MODELOS LINEALES APLICADOS A LA DETERMINACIÓN DE LA ...

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MODELOS LINEALES APLICADOS A LA DETERMINACIÓN DE LA RESISTENCIA CARACTERÍSTICA DE UNA ESTRUCTURA DE HORMIGÓN MEDIANTE LA

CALIBRACIÓN DE TESTIGOS CON LA VELOCIDAD DE IMPULSOS ULTRASÓNICOS

D. REVUELTA CRESPO R. MARTÍNEZ LEBRUSANT Dr. Ing. Industrial Dr. en Ciencias Químicas Instituto de Ciencias de la Instituto Español del Cemento Construcción Eduardo Torroja - CSIC y sus Aplicaciones - IECA Madrid; España Madrid; España e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] RESUMEN Uno de los procedimientos más habituales de caracterización de la resistencia a la compresión de una estructura existente consiste en establecer mediante regresión lineal una curva de correlación entre la velocidad de impulsos ultrasónicos y la resistencia a la compresión de una serie de testigos extraídos de la zona que se pretende caracterizar. Sin embargo, este procedimiento es delicado y no siempre se hace correctamente. En este artículo, a partir de datos de casos reales, se presenta un procedimiento de predicción de la resistencia característica de una estructura mediante la calibración de una curva de regresión lineal a datos de resistencia de testigos frente a velocidad de impulsos ultrasónicos, analizando los factores críticos que influyen en el ajuste del modelo. 1. INTRODUCCIÓN Un problema común en edificación y obra civil es el de la evaluación de la capacidad resistente de estructuras de hormigón existentes ante la necesidad de modificaciones, sospechas de deterioro o incumplimiento de los requerimientos del material o cambios de uso. La extracción de testigos es la principal técnica empleada para determinar la resistencia a la compresión del hormigón incorporado a la estructura, obtenidos estos testigos de lugares que sean representativos de la población de hormigón sometido a estudio [1]. La extracción y rotura de muestras de hormigón de una estructura existente es una operación ampliamente conocida, documentada, e incluso normalizada [2, 3]. Sin embargo, el diseño de la campaña de toma de muestras y la interpretación correcta de los resultados son etapas mucho más complejas. Es necesario elegir correctamente el número de testigos y los lugares de extracción. Así mismo, la resistencia del hormigón de la estructura es el resultado tanto de la calidad del material en el momento de la fabricación (contenido de cemento, relación agua/cemento) y de las posibles alteraciones durante su transporte, como de las operaciones a las que ha sido sometido durante la ejecución (colocación, compactación y curado), de la edad y de las acciones de deterioro a las puede haber estado sometido. Además, las propias operaciones de extracción de testigos son susceptibles de afectar a la resistencia. Es por ello que para la interpretación de los resultados de resistencia obtenidos por la rotura de las muestras es necesario aplicar una serie de coeficientes de conversión [4], máxime en caso de que no sólo se quiera conocer la resistencia del hormigón en la estructura, sino también la del material en el momento del suministro. Aunque existan procedimientos suficientes sobre cómo obtener testigos de una estructura, esta operación es lenta y requiere el empleo de mano de obra especializada. Así mismo y como es obvio, el elemento se ve afectado por la extracción, por lo que cualquier campaña de caracterización debería tratar de minimizar el número de testigos a extraer para poder obtener información suficiente y fiable. Una práctica habitual es la de complementar los datos de resistencia

D. Revuelta, R. Martínez, Modelos lineales aplicados a la determinación de la resistencia característica de una estructura de hormigón mediante la calibración de testigos con la velocidad de impulsos ultrasónicos

