MODULO MATEMTICA CICLO V GRADO DECIMO

I.E. CRDENAS CENTRO

MDULO DE MATEMTICA

CICLO V GRADO DCIMO

TABLA DE CONTENIDOpg.UNIDAD 11.NGULOS Y MEDIDAS DE NGULOS6

1.1.DE ACUERDO CON SU AMPLITUD6

1.2.EN FUNCIN DE SU POSICIN7

1.2.1.ngulos consecutivos. Los que tienen un lado y el vrtice comn.7

1.2.2.ngulos opuestos por el vrtice8

1.2.3.ngulos formados por dos paralelas y una transversal9

2.SISTEMAS DE MEDIDAS DE NGULOS13

2.1.EL RADIN13

2.2.EL GRADO SEXAGESIMAL13

2.3.EL GRADO CENTESIMAL14

3.APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE THALES Y DE PITGORAS18

3.1.TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS (TEOREMA DE THALES)18

3.2.TEOREMA DE PITGORAS18

PRUEBA TIPO ICFES 21UNIDAD 21.RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDO EN UN TRINGULO RECTNGULO25

1.1.EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS BSICAS25

1.1.1.El seno26

1.1.2.El coseno26

1.1.3.La tangente27

1.1.4.La cotangente27

1.1.5.La secante27

1.1.6.La cosecante27

2.FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA LOS NGULOS ESPECIALES28

2.1.NGULO DE 4528

2.2.NGULOS DE 30 Y 6028

3.SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS SEGN LOS CUADRANTES30

3.1.PRIMER CUADRANTE30

3.2.SEGUNDO CUADRANTE30

3.3.TERCER CUADRANTE31

3.4.CUARTO CUADRANTE31

4.CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS31

4.1.APLICACIN GEOMTRICA33

4.2.APLICACIONES TRIGONOMTRICAS EN INGENIERA34

4.3.APLICCIONES TRIGONOMTRICAS EN TOPOGRAFA35

4.4.APLICACIONES TRIGONOMTRICAS EN NAVEGACIN36

4.5.APLICCIONES TRIGONOMTRICAS EN METEOROLOGA37

5.DOMINIO Y RANGO DE CADA FUNCIN TRIGONOMTRICA39

5.1.DOMINIO DE UNA FUNCIN39

5.2.RANGO DE UNA FUNCIN39

5.3.ELABORACIN DE LA GRFICA DE CADA FUNCIN TRIGONOMTRICA40

5.3.1.La funcin seno40

5.3.2.La funcin cosecante40

5.3.3.La funcin coseno40

5.3.4.La funcin secante40

5.3.5.La funcin tangente40

5.3.6.La funcin cotangente41

5.3.7.Propiedades de las funciones trigonomtricas41

5.3.8.Funciones circulares recprocas41

PRUEBA TIPO ICFES 42UNIDAD 31.SOLUCIN DE TRINGULOS OBLICUNGULOS45

1.1.TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO45

1.1.1.Teorema del seno45

1.1.2.Teorema del coseno48

2.IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALES51

2.1.COMPROBACIN DE IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS52

2.1.1.Por similitud con alguna frmula53

2.1.2.Pasando a senos y cosenos54

2.1.3.Despejando las formulas54

2.1.4.Binomios conjugados55

3.SOLUCIN DE ECUACIONES TRIGONOMTRICAS57

4.FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE NGULOS, NGULOS DOBLES Y NGULOS MEDIOS59

4.1.FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE NGULOS59

4.2.NGULOS DOBLES Y NGULOS MEDIOS60

4.2.1.ngulos dobles60

4.2.2.ngulos medios60

PRUEBA TIPO ICFES 62UNIDAD 41.DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO66

1.1.DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO66

1.2.COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO67

2.LA LINEA RECTA, PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA69

2.1.ECUACIN GENERAL DE LA RECTA69

2.1.1.Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos70

2.1.2.Ecuacin de la recta dados puntopendiente71

2.2.ECUACIN PRINCIPAL DE LA RECTA71

2.3.PENDIENTE DE UNA RECTA73

3.RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES75

4.ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA75

5.ESTUDIO DE LAS SECCIONES CNICAS: PARBOLA, ELIPSE E HIPRBOLA78

5.1.PARBOLA78

5.1.1.Ecuaciones de la parbola78

5.1.2.Ecuacin involucrando la distancia focal79

5.1.3.Ecuacin general de una parbola81

5.1.4.Aplicaciones81

5.2.ELIPSE82

5.2.1.Elementos de una elipse82

5.2.1.1.Puntos de una elipse82

5.2.1.2.Ejes de una elipse82

5.2.1.3.Excentricidad de una elipse83

5.2.1.4.Excentricidad angular de una elipse83

5.2.1.5.Constante de la elipse83

5.2.1.6.Directrices de la elipse84

5.2.2.Ecuaciones de la elipse84

5.2.2.1.En coordenadas cartesianas84

5.2.2.2.En coordenadas polares85

5.2.3.Aplicaciones86

5.3.HIPRBOLA87

5.3.1.Ecuaciones de la hiprbola87

5.3.1.1. Ecuaciones en coordenadas cartesianas87

5.3.1.2. Ecuaciones en coordenadas polares88

5.3.1.3. Ecuaciones paramtricas89

5.3.2. Aplicaciones en el mundo real89

PRUEBA TIPO ICFES90

BIBLIOGRAFA96

UNIDAD 11. NGULOS Y MEDIDAS DE NGULOSUn ngulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen

el mismo punto de origeno vrtice. Suelen medirse en unidades tales como el radin, el grado sexagesimal o el grado centesimal.1.1. DE ACUERDO CON SU AMPLITUDTipoDescripcin

ngulo nuloEs el ngulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0.

ngulo agudoEs el ngulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rady menorde rad.Es decir, mayor de 0 y menor de 90 ( grados sexagesimales), o menor de100g (grados centesimales).

ngulo rectoUn ngulo recto es de amplitud igual a radEs equivalente a 90 sexagesimales (o 100g centesimales).Los os lados de un ngulo recto son perpendiculare entre s.La proyeccin ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vrtice.

ngulo obtusoUn ngulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a radMayor a 90 y menor a 180 sexagesimales (o ms de 100g y menos de200g centesimales).

ngulo llano, extendido o colinealEl ngulo llano tiene una amplitud de radEqui alente a 180 sexagesimales (o 200g centesimales).

ngulo oblicuongulo que no es recto ni mltiplo de un ngulo recto. Los ngulos agudos y obtusos son ngulos oblicuos.

ngulo completo o perigonalUn ngulo completo o perigonal, tiene una amplitud de radEqui alente a 360 sexagesimales (o 400g centesimales).

ngulo convexoo salienteEs el que mide menos de rad.Equi ale a ms de 0 y menos de 180 sexagesimales (o ms de 0g y menos de200g centesimales).

ngulo cncavo, reflejo o entranteEs el que mide ms de rad y menos de rad.Esto es, ms de 180 y menos de 360 sexagesimales (o ms de 200g y menos de400g centesimales).

1.2. EN FUNCIN DE SU POSICIN1.2.1. ngulos consecutivos. Los que tienen un lado y el vrtice comn. Se dividen en:Dos ngulos son complementarios si la s + son complementarios + = 90

ma de sus medidas es 90

Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180 + son suplementarios + = 180Dos ngulos son adyacentes si tienen un lado en comn y los otros dos estn en la misma recta.a es adyacente con b A, B, C son colineales (estn en la misma recta), BD lado comn para a y bLos ngulos adyacentes son suplementarios.

ngulos conju ados se denomina a dos ngulos cuyas edidas suman 360 (grados sexagesimales).Dos ngulos conjugados con vrtices coincidentes, tendrn sus lados comunes.As, para obtener el ngulo conjugado de quetiene una amplitud de 250, se restar de 360: = 360 2 0 = 110El ngulo (beta) es el conjugado de (alfa).360 grados sexagesimales equivalen a2 radianes, o 400 grados centesimales.

1.2.2. ngulos opuestos por el vrtice. Aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas. Como ya vimos, por definicin, un ngulo es una figura geomtrica formada en una superficie por dos lneas rectas que parten de un mismo punto. Fijando nuestra atencin en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes (que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ngulos. Cada ngulo tiene dos lados y un vrtice.Esta construccin en el plano nos permite relacionar entre s los ngulos as formados.Son los ngulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vrtice (V). es opuesto por el vrtice con es opuesto por el vrtice con Como podemos verificar en la figurvrtice son iguales

: Los ngulos opuestos por el1.2.3. ngulos formados por dos paralelas y una transversal. ngulos determinados por dos rectas paralelas yuna secante.Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ngulos: Esta distribucin numrica nos permite carecterizar parejas de ngulossegn su posicin, haciendo notar que los ngulos 3, 4, 5 y 6son interiores (o internos) y que los ngulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores(o externos) respecto a las rectas:ngulos internos (3, 4, 5 y 6). Los ngulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180)

ngulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180)ngulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180)

ngulos externos (1, 2, 7 y 8). Los ngulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios.

ngulos 1 y 7 son suplementarios (suman 190)ngulos 2 y 8 son suplementarios (suman 80)

ngulos correspondientes. Son aquellos que estn al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de latransversal.

1 y 5 son ngulos correspondientes(iguales), 1 = 52 y 6 son ngulos correspondientes(iguales) 2 = 63 y 7 son ngulos correspondientes(iguales) 3 = 74 y 8 son ngulos correspondientes(iguales) 4 = 8

Esta relacin da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ngulos correspondientes es congruente entre s.

ngulos alternos internos. Son aquellos ngulos interiores que estn a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

3 y 6 son ngulos alternos internos 3 = 64 y 5 son ngulos alternos internos 4 = 5

Esta relacin da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ngulos alternos internos es congruente entre s.

ngulos alternos externos. Son aquellos ngulos exteriores que estn a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

1 y 8 son ngulos alternos externos 1 = 82 y 7 son ngulos alternos externos 2 = 7

Esta relacin da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ngulos alternos externos es congruente entre s.

