismos. Se le denomina matriz jacobiana, o simplemente jacobiano. Aunque podría ensamblarse fácilmente usando las definiciones del cálculo matricial desarrollado, se ensamblará de una forma sistemática para cada una de las restricciones que se consideran mas tarde en este capítulo. Sin ninguna duda, esta matriz es la más importante matriz que se utiliza en la cinemática y dinámica de los sistemas mecánicos restringidos. La evaluación de los segundos miembros de la ecuación de aceleración necesita el calculo de derivadas segundas. Para ser mas específicos:

2i

tt 2

nhx1

2i

t

j nhxnc

t

q t

q

y

2nc nci i

k kk 1 k 1j k j kncxnc ncxnc

( ) ( q ) qq q q q

q qq

Los Ejemplos 1 (3.1.1) y 2 (3.1.2), aunque tratan mecanismos elementales, ilustran una aproximación que se utiliza a lo largo del texto para la formulación y solución de las ecuaciones cinemáticas de los sistemas mecánicos generales. El resto del tema se dedica a la derivación de una biblioteca de restricciones cinemáticas entre pares de cuerpos que se podrán utilizar para ensamblar las ecuaciones cinemáticas de un amplio rango de clases de mecanismos y máquinas. A las ecuaciones de restricción cinemáticas resultantes se les acoplarán las restricciones de conducción que determinarán de forma única el movimiento del sistema. Como una ayuda adicional en la interpretación de los desarrollos que siguen, el alumno debe tener en cuenta el objetivo del análisis cinemático ayudado por ordenador es la creación de un método sistemático para la formulación y resolución de las ecuaciones cinemáticas que pueda implementarse en un computador digital. Solo si se adopta un planteamiento sistemático podrá el ingeniero delegar en el computador el arduo trabajo de la derivación analítica relacionada con el análisis. Es este objetivo el causante de la aparición de matrices excesivamente grandes, como las que se encuentran en el Ejemplo 2 (3.1.2). El lector debería tener en cuenta que la matriz Jacobiana q

, obtenida para el

mecanismo deslizadera manivela, contiene muchos ceros y unos. Esta estructura elemental se explota para resolver de forma eficiente las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del análisis cinemático.


58

5.3.3. Restricciones Absolutas. En esta sección se desarrollan las ecuaciones correspondientes a las restricciones que pueden existir entre un cuerpo móvil y el cuerpo fijo. Estas ecuaciones de restricción estarán expresadas únicamente en función de las coordenadas generalizadas de un solo cuerpo. Se consideran tres tipos de restricciones: la restricción distancia absoluta, la restricción posición absoluta, y la restricción angular absoluta. En muchos mecanismos, el movimiento de un cuerpo está restringido con respecto al cuerpo fijo, es decir respecto al sistema de referencia x y estacionario. En este caso, las

ecuaciones de restricción deberán expresarse como relaciones entre las coordenadas generalizadas correspondientes a un único cuerpo, al no existir ningún cuerpo adicional en movimiento.


