PRESENTACION

265

Prohibida la reproduccin

Total o parcial, sin la

Autorizacin por

Escrita del

Autor

SEGUNDA EDICION

PEDIDOS

Instituto Tecnolgico Victoria Vsconez Cuvi

Latacunga.- 803-372

Universidad Tcnica de Cotopaxi 810-296 813-157

Domicilio Latacunga 802-147

PRESENTACIN

La Estadstica Descriptiva, es un mtodo de estudio cientfico que tiene por objeto recoger, resumir y analizar datos, con la finalidad de obtener conclusiones vlidas para la toma de las mejores decisiones, reflexivas y crticas basadas en su anlisis.

El trmino estadstica se usa para detonar problemas socio-educativos, econmicos, de trabajo o empleo,....en base a nmeros derivados de los datos obtenidos con una visin de rigor investigativo.

Estamos viviendo un perodo en el cual la ciencia y con ella, la tcnica, se desarrollan con un ritmo extraordinario e impresionante, en el que nos queda un afn incansable e ilimitado por investigar, que lleva al hombre a conocer el mundo de la informacin en sus mltiples facetas, en trminos claros, precisos, objetivos y numricos en todas las ciencias y los casos.

La ciencia surge cuando se tiene conciencia de un problema y nos sentimos impelidos en buscar la solucin ms crtica del problema a investigarse. Por ejemplo, el maestro inquieto, al iniciar su clase en el ao escolar, deber conocer primeramente a sus alumnos en su amplitud mental general o aptitud acadmica sobre el contenido cientfico que trae su asignatura de enseanza.

Para toda investigacin, la estadstica constituye un instrumento valioso e indispensable, con mayor o menor frecuencia segn la naturaleza del objeto, problema o asunto considerado. Pero cualquiera que sea sta, habr que determinar la tendencia o promedio del grupo, su variabilidad y su relacin con otros factores o variables correspondindolo a la estadstica descriptiva.

Por conveniencia prctica el diseo del documento es de fcil manejo, de tal forma que el estudiante pueda abordarlo en su propio aprendizaje, con ejemplos terico prcticos ilustrativos, con ejercicios que proponen una tarea para que el estudiante resuelva por su propia cuanta, reforzando y consolidando el aprendizaje en cada uno de los temas y contenidos a desarrollarse.

OBJETIVOS1.- Identificar los campos de aplicacin de la estadstica.

2.- Explicar y descubrir algunos conceptos de la estadstica.

3.-Motivar a los estudiante la importancia de la estadstica y su aplicacin en el campo de

la investigacin.

4.- Interpretar y elaborar cuadros.

5.- Manejar y utilizar las tcnicas de agrupacin de datos y frecuencias.

6.- Desarrollar destrezas para elaborar y representar grficos en el plano cartesiano y

sectorial.

7.- Desarrollar destrezas para elaborar e interpretar barras, centro gramas, histogramas,

polgonos de frecuencia y polgono suavizado.

INDICE

Presentacin.

Objetivos

Contenidos

UNIDAD I

Pag.

1.- Generalidades

8

1.1.- Mtodo de la estadstica

8

1.2.- Variable

8

1.3.- Poblacin

9

1.3.1.- Muestra

9

1.4.- Toma de datos

10

1.5.- Redondeo de datos

10

1.6.- Ejercicios propuestos

12

1.7.- Fila de Datos

14

1.8.- Ordenacin de datos

14

1.9.- Frecuencias

14

1.10.- Ordenacin de datos en tablas de frecuencia

15

1.10.1.- Amplitud total o recorrido de la variable

15

1.10.2.- Intervalo de clase

16

1.10.3.- Punto Medio

17

1.10.4.- Nmero de intervalos

17

1.11.-Tabulacin de datos

18

1.11.1.- Serie estadstica

18

1.11.2.- Serie estadstica de frecuencias

19

1.11.3.- Serie estadstica de intervalos

20

1.12.- Ejercicios propuestos

25

1.13.-Autoevaluacin

27

1.14.- Solucionario

28

UNIDAD II

2.1.- Sistema de coordenadas rectangulares

29

2.2.- Diagramas de barras

30

2.2.1.- Diagramas de barras verticales

30

2.2.2.- Diagramas de barras horizontales

31

2.2.3.- Diagrama de barras compuestas

31

2.2.4.- Diagramas de porcentajes de barras compuestas

33

2.2.5.- Histograma

34

2.3.- Polgono de frecuencia

35

2.4.- Diagrama

37

2.4.1.- Diagrama de frecuencia acumulada u ojiva de Galton

37

2.4.2.- Diagrama de frecuencias relativas

40

2.4.3.- Diagrama de sectores

41

2.5.- Ejercicios

42

2.6.- Auto evaluacin

44

2.7.- Solucionario

47

UNIDAD III

Pag.

3.- Medidas de tendencia central

48

3.1.- Media aritmtica

48

3.1.1.- Media aritmtica de una serie estadstica

48

3.1.2.- Media aritmtica de una serie estadstica de frecuencia

49

3.1.3.- Media aritmtica de una serie estadstica de intervalos

50

3.1.4.- Representacin grfica de la media

52

3.1.5.- Propiedades de la media aritmtica

53

3.1.6.-Aplicaciones de la media aritmtica

53

3.2.- Mediana

53

3.2.1.- Mediana de una serie estadstica

54

3.2.2.- Mediana de una serie estadstica de frecuencias

54

3.2.3.- Mediana de una serie estadstica de intervalos

55

3.2.4.- Representacin grfica de la mediana

57

3.2.5.- Propiedades de la mediana

58

3.2.6.- Aplicaciones de la mediana

58

3.3.- Moda

58

3.3.1.- Moda de una serie estadstica

58

3.3.2.- Moda de una serie estadstica de frecuencia

58

3.3.3.- Moda de una serie estadstica de intervalos

59

3.3.4.- Representacin grfica de la moda

60

3.3.5.- Propiedades de la moda

61

3.4.- Media geomtrica

61

3.4.1.- Propiedades de la media geomtrica

61

3.4.2.- Aplicaciones de la media geomtrica

62

3.5.- Media Armnica

62

3.5.1.- Propiedades de la media armnica

62

3.5.2.- Aplicacin de la media armnica

62

3.6.- Medidas individuales

63

3.6.1.- Cuartiles o desviacin cuartil

63

3.6.1.1- De una serie de frecuencias

63

3.6.2.- Deciles

68

3.6.2.1.- De una serie estadstica de intervalos

68

3.6.3.- Percentiles

69

3.7.- Ejercicios

70

3.8.- Auto evaluacin

71

3.9.- Solucionario

75

UNIDAD IV

4.- Medidas de dispersin

76

4.1.- Rango

76

4.2.- Desviacin media

76

4.2.1.- Desviacin media de una serie estadstica

76

4.2.2.- Desviacin media de una serie estadstica de frecuencia

77

4.2.3.- Desviacin media de una serie estadstica de intervalos

78

4.2.4.- Propiedades de la desviacin media

79

Pag

4.2.5.- Aplicacin de la desviacin media

79

4.3.- Desviacin tpica o estndar

79

4.3.1.- De una serie estadstica

80

4.3.2.- De una serie estadstica de frecuencias

80

4.3.3.- De una serie estadstica de intervalos

81

4.3.4.- Propiedades de la desviacin tpica

82

4.3.5.- Aplicacin de la desviacin tpica

82

4.4.- Varianza o variancia

82

4.4.1.- Varianza de una serie estadstica

82

4.4.2.- Varianza de una serie estadstica de frecuencia

83

4.4.3.- Varianza de una serie estadstica de intervalo

84

4.4.4.- Propiedades de la varianza

85

4.4.5.- Aplicaciones de la varianza

85

4.5.- Dispersin absoluta y relativa, coeficiente de variacin

85

4.5.1.- Dispersin absoluta

85

4.5.2.- Dispersin relativa

85

4.5.3.- Coeficiente de variacin

85

4.6.- Puntuaciones tipificadas

63

4.6.1.- Transformaciones de las puntuaciones tipificadas

88

4.6.2.- Aplicaciones de las puntuaciones o medidas tipificadas

88

5.- Ejercicios

89

6.- Auto evaluacin

93

UNIDAD V

5.- Probabilidad

96

5.1.Acontecimiento aleatorio

96

5.2.- Probabilidad clsica

96

5.3.- Probabilidad de no ocurrencia de un suceso

96

5.4.-Probabilidad emprica

97

5.5.-Modelo matemtico de la probabilidad

97

5.6.- Relaciones entre sucesos

98

5.7.- Propiedades de las probabilidades

98

5.9.- Sucesos mutuamente excluyentes

96

5.10.- Probabilidad Total

99

5.11.- Probabilidad Conjunta

100

5.12.- Probabilidad condicional

102

5.13.- Suceso dependiente

102

Auto evaluacin

104

Glosario

105

Bibliografa

105

UNIDAD II.- GENERALIDADES

La Estadstica Descriptiva es un mtodo cientfico que consiste en agrupar datos o cifras numricas a fin de consultar, comparar, analizar, criticar, clasificar esos datos significativamente.

Algunos autores le clasifican en Estadstica Descriptiva e Inferencial. La primera se encarga del estudio, representacin, anlisis, Sntesis de hechos y cosas, sin extraer conclusiones que pueden representar o generalizar a un todo. La segunda necesita una muestra para sus estudio, anlisis y obtener las conclusiones vlidas a la poblacin.

CONCEPTO.-

La estadstica es un mtodo cientfico que comprende la agrupacin, recopilacin, tabulacin, anlisis e interpretacin de datos cuantitativos y cualitativos, a partir de un suceso que es el punto donde recae la observacin que recibe el nombre de carcter o variable.