EJERCICIOSEjercicio 1Si

calcular:

Ejercicio 2Si bisectrizdel , calcular

Ejercicio 3)Si

encuentre la medida de

Ejercicio 4)En la figura, , entonces cul(es) de las siguientes relaciones son siempre verdaderas:

Alternativasa) solo I b) solo II c) solo III d) I, II y III e) I y II2. SISTEMAS DE MEDIDAS DE NGULOSLos sistemas de medidas de ngulos son: el radin, el grado sexagesimal o el grado centesimal.2.1. EL RADIN

El radin es la unidad de ngulo plano en el Sistema Internacional de Unidades.Represe

ta el ngulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud esigual a la del radio. Su smbolo es rad.Hasta 1995 tuvo la categora de unidad suplementaria

n el Sistema Internacional deUnidades, junto con el estereorradin. A partir de ese ao, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en a la categora de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en Fsica, clculo infinitesi trigonometra, goniometra, etc.

al,El ngulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual ala longitud del arco que delimitan los radios; es decir, = s /r, donde es ngulo, esla longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ngulo completo, , que sustiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

El radin es una unidad sumamente til para medir ngulos, puesto que simplific

los clculos, ya que los mscomunes se expresan mediante se2.2. EL GRADO SEXAGESIMAL

cillos mltiplos o divisores de .Un grado sexagesimal es el ngulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia. Es la nonagsima (1/90) parte de un ngulo recto.El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ngulos sexagesimal, est definido partiendo de que un ngulo recto tiene 90 (90 grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, estn definidos del siguiente modo:1 ngulo recto = 90 (grados sexagesimales).1 grado sexagesimal = 60 (minutos sexagesimales).1 minuto sexagesimal = 60 (segundos sexagesimales).Notacin decimal. Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de lafraccionaria con la coma decimal, se divide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales, lo que se busca es transformar en minuto y el segundo nmeros decimales, por ejemplo.23,234512,32-50,265123,696Notacin sexagesimal. Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:1234 34133 23,812445 34,70-234 10Teniendo cuidado como norma de notacin, no dejar espacio entre las cifras, es decir:escribir 1234 34 y no 12 34 34Podemos tambin representar en forma decimal la medida de un ngulo en representacin sexagesimal teniendo en cuenta que:1 = (1/60) = 0,01666667 (redondeando a ocho dgi tos)1 = (1/60) = (1/3600) = 0,00027778As 1215 23 = 12 + 15(1/60) + 23(1/3600) 12,256392.3. EL GRADO CENTESIMALUn grado centesimal es el ng circunferencia.El grado centesimal, gradogradianes), resulta de dividir un

lo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de lacentgrado o gradin (plural:gulo recto en cien unidades. Lacircunferencia se divide, as, en 400 grados centesimales. Un grado centesimal equivale a nueve dcimos de grado sexagesimal. En las calculadoras suele usarse la abreviatura grad. Se representa como una "g" minscula en superndice colocada tras la cifra. Por ejemplo:12,4574gSus divisores son: 1 grado centesimal = 100 minutos centesimales (100m o 100c) 1 minuto centesimal = 100 segEl grado centesimal surge de la cuatrocientos ngulos iguales, co posee una amplitud 100 grados

ndos centesimales (100s o 100cc)divisin del plano cartesiano en vrtice comn. Cada cuadrante centesimales, y la suma de loscuatro cuadrantes mide 400 grados centesimales.Equivalencia entre grados sexag0 = 0 g90 = 100 g180 = 200 g270 = 300 g360 = 400 gEjemplo

simales y centesimalesLos siguientes valores angulares son equivalentes:23 47' 35" grados sexagesimales23,7931 grados sexagesimales con fraccin decimal26g 43c 67cc gonios con minutos y segundos centesimales26,4367 gonios o grados centesimalesLos minutos y segundos de gonio se corresponden con la fraccin decimal de gonio, cosa que no ocurre con los grados sexagesimales. No deben confundirse los grados centesimales con el uso de fracciones decimales para expresar ngulos en grados sexagesimales.Conversin de ngulos comunesUnidadesValores

Revolucin0

Degradianes030456090180270360

Radines0

Grados0g

50g

100g200g300g400g

La equivalencia entre grados sLa equivalencia entre grados cLa tabla muestra la conversin de l

xagesimales y radianes es: rad = 180ntesimales y radianes es: rad = 200gs ngulos ms comunes.

Grados03045609012013515018021022524070300315330360

Radianes0/6/4/3/22/33/45/67/65/44/3/25/37/411/62

TABLA DE CONVERSIN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

EJEMPLOS:Ejemplo AConvertir 38 a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Ntese que la x va arriba, en la posicin de los radianes.

Despejamos x, tambin simplificamos.EJERCICIOS DE APLICACINPor ltimo obtenemos el equivalente decimal:x = 0,6632 radianes.Ejemplo B:Convierte 174713 a notacin decimal.

1. Expresa los siguientes ngulos en grados, minutos y segundos:a) 25,36 b) 46, 78 c) 123,41 d) 75,082. Expresa en sistema decimal los siguientes ngulos: 1 Como 1 = 60, entonces 1

60

a) 453628 b) 1254578 c) 955578 d) 1795936 1 1Tambin: 1

60 3600

3. Halla el suplemento de 1003648Entonces tenemos que:174713 = 17 + 47+ 13

4. Convierta 2,4 radianes a grados.5. Expresa en grados los siguientes ngulos medidos en radianes:= 17

47 1

13 1

8a) b)

32c) d) 3600

2323

= 17 + 0,7833 + 0,0036

6. Expresa en radian

s los siguientes ngulos:= 17,7869

a) 180 b) 45 c) 360 d) 60

3. APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE THALES Y DE PITGORAS3.1. TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS (TEOREMA DE THALES)Si tenemos dos rectas r y s de un plano, y en una de ellas r , tomamos dos segmentos cualesquiera AB ,BC , al trazar por los extremos de estos segmentos rectas paralelas entre s , que corten a la segunda recta s , determinarn en esta otros dos segmentos , proporcionales a los primeros, o sea que se verifica: Si dos rectas de un plano son cortadas por varias paralelas , los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus homlogos de la otra , es decir , la razn entre un segmento y su homlogo es constante.

3.2. TEOREMA DE PITGORASEn un tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2En todo tringulo el cuadrado del lado opuesto a un ngulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l.En todo tringulo el cuadrado del lado opuesto a un ngulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados ms el duplo de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l.Para calcular un cateto en un tringulo rectngulo se sigue la siguiente frmula b2 + c2 = a2

EJERCICIOS. Teorema de Thales

Calcula la longitud de AB en la figura adjuntaCalcula AB en la figura adjuntaUn rbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo sitio, un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del rbol.Teorema de Pitgoras

Calcula la hipotenusa en el tringulo de la figuraCalcula el cateto de C en el tringulo de la figuraCalcula la hipotenusa en un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 6,6 cm y 8,8 cmCalcula la longitud de un cateto en un tringulo rectngulo cuya hipotenusa mide 20 m, y el otro cateto 16 mPRUEBA TIPO ICFESRESPUESTA (TIPO I)Responda las preguntas 1 y 2 de acuerdo a lo siguiente:Con motivo de su aniversario un hipermercado ofrece rebajas de los productos que vende as: 1/3 en carnes, 2/7 en electrodomsticos, 3/5 en frutas y 1/8 en productos de aseo. Adems, por cada $35.000 en compras regala una boleta para participar en la rifa de una motocicleta.1. De acuerdo con la informacin se puede decir que:a) La mayor rebaja est en frutas puesto que 3/5 es el racional con mayor numerador.b) La mayor rebaja est en frutas puesto que 3/5 es el mayor de los racionales.c) La mayor rebaja est en productos de aseo puesto que el racional 1/8 es el que tiene mayor denominador.d) La mayor rebaja est en carnes puesto que 1/3 es mayor que 2/7.2. Si al pagar el mercado, un cliente recibe 17 boletas se puede establecer que:a) Sus compras fueron mayores a $600.000.b) Sus compras estuvieron entre $450.000 y$590.000.c) Sus compras fueron superiores a $600.000.d) Sus compras estuvieron entre $550.000 y$600.000.Responda las preguntas 3 y 4 de acuerdo a lo siguiente:En un juego de computador que tiene seis niveles de dificultad, se obtienen 2000 puntos adicionales cuando al pasar de un nivel a otro no se han cometido fallas. Slo se puede pasar a un nivel superior cuando se ha obtenido un puntaje a favor. En cada nivel se presentan cierto nmero de pruebas y se ganan o pierden puntos dependiendo de las fallas o aciertos as:NivelPuntajeobtenido por cada aciertoPuntajeperdido por cada errorMximopuntaje por nivel

150101000

2100252000

3150753000

42001504000

52502505000

63003756000

3. Teniendo en cuenta la informacin anterior se puede decir que el nmero de pruebas por nivel:

a) Va aumentando a medida que se pasa a un nivel superior.b) Va disminuyendo a medida que se avanza en el juego.c) Es el mismo para todos los niveles.d) Vara dependiendo del nmero de aciertos o errores que se obtienen al finalizar un nivel.4. Si una persona dice a su amigo que en el juego obtuvo un puntaje de 1595 puntos antes de pasar al tercer nivel, entonces, eso quiere decir que:a) Obtuvo el mximo puntaje en los dos primeros niveles y no obtuvo puntos en el tercer nivel.b) Tuvo 7 aciertos en el primer nivel y 15 aciertos en el segundo nivel.c) Tuvo 13 aciertos en el primer nivel y 5 aciertos en el segundo nivel.d) Tuvo 15 aciertos en el primer nivel y 7 aciertos enel segundo nivel.Responda las preguntas 5 a 8 de acuerdo a lo siguiente:El dueo de una fbrica de tanques de agua desea lanzar un nuevo modelo de tanques para el mercado. Pide a varios diseadores que le presenten propuestas con el fin de poder ofrecer un tanque que cumpla con las necesidades de la industria capacidad mxima y volumen mnimo". Los modelos que presentan los diseadores son:

5. Al comparar los volmenes de los tanques 2 y 4 se puede decir que:a) Ambos volmenes son iguales ya que las medidas de los radios de las bases y las alturas son iguales.b) Es mayor el volumen del tanque 2 porque el volumen del cilindro es 4 veces el volumen del cono cuando ambos tienen bases de igual radio.c) El volumen del tanque 2 es mayor, ya que corresponde a tres veces el volumen del cono.d) El volumen del tanque 4 es mayor puesto que elvolumen del cilindro es la tercera parte del volumen del cono.6. La relacin que se puede establecer entre el volumen de los tanques 2 y 3 es:a) V2 = (4/3) V3. c) V3 = (3/4)V2. b) V2 = V3. d) V3 = (4/3) V2.7. De los tanques 3 y 4 se puede decir que:a) V3 = 4 V4. b) V3 = V4. c) V4 = V3. D) V4 = (1/3) V3.8. Teniendo en cuenta que el nmero = 3,1416 es una constante, se puede afirmar que el volumen del tanque con forma de cono es:a) Equivalente al volumen del tanque con forma de cubo.b) Equivalente a /3 del volumen del tanque conforma de cubo.c) Equivalente a 4 /3 del volumen del tanque con forma de cubo.d) Equivalente a veces el volumen del tanque conforma de cubo.Responda las preguntas 9 a 12 de acuerdo a lo siguiente:Para almacenar aceite se utiliza un tanque de forma cilndrica que tiene las siguientes dimensiones:

12. Si se considera el volumen del cilindro constante y dado por la siguiente expresin: V = Abase xh, a medida que aumenta el radio de la base del cilindro, su altura h:a) Aumenta puesto que en la expresin que representa la altura, el radio est en el denominador y es directamente proporcional a la altura.b) Disminuye puesto que en la expresin querepresenta la altura, el radio est en el denominador y es inversamente proporcional a la altura.c) Aumenta puesto que la expresin que representa la altura, el radio est en el numerador y es directamente proporcional a la altura.d) Disminuye puesto que en la expresin que representa la altura, el radio est en el numerador y es inversamente proporcional a la altura.Responda las preguntas 13 a 16 de acuerdo a lo siguiente:Se puede decir en trminos generales en dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y diferente tamao y dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamao.