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a la compresión con resultados obtenidos mediante otros ensayos que no afecten a la estructura. Además de resultados de resistencia, en los puntos seleccionados de extracción se obtienen valores mediante los ensayos indirectos, y se establece una correlación entre ambos. Ampliando el número de mediciones mediante la técnica no destructiva al resto de la estructura es posible obtener la predicción de los valores de resistencia a partir de la correlación. Entre las técnicas no destructivas o semi-destructivas más comunes se encuentran el empleo de esclerómetros, ensayos de arrancamiento y la medición de la velocidad de propagación de los impulsos ultrasónicos en el hormigón [5]. Esta última técnica se basa en que la velocidad de las ondas de ultrasonidos en un medio sólido depende de su densidad y de su módulo elástico, que a su vez gobiernan la resistencia del material, por lo que existe una relación entre ambas. Es también una técnica ampliamente conocida y utilizada, por lo que existen un buen número de procedimientos y normas disponibles [6 – 9]. 2. GUÍAS Y PROCEDIMIENTOS PARA EL MUESTREO E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS DE TESTIGOS 2.1 Concrete Society Report Nº11 Uno de los principales problemas encontrados a la hora de evaluar la resistencia de estructuras existentes es la ausencia de guías o procedimientos ampliamente aceptados. En el Reino Unido se empleó durante mucho tiempo el documento Nº11 de la Concrete Society [10]. Aunque el procedimiento descrito era una de los más completos en cuanto a cómo convertir los resultados obtenidos sobre testigos a su equivalente sobre probetas normalizadas, el avance de la tecnología del hormigón y el descubrimiento de ciertas incongruencias en el documento [11, 12] han hecho obsoleta su aplicación. 2.2 Norma Europea EN 13791:2007 En el año 2007 se publicó en Europa la Norma EN 13791 [12]. En ella se describen diversos procedimientos para la evaluación de la resistencia a compresión in-situ en estructuras y elementos prefabricados de hormigón. El primer procedimiento consiste en el empleo de testigos únicamente, proporcionando dos enfoques dependiendo del número de testigos extraídos del área que se quiere caracterizar (Método A para al menos 14 testigos, Método B para entre 3 y 14 testigos). El segundo procedimiento contempla el empleo de métodos indirectos junto con la resistencia a compresión obtenida sobre testigos, ofreciendo de nuevo dos enfoques: el establecimiento de una relación entre los resultados del ensayo indirecto y la resistencia a compresión in-situ, o el empleo de una relación determinada a partir de un número limitado de testigos y una curva básica, proporcionada por la propia norma. Desafortunadamente, la Norma EN 13791 presenta serios inconvenientes que han impedido su plena aceptación. En el caso de emplear únicamente testigos para estimar la resistencia de la estructura, R. Martínez demostró que, para un número pequeño de testigos (Método B), la probabilidad de aceptación de una estructura aumentaba al incrementarse la desviación estándar del hormigón por disminución de la homogeneidad del hormigón en la región de ensayo o por la dispersión del ensayo [1], lo que está claramente del lado de la inseguridad. De querer emplear métodos indirectos junto con resultados de resistencia, la Norma EN 13791 se limita a indicar que la correlación debe hacerse con al menos 18 pares de resultados de testigos y resultados de ensayos indirectos, pero es muy imprecisa en sus indicaciones de cómo estimar la resistencia del hormigón en la estructura. Se establece que la relación se determina como el percentil del 10% de la resistencia obtenida mediante la curva de mejor ajuste obtenida por análisis de regresión de los pares testigo-ensayo indirecto, y que se emplee para obtener resultados estimados, fis, en al menos 15 lugares de ensayo, pero no indica el procedimiento de cálculo, por lo que podría asumirse cualquier método, como el de estimación del percentil asumiendo que el hormigón sigue una distribución normal. Con los resultados estimados se calcula la resistencia media y la desviación estándar, y se aplica por tanto el Método A para el cálculo de la resistencia característica. Más adelante se mostrará cómo, de nuevo, este procedimiento está del lado de la inseguridad, ya que al aumentar el término aleatorio en la correlación (o, expresado de otra forma, al disponer de peores correlaciones entre los resultados de testigos y los ensayos indirectos), aumenta la probabilidad de obtener valores estimados superiores a la resistencia característica real. La otra opción descrita en la Norma, la de empleo de curvas básicas, está también seriamente limitada. La curva proporcionada por la Norma para el caso de emplear la velocidad de impulsos ultrasónicos como medida indirecta para establecer la correlación cubre únicamente el rango de velocidades comprendido entre 4,0 y 4,8 km/s. Los autores han


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comprobado, a partir de casos reales, que las velocidades en el hormigón están en muchas ocasiones por debajo del valor inferior de la curva proporcionada en la Norma EN 13791, lo que impide en la práctica la aplicación del método.

