MODULO: Análisis Derivativo de Funciones .

CONTENIDO: Dominio y Rango .

GRUPOS: 511,512,513

ELABORADO POR: Martha Ivonne Cano Cruz.

2017-2

Objetivos de Aprendizaje

Definir el dominio y el rango.

Identificar el dominio y el rango de relaciones descritas con

palabras, símbolos, tablas, conjuntos de pares ordenados y

gráficas.

Relación: La relación entre la variables que cambian juntas

Función: Tipo de relación entre una variable determinada de forma única el valor de otra variable.

Valores Independientes: Un valor o variable que cambia o puede ser manipulado por las circunstancias.

Entrada: La variable independiente de una función , la entrada determina la salida.

Valores dependientes: Un valor o una variable que depende de un valor independiente.

Dominio: Es el conjunto de todas las entradas posibles de una función.

Rango ó Contradominio: Es el conjunto de todas las salidas posibles de una función.

Glosario

Las relaciones y las funciones describen la interacción entre variables que

están ligadas.

Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas, que son las

variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias. También

incluyen valores dependientes y salidas, que son las variables

determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes

que debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se

llaman dominio y rango.

El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores

independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de

todas las entradas posibles.

El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores

dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de

todas las salidas posibles.

Al poner a todas las entradas y las salidas en grupos separados, el dominio y

el rango nos permiten encontrar y explorar patrones en cada tipo de variable.

Dominio y Contradominio

Ejemplos y notación

El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la

naturaleza de la relación.

Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando

lanzas una pelota al aire y luego la atrapas.

El tiempo es la entrada, la altura es la salida.

El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde

el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la

pelota regresa a ella.

El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es

irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento.

Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese

caso, el dominio es 0-10 segundos.

Ya que el tiempo transcurre continuamente durante éste intervalo, no

podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas

las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el

punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer.

Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la

pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con

respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies.

Ya que la altura cambia constantemente durante éste intervalo, no podemos

escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

Ahora veamos otro ejemplo de dominio y rango, Aquí hay una serie de

figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.

Podemos crear una función a partir de éstas usando el número de la figura

como la entrada, y el número de cuadros que la conforman como la salida.

Una entrada de 1 tiene una salida de 1, ya que la figura 1 tiene sólo un

cuadrado.

Una entrada de 2 tiene una salida de 5, ya que la figura 2 contiene 5

cuadrados.

Una entrada de 3, produce una salida de 9, ya que la figura 3 está formada

de 9 cuadros. El dominio de ésta función se obtiene contando el número de

entradas 1, 2, 3 que identifican cada una de las figuras usadas.

Las entradas de ésta función son valores discretos, o valores que cambian

en incrementos y no continuamente como la función del lanzamiento de la

pelota. Sólo hay 3 figuras y por lo tanto las únicas posibles entradas son 1,

2, y 3.

Entonces, el dominio de ésta función es 1, 2, 3. Podemos agrupar ésta lista

de valores dentro de corchetes para indicar que forman un conjunto.

Dominio: {1, 2, 3}

Dominio

Rango / Contradominio

El rango es el número de cuadros en cada figura. Las figuras

tienen sólo 1, 5, o 9 cuadros, y ése es el rango. No hay ninguna

figura que tenga 2 o 3.5 o cualquier otro número de cuadros. Como

el dominio, el rango esta hecho de un conjunto de valores

discretos.

Rango: {1, 5, 9}

Hemos limitado la entrada y la salida a 3 cada una porque sólo nos

proporcionaron 3 figuras. ¿Cómo sería la notación del dominio y

del rango si nos hubieran dicho que el patrón continuaría

indefinidamente? ¡Fácil! Sólo añadimos tres puntos al final del

conjunto de valores, para indicar que la secuencia continúa, así:

Dominio: {1, 2, 3, …}

Rango: {1, 5, 9, …}

Ejemplo:

Jamie vende pasteles caseros en $15 cada uno.

La cantidad de dinero que gana es una función de cuántos pasteles puede

vender: $0 si no vende ninguno, $15 si sólo vende uno, $30 si vende 2, y así

sucesivamente.

¿Cuáles son el dominio y el rango de la función?

A) Dominio: {0, 15, 30, …} Rango: {0, 1, 2, …}

B) Dominio: {0, 1, 2, …} Rango: {0, 15, 30, …}

C) Dominio: {0, 1, 2} Rango: {0, 15, 30}

D) Dominio: todos los números mayores o iguales a 0

A) Dominio: {0, 15, 30, …} Rango: {0, 1, 2, …}

Incorrecto. El número de pasteles es la entrada, y la cantidad de dinero es la salida de la

función. Esto significa que el dominio es la cantidad posible de pasteles, y el rango la

cantidad posible de ganancias obtenidas por vender esos pasteles. La respuesta correcta

es: Dominio: {0, 1, 2, …} Rango: {0, 15, 30, …}.

B) Dominio: {0, 1, 2, …} Rango: {0, 15, 30, …}

Correcto. El número de pasteles que puede vender es la entrada, y ésta puede ser

cualquier número entero desde 0. El dinero que obtiene de esos pasteles es siempre un

múltiplo de 15: 0 por 0 pasteles, 15 por 1 pastel, 30 por dos, y así sucesivamente. Si bien

hay un límite práctico de cuántos pasteles puede cocinar Jamie, siempre podemos

relacionar la cantidad de dinero con el número de pasteles, por lo que usamos tres puntos

para mostrar que el patrón continúa.

