Modelos Estocasticos

en Econometrıa Financiera,

Gestion de Riesgos y Actuarıa

MODELOS ESTOCASTICOSen Econometrıa Financiera,

Gestion de Riesgos y Actuarıa

MINICURSO PARA EL VIII COLOQUIO INTERNACIONAL DE

ESTADISTICAJunio 29 ­ Julio 1 de 2011Universidad Nacional de Colombia ­ ITMMedellın

NORMAN GIRALDO GOMEZProfesor AsociadoEscuela de EstadısticaUniversidad Nacional de ColombiaMedellın

Universidad Nacional de ColombiaMedellín

Copyright c©2011 Norman Diego Giraldo Gómez.

Primera Edición

No está permitido reproducir esta publicación o transmitirla por cualquier forma o medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, escaneo

ó de otro tipo excepto para citas cortas, sin el permiso del Autor.

Centro de Documentación Rafael Botero, UN Medellín

Los Modelos Estocasticos / Norman Diego Giraldo Gomez.

p. cm.—(Coleccion Notas de Clase)

“Universidad Nacional de Colombia."

Incluye referencias bibliograficas e ındice.

1. Probabilidades—Teorıa. 2. Matematicas

Ciencias—Investigacion—Teorıa. I. Giraldo, Norman D. II. Series.

519.2

G897c

Diagramación en LaTeX.

Indice general

1. Introduccion al Curso 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Las Polıticas Economicas Recientes y Los Mercados de Capitales . . . . 1

1.3. El Problema de Financiamiento de Pensiones en los Sistemas de Ahorro

Individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. El Riesgo de Mercado en los Portafolios Pensionales . . . . . . . . . . . 3

1.5. La Influencia de los Metodos Actuariales Clasicos en la Gestion de Riesgos 4

2. Modelos Actuariales de Seguros de Bienes 7

2.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Seguros de Bienes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. El Modelo de Riesgo Colectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1. Distribuciones Compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2. Modelamiento de las variables N y Xj . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Metodos de Aproximacion de Distribuciones Compuestas . . . . . . . . . 15

2.5. Principios de Calculo de Primas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

v

vi

2.6. Reaseguros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.1. Calculo de la Retencion: Control Estocastico Optimo . . . . . . . 26

3. Modelos de Riesgo de Mercado 29

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. El Modelo de Media­Varianza de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1. Rendimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2. Portafolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3. Determinacion del Portafolio Optimo . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.4. El Modelo CAPM y La propiedad de Diversificacion . . . . . . . 35

3.3. Medidas de Riesgos de Portafolios: el VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1. Metodos para el Calculo del VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.2. Medidas Coherentes de Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.3. El Capital en Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. El Modelo de Marcha Aleatoria 43

4.1. El Modelo de Marcha Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Caracterısticas Empıricas de los Rendimientos de Activos Financieros . . 44

4.3. Modelos para la Distribucion de los Rendimientos . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.1. Marcha Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.2. Marcha Aleatoria LogNormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.3. Modelos GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4. Procesos EGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5. Analisis Estadıstico de Procesos GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5.1. Distribucion Normal Inversa Gaussiana NIG . . . . . . . . . . . 57

4.5.2. Distribucion GED Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5.3. Distribucion t de Student Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6. Calculo del VaR con Modelos GARCH, y Copula­GARCH . . . . . . . . 61

vii

5. Modelos Actuariales para Riesgo Operativo 63

5.1. Introduccion al Riesgo Operativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2. SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Operativo . . . . . . . . . . 65

5.3. El Calculo de las Provisiones en SARO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.1. El enfoque No Avanzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.2. El Enfoque Avanzado: Modelos Actuariales . . . . . . . . . . . 68

5.4. Metodo LDA (Loss Distribution Analysis) . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4.1. La Estimacion de las Distribuciones de Frecuencia y Severidad

de Perdidas Operativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.5. Metodo EVT­POT (Extreme Value Theory ­ Peaks Over Threshold) . . . 75

5.5.1. La Teorıa de Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.5.2. Procedimiento de Calculo del percentil q de X . . . . . . . . . . 77

5.5.3. Calculo del VaR por el Metodo POT . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5.4. Estadısticos para Analisis de Datos Extremos . . . . . . . . . . . 80

5.6. Ejemplo de Procedimiento en R para aplicar LDA y POT . . . . . . . . . 83

5.6.1. Analisis POT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.6.2. Analisis LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6. Modelos Actuariales para Riesgo de Credito 89

6.1. Introduccion: El Modelo de Riesgo Individual . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2. El Modelo SARC con Base en el Modelo de Riesgo Individual . . . . . . 91

6.3. El Modelo Credit Risk+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Bibliografıa 112

Indice alfabetico 112

viii

Indice de figuras

2.1. Trayectoria de R(t) para 50 semanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1. Fronteras optimas para el primer trimestre 2009 . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1. Distribucion de Perdidas Totales Teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2. Prueba Grafica: comparacion en la cola derecha, en Moscadelli (2004),

pag.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3. VMR de Seis Servicios Medicos en la Caja de Prevision ­ Medellın ­ 1991 81

6.1. Tasas de Recuperacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2. Resultados de Simulacion del Modelo CreditRisk+ . . . . . . . . . . . . 105

ix

x

Indice de cuadros

2.1. Comparacion de las Propiedades de las Primas . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.1. Lıneas Comerciales de un Banco y ponderaciones . . . . . . . . . . . . . 68

5.2. Lıneas Comerciales y Tipos de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3. Totales de seis servicios Ano 1991 CPS­Medellın . . . . . . . . . . . . . 82

5.4. Percentiles Costos de Odontologıa en 1991 CPS­Medellın . . . . . . . . 82

6.1. Categorıas de Mora e Intervalos de Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 92

xi

xii

CAPITULO 1

Introduccion al Curso

1.1. Introduccion

En este minicurso se examina, a un nivel elemental y necesariamente limitado, por lo

extenso y altamente tecnico de los temas involucrados, las relaciones entre los modelos

estocasticos que han surgido en las areas de econometrıa financiera, la medicion y prevision

de riesgos financieros y la matematica de los seguros o actuarıa. En especial como un

modelo probabilıstico abstracto, la suma aleatoria de variables aleatorias, ha sido aplicado

en areas relacionadas tales como la actuarıa de seguros generales, el reaseguro, la gestion de

riesgos, operativo y credito, y la econometrıa financiera, generando una fuerte interaccion

entre estas campos

1.2. Las Polıticas Economicas Recientes y Los Mercados

de Capitales

Un hecho para mencionar como motivacion del curso es que desde la decada de 1990

para aca, la regulacion economica ha privilegiado el mercado de capitales frente al credito

1

2

bancario, lo cual ha generado cambios radicales que explicarıan el surgimiento de esta

nuevas area de trabajo de la Gestion de Riesgos, acompanada con otras innovaciones

como la introduccion de Derivados Financieros. En especial, esa regulacion ha afectado

el financiamiento pensional en algunas economıas.

Antes de estos cambios, muchos paıses europeos y latinoamericanos tenıan sistemas

pensionales denominados de reparto simple. El sistema de pensiones del ISS, denominado

de prima media con prestacion definida es un sistema de reparto simple. Que dependıan

para su funcionamiento de un flujo de capital constante, producto de los aportes de los

trabajadores afiliados al sistema.

Este capital permitıa conformar provisiones o reservas individuales, una vez el trabajador

adquirıa el estatus de pensionado. Tales reservas se invertıan en papeles de renta fija

utilizando una tecnica denominada inmunizacion. La idea de la inmunizacion es conformar

un portafolio de papeles de renta fija que paguen intereses a la misma tasa de las pensiones

y en las mismas fechas. De esta forma, las pensiones estaban es un esquema seguro.

Pero esto cambio radicalmente en la decada de los 90 del siglo XX. Toda la teorıa

actuarial desarrollada para los regımenes pensionales de prima media con prestacion

definida quedaron obsoletas.El trabajo del matematico y actuario de pensiones aleman,

Peter Thullen, Thullen (1974), muestra el estado de desarrollo de esta teorıa.

En su reemplazo surgio (o esta surgiendo) una serie de metodos y de modelos, asociados al

problema del financiamiento de pensiones mediante inversiones en el mercado de capitales.

Esta es la primera hipotesis de este curso.

1.3. El Problema de Financiamiento de Pensiones en los

Sistemas de Ahorro Individual

Hipotesis 1.El surgimiento de metodos y modelos, asociados con el nombre de Econometrıa

Financiera, se ha debido en gran parte a la necesidad de adaptar el financiamiento pen­

sional al mercado de capitales. En una busqueda de metodos para entender, modelar y

controlar el flujo de capital de algunos productos financieros con el fin de generar un flujo

capaz de sostener el pago de mesadas pensionales.

Los metodos para conformar portafolios optimos incluyen modificaciones al modelo inicial

de Markowitz, pero ahora se busca disminuır las perdidas por movimientos adversos del

3

mercado, por ejemplo, mediante las metodologıas de optimizacion de medidas de riesgo

como CVaR. Tambien las metodologıas de seguro de portafolios, que buscan igualmente

garantizar una tasa mınima de rendimiento.

Pero el desarrollo de las metodologıas asociadas a la Gestion de Riesgos se pueden asociar

tambien al problema de la busqueda de un mayor control del riesgo a partir de su medicion.

El objetivo de la medicion es determinar el grado de exposicion en un portafolio que puede

ser, sin embargo, optimo.

Las metodologıas con base en derivados incluyen la utilizacion de opciones de venta

sobre ındices bursatiles, asociadas a estrategias de manejo de portafolios consistentes en

replicacion de ındices sobre los que se transan tales opciones.

1.4. El Riesgo de Mercado en los Portafolios Pensionales

Suponga un pensionado de edad (x). En su cuenta del fondo pensional su saldo es de

$C , que, traducido a un numero de unidades es K unidades. Suponga que (x) retira

anualmente 0.04K. Espera que el rendimiento de los saldos consecutivos, invertidos en

el fondo, compensen los retiros y permita que duren hasta el final de su vida. Pero el

portafolio se puede ver afectado negativamente por el mercado y el valor de la unidad

puede disminuır. En este caso, (x) necesitara retirar 0.06K, para cubrir sus gastos. Su

saldo en unidades ha disminuıdo a menos que ocurra un aumento en el valor de la unidad.

Como puede evitarse esto?.

