Modulo 02 - Conjunto de Los Numeros Enteros

Efectuamos las siguientes sustracciones en N.13 – 5 = 8 5 + 8 = 13 Ahora: 12 – 20 = ? 20 + ? = 1248 – 37 = 11 37 + 11 = 48 20 – 50 = ? 50 + ? = 20Como vemos, en N no siempre es posible la sustracción, ante esta dificultad se ha ampliado el conjunto N para formar otro conjunto de números, llamado CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS (Z).

M ódulo

I E P Cristo Amigo Algebra 6to

SESIÓN Nº 01:

EXTENSIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES: DEFINICIÓN, REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA Y GRÁFICA.

I. OBJETIVO ESPECÍFICO:1. Demuestra la necesidad de extender el conjunto N, define y representa gráficamente números enteros.

II. ACTIVIDADES:A. INICIALES:

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS:CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS (Z): Es el conjunto que emplea el concepto de número positivo y negativo.

NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS: Si desde un punto de referencia nos desplazamos 3

metros hacia la derecha empleamos el signo + delante de 3, así +3.

Si nos desplazamos hacia la izquierda empleamos el signo (-) delante de 3, así: -3.

Al punto de referencia le asignamos el número CERO.

NÚMEROS POSITIVOS: Son los números naturales a los que se les antepone el signo (+). Ejemplos: +4, +9, +20, +1984, etc.NÚMEROS NEGATIVOS: Son los números naturales a los que se les antepone el signo (-). Ejemplos: -5, -1, -48, -34879, etc.EL CERO: No tiene signo + ó -El conjunto de números enteros (Z) se representa así: Z = {...; -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +4; ...}Al conjunto de Enteros Positivos se denota por Z+, es decir: Z+ = {+1; +2; +3; +4...} ó Z+ = {1; 2; 3; 4; ...}Al conjunto de los Enteros Negativos se denota por Z-, siendo: Z- = {...; -4; -3; -2; -1}Al conjunto de los Enteros sin el cero se le simboliza por Z*, siendo: Z* = { ...; -4; -3; -2; -1; +1; +2; +3; +4; ... }REPRESENTACIÓN DE Z EN LA RECTA NUMÉRICA: Sobre una recta, ubicamos un punto de referencia al cual le hacemos corresponder el número CERO.A partir de CERO, empleando una unidad de medida, ubicamos puntos hacia la derecha y hacia la izquierda, a cada uno de los cuales le hacemos corresponder con los números enteros positivos y los números enteros negativos respectivamente, así:

... S R M P A B C D... “El punto que corresponde al

... -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4... Número CERO, se llama ORIGEN”

[Algebra 6to] Página 12

Izquierda3m

Derecha3m

-3 0 +3

ORIGEN


NÚMEROS ENTEROS OPUESTOS: Dos números enteros son opuestos cuando tienen la misma distancia al origen.

-3 y +3 son enteros opuestos... -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ...

-4 y +4 son enteros opuestos

d = 4 Unid. d = 4 Unid.

VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS ENTEROS: El valor absoluto de un número entero es la distancia (siempre positiva) de dicho número al origen; el valor absoluto de un número entero "a" se presenta por | a | y se define así:| a | = a si a 0 Ejemplos: | +4 | = 4 | 0 | = 0

- a si a < 0 |-8 | = -(-8) = 8 | +11 | = 11| -23 | = -(-23) = 23

Si: | a | = b a = bIGUALDAD DE NÚMEROS ENTEROS: Dos números enteros son iguales si tienen el mismo signo y el mismo valor absoluto; en la recta numérica les corresponde el mismo punto. Ejemplos: +8 = +8 ; -12 = -12; +17 = +17 ; -126 = -126DESIGUALDAD DE NÚMEROS ENTEROS: Dos números enteros son desiguales si su representación en la Recta Numérica son dos puntos distintos:

-5 +5 -5 +5

a 0 bSi "b" está a la derecha de "a", en la recta numérica, entonces "b" es mayor que "a" o "a" es menor que "b". Ejemplos: -3 < -1 ; -9 > -20 ; +4 < +13 ; -9 > -20 ; +1 > -35

C) COMPROBACIÓN:

1) Coloca el símbolo: > , < , = ; según corresponda:

a) -20 _____ 25b) -70 _____ -72 c) |-8| _____ |-9|

d) | -5 + -4 | _____ | -5 | + | -4 |e) - | -14 + -27 | _____ | -41 |f) | -87 | _____ -87

