MODELOS MATEMATICOS

1

INTRODUCCIÓN

Todos los que hacemos matemática tenemos dos grandes retos: 1) Quitarle a la matemática su

aura de inentendible para mostrarla como una actividad que hasta puede resultar entretenida, y

2) Mostrar que la matemática puede mejorar la vida cotidiana de las personas y ser una

herramienta útil para las organizaciones.

Tenemos que demostrar que la matemática puede resolver problemas de la vida cotidiana: de

desarrollo urbano, ambientales, de medicina, de economía y finanzas, del sector industrial,

licitaciones del Estado, etc. Ecuador tiene muy buenos matemáticos, y la mayoría están

orientados a temas teóricos. Nosotros queremos que los matemáticos tengan mayor presencia en

el uso de aplicaciones de la matemática. Queremos mostrar que la matemática sirve para

resolver problemas del mundo real, no sólo para el sudoku. Hay poca experiencia en Ecuador en

resolver problemas del mundo real. El Estado, si utiliza herramientas matemáticas va a ser más

eficiente, y la empresa privada también.

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PROBLEMA 1.-PARADOR TURÍSTICO GUAYLLABAMBA

(1) Presentación de una situación simplificada del mundo real.

En la actualidad se trata de aprovechar todos los recursos naturales que permitan atraer la

inversión, entre estos recursos tenemos el de "aguas termales", un recurso inagotable que hoy

en día es un buen medio para el turismo. Se trata entonces de determinar la factibilidad de

inversión y aprovechamiento del recurso natural ubicado cerca del cantón Chambo, provincia de

Chimborazo. Aunque el estudio de mercado no pueda garantizar las actividades de una empresa,

sin embargo trata de reducir en gran magnitud los riesgos de inversión y proporcionar los datos

para tomar decisiones adecuadas. Además que nos proporciona datos reales que se obtiene de

proyectos similares. Es necesario dimensionar los límites y fronteras para conocer la demanda y

realizar proyecciones futuras.

Es entonces que nos preguntamos cómo aporta la matemática para implementar éste proyecto?

(2) Traducción de la situación en terminología matemática.

Como todo proyecto de inversión, en lo actual deben seleccionarse todos los datos que van

intervenir los mismos que van a jugar un papel fundamental en la elaboración de una fórmula

que permita sintetizar el modelo en una expresión matemática.

( (( ) ( )))

De donde:

GM: ganancia mensual,

T:tiempo (un mes),

N:número de usuarios menores de edad,

M:número de usuarios mayores de edad,

TN:tarifa para menores de edad,

TM:tarifa para mayores de edad.

Sin duda una ecuación simple (modelo matemático) que nos proporcionará la información

necesaria para determinar si el proyecto es rentable o no.

Podemos ver que para la resolución de este problema se deberá tener conocimientos de:

Operaciones Matemáticas Básicas.

Resolución de Ecuaciones

Manejo de datos estadísticos.

PROBLEMA 2.-ELECTROCARDIOGRAMA


Cuando pensamos en nuestra salud, nos preguntamos por ejemplo saber cómo está nuestro

corazón, enseguida nos viene a la mente, puede estar ahí la matemática?. Claro que sí, un

electrocardiograma nos da una información sobre aquello, el mismo que no es más que el

resultado de un modelo matemático que nos facilita información sobre la salud del corazón.

Para ello se recogen muestras reales de electrocardiogramas de diversas topologías (corazón

sano, corazón enfermo, pruebas realizadas en adultos, en niños,…). Lo que se hace es la

simulación y aproximación por ordenador de las gráficas que nos muestra el aparato; de esta

forma aparecen necesariamente las series de Fourier. Mediante la simulación en Maple se

obtienen que los valores de los coeficientes de Fourier no son los mismos si se trata de un

corazón sano o enfermo, ni necesariamente los mismos si el rango de edad del paciente es

distinto. La gráfica del electrocardiograma se presenta en papel milimetrado que mide

3

verticalmente el voltaje y horizontalmente el tiempo, determinado por el desplazamiento del

papel.

Así pues, mediante el análisis visual de un gran número de electrocardiogramas, es posible

generalizar que con algo tan simple como fijarnos en el valor de amplitud de onda del

electrocardiograma podemos conjeturar si este pertenece a un corazón sano o enfermo. Así por

ejemplo comprobando únicamente que esos valores se encuentren entre 0,15mvolt y

0,08mvotls, el electrocardiograma correspondiente pertenece a una persona sana y que en el

momento en que los valores de amplitud no se encuentren incluidos en el intervalo indicado a

estos sabremos que ese corazón posee algún tipo de anomalía.

