MÓDULO 1 Ecuaciones lineales...
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MÓDULO 1 Ecuaciones lineales Objetivo. El estudiante será capaz de resolver ecuaciones que contienen una variable por medio de técnicas específicas y graficará ecuaciones de primer grado que contienen dos variables así como determinará la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación de una recta. Introducción Iniciaremos ahora el estudio de ecuaciones algebraicas simples y el uso de algunas técnicas que permiten encontrar el conjunto solución o conjunto de verdad, que contiene a los valores de la variable que las hacen verdaderas. El nombre de ecuación se le da a frases abiertas como x+9 =15. Cualquier frase en la que el símbolo “=” es el principal elemento de conexión, se le conoce con el nombre de ecuación. En cualquier ecuación, la parte que aparece a la izquierda del signo de igual se le conoce como miembro izquierdo de la ecuación y, el que aparece a la derecha del signo de igual, se le llama miembro derecho de la ecuación. La ecuación x+7=15 contiene solamente una variable identificada por x, por lo que la llamaremos ecuación de una variable. Recuerda que, cuando escribimos una variable acompañada de un pequeño número escrito en la parte superior derecha, como 5 x , la identificamos como una variable elevada a un exponente que, en este caso, es 5. Recuerda también que, si no escribimos ese pequeño número, supondremos que es uno. De este modo x tiene como exponente al uno. Así, las variable x, y, z y t se pueden expresar como: 1 1 1 1 t t z z y y x x Solución de ecuaciones de primer grado que involucran sumas y restas.
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MÓDULO 1
Ecuaciones lineales
Objetivo. El estudiante será capaz de resolver ecuaciones que contienen una variable
por medio de técnicas específicas y graficará ecuaciones de primer grado que
contienen dos variables así como determinará la pendiente y la ordenada al origen de
la ecuación de una recta.
Introducción
Iniciaremos ahora el estudio de ecuaciones algebraicas simples y el uso de algunas
técnicas que permiten encontrar el conjunto solución o conjunto de verdad, que
contiene a los valores de la variable que las hacen verdaderas.
El nombre de ecuación se le da a frases abiertas como x+9 =15. Cualquier frase en la
que el símbolo “=” es el principal elemento de conexión, se le conoce con el nombre
de ecuación.
En cualquier ecuación, la parte que aparece a la izquierda del signo de igual se le
conoce como miembro izquierdo de la ecuación y, el que aparece a la derecha del
signo de igual, se le llama miembro derecho de la ecuación. La ecuación x+7=15
contiene solamente una variable identificada por x, por lo que la llamaremos ecuación
de una variable.
Recuerda que, cuando escribimos una variable acompañada de un pequeño número
escrito en la parte superior derecha, como 5x , la identificamos como una variable
elevada a un exponente que, en este caso, es 5. Recuerda también que, si no
escribimos ese pequeño número, supondremos que es uno. De este modo x tiene
como exponente al uno. Así, las variable x, y, z y t se pueden expresar como:
1
1
1
1
tt
zz
yy
xx
Solución de ecuaciones de primer grado que involucran sumas y restas.
Nuestra intención es aprender a encontrar las soluciones de ecuaciones de primer
grado en una variable. El aspecto que tienen estas ecuaciones es como:
723
253
613
457
zz
t
y
x
d)
c)
b)
a)
En estas ecuaciones las variables son: a) x; b) y; c) t; d) z y su grado es uno porque
es el mayor exponente que tiene asociado en cada una de las variables.
Para algunas ecuaciones de primer grado en una variable, es fácil encontrar sus
soluciones. A veces esta solución se ve con una simple inspección. Por ejemplo, el
conjunto solución de x+3=5 es {2}, porque 2 sumado a tres es cinco, pero esto no es
frecuente, así que lo aconsejable al resolver ecuaciones, es ser sistemático. Por
ejemplo, en la ecuación 973
2x es difícil encontrar la solución con una simple
inspección. Así que mejor desarrollemos algunos procedimientos para encontrar los
conjuntos solución e este tipo de ecuaciones.
Empezaremos por decir que, si dos ecuaciones tienen el mismo conjunto de
soluciones, entonces las ecuaciones son equivalentes. Así, dos ecuaciones
equivalentes tienen el mismo conjunto de soluciones.
Resolvamos la ecuación x+4=7. Un primer paso sería sumar (-4) a ambos miembros
de la ecuación ya que:
4+(-4)=0
Cuando se suma (-4) a cada miembro de x+4=7, el lado izquierdo se vuelve x,
mientras que el de la derecha se hace 7+(-4)=3, luego entonces {3} es el conjunto
solución de x+4=7, porque x=3 es el único valor que la hace verdadera.
El conjunto de soluciones de 8=-4+x, se encuentra del siguiente modo:
8= (-4)+x
4+8=4+ (-4)+x
12=x o bien x=12
¿Cuál es le conjunto solución de (-2)+t=-5?___________________________
_______________________________________________________________.
El conjunto solución es {.-3} y se encuentra así:
(-2)+t=-5
(-2)+2+t= (-5)+2
t=-3
Solución de ecuaciones de primer grado que involucran multiplicaciones y
divisiones.
Veamos ahora algunas ecuaciones de un estilo diferente a las que hemos venido
resolviendo. Por ejemplo, considera la ecuación: 32
1x . Esta ecuación se puede
resolver por inspección, es decir x=6, sin duda, porque 32
1x se hace verdadera si x
se sustituye por 6. ¿Podrás resolver por inspección la ecuación 24
1x
?__________________.
Seguro que sí. El valor de x es 8, porque 24
1x es verdadera si x=8. Sin embargo, la
ecuación 83
2x no es tan fácil de resolver por inspección, y más difícil aún, es
encontrar la solución o raíz de la ecuación 7
1
9
2x , por lo que es claro que es
necesaria una estrategia para encontrar soluciones a ecuaciones de este estilo.
Una manera útil emerge del hecho de que:
Si a=b
Entonces a∙c=b∙c
Esto puede decirse en palabras como: “Si números iguales se multiplican por un
mismo número, los productos son iguales”. De aquí que, si suponemos que hay una
sustitución para x de manera que, por ejemplo, 32
1x es verdadera y si se multiplica
cada miembro de esta ecuación por 2, se puede afirmar que los productos son iguales.
Es decir:
322
12 x
No olvides que esta última ecuación y 32
1x son equivalentes, así que admiten la
misma solución. De este modo, como 12
12 y 2∙3=6, se tiene que x=6, por lo que
32
1x tiene como conjunto solución a {6}. ¿Cuál es el conjunto solución de x
5
1-2?
______________________________________
_______________________________________________________________
El conjunto solución es {-10}, porque:
10
10
255
15
25
1
:es solución conjunto El
x
x
x
Para encontrar el conjunto solución de la ecuación 3
2
8
1x vale la pena, primero,
multiplicar cada miembro de la ecuación, por ____.
Por 8 ¿verdad? De este modo:
3
16 solución conjunto
3
16
3
28
8
18
x
x
Apliquemos la misma técnica para encontrar la solución de 25
3x :
Conviene ahora, multiplicar ambos miembros por 5/3, ya que 15
3
3
5. Así se tiene
25
3x ; 2
3
5
5
3
3
5x ;
3
10x .
Resolvamos la ecuación 1232
1y . Para esto tenemos dos posibilidades: Primero,
se puede sumar (-3) a ambos miembros de la ecuación )3(12)3(32
1y .
Ahora ya tenemos 92
1y , por lo que ya podemos multiplicar ambos miembros por 2,
para obtener: 922
12 y ; y=18 y como conjunto solución es {18}.
Una enseñanza que nos deja esta discusión de la solución de ecuaciones de primer
grado, es que no hay, necesariamente, un solo método para resolver una ecuación.
Pero lo resaltante es que el conjunto de soluciones consiste de todas las sustituciones
de la variable que hacen de la ecuación una afirmación verdadera, sin que importe qué
camino se tome. Así que elige tu propia técnica para resolver tu autoevaluación.
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. 125 x
2. 57
1y
3. 645
2z
4. 3
1
3
1m
5. 1063
2t
6. 424
1r
7. 148
7x
8. 732t
9. 1343
1m
10. 1232
x
SOLUCIONES
1) x=-3
2) y=35
3) z=5
4) m=1
5) 6t
6) r=24
7) x=-16
8) 2t
9) m=27
10) x=18
GRÁFICA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES.
Ubiquemos en el plano, el conjunto de puntos (1,1); (2,0); (-1,3) y (4,2) que satisfacen
la ecuación x+y=2.
Una manera de obtener pares que satisfacen una ecuación en dos variables, es
tabulando. La palabra “tabular” significa “construir una tabla”, así que tabulemos,
proponiendo algunos valores para la x y, con este dato, calcular los de y.
x y (x,y)
-2 4 (-2,4)
-1 3 (-1,3)
0 2 (0,2)
1 1 (1,1)
2 0 (2,0)
3 -1 (3,-1)
4 -2 (4,-2)
Hablemos de la frase “proponer algunos valores para x”. La palabra “proponer”
significa que puedes sugerir cualquier número real para sustituir a x, pero ya sugerido,
el valor de y se hace único, si lo que se desea es satisfacer a la ecuación. Por
ejemplo, si en la ecuación x+y=2 sugieres 7 para la x, la y no tiene más remedio que
valer -5, si se quiere un par ordenado que sea solución de la ecuación, Con este
criterio, seguramente estás sospechando que el número de pares ordenados que son
solución de la ecuación es enorme; en realidad la palabra correcta es ¡infinito! Esto es,
el número de pares que contiene el conjunto solución es infinito.
Dibuja en un plano cartesiano, los pares ordenados que obtuviste en la tabla.
¿La ubicación de los puntos te quedo como se muestra? Vas por buen camino.
Tal vez observes que la tendencia de estos puntos es formar una recta. De hecho, si
eligieras valores para x, cada vez más cercanos uno de otro, el parecido a la recta
sería cada vez más definido. Si trazamos una recta que una a todos los puntos, lo que
obtenemos es la gráfica de la recta que contiene a todos los puntos que son solución
de x+y=2
Para graficar una recta, bastan dos puntos que le pertenezcan. Así, si la ecuación es
la de una recta, con dos puntos de ella que encontremos, es suficiente para trazarla.
Por ejemplo, si se desea dibujar la gráfica de la ecuación x+3y=7, podemos proponer
la tabla:
x y (x, y)
4 1 (4, 1)
1 2 (1, 2)
Con estos pares ordenados, es posible trazar la gráfica de la recta:
Observa que el par ordenado (-2, 3) también pertenece a la recta, por lo tanto
satisface a la ecuación x+3y=7.