2) Orders the following whole number in the Numerical Straight line

a) -5 ; +2 ; 0 ; -17 ; +8 ; -35 ; +19 b) +7 ; -10 ; -13 ; +2 ; 0 ; +16 ; -14

3) Determine por extensión los siguientes conjuntos:

a) M = { x/x € Z ^ -5 < x < 9 }b) N = { x/x € Z ^ -6 ≤ x < 12 }

c) P = { x/x € Z ^ -7 < x ≤ 5 }d) R = { x/x € Z ^ -1 ≤ x ≤ 3 }

4) Find the value of “x”

a) |x – 7| = 9 b) |x + 8| = 10

D) FIJACIÓN

1) Escribe el signo > , < , = ; entre cada par de números enteros:

a) -15 _____ 0b) -8 _____ -9c) | - 18 | _____ -| 18 |

d) -312 _____ -213e) |-7 + -6| _____ | - 7 | + | - 6 |f) -| - 8 + - 25 | _____ -| - 8 + 25 |

2) Determina por extensión los siguientes conjuntos e indica la suma de sus elementos:

a) P = { x/x Z- -3

≤ x ≤ -1 }

b) R = { x/x Z+ -

20 ≤ x < 9 }

c) Q = { x/x Z- -6 < x ≤ 3 }

d) L = { 2x/x Z -2 ≤ x ≤ 2 }

e) M = { x - 2/x Z- -6 < x ≤ 1 }


Veamos las situaciones de ganancias y pérdidas: En un negocio gano S/. 15, y en otro gano S/. 25.

¿Cuánto gano en total? S/. 40 Lo expresamos así: (+15) + (+25) = +40

En un negocio pierdo S/. 80 y en otro pierdo S/. 30 ¿Qué operación de números enterosen total pierdo S/. 110. hemos efectuado en estas Lo expresamos así: (-80) + (-30) = -110 situaciones?

En un negocio pierdo S/. 50 y en otro gano S/. 23Al final pierdo S/. 27Lo expresamos así: (-50) + (23) = -27


3) Find the value of “x”

a) | x – 4 | = 3 b) | x + 8 | = 12

SESIÓN Nº 02:

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

I. OBJETIVO ESPECÍFICO:1. Aplica las técnicas operativas de la adición en Z.


B. DESARROLLO DE CONTENIDOS:

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: Para sumar números enteros debemos tener en cuenta lo siguiente:1) Si los números tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y a esta suma se le antepone el mismo signo de los sumandos. Ejemplo: Sumar (+6) + (+9) + (+5) + (+1) = +21

Más práctico. Borramos los paréntesis y el operador + : +6 + 9 + 5 + 1 = +21

2) Si dos números enteros tienen diferente signo, se restan los valores absolutos y a la diferencia se le antepone el signo del sumando de mayor valor absoluto.Ejemplo: a) Sumar (-5) + (+10) = +5 b) (+20) + (-11) = +9

Forma práctica: -5 + 10 = +5 Forma Practica: +20 - 11 = +9

3) Para sumar varios números enteros de diferente signo:

- Se suman separadamente los números positivos y los negativos.- Luego se suman estos dos resultados parciales.

Ejemplo: Sumar: (+7) + (-12) + (+16) + (-8) + (+3) Suma de positivos :(+7) + (+16) + (+3) = +26 Suma de negativos: (-12) + (-8) = -20 Suma de los resultados parciales = (+26) + (-20) = +6 Forma práctica: Borramos los paréntesis y el operador (+) 7 - 12 + 16 - 8 + 3 = 26 - 20 = 6

SIGNOS DE AGRUPACIÓN O COLECCIÓN: Son: Paréntesis ( ); Corchetes [ ] y Llaves { }

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN: Cuando se tienen varios sumandos dentro de signos de agrupación, éstos se suprimen antes de efectuar la adición, teniendo en cuenta lo siguiente:

1) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (+) se escriben los números con su propio signo: +8 + (-6 + +4) = +8 - 6 + 4 = +62) Para suprimir un signo de colección precedido por el signo (-), se escriben los opuestos de cada número entero. -(-9 + 11 - 5) = +9 - 11 + 5 = +3



3) Cuando existen signos de colección unos dentro de otros se suprimen empezando por el más interior. - {+6 + [-5 - (+11 - 7)]} (forma práctica) = -{+6 + [-5 - 11 + 7]} = - {+6 - 5 - 11 + 7} = -6 + 5 + 11 – 7 = +3

C.- COMPROBACIÓN

1) Resuelve las siguientes operaciones:

a) -5 + - 10 + -20

b) -15 + -18 + -30

c) +54 + - 50 - -70

d) -120 + -140 + -160 - -200

2) Un cohete subió 40800 km y bajo luego 16400 km ¿A cuántos km está del punto de

despegue?