1.1.- METODO DE LA ESTADSTICA DESCRIPTIVA

1. Recoleccin, agrupacin de datos relacionados con el problema a travs de encuestas, entrevistas, reportes, informes......2. Estudio y anlisis de datos involucrando sus factores.3. clasificacin de datos segn su afinidad, procedencia, residencia......4. Ordenacin y tabulacin de datos mediante tablas segn su clase.5. Fijar los valores numricos de la muestra correspondientes a la poblacin.6. representarles grficamente.1.2.- VARIABLE.

Es un smbolo tal como X , Y o x , y , que pueden tomar un valor cualquiera de un conjunto de valores denominado dominio . Una variable puede ser:

1.2.1.- CONTINUA.- Es aquella que puede tomar cualquier valor real entre dos valores reales dados, es decir los valores que se dan en un intervalo dado que se lo representa de la siguiente manera [a , b ], cuando X aumenta desde el valor ( a ) hasta el valor ( b ), de tal manera que toma todos los valores intermedios entre (a) y ( b), en el orden de sus magnitudes; o cuando X disminuye desde X = b hasta X = a, tomando sucesivamente todos los valores intermedios.

Ejemplo. Pesa, estatura, temperatura, calificaciones, etc

a X b

Ejemplo.- o o o o

0 A P B

Tomando el punto 0 Como origen, marquemos sobre la recta los puntos A y B correspondientes a los nmeros a y b , a dems, hagamos corresponder el punto P a un valor particular de la variable X. Evidentemente, el intervalo [ a , b ] est representado por el segmento AB. Al variar X de una manera continua en el intervalo [ a , b ] , el punto P engendrar el segmento AB si X aumenta de A hasta B, de tal forma que toma todos los valores intermedios entre a y b , de igual forma ocurre si X disminuye de X = b hasta X = a.

1.2.2..- DISCRETA.- Slo puede tomar determinados valores.

El resultado de todo proceso aleatorio es una variable aleatoria.

Ejemplo.- Nmero de personas, de objetos, etc.

1.3.- POBLACIN.-

Es el conjunto de elementos que intervienen en una investigacin, definiremos como el conjunto universo formado por todos y cada uno de los elementos que lo conforman. Ejemplo Profesores de la Universidad Tcnica de Cotopaxi, estudiantes del primer semestre de Educacin a Distancia, profesores primarios de Cotopaxi, etc.

PARAMETROS .- Son los elementos numricos de las caractersticas de la poblacin.

Ejemplo. La media aritmtica del rendimiento del primer semestre de Educacin a Distancia, La media aritmtica del sueldo bsico de los trabajadores de la Universidad Tcnica de Cotopaxi.

1.3.1.- LA MUESTRA.-

Es un subconjunto del conjunto Universo, analticamente tiene que ser representativo a la poblacin.

Ejemplo. Sueldo de los docentes del Instituto Victoria Vsconez Cuvi de la ciudad de Latacunga. (Universo Magisterio).

M Universo

A

G

I

S

Instituto Victoria Vsconez Cuvi

T

E

( muestra )

R

I

O

1.4.- TOMA DE DATOS.-

La toma de datos es la obtencin de una coleccin de ellos que no han sido ordenados numricamente; por ejemplo las ventas semanales de un determinado producto que se indican en la siguiente tabla, que podemos observar que la variable es discreta o aleatoria.

758268906288

906288

887360937159

887360

758774629578

877462

827594776974

947769

toma de datos 1

toma de datos 2

1.5.-REDONDEO DE DATOS.-

Para expresar nmeros o cantidades en forma redondeada a la cifra ms cercana se aplica el siguiente procedimiento:

1. Si el ltimo dgito es menor que 5, se elimina.

Ejemplo. 7,4 = 7 ; 10,3 = 10 ; 6,2 = 6

2. Si el ltimo dgito es mayor que 5, se aumenta una unidad.

Ejemplo. 9,6 = 10 , 8,9= 9

3. Cuando se aproxima a dcimos y ms, si la cifra anterior al 0,05, 0,005, 0,005, 0,0005 ......... es un nmero impar, se aumenta en una unidad; y si es un nmero par, se elimina el 5.

Ejemplo.-7,18 = 7,2

7,86 = 7,8

3,18 = 3,211,875= 11,88

18,935 =

11, 685 =

5,05 =

12,456 =

128,159=

345,6786=

0,3459=123, 23412=

45,67836=

45,34527=

12,567=23,876=

5 Ej a dcimos5 Ej. a Centsimos5 Ej. a Milsimos5 Ej. a Diez milsimos

2, 48=

3,59=

25,137=

234,128=345,5678=

2345,2496=0,67854=

16,89758=

NOTACIN CIENTFICA.- Al escribir nmeros o cantidades, especialmente los que tienen muchos ceros, antes o despus del punto decimal, interesa emplear la notacin cientfica en potencia de base 10 as:

101 = 10

107=

102 = 10 x 10 = 100

108=

103 = 10 x 10 x 10 = 1.000

10n= 10.....no

104 =

105 =

106 =

10o = 1

10-7 =

10-1 = 1/10 = 0,1

10-8 =

10-2 = 1/100 = 0,01

10-n = 1/10n = 0,10....n-1

10-3 = 1/1000 = 0,001

10-4 =

10-5 =

10-6 =

Ejemplo.- Exprese en notacin cientfica

8.640 =

4,825 x 107=

86.400 =

5,80 x 10-4=

864.000 =

600 x 108=

8.640.000 =

40,000 x 10-5=

864.000.000 =

6,8 x 10-6=

Para multiplica potencias de la misma base, conservamos la base y sumamos los exponentes (10p)(10q) = 10p+q

102 x 103 = 102+3 = 105 =

4-4 x 46 = 4- 4+6 = 42 =

Si tenemos una potencia negativa podemos hacerle positiva tomando el inverso.

4- 2 =

10- 3 =

5-3 =

;;

Cuando una base est elevado a una potencia de potencia, se multiplican los exponentes.

(102)3 = 10 2 x 3 = 106 =

(am)n = am x n

(x3)2=

(r4)5=

El producto de dos bases cualesquiera elevado a una misma potencia, se aplica la propiedad distributiva.

(2x)4 = 24 . x4 = 16x4

(a.b)m = am.bm

=

1.6.- EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Aplicando las reglas pertinentes, redondear las siguientes cantidades y nmeros:

A dcimos

12,32=

14,28=

19,95=

19,65=

123,61=

29,17=

17,29=

32,17=

1234,89=

15,78=

16,08=

45,81=

0,48 =

0,75=

0,08=

5,16=

1234,68=

2345,76=

3451,14=

268,94=

2.- A centsimos

15,135=

21,641=

35,045=

10,485=

0,129=

48,075=

54,167=

87,108=

98,109=

76,176=

52,748=

10,255=

1258,358=

674,896=

589,568=

9801,579=

345,538=

0,058=

0,089=

0,009=

3.- A milsimos

4,2139=

32,1392=

6,7846=

90,4678=

0,9876=

15,0887= 123,0035=

3,9865=

0,0028=

345,8115=

45,9806=

234,6319=

567,0974=

0,09452=

56,02962=

4,560895=

4.- Con sus propias palabras sintetice la importancia de la estadstica...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5.- complete: La estadstica es bsica en la.........................y experimentacin de todas las........................., razn por la cual se le considera como mtodo......................y no como ciencia.

6.-La muestra es una........................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................

7.- Poblacin es...............................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

8.- Establezca la diferencia entre variable discreta y la continua........................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................

9.- Ponga un ejemplo de variable discreta y de variable continua......................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

10.-Conteste.- Qu son los parmetros?.........................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................

11.- Cundo se puede redondear las cantidades numricas?............................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................

12.- Investigue y exprese con sus propias palabras:

a).- El concepto de estadstica..............................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

b).- La importancia de la estadstica......................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

c).- La definicin de la estadstica descriptiva.......................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

d).- La definicin de estadstica inferencial............................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

13.- Realice un mapa conceptual sobre la estadstica.

14.- Hallar el valor de las expresiones siguientes o simplificarlas, y expresar la respuesta con exponentes positivos.

a).- 3- 2 + 50 =

10 / 9

b).- (2- 1 x 3- 2 x 40 ) =

1 / 324

c).-

54 / 13

d).-

-1 / x2y2

e).-

EMBED Equation.3

1

f).-

g).-

h).-

4,5

i).-

(x+y)2 / xy

j).-

(8-22n) / 2n+2

1.7.- FILA DE DATOS

Una fila de datos consiste en recolectar, seleccionar, agrupar, escoger datos o sucesos que no han sido organizados numricamente, por Ej. Las alturas de un curso de estudiantes por letra alfabtica, El peso de los participantes de un equipo de football.

1.8.- ORDENACIONES DE DATOS

Una ordenacin es un conjunto de datos numricos en orden creciente( ascendente) o decreciente (descendente).

Creciente 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 Decreciente 36, 32, 28, 24, 20, 16, 12

Ejercicio,- ordenar en forma ascendente y descendente los siguientes sucesos:

54, 60, 62, 69, 71, 68,66, 65,, 63, 56,58, 52

A....................................................................D..............................................................

Ordene los datos en forma ascendente Ordene los datos en forma descendente

758268906288

906288

887360937159

887360

758774629578

877462

827594776974

947769

1.9.- FRECUENCIAS

Para resumir y analizar grandes colecciones de datos, es necesario distribuirlos en clases o categoras, y determinar el nmero de datos segn su definicin a clase particular que pertenecen a cada clase de coleccin, a esta repeticin o nominacin se llamado frecuencia de clase. Una disposicin tabular de los datos por clase junto con las correspondientes frecuencias de clase se llama distribucin de frecuencia (tabla de frecuencias). la diferencia entre el mayor y el menor se llama rango de ese conjunto de datos Ej. La mayor altura del curso de estudiantes por letra alfabtica es 72 pulgadas (in) y la menor 58 pulgadas (in) el rango es: 72 in. - 58in = 14 in.

FRECUENCIA.- Es el nmero de veces que se repite el mismo valor, una

tabla de frecuencias es una presentacin en forma tabular de una distribucin

de frecuencias en forma ascendente o descendente.

