MODULO DE MATEMATICA BÁSICO

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXIPOR LA VINCULACIÓN DE LA UNIVERSIDAD CON EL PUEBLO

CARRERA DE CIENCIAS

ADMINISTRATIVAS, HUMANÍSTICAS

Y DEL HOMBRE

MODALIDAD MODULAR

ESPECIALIDAD: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

INGENIERÍA COMERCIAL

EDUCACIÓN BÁSICA

COMUNICACIÓN SOCIAL

ASIGNATURA: MATEMÁTICA

LATACUNGA – ECUADOR

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ÍNDICE

Información general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Objetivos generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Planificación del primer parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 1 Cálculo Proposicional

1.1. Importancia de la lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Proposiciones lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Proposiciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Proposiciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Uso de los operadores lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Operaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Métodos de demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 2 Teoría de conjuntos

2.1. Noción intuitiva de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Determinación de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Propiedad de los conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Relación de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Clasificación de los conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Inclusión y contenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Representación gráfica de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 3 Números reales

3.1. Estructura de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto de números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto de números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto de números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto de números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Operaciones con números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Teoría de generatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4. Operaciones combinadas con Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Planificación del segundo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 4 Expresiones algebraicas

4.1. Expresión algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Clasificación de las expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3. Valor numérico de una expresión algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4. Operaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5. Productos y cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6. Descomposición en factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 5 Funciones algebraicas

5.1. Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2. Formas de expresar una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3. Representación gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Planificación del tercer parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 6 Ecuaciones lineales

6.1. Ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación a las ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Métodos de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Métodos de igualación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Método de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación a los sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 7 La recta

7.1. Pendiente de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2. Ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Punto pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pendiente intercepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anexos

Triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funciones trigonométricas de ángulos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INFORMACIÓN GENERAL

1. DATOS INFORMATIVOS

ASIGNATURA : Matemática BásicaPERÍODO SEMANAL : Dos períodosCICLO ACADÉMICO : abril – agosto 2009DOCENTE : Dr. Franklin Hernán Garzón Vaca TELÉFONO : 098 906 629E- MAIL : [email protected]

2. NÚMERO DE ENCUENTROS

PARCIALESENCUENTROS

PRESENCIALES

PRIMERO 7

SEGUNDO 7

TERCERO 7

TOTAL 21

3. FECHAS DE ENCUENTROS

ENCUENTROS PRESENCIALES

Según el horario establecido

COMPLEMENTARIAS

En cada parcial los estudiantes asistirán un día entre semana, para reforzar contenidos, para despejar inquietudes de la asignatura y asesorar tareas de consulta, exposiciones o evaluación.

Se respetarán las fechas de los encuentros presenciales semanales establecidos en el horario, en caso de no asistir los estudiantes, se asumirá la clase como dictada y se deberá realizar las actividades correspondientes al encuentro según lo señalado en la guía de estudios.

El primer encuentro se iniciará desde la primera semana de inicio del ciclo académico.

4. ASISTENCIA

El 70% del total de las horas presenciales permitirá aprobar el módulo.

El 31% del total de las horas presenciales no le permitirá aprobar el módulo.

mailto:[email protected]

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5. ASESORIA DIDÁCTICA

A continuación se detallan los contenidos que se van a tratar en cada parcial, de tal forma que le corresponde a usted investigarlos antes de cada encuentro presencial.

PRIMER PARCIAL

ENCUENTROS TEMAS1 Principios fundamentales de la lógica matemática2 Operaciones binarias de la lógica matemática3 Conjuntos.- definición.- relación entre conjuntos4 Operaciones entre conjuntos5 Estructura de los números reales6 Teoría de generatrices7 Operaciones combiinadas de números reales

SEGUNDO PARCIAL

ENCUENTROS TEMAS1 Expresiones algebraicas 2 Operaciones algebraicas3 Operaciones algebraicas4 Descomposición en factores5 Descomposición en factores 6 Tipos de funciones 7 Gráfica de funciones

TERCER PARCIAL

ENCUENTROS TEMAS1 Ecuaciones lineales2 Aplicación de las ecuaciones lineales3 Sistemas de ecuaciones lineales (métodos de solución) 4 Sistemas de ecuaciones lineales (continuación)5 Pendiente de la recta6 Ecuación de la recta (punto pendiente)7 Ecuación de la recta (pendiente intercepto)

6. METODOLOGÍA

La modalidad modular costituye una innovación eucativa importante a nivel de la educación superior, tiene como base la investigación que es la que contribuye al desarrollo del proceso de enseñanza – aprendizaje donde el rol del profesor es el de orientador que guía el aprendizaje de sus estudiantes quienes adquieren nuevas formas de trabajo en el aula y fuera de ella a fin de que posibiliten el desarrollo de las potencialidades de cada uno de ellos a

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través del método activo, trabajo colaborativo, análisis, síntesis, interpretación, modelos mentales, seminario – taller, proyecto de aula, etc.

7. EVALUACIÓN

Se aplicará la evaluación procesual bajo los siguientes parámetros

PARÁMETRO PROCENTAJE

Auto evaluación 10%

Talleres 20%

Trabajos de investigación 30%

Prueba final en cada parcial 40%

8. BIBLIOGRAFÍA

BÁSICA

- HEAUSSLER, Paul: Matemática para administración y economía, Pearson, México, 2003.

COMPLEMENTARIA

- ALMEIDA, Francisco – NICOLA, Jorge: Matemática 10º año, DIMAXI, Quito, 2002.

- BARNETT, Raymond: Álgebra y Trigonometría, McGraw – Hill, México, 1990.

- EDICIONES CREATIVA: Matemática I, s.e., Quito, 2008.

- LEMA, Miguel: Matemática con Nueva Visión, s.e., Quito, 2005.

- PROAÑO VITERI, Ramiro: Lógica – Conjuntos – Estructuras, Edicumbre, Quito, s.a.

- SILVA, Juan: Fundamentos de matemática, Limusa, México, 1997.

- STANLEY, Smit: Álgebra, Pearson, México, 1990.

- RIOFRIO, Antonio: Guía didáctica Matemática I, Universidad Técnica Particular de Loja, Loja, 2006.

9. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

El aprendizaje de la matemática exige una clara comprensión de las definiciones, propiedades, leyes, a tal punto que sus esfuerzos deben

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orientarse en primer lugar a la aprehensión de los fundamentos teóricos, puesto que, éstos son los que permiten las aplicaciones a través de los ejercicios y problemas, por lo que deberá dedicar por lo menos una hora diaria para la lectura del módulo, ya que aquí encontrará una amplia explicación de cada uno de los temas a tratar.

Asegúrese de comprender cada uno de los conceptos que se presentan, resultará inútil seguir adelante sin hacerlo, si alguno resulta muy difícil consulte a sus compañeros, a su tutor o profesor de la materia.

Revise luego los ejercicios resueltos del texto, estos no deben tener secretos para usted, debe saber de donde resulta y cómo se obtiene cada resultado que consta en él y para que sirve cada paso que se da en la resolución, si encuentra dificultad en alguno de ellos anótelo para que pida la explicación respectiva, trate luego de reslver esos mismos ejercicos por su cuenta.

10.ESTRUCTURA DEL MÓDULO

El presente texto se ha estructurado con un programa sencillo de siete unidades en las cuales se hace una profunda revisión teórica de los conceptos más importantes de las proposisciones, conjuntos, la aritmética y el álgebra, que permita al estudiante de la Carrera de Ciencias, Administrativas, Humanísticas y del Hombre, responder con criterio propio, lo importante del estudio de la metemática.

Consta de una gran variedad de ejercicios resueltos, los cuales le indican paso a paso el proceso que debe seguir para obtener los resultados, es importante que el estudiante, siga el proceso ya que a través de él puede terminar de comprender la teoría desarrollada.

Al final de cada tema se presenta una actividad de refuerzo con ejercicios propuestos, como tarea para que usted lo desarrolle, actividad muy importante en el estudio de la matemática ya que le permitirá adquirir agilidad y destreza en la solución de ejercicios, además auto evaluar su conocimiento.

Al final del módulo se presentan los anexos, donde constan las funciones y relaciones trigonométricas que se utilizan en la solución de los ejerccios resueltos y en los ejercicios propuestos.

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INTRODUCCIÓN _________________________________________________________________

La matemática constituye una base de particular importancia para el desarrollo de las sociedades. Sus leyes, axiomas y aplicaciones han permitido el desarrollo vertiginoso de la ciencia y la tecnología, sin embargo la enseñanza de esta ciencia requiere de docentes altamente capacitados y de estudiantes comprometidos por alcanzar un conocimiento de bases sólidas.

Es tal su practicidad y aplicabilidad que la relación que se genera entre el hombre y la sociedad obedece a modelos matemáticos que explican el por qué y para qué el estudio de esta ciencia.

En este contexto, la enseñanza de la matemática juega un papel importante en la formación del profesional, por cuanto esta ciencia estimula las facultades mentales superiores de la persona, capacitándola para resolver problemas no sólo en el ámbito del razonamiento matemático sino también en otras ciencias y en su la vida diaria.

El presente texto de trabajo de ninguna manera pretende ser una obra completa de matemática, sino más bien un aporte para maestros y estudiantes, como un recurso didáctico para optimizar el proceso de aprendizaje de esta área de estudio.

Se ha tratado de estructurar un programa sencillo que permita al estudiante de la Carrera de Ciencias, Administrativas, Humanísticas y del Hombre, responder con criterio propio, lo importante del estudio de la matemática y por otro lado se inserte en el manejo de las técnicas elementales que se utilizan en los cálculos matemáticos, algebraicos y geométricos.

El propósito del texto es ayudar al estudiante de la carrera, para que enfrente en excelentes condiciones las demás asignaturas que tienen relación dentro del plan de estudios.

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OBJETIVOS GENERALES

- Reconocer la importancia de la matemática como instrumento básico para la organización, sistematización, inferencia y validación de los conocimientos en las diversas disciplinas científicas, humanísticas y del hombre.

- Comprender y aplicar conceptos y los procesos que permitan el uso de las proposiciones lógicas de la matemática.

- Conocer los tipos de conjuntos que existen en el estudio de la matemática para realizar operaciones entre conjuntos.

- Comprender los principios y leyes de esta ciencia para aplicarlos en la resolución de problemas y apliocarlos en problemas práticos de la especialidad que desea seguir.

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PRIMER

PARCIALPRIMER ENCUENTRO

Objetivos Específicos

- Conocer las propiedades de los axiomas y la estructura lógica matemática.

- Deducir una proposición de un conjunto de premisas

Actividades de aprendizaje

- Lectura del instructivo para la modalidad modular.

- Comparación entre el lenguaje castellano y matemático..

- Enunciación de varias proposiciones matemáticas.

Tareas para el próximo encuentro

Tarea individual

- Revise el contenido de las páginas 15 a 23 del texto y elabore un resumen con la ayuda de organizadores gráficos.

- Busque asesoría del profesor para comprender mejor los temas tratados en estas páginas del texto.

SEGUNDO ENCUENTRO

Objetivos

- Comprender el uso de los operadores lógicos entre dos proposiciones.

- Establecer lay leyes de formación de las operaciones binarias de la lógica metemática.

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- Control de lectura por medio de un debate del uso de los operadores lógicos.

- Ejercitación del uso de los operadores lógicos.Tareas para el próximo encuentro

Tarea individual

- Resuelva los ejercicios propuestos de la página 17, 22 y 24 del texto.

Tarea grupal

- Luego de leer comprensivamente el contenido de las páginas 25 a 3,1 elabore un resumen (utilice organizadores gráficos).

- Busque asesoría del profesor para comprender mejor los temas tratados en estas páginas del texto.

TERCER ENCUENTRO

Objetivos

- Explicar y notar lo que se entiende por conjunto y universo.

- Determinar las relaciones existentes entre conjuntos.


- Control de tareas enviadas, exposición de grupos de trabajo.

- Refuerzo por parte de profesor en la solución de problemas.


Tarea individual

- Resuelva los ejercicios de la página 26 y 30.

Tarea grupal

- Luego de leer comprensivamente el contenido de las páginas 31 a 35, elabore un resumen (utilice mapas conceptuales).