Parte de los modelos y las metodologıas de la Econometrıa Financiera estan orientados a

buscar estabilizar los rendimientos de los fondos pensionales para poder realizar calculos

similares a los que se tenıan en la epoca de los sistemas de reparto simple.

Estos desarrollos pueden verse en varios frentes.

1. A partir del modelo de media­varianza de Markowitz se trata de disenar criterios de

optimizacion que minimicen el riesgo de perdidas, en lugar de minimizar volatilidad.

2. Introduccion de metodos robustos en la estimacion de covarianzas que permita una

mayor estabilidad de las soluciones optimas en el tiempo.

3. Incidentalmente, estos objetivos han impulsado el uso de metodos de optimizacion

basados en algoritmos geneticos y evolutivos.

4

4. Introduccion de Seguros de Portafolios, que incluyen el diseno de portafolios con

una tasa preferencial, y portafolios con garantıas de rendimientos mınimos, a un

costo adicional.

5. El diseno de mejores indicadores de riesgo, con variaciones del VaR

1.5. La Influencia de los Metodos Actuariales Clasicos en

la Gestion de Riesgos

Hipotesis 2. Varios de los modelos y metodos utilizados en Gestion de Riesgos de

Mercado, de Credito y Operativo, provienen del area de la Actuarıa de Seguros Generales

o Teorıa de Riesgo

Como se define Gestion de Riesgos?

Algun autor senalaba que no es posible “gestionar” el riesgo, en el sentido de controlarlo

o eliminarlo. En este punto parece ser particularmente difıcil tomar una decision a juzgar

por desarrollos como el “credit scoring” para definir el perfil de un deudor para determinar

si entrara en default. O determinar el perfil del afiliado que generara mayores costos en

una EPS. Algo que la industria aseguradora esta discutiendo, sobre todo, a partir de los

resultados sobre el genoma humano.

Durante mas de un siglo, la Industria Aseguradora ha mostrado cual es el significado de la

gestion o administracion del riesgo. Partiendo de una nocion basica de “riesgo asegurable”,

es decir, delimitado en cuanto al costo, gestionar significa dos cosas.

1. Evaluar el Riesgo mediante un Modelo realista y matematicamente riguroso.

2. Cubrir el Riesgo mediante un sistema de dispersion del valor, que produzca una

Reserva o Provision adecuada, que garantize la supervivencia financiera del sistema

expuesto al Riesgo.

Esto explicarıa la influencia de los metodos actuariales en la gestion de riesgo actual. Por

ejemplo, en el libro de McNeil, Frey, and Embrechts (2005) en el capıtulo 10, “Operational

Risk and Insurance Analytics”, seccion 10.2.1 “The Case for Actuarial Methodology”, los

5

autores explican por que los metodos actuariales han tenido aplicacion en la Gestion de

Riesgo Operativo.

En el curso se muestra que esto tambien es valido en el Riesgo de Credito de Prestamos

Bancarios. En el Riesgo de Mercado la aplicacion esta centrada en las metodologıas para

calculo del VaR, que incluyen el uso de Copulas para incorporar dependencia entre los

riesgos.

Pero estas metodologıas parecen calcadas de los correspondientes metodos de calculo de

primas en seguros de bienes. Como senalan McNeil, Frey, and Embrechts (2005, pag.

472) “...varios de los conceptos y tecnicas de la Gestion Cuantitativa de Riesgos descrita

en los capıtulos anteriores estan, de hecho, tomados de la literatura actuarial”. Entre los

conceptos, metodos y tecnicas se pueden mencionar las siguientes (las partes en comillas

son citas de ese texto ).

1. Las medidas de riesgo financiero y su axiomatizacion han tenido un desarrollo

paralelo al de las primas en los seguros generales, “frecuentemente, con objetivos y

resultados muy similares”. Este punto es relevante. Por ejemplo, uno de los metodos

para calcular primas en seguros generales y en reaseguros, el principio del maximo

o del percentil, es equivalente al VaR, el Valor en Riesgo.

2. De manera similar, el precio de una opcion de compra o de venta europea (call

option, put option) es muy similar a la prima de un seguro de vida por ejemplo, de

un dotal puro.

3. Muchas de las herramientas para modelamiento de la dependencia, como las copu­

las, tuvieron su primera aplicacion en el area de los seguros. Adicionalmente, “no­

ciones como la comonotonicidad de factores de riesgo tiene su origin en cuestiones

actuariales”.

4. El modelamiento de datos extremos, aunque con contribuciones importantes desde la

hidrologıa, ha sido tambien un area de desarrollo actuarial. En el contexto de ciertos

ramos, como incendio, inundaciones, terremoto, la ocurrencia de siniestros de baja

frecuencia y alto costo ha sido siempre el problema a enfrentar con desarrollos tales

como las distintas formas de reaseguros.

5. “En area de Gestion de Riesgo de Credito de Tıtulos Valores como Bonos, CDT,

etc, el modelo CreditRisk+ es un modelo actuarial”.

6

Un tema que se desarrolla en el curso son los metodos para calcular reservas o provisiones.

El concepto de Valor en Riesgo en el area de Gestion de Riesgo corresponde, o proviene,

del concepto de prima de riesgo, o prima de retencion en el area de Teorıa de Riesgo.

Las propiedades de las medidas de riesgo, por ejemplo, la sub­aditividad, se corresponden

con las propiedades de las primas de los seguros. Y los distintos tipos de primas corre­

sponden a su vez con los distintos metodos para calcular provisiones. Es decir, variantes

del VaR. Por ejemplo, la inclusion de la asimetrıa y la curtosis en las formulas de ... son

similares a las formulas NP.

La actuarıa de seguros generales es un paradigma, un modelo matematico completo, en

el cual se pueden ver las tecnicas y las ideas para medir, controlar y diseminar el riesgo.

La metodologıa del reaseguro, co­aseguro, retro­cesiones, etc. son ideas que pueden

explotarse al tratar en la gestion de riesgo.

Una presentacion de la actuarıa de seguros generales, de los metodos y problemas ac­

tuales, con mencion de algunos problemas de estimacion estadıstica esta en Embrechts

and Kluppelberg (1993). Estos autores afirman que actualmente estamos asistiendo al

surgimiento de una nueva rama de la ciencia que ellos denominan “Insurance Mathemat­

ics”, la cual es el resultado de la amalgama de teorıas de diversos campos, entre los cuales

incluyen:

Teorıa de Riesgo

Matematicas del Seguro de Vida

Tarifacion de Primas

Teorıa de Credibilidad

Fondos de Pensiones

Criterios de Solvencia

Demografıa

Reservas

Teorıa matematica de Finanzas y Seguros

Reaseguros

Teorıa de Supervivencia

CAPITULO 2

Modelos Actuariales de Seguros Bienes

2.1. Introduccion.

Los objetivos generales en la elaboracion de un modelo de seguros son dos:

1. Establecer un balance entre los costos por indemnizacion mas los costos administra­

tivos, por una parte, y la prima recaudada mas los rendimientos de las reservas, por

el otro. Este objetivo se desarrolla con argumentos probabilısticos porque la prima

se define mediante una condicion de minimizacion de la probabilidad de ruina. Una

formula clave es la expresion o principio de calculo de la prima. En los modelos de

gestion de riesgo el enfasis es en la prima que en muchos casos es la unica reserva

generada.

2. Repartir esta prima entre las distintas polizas que conforman un contrato. Este

problema se denomina el problema de la tarifacion.

7

8

2.2. Seguros de Bienes

El Ramo de los Seguros de Bienes (Non­Life Insurance), o Seguros Generales, comprende

varios tipos de Seguros que tienen como objetivo proteger el patrimonio contra la perdida

de un bien materia sobre el cual exista un “interes asegurable”. Es decir, que su poseedor

sufra una perdida financiera si el bien se destruye o deteriora.

1. Incendio, Anegacion, Terremoto.

a) Un banco podrıa perjudicarse si un bien dado como garantıa en una hipoteca,

se incendia y se deteriora, porque esa propiedad es una garantıa para la deuda.

b) Los datos de pagos de siniestros en el ramo de incendio por parte de las

Aseguradoras son ejemplos de datos de distribuciones de colas pesadas.

c) Son un ejemplo de un principio fundamental del seguro: el interes asegurable

debe tener un maximo. Cuando los danos tienes distribuciones de cola pesada

determinar ese maximo es un problema de estimacion de un percentil. Y

da lugar a la figura del reaseguro.

2. Transportes de Mercancıa: robo, deterioro.

3. Vehıculos: robo, responsabilidad civil extracontractual (RCE) , perdida parcial.

a) En vehıculos por ejemplo, motos, se presenta un problema de alta frecuencia y

posible cola pesada. La RCE puede generar siniestros muy costosos, como la

indemnizacion por muerte. Calcular reservas para este tipo de polizas puede ser

difıcil o imposible porque los riesgos de alta frecuencia no cumplen con otro

principio de los seguros: la diseminacion del riesgo entre muchos asegurados.

4. Lucro Cesante. Una propiedad con un cultivo de flores se anega por causa de una

inundacion. Un amparo puede ser la cobertura de los danos como tales, pero tambien

el pago de salarios mientras se recupera la actividad productiva.

2.3. El Modelo de Riesgo Colectivo

El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base en el cual se desar­

rollo la industria de los Seguros de Bienes. Con base en este modelo se desarrollan los

conceptos basicos del seguro como tal.

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1. Prima

2. Tarifacion

3. Deducibles

4. Sistemas de Bonificacion

5. Reservas

6. Probabilidad de Insolvencia o Ruina

7. Reaseguros

El Modelo de Riesgo Colectivo se basa en un tipo de variable aleatoria: la suma aleatoria

de variables aleatorias

S =N∑

j=1

Xj = X1 + . . .+XN , (2.1)

donde N ∈ 0, 1, . . . es una variable discreta, con fdp pn = P(N = n), y (Xj , j ∈ N)

es una sucesion de variables aleatorias iid, independientes de N . En las aplicaciones en

Seguros, las Xj se tomas no negativas.

En general, cuando se asume que Xj ∈ R la variable S se denota a veces SN , y se define

como una “marcha aleatoria detenida” (stopped random walk).