Intentemos encontrar pares ordenados que sean soluciones para la ecuación 2x+2y=3.
Si x=2, entonces 4+2y=3. En esta última ecuación, el valor de y no puede ser otro que
-½, porque:
4 ( 4) 2 3 ( 4)
12 1;
2
y
y y
Así, el par ordenado que es solución de 2x+2y=3 es (2,- ½). Si se empieza tomando
un valor para y, por ejemplo y=2, entonces la x=-1/2. Esto significa que otra solución
de 2x+2y=3 es (-1/2, 2). Si te apoyas en estos dos puntos definidos por los dos pares
ordenados ¿Cuál es la gráfica del conjunto de soluciones de 2x+2y=3?
Si tu trazo es como la que sigue, lo hiciste muy bien.
Tal vez notaste lo molesto que es ubicar valores como x=-1/2 o y=-1/2 . Esta molestia
puede disminuirse modificando la escala de la malla, para representar o ubicar los
pares ordenados. Por ejemplo, ubica los puntos (2, -1/2) y (-1/2, 2) en la siguiente
malla.
Fue más fácil ¿verdad?
La escala que se escoja no es muy importante y puedes elegirla con toda libertad. Sin
embargo, lo que si es importante es que la elección se haga de un modo adecuado,
considerando el problema a resolver.
Ahora intenta la gráfica del conjunto de soluciones de la ecuación x-y=0, en el
siguiente sistema de coordenadas:
Seguramente notaste que si, la resta x-y es cero, entonces y=x. Por eso la ordenada
de cada punto de la gráfica, es igual a la abscisa del mismo punto. Esa es la razón por
la que la gráfica se ve como:
¿Cuál es la gráfica de x+y=0?
¿Observaste que la ordenada de cada punto en la gráfica es la inversa aditiva de la
abscisa de ese punto? Pues si, por eso la gráfica te debió quedar así:
Ya estás listo para enfrentar tu autoevaluación.
AUTOEVALUACIÓN
1) La ecuación y+2x=6 ¿se satisface con el par ordenado (0, 6)?
2) Dada una ecuación en dos variables, el conjunto de los pares que producen
afirmaciones verdaderas se denomina el conjunto de _______ de la ecuación.
3) La gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los ____________ cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación.
4) La siguiente recta representa todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen
x+y=2. Esta recta se llama la ________________ de la ecuación.
5) Suponiendo que se quiere dibujar la gráfica de la ecuación 2x+y=6. Como la
gráfica ha de ser una ___________ ¿Con cuántos puntos nos basta para
trazarla?
6) En la siguiente malla que se dibuja en el sistema de coordenadas, ubica los
pares ordenadas (1/3, -1) y (-2/3, 2/3). Observa la escala elegida.
7) Grafica la ecuación 2x+y=2
8) Grafica la ecuación x+2y=2
9) En (-1, -2) se conoce como el ____________________, asociado con el punto
R, o simplemente como las _____________________ de R.
10) La gráfica de Ax+By=C, donde A, B y C son números reales y, A y B no son
ambas cero, es una _________________________
SOLUCIONES
1) Si, porque 6+2(0)=6
2) Soluciones
3) Puntos
4) Gráfica
5) Recta; dos puntos.
6)
7)
8)
9) Par ordenado.
10) Línea recta.
Función lineal
Si la línea recta no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, entonces ella
intersecará a ambos ejes. El punto donde ella interseca al eje es de la forma y
el punto donde interseca al eje es de la forma . Parece interesante investigar
cuál sería la forma de la ecuación de la recta cuando se conoce alguna o ambas
intersecciones con los ejes coordenados. Investiguemos ahora, cuál será la forma de
la ecuación de la recta que interseca al eje en el punto , cuya pendiente ,
es conocida. (Figura 1)
Figura 1
x )0,(a
y ),0( b
y ),0( b m
Y
X
( 0.b )
Ecuación de la recta: pendiente y ordenada al origen
Con la información disponible: intersección en el eje , y su pendiente, podemos
obtener su ecuación:
Esta ecuación se conoce como la ecuación de la recta en la forma pendiente y
ordenada al origen. Observemos que cuando la ecuación de la recta está escrita en
esta forma, el coeficiente de corresponde a ______________. Correcto: la
pendiente de la recta y el término constante , a
______________________________________ ¡Acertaste! la ordenada del punto de
intersección de la recta con el eje vertical y se le conoce como ordenada al origen.
Además, la ecuación escrita en esta forma nos permite trazar de manera cómoda la
gráfica de la recta. Una de las ventajas de trabajar los problemas, algebraicamente,
está en el hecho de que las operaciones aritméticas sólo quedan indicadas; y de esa
manera, en la solución uno puede ver cómo participan los datos.
EJEMPLO 1 Se desea conocer la pendiente y la ordenada al origen de la recta
, para trazar su gráfica.
DISCUSIÓN Para conocer la pendiente de la recta y su ordenada al origen, basta
despejar ___ en la ecuación propuesta. Acertaste otra vez: .
DESARROLLO Despejamos: = _____________ Bien! .
Luego la pendiente de la recta es____. Muy bien: el coeficiente de , , más
aún, la ordenada al origen es ____ ¡Correcto!: y nos dice dónde la recta,
__________ al eje vertical. Bien si escribiste: interseca. Y podemos ya, trazar la
gráfica. (Figura 2).
y
bmxy
x
b
0632 yx
y
y 23
2xy
x3
2m
2b
Figura 2
¿Qué parece razonable pedirle, a un par de rectas, para garantizar que sean
paralelas?_________________________. Muy bien: que tengan la misma pendiente.
AUTOEVALUACIÓN
Traza además las gráficas correspondientes a cada uno de los ejercicio propuestos.
1. Halla la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las rectas dadas.
b) c)
SOLUCIONES
1. a) , b=5; b) , b=2; c) , b=0.
Y
X
( 0,2 ), y = x + 2
2
3
01535) yxa 0634 yx 0yx
3
5m
3
4m 1m
MÓDULO 2
SISTEMAS DE ECUACIONES
Objetivo. El estudiante será capaz de resolver sistemas de ecuaciones de primer
grado, por medio de las gráficas de las rectas asociadas a cada ecuación además de
resolver sistemas de este tipo de ecuaciones por medio de los métodos de sustitución
y suma y resta algebraicas.
Sistemas de Ecuaciones
Un Sistema de Ecuaciones es una colección de ecuaciones que admiten la misma
solución; es decir que tiene soluciones comunes. Esto da por entendido que estamos
interesados en encontrar aquellos números que satisfagan cada una de las
ecuaciones en el sistema. Por ejemplo, si estamos interesados en hallar el conjunto de
pares ordenados que satisfagan a las ecuaciones:
3 1
2 7
x y
x y
se dice que estas ecuaciones forman un sistema. Este sistema de ecuaciones supone
que existen parejas ordenadas (x, y) que satisfacen a cada una de ellas. En otras
palabras, el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones, es la intersección de
los conjuntos de soluciones de las ecuaciones del sistema. Es decir, el conjunto del
sistema:
3 1
2 7
x y
x y
está dado por , 3 1 , 2 7x y x y x y x y . Del mismo modo, el conjunto de
soluciones para el sistema:
1
1
y x
y x
Está dado por ___________________________________________________.
El conjunto de soluciones para este sistema está dado por:
, 1 , 1x y y x x y y x
Método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones
Una buena idea, para resolver este sistema, es construir la gráfica del conjunto de
soluciones de las ecuaciones. La gráfica de y=x+1 está dada por:
Si ahora, en el mismo sistema de coordenadas, dibujamos la gráfica de y=-x+1
Identificaremos ahora a ambas rectas como 1 y 2:
Cada punto de la recta 1, corresponde a una solución de y=x+1. Del mismo modo,
cada punto de la recta 2, corresponde a una solución de y=-x+1. Estas dos rectas
tienen un punto común K. Esto es K es la intersección de las dos rectas.
Las coordenadas de K son (0, 1), por lo tanto, es el único par ordenado de números
reales que satisface a ambas ecuaciones del sistema:
1
1
y x
y x
Esto significa que el conjunto de soluciones del sistema es 0,1 , es decir:
, 1 , 1x y y x x y y x = 0,1
¿Hay una manera de saber si esta solución satisface al sistema?____________.
Desde luego que sí. Basta con sustituir el par ordenado en cada ecuación del sistema
y verificar que se satisfacen:
1 1 0 1
1 1 0 1
y x
y x lo cual verifica la solución
Observa que el conjunto de soluciones contiene un solo elemento, el par ordenado
que corresponde al punto K.
Esta técnica que acabamos de ilustrar, para resolver sistemas de ecuaciones de
primer grado, se llama método gráfico, el cual consiste en graficar ambas rectas y
luego identificar el punto donde se intersecan: el par ordenado asociado al punto de
intersección, es la solución del sistema. Este método funciona porque dos rectas
distintas se intersecan únicamente en un punto.
Para que un sistema de ecuaciones tenga solución, es necesario que las rectas de las
dos ecuaciones, se intersequen en algún punto. Si un sistema consiste de dos
ecuaciones de primer grado equivalentes, el conjunto de soluciones del sistema será
el mismo que para cada una de las ecuaciones. Dicho de otra manera, el conjunto de
soluciones será infinito, y esto se debe a que, a fin de cuentas la gráfica
correspondiente a cada una de las rectas es la misma. Por ejemplo, si graficas las
rectas correspondientes al sistema:
2
2 2 4
x y
x y
verificarás que la gráfica es la misma para ambas ecuaciones, luego entonces ambas
rectas tiene un infinito número de puntos comunes.
Hay un caso muy particular ¿qué ocurre cuando las rectas son paralelas? ____
_______________________________________________________________
Ciertamente, si las rectas son paralelas, entonces no tiene puntos comunes, por lo que
el conjunto solución es vacío. Por ejemplo, grafica en la siguiente malla, las rectas
correspondientes al siguiente sistema:
1
3
y x
y x
Seguro que tus gráficas coinciden con las siguientes:
Notarás, sin duda, que ambas rectas son paralelas lo cual evidencia que no hay
puntos comunes entre ellas. Esto significa, también, que no existen puntos de
intersección por lo que el conjunto de soluciones está vacío y, simbólicamente:
, 3 , 1x y y x x y y x
Veamos otro caso: se desea encontrar el conjunto solución del sistema:
3
5
y x
y x
Para esto empezaremos por ________________________________________ de
cada ecuación en el mismo sistema de coordenadas y así identificar el ____ de
_____________ ambas rectas.
Muy bien, necesitamos graficar las rectas correspondientes a cada ecuación y luego
identificar el punto de intersección. Por favor, no olvides que el punto de intersección
es un punto común a ambas rectas y que, si las ecuaciones no son equivalentes o sus
rectas no son paralelas, el punto debe ser único y correspondiente al conjunto
solución.