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5.3.4. Restricciones Relativas. En esta sección se desarrollan las ecuaciones correspondientes a las restricciones mas habituales que pueden existir entre dos cuerpos móviles que están conectados mediante pares. Estas ecuaciones de restricción estarán expresadas únicamente en función de las coordenadas generalizadas correspondientes a los dos cuerpos. La técnica empleada para la formulación de las ecuaciones de restricción cinemáticas correspondientes a los pares que se consideran es esta sección, se podrá aplicar para la formulación de las ecuaciones correspondientes a otros tipos de pares. Se insiste en que el objetivo de cada par de los considerados es definir un conjunto de ecuaciones de restricción algebraicas que sean “equivalentes al par físico”. Es importante que las ecuaciones empleadas impliquen a las restricciones de posición relativa y orientación impuestas por el par físico, para que dicho par este adecuadamente representado por esas ecuaciones. Se insiste en que es fácil escribir ecuaciones están implicadas por la geometría de la par, pero que no implican dicha geometría. Si se definen de esta forma, el modelo computacional no representará la cinemática del sistema real, y además aparecerán dificultades numéricas en el proceso de solución. Se consideran tres conjuntos de restricciones. Un primer conjunto denominado restricciones relativas en coordenadas, que incluye: (1) la restricción relativa en x; (2) la restricción relativa en y; (3) la restricción relativa en ángulo; y (4) la restricción distancia relativa. Se proporcionan algunos ejemplos. Un segundo conjunto que corresponde a los pares giratorio y prismático. En este caso se indica que para tratar con restricciones complejas entre cuerpos, resulta de utilidad dibujar figuras que ayuden en el desarrollo de las ecuaciones vectoriales que definen las restricciones. Se proporcionan algunos ejemplos. Las restricciones descritas en la sección previa imponen restricciones en el movimiento de un único cuerpo respecto al cuerpo fijo. En muchos sistemas cinemáticos, las restricciones están definidas sobre la posición y orientación relativa de dos cuerpos que están conectados por pares cinemáticos. En esta sección, se fórmulas las restricciones correspondientes a los pares cinemáticos mas comúnmente utilizados. La técnica que se emplea para formular las ecuaciones de restricción cinemáticas para esos pares puede ser utilizada en la mayoría de los pares de propósito especial que se utilizan comúnmente. El objetivo para cada par de los considerados es definir un conjunto de ecuaciones algebraicas de restricción que sean equivalentes al par físicamente definido. Ya que el par físico va a ser representado por ecuaciones de restricción, es importante que las ecuaciones empleadas impliquen directamente las restricciones sobre posición y orientación impuestas por el par físico. Es fácil formular ecuaciones que se deducen a partir de la geometría de par, pero a partir de las cuales no tiene porque deducir exactamente la geometría de dicho par. Si se comete este error, el modelo computacional fallará al representar la cinemática física real, y aparecerán dificultades numéricas.


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5.4. Análisis Cinemático mediante el MER. En esta sección se desarrollan las ecuaciones que definen la posición, velocidad y aceleración de un sistema mecánico en el plano, y se discuten aspectos relacionados con su utilización. Se utilizan mecanismos elementales para ilustrar la formulación y solución de dichas ecuaciones. Se indica que las restricciones cinemáticas que se estudiaron en las secciones previas, junto con las restricciones de conducción, proporcionan los fundamentos analíticos para el análisis de la posición, velocidad y aceleración de los sistemas mecánicos planos. En esta sección se presenta la forma de las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración, y se indica el procedimiento computacional para resolverlas. Respecto al análisis de posición, las restricciones cinemáticas formuladas, proporcionan la definición geométrica del movimiento que puede tener el mecanismo. Se indica la forma matricial de ensamblarlas. A continuación, respecto a las restricciones de conducción, se indica como ensamblarlas, que son dependientes del tiempo, y que representan los orígenes del movimiento que posee el sistema. Se suponen que el número de restricciones de conducción será igual al número de grados de libertad del sistema físico. Se indica que tanto las restricciones cinemáticas, como las de conducción, han de ensamblarse en forma matricial. Se recuerda que el objetivo del análisis de posición es resolver esas ecuaciones, obteniendo el vector de coordenadas generalizadas del sistema en función del tiempo. Se indica que al ser estas ecuaciones no lineales, encontrar una solución analítica es generalmente imposible, y que es fácil formular un conjunto de restricciones cinemáticas y de conducción para el sistema que no se pueda satisfacer físicamente, con lo que el sistema no tendrá solución desde un punto de vista matemático. Por lo tanto, un análisis de posición debe considerar seriamente cuestiones tales como la existencia de soluciones, así como los métodos numéricos que deben emplearse para resolver las ecuaciones. Se insiste en que es sorprendentemente sencillo inadvertidamente incluir restricciones redundantes en un modelo, especialmente para los sistemas espaciales, por lo que es necesario disponer de métodos computacionales para comprobar que con las restricciones consideradas el sistema se puede ensamblar, es decir, para asegurar que las restricciones son consistentes. Una forma de comprobar este extremo consiste en calcular el rango del Jacobiano de las restricciones, si este coincide con el número de ecuaciones de restricción, el sistema será consistente y no existirán restricciones en exceso. Se insiste en que el Jacobiano resulta ser un elemento fundamental en la resolución de la resolución de las ecuaciones de posición y en la determinación de las configuraciones singulares. Se indica que el método más comúnmente utilizado en la resolución de las ecuaciones no lineales de posición, sigue siendo el Método de Newton-Raphson. Se recuerda que se trata de una técnica iterativa que comienza con una estimación de la configuración del sistema, y para cada iteración se resuelve un sistema de ecuaciones lineal, que proporciona una estimación mejorada de la configuración del sistema, y que este proceso iterativo continua hasta que se alcanza la precisión deseada. Por otra parte se indica que el método de Newton-Raphson posee la atractiva propiedad que es convergente cuadráticamente; es decir, el error en la solución en una determinada iteración es proporcional al cuadrado del error en la iteración precedente. Sin embargo, el método puede diverger si se ha proporcionado una mala estimación inicial de la posición de todos los cuerpos del sistema, o si no existe solución de las ecuaciones cinemáticas. Se insiste en que si el método de Newton-Raphson no converge, se puede interpretar como que el mecanismo especificado no puede ensamblarse físicamente. Sin embargo, ya que el método puede también diverger debido a una mala estimación inicial, se necesita disponer de algún otro método robusto para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, que permita asegurar sin lugar a dudas que el mecanismo especificado no puede ensamblarse. Una de esas técnicas consiste en buscar un vector de coordenadas generalizadas en el instante inicial que minimice el error en el cumplimiento de las ecuaciones de restricción y que este tan cerca como sea posible de la estimación inicial dada. Esta técnica se utiliza en el programa Mechanica, proporcionando una valiosa herramienta para el ensamblado de un mecanismo, o para descubrir que un determinado diseño no puede ser ensamblado. Con respecto al análisis de velocidad, se indica que suponiendo que la matriz Jacobiana es no singular y que numéricamente se ha obtenido una solución de las ecuaciones de restricción cinemáticas, matemáticamente es posible asegurar (mediante el teorema de la