Segun Jewell (1980), el modelo (2.1) es un Paradigma Cientıfico, en el mismo sentido de,

por ejemplo, la ecuacion de calor o la ecuacion de la cuerda vibrante. Es un modelo que

se aplica en varias disciplinas. Por ejemplo, en Straub (1988), se menciona que (2.1) es

un modelo que se aplica en

i) Modelos para Represas Hidroelectricas.

ii) Teorıa de Colas.

iii) Confiabilidad.

iv) Teorıa de Inventarios Probabilıstica.

v) Modelos de Seguros Generales.

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vi) En el area de las finanzas un ejemplo es el modelo de difusion con saltos (jump­

difussion), que permite incorporar “picos” aislados de magnitud aleatoria (positiva

o negativa) en el modelo de rendimientos. Uno de los “hechos estilizados” observados

en algunas series de precios. En particular, los rendimientos de fondos de fiducia

muestran picos por efecto de valoracion de bonos. Otro ejemplo importante consiste

en los precios de la electricidad, mas que todo en paıses con estaciones y que no

dependen tanto de la generacion hıdrica.

vii) Otro ejemplo en finanzas consiste en las opciones catastrofes. Es un mercado creado

por aseguradoras para enfrentar los siniestros generados por huracanes sobre todo en

el sur de los EUA.

Definicion del modelo de Riesgo Colectivo

El Modelo de Riesgo Colectivo consiste de los siguientes elementos.

i) Un proceso Poisson Homogeneo con tasa λ dado por (N(t), t ≥ 0). Representa el

numero de reclamos ocurridos en el intervalo (0, t]. Para el caso t = 1, N(1) es el

numero de casos de una vigencia anual.

ii) Una sucesion de aleatorias independientes e identicamente distribuıdas (Xj , j =

1, 2, . . .), no negativasXj ≥ 0, independientes deN(t), con fda F (x) = P (Xj ≤ x).

La sucesion de variables Xj son los pagos por reclamos de cada poliza. Por ejemplo,

los costos generados por atencion a usuarios en una especialidad medica en una EPS.

Por eso se asume independientes.

iii) Los pagos acumulados del los siniestros hasta t: S(t) =∑N(t)

j=1 Xj . Es una suma

aleatoria de variables aleatorias. En el caso t = 1 son los costos totales anuales. Por

ejemplo, los costos de odontologıa en 2010 de un EPS. O los pagos por RCE en una

Cıa de Seguros en el Seguro de Vehıculos.

iv) El Modelo de Riesgo Colectivo se define como el proceso

R(t) = R0 + Πt− S(t), t ≥ 0 (2.2)

donde R(0) = R0 > 0,Π > 0 son constantes dadas, Π es la prima total para la

vigencia de 1 ano y R0 es la reserva inicial. La interpretacion de (??) es:

Superavit = Reservas + Ingresos ­ Gastos.

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v) En el Modelo (2.2) se asume que R0 esta invertida en, por ejemplo, un fondo de

fiducia, totalmente lıquido, excento de riesgo. Ademas, la prima tambien se coloca

en este fondo. Como es un modelo dinamico, los costos Xj tambien se ajustan por

inflacion. Igualmente, el proceso N(t) se puede modificar a un proceso Poisson no­

homogeneo, con tasa λ(t) variable, por ejemplo, en seguros de vehıculos, adaptada a

los perıodos de lluvias y perıodos secos.

vi) La prima Π es el total recaudado por concepto de primas en 1 ano. Un prima Π muy

baja aumenta la probabilidad de insolvencia o superavit negativo: R(t) < 0, porque

atrae los riesgos altos y no permite una reserva adecuada. Una prima muy alta saca a la

Aseguradora del mercado. Definir formulas adecuadas para la prima es fundamental.

Definiciones y Propiedades Adicionales

Algunas definiciones y propiedades adicionales del Modelo de Riesgo Colectivo se re­

quieren para los temas que siguen.

a) La funcion generadora de momentos (fgm) de S ∼ PC(λ, F ) esta dada por

MS(t) := E(etS) = eλ(MX(t)−1). (2.3)

donde MX(t) es la fgm de las variables Xj .

b) El Coeficiente de Ajuste. Se asume que la ecuacion en z siguiente

λ + Πz = λMX(z), (2.4)

tiene una solucion unica, positiva, z > 0, que se denomina “coeficiente de ajuste”. .

Requiere que la distribucion de lasXj no tenga cola derecha mas pesada que la de una

distribucion exponencial, o sea, las Xj son siniestros de baja severidad. La condicion

se expresa como ∃δ > 0,MX(t) <∞ para t < δ, y MX(t) → ∞ cuando t→ δ−.

c) Ruina o Insolvencia (en un horizonte infinito). Se define como el evento de un superavit

negativo en algun momento. Es decir, es el eventoRuina := (R(t) < 0, para algun t ≥0), para R(t) el superavit en (2.2).

d) Probabilidad de ruina (como funcion de la reserva inicial): ψ(R0) := P (Ruina).

12

Figura 2.1: Trayectoria de R(t) para 50 semanas

e) Cota Cramer­Lundberg: con las condiciones anteriores sobre las Xj se cumple (ver

Cai (2004))

ψ(R0) ≤ e−zR0 . (2.5)

Por supuesto, a mayor reserva inicial, menor la probabilidad de insolvencia. Pero,

que sucede en el caso que el que los siniestros sean de alta severidad?. Como en el caso

de Riesgo Operativo?.

Ejemplo de un Evento de Ruina

La grafica (2.1) muestra una trayectoria del proceso R(t) = R0 + Πt − S(t),

S(t) =∑N(t)

j=1 Xj , con Xj ∼ Exp(5), N(t) ∼ Poisson(t), con λ = 1, con

R0 = 30, Π = 6, para t ∈ [0, 50].

Es este caso la probabilidad de ruina es ψ(30) = 0.306.

13

2.3.1. Distribuciones Compuestas

En las secciones siguientes se usa la notacion N(1) = N , S(1) = S. Y se usa X para

indicar una de las variables Xj. Ademas, se utiliza la notacion

γ1 = E((X − E(X))3)/V ar(X)3/2

γ2 = E((X − E(X))4)/V ar(X)2

para los coeficientes de asimetrıa y de curtosis, respectivamente, de X.

Definicion 2.3.1. (Distribucion Compuesta) La funcion de distribucion acumulada de

la variable S se llama una distribucion compuesta y se tiene, utilizando el teorema de

probabilidad total, la siguiente expresion:

FS(x) = P(S ≤ x)

=∞∑

n=0

P(N = n)P(S ≤ x|N = n)

=∞∑

n=0

pnP(X1 +X2 + ...+Xn ≤ x|N = n)

=

∞∑

n=0

pnF∗n(x)

donde pn = P(N = n) y F ∗n(x) = P (X1 +X2 + ...+Xn ≤ x) es la n­esima convolucion

de F .

Por lo tanto, la distribucion compuesta puede ser expresada como una mezcla infinita de

distribuciones, o tambien, una serie de funciones. Este resultado es la principal motivacion

para introducir las aproximaciones a la distribucion compuesta FS(x), dadas en la seccion

siguiente.

Definicion 2.3.2. (Distribucion Compuesta Poisson) Si N ∼ Poisson(λ) entonces la

distribucion acumulada de S =∑N

j=1 Xj se denomina Poisson Compuesta. En este caso

pn = e−λλn

n!y

FS(x) =∞∑

n=0

e−λλn

n!F ∗n(x). (2.6)

14

Este caso se indica por S ∼ PC(λ, F ). Y se tienen las siguientes expresiones para los

primeros cuatro momentos de S, que son importantes en las formulas para las primas y

los metodos de aproximacion.

E(S) = λE(X), (2.7a)

V ar(S) = λE(X2), (2.7b)

E((S − E(S))3) = λE(X3), (2.7c)

γ1,s = E(X3)/√λE(X2)3, (2.7d)

γ2,s = E(X4)/(λE(X2)2). (2.7e)

Notese que

E(R(t)) = R0 + Πt− E(S(t)) = R0 + Πt− λE(X)t

= R0 + (Π − λE(X))t.

Se debe calcular la prima Π tal que Π > λE(X), es decir el ingreso por concepto de primas

debe ser superior al costo promedio anual. De otra forma, se genera una alta probabilidad

de insolvencia en una vigencia anual. Pero se debe decidir que valor debe tomar Π para

que no resulte demasiado cara la cobertura.

2.3.2. Modelamiento de las variables N y Xj

i) El modelamiento de los costos individualesXj. Los modelos mas utilizados, LogNor­

mal, Gamma, Inversa Gaussiana, Pareto, Gumbel, se exponen en el Capıtulo 5, 71.

Una referencia muy completa sobre los modelos utilizados, con referencias historicas,

se puede encontrar en los capıtulos 3 y 4 de Seal(1969). Otra referencia muy completa

y actualizada es el texto de Hoog y Klugman(1990). Ver detalles y referencias en el

trabajo de Embrechts and Kluppelberg (1993).

ii) El modelamiento del proceso puntualN(t). El principal problema del proceso Poisson

homogeneo es ese, el ser homogeneo, es decir, la intensidad de reclamos permanece

constante en el perıodo considerado, por ejemplo, un ano. Pero una cartera con

varias polizas tiene nuevas entradas y salidas constantemente. Por esta razon se ha

introducido una generalizacion del proceso de riesgo con base en un proceso puntual

mas general, el llamado Proceso de Cox, en el cual la intensidad es tambien una

variable aleatoria. Para una vision de conjunto y referencias ver Embrechts and

Kluppelberg (1993).

15

Modelos Lineales Generalizados

En esta seccion se presenta una idea acerca de la posibilidad de modelar la variable de

costos totales anuales : S =∑N

n=1 Yn un modelo lineal generalizado. Para la definicion

y propiedades de estos modelos ver por ejemplo, Dobson (1990). Un modelo ası puede

incorporar el efecto de covariables en el costo total y ası, incorporarlo a la prima. Es decir,

se puede tarifar la cartera. Si se denota por X = (X1, . . . , Xk)′

el vector de covariables,

y se asume, por ejemplo, una distribucion de base tipo Gamma(α, λ) , con media αλ

con

varianza αλ2 , entonces un posible modelo lineal generalizado para S consiste en asumir

que S|N, X ∼ Gamma(N, (β0 + X′

β)−1), donde el vector β = (β0, β1, . . . , βk)′

es el

vector de coeficientes.