CUARTO ENCUENTRO

Objetivos

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- Operar entre dos o más conjuntos.

- Aplicar las operaciones entre conjuntos.


- Revisión y debate entre los grupos para conrolar tareas.

- Refuerzo y solución de ejercicios de aplicación.


Tarea individual

- Termine de resolver los ejercicios propuestos de la página 33 y 35.

Tarea grupal

Leer comprensivamente el contenido de las páginas 36 a 39 y elabore un resumen (utilice organizadores gráficos).

QUINTO ENCUENTRO

Objetivos

- Describir la estructura de los números reales.

- Comprender las leyes de las operaciones con números reales.


- Control de tareas mediante preguntas directrices de los números reales.

- Refuerzo sobre las operaciones entre números reales.


Tarea individual

- Resuelva los ejercicios propuestos de la página 39.

Tarea grupal

Leer comprensivamente el contenido de la página 40 y ejercite buscado ejercicios parecidos en los libros que indica la bibliografía .

SEXTO ENCUENTRO

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Objetivo

- Comprender las reglas fundamentales de la teoría de generatrices.


- Transformación de números decimales a fracción.

- Solución de los ejercicios propuestos con manejo de la teoría de generatrices .


Tarea individual

- Traer resueltos 20 ejercicios diferentes conteoría de generatrices. (busque en la bibliografía que de recomienda).

- Resuelva los ejercicios propuestos en la tarea de la página 42 del texto.

SÉPTIMO ENCUENTRO

Objetivo

- Evaluar los conocimientos adquiridos en la unidad I, II y II.


- Entrega del instrumento de evaluación diseñada por el docente.


Tarea individual

- Lea en forma comprensiva las páginas 47 y 48 del texto.

Tarea grupal

- Prepare una exposición de expresiones algerbaricas, solución de términos semejantes, formas de ordenar u polinomio y determinación del grado de un polinomio.

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1.1. Importancia de la lógica

La Lógica es la ciencia de las ciencias, es elemento de las ciencias y, sobre todo, de la filosofía, también es un excelente medio para configurar la mente, produciendo hábitos de claridad, precisión, rigor y exactitud.

Aunque todo hombre tiene una lógica natural, requiere sin embargo, el conocimiento de la lógica científica, pues la mente humana cae fácilmente en el error y necesita de ayuda para evitarlo.

La parte fundamental de la lógica son las proposiciones, estas pueden ser afirmaciones que pueden ser verdadero o falsas, que pueden combinarse y demostrarse de varias maneras.

1.2. Principios fundamentales de la lógica matemática

La lógica matemática es una parte de la matemática que nos permite transformar enunciados complicados en simples dispositivos de símbolos y letras. Ej.

- Si sumamos dos o más números reales, el resultado será otro número real, este enunciado corresponde a la propiedad Clausurativa y en símbolos se dice que:

∀ (a ,b )=a+b∈ R

- Algunos números reales son mayores que cero, en símbolos:

∃ x / x>0 ; x∈R

1.3. Proposiciones lógicas

La proposición es una oración matemática que tienen un antecedente y un consecuente, que puede ser verdadera o falsa, simple o compuesta.

OjO: Toda oración matemática puede tomar uno y solamente uno de los valores de verdad, es decir puede ser verdadera o falsa pero jamás al mismo tiempo los dos.

A las proposiciones se las representa con letras minúsculas del abecedario.

CAPÍTULO ICALCULO PROPOSICIONAL

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p: ¿Cómo se llama aquel jugador? No es proposición lógicaq: ¡Aleluya! No es proposición lógicar: 9+8 = 12 Falso

s: X2 ¿0 Verdaderot: ¡Arriba la U.T.C! Nada

1.4. Proposiciones Simples o Atómicas

Son aquellas que están formadas por un solo enunciado u oración, es decir presentan un solo sujeto y también un solo predicado: Ej.

p: 4 - 4 = 5 Falsoq: Canadá no es una Ciudad Verdaderor: Karl Marx fue un escritor Ruso Falsos: 7+2 es impar Verdaderot: Existen seres vivos en la Luna Falso

1.5. Proposiciones Compuestas o Moleculares

Son aquellos enunciados formados por dos o más proposiciones atómicas, relacionadas entre sí por ciertos términos de enlace llamados Conectivos Lógicos. Ej.

p: todos los triángulos son equiláteros y equiángulos Falsoq: 7 es un número impar, luego es múltiplo de dos Falso

Para facilitar la comprensión de los conectivos lógicos, se presenta el siguiente cuadro de operaciones proposicionales:

OPERACIÓN SIMBOLO SIGNIFICADO EJEMPLOConjunción ∧ i p ∧ qDisyunción ∨ o p ∨ qCondicional → entonces – implica p →qBicondicional ↔ si y sólo si – equivale p ↔ qConjunción Negativa

↓ --------- p ↓ q

Disyunción Exclusiva ⊻ --------- p ⊻ q

Negación ¬ no ¬ p

1.6. Uso de los operadores lógicos

Las operaciones moleculares entre dos proposiciones siguen una norma específica, la misma que se detalla a continuación:

Uso de la conjunción: Utilizamos la conjunción “∧” cuando las proposiciones atómicas no tienen ninguna relación entre sí; Ej.

p :7×3=11 Operación Molecular

q :5+4=9 ( p∧q ) :7× 3=11∧5+4=9

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Uso de la disyunción: Utilizamos la disyunción “∨” cuando las proposiciones atómicas se refieren al mismo sujeto; Ej.

p :2× 3=6 Operación Molecularq :2×3=5+4 ( p∨q ) :2×3=6∨2×3=5+4Uso del condicional: El condicional se define en función de dos proposiciones atómicas llamadas antecedente y consecuente, utilizamos la implicación “→” cuando el predicado del antecedente es sujeto del consecuente; Ej.

p :5×4=20 Operación Molecular

q :20=10÷ 2 ( p→q ) :5× 4=20→20=10÷ 2

Uso del bicondicional: Utilizamos el conectivo bicondicional “↔”, cuando el antecedente y el consecuente definen una misma condición; Ej.

p :5+4=9 Operación Molecular

q :3× 3=9 ( p→q ) :5+4=9↔3×3=9

Uso de la negación: La negación “¬” actúa sobre una sola proposición transformándola de verdadera a falsa o de falsa a verdadera; Ej.

p :5+4=9

¬ p :5+4≠ 9

TAREA Nº 1

1. Escriba cinco proposiciones atómicas verdaderas, cinco proposiciones falsas y cinco que no impliquen una proposición lógica.

2. A partir de las siguientes proposiciones atómicas forme proposiciones moleculares utilizando el conectivo lógico que corresponda.

- p :11+2=15q :11+2=13 _____________________________

- p :7+3=10q :6+2=8 _____________________________

- √a2+b2=h

q : h=( a2+b2 )12 ______________________________

- p : log2 2=1

q :1=( x+1 )0 ______________________________

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- p :11+2=15p :11+2≠15 ______________________________

1.7. Operaciones binarias de la lógica matemática

Cuando dos proposiciones se conectan entre sí, se forma una operación binaria la misma que puede resolverse por medio de una tabla de verdad o bien aplicando leyes proposicionales.

Tabla de verdad: Partiendo del principio matemático de que una proposición puede ser verdadera o falsa, permite establecer el siguiente modelo matemático para determinar el número de combinaciones:

¿C=2n ; Donde n = número de proposiciones

Ley de formación: En la primera columna se escribe el número de combinaciones dividido para dos verdaderos y dos falsos, a partir de la segunda columna la mitad de las combinaciones anteriores. Por ley de formación siempre empezamos por los valores de verdad.

Ejemplo 1: Si n=1 ¿C=2n ¿C=21

¿C=2


¿C=4


¿C=8

Conjunción

Es una operación binaria por medio de la cual se relacionan dos proposiciones atómicas para formar la proposición molecular (p ∧ q).

P

V

F

P q

V VV FF VF F

p q r

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

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La conjunción es verdadera si y solamente si las dos proposiciones son verdaderas, en los demás casos es falsa.

TABLA DE VERDAD

P q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

Disyunción

Es una operación binaria por medio de la cual se relacionan dos proposiciones atómicas para formar la proposición molecular (p ∨ q).

La disyunción es falsa cuando las dos proposiciones son falsas, en los demás casos es verdadera.

TABLA DE VERDAD

P q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Condicional

Es una operación binaria por medio de la cual se relacionan dos proposiciones atómicas llamadas antecedente y consecuente para formar la proposición molecular (p → q).

El condicional es falso, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, en los demás casos es verdadero.

TABLA DE VERDAD

P q p → qV V VV F FF V VF F V

Bicondicional

Llamada también equivalencia lógica, es una operación binaria por medio de la cual se relacionan dos proposiciones atómicas llamadas antecedente y consecuente para formar la proposición molecular (p ↔ q).

El bicondicional, es verdadera si las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en los demás casos es falsa.

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TABLA DE VERDAD

P q p → qV V VV F FF V FF F V

Conjunción negativa

Es una operación binaria por medio de la cual se relacionan dos proposiciones atómicas llamadas antecedente y consecuente para formar la proposición molecular (p ↓ q).

La conjunción negativa es verdadera si las dos proposiciones son falsas, en los demás casos es falsa.

TABLA DE VERDAD

P q p ↓ qV V FV F FF V FF F V

Disyunción exclusiva

Es una operación binaria por medio de la cual se relacionan dos proposiciones atómicas llamadas antecedente y consecuente para formar la proposición molecular (p ⊻ q).

La disyunción exclusiva es falsa si las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en los demás casos es falsa.

TABLA DE VERDAD

P q p ⊻ qV V FV F VF V VF F F

Ejercicio 1 Desarrolle la tabla de verdad de ¬ p∧¬ q

En el ejercicio planteado existen dos proposiciones p y q por lo tanto armamos una tabla similar a la presentada en el ejemplo dos.

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Como puede apreciar en el problema, las dos proposiciones están negadas entonces comenzamos con los valores de falso.

Luego aplicamos la ley de la conjunción y obtenemos la respuesta; de la siguiente manera:

TABLA DE VERDAD

¬ P ∧ ¬ qF F FF F VV F FV V V

Ejercicio 2 Elabore la tabla de verdad de la operación

( p∨q )→ ( p∧q )

Pasos a seguir:

- Observamos cuántas proposiciones tiene la operación. ( vemos que son dos p y q)

- Tabulamos los valores de verdadero y falso según corresponda a cada proposición.

- Aplicamos las leyes que indican los paréntesis. (ver resultado 1 y 2)

- A los resultados obtenidos en el paso anterior aplicamos la ley de condicional. (ver la columna marcada de color)

TABLA DE VERDAD

( p ∨ q ) → ( p ∧ q )V V V V V V VV V F F V F FF V V F F F VF F F V F F F

1 solución 2

Las tablas de verdad permiten expresar si una proposición es: Tautología, Contradicción o Indeterminación.

Tautología: Una proposición es tautología si y solo si el resultado es verdadero.

Ejercicio 3 Demuestre si p→q≡¬ p∨q es tautología

p → q ≡ ¬p ∨ q V V V V F V VV F F V F F FF V V V V V VF V F V V V F

22

Contradicción: Una proposición es contradicción si y solo si el resultado es falso.

Ejercicio 4 Demuestre si (¬ p∧¬ q )≡ ( p∨q ), es una contradicción

¬p ∧ ¬q ≡ p ∨ q F F F F V V VF F V F V V FV F F F F V VV V V F F F F

Nota: Si una proposición no es tautología ni contradicción; se dice que es Inconsistente.

TAREA Nº 2

Elabore la tabla de verdad de las siguientes proposiciones e indique si son: tautologías, contradicciones o inconsistentes.

1. [ ( p∨r )∧ ( p→r ) ]∧¬ r

2. [ ( p→q )∧¬q ]∧ ( p∧ r )

3. [ ( p→q )∧ p ] →q

4. ( p⊻q )→¬ ( p∧q )

5. s↓ (s↔ p )

6. ( p↓q )∧r

7. ¬ ( p⊻q )∨ p

1.8. Métodos de demostración

La demostración de una proposición tiene por objeto establecer que es verdadera, infiriéndola de verdades conocidas o ya demostradas.