3) En un concurso de adivinanzas, se marca 4 puntos por cada adivinanza acertada y se quita 2

por cada adivinanza mal acertada. De 15 adivinanzas, Florcita acertó las 8 primeras ¿Cuál fue

su puntaje?

4) Rosita get out from his house and walk 15 blocks to the north then 12 blocks to the south,

how far is Rosita of her house?

5) Resolve:

a) ( 10 – 8 + 5 – 3) + (–12 + 8 – 2) – (– 8 – 6 + 2)

b) [ ( 25 – 30 ) + ( 22 + -18 ) ] – [ ( 25 + 2 + -1 ) – ( -18 + -13 ) ]

c) [ ( -12 ) + ( -18 ) – ( -20 ) + ( -25 ) ] – [ ( -8 + -35 ) + -11 ]

D) +40 – [ - ( +20 + -15 ) – 32 ] + 8 – { -[ +4 + 6 + -9 ] + -3 }

D. FIJACIÓN

1) Find the sum:

a) ( -20 + -8 + -13 )

b) ( +35 + -20 - -17)

c) ( -12 - -15 + -18 - +21 )

d) -29 + -42 – ( +2 + -5 - -17 )

e) ( +36 ) + ( -18 ) – ( -100 ) – ( +90 )

f) ( +13 ) – ( -55 ) – ( -42 ) + ( +4 )

2) If: a = -5 , b = 4 , c = -3 , d = -6 , e = 1. Find:

a) a – [ b – c ]

b) a – c + ec) a – ( d + e)

d) ( b + c ) – ( d – e)

3) Un cangrejo avanza hacia el norte 20 cm, retrocede hacia el sur 2m pasos, vuelve a avanzar

600cm pasos y finalmente retrocede 5m pasos. Averiguar ¿Cuántos pasos dió en total el

crustáceo?


-14-

Recuerde en N: 7 - 5 = 2 2 + 5 = 7Ahora en Z: (+8) - (-5) = +13 porque (+13) + (-5) = (+8)Nota que la diferencia (+13) lo obtenemos sumando (+8) con el entero opuesto de (-5)


4) Saúl tenía cierta cantidad de dinero en su bolsillo si deposita en el banco la suma de 800 soles y recibe una propina de su padrino de 200 soles con lo cual tiene 360 soles en su poder, ¿Cuánto dinero tuvo al comienzo?

SESIÓN Nº 03:

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Define la sustracción de números enteros.2. Determina la regla para restar números enteros.3. Resuelve operaciones combinadas de adición y sustracción de números enteros.

II. ACTIVIDADES:

A. INICIALES:


1. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: Se llama sustracción de números enteros a la operación que hace corresponder a cada par de números enteros a y b llamados Minuendo y Sustraendo respectivamente, un tercer número a - b, llamado Diferencia.

Así: +10 - +4 = +6 DiferenciaSustraendoOperadorMinuendo

2. REGLA PRÁCTICA PARA LA SUSTRACCIÓN: Dados dos números a y b para hallar la diferencia, transformamos la SUSTRACCIÓN en una ADICIÓN del minuendo con el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b)

Luego aplicamos las reglas de la adición de números enteros.

Ejemplos: a) Efectúa: (-7) - (-2) Sustraendo

Minuendo

Solución: Transformamos la sustracción en una adición del minuendo (-7) con el opuesto del Sustraendo (+2) y luego hallamos la suma:

(-7) - (-2) (-7) + (+2)

ADICION Luego: (-7) + (+2) -5 Rpta.