Ası se tendra que: E(S|N,X) = N(β0 + X′

β), pero, ademas, la prima con base en el

principio exponencial (ver la seccion 3.2 anterior), se podrıa expresar como una funcion

de N y las covariables X ′s, mediante la funcion generadora de momentos de la variable

S condicionada con N y las X ′s, ası:

c(N,X) =1

RlnMS|N,X(R) =

N

Rln

(1

1 − R(β0 +X′

β)

)

donde R en la expresion anterior, es el coeficiente de ajuste, ya mencionado en la seccion

3.2; es claro que R debe escogerse de tal forma que la expresion anterior tenga sentido.

Una idea similar pero mucho mas elaborada, basada en familias exponenciales con dis­

persion, la desarrollaron Jørgersen y Paez de Souza(1992), con relacion a un modelo para

tarifacion de seguro de automoviles en Brasil.

2.4. Metodos de Aproximacion de Distribuciones Com­

puestas

Esta seccion tiene partes de la Tesis de Maestrıa de Velasquez (2008, sec. 1.1).

La expresion para la distribucion de S, FS(x) =∑∞

n=0 pnF∗n(x) impide los calculos

de probabilidades, de cuantiles, etc.. Por eso se han desarrollado varios metodos para

aproximar el valor de FS(x).

Algunos de estos metodos se han aplicado en el calculo del VaR en Portafolios, y en el

calculo de las provisiones en Riesgo Operativo y en Riesgo de Credito.

16

Algunas de las aproximaciones que se definen a continuacion se encuentran implementadas

en la librerıa actuar, Dutang, Goulet, and Pigeon (2008), del lenguaje R.

En lo que sigue se denota E(S) = µs, V ar(S) = σ2s . Ademas, la asimetrıa de S se indica

por γ1,s y la curtosis por γ2,s.

1) Aproximacion Normal Es el metodo de aproximacion mas simple, con base en una

version del Teorema del Lımite Central para Distribuciones Compuestas, dado en

Kaas, Goovaerts, Dhaene, and Denuit (2008, Th. 3.7.1, pag. 58). Si λ toma valores

grandes entonces

P

(S − µs

σs≤ z

)≈ Φ

(z − µs

σs

). (2.8)

La aproximacion es buena, siempre y cuando la distribucion de las severidades Xj

no sea muy asimetrica o de colas muy pesadas.

2) Aproximacion Normal Power (NP) El metodo NP es una correccion de la aproxi­

macion Normal, para incluır el efecto de la asimetrıa positiva que pueda presentar

la variable S =∑N

j=1 Xj al ser una suma de variables positivas, posiblemente con

asimetrıa positiva alta. Ver Kaas, Goovaerts, Dhaene, and Denuit (2008, pags.33­36).

Si Z ∼ N(0, 1) indica una variable Normal Estandar, se propone la aproximacion

siguiente.S − µS

σS≈ Z +

γ1,s

6(Z2 − 1). (2.9)

Entonces usando la aproximacion (2.9)

P(S ≤ s) = P

(S − µS

σS≤ s− µS

σS

)

≈ P

(Z +

γ1,s

6(Z2 − 1) ≤ s− µS

σS

)

= P

(Z ≤ − 3

γ1,s+

√9

γ21,s

+6

γ1,s

(s− µS

σS

)+ 1

).

Y la aproximacion NP queda

P(S ≤ s) ≈ Φ

(− 3

γ1,s+

√9

γ21,s

+6

γ1,s

(s− µS

σS

)+ 1

). (2.10)

17

Segun Gendron and Crepaud (1989) la aproximacion (2.10) es superior a la Normal

si γ1,s ≤ 2.

La aproximacion NP se aplica para calcular la prima neta con base en la regla del

percentil. Y tambien para calcular la medida de severidad VaR en el contexto del

calculo de provisiones en Riesgo Operativo en el Capıtulo 5.

Tambien hay una aproximacion que incluye la curtosis γ2,s, calculada si restar 3. Se

denomina la aproximacion Cornish­Fisher

S − µS

σS≈ Z +

γ1,s

6(Z2 − 1) +

1

24γ2,s(Z

3 − 3Z) − 1

36γ2

1,s(2Z3 − 5Z). (2.11)

3) Aproximacion Gamma Trasladada En este metodo, ver Seal (1977), se asume que

S se distribuye Poisson compuesta, S ∼ PC(λ, F ). Consiste en aproximar la

distribucion compuesta FS por medio de una Distribucion Gamma Transladada con

tres parametros, definida a continuacion.

Una variable aleatoria Y se dice que se distribuye Gamma Transladada, Y ∼GT (k, α, β), si su densidad esta dada por

f(x) =1

βαΓ(α)(x− k)α−1e−(x−k)/β, x ≥ k > 0, (2.12)

donde α > 0, β > 0. McNeil, Frey, and Embrechts (2005) plantean un sistema de

ecuaciones para establecer la aproximacion por medio de la distribucion Gamma

Trasladada, igualando la media, la varianza y el tercer momento de la distribucion

Gamma Trasladada a los correspondientes momentos de la distribucion Poisson

Compuesta PC(λ, F ):

k +α

β= λE(X),

α

β2= λE(X2),

2α

β3= λE(X3).

Resolviendo el sistema anterior se obtienen los parametros de la distribucion Gamma

Trasladada en funcion de los parametros de la distribucion Poisson Compuesta:

18

k = λE(X) − 2λE(X2)2

E(X3),

α =4λE(X2)3

E(X3)2,

β =2E(X2)

E(X3).

La aproximacion Gamma Trasladada consiste en utilizar la funcion de distribucion

correspondiente de la Gamma

P(S ≤ s) ≈ FG(α,β,k)(s) = FG(α,β)(s−k). (2.13)

Los valores estimados k, α, β se obtienen facilmente reemplazando los valores

esperados por los correspondientes estimadores de momentos. Por supuesto, es

necesario asumir que tales momentos son finitos, lo que puede no ser cierto en casos

de distribuciones de colas muy pesadas.

La aproximacion Gamma Trasladada no se encuentra implementada en el R, sin

embargo, sus formulas son simples y faciles de programar.

4) Aproximacion por el Metodo Recursivo de Panjer Es un metodo recursivo que aprox­

ima las distribuciones compuestas, no es una formula sino un algoritmo que permite

la estimacion, mediante la discretizacion de la funcion de distribucion de F (x), ver

el trabajo original de Panjer, (Panjer 2006). Hay basicamente dos requisitos para

calcular la aproximacion a la distribucion compuesta:

El primer requisito es que la distribucion de N , pk, pueda escribirse de la siguiente

manera recursiva:

pk = (a + b/k)pk−1 (2.14)

donde pk es la probabilidad del evento k y a y b son parametros. Esta condicion la

cumplen las siguientes distribuciones: Poisson, Binomial Negativa y distribuciones

logarıtmicas. Por ejemplo, en el caso de seleccionar una distribucion o un proceso

Poisson, los parametros descritos anteriormente estarıan dados por: a = 0 y b serıa

igual al parametro de intensidad de la funcion, es decir, λ. El segundo requisito

es lograr discretizar la distribucion de las Xj. Ahora, la formula de recursion de

Panjer parte de las siguientes definiciones: sea qi el valor de la distribucion de las

Xj discretizada y evaluada en el punto muestral xi; f(xj) es la funcion de densidad

19

de probabilidad de xj, f0 es la probabilidad de no perdida y s es el ındice superior

para el punto muestral. La formula recursiva de Panjer es:

f(xj) =

min(j,s)∑

i=1

(a + ib/xi)qif(xj−i) (2.15)

La limitacion de este algoritmo radica en que solo es valido para distribuciones de

probabilidad discretas.

Notas sobre las Aproximaciones

Seal (1977) presenta las ventajas del ajuste de la distribucion Gamma aS comparado

con la aproximacion Normal Power. En el mismo ano T. Pentikainen (1977) hace

referencia al artıculo de Seal (1977) y mediante una evaluacion concluye que no se

encuentran diferencias en la exactitud entre los metodos Normal Power y Gamma,

ademas concluye que la aproximacion Normal es aceptable solo cuando el volumen

de los riesgos es alto y la distribucion de X no es muy heterogenea.

Diez anos despues, Pentikainen (1987) realiza una nueva evaluacion de posibles

aproximaciones a la funcion de distribucion del modelo de riesgo colectivo, las

aproximaciones utilizadas en el artıculo son: la aproximacion NP (Normal Power),

aproximacion de Haldane, la formula de Wilson ­ Hilferty. Pentikainen concluye el

artıculo citado Pentikainen (1987) que los metodos aproximados y los exactos se

complementan satisfactoriamente. Los metodos exactos son mas apropiados para

modelos de riesgo colectivo pequenos y los metodos aproximados para los modelos

de riesgo colectivo grandes.

Gendron and Crepaud (1989) utilizaron las siguientes aproximaciones para el mode­

lo de riesgo colectivo: la aproximacion Normal, aproximacion NP (Normal Power),

la aproximacion de Edgeworth, aproximacion de Esscher y la aproximacion Gamma;

en un estudio en el cual comparan la calidad de estas diferentes aproximaciones.

Chaubey and Trudeau (1998) proponen realizar un ajuste al modelo de riesgo

colectivo por medio de la distribucion Inversa Gaussiana y comparan sus resultados

con otras aproximaciones ya existentes. Ademas, proponen una mezcla entre las

distribuciones Gamma e Inversa Gaussiana.

20

Otros Metodos. En las referencias presentadas se pueden hallar otras aproximaciones

propuestas para las distribuciones colectivas, como la Aproximacion Esscher, la

Gamma, la Edgeworth, entre otras. La aproximacion en Chubey et al mediante la

distribucion Inversa Gaussian Transladada es muy similar a la Gamma Transladada.

Los metodos con base en la Transformada Rapida de Fourier, y con base en el

metodo de Stein. La simulacion intensive es posible y esta implementada en la

librerıa actuar de R, ver Dutang, Goulet, and Pigeon (2008).

Seal(1977b, 1978b) propuso una aproximacion tipo gamma que ha tenido mucha

aceptacion. (cf. Bowers et. al,(1986) cap. 11 y pag. 339 para notas sobre otras

aproximaciones). Se han inventado muchos metodos para aproximar la fda de S,

desde la serie de Edgeworth hasta la Transformada Rapida de Fourier y formulas

recursivas. Ver el texto de Gerber (1995, cap. 4) para una presentacion detallada.

Tambien ver Buhlmann (1984) y Panjer(1981).