Para el análisis proposicional se utilizan las siguientes leyes:

1. Equivalencia p≡ p

2. Ídem potencia p∧ p≡ p p∨ p≡ p

3. Asociativa p∧ (q∧ r )≡ ( p∧q )∧ rp∨ (q∨ r )≡ ( p∨q )∨ r

4. Conmutativa p∧q≡ q∧ p p∨q≡ q∨ p

23

5. Distributiva p∧ (q∨ r )≡ ( p∧q )∨ ( p∧ r )p∨ (q∧ r )≡ ( p∨q )∧ ( p∨ r )

6. Identidad p∧F ≡ F p∨F ≡ pp∧V ≡ p p∨V ≡V

7. Complemento p∧¬ p≡ F p∨¬ p≡V¬ (¬ p )≡ p ¬V ≡ F

¬ F ≡V

8. De Morgan ¬( p∧q )≡ ¬ p∨¬ q¬( p∨q )≡ ¬ p∧¬ q

9. Absorción p∧ ( p∨q )≡ pp∨ ( p∧q )≡ p

10. Condicional p→q≡¬ p∨qp→q≡¬ q→¬ p

11. Bicondicional p↔q≡ ( p→q )∧ (q→ p )

12. Conjunción negativa p↓q≡¬ p∧¬ q

13. Disyunción exclusiva p⊻q≡ ( p∨q )∧¬ ( p∧q )

Ejercicio 5 Demuestre la siguiente equivalencia usando las leyes

p→ ( q∧r ) ≡ ( p→q )∧ ( p→r )

Desarrollo ¬ p∨ ( q∧r ) Ley de condicional

(¬ p∨q )∧ (¬ p∨r ) Ley distributiva

( p→q )∧ ( p→r ) Ley de condicional lqqd

Ejercicio 6 Demuestre la siguiente equivalencia usando las leyes

p∨ (q∧¬ p ) ≡ p∨q

Desarrollo ( p∨q )∧ ( p∨¬ p ) Ley distributiva

( p∨q )∧V Complemento

( p∨q ) Identidad

24

Ejercicio 6 Simplifique usando las leyes lógicas

¬ p→ (q∧ p )

Desarrollo p∨ (q∧ p ) Ley distributiva

p∨ ( p∧q ) Ley conmutativa

p Absorción

TAREA Nº 3

Demuestre las siguientes equivalencias utilizando las leyes

1. ( p∨q )→q≡ p→q

2. ( p∧r ) ↓r≡¬r

3. ¬ ( p⊻q ) ≡ p→q

4. ( p⊻q )→¬ ( p∧q )

5. [ s→ ( p⊻¬ s ) ]≡ s → p

Simplifique utilizando las leyes lógicas

1. p∨ (¬ q→ p )

2. ¬ ( p⊻q )∨ p

3. ( p∨q )⊻¬q

4. q∧ ( p↔q )

5. [ ( p∨q )∧¬q ]→ p

Recuerde: Al final de cada capítulo es su obligación reforzar los temas consultando la bibliografía que se indica al final de este módulo.

25

2.1. Noción intuitiva de conjunto

Llamamos conjunto a la colección, reunión, asociación, de personas, animales, letras o cosas que se caracterizan por tener una característica común. Ej.

- El conjunto de ciudades del Ecuador- El conjunto de los números pares- El conjunto de letras que forman la palabra universidad- El conjunto de estudiantes de este paralelo

Notación de conjuntos: Para definir un conjunto se emplean letras mayúsculas del abecedario y los elementos se representan con letras minúsculas o bien las figuras, los mismos que van separados por comas y encerrados entre llaves. Ej.

A={a , e , i , o ,u } Se lee: “el conjunto A formado por las vocales”

A={triángulos } Se lee: “el conjunto B formado por los triángulos”

2.2. Determinación de conjuntos

Los conjuntos se pueden determinan de dos maneras:

Por comprensión: Consiste en escribir las propiedades que deben cumplir los elementos de un conjunto a manera de oración matemática. Ej.

A={números paresmenores que10 } A={x / x∈ 2̇; x<10 }

CAPÍTULO IITEORÍA DE CONJUNTOS

26

B= {números naturales divisoresdel 12 } B={x /x∈÷ 12 ;x ≥ 1∧ x ≤ 12}

OjO: Debe tomar en cuenta que el símbolo (< o >) excluyen a un elemento y por otro lado los símbolos (≤ o ≥) incluyen a los elementos.

Por tabulación: Consiste en enumerar cada uno de los elementos que pertenecen a un conjunto. Ej.

A={x / x∈ 2̇; x<10 } A={2 ,4 ,6 ,8 }

Como se puede observar en este conjunto tabulado, se excluye el número diez.

B={x /x∈÷ 12 ;x ≥ 1∧ x ≤ 12} B= {1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,12 }

En cambio en este conjunto tabulado, se incluyen el uno y el doce.2.3. Propiedad de los conjuntos

Al definir un conjunto estos deben cumplir las siguientes propiedades:

- En un conjunto tabulado nunca se repiten sus elementos.- En un conjunto tabulado, el orden de los elementos no altera el conjunto.

Ejemplos

Tabular el conjunto formado por los dígitos del número 23432

A={2 ,3 ,4 }

Tabular el conjunto formado por las letras de la palabra palacio

B¿ { p ,a , l , c ,i , o }

B¿ {a ,c ,i , l , o , p }

TAREA Nº 4

Determine por comprensión los siguientes conjuntos tabulados

1. A={4 ,8 ,12 ,16 ,20 ,24 ,28 }

2. B= {7 ,14 ,21 ,28 ,35 , 42,49 ,56 ,63 ,70 }

3. C={1 ,2,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 }

4. C={0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }

5. D= {1 ,2 ,3 ,6 ,9 ,18 }

27

Determine por tabulación los siguientes conjuntos

1. A={ x /x∈N ; x≥ 3∧ x<14 }

2. B= {x / x∈ 5̇ ;5<x≤ 35 }

3. C={x / x∈ x2;4 ≤ x ≤36 }

4. D= {x∈3̇ ; x ≤33 }

5. E={ x∈¿ pimos ; x≤ 23 }

2.4. Relación de pertenencia y no pertenencia

Para decir que un elemento forma parte de un conjunto empleamos el símbolo ∈ que se lee “es elemento de” o “pertenece a” y para negar la afirmación anterior empleamos el símbolo que se lee “no es elemento de” o “no pertenece a”. Ej.

Dados los siguientes conjuntos establecer las relaciones de pertenencia y no pertenencia.

ϵ A={1 ,2 ,3 ,4 ,5 } 1 ϵ A, C 1 B

2 ϵ A, B, C 2 ningunoB= {3 ,5 ,2 } 3 ϵ A, B 3 C

4 ϵ A, C 4 BC={1 ,2,4 , } 5 ϵ A, B 5 C

2.5. Clasificación de los conjuntos

Los conjuntos se clasifican por: el número de elementos que tiene y las relaciones que se establecen entre ellos.

Conjunto Universo

Es aquel que reúne a todos los elementos de los conjuntos que estemos considerando; se lo representa por U. Ej.

U={ x /x∈¿digitos; 0≤ x≤ 9 } Conjunto universo de los números dígitos

U={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,… } Representa a todos los números naturales

Conjunto Vacío

Es aquel conjunto que carece de elementos, se lo representa por {}, también por . Ej.

28

A={ x /x∈N ; x>3∧ x<4 } Es un conjunto vacío

B= {x / x∈¿digitos=10 } Es un conjunto vacío Conjunto Finito

Conjunto finito es aquel que tiene un número determinado de elementos, es decir se conoce el primer y último elemento. Ej.

A={ x /x∈N ; x>1∧ x<9 } A={2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }

Conjunto Infinito

Es aquel en el cual se conoce el primer elemento pero no el último, por los tanto no se lo puede tabular completamente. Ej.

A={ x /x∈N ; x≥ 1 } A={1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,…. }

Conjuntos Iguales

Son aquellos que están formados por los mismos elementos y cumplen las propiedades: Reflexiva, Simétrica y Transitiva. Ej.

A={1 ,2 ,3 ,4 ,5 } B= {4 ,2 ,1 ,3 ,5 } A=B

Conjuntos equivalentes

Son aquellos que tienen el mismo número de elementos. Ej.

A={1 ,2 ,3 ,4 } B= {6 ,7 ,8 ,9 , } A ↔B Conjuntos Cardinales

Son aquellos conjuntos equivalentes en los cuales a un elemento del conjunto A le corresponde uno y solamente un elemento del conjunto B. Ej.

A={1 ,5 ,7 ,9 } Si a cada elemento de A le sumamos 3, obtenemos B

B= {4 ,8 ,10 ,12 } R={(1 ,4 ) , (5 ,8 ) , (7 ,10 ) , (9 ,12 ) }

Ejercicio 2: Escriba dos ejemplos de cada clasificación de conjuntos, expresándolos primero por comprensión y tabulación.

2.6. Relación de Inclusión y Contenencia

Subconjunto

A BA

B

C

A

B

C

A B

29

Considerando dos conjuntos no vacíos A y B. A es sub conjunto de B si y solo si todos los elementos de A pertenecen también a B1.

Para decir si el conjunto A es subconjunto de B utilizamos el símbolo A B, que se lee “A es sub conjunto de B” o “A esta incluido en B”.

En cambio si queremos decir que el conjunto A contiene al conjunto B utilizamos el símbolo A B, que se lee “A contiene a B”. Ej.

Establecer las relaciones de inclusión y contenencia de los siguientes conjuntos:2

A={1 ,2 ,3 ,4 ,5 } B A A B

B= {2 ,4 ,6 } C A A C

C={1 ,3 ,5 } D A A D

D= {1 ,4 ,2,5 ,3 } E A A EE=¿

Relación de igualdad

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo A es subconjunto impropio de B y B es subconjunto impropio de A.

Relación de intersecancia

Dos conjuntos no vacíos son intersecantes si y sólo si dichos conjuntos tienen al menos un elemento común.

Relación de disyunción

Dos conjuntos no vacios son disjuntos cuando no tienen elementos en común.

2.7. Representación gráfica de las relaciones entre conjuntos

Relación de igualdad Relación de disyunción

A=B=C A disjunto de B

Relación de inclusión Relación de intersección

1 a) Todo conjunto es subconjunto impropio de sí mismo A A b) El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto2 Para negar la inclusión y la contenencia utilizamos ,

E

HB C

D

A

F G

I

30

A B C A ∩ B

Ejercicio 1 Establezca las relaciones entre los siguientes conjuntos

Para establecer las relaciones entre conjuntos debemos seguir las siguientes reglas:

1. Establecemos las relaciones de igualdad

2. En forma ordenada y cíclica analizamos cada conjunto con respecto a los demás

3. Establecemos las relaciones de inclusión y contenencia.

Solución:

A=H A ∩ B B∩ C C ∩ D D disjunto EC=G A disjunto C B∩ D C disjunto E D ∩ FD=I A ∩ D B∩ E C disjunto F E ∩ F

A ∩ E B F F BA disjunto F

Gráfica de una serie de conjuntos

Para graficar una serie de conjuntos es necesario seguir las siguientes recomendaciones

1. Graficamos el conjunto universo

2. Establecemos las relaciones que existen entre todos los conjuntos

3. Tabulamos los elementos de los conjuntos dados

U A B

D

G

E

F

C

H

I

A B A B

31

Ejercicio 2 Grafique los siguientes conjuntos

Solución:

U={x / x∈N ; x<24 }A={1 ,2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }B={3 ,4 ,5 ,13 ,14 ,15 ,16 ,17 ,22}C={11 ,12 ,13 ,14 ,19 ,20 ,22}D={5 ,6 ,8 ,9 ,10 ,14 ,15 ,20 ,21 }E={1 ,2,3 ,11 ,16 ,18 ,22 }

TAREA Nº 5

1. Grafique y tabule los siguientes conjuntos

U={x / xϵN , x<21}A={3 ,4 ,5 ,8 ,9 ,10 ,11 ,16 ,17 } B= {5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,12 ,13 ,14 ,15 }C={9 ,10 ,11 ,12 ,13 ,18 ,19 } D= {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }

2. Establezca las relaciones que se definen entre los siguientes conjuntos

2.8. Operaciones entre conjuntos

Unión

La unión entre dos conjuntos A y B consiste en reunir todos los elementos de ambos conjuntos en uno solo llamado: A∪B={x /x∈ A∨ x∈B }.