Ejemplo:

1.- Nmero de hijos en un barrio de 80 familias.

Nmero de hijos por familia0 1 2 3 4 5 6

Frecuencia5 15 28 10 14 4 4 80 Total

2.- Alturas de 20 estudiantes varones del curso de educacin a distancia.

Altura (in)nmero de estudiantes frecuencia ( f )

60 - 624

63 - 656

66 - 687

69 - 713

TOTALN = ( f = 20

3.- Realice un cuadro de frecuencias de 90 insectos medidos en milmetros.

Longitud en (mm)Nmero de insectos frecuencia ( f )

60 - 62

63 - 65

66 - 68

69 - 71

TOTALN = ( f = 90

4.- Construya una tabla de frecuencias de las siguientes calificaciones de una evaluacin de estadstica en un curso X.

89107864591058

5669759104678

CalificacionesFrecuencia

TOTALN = ( f =

1.10.- ORDENACIN DE DATOS EN TABLAS DE FRECUENCIAS

Para una mayor comprensin en los anlisis y la extraccin de conclusiones es necesario ordenar los datos tomando en cuenta los siguientes aspectos:

1.10.1- AMPLITUD TOTAL O RECORRIDO DE LA VARIABLE ( a ).

Es la diferencia que se establece entre el valor mayor XM y el valor menor Xm, en frmula tenemos:

a= amplitud

a = XM - Xm

XM= valor mayor

Xm= valor menor

Ejemplo.- En una clase de 20 alumnos se obtienen las siguientes calificaciones, cul? Es su amplitud:

1617181512191314191417

1391411812141810

a = 19 - 8 =

Determine la amplitud de la siguiente toma de datos

758268906288

906288

887360937159

887360

758774629578

877462

827594776974

947769

a=

a=

1.10.2.- INTERVALO DE CLASE ( i ).-

Los nmeros que se encuentran incluidos entre dos extremos forman el intervalo de clase Ej. (20 , 24(, el intervalo est formado por (20, 21, 22, 23, 24(, los extremos 20 y 24 constituyen los lmites : ( Li ) Lmite inferior ( 20 ), ( Ls ). Lmite superior ( 24 ), estos no son lmites reales ya que el intervalo 20 , 24 vara desde 19,5 hasta 24,5 que son los Lmites verdaderos o reales, el primero se llama LIMITE REAL INFERIOR ( Li ) 19,5 y el segundo LIMITE REAL SUPERIOR ( Ls ). 24,5 La diferencia de los lmites reales se denomina TAMAO O ANCHO DEL INTERVALO, as:

Li

Ls

lmites reales Li

Ls

20, 21, 22, 23, 24

19,5, 20, 21, 22, 23, 24,5

i = Ls - Li + 1

i = Ls Li

i = 24 - 20 + 1 = 5

i = 24,5 - 19,5 = 5

El ancho de intervalo dentro de una serie estadstica es un nmero entero, de preferencia impar, a efecto de su marca de clase sea un entero.

Ejercicio.- Encontrar el ancho de intervalo de las siguientes marcas de clase:

211 214 216 218 220

14 15 16 17

245 46 47 48

Encontrar el ancho de intervalo de las siguientes marcas de clase ( sucesos)

161410918171359101213

1.10.3.-PUNTO MEDIO (PM ) 0 MEDIANAEs el valor que est en el centro y se obtiene sumando los lmites inferior y superior de clase, en frmula tenemos:

Encontrar el punto medio de las siguientes puntuaciones : 20, 21, 22, 23, 24

El PM representa a todo el intervalo. Si el PM representa a todos los valores, se supone que stos se distribuyen uniformemente lo cual no siempre sucede

Ejercicio.- Encontrar el PM de los siguientes valores

495, 497, 498, 503, 504, 506

234, 235, 236, 237, 238 12,13,14,15,16

1.10.4.-NMERO DE INTERVALOS ( ni )El nmero de intervalos es un nmero entero que representa la totalidad de clases mediante la siguiente frmula, suponiendo que a=12 ; i=5 ni= 3

El nmero conveniente de intervalos oscila entre 18 y 5 para evitar concentracin y dispersin de las frecuencias.

Ejemplo

1.- En una clase de 35 alumnos se han obtenido las siguientes calificaciones en la asignatura de estadstica:

1614910171712171813514

15959151412131211 412

691991413137191113

Determinar:

a).- La amplitud ( a )

b).- nmero de intervalo para i=3, i=4 y i=5

2.- En un colegio se aplica una prueba de matemticas y se obtienen las siguientes puntuaciones:

5678623754396260

2882387292445442

4255576568474256

5656556642524848

4741505247485368

Qu intervalo es el que permite una distribucin de frecuencias de 10 grupos:

i = 3 ; i = 4 ; i = 5 ; i = 6 ; i = 7 ; i = 8

1.11.- TABULACIN DE DATOS.-

Es el proceso que agrupa y ordena el material en forma conveniente de la siguiente manera:

1.11.1.-SERIE ESTADSTICA.-

Es un conjunto de valores de una variable ordenada en forma ascendente o descendente. Ej. sea la siguiente serie estadstica:

X= 65, 69, 58, 57, 62, 52, 55, 54, 45, 48, 60 ordenar en forma descendente y ascendente:

Descendente: 69,...............................................................................................................

Ascendente: 45,...............................................................................................................

Ordenar en forma ascendente y descendente la siguiente serie estadstica:

X= 75, 79, 68, 72, 52, 55, 54, 61, 58, 70, 64, 69, 56

Ascendente =......................................................................................................................

Descendente =.....................................................................................................................

Ordenar los siguientes datos en forma descendente y ascendente:

493645454550654546495055

504947665051514157505655

414467496034454746453649

434537405037754041516538

DescendenteAscendente

1.11.2.-SERIE ESTADSTICA DE FRECUENCIAS.-

Es el ordenamiento de los datos de la variable en forma ascendente o descendente, pudiendo repetirse algunos valores, generalmente se disponen en tablas siguiendo los siguientes pasos:

1. Se ordena los datos de la variable en forma ascendente o descendente.

2. Se marca en la tabla los datos repetidos mediante rayas horizontales o verticales.

3. se suma el nmero de rayas para formar el casillero de las frecuencias.

Ejemplo:

Elaborar la tabla de frecuencias de la siguiente serie estadstica:

17 141913 14 13 12 1215 15

18 17 16 13 9 14 11 10 6 9

13 11 9 12 5 5 12 4 9 14

18 7 8 13 10 17 14 9 13 14

XValores repetidosfrecuencia ( f )

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4/

//

///1

2

3

TOTAL( f =

Elabore la tabla con la frecuencia, PM, a , ni con i=4 de la serie estadstica siguiente:

493645454550654546495055

504947665051514157505655

414467496034454746453649

1.11.3.-SERIE ESTADSTICA DE INTERVALOS.

Es el ordenamiento de valores de una serie estadstica en forma ascendente o descendente, de acuerdo a los intervalos de clase que han sido previamente establecidos siguiendo los siguientes pasos:

1. Encontramos la amplitud o recorrido ( a )

2. Proponemos el ancho de intervalo ( i )

3. Calculamos el nmero de intervalo ( ni )

4. Construimos la columna de los intervalos, de modo que el lmite superior del primer intervalo sea el mayor valor de la variable. A este lmite se resta el ancho de intervalo y se le agrega 1 , obteniendo el lmite inferior, queda as el primer intervalo estructurado.

5. El segundo intervalo se obtiene restando el ancho de intervalo a los lmites del primero y as sucesivamente.

6. El ltimo intervalo debe incluirse el menor valor de la variable.

7. Procedemos a ubicar y contar los valores repetidos.

8. organizamos la columna de las frecuencias.

Ejemplo..-

La edad de 60 trabajadores de una empresa se establece entre

493645454550654546495055

504947665051514157505655

414467496034454746453649

434537405037744541516538

464857526142796655563651

DESARROLLO

1. a = XM - Xm = 79 - 34 = 45

2. Organicemos la tabla con un i = 53. ni =

4. Si el lmite superior del primer intervalo es 79 ( Ls ), entonces:

Li = Ls - i + 1 = 79 - 5 + 1 = 75, el Lmite inferior es 75, por consiguiente el primer intervalo es (75-79).

1. El segundo intervalo ser (70-74); el tercer intervalo (65-69),..........................

2. Ubicar y contar los valores.

3. Por ltimo construimos la columna de las frecuencias, haciendo corresponder a cada intervalo una frecuencia, as:

Xvalores repetidosf.

75 79

70 74

65 69

60 64

55 59

50 54

45 49

40 - 44

35 - 39

30 - 34/

/

1

1

TOTAL(f =60

En base a la tabla anterior determine:

XValores repetidosf.P (%)ffaP%(fa)

75 79

70 74

65 69

60 64

55 59

50 54

45 - 49

40 - 44

35 - 39

30 - 34/

/

1

1

5

2

7

11

19

7

6

11,66

1,66

8,3314

7

111,66

1,66

TOTALn =60

P%f=

;P %f=

P%fa==

2.- Ejemplo.-

En un curso de 24 alumnos, en educacin a distancia en la asignatura de estadstica, obtuvieron las siguientes calificaciones:

151214141216102012181317

141615151415141312131117

Realice el siguiente trabajo:

1. Ordene las puntuaciones en una serie estadstica de frecuencias en orden ascendente:

2. Construya las columnas de:

2.1.- Frecuencia acumulada

2.2.- Los porcentajes de la frecuencia

2.3.- Los porcentajes de la frecuencia acumulada

Xff.a% f% fa

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

TOTAL(%=(%=

3.- En una evaluacin sobre un concurso de merecimientos sobre100 punto, se obtienen las siguientes puntuaciones de los concursantes (X).