OPUESTO

b) Efectuar: +16 - -24 c) Efectuar: -19 - +16


-15-


+16 + +24 -19 + -16

40 Rpta. -35 Rpta.

3. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: Para resolver este tipo de operaciones, resolvamos en primer lugar las operaciones que estén dentro del paréntesis si es que hubiera, luego cambiamos las sustracciones en adiciones y hallamos la suma:

a) Efectuar: b) Efectuar:

+4 + +16 - +9 + -7 - -3 +11 - +8 - (-14 - -9)

+4 + +16 + -9 + -7 + +3 +11 + -8 - (-14 + +9) +20 + -16 + +3 +3 - (-5)

+4 + +3 +3 + +5 +7 +8

c) Efectuar: d) Efectuar:

(+5 - +19) + (-15 - +4) -8 - (+12 + -4 - -10) (+5 + -19) + (-15 + -4) -8 - (+12 + -4 + +10) -14 + -19 -8 - (+8 + +10)

-33 -8 - (+18)-8 + -18 -26

C. COMPROBACIÓN

1) Si al número le restamos el opuesto de , ¿Qué número se obtiene?

2) es el resultado de sumar un número con el valor absoluto de . Si ha dicho número se le suma , ¿Cuál es el resultado?

3) En un concurso de conocimientos, por respuesta acertada obtienes 6 puntos y te descuentan 3 puntos por respuesta incorrecta. Si el concursante Enrique respondió acertadamente 15 preguntas de las 20 que respondió. ¿Cuánto es el puntaje que obtuvo?

4) 6. Resolve:

a) 14 +(-60) + (-50) - 32 + 28a) 44 – 33 + 22 - (-36) + (-12) b) (-58) – (-14) – (+13) +(+25)c) (-32) – (-25) + (-15) – (-17) – (-24)

d)

e) -38 –(-7 – 14) + (-23 – 45 – 41 + 70)5) Is - equal to + ? Why?

D. FIJACIÓN

1) Resuelve:a) 120 +(-300) – (-250) + (-180)b) -24 – ( -19) +10 – 65 + (-33)c) -8 + 26 – 77 – 82 + 69 – (-74)

d)

e) 21 – (13 + 18 – 31) – (-42 + -12 – 54) – (35 – 17)f) 20 – (14 – 15 + 22) –(45 – 38 – 15) – 74 – 65

2) If A = (-7 + 5), B = -(-6 + -3), C = (12 – 10) – (-9 + 2)Find:a) A – B + Cb) C – ( A – B )c) ( A – C) + Bd) (C – A) – ( B – C)


-16-

Observa detenidamente los siguientes ejemplos:a) (-8) + (-8) + (-8) + (-8) + (-8) b) (+6) + (+6) + (+6) + (+6) = +24

5 veces 4 vecesPor la operación de suma ya estudiada; esta suma da como resultado: -40, o también:

5 x (-8) = -40Es decir si multiplicamos dos números enteros de diferentes signo el resultado es negativo.Por otro lado si multiplicamos dos números enteros de signos iguales el resultado tendrá signo positivo, es decir 4 x (+6) = +24


e) (A – C – B) – A 3. Miguel sale de su casa con S/. 40, en el trayecto se encuentra una billetera con una cierta cantidad dinero,

por lo que decide comprar un pantalón que cuesta S/. 45 y un polo que cuesta S/. 25; si después de haber realizado estas compras le queda S/. 13. ¿Cuánto dinero encontró en la billetera?

MÓDULO Nº 02: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:1. Define la multiplicación de números enteros.2. Aplica las reglas de los signos para multiplicar enteros.3. Resuelve operaciones combinadas de adición, sustracción y multiplicación de números enteros.


B. DESARROLLO DE CONTENIDOS: 1. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: Es una operación que hace corresponder a cada par de números a y b llamados factores, otro número a x b denominado producto.

Ejemplos: a) +5 x -6 = -30 b) -8 x -6 = +48c) 12 x +10 = 120 d) -13 x +3 = -39

2. REGLA DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: a) Si dos números enteros tienen el mismo signo, su producto tendrá signo positivo.Si dos números tienen distinto signo, su producto tendrá signo negativo.Así:

b) Si la cantidad de factores negativos es par, el producto es positivo. Así: (-) (-) (-) (-) = (+)

c) Si la cantidad de factores negativos es impar, el producto es negativo. Así: (-) (-) (-) (-) (-) = (-)

d) Si todos los factores son positivos el producto es positivo. Así: (+) (+) (+) (+) (+) = (+)

Ejemplos: a) (+8) (+11) = +88 b) (+9) (+2) (+5) = +90c) (-1) (-30) = +30 d) (-1) (-7) (-4) (-3) = +84e) (+2) (-2) (-4) (-5) = -80