En la ilustración se muestra un electrocardiograma normal correspondiente al corazón de un

varón de 40 años.


Con la ayuda de Maple 7 podemos simular analíticamente y visualizar la función.

Se usan las series de Fourier que nos permitirán calcular los coeficientes y a su vez comparar

diversos electrocardiogramas.

0

1

( ) cos sin2

n n

n

aSf t a nwt b nwt



Representación gráfica de funciones

Manejo de funciones trigonométricas, sumatorias, etc

Series de Fourier

Manejo del software Maple

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PROBLEMA 3.-MANEJO DE CANTIDAD DE VINO EN n AÑOS


Método de la Solera.- El vino más añejo está en la fila inferior de barriles y el más nuevo en el

piso de más arriba. Cada año, la mitad del contenido de los barriles del suelo se embotella como

jerez y se llena con vino de los barriles de la fila inmediatamente superior. El proceso se

completa añadiendo vino nuevo a los barriles de la fila de más arriba. Nos preguntamos cómo

aporta la matemática para resolver el siguiente problema: determinar la cantidad de vino de n

años que se extrae de k filas de barrilles (Larson,2003. CálculoI)

(2) Traducción de la situación en terminología matemática .

Efectivamente, se dedujo a partir de considerar series numéricas, que la expresión que

determina la cantidad de vino de n años que se extrae de k filas de barricas es:

n2

1

k

n)k,n(f

para k<n

Este es otro ejemplo de modelización que nos permite presentar los temas de matemáticas de

manera distinta de la tradicional y que muestra la componente epistemológica de las mismas.



Análisis combinatorio

Series Numéricas

PROBLEMA 4.- HORNO SECADOR DE YUCA DE FLUJO RADIAL


Por la necesidad industrial de encontrar productos secos con mejores formas y estructuras nace

la iniciativa de secar cualquier sólido, pero de una manera eficiente y rápida para esto existen

diferentes formas de secado, el tiempo de duración del secado, etc.

Se pretende encontrar un diseño de un horno secador de yuca de flujo radial, teniendo en cuenta

la relación superficie/volumen, masa de yuca, temperatura del aire de recirculación y velocidad

de flujo de aire calculada a partir de las revoluciones del ventilador.

La variable que tiene mayor influencia en el proceso de secado es la relación superficie a

volumen seguida de la cantidad de yuca, la temperatura del aire que recircula y la velocidad de

flujo de aire.


La ecuación que describiría el proceso de secado en términos de las variables más importantes

sería:

5

%H = 8.0826 – 0.006603 (C) + 41.2561 (A/V) + 2.8028 (V) + 0.2792 (T)

Donde:

C : Cantidad de yuca (gramos)

A/V : Relación superficie a volumen (mm-1)

V : Velocidad del ventilador (rpm)

T : Temperatura de control del aire de recirculación (ºC)

Para resolver este problema se deberá tener conocimientos de:


Regresión Lineal

Ecuaciones diferenciales de primer orden

PROBLEMA 5.- INCENDIOS FORESTALES


Si bien las causas inmediatas que dan lugar a los incendios forestales pueden ser muy variadas,

en todos ellos se dan los mismos presupuestos, esto es, la existencia de grandes masas de

vegetación en concurrencia con periodos más o menos prolongados de sequía.

El calor solar provoca deshidratación en las plantas, que recuperan el agua perdida del sustrato.

No obstante, cuando la humedad del terreno desciende a un nivel inferior al 30% las plantas son

incapaces de obtener agua del suelo, con lo que se van secando poco a poco. Y si a estas

condiciones se suma la existencia de períodos de altas temperaturas y vientos fuertes o

moderados, la posibilidad de que una simple chispa provoque un incendio se vuelven

significativa.

Es por eso que es de vital importancia encontrar una medida de prevención pero en este caso

conociendo como se propaga el fuego. Todas estas medidas ayudan a reducir la velocidad de

propagación y virulencia de un potencial incendio.


