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Módulo 7. Interacción Gravitatoria

Trabajo de Investigación

1. a) Realice un cuadro comparativo entre la Teoría geocéntrica y la Teoría heliocéntrica. b) Enuncie las

herramientas de la Mecánica Clásica, que se utilizan para predecir el movimiento de los planetas y de

los otros objetos celestes.

2. Enuncie las Leyes de Kepler del movimiento planetario.

3. Explique, enuncie, grafique e indique la Expresión matemática de la Ley de la Gravitación Universal.

4. Explique cómo Newton utilizó sus Principios y la Ley de la Gravitación Universal, para demostrar las

Leyes de Kepler

De acuerdo a lo expresado en los puntos: 1, 2, 3 y 4; la Tierra está sometida a la acción de una fuerza

gravitatoria ejercida por el Sol. Esta fuerza es la causante de que la trayectoria de la Tierra se curve,

puesto que origina una aceleración normal o centrípeta. La trayectoria que describe la Tierra es una

elipse, estando el Sol en uno de los focos, pero su excentricidad es de sólo 0.0167, es decir, es

prácticamente circular. La posición más alejada del Sol recibe el nombre de afelio y la más cercana

perihelio: en el afelio la distancia entre el Sol y la Tierra es aproximadamente de 152.6 millones de km

y en el perihelio de 147.5 millones de km.

La fuerza gravitatoria que sufre la Tierra es una fuerza central, ya que a lo largo de toda la trayectoria su

línea de acción pasa siempre por el Sol.

5. ¿Cómo se calcula la aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre y a una cierta altura h?

6. Realice la Deducción Dinámica de la Segunda Ley de Kepler.

7. ¿A qué se denomina Intensidad de Campo Gravitatorio y cómo se calcula?

Energía Potencial Gravitatoria

Sean las masas m1 y m2

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Y 2

21

r

mmGF

Si se trata de separar ambas masas habrá que realizar un trabajo, cuyo valor dependerá de las posiciones

inicial y final de ambas masas.

Si la masa que se aleja es m2, para un desplazamiento elemental dr, el trabajo realizado es:

221r

drmmkdrFdW Como se trata de un sistema conservativo, ese trabajo es acumulado

por el cuerpo de masa m2 en forma de energía potencial, es decir: dUdW

Para llevar la masa hasta el infinito la energía será:

r

dUU

Es decir:

rr

r

mmkr

drmmkU

121221

Finalmente:

r

mmkU 21

Expresión que representa la energía potencial de la masa m2 respecto de la masa m1 a la distancia r de la

misma y recíprocamente, la de m1 respecto de m2.

La figura es un gráfico de U(r) en función de r para esta elección de U = 0 en r para un objeto de

masa m y la Tierra de masa M. Esta función comienza con el valor negativo r

MmkU en la

superficie de la Tierra y crece cuando r aumenta, aproximándose al valor cero para r infinito.

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Actividad 1:

1- Un cuerpo pesa sobre la superficie de la Tierra 1000N. ¿Cuánto pesará si se lo eleva

verticalmente hasta una altura igual a un radio terrestre?

2- En un planeta de 7000 km de radio, un cuerpo demora 2 segundos en caer libremente desde una

altura de 10 metros sobre su superficie. Determinar la masa de dicho planeta.

3- ¿Cuál es la fuerza que mantiene en órbita un satélite artificial de masa 1000 kg a 200 km de

altura? Siendo RT = 6370 km, MT = 6.1024

kg, ¿Cuál es la velocidad orbital del satélite?

4- En un planeta de radio igual al radio terrestre se deja caer un objeto desde una altura de

10metros y se observa que tarda dos segundos en llegar al piso. ¿Cómo es la masa del planeta

(M) respecto de la masa terrestre (MT)?

5- Un satélite artificial orbita la Tierra a 1000 km de altura sobre el nivel del mar. Si MT = 6 1024

kg y el RT = 6,4 106 m, determinar su velocidad tangencial y su período de revolución.

6- ¿A qué distancia debería colocarse un objeto entre la Luna y la Tierra, para no ser atraído por

ellas? MT = 6.1024

kg; dT-L = 380000km.

7- ¿Qué características tiene un satélite geoestacionario?, ¿cuál es su altura respecto de la

superficie terrestre? Y ¿cuál es su velocidad tangencial?

8- En el punto O de la figura, la intensidad del campo gravitatorio del sistema es nula. Si M2 = 40

kg. ¿Cuál es el valor de M1?

9- En el sistema de la figura M1 = 90 kg, M2 = 10 kg y la distancia entre los centros de masa mide

20 m. Calcular las distancias r1 y r2 correspondientes al punto O donde la intensidad del campo

gravitatorio del sistema es nula.