3. OPERACIONES COMBINADAS DE MULTIPLICACIÓN, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Para resolver este tipo de operaciones se debe tener en cuenta lo siguiente:

a) En primer lugar deben resolverse las operaciones dentro de los paréntesis.b) Luego se resuelve las demás operaciones, teniendo en cuenta que primero se resuelven las multiplicaciones, luego las

adiciones y sustracciones.Ejemplos: a) (+6 + -5) x -8 b) (-5 + -4) (+9 - +3)

+1 x -8 -9 (+9 + -3)-8 -9 x +6


SESIÓN Nº 04: MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROSSESIÓN Nº 04: MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

(+) (+) = (+)(-) (-) = (+)

(+) (-) = (-)(-) (+) = (-)

-17-


-54c) -6 + -8 x +5 - -6 d) (-4 x -8 + -33) (+6 - +9) -6 + -40 + +6 (+32 + -33) (+6 + -9) -46 + +6 -1 x -3

-40 +3C. COMPROBACIÓN

1. Al multiplicar un par de números positivos ¿Qué signo resulta? Da un ejemplo.

2. Si tenemos 2 factores con signos diferentes ¿Qué signo resulta? Da un ejemplo.

3. Resolve:

a) (-3)(-2) (-1)(+7)

b) (-4)(+3)(+5)(-9)

c) (-1)(+10)(+12)(-3) – 11 x (-3)

d) (-5)(+9)(+10)(-4) + (-524)(0)

e) (-12)(-64)(-18)(0)(+49) – (-45)(+4)

f) (-8) +

g)

h)

i) [5 x 4 – 2 x 9 +(-7) x(5 x 3 -16) + 11 x(-2 – 1)]

D. FIJACIÓN

1) Si se multiplican 4 números enteros negativos por un número entero positivo ¿Cuál es el

signo del producto?

2) Resolve the followings exercises:

a) 5 x 12 – 40

b) -15 + 4 x -13

c) (-4)(-3)(-9) + (+10) (-5)

d) 3 x -9 + (-4 + 14) x 2

e) -20 + 24 x (-2) +(-5) x (-6)

f) 18 –[-4 + 2 x (-3) +(-4) +20] -11 x (-4)

g) 800 x 150 x (-357) x(0) x (-654)

h) {30 – 4 x [23 + 4 x (-7) + 4]-10} + 15

i) 2 – { 15 – [ 3 x ( 8 – 6) – ( 3 – 5 + 2)] }

j) { [ (12 – 7) x 5 – 18 ] – 4 x (4 – 6) } x 2

3) Si a = -3 , b = -2 , c = 3 , d = 6.Calcular:

a) a +3b – 3c – d


-18-

Reparto S/. 20 entre 5 alumnos: +20: 5 = +4Debo S/. 120 a 6 amigos que me prestaron en partes iguales. ¿Cuánto debo a cada uno? Deuda: -120: 6 = -20

(+) : (+) = (+)(-) : (-) = (+)


b) 2aa/2 + 3dd/-6 – c

c) ||5d – a| – 3b – c|

SESIÓN Nº 05:

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:1. Define la división de números enteros.2. Aplica las reglas de los signos de la división.3. Aplica las técnicas operativas de la división en la solución de operaciones combinadas en Z.



DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:

Dado: Z = [ ..., -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +4; ...] Z x Z = [(-4; -3) (-4; -2) (-4; +2) (-2; +2) (+4; +2)]

La división lo expresamos así: (-4; -2) -4: -2 = +2(-4; +2) -4: +2 = -2(+2; +2) +2: +2 = +1

DEFINICIÓN : La división de números enteros es la operación que hace corresponder a cada par ordenado (a, b) Z x Z, un tercer número a: b llamado cociente, donde b 0.

REGLA DE LOS SIGNOS DE LA DIVISIÓN EN Z:

Observamos:

a) +3 x +2 = +6 +6: +2 = +3 b) +4 x -8 = -32 -32: -8 = +4 c) -7 x -5 = +35 +35: -5 = -7 d) -2 x +9 = -18 -18: +9 = -2

APLICACIÓN: Dividamos:

a) +21 : +7 = +3 b) -119 : +17 = -7 c) +168 : +14 = +12d) 200 : -5 = -40 e) -165 : -5 = +33 f) 0 : +9 = 0g) -117 : -9 = +13 g) +128 : -8 = -16 i) -120 : 0 = No determinado

OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS: En este caso se resuelven primero las operaciones encerradas dentro de signos de colección, luego los cocientes y productos; y por último, las adiciones y sustracciones.Ejemplos:

a) (+6 + -18): -4 + 6 (-9 - -15) b) [(-18 + -14): +8] [-24: (-16 + +12)]


-19-


-12 : -4 + 6 (-9 + +15) [-32: +8] x [-24: -4] +3 + 6 x +6 -4 x +6 +3 + +36 -24 Rpta.