Entonces ¿cuál es la solución del sistema 3
5
y x
y x?___________________
¿Cuál es el conjunto solución?______________________________________
Cierto, la solución se ubica en el punto (1, 4) por lo que el conjunto solución es un par
ordenado único 1,4 .
AUTOEVALUACIÓN
1) Se llama solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado, al conjunto de pares ordenados que ________________ a ambas ecuaciones.
2) Como la gráfica de toda ecuación de primer grado es __________, el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones de primer grado no equivalentes, contienen, a lo más, un ______________.
3) Si un sistema de ecuaciones de primer grado tiene solución, ésta estará representada por la ______________ de las gráficas de las ecuaciones que forman el sistema.
4) El método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado, consiste en dibujar la gráfica correspondiente a cada ecuación del sistema y luego determinar las ________________ del punto de ______ ____________.
5) Si las gráficas correspondientes a un sistema de ecuaciones de primer grado, son paralelas, el conjunto solución es ____________.
6) ¿Cómo sabes que la solución del problema 7 es válida?_____________.
7) Según tu ¿Cuáles son las coordenadas del par ordenado del punto intersección
que da la solución del sistema que se muestra en la gráfica?
8) ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de ecuaciones de primer grado
2
4
y x
y x?
SOLUCIONES
1) Satisfacen
2) Recta; elemento solución o par ordenado solución
3) Intersección
4) Coordenadas; intersección
5) Vacío
6) Verificando que el par satisface a ambas ecuaciones.
7) (2/3, 4/9) Si no coincides, no te preocupes. No es más que una estimación.
Solo procura no estar tan alejado de la solución.
8) Ø
METODOS DE IGUALACIÓN Y SUSTITUCIÓN PARA LA SOLUCIÓN DE
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Técnicas algebraicas de solución de sistemas de ecuaciones
Antes de empezar, es importante recordar que a la expresión Ax+By=C, la
identificamos como una ecuación de primer grado. Sin embargo, por la conducta
gráfica de este tipo de ecuaciones, también se les llama Ecuaciones Lineales. De aquí
se infiere que, toda ecuación lineal tendrá como gráfica a una recta y, al revés, toda
recta tendrá como expresión algebraica a una ecuación lineal. También se infiere que,
como la gráfica de toda ecuación lineal es una recta, el conjunto de soluciones de un
sistema de dos ecuaciones lineales no equivalentes contiene, a los más un elemento.
Método de sustitución
Encontrar el conjunto solución del sistema 1
7
y x
y x
Recuerda que la sustitución de x y y por el par ordenado que da la solución debe
satisfacer al sistema. Por la forma del sistema, puedes ver que las expresiones (x+1) y
(–x+7) son dos nombres para el mismo número, y. Por eso decimos que (x+1) y (–x+7)
son iguales. Pero se puede ver este proceso desde otro punto de vista. Como y y (–
x+7) representan el mismo número, se puede sustituir (–x+7) por la y, en la primera
ecuación para obtener la nueva ecuación 7 1x x , que resolviéndola da:
1 7
2 6
3
x x
x
x
Por último, para obtener el valor de y, sustituimos x=3 en cualquiera de las ecuaciones
del sistema original:
1
3 1
4
y x
y
y
Este procedimiento se le conoce como Método de sustitución, por razones obvias y
tiene por cualidad, que no requiere de técnicas de graficación.
Una ecuación lineal tiene la forma Ax+By=C, pero ninguna de las ecuaciones lineales
que aparecen en los sistemas que resolvimos, tiene esta forma. De hecho la variable y
siempre aparece sola en uno de los miembros de la ecuación. La ecuación x-2y=6
tiene la forma de ecuación lineal pero no aparece la variable y sola en alguno de los
miembros de la ecuación. Esto es muy incómodo para la técnica de sustitución, por lo
que necesitamos aislar esta y. Al proceso de aislar una variable y escribirla en uno de
los miembros de la ecuación, se le conoce con la frase “despejar la variable”.
Para despejar una variable se pueden seguir las propiedades de la igualdad hasta
dejar aislada la variable. Por ejemplo, para despejar la variable y en 3x+y=6:
Sumar a ambos miembros de la igualdad, el término (-3x), es decir 3x + (-
3x)+y=6+(-3x)
Como 3x y (-3x) son inversos aditivos, 0+y=6-3x
Por la propiedad de la suma 0+y=y, luego y=6-3x o bien y=-3x+6.
Así, y=-3x+6 es la ecuación lineal con la variable y despejada.
Hay un procedimiento informal para despejar una variable que, aunque un poco
mecánica, lo agiliza. Este procedimiento consiste en, poco a poco, ir dejando a la
variable sola, quitándole todos los términos que “le estorban” pasándolos al otro
miembro invirtiendo las operaciones; es decir si en lado están sumando, las
pasaremos restando y así sucesivamente. Por ejemplo, para despejar la y de la
ecuación 3x+y=6, pasaremos 3x como -3x en el otro miembro de la ecuación para
obtener y=-3x+6, lo cual deja aislada a la variable y.
A veces, la variable y tiene un coeficiente numérico que lo multiplica. Cuando esto
suceda, empezaremos por quitar los términos estorbosos y, al último el coeficiente,
pasándolo dividiendo a todo el otro miembro. Por ejemplo, despejar la variable y de la
ecuación lineal 4x+2y=6:
2y=-4x+6 (Pasamos 4x al otro miembro como -4x. En realidad, es su inverso
aditivo)
1
( 4 6) 2 32
y x x (el 2, que multiplicaba a la y, lo pasamos dividiendo a
todo el otro miembro).
Ensayemos un poco. Despeja y de la ecuación 3x+y=6: __________________.
¿Te quedó y=-3x+6 o bien y=6-3x? ¡Felicidades! Ya sabes despejar variables. Desde
luego que puedes despejar a la variable que desees. ¿Cómo te queda la ecuación
lineal anterior, si despejas a la x?____________________________.
Fue un poco más molesto ¿verdad?, pero seguro que te quedó:
1( 6) 2
3 3
yx y
La técnica de sustitución es excelente cuando en alguna o en ninguna de las
ecuaciones no está despejada alguna variable. Por ejemplo, resolver el sistema de
ecuaciones lineales 2 3 5
2
x y
y x
¿En alguna de las ecuaciones hay una variable despejada?________
¿Cuál?_________________.
Sí, la variable y aparece despejada en la ecuación y=2-x. Aprovechando este hecho
¿Qué sugieres?____________________________________.
El paso natural, sin duda, es sustituir y=2-x en la otra ecuación. Si hacemos esto
¿Cómo queda la primera ecuación? ______________________________
La forma como queda es 2x+3(2-x)=5 ¿coincidimos? Bien, ahora podemos resolver
esta ecuación:
2 3 2 5
2 6 3 5
6 5
1
1
x x
x x
x
x
x
Con esta solución, x=1, en la mano se puede calcular el valor de y
¿Cómo?______________________________________________________.
Desde luego que sí, Sustituyendo x=1 en y=2-x ¿Cuánto es y?_____________.
El valor de y es 1, naturalmente, por lo que el par ordenado que resuelve el sistema es
(1, 1).
Considerar ahora el sistema 2 5
3 1
x y
x y ¿Hay, en algunas de las ecuaciones del
sistema, una variable despejada?_______ ¿Cuál?___________.
Muy bien, en la segunda ecuación, aparece despejada la variable x. ¿Qué sugieres
ahora?_________________________________________________
Segura que sugeriste sustituir la variable x=3y-1 en la primera ecuación. Si haces esto
¿A qué se reduce la ecuación 2x+y=5?_______________________
Al sustituir el equivalente de la variable x en 2x+y=5 resulta:
2 3 1 5
6 2 5
7 2 5
7 7
1
y y
y y
y
y
y
¿Cómo calcularás el valor de x, si dispones del de y?_____________________
_______________________________________________________________
Por supuesto que sustituyendo y=1 en x=3y-1
3 1
3 1 1
2
x y
x
x
Veamos un sistema de ecuaciones que representa un nivel de dificultad diferente, por
el solo hecho de que ninguna de las variables está despejada en ninguna de las
ecuaciones. Por ejemplo el sistema 7 2 4
4 3 0
x y
x ytiene estas características ¿Qué
propones que se haga?___________________________.
Lo sensato es despejar de alguna de las ecuaciones una de las variables y después
sustituirla en la otra ecuación, pero ¿Cuál es la variable que ha de
despejarse?_________________________________________.
Si elegiste la y de la segunda ecuación, tienes un magnífico tino, pero si eliges la
variable x en cualquiera de las ecuaciones, también funciona el método, sólo que te
hace más pesada la vida. De hecho la técnica de despejar una variable de una
ecuación y sustituirla en la otra, siempre funciona, independientemente de la variable
que se escoja despejar. Sin embargo, siempre es cómodo elegir la variable que sea
más fácil de despejar. Por ejemplo, en la segunda ecuación, se tiene que y= 4x-3. Así
que ya se puede sustituir en la primera ecuación:
4 3
7 2(4 3) 4
7 8 6 4
6 4
2
2
y x
x x
x x
x
x
x
Ahora, sustituyamos x=2 en y=4x-3 para obtener:
4 3
4 2 3
5
y x
y
y
Por lo que el par ordenado solución es (2,5).
Ya estás listo para resolver tu autoevaluación.
AUTOEVALUACIÓN
Utiliza ambos métodos, de igualación y sustitución, para resolver los siguientes
sistemas de ecuaciones lineales:
3
2
2 2
2 5
12
2
11
2
4
11
2
3 0
5 2 1 0
1)
2)
3)
4)
5)
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
x y
x y
SOLUCIONES
1) (-1, -1)
2) (1, -3)
3) (1, 3/2)
4) (-2, -2)
5) (1, -3)
EL MÉTODO DE SUMA Y RESTA PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
Introducción
Existe otro método que permite resolver sistemas de ecuaciones lineales, llamado
método de adición o suma y resta, que se usa cuando las ecuaciones del sistema
aparecen de cierta forma.