Tabla 1 – Velocidades de impulsos ultrasónicos (km/s) observadas en campañas de evaluación de la resistencia de estructuras

Caso Velocidad media

Desviación estándar muestral

Mínimo valor observado

Máximo valor observado

Número de observaciones

Resultados fuera del

rango de la Norma

1 4,46 0,13 4,21 4,73 78 0 2 3,95 0,13 3,68 4,28 32 18 3 3,85 0,10 3,70 4,16 27 24 4 3,83 0,10 3,58 4,03 40 39

Por último, mencionar que otro de los inconvenientes de la Norma EN 13791 es que sólo indica el empleo de un único factor de conversión de 1,18 para transformar la resistencia obtenida sobre testigos en resistencia equivalente sobre probetas normalizadas, sin evaluar por el grado de incidencia que pueden haber tenido las operaciones de colocación, vibrado y curado. 2.3 Guía ACI 214.4R-10 En EE.UU. se emplea la Guía ACI 214.4R-10 [14] para la extracción de testigos e interpretación de los resultados de resistencia a la compresión. Posee una sólida base para el análisis y tratamiento de los resultados, ya que contempla el uso de factores de corrección desde un punto de vista estadístico para convertir los resultados de los testigos a resultados de resistencia de la estructura. También define como estimador el percentil del 10% de la resistencia, pero el método de cálculo está descrito de forma mucho más clara que en la Norma En 13791. Presenta dos aproximaciones, la más sencilla aplica un factor de tolerancia basado en la distribución no central de Student [15 – 17], en la que se puede tener en cuenta o no la incertidumbre introducida por los factores de corrección, y otra más compleja que trata de mejorar los resultados al considerar que la primera aproximación es demasiado conservadora porque la desviación estándar de la muestra de testigos es demasiado elevada. En este trabajo los autores se han limitado a emplear la primera de las expresiones:

(1) en donde es la media de los resultados de resistencia obtenidos sobre testigos, K el factor de tolerancia que depende del número de testigos, y sc la desviación estándar muestral. El principal inconveniente de la Guía ACI 514.4R es que se limita a establecer pautas para campañas de evaluación de estructuras mediante testigos, y no contempla el uso de métodos indirectos como el de determinación de la velocidad de los impulsos ultrasónicos para establecer una correlación entre los resultados de los testigos y el ensayo indirecto. 3. MODELOS LINEALES DE CORRELACIÓN DE RESULTADOS DE TESTIGOS CON LA VELOCIDAD DE IMPULSOS ULTRASÓNICOS 3.1 Forma de la curva de regresión El empleo conjunto de resultados de resistencia a la compresión obtenidos sobre testigos extraídos de la estructura más medidas de la velocidad de impulsos ultrasónicos en el hormigón implica el establecimiento de una curva de correlación entre la variable de respuesta y, que suele ser la resistencia a la compresión, y una variable explicativa, x, que es la velocidad de impulsos ultrasónicos. La técnica más sencilla para obtener estas curvas es la regresión lineal [18 - 22]. Una de las primeras decisiones a tomar es la forma de la curva de regresión. Tradicionalmente y como deducción de la relación física entre la velocidad de impulsos ultrasónicos y la raíz cuadrada de la relación entre módulo elástico y densidad [8], se suele emplear una relación exponencial de la forma:

(2)


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en donde 1 y 2 son los parámetros que relacionan las variables y que pueden estimarse empleando las técnicas de regresión. La no-linealidad de la Ec. (2) es fácilmente subsanable, ya que ésta se puede transformar fácilmente en un modelo lineal de la forma:

(3) con . Esta transformación no aumenta demasiado la dificultad del cálculo, ya que pueden aplicarse fácilmente técnicas de regresión a la Ec. (3) para estimar z a partir de x, y aplicar posteriormente la transformación y obtener la resistencia. Sin embargo, los autores de este trabajo han adoptado una expresión más sencilla de la forma:

(4) Podría pensarse que el adoptar una expresión puramente lineal como la de la Ec. (4), más alejada del concepto físico que relaciona la resistencia con la velocidad de los impulsos ultrasónicos, podría empeorar el grado de correlación de la regresión. Sin embargo, y tal como puede verse en la Tabla 1, el rango de valores de velocidad de impulsos ultrasónicos esperable es más bien reducido. Ello implica que la aproximación mediante una curva logarítmica o una recta no influya mucho en la bondad del ajuste, como puede comprobarse gráficamente por la Fig. 1 y por los coeficientes de determinación obtenidos con uno y otro modelo en los casos reales estudiados (Tabla 2). Es por eso por lo que, por sencillez de cálculo, los autores recomiendan utilizar modelos lineales como el expresado por la Ec. (4)