Gráficamente se representa así:

A∪B A∪B

A B A B

32

Ejercicio 3 Dados los siguientes conjuntos hallar: A∪B

U={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }A={2 ,4 ,6 }B= {2 ,3 ,5 ,7 }

Solución:

A∪B= {2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }

Intersección

La intersección entre dos conjuntos A y B, se denota por A ∩ B y se define por:

A∩ B= {x / x∈ A∧ x∈B }.

Gráficamente se representa de la siguiente manera:

A ∩ B A ∩ B=¿

Ejercicio 4 Dados los siguientes conjuntos hallar: A ∩ B

U={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }A={2 ,4 ,6 }B= {2 ,3 ,5 ,7 }

Solución:

A∩ B= {2 }

Diferencia

La diferencia A−B se define mediante la pregunta: ¿qué elementos de A no están en B?; en símbolos A−B={ x / x∈ A∧ x B }.

La diferencia B−A se define mediante la pregunta: ¿qué elementos de B no están en A?; en símbolos B−A={ x / x∈B∧ x A }.

A B A B

33

Gráficamente la diferencia se representa así:

A−B B−A

Ejercicio 5 Dados los siguientes conjuntos hallar: A−B

U={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 } A={2 ,3 ,4 ,6 ,8 }B= {2 ,3 ,5 ,7 }

Solución A−B={4 ,6 ,8 }

Ejercicio 6 Dados los siguientes conjuntos hallar:3 A−B

U={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7,8,9 }A={2,3,4,6,8 }B= {2,3,5,7 }

Solución

B−A={5,7 }

Complemento

El complemento de un conjunto se denota por A' y responde a la pregunta ¿Qué elementos le faltan al conjunto A para llegar a ser igual al universo?, en

símbolos: A'={x∈U / x A }

Gráficamente el complemento de un conjunto se representa de la siguiente manera:

A'

3 A – B y B – A no se intersecan

34

Ejercicio 6 Dados los siguientes conjuntos hallar: A'

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9 }A={2,3,4,6,8 }

Solución

A'= {1,5,7,9 }

TAREA Nº 6

Realice las siguientes operaciones

U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

A={0,2,4,6,8,10 }

B= {1,3,5,7,9 }

C={1,4,7,10 }

1. A−C

2. C−A

3. ( A−B )−C

4. ( A−B )∪ ( B−C )

5. ( A−B )' ∩ ( B−C )'

6. ( A' ∩ B' ) ∩ ( B∪A )

7. (C ∩ A )∩ ( C' ∩ B' )

2.9. Problemas de aplicación

En la práctica las operaciones entre conjuntos se aplican para tabular los resultados de una encuesta realizada a personas que opinan sobre un asunto determinado.

Ejercicio 7

En un curso de 35 estudiantes, 17 tienen preferencia por la asignatura de Física, 23 por Matemática, 12 estudiantes se inclinan por las dos asignaturas, se pregunta:

i. Cuántos estudiantes no prefieren ninguna de las materiasii. Cuántos estudiantes prefieren sólo Físicaiii. Cuántos estudiantes prefieren sólo Matemática

Solución:

Para la solución de este tipo de problemas debemos seguir las siguientes recomendaciones:

- Realizamos una lectura comprensiva- Sacamos datos del problema- Determinamos si los conjuntos se intersecan o si son disjuntos.- Tabulamos los datos en cada conjunto

35

DatosTotal=35F=17M=23Fy M=12

Respuestasi. 7ii. 5iii. 11

Ejercicio 8

A 1600 estudiantes de la Universidad Técnica de Cotopaxi se les consulta por el idioma que les interesaría aprobar en la suficiencia, 801 estudiantes eligen Inglés, 900 se inclinan por el Francés, 752 prefieren Italiano, 435 estudiantes prefieren Inglés y Francés, 398 eligen Inglés e Italiano, 412 por Francés e Italiano, a 310 estudiantes les parece interesante aprobar los tres idiomas, se pregunta:

Solución Respuestas

i. Cuántos estudiantes eligen solo un idioma 278+252+363=893ii. Cuántos eligen exactamente dos idiomas 88+102+125=315iii. Cuántos no eligieron ningún idioma 82iv. Cuántos eligieron al menos una materia 1600−82=1512v. Cuando mucho dos materias 1600−310=1290

TAREA Nº 7

Resuelva los siguientes problemas 1. En una empresa se realiza una encuesta a sus 50 obreros y se obtiene

los siguientes resultados: 35 de ellos les gusta su trabajo, 27 tienen buenas relaciones con su jefe, a 15 de ellos les gusta su trabajo y tienen buenas relaciones con su jefe. Determinar cuántas de estas personas:i. No tienen buenas relaciones con su jefeii. No les gusta su trabajoiii. Les gusta su trabajo pero no tienen buenas relaciones con su jefe

36

iv. Tienen buenas relaciones con su jefe pero no les gusta su trabajov. No tienen buenas relaciones con su jefe y no les gusta su trabajo

2. Con respecto a los empleados de una empresa se tiene la siguiente información: 317 son hombres, 316 son casados, 25 son mujeres casadas sin profesión, 72 son hombres casados sin profesión, 83 son hombres profesionales solteros, 15 son mujeres profesionales solteras, 125 son hombres profesionales casados y 49 son mujeres solteras profesionales. ¿Cuántos de los empleados son?:i. Hombres solteros sin profesiónii. Mujeres profesionales casadasiii. Profesionales

3. De 180 maestros de la universidad 135 tienen maestría, 146 son investigadores a tiempo completo, de los magister 114 son investigadores de tiempo completo. ¿Cuántos de estos maestros no tienen maestría ni se dedican a investigar?

3.1. Estructura de los números reales

Para definir la estructura de los números reales, debemos analizar cada uno de los subconjuntos que lo conforman:

Conjunto de los números Naturales ( N )

Este conjunto se define a partir de tres axiomas fundamentales llamados axiomas de Peano; cuyos enunciados son los siguientes:Todo número natural tiene un número que le antecede. Ej.

- El número que le antecede al uno es el cero

- El número que le antecede al dos es el uno

- El número que le antecede al noventa y nueve es el noventa y ocho…

Ejemplo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .

CAPÍTULO IIINÚMEROS REALES

37

a) El cero no tiene su anterior, este número se le conoce con el nombre de Elemento Neutro.

b) Todo número anterior es menor que el posterior. Ej.

0<1 1<2

2<3 3¿4 … Conjunto de los números Enteros ( Z )

Es una extensión del conjunto de los números ℕ, que se origina por la imposibilidad de realizar la siguiente operación:

a−b ;b>a Ejemplo: 5−9=−4

Conjunto de los números Racionales (Q )

Es una extensión del conjunto de los números ℤ y que se originan por la imposibilidad de realizar la siguiente operación:

a÷ b=c ;c Z Ejemplo: 5÷ 2=2.5

Conjunto de los números Irracionales (Q' )

Es una extensión de los números ℚ, que se originan por la imposibilidad de realizar la siguiente operación:

√a=b;bQ Ejemplo: √2=1.414213562…

El conjunto de los números Reales queda entonces establecido de la siguiente manera:

Z

ENTEROS¿

RREALES

Q

RACIONALES

FFRACCIONARIOS

7÷3=73

73−3

4=28−9

12=19

12

Q'

IRRACIONALES3√−27=−3

√2=1.414213562…

38

3.2. Operaciones con números reales

Las operaciones de los números reales tienen su fundamento en leyes y propiedades que se detallan a continuación:

Ley de la Suma

Cantidades de signos iguales se suman y se conserva el signo en la respuesta. Ej.

−2−7−11−4=−24

+3+2+7+8=+20Ley de la Resta

Cantidades de signos contrarios se restan y se conserva el signo el signo del número de mayor valor absoluto. Ej.

−7+4=−3

27−32=−5

−12+19=7

Multiplicación y División

Para multiplicar o dividir debemos aplicar la siguiente ley de signos:

Multiplicación División4 ¿¿¿¿

¿¿¿¿

Potenciación

La potenciación es una operación de composición en la que dados dos números llamados base y exponente, debemos encontrar un número llamado potencia; siendo su generalización la siguiente:

am=P Donde

a=base

m=exponenteP=potencia

Leyes de los exponentes

4 Notación de los conjuntos que conforman los números reales

39

Propiedad Ejemplo

a1=a

a0=1

(−a )m=am ; m ∈ números pares

(−a )n=−an ; n ∈ números impares

am× an ×a p=am+n+p

am÷ an=am−n

( a× bc )

n

=an× bn

cn

(( a )m )n=am× n

a−m=( 1a )

m

= 1am

31=3

70=1

(−5 )2=25

(−3 )3=−27

5−3 ×54 ×52=5−3+4+2=53

54 ÷ 52 ÷54−2=52

( 2× 35 )

2

=22 ×32

52

((3 )−2 )−3=3−2×−3=36

( 23 )

−2

=( 32 )

2

Radicación

La radicación es una operación en la que dados dos números llamados índice y cantidad subradical, debemos encontrar otro número llamado potencia; siendo su generalización la siguiente:

n√a=R Donde

a=cantidad subradical

m=índiceR=raíz

La radicación se define en base al siguiente principio: Toda raíz implica un exponente fraccionario y recíprocamente, todo exponente fraccionario implica una raíz. Ej.

m√am=amn

352=

2√a5

Leyes de los radicales

40

Propiedad Ejemplo

mn√am=an

n√−a=−a1n ;n<0

n√a× n√b=n√a×b

n√a÷ n√b= n√a÷ b

m√ n√a=mn√a

6√32=3√3

3√−8=−2

3√2× 3√4=3√2× 4=3√8

3√4÷ 3√2= 3√4÷ 2=3√2

3√ 2√5=6√5

TAREA Nº 8

En los siguientes ejercicios aplique las leyes de los exponentes y radicales

(2 x3 y4 )4

[ (33 ) ]0

[ (−2−1 )−2 ]−2

( a−bx+ y )

−3

(5 )−n (5 )3

√32÷√8

3√25× 3√−5

212 × 3

12

6√23× 52× (−8 )12

(√25 )0 3.3. Teoría de Generatrices

Se llama generatriz de número racional decimal, al número racional que da origen al número fraccionario, siendo estos de tres tipos:

Generatriz de una fracción exacta

Son aquellos números cuyas cifras decimales son finitas.

Regla: Colocamos como numerador la parte decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros cuantas cifras tenga la parte decimal. Ej.

0.2= 210

=15

1.5=15

10=3

2

0.75= 75100

= 34

2.3=2310

=2310

Generatriz de una fracción periódica pura

41

Son aquellos números cuyas cifras decimales son infinitas y se repiten cíclicamente.

Regla: Colocamos como numerador el período (la parte que se repite) y como denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Ej.

0.333…=39=1

31.001001…=1

001999

=1000999

0.121212…=1299

= 433

2.999…=299=3

Generatriz de una fracción periódica mixta

Son aquellos números cuya parte decimal es infinita y consta de una parte no periódica y otra periódica.