Este método depende de la consideración de que es posible sumar dos igualdades:
Si a = b
y c = d
Entonces: a+c=b+d
Es decir:
a = b + c = d
a+c = b+d
Con esta idea, si, por ejemplo: 2x =3 y 5y=7, entonces:
2x+5y=10
Veamos cómo estas consideraciones, pueden ayudar a resolver sistemas de
ecuaciones, usando el método de adición. Para esto, supongamos que se desea
resolver el sistema:
5 2 4
3 2 12
x y
x y
¿Cuál es el resultado de sumar ambas ecuaciones?_____________________
El resultado de sumar ambas ecuaciones es 8x=16, porque:
5x+2y=4
3x-2y=12
8x+0y=16
Este resultado reduce el sistema de dos ecuaciones lineales, a una ecuación de una
sola variable, a saber 8x=16, cuya solución es x=________.
Bien, x=2. Ahora, si sustituyes este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema,
por ejemplo, en 5x+2y=4:
5 2 4
5(2) 2 4
10 2 4
2 6
3
x y
y
y
y
y
Por lo que el par ordenado solución es (2, -3)
Como puedes ver en el sistema que resolvimos 5 2 4
3 2 12
x y
x ytiene la ventaja de que
en ambas aparecen términos que son inversos aditivos. Esto permite que, al sumarse
se anulen y dejen una ecuación lineal de fácil solución. Así, cuando en ambas
ecuaciones aparecen términos que son inversos aditivos, el método aconsejable es el
de adición.
¿Es aconsejable resolver el sistema 2
2 7
y x
y xpor el método de adición?_____
porque _________________________________________________________
Claro que sí, porque en ambas ecuaciones hay inversos aditivos, x y (-x). Si sumamos
ambas ecuaciones la ecuación resultante es ___________________
Seguro que sí, la ecuación resultante es 3y=9, por lo tanto y=______.
Ya no tiene problema, y=3. Sustituyendo este valor en la primera ecuación, x=1, por lo
que el par ordenado solución es (1, 3). ¿Qué opinas del sistema 2 5 6
2 3 2
x y
x y? ¿Es
adecuado el método de la adición así como está el sistema?
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________
No, claro que no, porque si sumamos las dos ecuaciones, no se obtiene una sola
ecuación en una variable:
2x+5y=6
2x+3y=2
4x+8y=8
Sin embargo, el método de adición puede ser una buena idea si multiplicamos por (-1)
a cualquiera de las dos ecuaciones y luego sumarlas. Por ejemplo, si multiplicamos la
segunda ecuación por (-1):
(-1) [2x+3y=2]= -2x-3y=-2
Ahora, si sumamos esta última ecuación a la primera del sistema propuesto:
2x +5y=6
-2x-3y=-2
2y=4
Esta ecuación tiene la forma que buscábamos, por lo que calcular el valor de y es
ahora muy fácil ¿Cuánto es el valor de y?________.
Resulto fácil ¿verdad? y=2, por lo que sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones
del sistema, por ejemplo en 2x+5y=6, el valor de x=______.
El valor de x=-2, porque:
2 5 6
2 5 2 6
2 10 6
2 4
2
x y
x
x
x
x
Seguramente ahora comprendes porqué el método de adición es útil cuando el
sistema aparece escrito de un modo muy conveniente. ¿Cuál es ese modo
conveniente?____________________________________________________.
El modo conveniente es que, en una de las ecuaciones halla un término que sea
inverso aditivo de otro término de la otra ecuación. Sin embargo si esto no sucede, no
es una limitación para el método de adición, porque siempre hay un modo de fabricar
inversos aditivos en ambas ecuaciones. Para aclarar esto resolvamos el sistema
2 3 2
3 2 8
x y
x y.
Para fabricar los inversos aditivos que nos permitan reducir el sistema, a una ecuación
de primer grado con una sola variable, observemos los respectivos coeficientes de x,
en ambas ecuaciones. En la primera ecuación el coeficiente de x es ___
Muy bien, el coeficiente de x en la primera ecuación es 2. Multipliquemos toda la
segunda ecuación por este coeficiente, 2[3x+2y=8], para obtener la ecuación
equivalente:
6x+4y=16.
Ahora el coeficiente de x en la segunda ecuación del sistema es ___.
Bien, el coeficiente es 3, en la segunda ecuación. Multipliquemos toda la primera
ecuación del sistema, por este número, 3[2x+3y=2] para obtener la ecuación
equivalente:
6x+9y=6
Ahora con estas dos ecuaciones equivalentes, se tiene un sistema equivalente al
original:
2 3 2
3 2 8
x y
x y es equivalente a
6 9 6
6 4 16
x y
x y
Como estos sistemas son equivalentes, sus soluciones son equivalentes, por lo que,
con resolver uno, es suficiente.
¿Ya podemos aplicar el método de la adición al sistema 6 9 6
6 4 16
x y
x y?______ _____,
porque___________________________________________________
No, porque aun no hay inversos aditivos en ambas ecuaciones. ¿Qué debemos hacer
entonces?_________________________________________
Cierto, con multiplicar la segunda ecuación equivalente por (-1), se puede ya, aplicar el
método de adición. Es decir:
6 9 6
6 4 16
x y
x y
Así que al sumar ambas ecuaciones, se obtiene 5y=-10, donde el valor de y=-2
Enseguida, basta con sustituir este valor de y en cualquiera de las ecuaciones del
sistema, para obtener que x=_____________.
Muy bien, x=4. Para resolver este sistema usando el método de adición, multiplicamos
ambas ecuaciones por el coeficiente de x, pero también se pudo multiplicar ambas
ecuaciones por el coeficiente de y: el resultado es exactamente el mismo. También se
puede ahorrar trabajo si, al multiplicar por los coeficientes, se van cambiando los
signos de cada término, de manera que los inversos aditivos se obtengan
simultáneamente a la multiplicación. Veamos cómo se ilustra esta, resolviendo el
sistema 2 3 1
5 7 2
x y
x y
El sistema equivalente es: 10 15 5
10 14 4
x y
x y¿Cómo se obtuvo este sistema
equivalente? ____________________________________________________
_______________________________________________________________
Seguramente notaste que se multiplicó la primera ecuación por 5, y la segunda por (-
2), lo cual fabrica los inversos aditivos simultáneamente mientras se multiplica. Al
sumar los inversos aditivos, la ecuación resultante es __________
La ecuación resultante es y=1, lo que es, a su vez, la solución para y. Para calcular x,
sólo sustituiremos y=1 en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Así, que x=-1.
Tal vez advertiste que, a fin de cuentas, se ocupa el método de sustitución, pero esto
no es raro. Rigurosamente, se puede demostrar que los tres métodos son, en realidad,
el mismo. La elección que se hace para ocupar uno u otro depende mucho de la
apariencia del sistema de ecuaciones lineales a resolver y de la preferencia del
usuario, así que tienes la libertad para elegir tu propia técnica. Por lo pronto resuelve
tu autoevaluación.
AUTOEVALUACIÓN
Utiliza el método de la adición, para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
3
2
2 2
2 5
12
2
11
2
4
11
2
3 0
5 2 1 0
1)
2)
3)
4)
5)
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
x y
x y
SOLUCIONES
6) (-1, -1)
7) (1, -3)
8) (1, 3/2)
9) (-2, -2)
10) (1, -3)
MÓDULO 3
SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES ECUACIONES
Objetivo. El estudiante resolverá sistemas de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es de la forma:
3333
2222
1111
DZCyBxA
DZCyBxA
DZCyBxA
Solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método
de suma o resta.
a) Se elige una de las ecuaciones y se combina con las otras dos para eliminar
una de las incógnitas
b) Se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas el cual se
resuelve por el método de suma y resta
c) Los valores obtenidos en al paso anterior se sustituyen en cualquiera de las
ecuaciones para despejar a la incógnita que falta.
Ejemplo:
Otro ejemplo:
Ejercicios para autoevaluación
Soluciones
a) X=2, y=1, z=1
b) X=0, y=-1, z= -1
c) X=1, y=2, z=3
MÓDULO 4
Sistemas de desigualdades lineales con dos variables
Objetivo. El estudiante graficará desigualdades lineales y resolverá sistemas de de
desigualdades mediante el método gráfico.
A las desigualdades también se les conoce como inecuaciones.
Gráfica de una inecuación lineal:
Procedimiento para trazar la gráfica del conjunto solución de una
desigualdad lineal
1. Se traza la recta de la ecuación ax + by + c = 0
2. Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la
recta y se comprueba si verifican la inecuación dada
3. Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la
inecuación
Ejemplo ilustrativo:
Otro ejemplo:
Resuelve gráficamente:
2x y
Solución:
2x y x y
Representamos la recta 2x y y x
Por tanto, las soluciones de la inecuación 2x y
señalada, incluida la recta:
Un sistema de desigualdades se resuelve gráficamente como en los ejemplos
siguientes:
Resuelve gráficamente:
Solución:
x y x y
3
1
yx
yx
x y x y
Sustituyendo el punto (0, 0) en las desigualdades, vemos que se cumplen. Y si tenemos en
cuenta que las soluciones del sistema son la soluciones comunes a ambas inecuaciones,
obtenemos que las soluciones del sistemas son los puntos de la zona coloreada (incluyendo
las semirrectas que la limitan):
Resuelve gráficamente:
Solución:
x y x y
Si sustituimos el punto (0, 0) en las dos desigualdades, vemos que se cumplen:
Por tanto, las soluciones del sistema corresponden al recinto coloreado (incluyendo las dos
semirrectas que lo limitan):
303
101 :rectas dos las mosRepresenta
xyyx
xyyx
4
2
y
yx
4
202 :rectas las mosRepresenta
y
xyyx
40
200
Módulo 5
Números complejos
Objetivo. El estudiante conocerá el conjunto de los números complejos y resolverá
sumas y diferencias.
1. Números complejos
Un número complejo se representa por un par ordenado de componentes reales.
El conjunto de los números complejos se define:
RbaC ,;ba,=
Ejemplos:
Z= (3,5)
Z= (-2,6)
Z= (0,-5)
Z= 4,3
2
2- Suma de números complejos
Sean 1z = y,ba 2z =(c,d); 1z , 2z C .La suma de dos números complejos se define:
1z + 2z = dbca +,+
Ejemplo 1
El resultado de 6,3 + 10,8 es:
Solución:
6,3 + 10,8 = 1068,+3
= 4,5
Por tanto 6,3 + 10,8 = 4,5
Ejemplo 2
La suma de los números complejos 4,2 y 2,5 es:
Solución:
4,2 + 2,5 = 24 5,-+2
= 6,7
Por tanto, la solución es: 6,7 .
Ejemplo 3
¿Qué número complejo se obtiene al sumar 1z = 4
1,2 y 2z =
2
3,
3
1?