2.5. Principios de Calculo de Primas

Un area muy activa de desarrollo de la teorıa de Riesgo ha sido el de expresiones para

el calculo de la prima c. (cf. Gerber (1995, cap.5)). Por ejemplo, el principio de "valor

medio", establece que c = E((1+)S1) = (1+). Otro principio, el "principio exponencial",

establece que c = ln(Ms(R))/R , donde Ms(t) es la funcion generadora de momentos de

S1 ( esta variable, costos totales anuales, se denota en lo que sigue por S. ).

La prima se define como un valor que compensa el costo de los siniestros de un seguro,

durante un perıodo de tiempo. En este caso se trata de la prima global, el recaudo total de

todas las polizas individuales.

Definicion 2.5.1. Si se denota por S los costos acumulados en una vigencia anual, una

prima es una aplicacion Π : S → (0,∞), que asigna a S un numero no negativo Π(S).

Principios de Calculo de Primas

En los textos de Goovaerts, deVylder, and Haezendonck (1983, cap. 2) y Gerber (1995,

cap. 5) aparecen los siguientes principios (reglas) para calcular una prima. La prima se

refiere a la prima total recolectada entre los titulares de los seguros. Es la prima neta que

luego se fracciona en primas individuales.

21

Se procede inicialmente sin establecer cotas maximas para los pagos, lo cual va en con­

tradiccion con el principio de que la cantidad asegurada debe ser definida con anterioridad,

con el fin de establecer una prima inicial, que se entiende como la prima de donde se pagan

varias sub­primas: la prima retenida y la prima cedida a los reaseguradores. Y para incluır

una parte a cargo del asegurado: el deducible.

1) Principio de Valor Esperado Segun este principio la prima neta se expresa como

Π = (1 + θ)E(S). (2.16)

donde θ ∈ (0, 1) es el recargo, definido como un porcenje que cubre las comisiones

para la fuerza de ventas, recargo de seguridad, costos de administracion, etc..

2) Principio de Perdida Maxima

Π = pE(S) + qMax(S). (2.17)

con p ∈ (0, 1), q = 1−p. Por tanto esta regla solamente se puede aplicar si los costos

totales S tienen un maximo. Esto es factible. Pero en los seguros se modelan las

variablesXj con valores en [0,∞) y, por tanto,S > 0 no esta acotada superiormente.

Es este caso la regla de Perdida Maxima se generaliza a la regla del Percentil.

3) Principio de Percentil Si se denota FS(x) la fda de la variable S y se toma una

probabilidad q se define la prima como el percentil q de S, por tanto, se cumple

P(S ≤ Π) = q (en el caso de ser Xj continuas, o P(S ≤ Π) ≥ q de ser discretas).

Π = Sq = Mins : FS(s) ≥ q. (2.18)

La prima es un valor que permite un balance entre la posible perdida que debe asumir

la Companıa y los recursos provenientes de los recaudos de primas individuales.En

este sentido, de ser una medida de la posible perdida que experimenta una Companıa,

es equivalente al concepto de VaR que se define en el Capıtulo 3, en el contexto de

Medidas de Riesgo en Portafolios.

Y tambien es la misma la interpretacion que se utiliza para calcular la Provision en

el Sistema de Administracion del Riesgo Operativo, en el Capıtulo 5, y en el Sistema

de Administracion del Riesgo de Credito en creditos de consumo, en el Capıtulo 6.

El Metodo de Aproximacion NP (2.9) permite una evaluacion de la Prima como el

percentil q de FS, Sq. Reenplazando S por Sq y zp por Z en la aproximacion NP

22

(2.9), se obtieneSq−µS

σS≈ zq +

γ1,s

6(z2

q −1), donde zq es el q­percentil de una Normal

estandar, con Φ(zq) = q. Luego, despejando Sq = Π se obtiene

Π = µS + σS(zq +γ1,s

6(z2

q − 1)). (2.19)

El Metodo de Aproximacion Cornish­Fisher (2.11) permite tambien una expresion

de la Prima por el Principio del Percentil como el percentil Sq de FS. Reenplazando

S por Sq y zp por Z en la aproximacion NP (2.11), se obtiene

Sq − µS

σS≈ zq +

γ1,s

6(z2

q − 1) +1

24γ2,s(z

3q − 3zq) −

1

36γ2

1,s(2z3q − 5zq).

Y despejando Sq = Π, se tiene

Π = µS + σS(zq + ν). (2.20)

donde ν =γ1,s

6(z2

q − 1) + 124γ2,s(z

3q − 3zq) − 1

36γ2

1,s(2z3q − 5zq), es un factor de

correccion por asimetrıa y curtosis.

Esta expresion es la prima por el Principio del Percentil pero utilizando la aproxi­

macion Cornish­Fisher, que implica una correccion por asimetrıa y curtosis.

4) Principio Exponencial. Segun este principio la prima neta se expresa como

Π =ln(MS(a))

a, (2.21)

donde a es una constante positiva.

Algunas propiedades del Principio Exponencial son las siguientes Considerando Π

como funcion de a, Π(a) se tiene que lıma→0+ Π(a) = E(S), y lıma→∞ Π(a) = LS,

donde LS ≤ ∞ y P(S ≤ LS) = 1. A partir de esta propiedad se puede interpretar

el parametro a como una medida de aversion al riesgo del Asegurador.

La ecuacion que define el Coeficiente de Ajuste z, (2.23), λ + Π′z = λMX(z),

se puede escribir como Π′ = λ(MX(z) − 1)/z, para una prima particular Π′.

Como la fgm de S es MS(t) = exp(λ(MX(t) − 1)) entonces se puede escribir

Π′ = ln(MS(z))/z. Pero si se reemplaza en el Principio Exponencial a = z,

entonces Π(z) = ln(MS(z))/z.

Adicionalmente, a partir de la Cota Cramer­Lundberg, (2.5), ψ(R0) ≤ e−zR0 , si

se coloca la igualdad (como una aproximacion), reemplazando ψ(R0) = ε, la

23

probabilidad de ruina por un valor ε dado (por ejemplo 0.001), se puede despejar

z = − ln(ε)/R0. Con lo cual, la prima por el Principio Exponencial incorpora el

valor de la Reserva y la Probabilidad de Ruina.

Si adicionalmente se utiliza el Metodo de Aproximacion mediante la Distribucion

Gamma trasladada, entonces la fgm de S se reemplaza por la fgm de la Gamma

trasladada, y se obtieneMS(t) = ekt(1− βt)α. Pero entonces la prima exponencial

utilizando este metodo de aproximacion quedarıa

Π = k − α

zln(1 − zβ). (2.22)

con z = − ln(ε)/R0. Para garantizar consistencia en los reemplazos se requiere que

ln(1/ε) < R0/β.

, (2.23)

Propiedades de los Principios de Calculo de Primas

Cualquier regla de calculo de una prima deberıa cumplir las propiedades siguientes

i) Tener un recargo de seguridad: Π > E(S).

ii) No exceder el maximo de S: Π < Max(S).

iii) Ser invariante por translaciones: Π(S + a) = Π(S) + a para cada a > 0.

iv) Ser invariante por cambios de escala: Π(aS) = aΠ(S).

v) Aditividad: Π(S1 + S2) = Π(S1) + Π(S2).

En el Cuadro (2.1), tomado de Gerber (1995, pag. 71), se puede ver una comparacion de

los principios de calculo de primas y sus propiedades.

2.6. Reaseguros

Variables para controlar la Ruina

Seleccion de riesgos: modificar la intensidad λ y/o la media µ.

24

Cuadro 2.1: Comparacion de las Propiedades de las Primas

Valor Esperado DE Percentil Exponencial

Recargo ­ + ­ +

No excede ­ ­ + +

Invarianza Transl. ­ + + +

Aditividad ­ ­ ­ +

Modificar la prima c. Al aumentarla puede disminuır λ, y al contrario.

Inversion de la reserva s y la prima ct para aumentar la reserva.

Reaseguros. Consiste en modificar µ. Transformar Xj en otra variable.

Combinacion de las anteriores.

Segun Carter (1979), pag. 23, “Entre 1880 y 1890, C. Heath, subscriptor de Lloyd’s,...introdujo

el reaseguro de exceso de perdida mediante el cual la Companıa cedente retiene por su

cuenta y riesgo cada perdida por los incendios hasta una cantidad determinada y reasegura

el exceso hasta el importe final” .

Objetivo: Repasar dos metodologıas clasicas para calculo de la retencion optima en rease­

guro XL de E. Straub y H. Waters, basadas en el modelo de Riesgo Colectivo, asumiendo

siniestros de baja severidad ( = momentos exponenciales finitos de cualquier orden).

Y compararlas con la metodologıa basada en el control optimo estocastico, desarrollada

en 1994 en una tesis de posgrado de la Universidad Karlsruhe (Alemania) (hay otros

antecedentes de uso de control optimo en actuarıa).

Tipos de Reaseguros

Proporcionales

• Cuota parte o pro­rata

25

• Excedente

No Proporcionales

• Exceso de Perdida (XL)

• Excedente de Perdida (Stop­Loss)

• Ecomor

Combinaciones de las anteriores, incluyendo retrocesiones.

Reaseguros XL

Fijado el valor de la retencion w:

• la Cedente asume: min(w,Xj) = Xj ∧ w• la Re asume: Xj −min(w,Xj) = (Xj − w)+

funcion parte positiva de x: x+ = x si x > 0 y x+ = 0 si x ≤ 0

Prima neta = P = (1 + δ)λµ.

Prima reaseguro (cedida) = Pc(w) = (1 + α)λE((Xj −w)+).

Prima retenida = Pr(w) = P − Pc(w).

Superavit de la Cedente: Rw(t) = s+ Pr(w)t−∑N(t)j=1 Xj ∧ w.

Problema: dadosP , δ < α < 1, λ,Xj ∼ F (.), determinarw tal que la probabilidad

de ruina de la Cedente sea la menor posible.

Calculo de la Retencion: E. Straub

Las deducciones estan en Straub (1988, Chap. 4)

Coeficiente de Ajuste para la Cedente:A(w) tal que 1+A(w)Pr (w)/λ = E(eA(w)Xj∧w)

Aplica Cramer­Lundberg: prob ruina cedente = ϕc(s) ≤ e−sA(w)

26

Reemplaza: ϕc(s) = ε, con ε dado.