Regla: Colocamos como numerador la parte no periódica seguida de un período menos la parte periódica y como denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Ej.5

0.1333…=13−190

=1290

= 215

0.1252525 …=125−1990

=124990

= 62495

3.4. Operaciones combinadas con números reales

Para resolver ejercicios combinados en los ℝ, debemos seguir las siguientes recomendaciones:

1. Buscamos las operaciones que se encuentran dentro de un signo de agrupación, como paréntesis, corchetes, un radical, etc., y en orden vamos resolviendo:

2. Potencias y raíces

3. Productos y divisiones

4. Sumas y restas

Ejercicio 1 Demuestre que

1.05−1.0555…+ 0.21010…0.9090…× 2

−0.00333…×9.999…=6760

Solución

5 Para las dos operaciones se utilizan las mismas leyes

42

- Hallamos los valores de las generatrices6 y reemplazamos en el problema

¿2120

−1818

+

104495

1011

×15

−1

300× 10

- Realizamos las multiplicaciones del ejercicio

¿2120

−1818

+

1044951055

−10

300

- Simplificamos los extremos y medios

¿ 2120

−1818

+ 5245

− 130

- Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores

¿ 189−190+208−6180

=397−196180

= 201180

- Simplificamos la respuesta

¿ 6760

Ejercicio 2 Demuestre que

3√54÷ (−2 )+ 4√ (−48 )÷ (−3 )− 5√−16 ∙5√−2+[4+(−6 ) ]2=1

Solución

¿√−27+ 4√16−5√32+ [ 4−6 ]2

= −3+2−2+ (−2 )2=−3+2−2+4=1

TAREA Nº 9

Resuelva los siguientes ejercicios

1¿ 3√2 ∙3√4 ∙

3√−1+ [−4+6−(−3 ) ]2÷ (−3−2 )

2¿√ 3√64+ 4√ (−200−43 ) ÷ (−3 )−3√√49+1−√23+√121+6

6 El exponente indica cuántas veces debemos multiplicar la base

43

3¿3÷1

10−(1−2

3 )−2

+ 3√ 78−1

4 ¿ √1−34

÷ 0.5+(1−12) ²

√ 518

×√ 52−(1−2

3) ²

×√169

100

5¿[ 25 ( 1

2−1)+( 6

5 )2]÷ 1

2+2(−1

10 )2

6¿ 4√ 181

÷ [ (0.3 )−3×0.35 ]−1

7¿1.333…−0.0666…−0.303030…+ 25− 4

11

8¿1− 2

25−0,75

0,5−35

+0,7−(12− 7

1638

x165

) 65

9¿(2−34− 7

12 ) 45−3√1−7

8

10¿0,25+1

2−5

815−

34

16

( 25+1,2)

SEGUNDO


Objetivo

- Definir, clasificar, ordenar y reconocer términos semejantes de expresiones algebraicas.

44


- Control de lectura con una guía de preguntas estructurada.

- Solución de términos semejantes de expresiones añgebraicas.


Tarea grupal

- Revise el contenido de las páginas 49 a 50, pero además el cuadro de la página 53 del texto y prepare una exposición con la ayuda de material didáctico apropiado. ( se sorteará un grupo)

SEGUNDO ENCUENTRO

Objetivo

- Conocer las reglas básicas para sumar, restar y multiplicar expresiones algebraicas.


- Control de letura por medio de exposiciones.

- Organizar grupos de tabajo para la solución de los ejercicios propuestos.


Tarea individual

- Lea detenidamente las páginas 50 a 51 y elabore un resumen del tema.

Tearea grupal

- Revise los ejercicios resueltos y consulte en otro texto ejercicios propuestos.

TERCER ENCUENTRO

Objetivo

- Conocer las reglas básicas para dividir expresiones algebraicas.


- Control de aprendizaje: resuelva el siguiente ejercicio ( se entregará en ese momento).

45

- Refuerzo de divisiones y cocientes notables por parte de profesor.


Tarea individual

- Resuelva los ejercicios propuestos de la página 52.

Tarea grupal

- Buque ejercicios con mayor grado de dificultad, en los textos que se indica en la bibliografía y repase para un taller.

CUARTO ENCUENTRO

Objetivo

- Reconocer las técnicas que se utilizan para descomponer en factores un polinomio.


- Exposición del docente sobre las técnicas de factorización.

- Trabajo en grupo para descomponer en factores un polinomio, de los casos aprendidos.

Tarea para el próximo encuentro

Tarea individual

- Consulte en otro texto ejercicios de factorización y utilice las técnicas aprendidas.

QUINTO ENCUENTRO

Objetivo

- Reconocer las técnicas que se utilizan para descomponer en factores un polinomio.


- Evaluar aprendizaje ( se entregará intrumento con ejercicios propuestos).-- Continuación del tema de descomposición en factores.


46

Tarea individual

- Resuelva cinco ejercicios propuestos en otro texto sobre todas las técnicas de factorización aprendiodas.

Tarea grupal

- Investigue lo que es una relación y una función, compare con el texto y profundice con una lextura comprensiva.

SEXTO ENCUENTRO

Objetivos

- Comprender el concepto de función algebraica.

- Determinar el dominio y codominio de una función.


- Control de tarea, escribir ejemplos de funciones (intervendrán estudiantes elegidos al azar).


Tarea individual

- Resuelva los ejercicios propuestos en la separata de ejercicios entregada por el docente.

- Lea la página 51 y 52 del texto par reslver los ejercicios propuesto de la página 63.

Tarea grupal

- Estudie las unidaes IV y V completamente y prepárese para la evaluación de fin de parcial .

SÉPTIMO ENCUENTRO

Objetivo

- Evaluar los conocimientos adquiridos en la unidad IV y V.


- Control de tareas.

47

- Entrega del instrumento de evaluación diseñada por el docente.


Tarea grupal

- Lea en forma comprensiva las páginas 68, 69 del texto, realice un resumen y prepare material expositivo ( preferentemente diapositivas).

CAPÍTULO IVEXPRESIONES ALGEBRAICAS

4.1. Expresión algebraica

Llamamos expresión algebraica aquella que está constituida por la combinación de varias operaciones entre números, letras y signos. Ej.

Exponente−53

x2

Signo Parte Literal

Coeficiente 4.2. Clasificación de las expresiones algebraicas

48

Las expresiones algebraicas se clasifican por el número de términos que tiene:

Monomios: Son aquellos que tienen un solo término. Ej.

−7 x3 y2 z Monomio de tercer grado7 con respecto a “x”

√7 zb4 Monomio de primer grado con respecto a “z”

Binomios: Son aquellos que tienen dos términos. Ej.

5 x+2 y Binomio de primer grado absoluto

−25

w2 z+7ab2 Binomio de tercer grado absoluto

Trinomios: Son aquellos que tienen tres términos. Ej.

3 x2−5 x+6 Trinomio de segundo grado

Polinomios: Cuando las expresiones algebraicas tienen dos o más términos toman el nombre de polinomio. Ej.

27 x3−8 x2 y+5 x y2−125 y3 Polinomio de tercer grado

6w5+23

w4−52

w3−12

w2+5w−7 Polinomio de cuarto grado

4.3. Valor numérico de una expresión algebraica

Las letras que se observan en una expresión algebraica son símbolos numéricos y que pueden ser sustituidos por números, al realizar las operaciones indicadas encontramos el valor numérico de esa expresión.

Ejemplo Evalúe8 las siguientes expresiones algebraicas

- 2ab2+c3 cuando a=1 , b=2 , c=−1

Reemplazamos los valores 2 (1 ) (2 )2+(−1 )3

Realizamos las operaciones 2 (1 ) ( 4 )+(−1 )

Encontramos el valor 8−1=7

7 Toda fracción debe simplificarse si es posible8 Transforme las generatrices por separado

49

- 2 x2−5xy+3 y2 cuando x=12

, y=−13

2( 12 )

2

−5 (12 )(−1

3 )+3(−13 )

2

2( 14 )+ 5

6+3( 1

9 )12+ 5

6+ 1

3=3+5+2

6

106

=53

El valor numérico de una expresión se utiliza para encontrar la medida de una magnitud, reemplazando en la fórmula que la define.

Ejemplo:Hallar el volumen de una esfera cuando π=3.14 ,r=10cm

V= 43

π r3

V= 43

(3.14 ) (10 )3

V=4188.8 cm3

Ejemplo: Hallar el área de un trapecio cuando B=5cm ,b=3cm,h=1.5cm

A=( B+b )h

2=

(5+3 ) (1.5 )2

=(8 ) (1.5 )

2=6cm2

4.4. Operaciones algebraicas

Suma

Para sumar expresiones algebraicas debemos seguir los siguientes pasos:

1. Ordenamos y completamos9 los polinomios

2. Reducimos términos semejantes10

Ejemplo:

Sumar −40x2+9 x+20 x3−10 y −7 x+4+5 x3

Solución 20 x3−40 x2+9 x−10

9 Los exponentes de la parte literal indican el grado de un polinomio. 10 Evaluar es hallar el valor numérico

50

5x3+0−7 x+4

25 x3−40 x2+2 x−6

Sumar 0.45 x2 y2+0.75 x4−0.5 x3 y y 0.56 x3 y+0.07 x2 y3−0.81 x y3+ y4

Solución 0.75 x4−0.5 x3 y+0.45 x2 y2+0+0 0+0.56x3 y+0.07 x2 y2−0.81x y3+ y4

0.75 x4+0.06 x3 y+0.52x2 y2−0.81 x y3+ y4

Resta

Para restar expresiones algebraicas debemos seguir los siguientes pasos:

1. Ordenamos y completamos los polinomios

2. Cambiamos de signo al sustraendo

3. Reducimos términos semejantes

Ejemplo:

Restar 3 x3+3x y2−6 x2 y−8 y3 de 2 x3+5 y3−3x2 y+2x y2

Solución 3 x3−6 x2 y+3 x y2−8 y3

−2 x3+3 x2 y−2 x y2−5 y3

x3−3 x2 y+x y2−13 y3

Multiplicación

Antes de entrar a explicar la multiplicación entre expresiones algebraicas debemos recordar que para multiplicar dos potencias de la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes.Para multiplicar expresiones algebraicas debemos conocer los siguientes tipos de multiplicación:

Multiplicación entre monomios

i. (−3 x2 y ) (5 x y2 )=−15 x3 y3

ii. ( 25

m3 n2 p)(−13

m n4 p)=−215

m4 n6 p2

iii. ( x− y )2 ( x− y )3=( x− y )5

Multiplicación de un monomio por un polinomio

En este tipo de multiplicaciones debemos aplicar la propiedad distributiva. Ej.

51

i. (5 x ) (3 x2−2 x+7 )=15x3−10 x2+35 x

ii. (−2 xy ) (2 x−3 y )=−4 x2 y+6 x y2

Multiplicación entre polinomios

En este tipo de multiplicación, cada término del primer factor se multiplica por cada uno de los términos del segundo y luego se reducen términos semejantes.11 Ej.

(2 x+3 y ) (3 x2−7 xy+9 y2 )=6 x3−14 x2 y+18 x y2+9 x2 y−21x y2+27 y3

¿6 x3−5 x2 y−3x y2+27 y3

( 710

m+ 15

n)( 710

m−15

n)= 49100

m2− 750

mn+ 750

mn− 125

n2

¿ 49100

m2− 125

n2

División

Antes de entrar a explicar la división entre expresiones algebraicas debemos recordar que para dividir dos potencias de la misma base, se conserva la base y se restan los exponentes.

Para dividir expresiones algebraicas debemos conocer los siguientes tipos de división:

División entre monomios

i . (−15 x3 y3 )÷ (−3 x2 y )=5 x y2

ii .

−215

m4 n6 p2

25

m3 n2 p=

−13

m n4 p

División de un polinomio por un monomio

Igual que en la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva. Ej.

i . (15 x3−10 x2+35x ) ÷ (5 x )=15 x3

5 x−10 x2

5 x+ 35 x

5 x=3x2−2 x+7

11 Un polinomio es incompleto cuando le falta términos; le completamos con cero.

52

ii . (−4 x2 y+6 x y2 ) ÷ (−2xy )=−4 x2 y−2xy

+ 6 x y2

−2xy=2 x−3 y=¿

División entre polinomios

Para dividir polinomios debemos seguir los siguientes pasos:

- Se ordena el dividendo D(x) y el divisor d(x) en forma descendente.

- Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor para obtener el primer término de cociente Q(x); éste valor se multiplica por cada término del divisor y se lo resta de dividendo (no se olvide que tiene que cambiar el signo), este proceso se vuelve a repetir.

- Para comprobar si la división es correcta aplicamos el algoritmo de la división que dice:

D ( x )=d ( x ) ∙Q ( x )+R ( x )

Ejemplo: Dividir x3+3x2−x+4 por x+2

Solución

Como puede ver los polinomios están ordenados entonces continuamos con el segundo paso:

x3+3x2−x+4 x+2 −x3−2 x2 x2+ x−3

0+x2−x −x2−2 x

0−3 x+4 3 x+6 0+10

En esta división podemos notar que:

D ( x )=x3+3x2−x+4 d ( x )=x+2 Q ( x )=x2+x−3 R ( x )=10

Nota: Se sugiere al estudiante utilizar el algoritmo para verificar la respuesta.