Solución:
1z + 2z =4
1,2 +
2
3,
3
1
= 2
3
4
1,
3
12
= 4
7,
3
5
Por tanto, el número que se obtiene de la suma es 4
7,
3
5
3. La resta de números complejos.
Sean los números complejos 1z = y,ba 2z =(c,d). La diferencia se define:
1z - 2z = 1z + 2z
Ejemplo 1
Si 1z = 2,5 y 2z = ,3,1 el resultado de 1z - 2z es:
Solución:
1z - 2z = 2,5 - 3,1
= 2,5 + 3,1
= 321,+5
= 1,4
Por tanto, la solución es: 1,4 .
Ejercicios de autoevaluación
1. Resolver
a) 8,1 + 6,3
b) 6,5 + 3,12
c) 4,7 + 8,6
d) 3,2 + 3,2
g) 3,4 - 1,6
h) 4,1 - 2,9
Soluciones
a) (2,2)
b) (-7,9)
c) (1,-12)
d) (0,0)
g) (10, -4)
h) (8, 6)
Módulo 6
Producto de números complejos
Objetivo. El estudiante resolverá productos de números complejos.
1. Producto de números complejos
Sean 1z = y,ba 2z =(c,d). El producto de números complejos se define:
1z · 2z = cb+, dadbca
Ejemplo 1
El producto de los números complejos 1z = y4,2 2z =(-5,-3) es:
Solución:
1z · 2z = 3,54,2
= 54-+32,3452
= 20+6,1210
= 14,22
Por tanto, el producto es: 14,22
Ejemplo 2
El producto de los números complejos 1z = 8,3=y 1,6 2z es:
Solución:
1z · 2z = 8,31,6
= 31-+86,8136
= 3-48,8+18
= 51,10
Por tanto, la solución es: 51,10 .
Ejemplo 3
¿Qué número complejo se obtiene al multiplicar 3,3y 3,3 ?
3,3 3,3 = 33+33,3333
= 9+ 9,99
= 18,0
Por tanto, el resultado es .18,0
Ejemplo 4
El producto de los números complejos
3
1,4 y 3,6 es:
Solución:
3
1,4 3,6
=6
3
1 +34,3
3
164
3
612,
3
324
= 212,124
= 14,23
Por tanto, el producto es .14,23
Ejemplo 5
Al multiplicar 1z 3
1,
4
5 y 2z
2
1,
10
1
Se obtiene como resultado:
Solución:
3
1,
4
5
2
1,
10
1
10
1
3
1+
2
1
4
5,
2
1
3
1
10
1
4
5
30
1+
8
5,
6
1+
40
5
120
71,-
24
7
Por tanto, la solución es: 120
71,-
24
7
Ejercicios de autoevaluación
Resolver los siguientes productos de números complejos.
a) 8,42,6
b) 1.30,2
c) 7,13,5
d) 3,19,0
e) 4,44,4
Soluciones
a) (-8, 56)
b) (6, 2)
c) (-16, 38)
d) (27, -9)
e) (32, 0)
MÓDULO 7
Forma rectangular de los números complejos
Objetivo. El estudiante expresará un número complejo en su forma rectangular.
Resolverá operaciones con números complejos.
1. Forma rectangular de un número complejo
La presentación de un número complejo en su forma rectangular es:
Z = (a, b) = a + bi
Por lo tanto, el conjunto de los números complejos se representa:
RbaC ,;bia=
Donde a se llama real y b la parte imaginaria.
Ejemplo 1
La representación rectangular del numero complejo (2,-3)es:
Solución:
(2,-3)=2-3i
Ejemplo 2
¿Cuál es la representación rectangular del número complejo
?6,4
Solución:
i646,4
2. Operaciones con números complejos
Sean Czzdiczbiaz 2121 ,;y
La suma está definida por:
idbcazz 21
Ejemplo 1
La suma de los números complejos 5 - 2i y 6 + 8i es:
Solución:
iii 82658625
= 11 + 6i
Por tanto, la suma es: 11 + 6i.
Ejemplo 2
¿Cuál es el resultado de sumar 7 -8i y ?3
1i
Solución:
iii 183
17
3
187
i93
22
Por tanto, el resultado es: i93
22
La diferencia está definida por:
idbcazzzz 2121
Ejemplo:
Si ,63zy 47 21 iiz entonces el resultado de 1z - 2z es:
Solución:
1z - 2z = ii 6347
ii 6347
ii 10106437
Por tanto, el resultado es -10 + 10i
El producto está definido por:
icbdadbcazz 21
Ejemplo1
El producto de los números complejos 2- 5i y -4 +3i es:
Solución:
ii 3452
i45323542
i206158
i267
Por tanto, el resultado es 7 + 26i
Ejemplo 2
El resultado de :525836 esiii
Solución:
iii 525836
ii 525386
ii 5222
i22525222
i410104
i146
Por tanto, el resultado es: 6 + 14i
:11 comodefinesedeconjuntoElbiaZSea biaz1
El producto de un número complejo por su conjugado se define como:
1Z · 22
1 baz
Ejemplo:
izsizzdeproductoelHallar 53
Solución:
Utilizando la definición se tiene que:
342595322
zz
34tan zztoPor
La división está definida por:
22
2
1 ....
dc
icbdadbca
dic
bia
z
z
Ejemplo 1
?63
52¿
i
ideresultadoelesCuál
Solución:
Se multiplica por el conjugado de 3 + 6i
i
i
i
i
i
i
63
63.
63
52
63
52
i35626532
22
63
369
1512306 i
ii
45
27
45
24
45
2724
i5
3
15
8
Por lo tanto el resultado es:
i5
3
15
8
Ejemplo 2
El número complejo que se obtiene al efectuar
:2
3535es
i
ii
Solución:
Se resuelve el producto del numerador
ii
ii
2
35
2
3535 22
i2
325
i2
28
Se multiplica por el conjugado de 2-i
i
i
i 2
2
2
28
i
i
i
i
2
2
2
028
2212
2012810228 i
14
028056 i
5
2856 i
i5
28
5
56
Por lo tanto el resultado es el siguiente:
i5
28
5
56
Ejercicios de autoevaluación
1. Representar en su forma rectangular los siguientes números complejos:
a) (3,8)= __________
b) (-4,3)= __________
c) (-5,-1)= __________
d) (2,0) = __________
e) (0,-4)= __________
2. Resolver las siguientes operaciones con números complejos:
a) (-6 + 4i)+ (5 - 9i)
b) (3 - i) + (-7 - 2i)
c) (-10 - 2i) + (8 - 3i)
d) (12 – 8i) + (-11 – i)
e) (2 – 3i) – (- 9 + 2i)
f) (- 5 – i) – (5 + 2i)
g) (7 + 4i) – (1- 3i)
iiih 246825)
iiii 58633)
j) (2 + 6i) · (-5 -i)
k) (-6 + 3i) (2 + 4i)
l) (8 – 5i) (3 - 4i)
m) (1 + i) · (4 –i)
i
ip
24
35)
i
iq
46
31)
i
ir
23
23)
i
is
5
5)
i
i
t4
3
2
)
i
iu
3
64)
MÓDULO 8
Valor absoluto y representación geométrica de un número complejo
Objetivo. El estudiante resolverá raíces cuadradas que representan números
complejos y obtendrá el valor absoluto de un número complejo y su representación
geométrica.
1. Unidad Imaginaria. Se define 1i como la unidad imaginaria donde 12i
Veamos dos ejemplos:
2. Valor absoluto de un número complejo.
Sea biaz , el valor absoluto de z se define como:
22 babiaz
Veamos dos ejemplos:
3. Representación geométrica de un número complejo en su forma rectangular:
Para representar geométricamente un número complejo se toma el plano
complejo en donde el eje horizontal es el eje real y el vertical el eje imaginario
Ejercicios de autoevaluación
1. Hallar el resultado de:
a) 49100
b) 819
4
c) 25
36
25
1
2. Hallar el valor absoluto de:
a) Z=5-7i
b) Z= -3+4i
c) Z=2-i
3. Hallar la representación geométrica de los siguientes números complejos:
a) Z=3+2i
b) Z=-4+3i
c) Z=1-6i
MÓDULO 9
Función cuadrática
Objetivo. El estudiante conocerá la función cuadrática y su representación gráfica
La función definida por cbxaxy 2
se conoce como función cuadrática
Para graficar una función cusdrática se dan valores a x para obtener los respectivos
valores de y. Se grafican los puntos obtenidos y se unen. La gráfica que se obtiene se
llama Parábola.
La concavidad de una parábola la define el coeficiente del término cuadrático. Si es
positivo (a>0) entonces la parábola es cóncava hacia arriba. Si es negativo (a<0)
entonces es cóncava hacia abajo.
Coordenadas del vértice de una parábola
El punto con coordenadas:
Se le conoce como el vértice de la parábola y es el punto donde la función toma su
valor máximo o mínimo dependiendo si es cóncava hacia abajo o hacia arriba.
Problemas de aplicación
Ejercicios para autoevaluación
1. Hallar las coordenadas del vértice de cada parábola y determinar si la parábola
es cóncava hacia abajo o hacia arriba.
a) 4123 2 xxy
b) 1065 2 xxy
c) 752 xxy
2. Resolver los problemas siguientes
a) Hallar dos números cuya suma sea 30 y cuyo producto sea máximo
b) Hallar dos números cuya diferencia sea 40 y cuyo producto sea mínimo
MÓDULO 10
Resolución de ecuaciones de segundo grado
Objetivo El estudiante será capaz de resolver ecuaciones de segundo grado por medio de técnicas de factorización y por la fórmula general en el contexto de problemas concretos.
La idea es encontrar conjunto de soluciones de las ecuaciones cuadráticas. Para esto es
importante buscar técnicas de solución para ecuaciones cuadráticas e indagar cuántos
elementos contiene el conjunto solución de este tipo de ecuaciones.
Trabajemos con la siguiente ecuación cuadrática:
x²+3x-10=0
Los valores x=-5 y x=2 son soluciones de esta ecuación ¿Cómo podemos estar seguros
de esto?_________________________________________________
Sustituyendo cada variable en la ecuación y verificando que la satisface:
22
22
3 10 5 3 5 10 25 15 10 0
3 10 2 3 2 10 4 6 10 0
x x
x x
Por el momento no es posible saber si hay más soluciones para esta ecuación, así que
por ahora aceptaremos que así es.
El polinomio cuadrático x²+3x-10, se puede escribir como:
x²+3x-10= (x+5)(x-2)
Así que la ecuación x²+3x-10=0 se puede transformar como su equivalente (x+5) (x-2)=0.