+ 3)

9. Si el volumen de un cilindro se obtiene multiplicando el rea de la base por la medida de la altura, entonces se puede afirmar que la expresin que representa el volumen del tanque de aceite es:a) y2 + 3 c) y(y + 3)b) y3 + 3y d) y2 (y

Para los tringulos se tienen unos criterios con el fin de poder identificar cuando dos de ellos con semejantes o cuando son congruentes. Se dice que dos tringulos son congruentes cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones:- Tienen sus lados correspondientes congruentes.10. Si el radio de la base es igual a 4 m entonces, el volumen del cilindro es:a) 28 m3 b) 19 m3 c) 76 m3 d) 112 m311. Si el volumen permanece constante y el radio de la base se triplica, entonces se puede afirmar que la altura del cilindro es igual a:a) c) b) d)

- Uno de los ngulos y los lados que forman dicho ngulo son congruentes.- Dos ngulos son congruentes y el lado comn adichos ngulos en los tringulos tambin son congruentes.Se dice que dos tringulos son semejantes si se cumple alguna de las siguientes condiciones:- Tienen dos ngulos congruentes.- Los lados correspondientes de los tringulos son proporcionales.- Tienen dos lados proporcionales y los ngulos formados por los lados proporcionales son congruentes.El concepto de semejanza de tringulos se puede extender a polgonos de ms de tres lados. Podemos decir que dos polgonos son semejantes cuando tienen sus ngulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales.13. De acuerdo con la informacin presentada en el texto no se puede deducir que:a) Dos pentgonos cualesquiera son semejantes.b) Dos cuadrados cualesquiera son semejantes entre s.c) Se pueden encontrar tringulos equilteros que no son semejantes.d) Dos polgonos regulares cualesquiera sonsemejantes.14. De la afirmacin "Dos pentgonos regulares son semejantes entre s" se puede decir que:a) Es cierta puesto que los cocientes entre los lados correspondientes de los dos pentgonos no son iguales.b) Es falsa puesto que los ngulos de los polgonosno son iguales.c) Es falsa puesto que al ser regulares los lados y ngulos de los dos pentgonos son iguales.d) Es cierta puesto que los ngulos son iguales y alcalcular los cocientes de las medidas de lados correspondientes se obtiene el mismo resultado.15. Si se tienen dos tringulos equiltero entonces se puede decir que:a) son semejantes puesto que cumplen con cualquiera de las tres condiciones que se deben cumplir para que dos tringulos sean semejantes.b) Son congruentes puesto que en un tringuloequiltero todos los lados tienen igual medida.c) No son semejantes puesto que slo se debe cumplir una de las condiciones para que se pueda decir que lo sean.d) No son congruentes puesto que los tres ngulos son congruentes.16. Si dos tringulos rectngulos tienen uno de sus ngulos agudos iguales entonces se puede decir que son:a) Congruentes. b) Semejantes.c) Son congruentes y semejantes a la vez. d) No son congruentes ni semejantes.Responda las preguntas 17 a 19 de acuerdo a lo siguiente:

Los 1000 estudiantes de bsica secundaria en un colegio se distribuyen de la siguiente manera:130 en grado sexto275 en grado sptimo328 en grado octavo y267 en grado noveno.17. La grfica que representa correctamente la distribucin de estudiantes de bsica secundaria en el colegio es:a) b)

c) d)

18. El grupo ms representativo de los estudiantes de secundaria en el colegio es:a) Octavo grado por ser el grupo ms numeroso. b) Sexto grado por ser el grupo menos numeroso.c) Sptimo grado por ser el segundo grupo ms numeroso.d) Noveno grado por ser el segundo grupo menosnumeroso.19. Si el departamento de matemticas el colegio est conformado por 6 hombres y 4 mujeres y las edades promedio son respectivamente 40 y 20 entonces se puede afirmar que la edad promedio de los integrantes del departamento de matemticas del colegio es:a) 26 aos b) 30 aos c) 24 aos d) 32 aos20. El siguiente grfico muestra el nmero de multas de trnsito tuvieron que pasar vehculos particulares por infringir la medida del pico y placa" en Bogot, durante una semana del mes de agosto de 2006.

El nmero de multas impuestas en la semana fue:

En una empresa existen tres departamentos: direccin, administracin y ventas. En direccin hay cinco mujeres y15 hombres, en administracin 20 mujeres y 30 hombres yen ventas hay 15 hombres y 15 mujeres.21. Si se desea escoger un representante de todos los empleados para leer las palabras de bienvenida al nuevo presidente de la empresa, la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre es:a) 4/10 b) 2/10 c) 5/10 d)6/1022. La cantidad de hombres y de mujeres que trabajan en la empresa es respectivamente:a) 40 y 60

b) 60 y 40c) 50 y 50 d) 45 y 6523. Para determinar la probabilidad que al seleccionar un empleado sea escogida una mujer que trabaje en el departamento de ventas se debe:a) 200 b) 260 c) 250

d) 245

a) Dividir 15 entre 30 puesto que en el departamento de ventas de los 30 empleados 5 son mujeres.b) Dividir 30 entre 100 puesto que de los 100Responda las preguntas 21 a 23

de acuerdo a lo

empleados de

la empresa 30 estn en elsiguiente:

departamento de ventas.c) Dividir 15 entre 100 puesto que en ventas hay 15 mujeres del total de 100 empleados de la empresa.d) Dividir 15 entre 70 puesto que hay 15 mujeres en el departamento de ventas y 70 empleados que no pertenecen al mismo.UNIDAD 21. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDO EN UN TRINGULO RECTNGULOEn matemticas, Las funciones trigonomtricas son las funciones que se definen a fin de extender la definicin de las razones trigonomtricas a todos los nmeros reales.Dado cualquier tringulo rectngulo ABC, se pueden considerar las siguientes tringulo:

Por lo que podemos afirmar:

razones entre los lados delLas razones dadas en el primer tringulo, no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ngulo yse las llama razones trigonomtriLas Razones trigonomtricas se

as.definen comnmente como el cociente entre dos lados de un tringulorectngulo asociado a sus ngulos. Las funciones trigonomtricas son funciones

uyos valores son extensionesdel concepto de razn trigonomtrica en un tringulo rectngulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones ms modernas las describen como series infinitas o como la solucin de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensin a valores positivos y negativos, e incluso a nmeros complejos.1.1. EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS BSICASLas ltimas cuatro, se definen geomtricamente o por medio de s

en relacin de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir s relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen enlas primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 cos ) y la exsecante (sec 1).FuncinAbreviaturaEquivalencias (en radianes)

Senosin (sen)

Cosenocos

Tangentetan

Cotangentectg (cot)

Secantesec

Cosecantecsc (cosec)

Para definir las razones trigonomtricas del ngulo: , del vrtice A, se parte de un tringulo rectngulo arbitrario que contiene a este ngulo. El nombre de los lados de este tringulo rectngulo que se usar en los sucesivo ser:La hipotenusa (h) es el lado o longitud del tringulo rectngul

uesto al ngulo recto, o lado de mayor. El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ngulo . El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ngulo .Todos los tringulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ngulos internos es igual a radianes (o 180). En consecuencia, en cualquier tringulo rectngulo los ngulos no rectos se encuentran entre 0 y /2 radianes. Las definiciones que se dan a continuacin definen estrictamente las funciones trigonomtricas para ngulos dentro de ese rango:1.1.1. El seno: de un ngulo es la relacin entre la longitud del cateto opuesto y la l

ngitud de la hipotenusa:

El valor de esta relacin no depende del tamao del tringulo rectngulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ngulo , en cuyo caso se trata de tringulos semejantes.1.1.2. El coseno: de un ngulo es la relacin entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

1.1.3. La tangente: de un ngulo es la relacin entre la longitud del cateto opuesto

1.1.4. La cotangente: de un ngulo es la relacin entre la longitud del cateto adyac

la del adyacente:nte y la del opuesto:

1.1.5. La secante: de un ngulo es la relacin entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

1.1.6. La cosecante: de un ngulo es la relacin entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

EJERCICIOS1. Calcular las razones trigonomtricas del tringulo rectngulo de lados 7 cm; 7,4 cm y 2,4 cm. para el ngulo de19.2. Si los rayos del sol forman un ngulo de 65 con el suelo y, la sombra de un mstil es de 86 cm. Cul es la altura del mstil medido en metros?3. Sea el tringulo ACB, rectngulo en C, y sean a, b y c los lados opuestos a los ngulos A, B y C; con b= 12 y c= 13, calcula las razones trigonomtricas de los ngulos A y B.2. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA LOS NGULOS ESPECIALESA veces, necesitamos y podemos calcular algunas razones trigonomtricas para unos determinados ngulos:2.1. NGULO DE 45Tenemos un tringulo rectngulo e issceles (es una de los dos escuadras clsicas). Se calcula la hipotenusa suponiendo los lados iguales b = c y se pueden suponer, sin prdida de generalidad, de valor 1.

2.2. NGULOS DE 30 Y 60Esta es la otra escuadra clsica. Usando esta escuadra, se le adosa otra escuadra, como lo muestra la figura siguiente, y obtenemos un tringulo equiltero, ya que todos sus ngulos miden 60.Como el tamao no afecta a los clculos, podemos suponer que cada lado mide 2 unidades.La altura h del tringulo es:

Observacin: Los valores obtenidos pueden sintetizarse en la siguiente tabla:

EJERCICIOS1. Si nos alejamos en la lnea recta 30 m, slo hay que levantar la vista 30 para ver la punta de la antena.Cul es la altura de la antena?.2. Aplicando los valores para ngulos de 30, 45 y 60, calcula:a. sen 30 + tan 45.b. sen 60 + cos 60 - cot 45c. sen 30 - cos 45 + tan 45.3. Comprueba si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:a. sen245 + cos245 = sen260 + cos260b. 1 2 sen230 = cos 60 (sugerencia: sen2A= (sen A)2)3. SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS SEGN LOS CUADRANTESEn el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, as que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r".