TAREA Nº 10

Hallar el valor numérico de los siguientes polinomios

i. 5 x3−3 x2+2 x-1 ; cuando x=-2

53

ii. 6 x2+5xy−4 y2;cuando x=√2 , y=√3

iii. 2mn2−10m2n ;cuando m=13

yn=−25

Sumar

i. a2−2ax+ x2 ;3a2+ax−2x2 ;−a2+3ax+4 x2

ii. 3 x3−5 x2 y+2 x y2− y3 ; x3+6 x2 y+x y2−3 y3

iii. −1+3 x2+2x ;−3 x+4−7 x2

Restar

i. Restar −5m2de 4 n2

ii. De a−b+c+drestar a+b+c−d

iii. Restar 3 x2 yz−5x y2 z+6 xy z2de x y2 z−4 x2 yz−3 xy z2

Multiplicar

i. (−2 x ) ( 4 x−2 y+5 )

ii. (a2+b2+ab ) ( a2+b2−ab )

iii. (2 x−3 y ) ( 4 x2+6 xy+9 y2 )

Dividir

i. ( 4 x2 y+6 xy+10 x y2 ) ÷ (2xy )

ii. (2 x2+5 x−9 ) ÷ (x−9 )

iii. (b3+4b2+6 ) ÷ (b−4 )

4.5. Productos y Cocientes notables

Son reglas que ayudan a obtener directamente el resultado de ciertas multiplicaciones y divisiones algebraicas; entre las más utilizadas tenemos:

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

REGLA EJEMPLO

1¿ (a±b ) ¿2=a2± 2ab+b2 (2 x+3 y )2=4 x2+12xy+9 y2

54

2¿ (a± b )3=a3± 3a2b+3 ab2± b3

3¿ (a+b ) (a−b )=a2−b2

4 ¿ ( x+a ) ( x+b )=x2+(a+b ) x+ab

5¿ (ax+b ) (cx+d )=ac x2 (ad+bc ) x+bd

6¿ a2−b2

a+b=a−b

7¿ a3+b3

a+b=a2−ab+b2

8¿ a3−b3

a−b=a2+ab+b2

(2 x−3 y )3=8 x3−36 x2 y+54 x y2−27 y3

(7 x+5 y ) (7 x−5 y )=49 x2−25 y2

( x+7 ) ( x−10 )=x2−3 x−70

(3 x−2 ) (5x+7 )=15 x2+11 x−14

25x2−49 y2

5 x+7 y=5x−7 y

27 x3+8 y3

3 x+2 y=9 x2−6 xy+4 y2

64 x3−125 y3

4 x−5 y=16 x2+20 xy+25 y2

Recuerde: Reforzar las reglas que se detallan en esta tabla, le ayudará a resolver los problemas que se presenten en las unidades siguientes.

4.6. Descomposición en Factores

Descomponer en factores un polinomio significa expresarlo, en forma de producto de dos o más polinomios de menor grado que el original.

Para su estudio, los casos de factoreo se dividen en:

Factor común (regla de oro del factoreo)

Forma de reconocerlo

El polinomio puede tener dos o más términos y en todos debe repetirse al menos un número u una letra.

El factor común numérico es el máximo común divisor y de las letras, las que se repiten de menor exponente.

Formula ax+bx−cx−dx=x (a+b−c−d )

Observe que la letra que se repite es “x” por lo tanto esa letra es el factor común y el polinomio queda expresado como un producto.

Ejercicios Resueltos

i. 5 x3+15 x2−30 x=5 x ( x2+3 x−6 )

55

ii. 24m3 n2−36m2 n3+12mn=12mn (2m2n−3mn2+1 )

Ejercicios Propuestos

i. 5a2 x−60b2 x+5ax=¿ _________________________________

ii. 2 y (a−1 )−3a (a−1 )=¿ _________________________________

iii. ax3−2a x2−3ax=¿ _________________________________

iv. a ( x+ y )+b ( x+ y )=¿ _________________________________

v. abc+abd=¿ _________________________________

Factor común por agrupamiento


El polinomio debe tener 4, 6, 8, 9, etc. términos de tal forma que los podamos agrupar de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, etc., en base a ciertos parámetros indicadores.

Fórmula

ax+bx−ay−by ¿ (ax−ay )+(bx−by ) agrupamos los términos¿a ( x− y )+b (x− y ) sacamos factor común

¿ ( x− y ) (a+b ) factor común

Ejercicios resueltos

i. xy+2 x+ y+2 ¿ ( xy+2 x )+ ( y+2 )¿ x ( y+2 )+1 ( y+2 )¿ ( y+2 ) ( x+1 )

ii. x3−2a x2−4 a+2 x ¿ ( x3−2a x2 )+(2x−4 a ) ¿ x2 ( x−2a )−2 ( x−2a )¿ ( x−2a ) ( x2−1 )

Ejercicios propuestos

i. 10 z2−6 y+15 z−9 y=¿ _________________________________

ii. x3−x2+ x−1=¿ _________________________________

iii. x3−2a x2−2a+x=¿ _________________________________

56

Diferencia de cuadrados


El polinomio tiene dos términos cuadrados perfectos12 separados por el signo menos.

Fórmula a2−b2= (a+b ) ( a−b )


i. 25 x2−16 y2=(5 x+4 y ) (5 x−4 y )

ii. 4 e2x−9e4 x=(2ex−3e2x ) (2ex+3 e2x )

iii. 9 ( x+1 )2−4 ( x−1 )2=[3 ( x+1 )−2 ( x−1 ) ] [3 ( x+1 )+2 ( x−1 ) ] ¿ [ 3 x+3−2 x+2 ] [ 3x+3+2 x−2 ] ¿ ( x+5 ) (5x+1 )


i. 36 x4 y4−81 z4=¿ _________________________________

ii.25

121a6 b18− 36

144c20 d8=¿ _________________________________

iii. 64 m4−36n2=¿ _________________________________

iv. 4 (a−3 )2−9 (a−1 )2=¿ _________________________________

Suma o diferencia de cubos


El polinomio tiene dos términos cubos perfectos13separados por el signo más o por el signo menos.

Fórmulas a3+b3=( a+b ) (a2−ab+b2 )

a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )

Nota: Observe que en el primer factor hay dos términos y en el segundo factor existen tres términos ordenados en forma descendente y que difieren en los signos.

12 Términos semejantes son aquellos cuya parte literal es exactamente igual.13 Los términos que están del mismo color son términos semejantes

57


i. 8a3+27b3=(2a+3b ) ( 4 a2−6ab+9b2 )

ii. 27u9−64v3=(3u3−4v ) ( 9u6+12u3 v+16 v2 )


i. 27m6 n9−8 p15 q12 _________________________________

ii. e3x+8e3x _________________________________

iii. 125 y6+64 w3 _________________________________

iv. 343a3 b9−1331c12 _________________________________

Trinomio cuadrado perfecto


El polinomio tiene tres términos, el primero y tercero son cuadrados perfectos positivos y el segundo término es el doble producto de la raíces de los anteriores.

Formula

a2± 2ab+b2=(a± b )2

El sigo del 2º términoEjercicios resueltos

i. x2−10 x+25=( x−5 )2

ii. 144m4+72m2 n2+9n4=(12m2+3n2)2

iii. a2+2ab+b2−25 c2 ¿ (a2+2ab+b2 )−25c2 combinción de TCP y ¿ (a+b )2−25c2 DC14

¿ (a+b )2−25c2

¿ (a+b+5c ) (a+b−5c )


i. 4 u2−28uv+49 v2=¿ _________________________________

14 Que se puede extraer la raíz cuadrada

58

ii. 19

m2

+ 25

m+ 925

=¿ _________________________________

iii. x28 xy+16 y2=¿ _________________________________

Trinomio de la forma x2+bx+c


El polinomio tiene tres términos, el primero es un cuadrado perfecto positivo con coeficiente igual a uno.

Regla

Formamos dos factores, el primer término de los dos factores es la raíz cuadrada del primer término, el segundo término en los dos factores son dos números que multiplicados nos de el tercer término y sumados algebraicamente nos reproduzcan el coeficiente del segundo.

Ley de signos

En el primer factor se pone el signo del 2º término y en el segundo factor el signo que resulta de la ley entre el 2º y 3º término.

Fórmula x2+bx+c=( x+m ) ( x+n ) Donde c=m∙n

b=m+n

Nota: El número de mayor valor absoluto se ubica en el primer factor.


i. x2−8 x+12=( x−6 ) ( x−2 )

ii. a2−5a−24= (a−8 ) (a−3 )

iii. m2−4mn+3n2=(m−3n ) (m−n )


i. x2+8 x+15=¿ _________________________________

ii. b2−10be+30e2=¿ _________________________________

iii. a20+5a10b2−24b4=¿ _________________________________

iv. e4 x−9e2x+20=¿ _________________________________

v. x2+ x−30=¿ _________________________________

59

vi. x2+2x−80=¿ _________________________________

Trinomio de la forma ax2+bx+c


El polinomio debe tener tres términos (ordenados), la variable del primer término debe ser cuadrado perfecto positivo con coeficiente diferente de uno.

Regla

Formamos dos factores, el primer término de los dos factores son dos números que multiplicados reproduzcan el coeficiente del primer término acompañados de la raíz cuadrada de su variable, el segundo término en los dos factores en cambio son dos números que multiplicados reproduzcan el tercer término.

Nota: Debemos verificar que la suma algebraica del producto de los extremos y medios resulte igual al coeficiente del segundo término.

Fórmula m ∙q

ax2+bx+c= (mx+ p ) (nx+q ) n ∙ p

b=(m∙q )+(n ∙ p )

OjO: Los signos se ubican de la misma manera que en el caso anterior


8×7=56i. 8 x2+59x+21= (8x+3 ) ( x+7 )

3×1=3 8 3 59 1 7

2×−2=−4ii. 6 x2+23 x−18=(2 x+9 ) (3 x−2 )

9×3=27 2 9 23 2 2


60

i. 6 x2−7 x−3 _________________________________

ii. 2 x2+5 x−12 _________________________________

iii. 4 b2−9b−9 _________________________________

iv. 7 x2+11 x−10 _________________________________

.

A

2

3

4

5

.

Bf(x)

61

5.1. Función

Cuando se establece una correspondencia entre dos conjuntos, definido a través de f(x) y si a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada, entonces la relación se llama función.

Observe que los elementos del conjunto de partida A, se relacionan a través de f(x) con los elementos del conjunto de llegada B.

El diagrama sagital muestra como al sumar uno a cada elemento del conjunto de partida, se obtiene el conjunto de llegada. Luego:

B=A+1

5.2. Formas de expresar una función

Para representar una función planteamos una igualdad con dos variables (generalmente x e y); del diagrama anterior se tiene:

Variable independiente y=x+1

Variable dependiente

A la variable independiente le asignamos valores arbitrarios y determinamos el valor de la otra variable, encontrando una serie de pares ordenados.

Los pares ordenados de la relación que se plantea al principio son:

Rf (x )= {(1,2 ) , (2,3 ) , (3,4 ) , ( 4,5 ) }

Nota: En este texto, para expresar una función utilizaremos la siguiente notación:

f ( x )=x+1 Donde f ( x )= y

CAPÍTULO VFUNCIONES Y GRÁFICAS

62

5.3. Representación gráfica de una función

Para graficar una función debemos conocer el conjunto de pares ordenados determinados por el dominio y rango de la función f(x).

Dominio de la función D(x)

Llamamos dominio de una función al conjunto de números reales que debe tomar la variable independiente “x” para definirla.

Rango de la función

Llamamos rango o recorrido de una función al conjunto de números reales de la variable dependiente “y”, que son imagen del dominio de la función.