+39 Rpta.

C) COMPROBACIÓN

1. Halla los cocientes de:

a) 4576 22

b) -2478 -1

c) 32478 142

d) -24578 18

e) 60481 -16

f) 0 325 784

2. Resolve:

a) (-540) (+90)

b) 343 (-7)

c) (-600) (-30) + 18 x (-5)

d) -280 (-70) +(-3) x 8

e) 100 (-50) + 20 x 2 + (-3) x(-5)

f) 26 13 + 4x (-3 + 18 3)

g) (-45) (-5) + (38 2 + 35 7)

h) 12 x 3 – ( -100 -25 + 4 x 10)

i) 50 ( 8 x 3 – 19) – (-81) (-9)

j) { - [-600 -15 x 4] – [+9 – (-30) –

(+600)] +60 }

D) FIJACION

I. Halla el cociente de:

a) 24571 13

b) 356479 247

c) 95240 40

d) 85300 57

II. Solve the following operations

a) 5 x (-4) + 4 x (-20) – (-24) (-4)

b) 32 -4 + 3 x (–5) + ( 48 -12)

c) – [ -35 7 + 5 x -3 – ( 81 9 +1) ]

d) Si a = 9, b = -3, c = -6, d = 5.

Hallar:

1) (-a + b) –(c – d)

2) a x b – (c + d)

3) (a + b - c + d)

e) { - [-600 -15 x 3] – [+8 – (- 20) –

(+87)] +56 }

f) 10 { - [-300 -15 x 3] – [+9 –

(-30) – (+600)] +60 }

g) (-20) -4 – [(-2) x (-12) (-6) – (4

– 5 +1)]

h) 5 +{2(-7) + [3 + (-10) (+5)] (-

5)}- 1

i) (-7+2)(-3) + [5 – (-8) (-2) – 4 +

( -5 + 7 – 4 – 6)

j) [1+9 (-3) +4(-3)] + [4 + 30

(-10) – 4(-5)] + 2

k) [15 – 3 + 9 (-1)] + [-7 +2 x -4 ]

+ (-16) (-4) + 5


-20-

En general:


SESIÓN Nº 06:

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:1. Define la potenciación de números enteros.2. Aplica la regla de los signos de potenciación.3. Identifica las propiedades de la potenciación.4. Resuelve ejercicios de potenciación aplicando propiedades.


B. DESARROLLO DE CONTENIDOS: POTENCIA DE UN NÚMERO: Es el resultado de multiplicar un número por sí mismo (base), tantas veces como indica otro número (exponente).

Exponente

Así: 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

Base PotenciaPOTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: Es la operación que hace corresponder a un número entero llamado base y otro número natural llamado exponente, con otro número entero llamado POTENCIA. Así: (-4; 2) 16 ; (+8; 3) +512"El exponente natural indica el número de veces que la base entera se repite como factor"REGLA DE SIGNOS PARA LA POTENCIACIÓN EN Z Ejemplos: a) (+3)2 = (+3) (+3) = +9 b) (-5)2 = (-5) (-5) = +25

c) (+4)3 = (+4) (+4) (+4) = +64 d) (-6)3 = (-6) (-6) (-6) = -216De estos ejemplos deducimos que: (+b)par = +p ; (b)impar = +p ; (-b)par = +p ; (-b)impar = -p

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN: 1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES: Generalizamos: Ejemplos:

a) 22 x 23 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 = 22+3

b) 42. 43 = 42+3 = 45 = 1024 c) (-3)12 (-3)-9 = (-3)12+ -9 = (-3)3 = -27

2. DIVISIÓN DE POTENCIAS DE BASES IGUALES:

Ejemplo: Generalizamos:

Aplicación: a) b)

3. EXPONENTE CERO:

Ejemplo: Donde a 0


En el producto: 7 x 7 x 7 = 343, observamos que 7 se repite tres veces como factor. Podemos expresar este producto de otra manera: 73 = 7 x 7 x 7 = 343.Asimismo: (-2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) = -32Esta operación se denomina: POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

am . an = am+n

-21-

En general:


a0 = indeterminado

4. EXPONENTE NEGATIVO:

Ejemplo:

Donde a 0

Aplicación: a) b)