Considerando al lecho de combustible como un sistema compuesto por pequeñas barras

verticales, espaciadas regularmente por una distancia S. Cuando la barra (n -1) se incendia, su

temperatura es la temperatura de ignición y la temperatura de la barra adyacente(n) se encuentra

en un valor intermedio entre la temperatura ambiente y la temperatura de ignición. Como se

muestra en la figura, se considera que la barra (n) está en contacto con las llamas de la barra (n –

1), de manera que la transferencia de calor por conducción, convección y radiación son las

responsables de que la barra (n) llegue a la temperatura de ignición.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sequ%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Deshidrataci%C3%B3n

6

La velocidad de propagación R, es obtenida mediante:

El flujo de energía hacia la barra (n) por unidad de volumen y unidad de tiempo es:

( )( )

Donde A representa la superficie de intercambio de la partícula, la temperatura de la llama, T

es la temperatura de la barra (n), y representan los coeficientes de intercambio por

conducción – convección y radiación respectivamente. El tiempo de ignición es obtenido por

la resolución de la ecuación diferencial en el instante de tiempo t = 0 hasta el tiempo de

ignición.

La ecuación final es:

( )

[

]

Donde T0 es la temperatura inicial del combustible. Para la estimación de los parámetros fc y fr,

se emplea el valor medio entre Tf y Ti. Se reconoció que era sólo una estimación y quesería más

correcto emplear la diferencia entre las temperaturas respectivas a la cuarta potencia.


Operaciones matemáticas básicas.


PROBLEMA 6.- DRENAJE DE UN TANQUE ATMOSFÉRICO


Ante la necesidad de conocer el tiempo en el cual un

tanque de drenaje como por ejemplo el tanque presurizado

de nuestras casas se demora en vaciar, es decir

nuevamente prender la bomba, se requiere conocer una

relación entre agua desechada y el tiempo de vaciado con

descarga lateral o en el fondo en el cual tiene la influencia

de variaciones en el diámetro y forma del orificio en el

flujo volumétrico.

Por medio de la aplicación de los principios de

conservación de masa y momentum se pretende formular

un modelo matemático que describe el vaciado de un

tanque al que no se le repone agua, para ser validado

experimentalmente.

(2) Traducción de la situación en terminología

matemática.

7

Consideraremos un sistema isotérmico con un fluido newtoniano, incomprensible, con densidad,

viscosidad y composición constantes.

Aplicando el principio de conservación de masa en el sistema, realizando un balance de energía

y despejando la velocidad tendremos:

√ ( )

( )

Encontrando que el diferencial de la altura del recipiente con respecto al tiempo, está en

función de sus áreas, diámetros, longitudes y gravedad.




PROBLEMA 7.- MAXIMIZACIÓN DE UTILIDADES


La COMPAÑÍA ReddyMikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla

siguiente proporciona los datos básicos del problema.

Toneladas de materia prima de

Pinturas para

exteriores

Pintura para

interiores

Disponibilidad

diaria máxima

(ton)

Materia Prima M1 6 4 24

Materia Prima M2 1 2 6

Utilidad por Ton. (miles

de $)

5 4

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser

mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima

diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. ReddyMikks desea determinar la mezcla

óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria

total.


Este problema se enmarca dentro de programación lineal, el cual tiene tres componentes

básicos. La definición correcta de las variables de decisión en cuanto a las cantidades de materia

prima, es un primer paso esencial en el desarrollo del modelo. Una vez hecha, la tarea de

construir la función objetivo para maximizar las utilidades y las restricciones se hace en forma

más directa para considerar la disponibilidad de materia prima, ayudará a que la solución del

problema sea la más óptima.

Entonces el modelo matemático completo para la COMPAÑIA ReddyMikks quedaría así:

Variables de Decisión:

= Toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores

8

= Toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores

Maximizar (z) = 5 + 4

Sujeta a :


Operaciones matemáticas básicas

Representación gráfica de funciones.

Definiciones de figuras convexas.

Discusión y resolución de Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

PROBLEMA 8.- PROBLEMA DE LA DIETA (MINIMIZACION)


En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (lb) de un alimento especial,

que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:

lb por lb de alimento

Proteínas Fibras Costo ($/lb)

Maíz

0.09

0,02

0,30

Soya 0,60 0,06 0,90

Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un

máximo de 5% de fibras. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que

produzcan un costo diario mínimo.


Este problema se enmarca dentro de lo que tiene que ver con un problema de programación

lineal. Se debe entonces minimizar el costo con la mejor combinación de los elementos

(proteínas y fibras).