886855398567543781675336

796662357966523377665129

776451277563502675635025

746249247461492371604819

715847737057457270574569

5744685640

Determinar:

1. La amplitud ( a )

f=

XM=

Xm=

a=

2. El nmero de intervalos con i = 7

ni=

Estructure la tabla con:

Xf%ffa%fa

TOTALf =%f=fa=%fa=

3. La serie estadstica de intervalos y las columnas de: Puntos medios o marcas de clase de los intervalos, la frecuencia acumulada, y los porcentajes de la frecuencia y frecuencia acumulada, la frecuencia relativa = %f / 100

El lmite superior (Ls) del primer intervalo es 88, el lmite inferior (Li) del primer intervalo es: Li = Ls - i + 1 = 88 - 7 + 1 = 82 por tanto el primer intervalo es 82- 88

El segundo intervalo es 82 - 7 = 75 y 88 - 7 = 81 ( 75 - 81

El ltimo intervalo es 19 - 25

Frecuencia relativa ( fr ) fr =

XV. repitenf.PMFr%f%fa

82-88

75-81

19-25

Total65100

4.- El presente ejemplo se determina que con i = 6 el N de grupos es 10, procediendo a la formacin de la distribucin de frecuencias, determinar los lmites reales ( LR ) superior e inferior, los puntos medios ( PM ).

Xf.LRPMfr%ffa%fa

24-29

30-35

36-41

42-47

48-53-54-59

60-65

66-71

72-77

78-831

0

4

8

7

9

5

3

1

223,5-29,5

29,5-35,526,5

32,5

Total( = 40( =( =( =( =

1.12.-.EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Los puntos medios o marcas de clase de una distribucin de frecuencias con intervalos igual anchura son: 46, 55, 64, 73, 82, 91 ; si la serie recolectada es: 43, 46, 48 ,55, 57, 58,59, 62, 76, 75, 74, 86, 90 halle:

X f PM LR

a.- El ancho de intervalo i =

43 49 3 46 42,5 49.5

b.- Los intervalos de clase X

c.- los lmites reales de cada intervalo ( LR ).

2.- El nmero de alumnos reprobados en una escuela durante los ltimos diez aos se expresa en la siguiente tabla: determinar

a.- Las frecuencias relativas y acumuladas.

b.- Los porcentajes de las frecuencias y frecuencias acumuladas.

Xff.r% frf.a% fa

1990-1991

1991-1992

1992-1993

1993-1994

1994-1995

1995-1996

1996-1997

1997-1998

1998-1999

1999-2000

3

4

2

3

7

1

14

1

4

7

TOTAL46

2.- Las siguientes son calificaciones de matemticas de un curso X y un X trimestres, con intervalos ( i = 3 ) halle:

a.- La marca de clase o punto medio. X y PM

b.- La frecuencia relativa ( fr ), ( fa ).

c.- Los porcentajes de la frecuencia (%f ) y la frecuencia acumulada (%fa ).

d.- Los productos fPM y la sumatoria de stos.

1615132018191513201615

1618171519171613151510

1713081519101618161518

19

3.- Los datos siguientes corresponden a la estatura de estudiantes en cm.

152155164160162147157160160161

153162153163158165153160152161

150159160162153155145155157154

153157157154157158160166153162

158154162156157.

Determine:

a.- La amplitud ( a )

b.- El nmero de intervalos proponiendo i = 3 ; i = 4 ; i = 5; i = 6; i = 7; i = 8

c.- La serie estadstica de intervalos ( ni )

d.- La columna de: La marca de clase ( X ), las frecuencias relativa (fr) y acumulada ( fa ), la %fr y %fa, el producto de la fPM con la sumatoria correspondiente.

4.- Se aplica una encuesta a unos deportistas de levanta pesas, los mismos que dieron los siguientes pesos en libras:

167162152168165170154167160160149168

161157153161164149153150168162154163

169165162167170171169167159168168165

158167167166

Estructurar una tabla de datos con:

a).- La amplitud

b).- El nmero de intervalo con i = 3 ( serie estadstica de intervalo )

c).-Los puntos medios ( PM ) de la marca de clase o intervalo.

d).- La frecuencia relativa ( fr ).

e).- La porcentualizacin de la frecuencia relativa ( %fr ).

f).- La frecuencia acumulada ( fa ).

g).- La porcentualizacin de la frecuencia acumulada. ( %fa ).

h).- El producto de la frecuencia con el punto medio ( f.PM )

1.13.-

AUTO EVALUACION

1.- Redondear los siguientes datos:

a.- Dcimos

b.- a centsimos

c.- a unidades

1. 39,374 =

29,374 =

45,920=

2. 124,789=

78,879=

34,731=

3. 121,148=

25,316=

98,87 =

2.- El fundamento de la importancia de la estadstica es...................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3.- Los valores numricos de las caractersticas de la poblacin se llaman........................,

y los valores numricos de las caractersticas se denominan...................................

4.- Ponga una ( D ) si la variable es discreta y una ( C ) si la variable es continua:

a.- El nmero de participantes de un equipo de ftbol tienen los valores de 2, 4, 6, 8, 15,..................................................................................................................( )

b.- El nmero de los 45 presidentes del Ecuador..........................................( )

c.- La edad de cada uno de los estudiantes...................................................( )

d.- La estatura de los alumnos del curso de educacin a distancia.................( )

e.- El peso de los alumnos de un grado de una escuela X..............................( )

5.- Ponga el nombre correspondiente a las siguientes series estadsticas:

a.-X

b.-X f

c.-Xf

10

90-100 7

103

9

79-89 9

202

8

68-78 10

3047

57-67 6

408

6

47-57 5

507

5

37-47 4

603

......................................................................................................................

6.- De los literales ( b ) y ( c ) de los cuadros estadsticos obtenga la columna de fa., fr. porcentajes de cada una de las frecuencias acumuladas y relativas.

7.- De la siguiente serie estadstica de intervalos, determine:

a.- La amplitud

b.- El ancho de intervalo.

c.- Las columnas de: la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa; los porcentajes de la ( f ), (fa) y (fr).

d.- La columna de las marcas de clase.

e.- la columna de los productos f PM y la ( de stos

Xf.

200-204

205-209

210-214

215-219

220-224

225-229

230-234

235-239

240-2445

6

7

9

10

15

12

7

2

TOTAL

1.14.-

SOLUCIONARIO

1.- a.- 39,4124,8121,1

b.-28,3778,8825,32c.-463599

2.- Base o fundamento de la investigacin, experimentacin de todas las ciencias.

3.- Parmetros, Estadsticos.

4.- a.- Db.- Dc.- C d.- Ce.- C.

5.- a.- Descendenteb.- De intervalosc.- De frecuencias.

6.- b)fa %fa fr fr%frc)fa%fa ffr%fr

4132,03 70.170 17

2725,961 30,111 11,1

3426,56 90,219 21,9

2423,076 20,074 7,4

2519,53 100,243 24,3

2221,153 40,148 14,8

1511,71 60,146 14,6

1817,307 80,296 29,6

97,03 5 0,121 12,2

109,615 70,259 25,9

43,12 40,097 9,7

32.884 30,111 11,1

7.- a) 44b)5

UNIDAD II

2.1.-SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

El sistema de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto 0 . La horizontal X 0 X se denomina eje X, la vertical Y 0 Y, se denomina eje Y, y ambas constituyen los dos ejes de coordenadas. El punto 0 se llama origen del sistema.

La distancia de un punto al eje Y se llama abscisa del mismo. La distancia de un punto al eje X es la ordenada, y ambas constituyen las coordenadas del punto en cuestin y se representa por el smbolo (X,Y). Las abscisas son positivas cuando el punto est situado a la derecha del eje Y, negativa en caso contrario. Las ordenadas son positivas cuando el punto est por encima del eje X, y negativa en caso contrario.

Para representar puntos de coordenadas conocidas hay que adoptar una escala adecuada sobre cada uno de los ejes coordenadas. Ambas escalas pueden ser iguales o distintas.

a)

+ y

b)+ y

(5,6)

II C

I C

(-4,7)

-x

+ x

-x

+ x

III C

IV C

(3,-4)

(-6,-7)

- y

- y

Como podemos observar se ha representado los pares de puntos en cada uno de los cuadrantes.

Ejercicio.- 1

Ubicar y unir los siguientes pares de puntos en el plano cartesiano:

(-8,-12), (-6,-9), (-3,-7), (-1,-7), (6,-4), (-1,-6), (-3,-4), (-7,-4), (-8,-3), (-7,-1), (-7,0),

(-5,0), (-3,1), (-5,-1), (-7,0), (-7,2), (-5,2), (-5,1), (-10,1), (-10,2), (-5,5), (-3,5), (-2,4),

(-2,3), (-4,5), (-5,5), (-4,8), (-9,10), (-1,10), (1,14), (6,10), (9,4), (5,0), (5,-1), (7,-3),

(8,-3), (9,-4), (11,-8)

Ejercicio.- 2

Ubicar y unir los siguientes pares de puntos en el plano cartesiano:

(-5,-5), (0,0),(-2,1), (0,1), (1,0, (1,2), (0,4), (-2,6), (-4,7), (-8,8), (-7,8), (-3,7), (-1,6), (1,4), (2,2), (2,0), (3,0), (3,2), (2,4), (-1,6), (-6,7), (0,5), (1,4), (2,2), (2,0), (3,0), (3,-2), (5,-4), (5,-5), (3,-4), (4,-6), (1,-4), (-1,-9)

2.2.- DIAGRAMAS DE BARRAS

Los diagramas de barras son rectngulos o barras cuyas reas son proporcionales a los datos del fenmeno que se investiga. Se los utiliza para representar variables discretas, stas en el eje X y las frecuencias en el eje Y, a dems se debe tomar en cuenta los siguientes criterios:

1.- Escala adecuada (en cuanto a la variable y frecuencia pueden ser diferentes)

2.- Uniformidad en el ancho de las barras

3.- El espacio entre barras debe se estndar (constante)

Para representar los diagramas de barras, se utiliza dos formas, estas son:

2.2.1.- DIAGRAMAS DE BARRAS VERTICALESEs un conjunto de rectngulos ubicados en el primer cuadrante del sistema de coordenadas rectangulares. El eje X sirve como base de dichas figuras geomtricas. Cada rectngulo representa uno de los datos de la variable.