C) Dominio: {0, 1, 2} Rango: {0, 15, 30}

Incorrecto. El dominio y el rango continúan más allá de esos valores — Jamie puede

vender más de 2 pasteles y como resultado puede ganar más de $30. Debes incluir todos

los valores posibles añadiendo tres puntos al final de cada secuencia para indicar que el

patrón continúa. La respuesta correcta es: Dominio: {0, 1, 2, …} Rango: {0, 15, 30, …}.

D) Dominio: todos los números mayores o iguales a 0

Incorrecto. Jamie no vende fracciones de pastel, por lo que las únicas entradas posibles

son números enteros y las únicas salidas posibles son múltiplos de $15. La respuesta

correcta es: Dominio: {0, 1, 2, …} Rango: {0, 15, 30, …}.

Respuesta:

Dominio y Rango: Tablas y Conjuntos de Pares Ordenados

Las relaciones también pueden ser mostradas como tablas o como

conjuntos de pares ordenados.

Encontrar el dominio y el rango en estas situaciones es simple, siempre y

cuando recordemos qué es lo que significan los términos.

Si una relación matemática es dada en una tabla, los valores

independientes generalmente se enlistan en la columna izquierda, mientras

que los valores dependientes normalmente se ponen en la columna

derecho

El dominio se puede encontrar al leer la primera columna {-1, 2, 5, 9}. El

rango es todos los valores de la segunda columna {7, -3, 6, 4}.

Cuando se trata de conjuntos de pares ordenados, simplemente

necesitamos separar los pares en coordenadas x y coordenadas y.

Ya que las coordenadas x conforman los valores independientes, nos dan el

dominio.

Las coordenadas y son los valores dependientes, lo que significa que son el

rango. Intentémoslo.

En el conjunto de pares ordenados {(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}, el dominio

es el conjunto de los primeros números de cada par (esos son las

coordenadas x): {-2, 0, 2, 4}.

El rango es el conjunto de los número que conforman el segundo

componente de cada par (esos son las coordenadas y): {0, 6, 12, 18}.

{(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}

Dominio: {-2, 0, 2, 4}.

Rango: {0, 6, 12, 18}

Esta tabla describe y como una función de x.

¿Cuál de las siguientes respuestas describe correctamente el valor de 2?

A) Es parte del rango.

B) Es una salida.

C) Es un valor dependiente.

D) Es parte del dominio.

A) Es parte del rango.

Incorrecto. Como y es una función de x, el rango está formado de los valores de y. Los

valores de x son las entradas y conforman el dominio de la función. La respuesta

correcta es que 2 forma parte del dominio.

B) Es una salida.

Incorrecto. Como y es una función de x, los valores de x son las entradas y conforman

el dominio de la función. La respuesta correcta es que 2 forma parte del dominio.

C) Es un valor dependiente.

Incorrecto. Como y es una función de x, los valores de x son entradas, no salidas. En

conjunto forman el dominio de la función. La respuesta correcta es que 2 forma parte

del dominio.

D) Es parte del dominio.

Correcto, Como y es una función de x, los valores de x son las entradas y conforman el

dominio de la ecuación. Entonces 2, que es un valor de x, es parte del dominio.

También podemos representar funciones y relaciones con gráficas.

La cantidad independiente normalmente se grafica en el eje horizontal (x) — lo

que significa que los puntos en la coordenada x son el dominio.

Como la cantidad dependiente normalmente se grafica en el eje vertical (y) ,

las coordenadas y conforman el rango.

Veamos algunas gráficas para entender cómo funciona esto.

Primero, examina la gráfica de puntos discretos.

Los únicos valores que conocemos que satisfacen la ecuación son los

marcados con puntos.

Simplemente leemos las coordenadas x, y los colocamos en un conjunto de

valores que representan el dominio.

Luego leemos las coordenadas y, y los ponemos en el rango. Para ésta

gráfica, el dominio es

{-2, 0, 2, 4}.

Y el rango es: {0, 6, 12, 18}.

Dominio y Rango en Graficas

Grafica

Ahora veamos un tipo de gráfica diferente, en el cual la función es una recta

continua, que se extiende indefinidamente en ambas direcciones.

Esto significa que hay un número infinito de valores que son parte de la

función. Para ésta función, no hay restricciones para el dominio ni para el

rango.

Cualquier número real puede ser una entrada o una salida.

Esto significa que todos los números, enteros, fracciones y otros números

racionales, incluso números irracionales, son parte del dominio y parte del

rango.

Como no podemos escribir todas estas posibilidades, simplemente decimos

que el dominio y el rango son todos los números reales.

Grafica

En algunas situaciones sólo uno de los dos, el dominio o el

rango, está restringido.

Considera la gráfica del valor absoluto de la función, y = |x|.

La línea se extiende indefinidamente en ambas direcciones

sobre el eje x, por lo que el dominio son todos los números

reales.

Sin embargo, como el valor absoluto transforma cualquier valor

negativo en uno positivo, no existen valores negativos en el

rango.

El rango está formado de todos los números reales mayores o

iguales a 0 — aunque siguen siendo demasiados como para

escribirlos todos.

Grafica

Las funciones pueden definirse usando palabras, símbolos,

gráficas, tablas o conjuntos de pares ordenados, pero en cada

caso las características son las mismas.

El dominio es la entrada, el valor independiente — es lo que

entra a la función.

El rango es la salida, el valor dependiente — es lo que sale de

la función.

El dominio y el rango pueden estar limitados a unos pocos

valores discretos o pueden incluir todos los números reales,

hasta el infinito y más allá.