Como estas dos ecuaciones son equivalentes, tienen el mismo conjunto solución, así que
concentremos nuestra atención en esta última. Como el producto de dos números reales
es cero si alguno de los dos factores es cero, entonces para que el producto (x+5)(x-2)
sea cero, alguno de los factores debe ser cero. Esto es:
Si (x+5)(x-2)=0, entonces (x+5)=0 o bien (x-2)=0. Si se cumple la primera posibilidad,
entonces (x+5)=0, por lo que x=_____. En cambio si se cumple la segunda posibilidad, (x-
2)=0, por lo que x=_____.
Seguramente notaste que los números que pusiste en los espacios, -5 y 2, coinciden con
las variables que satisfacen a la ecuación y que ya demostraste que así es.
1
Observa que, en el procedimiento que seguimos para resolver la ecuación cuadrática
x²+3x-10=0, se factorizó ésta para encontrar una ecuación equivalente. Esta es la razón
por la que a este procedimiento, se le conoce como método de factores o técnica de
solución de ecuaciones cuadráticas por factorización. Esta técnica consiste en escribir el
polinomio de modo que el polinomio que de igualado a cero y después construir una
ecuación equivalente, factorizándolo. Esta técnica sólo se puede usar, desde luego, si el
polinomio es factorizable. Si es así, las soluciones se ven de inmediato. Por ejemplo, si
(x+3) (x-1)=0 ¿cuáles son los valores de x que resuelven la ecuación? ______ y ______.
Los valores son x=-3 y x=1, luego entonces, el conjunto solución de esta ecuación
cuadrática es {-3, 1} ¿Cuál es el conjunto solución de y²-5y+4=0? ____
______________________________.
El conjunto solución es {1, 4}, porque:
2 5 4 1 4 0
1 0; 1
4 0; 4
y y y y
y y
y y
Utiliza el método de factorización para resolver las ecuaciones cuadráticas:
a. 4x²-25
b. x²-4x=0
c. 6x²-13x-5=0
d. x²=0
e. x²+9=6x
Tus soluciones deben ser:
2
2
2
2
) 4 25 2 5 2 5 0
5 5 5 5- ,
2 2 2 2
) 4 4 0
0 4 0,4
) 6 13 5 3 1 2 5 0
1 5 1 5,
3 2 3 2
y conjunto solución
y conjunto solución
y conjunto solución
a x x x
x x
b x x x x
x x
c x x x x
x x
d 2
22
) 0; 0
) 6 9 3 ; 3
x conjunto solución 0
conjunto solución
x
e x x x
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, por el método de factorización
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1) 6 0
2) 4 5
3) 3 10 0
4) 6 5
5) 4 0
6) 2 3 9
7) 3 2 5
8) 2 3 0
9) 3 10 8 0
10) 4 3 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
SOLUCIONES
3
1)
2)
3)
4)
5)
6) ,
7)
8) ,
9) ,
10) ,
2, -3
1, -5
2, -5
3, 2
-4, 0
3 -3
2
1 2, -
3
3 - 0
2
2 -4
3
3 - 0
4
Forma general de una ecuación cuadrática.
Toda ecuación cuadrática puede ponerse en la forma:
Ax²+Bx+C=0, donde A≠0
Por ejemplo, la ecuación cuadrática 3x²=2x-5 se puede escribir como:
3x²-2x+5=0
La ecuación Ax²+Bx+C=0, donde A≠0 representa la forma general de una ecuación
cuadrática, ya que toda ecuación cuadrática es susceptible de escribirse siguiendo este
patrón, Por ejemplo la ecuación 2x²+3x+4=0 corresponde a esta forma general, en la que
A=2; B=3 y C=4. En la ecuación cuadrática 3t²-4t+1 ¿cuáles son los valores
correspondientes a A, B y C? _____ ____________________________.
Muy bien, A=3; B=-4 y C=1. En la ecuación cuadrática x²-1/2 x -2 =0; A=____; B=_____ y
C=_____.
Los valores asociados son A=1; B=- ½ y C=-2.
Vamos a usar lo que hemos visto hasta ahora para resolver la ecuación cuadrática
x²+4x+1=0, que, de antemano, sabemos que no se presta a una solución por la técnica de
factores.
Para empezar, vamos a escribir la ecuación en la forma equivalente:
x²+4x=-1
4
Ahora, nuestro siguiente paso, será obtener una ecuación equivalente, cuyo miembro de
la izquierda sea cuadrado perfecto ¿Cuánto debemos sumar a cada lado de la ecuación
para lograr nuestro objetivo?__________.
Debemos sumar 4, porque
2
214 2 4
2. Sumando este 4 a ambos miembros de la
ecuación x²+4x=-1, obtenemos:
x²+4x+4=3
Como el miembro de la izquierda ya es un trinomio cuadrado perfecto, x²+4x+4=3, se
puede expresar como:
(x+2) ²=3
Pero el hecho de que 3 sea el cuadrado de x+2, se puede expresar diciendo que x+2 es
una raíz cuadrada de 3. Recuerda que 3 tiene dos raíces cuadradas, a saber 3 3 y
. Por lo tanto, como la ecuación (x+2) ²=3 se satisface con aquellas sustituciones de x que
hacen de x+2 una raíz cuadrada de 3, su conjunto solución consistirá de la unión de los
conjuntos soluciones para las ecuaciones:
2 3
2 3
x
y
x
Luego entonces es fácil ver que los valores de x que buscamos son:
2 3
2 3
x
y
x
Por lo que el conjunto solución es 3 2; 3 2 . Vamos a seguir estos pasos para el
caso de la ecuación cuadrática general.
Formula general para la solución de una ecuación cuadrática.
Ya dijimos que la forma general de una ecuación cuadrática es:
Ax²+Bx+C=0, donde A≠0
Trataremos de obtener expresiones que representen sus soluciones. Para empezar, es
necesario encontrar una ecuación equivalente, cuyo término cuadrático tenga un
coeficiente igual a uno. Para esto dividiremos toda la ecuación entre A:
5
2 0B C
x xA A
Esta ecuación es equivalente a:
2 B Cx x
A A
Ahora, sumaremos la expresión 2
24
B
A a ambos lados de la ecuación:
2 22
2 24 4
B B B Cx x
A A A A
Ahora, como el primer miembro de esta ecuación, ya es un trinomio cuadrado perfecto:
22
2
4
2 4
B B ACx
A A
Al despejar a x de esta ecuación, se ven fácilmente las soluciones:
2 2
2
2
2
2
2
2
4
2 4
4
2 4
4
2 4
4
2
B B ACx
A A
B B ACx
A A
B B ACx
A A
B B ACx
A
Esta es una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, cuyo uso depende de
que se identifiquen con precisión los coeficientes A, B y C.
El signo que aparece en la fórmula se refiere a que, como la ecuación cuadrática tiene
dos soluciones, una de ellas se obtiene sumando la raíz y la otra restándola. Esto significa
que las raíces de la ecuación cuadrática se pueden escribir como:
2 24 4
2 2 y
B B AC B B ACx x
A A
Como ves, el símbolo se usa para escribir ambas raíces a la vez. No olvides que para
usar esta fórmula, es necesario identificar A, B y C. Por ejemplo, resolver x²+3x+2=0
¿Cuáles son los valores de A, B y C?_________________
6
Bien, los valores son. A=1; B=3 y B=2. Ahora sustituyendo estos valores en la fórmula
general:
2 2
2 2
4 3 3 4 1 2 3 11
2 2 1 2
4 3 3 4 1 2 3 12
2 2 1 2
= = =
B B ACx
A
B B ACx
A
Por lo que las soluciones de la ecuación pedida son x=-1 y x=-2. ¿Cuáles son las
soluciones de la ecuación cuadrática x²+3x+1=0?____________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Las soluciones son 3 5 3 5
2 2 y x x ¿Estamos en lo mismo? Veamos:
2 2
2 2
4 3 3 4 3 5
2 2 1 2
4 3 3 4 3 5
2 2 1 2
= =
B B ACx
A
B B ACx
A
Intenta resolver tú solo las dos ecuaciones cuadráticas siguientes:
a) x²-2x-8=0
b) 3x²+5x+2=0
Ahora revisa tus soluciones:
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, usando la fórmula general y escribe las
raíces con tres cifras decimales, usando una calculadora.
2
2
2
2
2 4 4 84 2 6)
2 2 1 2
2 4 4 84 2 62
2 2 1 2
4 5 25 4 3 2 5 1 2)
2 6 6 3
4 5 25 4 3 2 5 11
2 6 6
= = =4
= = =
B B ACa x
A
B B ACx
A
B B ACb x
A
B B ACx
A
7
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1)2 4 1 0
2)3 4 1
3)3 5 6
4)5 4 4 0
5)6 1 7
6)7 10 1 0
7)13 4 4
8)6 1 14
9)8 15 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
SOLUCIONES
1) x=1.707 y x=0.293
2) x=1.549 y x=-0.215
3) x=2.633 y x=-0.633
4) x=1.380 y x=-0.580
5) x=0.631 y x=0.227
6) x=1.522 y x=-0.094
7) x=0.730 y x=-0.422
8) x=0.557 y x=-0.128
9) x=0.638 y x=-0.1.05
MÓDULO 11
Desigualdades cuadráticas y ecuaciones con radicales
Objetivo. El estudiante resolverá desigualdades cuadráticas por el método gráfico y algebraico así como resolverá ecuaciones que contengan radicales. A través de ejemplos veremos cómo se resuelven desigualdades de segundo grado. Hallar gráficamente la solución de las siguientes desigualdades cuadráticas.
Gráfica de una desigualdad cuadrática:
Procedimiento para trazar la gráfica del conjunto solución de una desigualdad
cuadrática
Ejemplo ilustartivo:
Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación:
x2 x 6 0
Solución:
La parábola y x2 x 6 corta al eje X en 3 y en 2.
En el intervalo [3, 2], toma valores negativos o nulos.
Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [3, 2].
Ecuaciones con radicales
Al considerar ecuaciones que comprenden radicales de índice 2, se puede preguntar si
el proceso de elevar al cuadrado cada miembro de una ecuación siempre nos dará
una ecuación equivalente. Para contestar esta pregunta, consideremos el ejemplo:
2 x x
Elevando al cuadrado cada miembro, obtenemos la nueva ecuación:
22
2
2
4 4
x x
x x x
Esta última ecuación es equivalente a:
2 5 4 0x x
La factorización de esta ecuación es:
(x-4)(x-1)=0
Y, para que esta igualdad se cumpla, los valores de x deben ser 1 y 4, por lo que el
conjunto solución de la ecuación 2 5 4 0x x es {1, 4}. Pero ¿es x=1 una solución
para 2 x x ?____________
Claro que si, porque:
2 1 1
1 1
Ahora ¿es x=4 una solución para 2 x x ?___________.