Ejemplo.- Representar en un grfico de barras verticales el nmero de profesores afiliados al fondo de cesanta del magisterio ecuatoriano (FCME) durante el ao 1992, 1993, 1994 y 1995 (en miles)

XN de afiliados en miles

92

93

94

9530

36

42

48

y

50 48.000

42.000

40 36.000

30.000

30

20

10

92 93 94 95 x

Representar mediante barras el siguiente cuadro de valores.

f

XF

10

15

20

25

30

35

408

3

9

5

10

4

7

2.2.2.- DIAGRAMAS DE BARRAS HORIZONTALESSe caracteriza por que en el eje X se localizan las frecuencias y en el eje Y, los valores de las variables. Consecuentemente, en el eje Y se ubican las bases de los rectngulos.

Ejemplo.- Representar en un grfico de barras horizontales la serie estadstica anterior

y

95 48.000

94 42.000

93 36.000

92 30.000

x

10 20 30 40 50 (mil)

Graficar en barras horizontales la siguiente tabla

X

Xf

100

150

200

250

300

350

4008

3

9

5

10

4

7

f

2.2.3.- DIAGRAMAS DE BARRAS COMPUESTAS

Es la representacin de dos series de datos a fin de poder realizar confrontaciones, comparaciones,........

PROCESO1.- Sumamos las dos frecuencias:

2.- representamos en cada barra el total de las dos frecuencias

3.- Compartimos en cada una de las barras las dos frecuencias identificandolas con la leyenda respectiva.

Ejemplo: Representar graficamente los datos de la produccin de una empresa de fabricacin de automviles durante los aos 2000 2001

Xf1 2000 f2 2001

Dos puertas

Tres puertas

Cinco puertas

Modelo lujo10

8

6

126

35

20

19

TOTAL25100

Xf1f2TOTAL

Dos puertas

Tres puertas

Cinco puertas

Modelo lujo10

8

6

126

35

20

1936

43

26

20

50 43

Leyenda

2001

40 36

2000

30

26

20 20

10

2p 3p 5p lujo x

(* *)Representar grficamente en las barras compuestas y comparar el ingreso a la UTC en la carrera de educacin a distancia en los siguientes ciclos:.

Matriculados Matriculados Y

En el ao 2000 en el ao 2001

Xf1

Xf2 1ro40

1ro50

2do35

2do40

3ro25

3ro28

4to15

4to30

5to18

5to25

6to18

6to20

X

2.2.4.- DIAGRAMAS DE PORCENTAJES DE BARRAS COMPUESTAS PROCESO.-

1.- Sumamos las dos frecuencias.

2.- Obtenemos los porcentajes de cada uno de las frecuencias.

3.- construimos el diagrama de porcentajes de barras compuestas haciendo que las barras tengan la misma altura ( 100 %).

Ejemplo.-

Las series del ejemplo anterior, representarlas en un diagrama de porcentajes de barras compuestas.

Xf1f2f% f1% f2% ( f1 + f2 )

Dos puertas

Tres puertas

Cinco puertas

modelo de lujo10

8

6

126

35

20

1936

27,78

72,22

TOTAL

%f1 = ; %f2 =

Leyenda

72,22% 81,40% 76,92% 95 %

2000

100 %

1990

100% 100% 100% 100%

50 %

27,78%

18,6% 23,08%

0 % 5,00%

2p 3p 5p lujo x

(* * ) Del ejercicio anterior de barras compuesta encuentre las porcentualizaciones y grafquelas.

f

Xf1

Xf

1ro40

1ro50

2do35

2do40

3ro25

3ro28

4to15

4to30

5to18

5to25

6to18

6to20

X

Realice un anlisis comparativo mediante e el diagrama porcentajes de barras compuestas de los alumnos en las diferentes especialidades en la U:T:C:

DireccionesAo 2000Ao 2001TOTAL% 2000% 2001% 2000-2001

Sistemas

Veterinaria

M. Ambiente

Contabilidad

E.a Distancia340

250

230

150

60520

320

360

245

90

TOTAL

2.2.5. - HISTOGRAMAEs un conjunto de barras continuas que corresponden a una distribucin de frecuencias, permitiendo representar las frecuencias de cada intervalo por regiones cerradas que forman una superficie o rea.

PROCESO1. Trazamos las barras correspondientes para cada una de las frecuencias una a continuacin de otras, esto es, sin separarlas.

2. Construimos el grfico.

Ejemplo:

Construir el histograma de las estaturas de hombres en cuyos datos se encuentran en la tabla.

XfPM

56-58

59-61

62-64

65-67

68-70

71-73

74-765

7

10

11

15

13

657

TOTAL64

y

F

R

E 18

C 15

U 12

E 9

N 6

C 3

I

x

A 57 60 63 66 69 72 75

Dado la siguiente tabla encuentre los puntos medios y grafique en el plano cartesiano.

Xf.PM

90-100

79-89

68-78

57-67

47-57

37-477

9

10

6

5

4

2.3. POLIGONO DE FRECUENCIASEs un polgono cerrado, formado por la interseccin de la variable con las frecuencias. La unin de los puntos de interseccin forman la lnea poligonal llamada curva de frecuencia.

PROCESO 1En el eje X se ubica los puntos medios de cada clase

2En el eje Y se ubican las frecuencias.

3Juntamos los puntos de interseccin de la variable y frecuencias mediante

segmentos de recta.

4 Cerramos el polgono, uniendo el primero y el ltimo con el eje de las X , empleando como espacio las marcas.

fXfPM

1-9

10-18

19-27

28-36

37-45

46-54

55-63

64-72

73-81

82-90

91-99

2

3

5

6

9

11

15

18

14

8

4

5 14 23 32 41 50 59 68 77 86 95

CONCLUSIN.-

1.-Este polgono podemos interpretar diciendo que la prueba de matemtica aplicada es demasiado fcil , por existir mayor agrupamiento en las calificaciones a partir de 59 sobre 100; y el mayor porcentaje 19% se encuentra en la marca de clase = 68.

2.- En una prueba de estadstica ap6tlicada a un curso de 33 estudiantes, se obtuvo los resultados que se dan en la tabla

PROCESO

1Ubicamos los valores de X en el eje X.

2Las frecuencias en el eje Y.

3Juntamos los puntos y cerramos el polgono.

Xf.

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

total2

4

5

7

5

3

2

1

3

1

33

Y

7

6

5

4

3

2

1

0

X

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

CONCLUSIN

Existe mayor agrupamiento en el extremo izquierdo, lo que permite detectar un alto grado de dificultad.

EJERCICIOS.-

La tabla que a continuacin exponemos corresponde a puntuaciones de un examen de estadstica de un curso de 42 alumnos. Grafique el polgono de frecuencias y obtenga conclusiones.

PROCESO.-

1.- Ubicamos en el eje X las puntuaciones Y, en el Y las frecuencias.

2.- Encontramos las interacciones de las coordenadas.

3.- Unimos los puntos y cerramos el polgono mediante segmentos de recta.

Xf.

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

201

2

6

5

3

1

1

4

6

4

3

2

2

1

1

CONCLUSIN

Observamos dos agrupamientos , esto es , dos grupos bien diferenciados de alumnos: para el primero la prueba es difcil; y, para el segundo la prueba no es fcil, se encuentra en el lugar de la normalidad.

2.4.- DIAGRAMAS2.4.1.- DIAGRAMA DE FRECUENCIA ACUMULADA U OJIVA DE GALTON

Es un diagrama lineal formado por la distribucin agrupada de frecuencias, llamada

OJIVA DE GALTON.

PROCESO:

1.- Se completa la tabla determinando la columna de la frecuencia acumulada fa.

2.- Ubicamos la variable en el eje X, y la (fa) en el eje Y.

3.- Encontramos los puntos de interseccin de las coordenadas.( X, fa ).

4.- Unimos los puntos mediante una curva continua.

Ejemplo:

1.- En un curso de 26 alumnos se obtiene como resultados la siguiente tabla:

PROCESO

1.- Formamos la columna de las (fa).

2.- Encontramos los puntos de las coordenadas y ubicamos en el plano.

3.- Trazamos la curva uniendo dichos puntos.

Xff.a

11

12

13

14

15

16

17

18

19

201

1

2

3

4

5

4

3

2

11

2

4

fa

XCONCLUSIN

La ojiva trazada tiende a la normalidad, por tanto la prueba est bien elaborada..

Ejercicio.- Los resultados obtenidos de la prueba en matemticas en un curso de 37 estudiantes en educacin a distancia se da en la siguiente tabla. Graficar en el plano cartesiano.

PROCESO

1.- Formamos la columna de las fa.

2.- Ubicamos los puntos en el plano cartesiano.

3.- Unimos los puntos y trazamos la curva real y normal

fa

Normal

Xf.fa

5

7

8

9

10

12

14

16

18

202

4

1

3

5

7

6

2

4

3 2

6

7

CONCLUSIN

El grfico real est sobre la normal de ojiva, esto indica que la prueba tiene un cierto grado de dificultad, por otro lado se observa que el rendimiento es muy deficiente, las calificaciones menores a 10 alcanza un 40, 54 %.

Ejemplo.- Se tiene la siguiente tabla que corresponde a las calificaciones de un curso de 48 alumnos.

PROCESO

1.- Formamos la columna de la fa.

2.- Ubicamos los puntos en el plano cartesiano.

3.-Unimos los puntos y trazamos la curva normal y real.

Xffa

11

12

13

14

15

16

17

18

19

201

2

2

2

3

6

8

10

10

41

3

5

Y

45

40

35

Normal

30

25

20

15

10

5

0

X

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

CONCLUSIN

La curva est bajo la normal, lo que se deduce que la prueba es fcil, el mayor porcentaje de alumnos tienen calificaciones superiores a 15.