C. COMPROBACIÓN

1. Halla las siguientes potencias

a) ( -12 )15 x ( -12 )28

b) 5n x 59n x 58n+4

c) (-31)18 x (-31)15 x (-31)24

d) (-14)24 x (-14)32

2. . Solve the following exercises using the properties studied.

a) (22)18 (22)10

b) (167)48 (167)32

c)

d) ( ) x (52)7

e)

f)

g) (400)20

h) [(-7)2]8 [(-7)4]9

i) (199 . 1915 . 1912) (190 . 199)

j)

k)

l)

D. FIJACIÓN1. ¿Qué signo tiene el resultado de operar (-120)120? ¿Por qué?2. Solve the following powers using their properties:

a) (-4)5 ( -8 )(-5 + 5)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) (-5,6)19 (5,6)18


-22-



-23-

(a . b . c)n = an. bn. cn

{ [ (a) n ] m }p = an.m.p


SESIÓN Nº 07:PROPIEDADES DE LA POTENCIACION EN Z


1. Identifica las propiedades de la potenciación en Z.

2. Resuelve ejercicios aplicando las propiedades de la potenciación.

II. ACTIVIDADES:

A. INICIALES:


PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

1) EXPONENTE FRACCIONARIO: El exponente fraccionario se origina de una raíz.

Así: En general: Ejemplos:

a) b)

c)

2) POTENCIACIÓN DE UN PRODUCTO

Ejemplo:

(2 x 3 x 5)2 = 22 x 32 52 = 4 x 9 x 25 = 900 En general:

Observamos que cada factor (2; 3; 5),

son elevados al exponente indicado.

Aplicación: ( - 2 . 4 . 3)3 = (-2)3 (4)3 (3)3 = (-8) (64) (27) = 13824

3) POTENCIA DE COCIENTE: En este caso se halla la potencia del dividendo y la potencia del divisor

por separado.

Así: (6 : 2)2 = 62 : 22 = 36 : 4 = 9 En general:

; donde: b 0

4) POTENCIA DE UNA POTENCIA: En este caso se multiplican los exponentes.

Ejemplo: a) [(-3)2]3 = (-3)2.3 = (-3)6 = 729 b) {[(-2)2]-1}3 = (-2)2.-1.3 = (-2)-6 = =

En general:


En la sesión anterior hemos deducido las propiedades de la potenciación, hoy continuaremos con otras propiedades.

-24-


C. COMPROBACIÓN:

1. Aplica las propiedades de la potenciación y halla el resultado de:

a) (3)2 . (35)2

b) (6)3 . (22)5

c)

d) (18 + 7)42 (16 + 32)18

e)

f)

g)

h) (-7)2 [ (-7)-3 ]-6 (-7)10

i) (w6)6 . (w8)3 . (w3)-5

2. Simplify

a)b) Q = (12-3)-2 (129)0

D. FIJACIÓN:

1. Reduce:

1)

2)

3)

4) (32 – 5)2 x 4[(44)3]5

5)

6) (-4)2 . (2)2 (-8)

7)

8)

9)

10)

[Algebra 6to] Página 26-25-

3

POTENCIACIÓN EN Z OPERACIÓN INVERSA DE LA POTENCIACIÓN(-4)3 = -64 (¿?)3 = -64 ó = -4

(+5)2 = 25 (¿?)2 = +25 ó = +5Esta operación inversa a la potenciación se denomina RADICACIÓN EN Z.


SESIÓN Nº 08:

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS


1. Define la radicación de números enteros.2. Determina la regla de signos de la Radicación en Z.3. Halla la raíz de números enteros.

II. ACTIVIDADES:

A. INICIALES: B.


RADICACIÓN EN Z: Es una operación inversa de la potenciación, en donde, dado la potencia y el exponente, calculamos la base.

Así: ( -2)3 = 8 = -2En la radicación: -8 es el Radicando -2 es la Raíz

3 es el índice es el Operador Radical

REGLA DE LOS SIGNOS DE LA RADICACIÓN

a) Cuando el índice es par y el radicando es positivo, las raíces son dos números opuestos. Así: = {+6,-6}, porque (+6)2 = +36 y (-6)2 = +36

b) Cuando el índice es par y el radicando es negativo, la operación no es posible en el conjunto Z. Así: Z , porque (+5)2 = +25 y (-5)2 = +25

c) Cuando el índice es impar, la raíz es única y del mismo signo que el radicando. Así: = +4 , pues (+4)3 = +64 ; = -2, pues (-2)3 = -8

RAÍZ EXACTA: Una raíz es exacta cuando al ser elevada a la potencia que indica el índice, da como resultado el radicando.