3
2
2
51
2
251
2
2411062
x
x
xxx
Desde luego que no, porque:
2 4 4
2 2
Así vemos que 2 x x y 2 5 4 0x x no son ecuaciones equivalentes. En otras
palabras, no es posible depender del procedimiento de elevar al cuadrado ambos
miembros de una ecuación para obtener una ecuación equivalente. Veamos que esto
es así. Ciertamente, es verídico que si:
x=y
Entonces
x²=y²
Pero, el proceso inverso ¿también es verídico? Esto es, si x²=y² ¿se puede afirmar que
x=y?__________.
No. Por ejemplo 2²=(-2)², pero 2≠-2. Esto indica que y x=y no son equivalentes.
Otra forma de ver esta situación es considerar estas ecuaciones en la forma x-y=0 y
x²=y²=0. Factorizando el lado izquierdo de x²=y², se tiene:
(x+y)(x-y)=0
Ahora, el conjunto solución de (x+y)(x-y)=0 es la unión de de los conjuntos de
soluciones de las ecuaciones x+y=0 y x-y=0. El conjunto de soluciones para la
ecuación x=y, es el mismo que para la ecuación x-y=0, pero por el contrario, el
conjunto de soluciones para x²=y² es la unión de los conjuntos de soluciones para las
ecuaciones x-y=0 y x+y=0.
Así, se ve que la ecuación x²=y² tiene el mismo conjunto de soluciones que x=y,
solamente si el conjunto de soluciones para x+y=0 es el conjunto vacío. Esto nos lleva
a un hecho importante. Como el conjunto de soluciones para (x+y)(x-y)=0 es la unión
de los conjuntos de soluciones para x+y=0 y x-y=0, vemos que el conjunto de
soluciones para x=y será un subconjunto del conjunto de soluciones para x²=y².
De este modo, hemos encontrado que el conjunto de soluciones para x=y, es el
subconjunto del conjunto de soluciones para x²=y². Este es un hecho afortunado, en
verdad, ya que nos sirve de base para el procedimiento que emplearemos en la
solución de ecuaciones que comprenden radicales de índice dos.
Aunque elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación no siempre produce una
ecuación equivalente, el conjunto de soluciones para la nueva ecuación contiene todas
las raíces de la ecuación original. Así se puede determinar las raíces de la ecuación
dada, si encontramos las raíces de la ecuación “cuadrada” que la satisfacen. Esto se
hace por medio de una sustitución.
Emplearemos este procedimiento para resolver la ecuación:
2 2 7x x
Para principiar, vamos a elevar al cuadrado ambos miembros:
22
2 2 7x x
O bien:
2 4 4 2 7x x x
Esta nueva ecuación puede no ser equivalente a la ecuación original, pero también
sabemos que algún subconjunto de este conjunto de soluciones es el conjunto de
soluciones para la ecuación 2 2 7x x .
La ecuación 2 4 4 2 7x x x también se puede escribir como:
2 2 3 0x x
o bien (x+3)(x-1)=0, cuyo conjunto solución es {-3, 1}. Con esto ya estamos
preparados para encontrar el conjunto de soluciones para la ecuación original, puesto
que ya sabemos que es un subconjunto del conjunto {-3, 1}. Para esto verifiquemos
¿x=1 es solución de 2 2 7x x ? _____.
Si, porque
1 2 2(1) 7
3 9
3 3
Ahora ¿x=-3 es una raíz de 2 2 7x x ?______
No, porque:
3 2 2 3 7
1 1
1 1
Como x=1 es el único valor que satisface a 2 2 7x x , el conjunto solución de
esta ecuación es {1}.
Intenta resolver la ecuación 2 4x _________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________.
¿Obtuviste x=18 como única solución, es decir, el conjunto solución {8}? Perfecto.
Veamos por qué:
2
2
2 4
2 4
2 16
18
x
x
x
x
Ahora resuelve 3 2x _______________________________________.
La solución es inmediata ¿verdad? El conjunto solución es Ø, por supuesto, porque
3x no puede representar un número negativo.
Antes de dar por terminada esta discusión sobre la solución de ecuaciones con
radicales de índice dos, hay dos importantes puntos a considerar. El primero se puede
ver con el siguiente ejemplo:
4 4x x
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación, se tiene:
2
2
2
4 4
4 8 4 16
x x
x x x
Está a la vista que el conjunto de soluciones para esta ecuación no es más obvio que
el conjunto para la ecuación original. Así, que, lo prudente, es que antes de llevar al
cuadrado una ecuación como 4 4x x , ésta debe expresarse en una forma
equivalente, en la que el radical quede aislado en uno de los miembros de la ecuación.
Al elevar al cuadrado obtendremos una nueva ecuación que está libre de radicales.
El último punto que ahora consideramos es en relación con ecuaciones con más de un
radical de índice dos. Por ejemplo:
1 4 1x x
En estos casos, la operación de elevar al cuadrado habrá de utilizarse repetidas veces
hasta que se logre una ecuación libre de radicales. Veamos cómo:
2 2
1 4 1
1 4 1
1 4 1
1 1 2 4 4
x x
x x
x x
x x x
Esta ecuación contiene solamente un radical, y por lo tanto puede resolverse por los
métodos que hemos desarrollado.
Todavía hay mucho más que podríamos decir acerca de la solución de ecuaciones con
radicales, pero no lo haremos por ahora. A cambio de eso puedes resolver tu
autoevaluación.
AUTOEVALUACIÓN
Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
1) 1 5
2) 2 1
3) 3 3
4) 2 3
5) 1 1
x
t
x
x x
x x
SOLUCIONES
1) {24}
2) Ø
3) {12}
4) {3}
5) {1}
MÓDULO 12
Sistema de ecuaciones cuadrático lineales
Objetivo. El estudiante resolverá sistemas de ecuaciones formados por una ecuación cuadrática y una lineal mediante los métodos gráficos y algebraicos.
La técnica para hallar la solución de inecuaciones en la que aparecen inecuaciones cuadráticas es similar a la que utilizamos para solucionar sistemas de dos o tres inecuaciones lineales simultáneas. Debemos trazar las gráficas de las inecuaciones cuadráticas como se mostró en el apartado anterior, y las inecuaciones lineales como ya aprendimos con anterioridad; la solución del sistema será entonces la intersección de todas las regiones que se generaron como soluciones de cada inecuación particular. En algunos de los ejercicios resueltos que se muestran a continuación se ejemplifica la forma de resolver sistemas de inecuaciones en la que aparecen inecuaciones cuadráticas.
MÓDULO 13
FUNCIONES POLINOMIALES
Objetivo. El estudiante realizará operaciones con funciones polinomiales
Suma de Polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de la variable con la misma
potencia, el grado del polinomio suma es menor o igual al mayor de los grados de los
polinomios que sumas.
Ejemplo 1
Suma los polinomios 5231 xxxxp y
432 4343 xxxxxg
Solución
54434 xxxxgxp Aquí el grado coincide con el grado xp
5gpgr
Ejemplo 2
Suma los Polinomios 32 2532 xxxxp y
32 2251 xxxxg
Solución
2321 xxxgxp Aquí el grado es menor que del mayor de los sumandos
Multiplicación de Polinomios
Multiplicar los polinomios xp y xg da como resultado un polinomio de grado la
suma de los grados de los polinomios (siempre y cuando los polinomios sean
diferentes del polinomio cero)
ggrpgrpggr
Veamos un procedimiento para realizar la operación con un ejemplo:
Multiplicar los polinomios 32 222 xxxxp y
4221 xxxg
Para esto, ordena en un arreglo los coeficientes de los polinomios en forma
decreciente según las potencias. Después tomamos el coeficiente 1 de 4x de xg
y multiplicamos a cada uno de los coeficientes de xp colocándolos en la parte
inferior de la línea.
Posteriormente tomamos el coeficiente 0 de 3x y multiplicamos a cada uno de los
coeficientes de xp y formamos una segunda fila la cual colocamos haciendo un
corrimiento de un lugar. Seguimos este procedimiento con cada uno de los
coeficientes de xg y, en seguida, sumamos los coeficientes de cada columna del
arreglo que quedo y obtenemos los coeficientes del polinomio xgxp en el orden
decreciente de sus potencias. Ver el arreglo del ejemplo.
2 -2 1 2 | 1 0 -2 0 1
2 -2 1 2
0 0 0 0
-4 4 -2 -4
0 0 0 0
2 -2 1 2
2 -2 -3 6 0 -6 1 2
El resultado es
26632212222 245672423 xxxxxxxxxxxxgxp
Si observas el grado del polinomio resultante es la suma de los grados de los
polinomios factores
ggrpgrpggr
Siempre y cuando los polinomios no sean cero. Realiza el siguiente ejemplo junto con
las indicaciones.
Ejemplo
Efectúa la suma y multiplicación de los siguientes polinomios
223 23 xxxxp y 23 xxxg
Solución
La suma es:
23323 242223 xxxxxxxxgxp
La multiplicación es:
Formamos el arreglo inicial con los coeficientes de las variables Observa que en el
polinomio xg no aparece la variable 2x lo cual significa que el coeficiente es
cero (ve el arreglo)
3 -2 1 -2 | 1 0 -1 2
Inicia multiplicando cada coeficiente del polinomio xp por el coeficiente de la
potencia mayor del polinomio xg para obtener el siguiente arreglo:
3 -2 1 -2 | 1 0 -1 2
3 -2 1 -2
El siguiente paso es tomar el coeficiente de la siguiente potencia de xg y multiplicar
cada coeficiente del polinomio xp y colocarlos en una segunda fila corriendo un
lugar
3 -2 1 -2 | 1 0 -1 2
3 -2 1 -2
0 0 0 0
Continúa con este proceso en cada uno de los coeficientes de xg , para obtener el
siguiente arreglo:
3 -2 1 -2 | 1 0 -1 2
3 -2 1 -2
0 0 0 0
-3 2 -1 2
6 -4 2 -4
Por último, suma los coeficientes de cada columna del arreglo sin tomar en cuenta los
coeficientes de los polinomios y obtendrás
3 -2 1 -2 | 1 0 -1 2
3 -2 1 -2
0 0 0 0
-3 2 -1 2
6 -4 2 -4
3 -2 -2 6 -5 4 -4
La última fila está formada por los coeficientes del polinomio xgxp en orden
decreciente de las potencias
4456223 23456 xxxxxxxgxp
AUTOEVALUACIÓN
Efectúa la suma de los siguientes polinomios
1) xxP 1)( y 22)( xxxg
2) 4232)( xxxP y
22)( xxxg
Efectúa la multiplicación de los polinomios
3) xxP 1)( y 22)( xxxg
4) 4232)( xxxP y
22)( xxxg
SOLUCIONES
1)23)()( xxgxp
2)4224)()( xxxxgxp
3)3222)()( xxxxgxp
4)65432 3424)()( xxxxxxxgxp
Algoritmo de la división para polinomios
El Algoritmo de la división dice que dados dos polinomios ;p x g x con 0xg ,
existen dos polinomios xrxq , con la propiedad: xrxqxgxp con
ggrrgr
Al polinomio xq se le llama el cociente y al polinomio xr le llamara el residuo,
mientras que al polinomio xp se le llama el dividendo y al polinomio xg el divisor
Este Algoritmo de la división es el equivalente a algoritmo de la división en los enteros
¿Como efectuaras este algoritmo? Así como ejecutaste el procedimiento para realizar
la multiplicación entre polinomios, se tiene un procedimiento muy parecido para la
división.