3.1. PRIMER CUADRANTEYa que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonomtricas en el primer cuadrante son positivas.

3.2. SEGUNDO CUADRANTEEn el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.

3.3. TERCER CUADRANTEEn el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : - =+).

3.4. CUARTO CUADRANTEEn el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las nicas funciones cuyo resultado ser positivo son el coseno y la secante.

4. CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOSSon muchas las situaciones donde se presentan problemas cuya solucin se realiza mediante la resolucin de tringulos rectngulos.Sugerencias para resolver tringulos rectngulos- Todo tringulo tiene seis elementos: tres lados y tres ngulos interiores. Resolver un tringulo es conocer estos seis elementos fundamentales.- Por geometra, sabemos que en todo tringulo se pueden trazar lneas notables: tres alturas, tres bisectrices, tres medianas y tres mediatrices.- En todo tringulo rectngulo siempre es conocido uno de sus ngulos interiores, es decir, el ngulo recto. Luego, un tringulo rectngulo puede resolverse si, adems del ngulo recto, se conocen dos de sus lados o un lado, y uno de sus ngulos agudos.- Cuando en un tringulo rectngulo se conoce uno de sus ngulos agudos, basta restar este valor de 90 (ngulo recto), para obtener el otro ngulo agudo del tringulo en mencin.- Para hallar un elemento desconocido del tringulo rectngulo, ya sea lalongitud de uno de sus lados o el valor de uno de sus ngulos agudos, escogemos una de las razones trigonomtricas que contenga dicho elemento y otros dos elementos fundamentales conocidos para despejar el elemento en cuestin.- Si el tringulo por resolver no esrectngulo, pero es issceles o equiltero, entonces se traza la altura correspondiente a labase (perpendicular bajada desde el vrtice opuesto a la base) y este quedar dividido en dos tringulos rectngulos congruentes. La resolucin de uno de estos dos tringulos rectngulos nos permitir resolver el tringulo.Tambin es importante conocer, entender y aplicar los conceptos de ngulo de elevacin y ngulo de depresin. Estos conceptos se refieren al ngulo entre el horizontal y la lnea visual del observador y la posicin del objeto.ngulo de elevacin. Si la lnea visual del observador al objeto est por encima de la lnea horizontal imaginaria. ngulo de depresin. Si la lnea visual del observador al objeto est por debajo de la lnea horizontal imaginaria. Observa y analiza estos conceptos en la siguiente grfica:El CAB es un ngulo de elevacin; el punto B est elevado con respecto alobservador en A y la lnea horizontal AC que pasa por A.El DBA es un ngulo de depresin; el punto A queda en la parte de abajo del observador que est en B y de la lnea horizontal DB que pasa por B.Una de las mayores dificultades que se encuentra en el estudio y la comprensin de conceptos matemticos es la aplicacin de estos en la solucin de problemas.En trigonometra, por ejemplo, son muy comunes los problemas en los que se necesita aplicar las razones trigonomtricas en lasolucin de tringulos. Veamos el siguiente caso:Desde lo alto de una colina, una persona observa un venado en la sima, bajo un ngulo de depresin de 30. Si la distancia entre el observador y el venado es de 100 m, qu altura tiene la colina?.Para resolverlo, sugerimos los siguientes pasos:1. Determina el significado de depresin, etc.

los siguientes trminos que aparecen en el problema: sima, ngulo de2. Realiza un esquema grfico de figuras geomtricas y donde representes solamente las magnitudes relevantes. (No es necesario dibujar los objetos como tales).3. Identifica en ese esquema las magnitudes que puedes relacionar para encontrar el valor de la incgnita.4. Escribe las relaciones y las frmulas necesarias para desarrollar el problema.5. Reemplaza los valores de las magnitudes conocidas con los datos del problema.6. Realiza los procedimientos aritmticos y algebraicos necesarios para despejar el valor de la incgnita.4.1. APLICACIN GEOMTRICADado el tringulo rectngulo ABC que se muestra en la figura, calcula:a) Su rea b) Su permetroSolucina) Como el rea de un tringulo se defi8ne como A= bh/2, debemos conocer el valor de la base y el valor de la altura.En el grfico se observa que la hipotenusa (AC) vale 6cm y el ngulo agudo C= 40.Debemos entonces hallar el valor de la altura (AB) y el valor de la base (BC).Como AB es el cateto opuesto al ngulo C, tenemos que:Definicin de sen C:

sen40AB ACHallamos el valor de AB: AB = AC sen 40 Solucionamos: AB = (6 cm) (0,643)AB= 3,858 cmUsando la definicin de cos C, tenemos: cos 40BC ACHallamos el valor de BC: BC= AC cos 40 Solucionamos: BC= (6 cm) (0,766)BC= 4,596 cmPor tanto:

A bh2A (4,596cm)(3,858cm)2

A= 8,866 cm2b) Como el permetro se define como la suma de los lados de la figura, entonces: Permetro = AB + BC + ACP= 3,858 cm + 4,596 cm + 6 cmP= 14, 454 cm4.2. APLICACIONES TRIGONOMTRICAS EN INGENIERADavid es un estudiante de ingeniera civil que desea medir la altura de una torre. Para ello, ubica el teodolito (instrumento que mide los ngulos de un terreno) en el punto P a una distancia x de la torre, mide el ngulo de elevacin y obtiene un valor de 75. Luego se aleja 100 m en lnea recta del punto P hasta el punto Q, mide nuevamente el ngulo de elevacin y obtiene 37. Cunto mide la torre si el teodolito tiene una altura de 1,5 m?Solucin

Grafiquemos la situacin descritaLa grfica muestra dos tringulos rectngulos que tienen un lado comn, denotado por h1.Como no conocemos el valor de ninguna de las hipotenusas, debemos usar la razn tangente del ngulo. Entonces:Para el tringulo rectngulo ABP:tan 75 h1xPara el tringulo rectngulo ABQ:tan 37

h1x 100Hallamos el valor de h1 en las dos ecuaciones:

h1 = x tan 75h1 = (x + 100) tan 37Obtenemos: x tan 75 = (x + 100) tan 37 Efectuamos operaciones: x tan 75 = x tan 37 + 100 tan 373,73 x = 0,75 x + 75,362,98 x = 75,36x 75,362,98X = 25,29 m4.3. APLICCIONES TRIGONOMTRICAS EN TOPOGRAFAUn topgrafo necesita medir el largo de un tnel que debe atravesar una montaa para unir dos ciudades; para ello se ubica en la ciudad A y utiliza un teodolito, instrumento con el cual encuentra las medidas que indica la figura. Cul es el ngulo de elevacin en el otro extremo del tnel?.Solucina) El topgrafo apunta en su libreta los datos obtenidos de la siguiente forma y procede a realizarlos clculos:El largo del tnel est representado por la hipotenusa del tringulo rectngulo ABC, o sea, es el valor de b.cos 60 =

c, entonces b=b

ccos 60

. Por tanto, b

2km , b0,5

4km .

El largo del tnel es 4 km.b) Para hallar el valor del ngulo de elevacin , tenemos que: A + B + C = 18060 + 90 + = 180= 180 - 150= 304.4. APLICACIONES TRIGONOMTRICAS EN NAVEGACINUna embarcacin parte desde un faro que tiene una altura de 50m. Cuando se encuentra a 2 km del faro sufre fallas en sus equipos de comunicacin y enva una seal mediante un reflector.a. Cul debe ser el ngulo de elevacin que forma el reflector con la torre donde est el observador para visualizar la seal?.b. Cul es el valor del ngulo de depresin que se forma en el faro?.SolucinSe bosqueja la situacin descrita en el problemaa) El ngulo de elevacin est representado por el ngulo .Como se conoce la altura del faro (cateto opuesto a) y la distancia del faro al yate (cateto adyacente a) podemos emplear la razn tan . Entonces:tan

cateto opuesto cateto adyacentetan

50km2km

50m2000mtan

1 ; tan0,02540

Por tanto, usando la calculadora tenemos:

tan 1 0,025 1, 432 1 2555b) El ngulo de depresin es el mismo ngulo de elevacin por ser alternos internos paralelas. Por tanto,=1,4324.5. APLICCIONES TRIGONOMTRICAS EN METEOROLOGAUn meteorlogo quiere saber la altura a la que se encuentra una nube. Para ello ubica un punto fijo P sobre el suelo y se ubica en el punto Q separado 2m del punto P. Ubica un teodolito de 1,5 m de altura en el punto Q y mide un ngulo de elevacin de 80,5.a) A qu altura se encuentra la nube?.b) Qu distancia separa laB?.Solucin

nube del punto

Se grafica la situacin descrita en el problema.a) En la grfica se observa que se forma el tringulo rectngulo ADB, donde el cateto BD es la horizontal que se forma con la visual del observador.Tambin vemos que la nube est a una altura h del piso, donde h= AD + DP. Por tanto, hallando el valor de AD podemos conocer la altura.Como conocemos el ngulo 80,5 entonces:tan 80,5 =Por tanto: tan 80,5 =

y su lado adyacente, y adems tenemos que calcular el cateto opuesto,AD. Pero BD = QPBDAD ADQP 2mEntonces: AD = (2m) tan 80,5 AD = (2m) (5,976)AD = 11,95 mComo h = AD + DP, y DP = 1,5m, entonces h= 13,45m.EJERCICIOS1. Un topgrafo que se encuentra en el fondo de una zanja determina que el ngulo de elevacin a uno de los bordes de dicha zanja es de 2530. Si la zanja tiene 4 m de ancho, cul es la profundidad de la zanja?

