33Álgebra y trigonometría

Sistemas numéricos

Introducción

En este módulo se enunciarán, de manera muy breve, los diferentes sistemas numé-

ricos y cómo se relacionan entre ellos. Se comenzará con los familiares números

naturales, 1, 2, 3,..., presentes desde nuestra primera infancia; se pasará por los

enteros, los racionales y los reales y se terminará con los complejos. Los números

complejos se tratarán con más profundidad en los módulos correspondientes al

capítulo doce.

Objetivos

1. Abordar el estudio somero de los diferentes sistemas numéricos.

2. Establecer relaciones y diferencias entre los números naturales, enteros, racionales,

irracionales, reales y complejos.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es un número racional?

2. ¿Qué es un número irracional?

3. ¿Habrá números que sean racionales e irracionales a la vez?

4. ¿Habrá números que sean enteros y racionales a la vez?

Contenido

2.1 Introducción a los sistemas numéricos

2.2 Relación entre los sistemas numéricos

Vea el módulo 2 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

Visite el sitio

http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

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Euclides (300 a. C.)

Muy poco se sabe de su vida. Sin duda, la gran reputación deEuclides se debe a su famosa obra titulada Los elementos degeometría, conocida simplemente por los Elementos. Tal esla importancia de esta obra que se ha usado como texto deestudios durante cerca de 2.000 años, veinte siglos, sin quese le hicieran correcciones de importancia salvo peque-ñas modificaciones. Los Elementos están constituidos portrece libros. A aquéllos se ha agregado un libro XIV quecomprende un trabajo de Hipsicles del siglo II de nuestraera, e incluso un libro XV con un trabajo de menorimportancia.

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2.1 Introducción a los sistemas numéricos

La necesidad de comparar los elementos de un par de conjuntos motivó el "contar"

esos elementos y, con ello, la aparición de unos entes abstractos: los números

naturales. Posteriormente hubo necesidad de referirse a estos entes y por consi-

guiente se les asignó nombres y se les representó mediante los símbolos 1, 2, 3, 4,...

Una vez creados los números naturales, con sus símbolos correspondientes, se

definieron con ellos las operaciones de suma, resta y multiplicación y se resolvieron

problemas dentro de este conjunto.

Algunos de ellos eran problemas del tipo siguiente: resolver la ecuación a + x = b

cuando a y b son naturales y b < a. Esto daba lugar a la posible solución x b a ! que

no era un número natural. Surgieron así los números enteros que constan de núme-

ros de la forma ... !5, ! 4, ! 3, ! 2, ! 1, 0, 1, 2, 3,...

Un nuevo problema surgió al tratar de resolver la ecuación a · x = b cuya solución no

pertenece al conjunto de los enteros y que es de la forma x = b/a con a " 0. Surgie-

ron entonces los números racionales, que se definen como aquellos que se pueden

escribir como el cociente de dos enteros, donde el entero del denominador es dife-

rente de cero.

En circunstancias similares, el deseo de resolver la ecuación 2 2x dio origen al

concepto de números irracionales, que se caracterizan porque no se pueden escri-

bir como el cociente de dos enteros. La unión de los anteriores conjuntos dio lugar

al campo de los números reales.

Por último, el problema de resolver la ecuación 2 2 0x # condujo al nacimiento de

los números complejos, que se definen como números de la forma a + bi, donde

i = 1.!

2.2 Relación entre los sistemas numéricos

El sistema de los números reales es el sistema en el cual se ha trabajado en los ciclos

básico y medio del sistema educativo. La tabla 2.1 describe el conjunto de los

números reales y sus respectivos subconjuntos. En la tabla se cumple la siguiente

cadena de inclusiones: N Z Q R C$ $ $ $ . Además, si el conjunto de los núme-

ros irracionales lo denotamos por I, se tiene que .Q I R%

Hay que volver a decir que un número irracional es aquel número real que no se

puede escribir como el cociente de dos enteros. Existen muchos números irracionales

famosos como el número & y el número e.

Es conocida la fórmula que relaciona los cinco números más famosos de la matemá-

tica, a saber , , 0, 1,e i& . La fórmula es la siguiente:

1 0.ie& #

Capítulo 1: Elementos de aritmética

35Álgebra y trigonometría

Módulo 2: Sistemas numéricos

Tabla 2.1. Relación entre los sistemas numéricos

Símbolo Sistema de Números Descripción

N

Z

Q

R

C

Números naturales Números para contar.

Números enteros Conjunto de números naturales,

sus negativos y el cero.

Números racionales Números que se pueden representar en la

forma a/b con a y b enteros, 0.b "

Números relaes Conjunto que consta de la unión de los

números racinales y los irracionales.

Números complejos Números de la forma a + bi con a y b

números reales e 1.i !