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función implícita) que van a existir soluciones para la velocidad y la aceleración del sistema. Se indica que la ecuación de velocidad se obtiene derivando ambos miembros de la ecuación de posición respecto al tiempo, y que es costumbre reordenarla de forma que en el primer miembro quede el producto de la matriz jacobiana por el vector de coordenadas generalizadas. Con lo que el segundo miembro de la ecuación de velocidad se puede ensamblar utilizando los segundos miembros de las ecuaciones de velocidad para las restricciones cinemáticas y de conducción que existen en el sistema. Por último, con el fin de poner en práctica todos estos conceptos, se proporciona un ejemplo de un mecanismo sencillo De la misma forma que las ecuaciones de velocidad se obtuvieron diferenciando las ecuaciones cinemáticas, para obtener la ecuación de aceleración es necesario derivar con respecto al tiempo ambos miembros de la ecuación de velocidad. De nuevo el segundo miembro de esta ecuación puede ensamblarse utilizando los segundos miembros de las ecuaciones de aceleración para las restricciones. De nuevo el Jacobiano de las restricciones juega un papel fundamental en el análisis de aceleración. Con el fin de aprender a manejar los conceptos presentados en esta sección, se realiza la formulación y resolución completa de un análisis cinemático sobre tres ejemplos. Estos ejemplos son: el péndulo simple, el mecanismo deslizadera-manivela, y el mecanismo cuadrilátero articulado


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5.4.1. ANALISIS DE POSICION (1) COORDENADAS GENERALIZADAS El vector de coordenadas generalizadas cartesianas correspondiente al cuerpo ien un sistema de cuerpos rígidos, es:

T

i i i , q r

donde T

i ix, yr representa las coordenadas globales o el vector de posición del origen

del sistema de referencia i ix' y' fijo con el cuerpo; y i representa el ángulo que forma

este sistema de referencia con el sistema de referencia global x y .