Ejemplo 1

Determine el dominio D(x), el recorrido R(x) y represente gráficamente la siguiente función:

f ( x )=2x−3 si D(x )={x / x∈Z ,−2≤ x≤ 2 }

Solución: Sigamos los siguientes pasos

Determinemos el dominio. D ( x )={−2 ,−1 ,0 ,1,2 }

Para hallar el rango, evaluamos la función con los valores del dominio.

f ( x )=2x−3

f (−2 )=2 (−2 )−3=−4−3=−7

f (−1 )=2 (−1 )−3=−2−3=−5

f (−0 )=2 (0 )−3=0−3=−3

f (1 )=2 (1 )−3=2−3=−1

f (2 )=2 (2 )−3=4−3=1

Tabulamos los resultados

R ( x )={−7 ,−5 ,−3 ,−1,1 }

x f(x) (x , y)

-2 -7 (−2 ,−7 )-1 -5 (−1 ,−5 )0 -3 (0 ,−3 )1 -1 (1 ,−1 )2 1 (2 ,1 )

63

i. Para trazar la gráfica ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano15.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Ejemplo 2

Determine el dominio D(x), el recorrido R(x) y represente gráficamente la siguiente función:

f ( x )=x2−4 x+2

i. D ( x ): x∈R

ii. R ( x ) : y ≥−2

15 Que se puede extraer la raíz cúbica

x f(x) (x , y)-2

14 (−2 ,14 )

0 2 (0 ,2 )2 -2 (2 ,−2 )4 2 (4 ,2 )5 7 (5 ,7 )

i. Tabla de valores

ii. Gráfico

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

.

A

5

9

13

17

.

Bf(x)

64

TAREA Nº 11

Dados los siguientes conjuntos, establecer:

i. La relación existente entre ellos

ii. El dominio de la función

iii. El recorrido de la función

iv. El conjunto de pares ordenados de la relación

v. Ubique los puntos en el plano

Por medio de la siguiente relación Rf (x )= {(4 ,−1 ) , (9 ,0 ) , (16 ,1 ) , (25 ,2 ) }

i. Trace un diagrama sagital

ii. Cuál es la función que define a la relación

iii. Ubique los puntos en el plano

iv. Indique el dominio y la imagen

Halle el dominio, el rango y grafique las siguientes funciones

i. f ( x )=4−2 x

ii. f ( x )=−2x2+3 x

iii. f ( x )=8−x3

iv. f ( x )= xx−1

v. f ( x )=−2

65

TERCER


Objetivo

- Comprender el proceso para resolver ecuaciones lineales con una variable.


- Control de lectura mediante un debate de solución de ecuaciones de primer grado con una variable.

- Solución de problemas de aplicación, ejercicios propuestos por el docente.


Tarea individual

- Resuelva los ejercicioas propuestos de la página 66 y 67.

Tarea grupal

- Consulte bibliografía adicional y resuelva 20 ejercicios distintos de ecuaciones lcon una incognita.

- Estudie las páginas 70 y 71 del texto yprepare una exposición (se sorteará el grupo).

SEGUNDO ENCUENTRO

Objetivos

- Exponer ciertas recomendaciones para plantear ecuaciones con una incognita.

- Plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una variable.


66

- Exposición del grupo sorteado.

- Organizar grupos de tabajo para la solución de los ejercicios propuestos.Tareas para el próximo encuentro

Tarea grupal

- Resuelva los ejercicios de la página 71.

TERCER ENCUENTRO

Objetivo

- Comprender los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas.

- Graficar sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.


- Exposición por parte del docente de los métodos de igualación y sustitución para resolver sistemas de ecuaciones.

- Utilizar papel milimetrado para graficar un sistema de ecuaciones.


Tarea individual

Consulte bibliografía alternativa y resuelva cinco sistemas de dos ecuaciones por los métodos estudiados.

Tarea grupal

- Luego de leer comprensivamente el contenido de las páginas 74 a 77, elabore un resumen (utilice organizadores gráficos).

CUARTO ENCUENTRO

Objetivo

- Comprender los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas.

- Graficar sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.


67

- Debate sobre la lectura de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.

- Plantear sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas.Tarea para el próximo encuentro

Tarea individual

- Resuelva los ejercicios propuestos de las páginas 77.

- Lea el contenido de la página 78 del texto y compare con temas similares de otro texto y realice un resumen.

QUINTO ENCUENTRO

Objetivo

- Conocer los elementos fundamentales de la geometría analítica.

- Comprender el uso de la pendiente de una recta.


- Control de tarea mediante un debate entre grupos de trabajo.

- Explicación del uso de fórmulas que comprende la pendiente de la recta.


Tarea grupal

- Revise un texto adicional y resuelvan 10 ejercicios en los cuales deba calcular la pendiente de una recta..

SEXTO ENCUENTRO

Objetivo

- Definir la ecuación de la recta cuando se conoce un punto y la pendiente.

- Aplicar la ecuación de la recta en problemas relacionados con nuestro entorno.


- Trazando puntos en el plano cartesiano encontrar la ecuación de la recta en forma analítica y gráfica.


68

Tarea individual

- Utilice otro texto y resuelva 10 ejercicios de la recta cuando se conoce, punto – pendiente.

Tarea grupal

- Revise el contenido de la página 80 y resuelva los ejercicios de la página 81.

- Estudie toda la unidad VI y VII para la evaluación de fin de parcial.

SÉPTIMO ENCUENTRO

Objetivo

- Evaluar el proceso educatico de matemática.

- Avaluar el conocimeiento de la unidad VI y VII.


- Entrega de trabajo final.

- Entrega del instrumento de evaluación diseñado por el docente.

- Fin del ciclo.

69

6.1. Ecuación

Ecuación es toda igualdad en la que se puede identificar una o más variables llamadas incógnitas.

Ecuaciones Lineales

Una ecuación es lineal por cuanto su gráfico representa una línea y se reconoce porque la variable es de primer grado.

En este texto las variables serán representadas por las últimas letras del abecedario, mientras que los números y las primeras letras se consideran valores constantes. Ej.

- 5 x−2=3 x+8 Ecuación lineal con la variable “x”

- m−4w=2m−3w Ecuación literal con la variable “w”

- 5 t−6=7 s−2 Ecuación lineal con dos variables “s” y “t”

Solución de ecuaciones lineales

Resolver una ecuación significa hallar el valor de la variable que satisface una condición dada. Para resolver ecuaciones con una incógnita seguimos los siguientes pasos:

1. Agrupamos las variables a un solo lado de la igualdad y los números al otro.

OjO: recuerde que cuando transporta los términos de un lado a otro debe cambiar el signo.

2. Resolvemos términos semejantes a los dos lados de la igualdad

3. Despejamos16 la variable

Ejemplo 1 Resuelva la siguiente ecuación

2 x−5−x+4=6 x+2

16 TCP = Trinomio cuadrado perfecto, DC = Diferencia de cuadrados

CAPÍTULO VIECUACIONES LINEALES

70

Solución Transportamos los términos 2 x−x−6 x=2+5−4Resolvemos términos comunes −5 x=3

Despejamos la variable x=−35


2( 92

x+4m)−2x=6(x−16

m)Solución

Destruimos paréntesis 9 x+8m−2 x=6 x−mTrasportamos términos 9 x−2 x−6 x=−m−8mReducimos términos x=−9m

Ecuaciones fraccionarias

Son aquellas en las cuales la variable se encuentra en el denominador, para resolver debemos seguir los siguientes pasos:

i. Descomponemos en factores los denominadores si es posibleii. Hallamos el m.c.m. de los denominadoresiii. Resolvemos la fracción hasta reducir términos semejantesiv. Despejamos la variable


2x−1x+2

− x+3x+5

= x2−3x2+7 x+10

Solución

Factoramos los denominadores 2x−1x+2

− x+3x+5

= x2−3(x+5 ) ( x+2 )

Hallamos el m.c.m. en este caso ( x+5 ) ( x+2 )

Realizamos las divisiones ( x+5 ) (2x−1 )−( x+2 ) ( x+3 )=x2−3

Resolvemos las multiplicaciones 2 x2+9x−5−x2−5 x−6=x2−3

Transportamos términos 2 x2+9x−x2−5 x−x2=−3+5+6

Reducimos términos semejantes 4 x=8

Despejamos la variable x=84

Simplificamos la respuesta x=2

71

Comprobación: Para verificar si el resultado es correcto, evaluamos la ecuación:

2 (2 )−12+2

−2+32+5

= 22−3(2 )2+7 (2 )+10

→4−1

4−5

7= 4−3

4+14+10→

34−5

7= 1

28

21−2028

= 128

→ 1

28= 1

28 Demostrado

Aplicación a las ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales tienen su aplicación práctica en problemas cotidianos que se presentan a nuestro alrededor.

Es difícil establecer reglas específicas para plantear una ecuación, sin embargo a continuación se presenta algunas recomendaciones:

Lectura Ejemplo

- Elegimos una variable para representar el dato desconocido.

- Si leemos las frases, añadido, aumentado,… formamos una suma.

- Si leemos las frases, restado, disminuido,… formamos una resta.

- Si leemos las frases, el doble, el triple, veces,… formamos una multiplicación.

- Si leemos las frases, la mitad, la tercera parte,… formamos una división.

- Las palabras, equivale, resulta, es,… indican que se trata de una igualdad.

Puede ser la variable “x”

Un número aumentado en cinco, se escribe: x+5

Un número disminuido en tres, se escribe: x−3

Cinco veces un número, se escribe: 5x El triple de un número, se escribe: 3 x

La tercera parte de un número, se

escribe: x3

El doble de un número equivale al número aumentado en seis, se escribe: 2 x=x+6

Ejemplo 1

Tres personas A, B, C reciben una herencia de $3500, B recibe el triple de lo que recibe A y C el doble de lo que recibe B. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Datos Ecuación

Dinero que recibe A x x+3 x+6 x=3500

72

Dinero que recibe B 3x 10 x=3500Dinero que recibe C 2(3x) = 6x x=350 Luego Comprobación

A recibe $350 350+1050+2100=3500B recibe 3 (350 )=1050 3500=3500C recibe 6 (350 )=2100

Ejemplo 2

Trabajando solos, Juan puede hacer una obra en 10 horas, Luis hace la misma obra en seis horas, si trabajan juntos, ¿en qué tiempo terminaran la obra?

Datos Ecuación

x Tiempo de la obra 1

10+ 1

6=1

x

x10

Trabajo de Juan 6 x+10 x=30

x6

Trabajo de Luis 16 x=30

Tiempo en que terminan la obra x=3016

horas

TAREA Nº 12

Resuelva las siguientes ecuaciones

i.3x−2

4=3 x+3

8

ii. x (m−4 )+x (m−5 )=m (x−5 )+m ( x−4 )

iii.3x−a

2=−1

a

iv.4

x−2− 3

x+1= 8

x2−x−2

v.2 (2−x )

x−1+ 3−x

x+1= 4

x2−1−3

1

vi. Un caballo con su silla valen $ 1400. Si el caballo vale $ 900 más que la

73

silla ¿cuánto vale la silla?

vii. Un terreno rectangular tiene un ancho de 5 metros menos que de largo y su perímetro es de 95 metros. Hallar sus dimensiones.

viii. Un estudiante obtiene una nota de 12 y 14 en sus dos primeros exámenes. ¿Qué puntaje en el próximo examen hará que obtenga una media de 15?

ix. Una persona tiene en total $ 3000 en dos cuentas de ahorro diferentes que le producen un interés anual del 18% y 21% respectivamente. Si en un año recibe $594, ¿qué cantidad de dinero tiene invertido en cada cuenta?

x. María y su hermana Fernanda tienen conjuntamente $ 10, María tiene $ 1 más que su hermana. ¿Cuánto tiene cada una?

6.2. Sistemas de ecuaciones lineales

Dos o más ecuaciones forman un sistema, cuando se integran con la finalidad de buscarles un par ordenado que constituya una solución común.

Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, podemos identificar los siguientes tipos de solución:

Única solución17

Un sistema de ecuaciones tiene única solución cuando las rectas se intersecan en un punto. Ej.

{2 x+ y=63 x− y=4

Infinitas soluciones

Un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones cuando son equivalentes, es decir su gráfica es una sola recta. Ej.

{ 2x+ y=64 x+2 y=12

Ninguna solución

Un sistema de ecuaciones no tiene solución cuando son paralelas, en este caso se dice que se trata de un sistema inconsistente. Ej.