3. El piloto de un avin que vuela a 2000 m de alturadivisa la ciudad de

destino con un ngulo de2. Desde un faro puesto a 40 m sobre el nivel del mar se observa un barco con un ngulo de depresin de 55. A qu distancia se halla el faro del barco?.

depresin de 15. A qu distancia est esa ciudad?.5. DOMINIO Y RANGO DE CADA FUNCIN TRIGONOMTRICAUna funcin entre dos conjuntos numricos es una correspondencia tal que a cada nmero del conjunto de partida le corresponde una sola imagen del conjunto de llegada.As, en la figura siguiente podemos observar grficamente el comportamiento de la funcin raz cuadrada de un nmero.Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado por los valores que le asignemos a la variable independiente X), del lado derecho observamos el conjunto de llegada (representado por los valores que toma la variable dependiente Y una vez que se extrae la raz cuadrada del valor que se le asign a X) y sobre la flecha est indicada larelacin matemtica (funcin) que transforma los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto dellegada (imagen).5.1. DOMINIO DE UNA FUNCINEs el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a X (variable independiente) forman el conjunto de partida. Grficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha.El dominio de una funcin est formado por aquellos valores de X (nmeros reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).En la grfica anterior notamos que si le asignamos los valores -2 y -1 a la X estos no tienen imagen, por lo tanto no pertenecen al dominio de la funcin estudiada. Esto es lgico ya que los nmeros negativos no tienen races reales sino races imaginarias.5.2. RANGO DE UNA FUNCINEs el conjunto formado por las imgenes. Son los valores que toma la funcin "Y" (variable dependiente), por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "X".Grficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas),leyendo de abajo a arriba. El Rango de una funcin es el conjunto formado por las imgenes f(x) de los valores deX que pertenecen al Dominio de dicha funcin.La manera ms efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la funcin y ver los valores que toma Y de abajo hacia arriba.5.3. ELABORACIN DE LA GRFICA DE CADA FUNCIN TRIGONOMTRICAExisten seis clases de funciones trigonomtricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden tambin definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etctera.5.3.1. La funcin seno. Se denomina funcin seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicacin de la razn trigonomtrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La funcin seno es peridica, acotada y continua, y su dominio de definicin es el conjunto de todos los nmeros reales.

5.3.2. La funcin cosecante. Puede calcularse como la inversa de la funcin seno expresada en radianes.5.3.3. La funcin coseno. Se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razn trigonomtrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta funcin es peridica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los nmeros reales.

5.3.4. La funcin secante. Se determina como la inversa de la funcin coseno para un ngulo dado expresado en radianes.5.3.5. La funcin tangente. Se define funcin tangente de una variable numrica real a la que resulta de aplicar la razn trigonomtrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta funcin se expresa genricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

5.3.6. La funcin cotangente. Es la inversa de la tangente, para cualquier ngulo indicado en radianes.5.3.7. Propiedades de las funciones trigonomtricas. Como caractersticas importantes y distintivas de las funciones trigonomtricas pueden resaltarse las siguientes:Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza peridica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la funcin tangente es p.

Las funciones seno y coseno estn definidas para todo el conjunto de los nmeros reales. Ambas son funciones continuas (no as la funcin tangente).Las funciones seno y coseno estn acotadas, ya que sus valores estn contenidos en el intervalo [-1,1]. La funcin tangente no est acotada.Las funciones seno y tangente son simtricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la funcin coseno es simtrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.5.3.8. Funciones circulares recprocas. Se llaman funciones circulares recprocas a las que anulan la accin de las funciones trigonomtricas. A cada funcin trigonomtrica le corresponde una funcin circular recproca, segn la relacin siguiente:La funcin recproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x.La funcin recproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x. La funcin recproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.

PRUEBA TIPO ICFESResponda las preguntas 1 a 4 teniendo como referencia la siguiente figura:

1. Teniendo en cuenta que el rea de un cuadrado se obtiene elevando la medida del lado al cuadrado, entonces el rea de la figura es:a) (x + y)2 c) x2b) (x y)2 d) y22. Si el rea de un rectngulo corresponde al producto de las medidas de la base y la altura, entonces se puede afirmar que el rea del rectngulo 2 es:a) (y x)y c) (x y)y b) (x + y)y d) (y x)x3. Si x = 12 cm y y = 4 cm entonces, las reas de las figuras 1, 2, 3 y 4 son respectivamente:a) 24cm2, 16cm2, 16cm2 y 8cm2. b) 48cm2, 32cm2, 32cm2 y 16cm2.c) 144cm2, 16cm2, 16cm2 y 4cm2.d) 64cm2, 32cm2, 32cm2 y 16 cm.4. Si x = 10 y y=3 entonces, el permetro del rectngulo 3 es:a) 13 cm

b) 26 cmc) 16 cm d) 23 cmResponda las preguntas 5 a 9 teniendo en cuenta la siguiente informacin.El siguiente grfico muestra la manera como crecieron las ganancias de dos empresas diferentes durante 12 aos. En el eje x se representa el tiempo en aos y en el eje y se representan las ganancias en millones.

5. Del grfico se puede deducir que:a) Durante los 2 primeros aos las dos empresas tuvieron el mismo crecimiento puesto que ambas obtuvieron las mismas ganancias.b) Durante los 2 primeros aos la empresa 1fue la que tuvo un mayor crecimiento puesto que la recta que representa sus ganancias crece ms rpido que la que representa las ganancias de la empresa 2.c) Durante los 2 primeros aos la empresa 2 tuvo un mayor crecimiento puesto que larecta que representa sus ganancias crece ms rpido que la que representa las ganancias de la empresa 1.d) Durante los dos primeros aos las empresastuvieron el mismo crecimiento puesto que las rectas que representan las ganancias son ambas crecientes.6. Las ganancias de la empresa 1 fueron constantes durante los aos.a) 4 y 8 b) 4 y 10 c) 6 y 12 d) 6 y 107. La empresa 2 obtuvo mayores ganancias que la empresa 1 en el ao.a) 4 b) 6 c) 12 d) 28. En la recta que representa las ganancias de la empresa 1 durante los dos primeros aos se pueden identificar los puntos (0,0) y (2,20). Sipara encontrar la pendiente de una recta seutiliza la expresin:entonces, se puede afirmar que la pendiente de dicha recta es:a) 10 b) 10 c) No se puede determinar d) 0.9. Teniendo en cuenta que la forma general de la ecuacin de la recta es y = mx + b donde m es la pendiente y b es el intercepto o valor donde la recta corta al eje y se puede afirmar que la ecuacin que representa el crecimiento de la empresa 2 durante los aos 2 y 4 es:a) y = 4x 10 c) y = 10x 10 b) y = 2x + 16 d) y = 8x 8Para responder las preguntas 10 a 13 tenga en cuenta la siguiente informacin:El gerente de una fbrica hizo un estudio con el fin de determinar el nivel de rendimiento de los empleados teniendo en cuenta el nmero de horas trabajadas en el da. La expresin que result fue:x representa el nmero de horas trabajadas.y representa el nivel de rendimiento.

10. Para determinar el mximo nivel rendimiento de un empleado se debe:

a) Determinar la ecuacin de la recta directriz y reemplazar x por 4.b) Encontrar el valor de la coordenada del foco en el eje x.c) Establecer cul es el valor de la coordenada del foco en el eje y.d) Determinar el valor de la coordenada en y del vrtice.11. De la grfica se puede deducir que:a) Durante las 4 primeras horas el nivel de rendimiento va disminuyendo puesto que la parbola en ese intervalo es creciente.b) Durante las 4 ltimas horas el nivel derendimiento va disminuyendo puesto que en ese intervalo la parbola es decreciente.c) Durante las 4 primeras horas el nivel derendimiento va aumentando puesto que la parbola en ese intervalo es decreciente.d) Durante las 4 ltimas horas el nivel derendimiento va aumentando puesto que la parbola en ese intervalo es creciente.12. Teniendo en cuenta que el vrtice de la parbola tiene como coordenadas (4,8) y que los puntos en los cuales la parbola corta al eje x son (0,0) y (8,0), se puede decir que el tiempo en el cual un empleado alcanza su mximo nivel de rendimiento es:a) 0 horas c) 4 horas b) 8 horas d) 12 horas13. El rendimiento de un empleado cuando ha trabajado 3 horas es:a) 7 b) 15 c) 8 d) 7,5Para las preguntas 14 a 17 tenga en cuenta lo siguienteUna empresa determina el salario de sus vendedores dependiendo del nmero de unidades vendidas a partir de un sueldo fijo de $420.000 mensuales ms$3.000 por unidad vendida.14. El salario mensual de un vendedor que ha vendido x unidades en un mes se puede expresar con la ecuacin y(x) dada por:a) y = 420.000x + 3.000 c) y = 3.000x 420.000b) y = 3.000x + 420.000 d) y = x + 420.000 /3.00015. El salario que gana un vendedor que al finaldel mes tiene un total de 80 unidades vendidas es:

Responda las preguntas 18 a 20 teniendo en cuenta la siguiente informacin:a) $ 660.000 c) $ 500.000b) $ 380.000 d) $ 1.300.00016. La grfica que representa el salario de un vendedor teniendo en cuenta el nmero de unidades vendidas es:a) Una funcin creciente puesto que entre menos unidades venda el salario ser mayor.b) Una recta constante puesto que el sueldo fijodel que se parte es siempre el mismo.c) Una funcin creciente puesto que a mayor unidades vendidas, el vendedor tendr mayor salario.d) Una recta decreciente puesto que entremenos unidades venda obtendr un mayor salario.17. La grfica que representa en forma ms aproximada la relacin entre el nmero de unidades vendidas por mes y el salario recibido es:a) c)

Para almacenar aceite se utiliza un tanque de forma cilndrica que tiene las siguientes dimensiones:

18. Si el volumen de un cilindro se obtiene multiplicando el rea de la base por la medida de la altura, entonces se puede afirmar que la expresin que representa el volumen del tanque de aceite es:a) y2 + 3 b) y3 + 3y c) y (y + 3) d) y2 (y+3)19. Si el radio de la base es igual a 4 m entonces, el volumen del cilindro es:a) 28 m3 b) 19 m3 c) 76m3d) 112 m320. Si el volumen permanece constante y el radio de la base se triplica, entonces se puede afirmar que la altura del cilindro es igual a:a) c) b) d)UNIDAD 31. SOLUCIN DE TRINGULOS OBLICUNGULOSLos tringulos que no sean rectngulos se llaman oblicungulos.

Como ves en la figura anterior, los dos tringulos sonoblicungulos, no tienen ningn ngulo interior de90.Lgicamente, si sus ngulos son diferentes tambin lo sern sus lados, pero la suma de los grados de sus ngulos siempre ha de ser de 180.Cmo calcular los distintos valores de un tringulo oblicungulo. Tienes que estudiar dos sencillos teoremas para resolver los problemas referidos a estos tringulos.1.1. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO1.1.1. Teorema del seno. El siguiente tringulo es oblicungulo:

Trazamos la altura desde C hasta c:

Tomando como referencia el ngulo B podemos escribir

y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen B Tomamos ahora el ngulo A: y haciendo operaciones tendremos: h = b x sen A

y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen CObservamos:

h = a x sen Bh = b x sen A

Si calculamos el sen A en el tringulo color naranja escribiremos:podemos decir que : a x sen B = b x sen AEsta ltima igualdad podemos escribirla:

Recuerda que en toda proporcin, el producto de extremos es igual al producto de medios.Si trazamos la altura desde el vrtice B tenemos:

El cateto opuesto al ngulo C es la altura (h) que partiendo del vrtice B es perpendicular al lado b (90 en amarillo), la hipotenusa es el lado a. El tringulo en azul claro BDC es rectngulo en D.El sen C ser igual al cateto opuesto (h) partido por la hipotenusa (a).