El conjunto compuesto de coordenadas generalizadas para el sistema completo es:

TT T T1 2 nb, , , q q q q

donde nb es el número de cuerpos móviles en el sistema. (2) RESTRICCIONES Las restricciones cinemáticas formuladas en secciones anteriores proporcionan la definición geométrica del movimiento permitido de un sistema. Para un sistema en particular, esas restricciones se pueden escribir en forma matricial como:

TK Knh( ) ( ) , , ( )

q q q 0 Ec. 3.6.1

donde q representa al vector de las nc coordenadas generalizadas definidas en el sistema, y nh es el número de ecuaciones de restricción holonómicas. Además de las restricciones cinemáticas, las restricciones de conducción se pueden ensamblar en forma matricial resultando:

TD D DDOF( ,t) ( ,t) , , ( ,t)

q q q 0 Ec. 3.6.2

Estas ecuaciones dependen del tiempo y son las que representan el movimiento a que está sometido el sistema. Se supone que el número de restricciones de conducción que aparecen en la Ec. 3.6.2 es igual al número de grados de libertad del sistema físico, y que nh DOF nc . En este caso, las Ecs. 3.6.1 y 3.6.2 formarán un sistema de nc ecuaciones con nc incógnitas. Ensamblando las restricciones cinemáticas y las de conducción en forma matricial, el sistema de ecuaciones de restricción completo es:

K

D

nx 1

( )( ,t)

( ,t)

qq 0

q Ec. 3.6.3

El objetivo del análisis de posición es resolver este sistema de ecuaciones con el fin de obtener el vector q como función del tiempo. Al ser estas ecuaciones no lineales,

encontrar una solución analítica es generalmente imposible. Además, es fácil formular un conjunto de restricciones cinemáticas y de conducción para el sistema que no se puede satisfacer físicamente, con lo que el sistema no tendrá solución desde un punto de vista matemático. Un análisis de posición debe considerar seriamente cuestiones tales como la existencia de soluciones para la Ec. 3.6.3, así como los métodos numéricos que deben emplearse para resolverla cuando existen soluciones


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(3) JACOBIANO DE LAS RESTRICCIONES El Jacobiano resulta ser un elemento fundamental en la resolución de la Ec. 3.6.3 y en la determinación de las configuraciones singulares:

i

j nx nc

( ,t)( ,t)

q

q

qq Ec. 3.6.4

A pesar que el Teorema de la Función Implícita proporciona condiciones concretas bajo las cuales va a existir una solución de las ecuaciones cinemáticas, sin embargo, no proporciona un método para construir analíticamente dicha solución. La condición de que el Jacobiano de la Ec. 3.6.4 sea no singular como condición suficiente para la existencia de una solución de las ecuaciones cinemáticas, se puede utilizar para comprobar el acercamiento a configuraciones singulares asociadas con bloqueos en un mecanismo, hecho que se puede interpretar matemáticamente como pérdida de la existencia física de una solución. Además de ser una herramienta teórica muy valiosa, el Jacobiano de las restricciones, Ec. 3.6.4, juega un papel fundamental en la solución numérica de las ecuaciones cinemáticas. El método más comúnmente utilizado en la resolución de ecuaciones no lineales de la forma de las Ecs. 3.6.3, es el Método de Newton-Raphson. El método de Newton-Raphson es una

técnica iterativa que comienza con una estimación (0)q de una configuración que satisfaga la

Ec. 3.6.3 en el tiempo t. Para la iteración genérica k, se resuelve la siguiente ecuación

para obtener una corrección (k)q :

(k) (k) (k)( ,t) ( ,t) q qq q q Ec. 3.6.7

que seguidamente se suma a la estimación (k)q para obtener una estimación mejorada; es