2.4.2.- DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS RELATIVASES UN DIAGRAMA LINEAL Similar al polgono de frecuencias, con la nica diferencia que en el eje Y se ubica el valor de las frecuencias relativas en centsimos.

PROCESO

1.- Formamos las columnas de las marcas y frecuencias relativas (fr).

2.- Ubicamos las marcas en el eje X y las frecuencias relativas en el eje Y.

3.- Determinamos los puntos de interseccin de las marcas y frecuencias relativas.

4.- Unimos mediante segmentos de recta los puntos y construimos el grfico.

Frecuencia relativa =

fr = frecuencia relativa

f = frecuencia

n = nmero de casos

XfPMfr

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-791

8

11

15

22

8

4

5

0

132

370,01

TOTAL751

2.4.3.- DIAGRAMA DE SECTORES

Consiste en distribuir los 360 de la circunferencia, en partes proporcionales en relacin a la frecuencia de las variables, en partes limitadas por dos radios y un arco de la circunferencia.

PROCESO

1.- Se distribuye los 360 para las variables aplicando la siguiente frmula:

2.- La distribucin se lo hace a partir del eje X positivo en sentido contrario al

funcionamiento de las manecillas del reloj.

3.- La distribucin se lo hace utilizando un graduador o transportados circular.

Ejemplo.-

Una familia tiene un ingreso anual de $ 600 (dlares), la misma que se distribuye de la siguiente manera:

Vivienda

120 dlares

Alimentacin

180 dlares.

Vestuario

75 dlares

Salud

80 dlares

Ahorro

90 dlares

Imprevistos

55 dlares

XFAo

Vivienda

Alimentacin

Vestuario

Salud

Ahorro

Imprevistos120

180

75

80

90

5572

TOTAL600

y

-x

x

-y

-y

2.5.-

EJERCICIOS

1.- En un examen de historia la distribucin de los alumnos segn las calificaciones obtenidas son:

CalificacionesABCDEF

N. de alumnos56101274

Graficar en barras verticales y horizontales, histograma, polgono de frecuencias, la ojiva de Galton con su interpretacin.

2.- La distribucin de alumnos en un colegio por cursos se representa en la siguiente tabla:

Cursos8910456

N. de alumnos21014090745040

2.1.- Obtener el histograma

2.2.- Trazar el polgono de frecuencias.

2.3.- La curva de magnitud.

2.4.- Diagramas de frecuencias relativas.

3.- En un paralelo de 42 estudiantes obtienen calificaciones en ciencias naturales y castellano, agrupados en la siguiente tabla de valores:

XCCNNCastellano

3-5

6-8

9-11

12-14

15-17

18-203

4

7

16

8

47

5

10

12

6

2

TOTAL4242

3.1.- Hacer un grfico de barras compuestas.

3.2.- Representar el porcentaje de barras compuestas.

3.3.- Construir los polgonos de frecuencias en un mismo sistema de ejes coordenadas, para realizar un anlisis e interpretacin de las dos asignaturas.

3.4.- Grafique la ojiva para cada una de las asignaturas, con su interpretacin.

4.- Los colegios de Latacunga agrupan las siguientes cantidades de estudiantes:

Instituto Vicente Len

1 300

Instituto Victoria Vsconez Cuvi

1.450

Luis Fernando Ruiz

830

Ramn Barba Naranjo

975

Simn Rodrguez

1.130

4.1.- Construya el diagrama de barras verticales y horizontales.

4.2.- Represente el grfico de sectores circulares.

5.- Construir un grfico circular para cada uno de los siguientes casos.

a).- Durante 30 das un observatorio registra 10 das de lluvia, 8 das nublados, 10 das cielo despejado y 12 das entre lluvia y cielo despejado.

b).- Una familia con ingresos de 700 USD. Distribuye su presupuesto en la siguiente forma:

Arriendo 64 USD

Otros gastos 86 USD

Comida250

pasajes

40

Ropa

120

Ahorro

20

Imprevistos120

c).- Represente en el diagrama de barras y circular.

En una prueba de historia se obtiene las siguientes calificaciones:

Calificaciones121314151617181920

N. De alumnos342756328

d).- Construir el diagrama de barras y analizar los dos trimestres.

Primer trimestre

CalificacionesIRBMBS

N . alumnos581174

Segundo trimestre

CalificacionesIRBMBS

N . alumnos2111192

2.6.-

AUTOEVALUACIN

Lea detenidamente las siguientes cuestiones y conteste con una ( V ) si es verdadero y con una ( F ) si es falsa:

1.- Dos ejes perpendiculares entre si, que se intersecan en un punto comn O, se llama.

a).- Sistema cartesiana

( )

b).- Sistema de coordenadas rectangulares

( )

c).- Sistema de coordenadas lineales

( )

d).- Sistema polar

( )

2.- El eje vertical se llama eje de la ordenada o de las Y, el eje horizontal o eje de las X se denomina:

a).- Eje de coordenadas

( )

b).- Eje de las variables

( )

c).- Eje de las abscisas

( )

d).- Eje numrico negativo

( )

3.- Un par ordenado P(X,Y) determina siempre:

a).- Una recta

( )

b).- Una curva

( )

c).- Una asntota

( )

d).- Un punto

( )

4.- En la obtencin de un diagrama de barras verticales, la variable colocamos en el eje X, y en el eje Y colocamos:

a).- Las marcas de clase

( )

b).- Los intervalos

( )

c).- Las frecuencias

( )

d).- Las frecuencias acumuladas

( )

5.- Para construir un diagrama de barras:

a).- No se requiere de escala alguna

( )

b).- Puede tener distinto ancho

( )

c).- Deben ir siempre unidas

( )

d).- La distancia es constante entre ellos

( )

6.- El diagrama de barras compuestas se utiliza para representar:

a).- Series con datos geogrficos

( )

b).- 2 series de datos, permite comparaciones.

( )

c).- Datos que no se puede graficar sectorialmente.

( )

d).- Cantidades de la misma serie.

( )

7.- De la siguiente serie estadstica de intervalos, calcular:

a).- La amplitudb).- El ancho de intervalo c).- La frecuencia acumulada

d).- La frecuencia relativae).- Los PM. f).- la columna f.PM.

Xf

100 104

105 109

110 114

115 119

120 124

125 129

130 134

135 139

140 - 1445

6

7

9

10

15

12

7

2

8.- En un histograma, los valores representados en el eje horizontal corresponde a:

a).- Los lmites de la clase

( )

b).- Las frecuencias

( )

c).- Las marcas de clase

( )

d).- La amplitud

( )

9.- Para construir el polgono de frecuencias ubicamos en el eje X las marcas de clase y en el eje Y ubicamos:

a).- Los porcentajes de las variables

( )

b.).- La frecuencia acumulada

( )

c).- Las variables cuantitativas

( )

d).- Las frecuencias

( )

10.- Un diagrama lineal formado por una distribucin de frecuencias se denomina tambin:

a).- Ojiva

( )

b).- Curva de frecuencias

( )

c).- Polgono de frecuencias

( )

d).- Diagrama de frecuencias

( )

11.- En un diagrama de sectores es recomendable que:

a).- De acuerdo a la frecuencia se distribuya los 360( )

b).- Se parte del eje x positivo y contrario al funcionamiento

del reloj

( )

c).- Se calcula el radio de la circunferencia

( )

d).- El valor de los ngulos se escribe dentro del sector( )

12.- Una de las representaciones que nos sirve para caracterizar la validez de las pruebas se llama.

a).- Barras verticales

( )

b).- Barras horizontales

( )

c).- Polgono de frecuencias

( )

d).- Diagrama de sectores

( )

13.- El diagrama que nos permite analizar mejor el tipo de preguntas en una evaluacin es:

a).- El histograma

( )

b).- El porcentaje

( )

c).- La frecuencia relativa

( )

d).- La frecuencia acumulada u ojiva

( )

DADAS LAS SIGUIENTES TABLAS, REALICE LO QUE SE SOLICITA.

13.-Poblacin urbana sin agua

las diez mejores ciudades

%

Salcedo

0.20

Pujil

0,76

Sigchos

0,85

San Felipe

0,8

San Buenaventura

0,9

Saquisil

1,27

Pangua

1,87

La Man

1,97

Representar en barras verticales y horizontales.

14.- Las calificaciones de la asignatura de dos curso diferentes en matemticas una vez tabulado se representa en el siguiente cuadro.

Xf (A)f(B)

3-5

6-8

9-11

12-14

15-17

18-203

5

9

15

3

22

14

5

3

10

1

TOTAL3735

a).- Construir los diagramas respectivos.

b).- Construir los polgonos de frecuencias respectivos, analcelos y caracterice

las dos pruebas.

c).- Trazar la ojiva de cada curso y caracterice el tipo de evaluacin.

15.- Grafique las siguientes calificaciones de un grado X.

18151216141920

817111315820

16171419181012

15 1613917136

16 181013181614

16.- Realice el diagrama de frecuencia acumulada u Ojiva de Galton del ejercicio (7)

17.- Realice el grfico de sectores del ejercicio (7)

18.- De la siguiente distribucin de frecuencias acumulas, realice los grficos del polgono de frecuencias acumuladas y un histograma.

Intervalo de claseFrecuencia acumulada

59 - 63

64 - 68

69 - 73

74 - 78

79 - 83

84 - 88

89 - 93

94 987

10

16

30

35

40

43

48

2.7.-

SOLUCIONARIO

1).- B

2).- C

3).- A,C,D4).- C

5).- B

6).- B

7).- a=45; b=5 c).-...........8).- C

9).- D

10).- A

11).- B

12).- C

13).- D

UNIDAD III3.-MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

3.1.- MEDIA ARITMETICA ( )

La media aritmtica es el cociente entre la sumatoria ( ( )de varios valores ((X) y el nmero de ellos, constituye una medida de concentracin y es el valor ms representativo de una serie estadstica. Adems, puede considerarse como el centro de gravedad de la distribucin. En frmula tenemos:

(X

= de donde:

N

= media aritmtica o medida promedio

X = marcas, puntuaciones, valores o medidas

(X = sumatoria de las puntuaciones

N = Nmero de casos

3.1.1.- MEDIA ARITMETICA DE UNA SERIE ESTADSTICAEn este caso se aplica la frmula anterior directamente.