{2x+ y=62x+ y=5

17 Plano formado por los ejes de abscisas (x) y ordenadas (y)

74

Métodos de solución

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen varios métodos analíticos, los cuales se complementan con un gráfico:

Método de sustitución

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra; de la siguiente manera:

Ejemplo Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

{ 2 x− y=4x+2 y=−3

Solución

Vamos a despejar “y” en la primera ecuación y=2x−4

Reemplazamos en la segunda ecuación x+2 (2x−4 )=−3

Hallamos el valor de “x” x+4 x−8=−3 5x=5 x=1

Este valor sustituimos en el valor de “y” y=2 (1 )−4y=−2

La solución es el par ordenado Sol (1 ,−2 )

Método gráfico

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico elaboramos una tabla de valores para cada ecuación.

Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método gráfico

{ 2 x− y=4x+2 y=−3

Sol (1 , -2)

75

2 x− y=4

X Y0 -42 0

x+2 y=−3

X Y0 -3/2-3 0

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Método por igualación

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos en ecuaciones y se igualan los dos resultados; de la siguiente manera:

Ejemplo Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación

{2x−3 y=4x+2 y=9

Solución

Despejemos la variable “x” en las dos ecuaciones

x=4+3 y2

x=9−2 y

Igualamos los dos valores 4+3 y

2=9−2 y

Hallamos m.c.m. y desarrollamos4+3 y=2 (9−2 y )4+3 y=18−4 y

4 y+3 y=18−4 7 y=14 y=2

Este valor sustituimos en “x” x=9−2 (2 )

76

x=9−4 x=5

La solución es el par ordenado18 sol(5 ,2 )

Método de reducción

Llamado también eliminación por suma y resta, consiste en elegir una variable para ser eliminada, para ello debemos multiplicar una o las dos ecuaciones por un número determinado; de la siguiente manera:

Ejemplo Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción

{3x−5 y=102x+3 y=−6

Solución

Para eliminar “x”, multipliquemos a la primera ecuación por 2 y a la segunda por -3

3 x−5 y=102 x+3 y=−6

(2 )(−3 )

Sumamos las nuevas ecuaciones 6 x−10 y=20−6 x−9 y=18

−19 y=38

Hallamos el valor de la variable y=−2

Para hallar “x” reemplazamos este valor en una de las ecuaciones originales

3 x−5 (−2 )=10 3 x+10=10 3 x=10−10

3 x=0 x=0

La solución es el punto sol(0 ,−2 )

18 Despejar significa aplicar la propiedad uniforme.

Sol (0 , -2)

77

3 x−5 y=10

x Y0 -2

10/3 O

2 x+3 y=−6-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

Regla de Cramer

En el año de 1750 Cramer desarrolló un método que utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Se llama determinante a un arreglo de orden matemático, de cantidades que se presentan dentro de dos barras.

Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por determinantes

{5x+3 y=83x− y=2

Solución

Halamos el determinante del sistema con los coeficientes de las variables, multiplicando las cantidades como indican las flechas19.

D=|5 33 −1|=5 (−1 )−3 (3 )=−5−9=−14

Hallamos el determinante de la variable “x”, sustituyendo sus valores con los términos independientes.

x=|8 32 −1|

D=

8 (−1 )−2 (3 )−14

=−8−6−14

=−14−14

=1

19 Sistema consistente.

x Y0 -23 O

78

Hallamos el determinante de la variable “y”, sustituyendo sus valores con los términos independientes.

y=|5 83 2|

D=

5 (2 )−3 (8 )−14

=10−24−14

=−14−14

=1

La solución al sistema es sol (1 ,1 )

Nota: Corresponde al estudiante comprobar el resultado por medio del método gráfico.

Aplicación a los sistemas de ecuaciones

El estudio de la matemática tiene su aplicación directa en problemas que se presentan en la realidad, resulta necesario entonces realizar una lectura comprensiva para poder plantear correctamente el ejercicio.

Ejemplo 1

La edad de Juan más el duplo de la edad de Pedro suman 65 años. El doble de la edad de Juan menos la edad de Pedro resulta 30 años. Qué edad tiene cada uno.

Datos Planteamiento

Edad de Juan x x+2 y=65

Edad de Pedro y 2 x− y=30

Por reducción x+2 y=654 x−2 y=60

5 x=125

x=1255

x=25Sustituimos 25+2 y=65

y= 402

y=20Respuesta Juan 25 años

Pedro 20 años

TAREA Nº 13

Resuelva los siguientes sistemas ecuaciones, indique si es consistente o inconsistente, si tiene única solución, infinitas soluciones o no tiene solución.

79

Nota: Para cada sistema utilice un método analítico distinto de solución, pero en todos trace la grafica.

i. { x+ y=45x−6 y=9

ii. {4 x+5 y=9x−3 y=−2

iii. {3x+4 y=16 x+8 y=2

iv. {2x+6 y=5x+3 y=−3

v. {12

x+ 34

y=2

x−2 y=−1

Plantee los siguientes sistemas de ecuaciones y luego resuelva por el método que usted crea más apropiado.

i. La suma de dos números es 27 y su diferencia es 7. Hallar los números.

ii. Juan y juliana salen de compras para sus vacaciones, Juan compra 8 rollos de fotos y 2 pilas para su cámara en $ 23. Más tarde pasa por el mismo almacén Juliana y compra 6 rollos y 2 pilas, pagando esta vez $ 18. ¿Cuál es el precio de cada rollo de fotos y de cada par de pilas?

iii. Al mezclar una sustancia A de $ 7200 el kilogramo con una sustancia B de $ 5560 el kilogramo se obtienen 20 kg de mezcla. Si el surtido cuesta $ 130880. ¿Cuántos kilogramos de cada sustancia se han puesto en la mezcla?

iv. Se reparten 80 monedas entre 3 niños y 4 niñas. Cada niño recibe igual número de monedas, y las niñas otro número de monedas igual para cada una de ellas. Si ese reparto se hubiera hecho entre dos niños y cinco niñas, se hubiesen necesitado 86 monedas. ¿Cuántas monedas le corresponden a cada niño y niña?

v. La edad de un hijo más la tercera parte de la edad del padre suman 22 años. Dentro de seis años la edad del padre excederá el doble de la edad del hijo en 10 años. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

P2(x2 , y2)

P1(x1 , y1)

80

7.1. Pendiente de la recta

Hemos dicho que la función lineal tiene como representación gráfica una recta, la misma que tiene un ángulo de inclinación con respecto al eje de abscisas, esta inclinación se le conoce con el nombre de pendiente de la recta.

La pendiente de la recta se representa con la letra “m” y se obtiene por la relación entre la variación de las coordenadas de “y” respecto a la variación de las coordenadas de “x”.

m=y2− y1

x2+x1

La pendiente de la recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación; de la siguiente manera:

m=tgθEjemplo 1

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas A=(2 ,1 ) y B=(−2 ,−2 ).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4m=

y2− y1

x2+x1

m=1−(−2 )2−(−2 )

m=1+22+2

m=34

m=tgθ

La pendiente de la recta puede ser positiva o negativa de acuerdo al ángulo de inclinación de la recta.

CAPÍTULO VIILA RECTA

m ( - )

P(-2 , 3)

Q(4 ,- 3)

135o

81

m > 0 m < 0

m = 0 m = ∞

Ejemplo 2

Hallar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos de coordenadas P= (−2,3 ) y Q= (4 ,−3 )

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4m=

y2− y1

x2+x1

m= −3−34−(−2 )

m= −64+2

m=−66

m=−1

θ=tg−1 (−1 )

θ=135o

7.2. Ecuación de la recta

La ecuación de toda recta adopta la forma general Ax+By+C=0 y para construirla se conocen los siguientes procedimientos:

m ( + )

82

Punto – Pendiente

Cuando se conoce un punto y la pendiente de una recta, esta se construye aplicando el siguiente modelo matemático:

y− y1=m ( x−x1 )

Ejemplo 3

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2 ,−3 )y tiene por

pendiente −23

.

Solución

Punto conocido P1=(2 ,−3 )

Aplicamos la ecuación

Reemplazamos los datos

Realizamos las operaciones

Armamos la ecuación

Pendiente m=−23

y− y1=m ( x−x1 )

y− (−3 )=−23

( x−2 )

3 ( y+3 )=−2 ( x−2 )3 y+9=−2x+4

2 x+3 y+5=0

Tabla de valores

2 x+3 y+5=0

Gráfico

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Pendiente – Intercepto

x Y

0−53

−52

0

83

La pendiente de una recta y el punto de intersección con el eje de ordenadas permiten construir la ecuación de una recta, por medio del siguiente modelo matemático:

y=mx+bEjemplo 4

Dada la ecuación 2 x+3 y+6=0, Encuentre la pendiente, el punto de intersección con “y”, finalmente trace la gráfica.

Solución

Despejamos la variable y

Distribuimos el denominador a cada término

SimplificamosComparamos con la forma y=mx+b

y=−2 x−63

y=−23

x−63

y=−23

x−2

m=−23

b=−2 Intersección (0 ,−2 )

Tabla de valores

2 x+3 y+6=0

X Y0 −2

−3 0

Gráfico

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

TAREA Nº 14

Determine la pendiente y el punto de intersección de las siguientes rectas

i. −3 x+15 y−59=0ii. 2 x+5 y−12=0

iii.−12

x+ 14

y−32=0

iv. 8 x+2 y=0v. −7 x+11 y=0

Con las condiciones dadas, encuentre la ecuación de la recta

(0 , -2)

84

i. A=(5 ,−3 ) B (−2,−4 )

ii. Q= (7 ,−1 ) m=25

iii. m=−3 P (−2 ,5 )iv. M=(−5 ,−3 ) B (2 ,4 )

v. m=23

P (−2.5 ,1.5 )

Bibliografía

- ALMEIDA, Francisco – NICOLA, Jorge: Matemática 10º año, DIMAXI, Quito, 2002.

- BARNETT, Raymond: Álgebra y Trigonometría, McGraw – Hill, México, 1990.

- EDICIONES CREATIVA: Matemática I, s.e., Quito, 2008.

- HEAUSSLER, Paul: Matemática para administración y economía, Pearson, México, 2003.

- LEMA, Miguel: Matemática con Nueva Visión, s.e., Quito, 2005.

- PROAÑO VITERI, Ramiro: Lógica – Conjuntos – Estructuras, Edicumbre, Quito, s.a.

- SILVA, Juan: Fundamentos de matemática, Limusa, México, 1997.

- STANLEY, Smit: Álgebra, Pearson, México, 1990.

- RIOFRIO, Antonio: Guía didáctica Matemática I, Universidad Técnica Particular de Loja, Loja, 2006.

85

ANEXOS

cateto

cateto

hipotenusa

A

BC

b

a

c

A

BC

C

B

A

c

b

a

86

FUNDAMENTOS DE TRIGONOMETRÍA

TRIÁNGULO RECTÁNGULO TEOREMA DE PITÁGORAS

c2=a2+b2

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

senA=COH

=ac

cscA= HCO

= ca

cosA=CAH

=bc

secA= HCA

= cb

tanA=COCA

=ab

ctgA=CACO

=ba

TRIÁNGULO OBLICUÁNGULOLEY DE SENOS

asenA

= bsenB

= csenC

LEY DE COSENOSc2=a2+b2−2abcosC

SUPERFICIE A=√s (s−a ) ( s−b ) ( s−c )

SEMIPERÍMETRO s=a+b+c2

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

0O 30O 45O 60O 90O

sen 012

√22

√32

1

cos 1 √32

√22

12

0

tan 0 √33

1 √3 ∞

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Relaciones Pitagóricas Relaciones Inversas Relaciones por cocientesen2 A+coc2 A=1sec2 A−tan2 A=1csc2 A−ctg2 A=1

senA ∙cscA=1cosA ∙ secA=1tanA ∙ ctgA=1

tanA= senAcosA

87

ctgA= cosAsenA

Seno del ángulo doble

sen2 A=2 senAcosA

Coseno del ángulo doble

cos2 A=cos2 A−sen2 A

Tangente del ángulo doble

tan2 A= 2 tanA

1−tan2 A

NOTAS

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MODULO DE MATEMATICA BÁSICO

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Transcript of MODULO DE MATEMATICA BÁSICO