decir, (k 1) (k) (k) , k=0,1,... q q q Ec. 3.6.8

El proceso iterativo continúa hasta que se alcanza la precisión deseada. El método de Newton-Raphson posee la atractiva propiedad que es convergente cuadráticamente; es decir, el error en la solución en una determinada iteración es proporcional al cuadrado del error en la iteración precedente. Sin embargo, el método puede diverger si se ha proporcionado una mala estimación inicial de la posición de todos los cuerpos del sistema, o si no existe solución de las ecuaciones cinemáticas. Existe una relación muy estrecha entre el teorema de la función implícita, que indica la necesidad de que el Jacobiano sea no singular, y el requerimiento que el Jacobiano sea no singular al resolver las ecuaciones de Newton-Raphson, Ecs. 3.6.7. Si el método de Newton-Raphson no converge, se puede interpretar como que el mecanismo especificado no puede ensamblarse físicamente. Sin embargo, ya que el método puede también diverger debido a una mala estimación inicial, se necesita disponer de algún otro método robusto para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, que permita asegurar sin lugar a dudas que el mecanismo especificado no puede ensamblarse. Una de esas técnicas consiste en buscar un vector qde coordenadas generalizadas en el instante 0t que minimice el error en

el cumplimiento de las ecuaciones de restricción y que este tan cerca como sea posible de la estimación inicial dada (0)q . Una de estas técnicas consiste en minimizar

sucesivamente:

(0) T (0) T0 0 0( ,t ,r) ( ) ( ) r ( ,t ) ( ,t ) q q q q q q q Ec. 3.6.9

incrementando los valores del parámetro r 0 de forma que se vayan cumpliendo las ecuaciones de restricción cada vez con mas exactitud. Esta técnica de minimización proporciona un valiosa herramienta para el ensamblado de un mecanismo, o para descubrir que un determinado diseño no puede ser ensamblado. Si este método de optimización converge


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a medida que el valor de rse va incrementando, a un valor de q para el que la Ec. 3.6.3

no se cumple, el ingeniero debe darse cuenta que el mecanismo no puede ensamblarse.

5.4.2. ANALISIS DE VELOCIDAD Suponiendo que la matriz Jacobiana, Ec. 3.6.4, es no singular y que numéricamente se ha obtenido una solución de las ecuaciones de restricción cinemáticas, el teorema de la función implícita garantiza que van a existir soluciones para la velocidad y la aceleración del sistema. El desafío consiste en calcular esas cantidades numéricamente. Ya que la Ec. 3.6.3 se ha de verificar para todo instante de tiempo, si se diferencian ambos miembros con respecto al tiempo y se reordena el resultado, se obtienen la ecuación de velocidad:

q tq Ec. 3.6.10

Ya que el Jacobiano de las restricciones es no singular, esta ecuación permite determinar

de forma unívoca la velocidad q. Este cálculo computacional es eficiente, así como

directo, ya que el Jacobiano ya ha sido construido y factorizado cuando se resolvieron las ecuaciones de posición utilizando el método de Newton-Raphson, Ec. 3.6.7. El segundo miembro de la ecuación de velocidad, Ec. 3.6.10, se puede ensamblar utilizando los segundos miembros de las ecuaciones de velocidad para restricción cinemática y de conducción que existe en el sistema, y que se desarrollaron en las secciones correspondientes del tema anterior.

5.4.3. ANALISIS DE ACELERACION De la misma forma que las ecuaciones de velocidad, Ec. 3.6.10, se obtuvieron diferenciando las ecuaciones cinemáticas, Ec. 3.6.3, para obtener las ecuaciones de aceleración es necesario diferenciar ambos miembros de la Ec. 3.6.10, con lo que se obtiene:

t( ) 2 q q q q ttq q q q Ec. 3.6.11

Estas ecuaciones permiten obtener la aceleración q. De nuevo el segundo miembro de la

ecuación de aceleración, Ec. 3.6.11, debe ensamblarse utilizando los segundos miembros de las ecuaciones de aceleración para las restricciones que se desarrollaron en las secciones correspondientes del tema anterior. Téngase en cuenta, que como sucedía en la ecuaciones de velocidad, el Jacobiano de las restricciones juega un papel fundamental en el análisis de aceleración. El segundo miembro de la Ec. 3.6.11 puede calcularse una vez que se ha obtenido la solución para las velocidades, haciendo posible un cálculo computacional eficiente y directo de la aceleración. Para ilustrar el procedimiento a seguir, en la siguiente sección se lleva a cabo un análisis cinemático de los mecanismos planos CUADRILATERO ARTICULADO (CA) y TRIANGULO DE LADO VARIABLE (TLV).

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