Ejemplo
Dividir el polinomio 242 234 xxxxxp entre el polinomio
12 23 xxxxg
Primero formamos un arreglo similar al de la multiplicación con los coeficientes de las
potencias en orden decreciente, colocando primero los coeficientes del dividendo xp
y después los del divisor xg
1 - 2 -1 4 -2 | 1 2 -1 1
|
Debajo del coeficiente de la potencia mayor del divisor xg colocamos un numero de
tal manera que, al multiplicarlo, obtengamos el coeficiente de la potencia mayor de
xp
1 -2 -1 4 -2 | 1 2 -1 1
| 1
Realizamos la multiplicación entre este número y los coeficientes de xg y los
colocamos bajo los coeficientes de xp con signo opuesto y sumamos los
elementos de cada columna; la primera suma siempre es cero:
1 -2 -1 4 -2 | 1 2 -1 1
-1 - 2 1 -1 | 1
0 -4 0 3
El siguiente paso es bajar el coeficiente que no se utilizó: en este caso fue el número -
2.
1 -2 -1 4 -2 | 1 2 -1 1
-1 - 2 1 -1 | 1
0 -4 0 3 -2
Nos olvidamos del 0 y reiniciamos el mismo procedimiento; es decir, buscamos un
número que al multiplicarlo con el 1 no de -4 y lo multiplicamos con cada coeficiente
de xg colocándolos bajo la ultima fila con signo opuesto y sumamos
1 -2 -1 4 -2 | 1 2 -1 1
-1 - 2 1 -1 | 1 -4
0 -4 0 3 -2
4 8 -4 4
0 8 -1 2
El proceso termina cuando no tengamos coeficientes de xp que bajar como es en
este caso.
Los números bajo los coeficientes de xg son los coeficientes del polinomio cociente
en orden decreciente a su potencia
4xxq
Y los números de la última fila del arreglo son los coeficientes del residuo
28 2 xxxr
Para verificar estos resultados, efectúa la siguiente operación como ejercicio
xrxqxg
y obtendrás el polinomio xp
Realiza el siguiente ejercicio y coteja tus resultados con las soluciones que se dan
Obtén el cociente y residuo al dividir xp entre xg y verifica los resultados donde
1) 422 24 xxxxp y 12 xxxg
2) xxxxxp 423 345 y 12 23 xxxg
Solución
1) El cociente 122 2 xxxq residuo 5xxr
2) El cociente 123 xxxxq residuo 17xxr
División Sintética.
La siguiente operación es la llamada división sintética, que es un caso particular al
dividir un polinomio xp por un polinomio lineal de la forma axxg
Para ver cómo funciona la división sintética veamos un ejemplo detallando el proceso:
Considera los polinomios 23425 234 xxxxxp y 2xxg
Formamos un arreglo con los coeficientes de xp en orden decreciente según sus
potencias y colocamos al final del arreglo una casilla donde ponemos al termino
constante de xg
5 2 -4 3 -2 | 2
10 24 43 92
5 12 20 46 90
El coeficiente de la potencia mayor de xp lo colocamos al inicio de la última fila.
Con el termino constante de xg empezamos a realizar la siguiente operación:
multiplicamos en este caso 5 por 2 y el resultado lo colocamos en la fila inmediata
superior recorriendo un y sumamos los elementos de esta columna en este caso da 12
y repetimos el proceso multiplicando 12 por 2 queda 24 y lo colocamos en la fila
inmediata superior y sumamos, continuamos con este proceso hasta la ultima columna
, como se ve en este ejemplo la última fila tiene los siguientes números
5 12 20 46 90
El último número es el residuo 90r
Y los primeros cuatro son los coeficientes del cociente
4620125 23 xxxxq
De hecho el residuo apr en nuestro ejemplo te invito a verificar que 902p
En el siguiente ejercicio realiza las divisiones sintéticas dando el cociente y el residuo
y verifica tu resultado con la solución presentada
Ejercicio
Efectúa las divisiones sintéticas
1) 123 34 xxxxp y 3xxg
2) 342 3 xxxp y 2xxg
Solución
1) 3 -2 0 1 -1 | 3
9 21 63 192
3 7 21 64 191
Por lo tanto el cociente es 642173 23 xxxxq y el residuo es
191xr se tiene que 1913p
2) 2 0 -4 3 | -2
-4 8 -8
2 -4 4 -5
Por lo tanto el cociente es 442 2 xxxq y el residuo es
5xr se tiene que 52p
AUTOEVALUACIÓN
Obtén el cociente )(xq y residuo )(xr al dividir )(xp entre )(xg donde
1) 1)( 2 xxxp y xxg 21)(
2) 32)( xxp y
21)( xxxg
3) 1)( 2 xxxp y 1)( xxg
4) Realiza la operación )()()( xrxqxg con los polinomios del problema 1)
5) Determina el polinomio que obtienes al realizar la operación )()()( xqxgxp
con los polinomios del problema 2)
6) Determina el polinomio que obtienes al realizar la operación )()( xrxp con
los polinomios del problema 3)
Usando división sintética efectúa las siguientes divisiones y obtén el cociente y residuo
7) 1)( 2 xxxp entre 1)( xxg
8) 1)( 2 xxxp entre 1)( xxg
9) 12)( 2 xxxp entre 12)( xxp
10) Contesta la siguiente pregunta
Para que el polinomio )(xg sea un factor del polinomio )(xp que debe de
suceder con el residuo al dividir )(xp entre )(xg
SOLUCIONES
1) Cociente 4
3
2
1)( xxq Residuo
4
7)(xr
2) Cociente 1)( xxq Residuo 1)(xr
3) Cociente 2)( xxq Residuo 3)(xr
4) Al realizar la operación indicada obtenemos el polinomio
4.1) 1)( 2 xxxp
4.2) 32)( xxp
4.3) 1)( 2 xxxp
5) 1)()()()( xrxgxqxp
6) 2)()()()( 2 xxxqxgxrxp
7) Cociente 2)( xxq residuo 3)(xr
8) )()( xrxq
9) )()( xrxq
10) El residuo )(xr es el polinomio idénticamente a cero es decir
0)(xr
MÓDULO 14
Teorema del factor y del residuo
Objetivo. El estudiante aplicará el teorema del factor y del residuo en las funciones
polinomiales.
Teorema del Residuo
El residuo del cociente del polinomio f(x) por el binomio x-a es igual a f(a).
Otra forma de obtener el residuo de un cociente es aplicando la División Sintética:
Ejemplo 1.
Teorema del Factor
Se dice que x-a es factor de un polinomio f(x) si f(a)=0
AUTOEVALUACIÓN
MÓDULO 15
Raíces racionales de un polinomio
Objetivo. El estudiante determinará las raíces racionales de un polinomio.
Una raíz de un polinomio es un valor que al ser evaluado en el polinomio el resultados
es cero.
Regla de los signos de Descartes
Si un polinomio está ordenado en forma creciente o decreciente:
a) El número de raíces positivas no es mayor al número de cambios de signos del
polinomio.
b) El número de raíces negativas no es mayor que el cambio de signos en f(-x).
AUTOEVALUACIÓN
MÓDULO 16
Raíces de un polinomio
Objetivo. El estudiante determinará las raíces reales de un polinomio mediante
la división sintética.
El principal uso que se le da a la división sintética, es en la búsqueda de los
ceros o raíces de un polinomio. En esta lección nos dedicaremos al cómo
encontrar estas raíces.
Ceros de un Polinomio
Un número real a es llamado un cero o raíz del polinomio )(xp si se tiene
0)(ap Esto significa que el grafo del polinomio corta al eje X en el punto del
plano )0,(a
Ejemplo
El polinomio 1)( 2xxp tiene dos raíces que son 1x y 1x
Al dividir el polinomio )(xp por el polinomio de la forma axxg )( se tiene
que el residuo es )(ap
)()()()( apxqaxxp
Por lo tanto si a es un cero del polinomio )(xp se tiene que ax es un factor
del polinomio, es decir
))(()( axxqxp
Este resultado es conocido como el Teorema del Factor.
El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio de grado n
tiene a lo más n raíces reales. La demostración de este teorema se sale del
alcance de este curso, porque requiere de otro tipo de consideraciones
matemáticas más avanzadas, sin embargo es importante considerarlo y
aceptarlo aún sin demostración.
Multiplicidad de una raíz
Decimos que la raíz a del polinomio )(xp es de multiplicidad k si:
)()()( xqaxxp k Con 0)(aq
Ejemplo
Obtener un polinomio de grado 3 que tenga como ceros a 1, -1, 2
Solución
Si el polinomio es )(xp entonces se tiene
22)2)(1)(1()( 23 xxxxxxxp
AUTOEVALUACIÓN
Efectúa las divisiones sintéticas para obtener el cociente y el residuo
1) 123 34 xxxxp y 3xxg
2) 13 xxxp y 2xxg
3) 14 xxxp y 1xxg
Obtener polinomios de menor grado que tengan las raíces que se indican
4) 1, -2
5) 0, -1, 1 con multiplicidad 2
6) ¿Qué condiciones debe tener un polinomio para que el 0 sea una raíz?
SOLUCIONES
1) Cociente 642173)( 23 xxxxq Residuo 191)(xr
2) Cociente 52)( 2 xxxq Residuo 11)(xr
3) Cociente xxxxq 23)( Residuo 1)(xr
4) 1)2)(1()( 2 xxxxxP
5) xxxxxxxxP 2342)1)(1()(
6) Para que un polinomio tenga una raíz en 0 es necesario y suficiente que
no tenga término constante