Ejemplo.1.- Determine la media aritmtica de cinco personas cuyas puntuaciones en Kilogramos: 48, 46, 44, 39, 37.

(X = 48+46+44+39+37=214

N = 5

= ?

= = = 42,8

2.- Halle la media aritmtica de la estatura de 7 personas cuyas mediadas en cm. Son : 172, 163, 160, 155, 150, 143, 140

X = ( 172+163+160+155+150+143+140 ) / 7 =

3.1.2.- MEDIA ARITMETICA DE UNA SERIE ESTADSTICA DE FRECUENCIAS.

Para este caso, aplicamos la frmula

= donde

X.f = producto de la variable por la frecuencia.

(X.f = Sumatoria de dichos productos.

Ejemplo.-

1.- Los datos del cuadro estadstico que a continuacin presentamos son estaturas en cm de 26 estudiantes, determine la media aritmtica.

PROCESO

1.- Construimos la columna del producto de la variable por la frecuencia x.f

2.- Aplicamos la frmula.

=

=

= 162,96

XfX.f

159

160

161

162

163

164

165

166

167

1681

4

4

3

4

3

2

2

2

1159

640

TOTAL26(X.f=4237

2.- Hallar la media aritmtica de 85 alumnos en relacin al nmero de hermanos, datos que se dan en la serie estadstica de frecuencias siguiente:

XfX.f

1

2

3

4

5

6

7

8

9

103

6

12

22

20

11

5

3

2

13

12

TOTAL85(X.f=392

PROCESO

1.- Establecemos la columna de los productos de la variable por la frecuencia

(X.f)

2.- Aplicamos la frmula.

=

= = 4,61 = 5, es decir 5 es el nmero promedio de hermanos

de los 85 alumnos

3.1.3.- MEDIA ARITMETICA DE UNA SERIE ESTADSTICA DE

INTERVALOS

PROCESO

1.- Encontramos las marcas o puntos medios de la serie ( PM ).

2.- Obtenemos la columna de los productos de la frecuencia por el punto medio

f..PM

3.- Aplicamos esta frmula

= , donde (f.PM es la sumatoria de los productos de las frecuencias, por los puntos medios correspondientes de cada intervalo.

Ejemplo.-

Se tiene la siguiente distribucin de estaturas de 500 hombres en pulgadas (in). Determine la estatura media.

XfPMf.PM

56-58

59-61

62-64

65-67

68-70

71-73

74-76

77-79

80-82

83-855

7

10

18

82

170

113

60

27

857

60285

420

TOTAL500(f.PM= 36435

= =

PROCESO 2

1.- Encontramos los puntos medios o marcas de clase.

2.- Tomamos el punto de mayor frecuencia como punto medio supuesto PMs..

3.- Determinamos las diferencias ( u ) entre los puntos medios(PM) y el punto medio supuesto (PMs) dividiendo cada diferencia por el ancho del intervalo ( i ) es decir;

4.- Encontramos la columna del producto de la frecuencia por cada diferencia f.u.

5.- Aplicamos la frmula

= PM+

Ejemplo.-

Determine la media aritmtica de la distribucin estadstica anterior.

XfPMPMsU

f.u

56-58

59-61

62-64

65-67

68-70

71-73

74-76

77-79

80-82

83-855

7

10

18

82

170

113

60

27

857

6072-5

-4

-3-25

-28

-30

TOTAL500145

EMBED Equation.3

=

3.1.4.- REPRESENTACION GRAFICA DE LA MEDIA

PROCESO

1.- Dibujamos el polgono de frecuencias

2.- En el eje X se ubica el valor de la media X

3.-En el punto que corresponde a la media X levantamos una perpendicular

hasta encontrar el polgono de frecuencias

Ejemplo.

Representar la media aritmtica del cuadro estadstico anterior.

f

170

150

100

50

0

57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 PM3.1.5.- PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA

1.- Las frmulas de la media aritmtica pueden ser tratadas matemticamente,

esto se puede, despejar cualquiera de sus elementos.

2.- La media aritmtica es un promedio dependiente de todos los valores de las

series y se hallan afectado por el recorrido, demasiado amplio de los valores

extremos, con respecto al promedio.

3.- La sumatoria de las desviaciones, con respecto a la media aritmtica, es igual

a cero, es decir ( d = 0.

4.- Se puede establecer la media aritmtica, de un conjunto de promedios, esto es

, la media de las medias aritmtica.

3.1.6.- APLICACION DE LA MEDIA ARITMETICA

1.- La media aritmtica se utiliza para establecer un promedio representativo en la distribucin

2.- Para comparar dos o ms series.

3.- Es aplicable en el clculo de otro tipo de medidas:

Medidas de dispersin, de correlacin, para verificar hiptesis en las diferentes

pruebas estadsticas.

3.2.- MEDIANA ( Md )

La mediana es una medida de tendencia central que ocupa el centro de una serie

ordenada ascendente y descendente.

Consideremos los nmeros 5, 7, 1, 18, 3 , ordenndolos tenemos 1, 3, 5, 7, 18 el nmero de en medio, o mediana para este conjunto es el nmero 5, por cuanto la serie es impar.

1, 3, 5, 7, 18

Supongamos que el conjunto formado por los nmeros 6, 2, 17, 3, 4, 10, 11, 11, , ordenando tenemos 2, 3, 4, 6, 10, 11, 11, 17, la mediana es 8, la cual est entre los nmeros 6 y 10, que resulta de sumar y dividir para dos

2, 3, 4, 6, 10, 11, 11, 17

8 (Md)

3.2.1.- MEDIANA DE UNA SERIE ESTADSTICA ( Md )PROCESO

1.- Ordenamos la serie en sentido descendente o ascendente.

2.- Si la serie consta de un nmero impar de trminos la mediana es el trmino

medio

3.- Si la serie tiene un nmero par de trminos la mediana es igual a la semisuma

de los dos valores centrales.

Ejemplo.

1.- De 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, la mediana es 18.

2.- De 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, la mediana es

Ejercicios.

a).- Calcular la mediana de las siguientes series:

a.1.- 30, 28, 25, 23, 20

a.2.- 20, 19, 18, 17

a.3.-

NX

1

2

3

4

5

651

48

46

45

43

40

3.2.2.- MEDIANA DE UNA SERIE ESTADSTICA DE FRECUENCIA

PROCESO

1.- Determinamos la columna de la frecuencia acumulada.

2.- La mediana es el valor de la variable correspondiente a la frecuencia

acumulada inmediata aquella que sobre pasa la mitad del nmero total de

casos.

Ejemplo.

1.- Halle la mediana de los datos de la distribucin siguiente.

Xff.a

40

45

50

55

60

65

70

7510

16

20

52

21

15

12

910

26

TOTAL155

que es la mitad del nmero total de casos. La frecuencia acumulada inmediata superior a este cociente es 98 , consecuentemente la mediana correspondiente es 55.

2.- Las calificaciones recibidas en una clase de matemticas en tres paralelos que suman 91 alumnos, se expresa en la siguiente tabla. Determine la mediana.

Respuesta Md=13

Xffa

19

17

16

13

11

9

7

5

3

18

14

18

15

11

9

6

5

3

2

TOTAL91

3.2.3.- MEDIANA DE UNA SERIE ESTADSTICA DE INTERVALOS

PROCESO

1.- Obtenemos la columna de la frecuencia acumulada.

2.- Dividimos el nmero de casos por dos.-( ) , este cociente nos permite

localizar la posicin que corresponde a la mediana, buscando la frecuencia

acumulada que sobrepasa la mitad del nmero de casos.

3.- Determinamos el lmite real inferior ( Li ) del intervalo.

4.- Ubicamos la frecuencia acumulada menor (.f.a.m ) a la del intervalo dnde

est ubicada la mediana.

5.- Localizar el valor de la frecuencia ( f ) correspondiente al intervalo donde se

encuentra la mediana.

6.- Obtener el ancho del intervalo ( i ).

7.- Aplicar la frmula:

Ejemplo.-

1.- La edad de 550 estudiantes de la Universidad Tcnica de Cotopaxi se encuentran distribuidas de la siguiente manera: Determinar la mediana (.Md ).

Xff.aPM

61-65

56-60

51-55

46-50

41-45

36-40

31-35

26-30

21-25

16-203

8

16

28

40

66

100

190

84

1599

15

TOTAL550

2).-

R = 275

3).- el prximo es 289, en consecuencia los lmites superior e inferior

es;

4).- f.a.m=

R=99

5).- f =

R=190

6).- i =

R=5

7).- Frmula:

R= 30,13

3.2.4.- REPRESENTACION GRAFICA DE LA MEDIANA

PROCESO

1.- Construimos el polgrafo de frecuencia respectiva.

2.- Localizamos en el eje X, el valor de la mediana.

3.- Trazamos una perpendicular en el punto de la mediana a efecto de encontrar

el punto de interseccin con el polgono. Este segmento de recta constituye la

representacin grfica de la mediana.

Ejemplo.-

Representacin de la distribucin estadstica inmediata anterior.

f

200

150

100

50 30,13

0

18 23 28 33 38 43 48 53 58 63 X (PM)

Ejercicio.- Encuentre la mediana de la siguiente distribucin.

Xf.f.a

59-63

64-68

69-73

74-78

79-83

84-88

89-93

94-987

10

16

30

35

40

43

48

3.2.5.- PROPIEDADES DE LA MEDIANA

1. La mediana es un promedio que ocupa el valor central de la serie, a efecto de que la mitad de la poblacin se encuentra a su izquierda y la otra a su derecha.