( h y b son los catetos y c la hipotenusa), luego haciendo operaciones: h = c x sen A.Luego, a x sen C y c x sen A son iguales. a x sen C=c x sen AEsta ltima igualdad podemos escribirla:

El recuadro ltimo representa el teorema del seno.Lo definimos: En todo tringulo la relacin de un lado entre el valor del seno del ngulo opuesto se mantiene constante.Ejemplo:Los tres datos conocidos de un tringulo los tienes en la figura siguiente. Halla los tres datos que faltan por conocer:

Respuesta: C = 30; a = 5,8 m; b = 10,28 m.SolucinEl ngulo C = 180 (121+29) = 30 Haces uso del teorema del seno.Calculamos el valor de b:

Calculamos el valor de a:

EJERCICIOS1. En el dibujo siguiente tenemos un tringulo con tres datos conocidos, halla los otros tres:

2. En el siguiente tringulo aparecen 3 datos, calcula los otros 3:

3. Los ngulos interiores de un tringulo miden 30 y55. Si el lado opuesto al menor de esos ngulos mide 11,5 cm, determina la longitud del lado mayor del tringulo.4. Dos personas A y B se encuentran a una distancia de 400m una de la otra. Cuando un avin pasa or el plano vertical de las mencionadas personas, estas lo ven simultneamente con ngulos de elevacin de35 y 48, respectivamente. Calcula la altura del avin en ese instante.5. Se desea cercar un terreno que tiene forma de paralelogramo con tres hiladas de alambre. Si la diagonal mayor de la mencionada figura tiene una longitud de 230 m y forma con los lados adyacentes ngulos de 38 y 40, qu cantidad de alambre se necesita para llevar a cabo dicha labor?.1.1.2. Teorema del coseno. Se trata de otro sencillo teorema tambin para la resolucin de tringulos.Partimos del tringulo siguiente:Trazamos la altura desde el vrtice C sobre el lado c y fijamos las proyecciones m y n de los lados a y b sobre el lado c:

Puedes comprobar que los dos tringulos (amarillo y verde) en los que la altura ha formado son rectngulos (H =90).Timando el tringulo amarillo podemos escribir, segn el teorema de Pitgoras:

Segn lo que has estudiado podemos decir que:Ejemplo:Conocemos los tres lados de un tringulo:

Cunto vale el ngulo A?

Respuesta: 23 SolucinEJERCICIOS1. Cunto valen los ngulos A y B de la siguiente figura?

2. El ngulo entre los lados de un paralelogramo es de 60. Si las longitudes de los lados son 8 cm y 12 cm, calcula la longitud de la diagonal mayor.

3. Dado el tringulo ABC, aplica el teorema del coseno para resolver cada uno de los casos siguientes:a) A= 60; b= 14 cm; c= 10 cm. b) a= 12 cm; b= 8cm; C= 36.c) a= 20 cm; b= 30cm; C = 45. d) a= 7 cm; b= 6 cm; C = 30.e) b= 8 cm; c= 5 cm; A = 60.f) a= 4 cm; c= 5 cm; B = 120.g) a= 8 cm; b= 10 cm; c = 12 cm.h) a= 3 cm; b= 6 cm; c= 12 cm. i) a= 9 cm; b= 3 cm; c= 7 cm.2. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALESEn matemticas, las identidades trigonomtricas son igualdades que involucran funciones trigonomtricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para

Ejemplo 2. Calcular funciones trigonomtricas de un ngulo agudo4cualquier valor que pudieran tomar los ngulos sobrelos que se aplican las funciones).

Dado:

tan,con 032

,aplica lasidentidades fundamentales para determinar:a) sec b) cos Solucina) Identidad fundamental:

sec 2

1 tan2Despejamos sec :

sec 1 tan2Reemplazamos tan :

sec1

4 3 Efectuamos las operaciones:

sec 1 169Ejemplo 1. Expresar una funcin trigonomtrica en trminos de otra.Expresa sen en trminos de cos .

sec 259sec53Por ser un ngulo del primer cuadrante, entoncesSolucinIdentidad fundamental:

sen 2

cos21

el sen es positivo. Por tanto, sec5 .3Despejamos sen :

sen 2

1 cos2

b) Identidad fundamental: sec = 1/cos 1Por tanto:sen

1 cos2

De donde:

cos

sec

1Reemplazamos sec y obtenemos: cos533

EJERCICIOSEscribe cada expresin en trminos de la que se indique.Efectuamos las operaciones:

cos5

1. tan en trminos de sen 2. sen en trminos de sec2 3. tan en trminos de cos 4. cos en trminos de cot 5. cot en trminos de csc 2.1. COMPROBACIN DE IDENTIDADES TRIGONOMTRICASDada una proposicin trigonomtrica, demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.Esas transformaciones deben apegarse a ciertas reglas obvias de la Lgica, como el hecho de que "de algo dudoso se obtiene algo dudoso" o que "de algo falso se obtiene algo falso". Por ejemplo, si se establece el siguiente razonamiento:- Donde hay vida, hay muerte.- En la Galaxia Andrmeda hay vida.- Por lo tanto, la muerte existe en la GalaxiaAndrmeda.Alguien que haya razonado de la manera anterior puede afirmar que ha demostrado que en la Galaxia Andrmeda se da la muerte; sin embargo, su procedimiento se bas en una premisa dudosa: En la Galaxia Andrmeda hay vida , por lo que su conclusin es dudosa. Es decir, en este momento no se sabe con certeza si realmente existe vida o no por esos lugares, como pueda ser que s, pueda ser que no, por lo tanto es dudosa su conclusin de que la muerte existe en la Galaxia Andrmeda.

Las demostraciones trigonomtricas se hacen de tal manera que no utilicen nada dudoso ni nada falso para que la conclusin no sea dudosa o falsa. Todo debe ser cierto sin lugar a dudas para que la demostracin sea vlida. Y qu es cierto sin lugar a dudas?: Por una parte, las frmulas anteriores lo son, pues por eso se dedujeron paso a paso para verificar su validez y veracidad; por otra parte, toda identidad es cierta sin lugar a dudas por ser axiomtica. Una identidad es cualquier cosa igual a s misma. Axiomtico es aquello tan evidente que no requiere demostracin.De tal manera que las anteriores frmulas son la base de las demostraciones que a continuacin se estudiarn. Para demostrar una proposicin trigonomtrica debe transformarse, ya sea por sustituciones de cualquiera de las frmulas o por pasos algebraicos vlidos, de manera que se llegue a una igualdad que sin duda alguna sea cierta, es decir, que lo escrito del lado izquierdo sea realmente igual a lo escrito del lado derecho.En resumen las identidades pitagricas son:Las identidades de cociente son:

2.1.1. Por similitud con alguna frmula.Se compara la igualdad que debe demostrarse con la frmula a la que se parece. Entonces el trmino que es diferente de la frmula es el que se transforma hasta convertirlo en el correspondiente de la frmula.Ejemplo. Demostrar que sen2x + cos2x = tan x cot xDemostracin: La igualdad propuesta se "parece" a la frmula (1) de los cuadrados (identidades pitagricas). De manera que, por comparacin, se debe transformar el lado derecho para convertirlo en1. El siguiente esquema muestra la forma de hacer lacomparacin:

Como

tan x

1

cot x

, segn la frmula 3 de losLas identidades recprocas son:

recprocos, sustituyendo en la igualdad propuesta sellega a:

sen2 x

cos2 x

1

cot x

cot xSimplificando el lado derecho:sen 2 x

cos2 x1 Con lo que queda demostrado, ya que esta igualdad es cierta sin lugar a dudas por tratarse de la frmula1 de los cuadrados.EJERCICIOSDemostrar las siguientes igualdades trigonomtricas por similitud con alguna de las once frmulas:1.sen2 x

cos2 xsenx

csc xPara facilitar la comprensin y aprendizaje de los procesos de demostracin de igualdadestrigonomtricas, conviene clasificarlas o agruparlas,

2.

1cos2 x1 csc 2 x2 2segn la forma que tengan:

3. tan

xsenx

csc x

sec x2.1.2. Pasando a senos y cosenos. Un recurso muytil en la demostracin de igualdades trigonomtricas, es pasar todas las funciones a senos y/o cosenos, en virtud de que las seis pueden expresarse en trminos de stas, ya que la tangentees igual a seno entre coseno ; la cotangente es

EJERCICIOSDemostrar las siguientes igualdades trigonomtricas pasando a senos y/o cosenos:igual a coseno entre seno ; la secante es igual a uno entre coseno y la cosecante es igual a uno entre seno.

1. sen2 x

1

sec 2 x

senx

csc xUna vez pasadas todas las funciones a senos y/o cosenos, se hacen las simplificaciones algebraicas

2. 1cos2 x1cs c 2 xposibles y, en caso necesario, se empleannuevamente cualesquiera de las once frmulas para transformar la igualdad propuesta en una igualdad

3. tan2 xsenx2

csc x

sec2 xque sea cierta sin lugar a dudas.

cos x 2Ejemplo. Demostrar que

sec xcsc x

1 cot x

4.sen2 x

tan x

cot x

csc xDemostracin: Pasando a senos y /o cosenos todas1

2.1.3. Despejando las formulas. De cada una delas once frmulas es posible realizar dos despejes, con los cuales pueden hacerse sustituciones de lalas funciones, sabiendo que:

sec x

,cos x

misma manera que con las frmulas originales, yaque, aunque despejadas, son en realidad las mismascsc x

1

senx

y cot x

cos xsenx

frmulas.Sustituyendo en la igualdad original se obtiene que:1cos x 11 cos xsenx senxaplicando la ley de la herradura:senxsenxcos x

cos xIgualdad que es cierta sin lugar a dudas, ya que cualquier cosa es igual a s mismo. Por lo tanto, ha quedado demostrada.Los dos despejes posibles en las seis frmulas de los inversos o recprocos son las que se muestran el anterior cuadro al lado derecho. Obsrvese que en todos los casos, por la misma definicin de inverso dada (Un nmero es el inverso de otro, respecto de cierta operacin, si al operar ambos entre s dan como resultado el elemento neutro de esa operacin), el producto de las funciones que son inversas entre s debe dar el elemento neutro de la multiplicacin, o sea 1, es lo que se obtiene al hacer uno de los despejes posibles; y al hacer el segundo despeje posible se obtienen las inversas entre s.Los dos despejes respectivos de las frmulas de los cocientes son:

Los dos despejes respectivos de las frmulas de los cuadrados (pitagricas) son:

2.1.4. Binomios conjugados. De los 2 despejes que es posible hacer en cada una de las tres frmulas de los cuadrados (pitagricas) , se obtiene en cada caso una diferencia de cuadrados, que por las reglas del lgebra se pueden factorizar en dos binomios conjugados, como se muestran a continuacin:

Cuando aparece una fraccin cuyo denominador es uno de esos binomios conjugados, suele resultar muy prctico, aplicando la propiedad de las fracciones si se multiplica el numerador y el denominador por la misma cantidad, la fraccin no se altera, multiplicar numerador y denominador por el binomio conjugado del que apareci originalmente para obtener la diferencia de cuadrados que a su vezes igual a una funcin al cuadrado ( a 1), conforme al cuadro anterior ledo de derecha a izquierda.La ventaja que a veces se obtiene es que dicho denominador puede transformarse en otro de un solo trmino, el cual as puede dividirse en varias fracciones o simplemente pasarse a senos y/o cosenos y/o aplicar alguna de las tcnicas antes descritas.O bien, la presencia de uno de esos binomios conjugados puede sugerir que debe buscarse el otro binomio en alguna parte de la igualdad para juntarlos y multiplicarlos con el objeto de obtener finalmente su equivalente cuadrado de un trmino, conforme al cuadro anterior.

Mtodo 2. El denominador (1 + sen x) es uno de los dos binomios conjugados que aparecen en el cuadro anterior, en la frmula (2.2), por lo que es conveniente, aplicando la propiedad de las fracciones si se multiplica el numerador y el denominador por la misma cantidad, la fraccin no se altera , multiplicar numerador y denominador por1- sen x , o sea su binomio conjugado respectivopara obtener la diferencia de cuadrados que, a su vez, es igual a cos2x , segn la frmula (2.2), leda de derecha a izquierda en el cuadro anterior.Hacindolo se obtiene:Ejemplo. Demostrar que

cos2 x 11

Efectuando solamente las multiplicaciones delDemostracin:

1 senx

csc x

denominador, puesto que son los dos binomios conjugados que interesan:Mtodo 1. El denominador (1 + sen x) es uno de los dos binomios conjugadps que aparecen en el cuadro anterior, en la frmula (1.2.), por lo que es conveniente intentar localizar el otro binomio conjugado.

Por la frmula (2.2), sustituyendo en el denominador el valor de 1 - sen2x por su equivalente cos2x:Como

1 csc x

senx

Simplificando:Entonces:

cos2 x

1 senx

Como1 senxY efectivamente, ya apreci el otro binomio!. Entonces, juntndolos, o sea, multiplicndolos, para obtener (ver el cuadro anterior):

Entonces:

Igualdad que es cierta sin lugar a dudas, ya quecos2 x

(1 senx )(1

senx )

cualquier cosa es igual a s misma, por lo que ha quedado demostrada.Como la multiplicacin de dos binomios conjugados da una diferencia de cuadrados, en el lado derecho se obtiene:cos2 x

1 sen2 xsen2 x

cos2 x 1Con lo que queda demostrada.

EJERCICIOS GENERALESDemostrar las siguientes igualdades trigonomtricas empleando cualquiera de todas las tcnicas estudiadas.

3. SOLUCIN DE ECUACIONES TRIGONOMTRICASUna ecuacin trigonomtrica es una ecuacin en la que aparece una o ms razones trigonomtricas. Para resolver una ecuacin trigonomtrica es conveniente expresar todos los trminos de la ecuacin con el mismo arco (ngulo) y despus reducirlo a una razn trigonomtrica, o bien, factorizar la ecuacin si es posible.Las ecuaciones trigonomtricas suelen tener mltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes.Ejemplos de ecuaciones trigonomtricas:sen(x)=1Es muy sencilla, no hay que dar los pasos indicados, slo recordar la circunferencia goniomtrica y observar que 90 es el primer ngulo cuyo seno es 1. El seno no vuelve a valer uno hasta que el ngulo no

valga 90+360=540, tras otra vuelta volver a valer uno y as sucesivamente. Luego hay muchas soluciones, todos los ngulos x de la forma x=90+k.360, donde k es cualquier nmero entero. Si queremos expresar la solucin en radianes x=p/2+2.k.p radianes.sen(2x)=2sen(x)Necesita que apliquemos el primer paso. Como sen(2x)= 2sen(x).cos(x), podemos escribir la ecuacin en la forma 2sen(x).cos(x)= 2sen(x). Ahora si dividimos por 2 nos queda sen(x).cos(x)= sen(x).Y si adems dividimos por sen(x) queda cos(x)=1. Cuidado porque esta divisin supone que sen(x) es distinto de 0.Las soluciones de cos(x)=1 son x=0+k.360 o bien x=2.k.p radianes. Obtenidas razonando sobre la circunferencia goniomtrica, como anteriormente.Cuando sen(x)=0 no podemos dividir, esto ocurre para x=0, 180, 360,...es decir x=k.180. Pero estos valores son soluciones de la ecuacin puesto que cuando sen(x)=0 tambin sen(x).cos(x)= sen(x), ya que queda 0=0.Ahora bien las soluciones de sen(x)=0 incluyen a las de cos(x)=1, por tanto las soluciones de la ecuacin pedida son x=k.180 o bien x=k.p radianes.cos2(x)-3sen(x)=3Se convertir en una ecuacin con una sla razn trigonomtrica si tenemos en cuenta la frmula fundamental de la trigonometra.Pasaremos de cos2(x)-3sen(x)=3 a la ecuacin 1- sen2(x)-3sen(x)=3, ordenando y agrupando queda sen2(x)+3sen(x)+2=0. Ya est en funcin de una sla razn y de un slo ngulo.Cambiamos ahora sen(x) por z y nos quedar z2+3z+2=0. esta ecuacin tiene las soluciones z=-1 y z=-2, que nos proporcionan sen(x)=-1 y sen(x)=-2.sen(x)=-1 tiene como soluciones x=270+k.360 o bien x=3p/2+2.k.p radianes.sen(x)=-2 no tiene solucin alguna. Recurrimos

Luego las soluciones son: x=270+k.360 o bien x=3p/2+2.k.p radianes.EJERCICIOS1. Encuentra las soluciones para , comprendidas entre 0 y 4, de las siguientes ecuacionestrigonomtricas. Expresa el resultado en radianes.a. 2 sen1

b. 2 sen 23c. cos2d. 3 csc 22. Encuentra las soluciones para comprendidas entre 0 y 360, de las siguientes ecuacionestrigonomtricas. Expresa los resultados en grados.a. cot10

b. 2 cos10

2c. cos022 1continuamente a la circunferencia goniomtrica.

d. sen

2 cos04

4. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE NGULOS, NGULOS DOBLES YNGULOS MEDIOS4.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE NGULOSObservemos la siguiente figura donde la zona gris corresponde al ngulo central "a" y la roja al ngulo central "b": Se tiene que:sen a = DC cos a = OD sen b = BA cos b = OBsen (a+b) =EAcos (a+b) = OE Entonces:sen (a+b)=EA=GF=GB+BF=OB sen a +AB cos a = sen a cos b +cos a sen bPor otro lado:cos (a+b)=OE=OG-EG=OB cos a - AB sen a = cos a cos b sen a sen b. Adems, recordando las ecuaciones fundamentales:

En resumen, las frmulas de la adicin de ngulos son:

Sustituyendo en esas expresiones "b" por "-b" y, recordando que sen (-b) =-sen b ; cos (-b) = cos b y tg (-b) = -tg b, queda para las frmulas de la diferencia de ngulos:

4.2. NGULOS DOBLES Y NGULOS MEDIOS4.2.1. ngulos dobles. Si suponemos conocidas las razones trigonomtricas de un ngulo "a" y queremos conocer las del ngulo "2a", podemos recurrir a las frmulas del ngulo suma vistas en el apartado anterior haciendo b=a para obtener:

4.2.2. ngulos medios. Supongamos ahora que conocemos las razones trigonomtricas del ngulo "a" y queremos, basndonos en ellas, conocer las del ngulo "a/2". Si en las frmulas del ngulo doble haciendo 2a=A y por tanto a=A/2 tenemos:

Y sumando y restando miembro a miembro esta ltima con la ecuacin fundamental de la trigonometra:

Nos queda:

Y de la segunda:

De la primera despejando obtenemos:

Finalmente dividiendo estas dos ltimas:Ejemplo: Calcula seno y coseno de 2230'Se cumple que:

EJERCICIOS1. Utilizando la frmula a propiada del seno o del coseno de la suma o de la diferencia de ngulos,

3. Utiliza las frmulas de ngulos dobles::comprueba que:

a) tan

sen

22 sen 23a) sen( + ) = - sen b) sen( - ) = - sen

b) sen

33 sen2

4 senc) cos ( - ) = - cos d) cos ( + ) = - cos

c) sen 2

cottan32 132. Si seny sen, calcula:513a) sen ( + )b) sen ( - )

4. Utiliza las frmulas de ngulo medio para calcular:(sin calculadora)a) sen de 120. b) tan de 15.c) cos de 105.d) tan de 1505e) sen6PRUEBA TIPO ICFES1. A partir de las siguientes grficas responde:cul de las afirmaciones es correcta:

a) En la figura 2 puede asegurarse que A es un subconjunto de B.b) En la figura 2 puede asegurarse que ( x) (x A x B).c) En la figura 1 puede asegurarse que (A B): (x) (x A x B).d) De la figura 2 podemos asegurar que: (A B) : (x) (x A x B).2. Sean A = {x / x (x 5) (x 2) > 0 }; B = {1, A} se puede afirmar que:a) X es una solucin si y solo si los factores son ambos positivos.b) Las soluciones para el conjunto A son todoslos nmeros reales que se encuentran en elintervalo ( - , 5).c) Para el conjunto A ambos factores sonpositivos si x est en el intervalo (5, ) yambos son negativos si x est en (- , 2).d) Las soluciones para el conjunto B son todoslos nmeros reales en la unin (- , 2) U (5,).3. Determina cul de estas afirmaciones es falsa:a) Los nmeros irracionales son aquellos que se escriben mediante una expresin decimal con infinitas cifras y no peridicas.