Reemplaza: reservas = s = kµ, k > 0.

Hace varias aproximaciones asumiendo que w es grande, y obtiene la ecuacion para

w:

1

µ

∫ w

0

1 − F (x)dx =α − δ

α − δ′,

δ′ =ln(1/ε)E(X2

j )

2kµ2

Calculo de la Retencion: H. Waters

Las deducciones estan en Waters (1979)

Coeficiente de Ajuste A(w) para la Cedente:

1 + A(w)Pr(w)/λ = E(eA(w)Xj∧w)

Esta ecuacion equivale a:

H(w,A(w)) =

∫ w

0

(1 − F (x))eA(w)wdx+ (1 + α)

∫ ∞

w

1 − F (x)dx = P/λ

H(w,A(w)) = P/λ define la funcion implıcita w 7→ A(w)

H. Waters propone encontrar w∗ tal que MaxA(w) = A(w∗).

entonces ϕw∗(s) ≤ e−sA(w∗) ≤ e−sA(w), ∀w

Solucion: w∗ = A−1(1 + α), donde A cumple:∫ ∞

0

(1 − F (x))[eAx ∧ (1 + α)]dx = P/λ

2.6.1. Calculo de la Retencion: Control Estocastico Optimo

Si ϕ(s) es la probabilidad de ruina dada una reserva inicial s entonces se cumple la

siguiente ecuacion diferencial­integral:

ϕ′(s) =λ

Pϕ(s) − λ

PE(ϕ(s−Xj))

27

Si se considera la ruina de la Cedente en un Reaseguro XL, con una reserva s, serıa:

ϕ′w(s) =

λ

Pr(w)ϕw(s) − λ

Pr(w)E(ϕw(s−Xj ∧ w))

Esta ecuacion define para cada (s, w) una solucion ϕw(s).

La metodologıa de control optimo: fije s y minimice ϕ(s, w) con respecto a w.

Es decir, encontrarw∗(s) tal que ϕ(s, w∗(s)) ≤ ϕ(s, w), ∀w ≥ w, dondePr(w) ≤ 0

si w < w.

La ecuacion anterior

ϕ′w(s) =

λ

Pr(w)ϕw(s) − λ

Pr(w)E(ϕw(s−Xj ∧ w))

se transforma en

ınfw≥w

ϕ′w(s)Pr(w) − λϕw(s) + λE(ϕw(s−Xj ∧ w)) = 0

Esta ecuacion es un caso de la ecuacion Hamilton­Jacobi­Bellman, para un problema

de control estocastico, en donde el control es la retencion w.

Ejemplo

La ecuacion HJB se puede resolver de manera iterativa para cada s.

En el caso: µ = 1, λ = 1, c = 3.0, c− λµ = 2 Hipp and Vogt (2003) calcularon el

valor de la retencion optima para varios valores de la reserva inicial s.

Conclusiones

El metodo de E. Straub: fija el nivel de ruina (solvencia en horizonte infinito) y

determina el nivel de retencion, dado los recargos: neto y de reaseguro, ademas

requiere un nivel de reservas dado. Pero se basa en varias aproximaciones y en la

cota Cramer­Lundberg.

28

El metodo de H. Waters: no fija el nivel de ruina sino que busca maximizar el coe­

ficiente de ajuste, el cual depende funcionalmente de la retencion. Al maximizarlo

minimiza la probabilidad de ruina, pero solamente a partir de la aproximacion de la

cota Cramer­Lundberg.

El metodo de control optimo estocastico: utiliza la ecuacion diferencial­integral de

la funcion de ruina y encuentra la retencion que la minimiza. Pero es difıcil de

resolver.

En Straub y Waters el modelo es muy simplificado, sin inflacion, sin reinversion

de primas, etc.. En control estocastico Hipp and Vogt (2003) incluyen dos modelos

mas realistas, pero no resuelven la ec. HJB.

En todos los casos se trataron siniestralidades de baja severidad: la funcion gener­

adora de momentos deXj es finita en valores positivos, es decir,E(etXj) <∞ para

t < h, con h > 0 y tiende a infinito si t → h−. Hay desarrollos en el caso de alta

severidad es decir, cuando E(etXj) = +∞ para todo t > 0.

En estos modelos no se consideran la solvencia de la Reaseguradora. Hay modelos

para solvencia conjunta.

No consideran horizontes finitos (p.ej. 5 anos ) para solvencia.

Solamente se utiliza un principio de calculo de primas: el principio de valor esperado.

Principio introducido por S. Wang.

CAPITULO 3

3.1. Introduccion

El objetivo de este capıtulo es introducir el modelo de Markowitz para la determinacion

de un portafolio optimo de activos cuyos precios se determinan en el mercado.

Con la introduccion del mercado de capitales como principal medio de financiacion, la

teorıa de Markowitz se ha convertido en una piedra angular. Junto con la teorıa CAPM de

W.Sharpe.

Pero la conformacion optima de un portafolio no abarca todos los problemas relacionas

con las inversiones en el mercado de renta variables. En especial, el riesgo al cual estan

expuestos portafolios como los de ahorros pensionales.

i) La necesidad de medir el riesgo al cual esta expuesto un portafolio particular motivo la

regulacion de Basilea II. Su objetivo es la proteccion del inversionista.

ii) La metodologıas de Valor en Riesgo y afines, introducidas por el Banco J.P. Morgan

(RiskMetrics), y P. Jorion, son una respuesta a tal necesidad.

iii) En el diseno de las medidas de riesgo aparecen los problemas de la correlacion de

riesgos y la falla de la hipotesis de Normalidad Multivariada. Una alternativa reciente

29

30

es el calculo del Var uso de Copulas con Marginales de Cola pesada, por ejemplo,

Garch.

iv) La necesidad de tecnicas robustas para estimar la matriz de covarianzas a partir de

datos con observaciones extremas.

v) La cobertura financiera del riesgo. Dado el nivel de exposicion, mediante el VaR,

como mitigar un movimiento adverso, por ejemplo, en un portafolio de pensiones

obligatorias, con el fin de proteger el activo representado por los ahorros de los

pensionados?.

vi) Esa cobertura se ha implementado con las tecnicas de Seguro de Portafolios. In­

cluyendo estrategias de coverturas dinamicas de fondos de inversion.

vii) Mediante las Opciones de Venta (put options) sobre Indices Bursatiles, con base en

portafolios que replican el Indice en cuestion.

viii) Lo cual ha desarrollado la estrategia de replicacion de Indices Bursatiles (estrate­

gias pasivas de administracion de portafolios), incluyendo Metodos de Optimizacion

Avanzados, como los Algoritmos Geneticos y Evolutivos.

3.2. El Modelo de Media­Varianza de Markowitz

El objeto inicial en el planteamiento del modelo MV es un proceso estocastico positivo,

en tiempo discreto: (St , t = 0, 1, 2, . . .), que representa el precio de cierre de un activo

transado, en Bolsa o valorado a precios de mercado. Como ejemplos se pueden mencionar:

Bonos: por ejemplo bonos de deuda publica domestica TES, Certificados de deposito

a termino fijo, CDT, etc..Su precio diario se fija mediante un proceso interno de

valoracion a precios de mercado (una metodologıa que se basa en la estructura

temporal de las tasas de interes, que transfiere aleatoriedad a los precios).

Acciones: emitidas por companıas privadas o publicas.

Productos o Materias Primas (Commodidades): Cafe, Aluminio, Jugo de Naranja,

etc..

Derivados: futuros, opciones, etc..

31

El Caso de las Acciones

i) Se incluyen tambien: valor de la unidad de un fondo de inversiones, p.ej. una fidu­

cia. Tambien los precios de productos agropecuarios, el precio de la energıa y de

comodidades (commodities), como materias primas, metales preciosos.

ii) Las unidades de t son dıas, semanas,etc. Normalmente no se reporta un solo precio

St sino varios precios: mınimo ( bid ) , maximo ( ask ) , medio y precio de cierre.

iii) El precio mınimo ( bid ) es el precio de compra y el maximo (ask) el de venta, lo que

genera una diferencia que representa una prima para el vendedor para compensar el

riesgo que asume de poseer el activo.

iv) El precio St puede ser por ejemplo el precio de cierre, su logaritmo ln(St), o tambien12(ln(Sask, t) + ln(Sbid, t)).

v) Se utiliza el precio de cierre St, sin tener en cuenta los dıas festivos. No siempre es la

mejor eleccion porque los precios despues de feriados resultan atıpicos.

El Caso de Bonos

Los precios de los bonos tambien presentan aleatoriedad, debida a los movimientos de las

tasas de interes de referencia del mercado, p.ej. las tasas de repos del BR, la DTF y mas

recientemente, el IBR. Pero los portafolios de bonos se conforman mediante aplicacion

de programacion lineal.

El Caso de Derivados

Los precios de los derivados, por ejemplo, las opciones de compra europeas, son pre­

cios que reaccionan asimetricamente. Las distribuciones de los rendimientos no pueden

asumirse simetricas. Y los portafolios no pueden optimizarse mediante el metodo de

programacion cuadratica segun el modelo de Markowitz.

3.2.1. Rendimientos

Para cada intervalo [t− 1, t] se asume que se conoce la informacion hasta t− 1 del

precio St, denotada por Ωt−1 = σ(Ss, s ≤ t− 1), t ≥ 1.

32

Se define el rendimiento porcentual como Rt = St−St−1

St−1

= St

St−1

− 1 ≥ −1. Notese

que Rt esta acotado por −1.

Con el fin de definir las distribuciones en R se utilizara el rendimiento logarıtmico,

definido por

rt = ln(St/St−1). (3.1)

De manera equivalente St = St−1ert.

En adelante se utilizara el rendimiento logarıtmico, rt ∈ R. Y se asumira que

(rt, t ∈ Z) es un proceso estacionario estricto, lo cual implica momentos de todos los

ordenes constantes, aunque no necesariamente finitos. En caso de asumir V ar(rt) <

∞ entonces rt es estacionario en covarianza.

En caso de ser rt ≈ 0 la aproximacion ln(1 + x) ≈ x , −1 < x ≤ 1 es valida y por

tanto,

rt = ln( St

St−1

)= ln

(St − St−1

St−1+ 1)≈ St − St−1

St−1= Rt.

Utilizar (3.1) tiene ventajas. La serie ln(S(t)) usualmente esta integrada: tiene una

raız unitaria. En ocasiones es un ARIMA(0,1,q), q = 0,1.