Así: , 9 es la raíz exacta de 81 porque 92 = 81 .

Los números que tienen raíz cuadrada exacta se llaman CUADRADOS PERFECTOS. Y los números que tienen raíz cúbica exacta se llaman CUBOS PERFECTOS.

RAÍZ ARITMÉTICA: Es el valor positivo de la raíz de índice par de un número positivo.Así: ;

[Algebra 6to] Página 27-26-


C. COMPROBACIÓN

1. Find the roots of:

a.

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

D. FIJACIÓN

1. Solve the followings exercises:

1)

2)

3) ( x )3 10

4) (- x )2

5) ( )3

6) - - +

7)

8)

9) [ x 22 (52 + 1)] – ( x 32 ) 12

1.

SESIÓN Nº 09:PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

I. OBJETIVO ESPECÍFICO:


-27-


1. Identifica y aplica las propiedades de la radicación en Z, en la solución de ejercicios .II. ACTIVIDADES:

A. INICIALES:

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS:PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:

1) RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN INDICADA: Es igual al producto de las raíces de los factores (Propiedad distributiva con respecto a la multiplicación).

Ejemplos: a) b)

2) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN INDICADA: Es igual al cociente de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor. (Propiedad distributiva con respecto a la división).

Ejemplos: a) b)

3) RAÍZ DE UNA POTENCIA: Es igual a la base de la potencia elevada a una fracción cuyo numerador es el exponente de la base y cuyo denominador es el índice de la raíz. Así:

Ejemplos: a) b)

4) RAÍZ DE OTRA RAÍZ: Es igual a una raíz con el mismo radicando y cuyo índice es el producto de los índices de las raíces. O sea:

Ejemplos: a)

5) POTENCIA DE UNA RAÍZ: En este caso se eleva a dicha potencia, al radicando de la raíz. Así:

Ejemplos: a)

b)

NOTA: Si el índice de la raíz es igual al exponente, ambos se simplifican. Así

a) b)

C) COMPROBACIÓNAplica las propiedades de la radicación en los siguientes ejercicios:

1)

2)

3)


¿Cómo resolverías los siguientes ejercicios?

a) b)

Se refieren a las propiedades de la radicación. Lo cual es motivo de esta sesión

- 28 -


4)

5)

6)

7)

8) Find AB , if :

A = (-1) + (-2)3 2

B =

9) Calculate “M”

M =

Where: op = opuesto

D) FIJACIÓN


1. Resuelve los siguiente ejercicios:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Simplify:

a)

b)

c)

d)

e)

AUTO EVALUACIÓN Nº 02

I) INSTRUCCIÓN: Encierra con una circunferencia la respuesta correcta.

1) Calcular E:

a) 0 b) 1 c) -1 d) -2 e) N.A 2) Al calcular es igual a:

a) b) c) d) e) N.A.

3) Halla el valor de “x” en :

a) 16 b) -1 c) 1 d) 8 e) N. A

4) Si: .¿Cuánto le falta a N para ser igual a 2?a) 41 b) 21 c) 1 d) –12 e) N.A.

5) Al efectuar: (-32 : -8) (+60 : -15) - 12 resulta:a) 28 b) 18 c) -28 d) –20 e) N.A.

6) Al reducir: se obtiene:

a) 4 b) c) 8 d) 2 e) N.A.

II) INSTRUCCIÓN: Coloca >; < ó = según corresponda.

a) –62 ............. –35 b) ............. –3415c) | –16+14 | ............. | +16-14 | d) +487 ............. –2147e) +51 + –71 ............. –8 – +5 f) (–5)2 – –5 ............. –25 x –3

III) INSTRUCCIÓN: Escribe en los espacios en blanco la respuesta correcta.

1) Halla Rpta.: _________________

- 29 -

2) Halla

Rpta.: _________________

3) Halla

Rpta.: _________________

4) Resuelve: Rpta.: ___________

5) Efectúa: Rpta.: _________________

6) Resuelve: Rpta.: _________________

7) Efectúa: Rpta.: _______________

8) Resuelve: Rpta.: _________________

- 30 -

- 30 -

Modulo 02 - Conjunto de Los Numeros Enteros

Documents

Transcript of Modulo 02 - Conjunto de Los Numeros Enteros