b) El conjunto Z es un conjunto infinito, donde cada nmero entero tiene un antecesor y un sucesor.c) El conjunto de los nmeros reales es elconjunto de todos los nmeros que pueden expresarse con decimales infinitos peridicos o no peridicos.d) El conjunto de los nmeros racionales es un conjunto denso; es decir, que entre dos nmeros racionales hay infinitos nmeros racionales, adems cada nmero tiene un sucesor y un antecesor.4. Para cada nmero entero x definimos el valor absoluto de x, que indicamos |x|, como sigue: si el nmero x es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo nmero y es su opuesto, -x, si el nmero es negativo. Determina:a)b) c) d) 5. Una embarcacin ha navegado ro abajo 8 km y ha vuelto, invirtiendo en todo el recorrido 5 h. La velocidad de la corriente del ro es de 3 km/h.Cul es la velocidad propia de la embarcacin? Si la velocidad propia de la embarcacin se denota con la letra x, entonces se puede plantear la siguiente ecuacin:a) 2,5 (x + 3) + 2,5 ( x 3) = 8 b)c)d)6. Todos los valores de x, para los cuales la funcin cuadrtica, dada por la grfica es negativa, forman el siguiente conjunto:

a) (- , 0) porque para todo valor de y, x es negativo.b) (2, ) porque es la nica forma en que los valores de la funcin se hacen negativos.c) (-, -1) U (2, ) porque en este intervalo los valores de x son negativos.d) ( -1, 2) porque nicamente la funcin es negativa entre estos valores.7. De la expresin se puede afirmar que:a) x 0 porque la expresin se convertira en una indeterminacin.b) x debe ser para que se cumpla la desigualdad.c) En esta expresin x> - 2/3, siempre y cuando x 0.d) La desigualdad siempre se cumple cuando x> -3/2.8. Se presentan dos casos para poder encontrar la solucin de (x + 2) (x 1) < 0:

a) Como el producto es menor que cero, entonces x + 2 < 0 x 1 < 0.b) Como el producto es menor que cero, x + 2 0 y la solucin es (1,2).d) Como el producto es menor que cero,entonces x + 2 < 0 x 1 >0, adems, x + 2>0 x 1 < 0 y la solucin es (- 2, 1).9. Para un conjunto C= x / - 2 < x 3 podemos asegurar que:a) Una cota inferior es -1,9, porque se encuentra dentro del rango definido por el conjunto.b) Una cota superior es 3,1 porque es un nmero mayor a los elementos del conjunto.c) Una cota superior es 2,9 porque se encuentra dentro del rango definido por el conjunto.d) Todo nmero menor a 2 es una cota inferior y todo nmero mayor o igual a 3 es una cota superior.10. Lee el siguiente texto y analiza la grfica que lo acompaa:Willebrord Snell y Ren Descartes lograron describir el cambio de direccin de la luz en el momento en que pasa de un medio a otro. Si i es el ngulo que forma el rayo incidente con la perpendicular a la superficie quesepara a los dos medios, y r es el ngulo formado por el rayo refractado con la perpendicular a la superficie y adems, v1 es la velocidad de la luz en el medio 1 y v2 la velocidad de la luz en el segundo medio, tenemos la conocida Ley de Snell:

Si tenemos que i = 30 y los medios son el aire y el agua donde la razn de v1 a v2 es 4:3 De acuerdo con lo anterior, podemos afirmar que el ngulo refractado es:a) 28 30 45`` c)b) 22 1` 28`` d)11. Lee el siguiente texto y analiza la grfica que lo acompaa:Una caja tiene una base cuadrada de 80 cm de lado y 1,2 m de altura. Guardo una varilla de tal forma que se ubica siguiendo la diagonal principal de la caja, podemos afirmar que:a) d es la longitud de la varilla y tiene un valor de 113,137 cm.b) d es la longitud de lavarilla y tiene un valor de 144,22 cm.c) d es la longitud de la diagonal de la base y mide 113,137 cm. y p es la longitud de la varilla, la cual mide 113,143 cm.d) d es la longitud de ladiagonal de la basey mide 113,14 cm y p es la longitud de la varilla, la cual mide 164,92 cm.12. Del punto anterior podemos afirmar que:a) Para hallar el ngulo que la varilla forma con el piso utilizamos el tringulo rectngulo determinado por la varilla y la diagonal de la base de la caja.b) Para hallar el ngulo que la varilla forma con el piso utilizamos el tringulo rectngulo determinado por la varilla y la diagonal de la base de la caja y la altura de la misma. El ngulo mide 90.

c) Si elegimos una funcin trigonomtrica adecuada para relacionar la altura de la caja con la longitud de la varilla obtenemos4695.d) Para hallar el ngulo que la varilla forma con el piso utilizamos el tringulo rectngulo determinado por la varilla y la diagonal de la base de la caja y la altura de la misma. El ngulo mide 464110,12.13. Lee el siguiente texto y analiza la grfica que lo acompaa:La velocidad lineal (v) de un punto P es la distancia que recorre P por unidad de tiempo donde t es el tiempo transcurrido.En una rueda que gira con velocidad constante, la velocidad angular (w) se define como el ngulo barrido en una unidad detiempo, para un ngulo en posicin normal cuyo lado final se encuentra con un punto P sobre la circunferencia de radio r, se define la velocidad angular como donde es el ngulo de rotacin(medido en revoluciones) y donde tes el tiempo (medido en minutos). (Una revolucin equivale 2rad).Si la rueda de un carro tiene un radio de 24 cm y gira con una velocidad angular de 2.300 rpm (revoluciones por minuto), podemos afirmar que:a) Como el ngulo de rotacin se define como = wt entonces el ngulo equivale a2.300 rpm.b) Como una revolucin equivale 2rad, si dividimos las rpm por 2rad obtenemos el ngulo de rotacin que equivale a 2300 rpm.c) Como una revolucin equivale a 2rad, si multiplicamos las rpm por 2rad obtenemos el ngulo de rotacin que equivale a 4.600 rad.d) El ngulo de rotacin no puede ser hallado porque no hay datos suficientes (falta el tiempo de rotacin).14. De la informacin del punto anterior se puede afirmar que:a) La distancia que recorre la rueda es de 24 cm por unidad de tiempo.b) La longitud de arco es de 110.400 cm debido a que el arco es igual a s = r .c) Como la velocidad lineal es no puedehallarse debido a que no tengo el tiempo que tarda girando.d) La velocidad lineal est definida como por lo tanto la velocidad esCon la siguiente informacin responde las preguntas de la 15 a 18.El voltaje en un campo elctrico, es el trabajo o energa necesaria para mover una carga elctrica de un punto a otro en contra o a favor de las fuerzas del

campo donde esta se encuentra. Si el voltaje de un circuito de corriente alterna est dado por la expresin V (t)= 170 sen (120 t), donde t es el tiempo medido en segundos y V (t) es el voltaje medido en voltios.15. De acuerdo con lo anterior, puede afirmarse que:a) La amplitud de la funcin es 1 porque esa es la amplitud de la funcin seno.b) El perodo de la funcin es 120.c) La amplitud de la funcin es 170/2. d) El perodo es 1/60 segundos.16. El voltaje promedio de un circuito de corriente alterna est dado por |a|/ 2.El voltaje promedio aproximadamente es: a) 240 voltios. c) 0,7 voltios. b) 120 voltios. d) 85 voltios.17. El nmero de ciclos por segundo es la frecuencia de la corriente; es decir, es el inverso del periodo de la funcin. La frecuencia es:a) 1/60 segundos. c) 60 s -1.b) 60 segundos. d) 60 s -1.

UNIDAD 41. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO1.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANOFrmula de la distancia entre dos puntos en el plano coordenado:

Ejemplo:1.2. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTOSi un segmernto de lnea tiene puntos entonces las coordenadas del punto medio son:

Ejemplo:EJERCICIOS1. Encontrar la distancia entre (-3,-5) y (2, -6)

2.

3. Punto medio de lnea. Si un segmento de lnea tiene puntos , entonces lasCoordenadas del punto medio son?. Grafquelas.4. Usando ncontrar el punto medio del segmento de lnea con puntos (1,6) y(9,8). Mostrarlo grficamente.2. LA LINEA RECTA, PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTALa recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una nica direccin. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).La lnea podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma lnea (par de coordenadas para A y par de coordenadas paraB en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresin algebraica (una funcin) que determine a esamisma recta.El nombre que recibe la expresin algebraica (funcin) que determine a una recta dada se denomina Ecuacin de la Recta.Es en este contexto que la Geometra analtica nos ensea que una recta es la representacin grfica de una expresin algebraica (funcin) o ecuacin lineal de primer grado.Esta ecuacin de la recta vara su formulacin de acuerdo con los datos que se conozcan de la lnea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuacin de la recta.2.1. ECUACIN GENERAL DE LA RECTAEsta es una de las formas de representar la ecuacin de la recta.De acuerdo a uno de los postulados de la Geometra Euclidiana, para determinar una lnea recta slo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuacin de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepcin, quedan incluidas en la ecuacinAx + By + C = 0Que tambin puede escribirse comoax + by + c = 0y que se conoce como: la ecuacin general de la lnea recta, como lo afirma el siguiente:TeoremaLa ecuacin general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a losnmeros reales ( ); y en que A y B no son simultneamente nulos, representa una lnea recta.La ecuacin general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posicin (n) quedandeterminados por:

Ejemplo: Cul es la pendiente y el coeficiente de posicin de la recta 4x 6y + 3 = 0? 2.1.1. Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos. Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuacin. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), tambin perteneciente a la recta.Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

yLuego, la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:

que tambin se puede expresar como

Ejemplo: Determina la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

2.1.2. Ecuacin de la recta dados puntopendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente). Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos est determinada por

pero

Luego, si reemplazamos en la ecuacin anterior obtenemos

despejando, llegamos a:

y y1 = m(x x1)Ejemplo:Determina la ecuacin general de la recta de pendiente 4 y que pasa por el punto (5, 3)Luego la ecuacin pedida es 4x + y 16 = 0.2.2. ECUACIN PRINCIPAL DE LA RECTA

y y1 = m(x x1) y (3) = 4(x 5) y + 4 = 4x + 20Esta es otra de las formas de representar la ecuacin de la recta. Pero antes de entrar en la ecuacin principal de la recta conviene recordar lo siguiente:Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa y (y) el valor de la ordenada.(x, y) = (Abscisa , Ordenada)Ejemplo: El punto (3, 5) tiene por abscisa 3 y por ordenada 5.Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuacin.Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuacin y = x 5, ya que al reemplazar queda2 = 7 5 lo que resulta verdadero.Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuacin de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) tambin se conoce, que se obtiene con la frmula: y = mx + nque considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepcin en la ordenada (n), y es c