Figura 1. Curvas de regresión para un modelo lineal

(sólido) y logarítmico (discontinuo)

Tabla 2 – Coeficiente de determinación R2 de los

modelos lineales de correlación para distintos casos, empleando un modelo lineal o un modelo logarítmico

Caso n R2

1 18 0,649 0,699 2 7 0,582 0,544 3 8 0,851 0,847 4 8 0,702 0,680

3.2 Análisis de valores atípicos Ni la Guía ACI 214.4R ni la Norma EN 13791:2007 establecen procedimientos para la detección de valores anómalos, aunque la Guía ACI sí que menciona en una sección los valores típicos de dispersión esperables. No obstante estos valores son sólo aplicables a estimaciones basadas únicamente en testigos, no a los valores producidos por una estimación mediante curvas de regresión. Una herramienta poderosa y rápida para la detección de valores atípicos en la regresión es el análisis de los residuos generados por el modelo [18]. Por ejemplo, en los posibles modelos empleados por los autores [Ec. (3) y (4)], los diagramas de dispersión típicos de los residuos ordinarios ei o ei

2 frente a la variable dependiente yi pueden indicar la presencia de parejas de datos anómalos (xi, yi) que influyen de manera determinante en la regresión.

(5) siendo yi el valor observado, e el valor obtenido en la predicción. Por otra parte, la diferencia de varianzas que presentan los residuos ordinarios puede afectar a la percepción para clasificarlos como atípicos, por lo que una forma rápida es la estandarización de los mismos mediante la siguiente expresión:


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(6) en donde s es el error estándar de la regresión, n el número de pares (xi, yi) empleados para estimar los parámetros del modelo, y p el número de regresores, que en los casos de las Ec. (3) y (4) es igual a 2.

(7) Una aproximación es considerar que estos residuos se distribuyen como una normal unitaria, pudiéndose calificar como potencialmente atípicos aquellas observaciones que verifican que:

(8) La regla anterior no es estricta, y depende en gran medida del técnico que analiza el caso, que puede decidir sobre aquellos valores en el límite y cuya exclusión mejora notablemente la correlación. La Figura 2 muestra los resultados de este análisis sobre uno de los caso reales analizados.

Figura 2. Análisis gráfico de residuos

La Tabla 3 muestra la mejora obtenida en la correlación para dos de los casos reales analizados en los que se detectaron valores atípicos. La mejora es especialmente significativa en el segundo de los casos, en el que la eliminación de uno de los pares provoca una mejora considerable de la regresión. Tabla 3 – Coeficiente de determinación R2 de los modelos lineales de correlación para distintos casos, antes y después

de realizar un análisis de residuos y descartar posibles valores atípicos

Caso n Coeficiente de determinación,

R2, inicial

Número de valores atípicos

depurados

Coeficiente de determinación,

R2, final 1 18 0,649 3 0,752 2 7 0,582 1 0,930

3.3 Nueva propuesta de cálculo de la resistencia característica a partir de la correlación entre resultados de testigos y resultados de ensayos de ultrasonidos Para superar los inconvenientes que presenta la aplicación de la Norma EN 13791:2007, el Comité Europeo CEN/TC-104, que aborda la normalización del hormigón y sus productos derivados, ha creado un grupo de trabajo, el CEN/TC 104/SC-1//TG11, al que pertenecen los autores y que está revisando la Norma. En lo relativo a la evaluación de la resistencia a la compresión de una estructura mediante una correlación entre resultados de resistencia a compresión y resultados de ensayos indirectos, en este caso ultrasonidos, la propuesta es adoptar una fórmula de cálculo basada en la estadística Bayesiana [23, 24], que combine tanto los resultados de la regresión como los obtenidos por la predicción a partir de únicamente medidas de ultrasonidos, de la forma:


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(9) en donde es la media de la predicción sobre los m valores de ultrasonidos obtenida por regresión de los n pares testigo-ultrasonidos, t’0.05 es el valor de la inversa de la t de Student para una probabilidad del 5% y neff – p grados de libertad, siendo neff los grados de libertad equivalente definidos más abajo, st es la desviación estándar combinada de la regresión y la predicción, calculada como:

(10) con s el error estándar de la regresión [Ec. (8)], y la estimación de la varianza muestral calculada a partir de las m predicciones de resistencia obtenidas a partir de los resultados de ultrasonidos. El número de grados de libertad equivalente, neff, se introduce para tener en cuenta el efecto de combinar los datos procedentes de ambos métodos, y se calcula mediante la fórmula de Satterthwaite [25]:

(11)

Para comprobar la bondad del ajuste, los autores han llevado a cabo diversas simulaciones de Montecarlo [26] con 20000 resultados, tras comprobar que el aumento de resultados no modificaba sustancialmente la respuesta. Para realizar la simulación, se asumía una relación lineal entre resistencia, y, y velocidades de impulsos ultrasónicos, x, de la forma de la Ec. (4), a la que se añadía un término aleatorio, , que sigue una distribución normal de la forma N (0, ) que sirve para introducir el efecto de la variablidad del ensayo, y que por tanto transforma la relación determinista de la Ec. (4) en una relación estádistica lineal de la forma:

(12) Tabla 4 – Resultados obtenidos por simulación de Monte Carlo para distintas desviaciones del término aleatorio, para n

= 20 testigos y m = 60 resultados de ultrasonidos

R2 promedio Estimador Diferencia media (MPa) fck,est – fck,real

Probabilidad (%) fck,real < fck,est

1 0,90 Nueva propuesta Ec. (9) -1,18 93,2

EN 13791:2007 -3,35 99,6 ACI 214.4R sólo testigos -0,56 68,7





Las Figuras 3 y 4 muestran las funciones de densidad y de distribución de la diferencia entre los estimadores de la Guía ACI 214.4R (sólo con los resultados de los testigos), la vigente Norma EN 13791:2007, y la posible propuesta de la futura Norma, para casos en los que se disponga de n = 20 resultados de testigos y un total de 60 resultados de ultrasonidos, contando las parejas testigo – ultrasonidos . La resistencia característica real del hormigón asumida en la simulación mostrada era de 25 MPa, con un coeficiente de variación del 10%, y se asumía que las velocidades de ultrasonidos seguían una distribución normal de media 4,5 km/s y desviación estándar de 0,15 km/s. Las Figuras muestran el efecto de aumentar la dispersión en el término aleatorio, , es decir, disminuir la bondad del ajuste.


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Figura 3. Curvas de densidad y distribución para n = 20

testigos, m = 60 resultados de ultrasonidos, = 1

Figura 3. Curvas de densidad y distribución para n = 20

testigos, m = 60 resultados de ultrasonidos, = 5

La Tabla 4 muestra algunos de los resultados numéricos obtenidos en la simulación. Aunque todas las estimaciones dan como resultado valores medios siempre inferiores a la resistencia característica real de la estructura, de la Tabla se deduce cómo la actual Norma 13791:2007 está del lado de la inseguridad. Al aumentar la desviación del término de error, , es decir, al aumentar la variabilidad en la correlación y disminuir por tanto la bondad del ajuste, la probabilidad de que la estimación sea superior al valor real aumenta, lo que no es recomendable. Con la nueva propuesta se corrige ese defecto. 4. CONCLUSIONES A la vista de las hipótesis expuestas y los datos analizados en este trabajo, pueden establecerse las siguientes conclusiones: 1) No existe en la actualidad ningún método ni procedimiento comúnmente aceptado que permita evaluar la

resistencia característica de una estructura de hormigón armado mediante el empleo de una correlación entre resultados de resistencia a la compresión obtenidos sobre testigos extraídos de la estructura y resultados de ensayos de determinación de la velocidad de los impulsos ultrasónicos. La Norma Europea EN 13791:2007 no describe un procedimiento claro de cálculo, además de presentar inconvenientes como no responder bien al aumento en la dispersión de los resultados o no cubrir rangos habituales de velocidades de propagación de los impulsos ultrasónicos. La Guía ACI 214.4R no incluye ningún procedimiento para el cálculo de la correlación, limitándose a exponer procedimientos para la estimación a partir de testigos únicamente.

2) La forma de la curva de correlación entre los resultados de resistencia a la compresión y la velocidad de los impulsos ultrasónicos en el hormigón no afecta en demasía a la correlación, por lo que se recomienda por sencillez adoptar un modelo puramente lineal.