Usar rt = ln(St) − ln(St−1) corresponde a una diferenciacion para eliminar la raız

unitaria.

Se considera un vector St = (S1,t, . . . , Sk,t)′, de precios de k activos.

Se define el vector de los k rendimientos, rt = (r1,t, . . . , rk,t)′.

3.2.2. Portafolios

Se definen las sucesiones de enteros Nj,t, j = 1, 2, . . . , k, t ≥ 1 como el numero

de unidades del activo numero j que se poseen en el intervalo [t− 1, t] y el vector

N t = (N1,t, . . . , Nk,t)′, como los totales de todas las unidades en un portafolio.

Los valores Nj,t se asumen enteros positivos, no aleatorios, con la posibilidad de

variar con t de acuerdo a alguna regla de decision, por ejemplo, la que se obtiene

de aplicar el modelo de Markowitz de portafolios optimos, o una regla similar, por

ejemplo, la estrategia de seguimiento de un ındice bursatil.

33

El valor del portafolio en t se define como el proceso Vt = N′

t St.

Se define el rendimiento neto del portafolio en [t−1, t] como rp(t) = (Vt−Vt−1)/Vt,

asumiendo que N t permanece constante en el intervalo [t− 1, t].

rp(t) =N

′

t St − N′

t St−1

N′

t St−1

=N

′

t(St − St−1)

N′

t St−1

=

∑kj=1 Nj,t(Sj,t − Sj,t−1)

N′

t−1 St−1

=

∑kj=1 Nj,tSj,t−1rj,t

N′

t−1 St−1

=k∑

j=1

(Nj,tSj,t−1

Vt−1

)rj,t =

k∑

j=1

wj,trj,t.

donde

wj,t =Nj,tSj,t−1

Vt−1, j = 1, 2, . . . , n, (3.2)

con wj,t > 0 y w′

t1 = 1, es es porcentaje invertido en el tıtulo j­esimo en el tiempo

t− 1, y constante durante el intervalo [t− 1, t].

El vector wt = (w1,t, . . . , wk,t)′ representa el portafolio de inversion. Y se tiene

rp(t) = w′

t rt.

El objetivo de la teorıa de portafolios es encontrar un wt optimo, aunque la definicion

de optimo no es unica.

i) Minimiza volatilidad con rendimiento medio fijo (Markowitz).

ii) Maximiza rendimiento medio con volatilidad fija.

iii) Minimiza la diferencia de rendimientos con respecto a un Indice Bursatil.

iv) Supera los rendimientos de un Indice Bursatil.

v) Minimiza el Valor en Riesgo.

vi) Minimiza el Capital en Riesgo.

Sin embargo, se busca que wt permanezca estable durante varios perıodos, para

evitar tener que rebalancear frecuentemente, lo cual genera costos adicionales.

µ = E(rt) donde µ = (µ1, . . . , µn)′, con µj = E(rj,t), el vector de rendimientos

medios.

Σ = V ar(rt) = E((rt − µ)(rt − µ)′), la matriz de Varianzas­Covarianzas de rt.

34

Las cantidades µ y Σ son independientes de t por el supuesto de ser rt un vector

estacionario en covarianza. Son estimables con la informacion hasta t− 1, Ωt−1.

Ademas, E(rp(t)) = E(w′t rt) = w′

t µ y V ar(rp(t)) = w′tΣwt.

3.2.3. Determinacion del Portafolio Optimo

Se define el portafolio wt optimo como la solucion en t−1 del problema de optimizacion,

ver Huang and Litzenberger (1988)

wt = argminw

1

2w′ Σw

(3.3)

sujeto a las condiciones

w′1 = 1,

w′µ = µp,

w ≥ 0. (3.4)

donde

µ, Σ son estimadores de los parametros correspondientes, con base en la informacion

hasta t− 1 de los k precios.

El coeficienteµp es la meta de rentabilidad del portafolio al final del perıodo [t−1, t],

escogida apriori en t− 1, con mınµj ,1≤k < µp < maxµj ,1≤k.

Es inmediato que wt es un estadıstico que depende de µ y Σ.

La condicion (3.4) excluye las ventas a corto, que corresponderıan a porcentajes

negativos.

Ejemplo: portafolio optimo con fondos de fiducia

1. En este Ejemplo el precio St consiste en el Valor de la Unidad de un Fondo de

Fiducia.

35

0 1 2 3 4 5

8.5

9.0

9.5

10.0

10.5

11.0

Volatilidad

Rent

abilid

ad

bbvasant

colm

prev

alian

pop

cafe

valle

occi

bog

helm

colp

fiducol

fiduagr

petro

EM

OGK

MCD

MVE

t.rob

Shrink

tangente

minvar

Figura 3.1: Fronteras optimas para el primer trimestre 2009

2. Se consideran k = 15 fondos: bbva, santander, colmena, previsora, alianza, pop­

ular, cafetera, valle, occidente, bogota, helm, colpatria, fiducolombia, fiduagraria,

petrolera.

3. Los datos comprenden el perıodo 01/01/2001 ­ 31/03/2009. Los datos se obtuvieron

en la pagina web de la Super Intendencia Financiera de Colombia (1).

3.2.4. El Modelo CAPM y La propiedad de Diversificacion

Un modelo particular para los rendimientos rj,t, es el Modelo Unifactorial, o Modelo de

la Teorıa CAPM, de W. Sharpe (Capital Asset Pricing Model)

Es util para expresar el concepto de riesgo y diversificacion del riesgo en portafolios de

acciones.

Se hace depender rj,t de la tasa libre de riesgo del mercado, rf , y la tasa de rendimiento

del ındice bursatil, rI,t, asumida independiente de rj,t, de forma tal que

rj,t − rf = αj + βj(rI,t − rf) + εj,t, (3.5)

1http://www.superfinanciera.gov.co/Cifras/financiera/ef/sf/

36

donde la sucesion εj,t ∼ iidN(0, σ2ε,j), y el coeficiente βj mide la respuesta de la accion

j­esima a los movimientos del mercado, descritos por el rendimiento del ındice bursatil.

Entonces se tienen la identidad siguiente.

σj =√β2

jσ2I + σ2

ε,j. (3.6)

El riesgo total de la accion j­esima o volatilidad se expresa en (3.6) como

“riesgo total = riesgo sistematico + riesgo no sistematico”, donde β2jσ

2I es el riesgo

sistematico o riesgo de mercado, y σ2ε,j es el riesgo no sistematico.

Ademas se tiene σi,j = βiβjσ2I y σI,j = βjσ

2I . La propiedad de Diversificacion se puede

describir a partir de la extension del coeficiente beta de una accion al coeficiente beta de

un portafolio.

Reemplazando rj,t dado en (3.5) en la expresion rp(t) =∑k

j=1 wj,trj,t, se obtiene

rp(t) − rf = αp + βp(rI,t − rf) + εp,t, (3.7)

donde βp =∑k

j=1wj,tβj es el beta del portafolio.

La Hipotesis de Normalidad Multivariada de los Residuos

Si se hace el supuesto de Normalidad Multivariada de los Residuos

rt ∼ iidNk(µ,Σ), (3.8)

entonces los rendimientos del portafolio optimo se distribuyen a su vez normales.

rp(t) = w′t rt ∼ N

(w′

t µ,w′t Σwt

)(3.9)

Ademas, cuando se elimina la condicion w ≥ 0 y se permiten porcentajes negativos

wj,t < 0 se puede demostrar que la solucion del problema (3.3) tiene la expresion cerrada

wt = Σ−1

(c− bδt

d1 +

aδt − b

dµ

). (3.10)

donde a = 1′ Σ−1

1, b = 1′ Σ−1µ , c = µ′ Σ−1µ, y d = ac − b2 > 0. Entonces Jobson

and Korkie (1980) demuestran que wt en (3.10) se distribuye asintoticamente normal.

37

Sin embargo, la hipotesis de normalidad (3.8), no se asume cuando se plantea el problema

de programacion cuadratica.

Pero sı tiene que ver con la optimalidad de la solucion y con la medicion del riesgo del

portafolio con la mediada VaR, definida a continuacion.

Cuando hay evidencia de que no se cumple la hipotesis de normalidad (3.8), puede

deberse a una estructura de dependencia en la cual ademas de presentarse datos extremos

la correlacion entre rj,t y ri,t aumenta en perıodos en donde se presentan tales datos.

Que implica esto?. La propiedad de optimalidad se pierde. Porque la optimalidad se basa

en la diversificacion.La diversificacion consiste en escoger w′t tal que se minimice la

varianza del rendimiento del portafolio optimo, V ar(rp(t)).

V ar(rp(t)) =k∑

j=1

w2j,tσ

2j + 2

k−1∑

j=1

k∑

i=j+1

wj,twj,tCov(rj,t, ri,t). (3.11)

La diversificacion es optima cuando Cov(rj,t, ri,t) < 0, para cada par (i, j). Cuando hay

presencia de datos extremos y la estructura de dependencia no es Normal Multivariada,

esta covarianza puede cambiar a Cov(rj,t, ri,t) > 0.

Los datos extremos tambien generan otro problema: la necesidad de utilizar estimadores

robustos de Σ, µ, para garantizar que la solucion optima es estable y no se deteriora por

efectos de estos datos.

3.3. Medidas de Riesgos de Portafolios: el VaR

El concepto de Valor en Riesgo o VaR (Value at Risk) de un Portafolio de activos (wj,t, j =

1, . . . , k) se basa la idea de la peor perdida posible en el mismo.

Se trata de establecer una medida de la perdida mas extrema que pueda suceder en un

perıodo de tiempo, con una probabilidad dada.

El VaR de un portafolio con valor Vt−1 en el tiempo t− 1, para el intervalo [t− 1, t], con

una probabilidad q, se define como sigue.

Definicion 3.3.1. Si 0 < q 1/2 es una probabilidad pequena, se define el percentil

q100% de la distribucion de rp(t) como el valor ζq, t tal que P(rp(t) ≤ ζq, t) = q. Entonces

38

el valor en riesgo en el perıodo [t− 1, t], al nivel q, se define como

V aRt(q) = −ζq,tVt−1. (3.12)

Notese que en la definicion (3.12) se tiene V aRt(q) > 0. Pero es la medida de una perdida.

Por convencion se expresa la posible perdida como un valor positivo.