Como la mezcla de alimentos consiste en maíz y soya, las variables de decisión del modelo se

definen como sigue:

Variables de Decisión:

= lb de maíz en la mezcla diaria

= lb de soya en la mezcla diaria

Minimizar (z) = 0,3 + 0,9

Sujeta a :

9


Operaciones matemáticas básicas

Representación gráfica de funciones.

Definiciones de figuras convexas.

Discusión y resolución de Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

PROBLEMA 9.- TRANSPORTE DE MERCANCIA


Tres empresas suministran computadoras a cuatro detallistas. La cantidad de

demanda semanal de los cuatro detallistas es de 150, 150, 400 y 100 computadores,

respectivamente. La oferta de las tres empresas está dictada por la mano de obra

regular disponible y se calcula en 250, 300 y 250 unidades a la semana. El costo

en dólares del transporte por unidad viene detallado en la siguiente tabla

Detallistas

1 2 3 4

Empresas

1 15 14 12 10

2 10 12 15 13

3 18 20 11 15

Determinar el costo mínimo del programa de envió.


Este problema se enmarca dentro de lo que tiene que ver con un problema de programación

lineal. En el cual hay que minimizar los costos de envío desde las diferentes empresas a cada

detallista y plantear condiciones tanto para la oferta como para la demanda, quedando el Modelo

Matemático determinado de la siguiente manera:

VARIABLES DE DECISIÓN:

X11: Cantidad optima enviada de la Empresa 1 a Detallista 1












FUNCIÓN OBJETIVO

10

Minimizar (Z):15X11 + 14X12 + 12X13 + 10 X14 + 10X21 + 12X22 + 15X23 + 13X24 + 18X31 +

20X32 + 11X33 + 15X34

SUJETA A:

CONDICIONES DE OFERTA

X11 + X12 + X13+ X14= 250

X21 + X22 + X23+ X24= 300

X31 + X32 + X33+ X34= 250

CONDICIONES DE DEMANDA

X11 + X12 + X13+ X14= 150

X21 + X22 + X23+ X24= 150

X31 + X32 + X33+ X34= 400

X41 + X42 + X43+ X44= 100

CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD

Xij ≥ 0 i = 1,2,3 j = 1,2,3,4



Discusión y resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

PROBLEMA 10.- CONCENTRACIÓN DE DROGA EN UN ÓRGANO


Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de volumen V (cm3

), a una tasa de a

cm3/sg y sale a una tasa de b cm

3/sg. La concentración de la droga en el líquido que entra es c

gr/cm. Escriba un modelo matemático para saber la concentración de la droga en el órgano en

cualquier tiempo junto con las condiciones apropiadas.


La situación está descrita esquemáticamente en la siguiente figura:

La formulación Matemática se justifica de la siguiente forma:

Si X representa la concentración de la droga en el órgano en gramos por centímetro. La cantidad

de droga en el órgano en cualquier tiempo está dado por:

( )( ) El número de gr/seg que entra al órgano en el tiempo t está dado por:

( ⁄ )( ⁄ ) ⁄ El número de gr/seg que sale del órgano en el tiempo t está dado por:

11

( ⁄ )( ⁄ ) ⁄

Y si asumimos que a, b, c y V son constantes, podemos escribir el modelo matemático como:




CONCLUSIÓN

De lo expuesto anteriormente, podemos concluir que para resolver los problemas arriba

planteados necesitamos de la matemática, específicamente modelos matemáticos, los mismos

que van a representar de manera aproximada la realidad y nos van a servir para predecir un

fenómeno, simular soluciones, aportar al desarrollo de otras disciplinas, en definitiva van a ser

los medios que nos permitan comprender, explicar y resolver un determinado problema.

BIBLIOGRAFÍA

1. Cabrara,G:1998. ”Semiología del electrocardiograma, Análisis e interpretación”, Ed. Grupo

Aula médica

2. COMAP .2000. “Matemáticas y vida cotidiana”. Addison-Wesley.

3.Garcia,L.M.1998. “Proyectos de Matemática Aplicada para Ingenieria”. Publicaciones UPV.

4. Gómez, J. 2002.“De la enseñanza al aprendizaje de las matemáticas” Edit. Piados

5. Guzmán,M. Página web: www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/guzman.html

6.Puig Adam,P. “Cálculo Integral”. Edición 1972.

7. Benalcázar Gómez, Guillermo Hernán.- 2007 “Matemática para el Bachillerato” ed. Cámara

Ecuatoriana del Libro Núcleo de Pichincha

8.Web de modelización: http://www-ma4.upc.es/~andreu/

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