3) Es recomendable el analizar la posible aparición de valores atípicos con objeto de depurarlos y obtener así mejores coeficientes de correlación. El análisis de los residuos estándar es una buena opción.


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4) La actual Norma europea EN 13791:2007 describe un procedimiento de cálculo de la estimación de la resistencia característica en una estructura mediante la correlación entre testigos y métodos indirectos que está del lado de la inseguridad, ya que al disminuir la bondad de la correlación, aumenta la probabilidad de sobre-estimar la resistencia característica. El empleo de estimadores basados en estadística Bayesiana puede solucionar ese problema.

5. REFERENCIAS [1] Martínez, R., Evaluación de la resistencia a compresión in-situ en estructuras, Curso S5E Sostenibilidad,

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[3] ASTM C42 / C42M-13, Standard Test Method for Obtaining and Testing Drilled Cores and Sawed Beams of Concrete, ASTM International, West Conshohocken, PA, 2013, www.astm.org.

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[7] EN 12504-4, Ensayos de hormigón en estructuras. Parte 4: Determinación de la velocidad de los impulsos ultrasónicos. Comité Técnico CEN/TC 104 Hormigón y productos relacionados. Comité Europeo de Normalización (CEN). Agosto 2004.

[8] ASTM C597-09, Standard Test Method for Pulse Velocity Through Concrete, ASTM International, West Conshohocken, PA, 2009, www.astm.org

[9] Komlos, K., et al., “Ultrasonic pulse velocity test of concrete properties as specified in various standards”, Cement and Concrete Composites, 1996, nº 18, pp. 357 – 364

[10] Concrete Society Technical Report No. 11, Concrete core testing for strength, 1976 (Addendum 1987), Concrete Society.

[11] South African Roads Board Research and Development Advisory Committee, “Strength parameters for concrete cores. Research carried out by the Portland Cement Institute”, Project Reports PR 89, Vol 1, 1990 y Project Reports PR 101, Vol 2, 1992.

[12] Watkins, R.A.A, et al., “A comparison between cube strength and in-situ concrete strength development”, Proceedings of the Instn. of Viv. Eng. Structs. and Bldgs., Mayo 1996, 116, pp. 138 – 153.

[13] EN 13791, Evaluación de la resistencia a compresión in-situ en estructuras y elementos prefabricados de hormigón, Comité Técnico CEN/TC 104 Hormigón y productos relacionados. Comité Europeo de Normalización (CEN). Enero 2007.

[14] ACI 214.4R-10, Guide for Obtaining Cores and Interpreting Compressive Strength Results, American Concrete Institute (ACI), ACI Committee 214, 2010.

[15] Natrella, M., “Experimental Statistics,” Handbook No. 9, National Bureau of Standards, United States Government Printing Office, 1963, Washington.

[16] Philleo, R. E., “Increasing the Usefulness of ACI 214: Use of Standard Deviation and a Technique for Small Sample Sizes,” Concrete International, Vol. 3, No. 9, Sept. 1981, pp. 71-74.

[17] Madsen, H. O., et al., Methods of Structural Safety, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1986, 403 pp. [18] Monografía ACHE M-19, Modelos Lineales Aplicados al Hormigón Estructural, Grupo de Trabajo 2/4,

Asociación Científico-Técnica del Hormigón Estructural (ACHE), 2012, 974 pp. [19] Kutner, M.H. et al.., Applied Linear Statistical Models, McGraw-Hill, 2005. [20] Montgomerym D.C. et al., Introduction to Linear Regression Analysis, Wiley, 2006. [21] Ryan, T.P., Modern Regression Methods, Wiley-Interscience, 2009. [22] Stapleton, J.H., Linear Statistical Models, John Wiley & Sons Inc., 2009. [23] Jaynes, E. T., Probability Theory: The Logic of Science, Cambridge University Press, 2003 [24] Lindley, D., Introduction to Probability and Statistics from a Bayesian Viewpoint, Cambridge 1965 [25] Satterthwaite, F. E., “An Approximate Distribution of Estimates of Variance Components”, Biometrics Bulletin,

Vol. 2, No. 6, 1946, pp. 110-114. [26] López Agüí, J.C., Guía básica para la simulación de Monte Carlo, AENOR Ediciones, 2008.

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