2. Los valores grandes o pequeos, no influyen en la determinacin de la mediana.

3. La expresin analtica que hemos propuesto para el clculo de la mediana es una serie de intervalos, representa un clculo aproximado..

3.2.6.- APLICACIONES DE LA MEDIANA

1. Encontrar el valor central de la serie.

2. Dividir el rea del polgono de frecuencias en dos partes iguales.

3. Establecer la verificacin de la Hiptesis, en los mtodos no paramtricos con la prueba de la mediana.

4. Determinar un promedio ms fiable en cierto tipo de variables: estatura, pesos, salarios,....... ya que no influyen en esta obtencin los valores extremos grandes o pequeos.

3.3.-MODA ( Mo ).

La moda es el valor que corresponde a la mayor frecuencia, es decir, el valor que ms veces se repite en la serie o el valor ms frecuente.

X

f

10

3

12

2

14

4

16

5

18Moda7

20

4

3.3.1.- MODA DE UNA SERIE ESTADSTICA

En este caso, la moda se determina por simple inspeccin, esto es , tomando el valor que ms se repite. As, de la serie.

90, 80, 70, 70, 60, 50, el modo es 70.

3.3.2.- MODA DE UNA SERIE ESTADSTICA DE FRECUENCIA

Tambin en este caso la moda tambin se lo obtiene a simple vista, es decir, tomando el valor de la variable que tiene mayor frecuencia.

Ejemplo.

Determine la moda de la serie estadstica de frecuencias:

Xf

9

8

7

6

5

4

2

12

8

9

15

18

14

10

3

TOTAL79

El modo es 5, porque este valor corresponde a 18 que es la mayor frecuencia de la distribucin.

3.3.3.-MODA DE UNA SERIE ESTADSTICA DE INTERVALOS.

PROCESO

1. Localizamos el intervalo de mayor frecuencia.

2. Encontramos el lmite real inferior ( Li ) del intervalo modal.

3. Determinamos el valor de las diferencias:

d1= frecuencia modal - frecuencia del intervalo menor al modal.

d 2= frecuencia modal - frecuencia del intervalo mayor al modal.

4. Obtenemos el ancho del intervalo ( i )

5. Aplicamos la frmula.

Ejemplo.-

Encontrar la moda de la serie estadstica de intervalos.

XF

16-20

21-25

26-30

31-35

36-40

41-45

46-50

51-55

56-60

61-6515

84

190

100

66

40

28

16

8

3

d1 = 190-84= 106

d2 = 190-100=90

i = (20-16)+1= 5

3.3.-4.- REPRESENTACION GRAFICA DE LA MODA

Esta representacin es similar a la media y mediana:

ejemplo.-

Represente el modo de la distribucin anterior.

f

200

150

100

50 28,2

0

18 23 28 33 38 43 48 53 58 63 X (PM)

Ejercicio.- Graficar de la Moda de la siguiente distribucin.

Xf.

15 20

21 - 26

27 32

33 38

39 44

45 50

51 56

57 62

63 6816

34

45

50

65

30

25

15

10

3.3.5.- PROPIEDADES DE LA MODA

1. La moda es un valor numrico muy fcil para calcula, sin embargo, resulta ser una medida aproximada.

2. La moda es una distribucin, es posible que no exista, o exista una o varias modas ( bimodal, trimodal, ....) .

X

f

X

f

X

f

10

3

10

7

10

7

12

2

12

2

12

4

14

3

14

1

14

7

16

5

16

4

16

3

18Moda7

18

7

18

7

20

4

20

3

20

2

MODA

BIMODAL TRIMODAL

3. La moda se lo utiliza para detectar el salario ms comn, las calificaciones con mayor frecuencia, la estatura ms comn,.....En varios casos carece de significacin.3.4.- MEDIA GEOMTRICA ( G )

La media geomtrica se define, como la raz n-sima del producto de los valores que representan a la variable, es decir:

Ejemplos;

Determinar la media geomtrica de:

a).- 48 y 184

b).- 3, 14, 20

c).- 15, 14, 13, 12, 11

d).- 18, 17, 16, 15, 14

3.4.1.- PROPIEDADES DE LA MEDIA GEOMTRICA

1. No hay influencia de los valores grandes o pequeos.

2. La media geomtrica siempre ser menor o igual a la media aritmtica.

3. La frmula de la media geomtrica admite un tratamiento analtico.

3.4.2.- APLICACIONES DE LA MEDIA GEOMTRICA

1. Determinar el promedio exacto de una progresin geomtrica cuyos elementos sean positivos..

2. Encontrar el promedio de una progresin geomtrica en la que exista un nmero par de elementos negativos, en tal caso el valor que se obtiene no es real.

3. Obtener la media geomtrica siempre que sus elementos sean diferentes de cero.

4. Hallar los nmeros ndice.

3.5.- MEDIA ARMNICA ( A )

La media armnica tiene relacin con la media aritmtica, esto es, los recprocos de los diversos nmeros. Es decir.

=

Ejemplo.-

Un automvil se desplaza a velocidades crecientes de 50 a 70 y 90 , determine la media armnica.

= 66,083916 = 66,084

Un ciclista sale con una velocidad de 4 , luego en una bajada llega 60 , en una recta, 45 y finalmente en una subida 15 . Cual es su media armnica.

5.5.1.- PROPIEDADES DE LA MEDIA ARMNICA

1. Las frmulas dadas estn sujetas a tratamiento analtico.

2. Los valores grandes o pequeos influyen directamente en el clculo de este promedio, que desvirtan su significado.

3. Si uno de los valores es nulo, este promedio es irreal.

4. Si los elementos de una serie son nmeros fraccionarios, el recproco de estos valores son las fracciones invertidas.

3.5.2.- APLICACION DE LA MEDIA ARMNICA

1. Calcular preferentemente promedios de velocidades.

2. En contabilidad o economa, hallar el coste promedio.

3. Obtener el promedio exacto de una progresin armnica.

3.6.- MEDIDAS INDIVIDUALES3.6.1.- CUARTILES O DESVIACIN CUARTIL ( DQ )

Los cuartiles son medidas que dividen a una serie en cuatro partes iguales as:

75 % Q3 =

50 % Q2 =

25 % Q1 =

DQ = Desviacin cuartil

Una desventaja de la DQ es de que no trabaja con todos los valores sino con el 50 % central.3.6.1.1.- DE UNA SERIE DE FRECUENCIAS

PROCESO

1. Localizamos la posicin del primer cuartil ( Q1 ) mediante:

P1 = Q1 = ( Columna de la fa corresponde al valor mximo mayor)

P2 = Q2 =

P3 = Q3 =

P1 = Q1 = Md = de igual forma Q2 , Q3 con

Ejemplo.-

Determinar los cuartiles de la serie estadstica:

Xff.a

1

2

4 (5 (6 (7

8

83

10

14

18

15

9

8

23

13

79

P1 = Q1 =

( 4

P2 = Q2 =

( 5

P3 = Q3 =

( 6

Ejemplo.-

Determinar los cuartiles de la serie estadstica expresado en la siguiente tabla:

Xff.a

125-129

120-124

115-119

110-114

105-109

100-104

95-99

90-94

85-89

80-842

5

6

7

12

8

5

3

1

150

48

43 Q337

30 Q218 Q110

5

2

1

TOTAL(f = 50

Q1 =

Li = 99,5

fa = 10

f = 8

Q1 = Md = = Q1 =

Q2 =

Q2 =

Li = 104,5

fa = 18

f = 12

Q2 =Q2 =

Q3 =

Q3 =

Li = 114,5

fa = 37

f = 6

Q3 = Q3 = 114,5+

DQ= = DQ=

107,4 - 6,925 = 100,475

Md

50 % Central de los casos.

107,4 + 6,925 = 114,325

Conclusin.- entre los valores 100,475 y 114,325 est el 50 % central de los casos.

Ejercicios.-

1.- Determinar los cuartiles de la siguiente distribucin estadstica:

Xf.fa

61-65

56-60

51-55

46-50

41-45

36-40

31-35

26-30

21-25

16-203

8

16

28

40

66

100

190

84

15

TOTAL550

Respuestas;Q1 = 26,51 ; Q2 = 30,13;Q3 = 37,28

2.- Encuentre la mediana de agrupacin central de la tabla siguiente.

Xf.f.a

15 20

21 - 26

27 32

33 38

39 44

45 50

51 56

57 62

63 - 6816

34

45

50

65

30

25

15

10

3.6.2.- DECILESLos deciles son valores que dividen a la serie en 10 partes iguales. Consecuentemente los deciles de una serie estadstica de frecuencias se determinan analizando las posiciones de las mismas, as sucesivamente.

Q1

Q2 =

Q3 =

Q4 =

Q5 =

Q9 =

3.6.2.1.- DE UNA SERIE ESTADSTICA DE INTERVALOS

PROCESO

1. Determinaciones de posiciones en las frmulas anteriores.

2. Aplicacin de las frmulas correspondientes, similar a los cuartiles

Ejemplo.-

De la serie de intervalos que a continuacin representamos, determinar los siguientes deciles (10 ) partes y percentiles (100) partes.

Xf

15 19

20 24

25 29

30 34

35 39

40 44

45 49

50 54

55 59

60 641

2

3

5

10

15

8

4

2

2

TOTAL52

3.6.3.-PERCENTILES.-

Los percentiles son valores que dividen exactamente en cien partes a una distribucin estadstica. Por tanto, una serie de frecuencias queda perfectamente determinados los percentiles con solo encontrar su respuesta posicional.

D8D20D5D30D7D25

Xffa

51 55

48 51

44 47

40 43

36 39

31 35

28 31

24 27

20 23

16 19

12 15

8 112

6

7

10

12

18

13

10

6

5

4

26

2

95

3.7.-

EJERCICIOS

1.- Dada la serie estadstica 12, 11, 11, 11, 10, 9, 9, 8, 7, 6.

Obtenga: a las medias: aritmtica, geomtrica y armnica; la Mediana y el Modo.