M1 M2

4 m 3 m

20 m

M1 M2

O

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Respuestas:

1- 250N; 2- 3,67.1024

kg; 3- 9,27.103

N; 4- M = ½ MT ; 5- 7,36 m/s; 2π 103 s; 6- 345661 km; 9-

71,11 kg; 10- 5 m y 15 m

Velocidad de escape

Si se lanza un cuerpo hacia arriba desde la Tierra con cierta Energía cinética inicial, a medida que el

cuerpo asciende, la Energía cinética disminuye y la Energía potencial crece. El máximo incremento de

Energía potencial es:T

T

R

mMG . Por lo tanto este valor es el mismo que puede decrecer la energía

cinética.

Si la energía cinética inicial es mayor que T

T

R

mMG , la energía total E será mayor que cero y el cuerpo

todavía tendrá cierta energía cinética cuando r sea muy grande (o incluso cuando r sea infinito). Así, el

cuerpo escapará de la Tierra si la energía cinética inicial es mayor que T

T

R

mMG .

Como la energía potencial en la superficie de la tierra es T

T

R

mMG , la energía total UKE debe

ser mayor o igual que cero para que el cuerpo escape.

La velocidad de escape del cuerpo próximo a la superficie terrestre, correspondiente a una energía total

cero se denomina velocidad de escape ev . Puede determinarse a partir de:

iiff EpEcEpEc => T

Te

R

mGMvm 2

2

100

De modo que: T

Te

R

GMv

2

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Actividad 2, sobre velocidad de escape:

1) ¿De qué depende la velocidad de escape?

2) Sabiendo que 2211 /.10.67,6 kgmNG kgMT

2410.98,5 y mRT

610.37,6 Calcula cuál

es la velocidad necesaria para poder escapar de la órbita terrestre. ¿Es mucho? ¿Es poco? ¿Podrías

lanzar una piedra a esa velocidad?

3) ¿Cuál sería la velocidad de escape en la Luna? ( kgM L

2210.34,7 y mRL

610.74,1 )

4) ¿Y la velocidad de escape en el Sol? ( kgM T

3010.98,1 y mRS

810.96,6 )

5) ¿Qué conclusiones puede sacar con referencia a estos valores y la atmósfera de la Luna y la Tierra?

6) ¿Qué pasaría si existiera un cuerpo con una masa muy grande y un radio muy pequeño?

Autoevaluación

Problema n°1: La masa de la luna es ml =7,349.1022

kg y su radio ecuatorial 1,737.106

m. Calcule la

aceleración de la gravedad en su superficie. Rta: 1,62 m/s2.

Problema n°2: En la superficie de la tierra, a 45° de latitud y a nivel del mar, la aceleración de la

gravedad es: gsup=9,80665 m/s2

y el radio es R=6367 km. Calcule la masa de la tierra. Rta: 5,96.1024

kg.

Problema n°3: Halle la aceleración de la gravedad a una altura de 400 km sobre la superficie de la

tierra (apogeo de la estación espacial internacional, EEI), el periodo orbital y la velocidad orbital. Rta:

gh=8,68 m/s2. T=92’; V=27744 km/h=7707m/s.

Problema n° 4: Hallar el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria terrestre sobre un cuerpo de masa

m al desplazarse del punto 1 al punto 2 de la figura por el camino indicado (11’2). Asociar a esta fuerza

una energía potencial.

Rta:

Problema n°5: Una nave espacial se encuentra en la posición r1 del campo gravitatorio de un planeta

de masa M. Tiene en el punto r1 la velocidad v1. ¿Cuál será su velocidad al llegar al punto r2? Si el

planeta es la tierra (MT=5,96.1024

kg) y r1=RT =6367 km y se quiere escapar a la atracción terrestre, es

decir llegar a r2= ∞ con velocidad nula (v2=0), ¿cuál debe ser la velocidad v1?

r1 1

r2

2

1’

r

2

v1

v2

r1

M

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Rta: v1=11.175 m/s.

Problema n° 6: ¿Con que velocidad debe lanzarse un satélite artificial desde la superficie de la tierra

para que alcance una altura igual a un radio terrestre?

Rta:

Problema n°7: El planeta Júpiter orbita el Sol con un periodo de 12 años. Calcule el radio de su órbita

tomando como unidad el radio de la órbita terrestre. Rta: 5,24 RT.

Problema n°8: La órbita de Marte es más elíptica que la de los restantes planetas. Si la velocidad en el

punto A de la órbita (afelio) es 79.000 km/h; halle la velocidad en el punto C (perihelio).

Datos: rA =249.000.000 km; rC =207.000.000 km.

Rta: Vc=95.029 km/h.

Actividad grupal

Observen un video sobre Interacción Gravitatoria o algún tema vinculado con Gravitación,

coméntenlo desde el punto de vista físico en no más de 7 renglones.

Elijan un Applets que esté relacionado con este contenido, expliquen su utilidad

A c

V

C

vA

rC rA