Si se define la perdida del portafolio en el perıodo [t−1, t] como la variableLt = Vt−Vt−1,

entonces la relacion con el VaR es:

P(Lt ≤ −V aRt(q)) = P(Vt − Vt−1 ≤ ζq, tVt−1) =

P(rp(t) ≤ ζq, t) = q.

Notese que se coloca −V aRt(q), con el signo cambiado. Con base en la identidad anterior

se puede interpretar el VaR como “la maxima perdida posible, en un intervalo de tiempo

dado, con una probabilidad dada”.

3.3.1. Metodos para el Calculo del VaR

1. VaR Normal. , luego

ζq,t = wt µ + zq

√w′

t Σwt, (3.13)

donde P (N(0, 1) ≤ zq) = q, por tanto, V aRt(q) = −ζq,tVt. Pero la formula (3.13)

anterior se la ha criticado con base en algunos hechos descubiertos recientemente y

reportados de manera repetida.

Un hecho observado es que los rendimientos rj,t tienen colas mas alargadas y

modas mas altas que las de la normal (leptocurtosis).

Tambien se ha observado que son incorrelacionados y, sin embargo, r2j,t son

autocorrelacionados (por ejemplo, con la prueba Ljung­Box).

Otro hecho es que los datos mas extremos de las colas de rj,t tienden a

agruparse en perıodos cortos de alta volatilidad, es decir, la varianza de los rj,t

no es constante.

2. Simulacion Historica

3. MonteCarlo

4. Cornish­Fisher

39

5. Teorıa de Valores Extremos (ETV). En la formula (3.13) es definitivo que el segun­

do momento y las covarianzas de los rendimiento rj,t sean finitos. Una alternativa

a esta formula es la utilizacion de la Teorıa de Valores Extremos mediante la cual

se puede estimar el percentil de los rendimientos sin asumir implıcitamente que los

segundos momentos y las covarianzas son finitas, y sin asumir que las distribuciones

son normales. La definicion del VaR con la Teorıa de Valores Extremos se hace en

la seccion (5.5.2) del Capıtulo 5, pag. 77, porque es un metodo que se aplica en el

Riesgo Operativo.

El supuesto i.i.d. se reemplaza por una dependencia “debil", que significa incor­

relacion entre los rendimientos pero autocorrelacion en los cuadrados de los mis­

mos, sin embargo, las consecuencias de este reemplazo para diferentes pruebas y

estadısticos no son bien conocidas.

3.3.2. Medidas Coherentes de Riesgo

Una medida de riesgo de un portafolio debe cumplir ciertas propiedades, con el fin de que

sea coherente, en el sentido introducido por Artzner, Delbaen, Eber, and Heath (1999). Es­

tas propiedades son: sub­aditividad, invarianza bajo translaciones, homogeneidad positiva

y monotonicidad.

Definicion 3.3.2. Medidas Coherentes de Riesgo. Una medida de riesgo ρ se dice coher­

ente si cumple

1. Si x ≥ 0 entonces ρ(x) ≤ 0.

2. Sub­aditividad: ρ(x+ y) ≤ ρ(x) + ρ(y).

3. Homogeneidad positiva: ρ(λx) = λρ(x).

4. Monotonicidad: Si x ≤ y entonces ρ(x) ≤ ρ(y).

5. Invarianza por translaciones: rf es la tasa libre de riesgo, ρ(x+αrf ) = ρ(x)−α.

La sub­aditividad es la propiedad que el VaR no cumple. La sub­aditividad es una propiedad

acorde con el principio de diversificacion de portafolios, mientras mas diversificacion

menor riesgo.

40

Ejemplo 3.3.1. (Tomado de Embrechts, Furrer, and Kaufmann (2009, pag. 734, example

1)). Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes con distribucion comun dada

por FX(x) = 1− 1/√x, para x ≥ 1. Los riesgos X1 yX2 tienen media infinita, por tanto

su distribucion es de cola pesada. Se puede comprobar que V aRq(X) = (1 − q)−2. Y se

tiene el siguiente resultado.

FX1+X2(x) = P(X1 +X2 ≤ x) =

∫ x−1

1

FX(x− y)dFX(y)

= 1 − (2/x)√x− 1 < 1 −

√2/x = F2X(x),

donde F2X(u) = P(2X1 ≤ u), para u ≥ 2. Pero V aRq(2X) = V aRq(X1) + V aRq(X2),

porque se cumple P(2X ≤ V aRq(2X)) = 1 − q = P(X ≤ V aRq(2X)/2), luego

V aRq(X) = V aRq(2X)/2. Ademas, siFX1+X2(x) < F2X(x) esto implica queV aRq(X1+

X2) > V aRq(2X) = V aRq(X1)+V aRq(X2). Y esto es un contraejemplo de la aditividad

del VaR.

Como senalan Embrechts, Furrer, and Kaufmann (2009, pag. 734)), el VaR es sub­aditivo

para el caso de rendimientos distribuıdos normal multivariados. Y se cumple tambien la

sub­aditividad en el caso de distribuciones multivariadas de tipo elıptico, ver McNeil,

Frey, and Embrechts (2005, Theo. 6.8). En el caso bivariado la demostracion es simple.

Ejemplo 3.3.2. (Tomado de Embrechts, Furrer, and Kaufmann (2009, pag. 734, example

1)). Suponga que (X1, X2) son dos variables aleatorias distribuıdas Normal Bivariado,

con medias µi, varianzas σ2i , i = 1, 2, y correlacion ρ ∈ (−1, 1). Entonces, comoX1 +X2

se distribuye Normal, su VaR es V aRq(X1 + X2) = µ1 + µ2 + zq

√σ2

1 + σ22 + 2ρσ1σ2.

Entonces

V aRq(X1 +X2) = µ1 + µ2 + zq

√σ2

1 + σ22 + 2ρσ1σ2

≥ µ1 + µ2 + zq(σ1 + σ2) = V aRq(X1) + V aRq(X2)

Ya que se la desigualdad σ1 + σ2 ≤√σ2

1 + σ22 + 2ρσ1σ2 equivale a ρ ≤ 1. Luego el VaR

es subaditivo en Normales Bivariadas.

3.3.3. El Capital en Riesgo

Una medida coherente de riesgo es el CVaR, el Capital en Riesgo, tambien denominado

Valor en Riesgo Condicional, o en ingles, Expected Shortfall (ES), Tail VaR.

41

Definicion 3.3.3. Si 0 < q 1/2 es una probabilidad pequena, se define el percentil

q100% de la distribucion de rp(t) como el valor ζq,t tal que P(rp(t) ≤ ζq,t) = q. Entonces

el Capital en riesgo en el intervalo [t− 1, t], al nivel q, se define como

CV aRt(q) = −E(rp(t)|rp(t) ≤ ζq,t)Vt−1. (3.14)

Notese que el VaR es un nivel, mientras que el CVaR es una cantidad. El CVaR mide la

magnitud de la perdida, dado que el rendimiento cae por debajo del percentil ζq,t.

Para el caso rt ∼ iidNk(µ,Σ) se cumple rp(t) ∼ N(µp, σ2p) y entonces

E(rp(t)|rp(t) ≤ ζq,t) = µp − δσp, (3.15)

donde δ = e−z2

q /2

q√

2π, con P (N(0, 1) ≤ zq) = q, por la propiedad de la Normal siguiente. Si

X ∼ N(µ, σ2) entonces

E(X|X < a) = µ − σn((a− µ)/σ)

Φ((a− µ)/σ). (3.16)

donde n(x) es la densidad de Z ∼ N(0, 1). La identidad se conoce como “Inverse Mills

Ratio”.

42

CAPITULO 4

El Modelo de Marcha Aleatoria

4.1. El Modelo de Marcha Aleatoria

Como se menciono, la introduccion del mercado de capitales como vehıculo de finan­

ciamiento de pensiones mediante los fondos mutuos genero la necesidad de entender la

dinamica de estos.

El objetivo es entender la dinamica de los rendimientos de cada activo que componen el

fondo y los del fondo. Se ha buscado capturar la dinamica de los rendimientos de activos

mediante varios tipos de modelos, con varios fines. Para poder valorar opciones sobre estos

activos, las cuales sirven como instrumentos de cobertura. Y para mejorar las medidas

de riesgo, mediante por ejemplo, copulas con modelos garch para calcular un VaR que

incluya efectos de correlacion de datos extremos..

La dinamica de los rendimientos de activos se ha buscado capturar mediante varios tipos

de modelos. Los hechos que han guiado la busqueda de estos modelos se han denominado

como “hechos estilizados”. Se definen como caracterısticas notables que se han descubierto

en los rendimientos de activos. A continuacion se hace una lista de tales hechos estilizados

y luego se describen varios tipos de modelos y sus relaciones con estos hechos.

43

44

Modelos para Rendimientos en Tiempo Discreto

La indentidad St = St−1ert del Capıtulo 3, 32, es el punto de partida para diferentes

modelos para precios, a partir del modelo correspondiente para los rendimientos. Algunos

modelos para rt

i) Marcha Aleatoria.

ii) Marcha Aleatoria Log­Normal.

iii) Modelos tipo GARCH(p,q).

iv) Modelo CAPM de un Factor.

v) Modelos de Volatilidad Estocastica.

vi) Modelos de Regimen Cambiante.

vii) Modelos de Difusion con Saltos.

viii) Los Modelos ARIMA estan en conflicto con la Hipotesis de Mercados Eficientes

y la Hipotesis de Marcha Aleatoria. Porque permitirıan pronosticar rt. Y por tanto

pronosticar el precio St. Si esto pudiera hacerse con por ejemplo, un Indice Bursatil,

invalidarıa una serie de instrumentos financieros como por ejemplo las Opciones de

Venta sobre el Indice, que son seguros de portafolios.

4.2. Caracterısticas Empıricas de los Rendimientos de

Activos Financieros

Las variaciones en los precios, valores de unidad, ındices, etc. de distintos activos fi­

nancieros tales como acciones, fondos de inversion, ındices bursatiles, materias primas,

energıa, productos agrıcolas, etc. comparten varias propiedades no triviales denominadas

“hechos empıricos estilizados” (stylized facts).

Estas propiedades son formulaciones de hechos empıricos, observados en datos reales. Es­

tas propiedades son restrictivas tanto como para no ser facil exhibir un modelo estocastico

que las posea todas. O, de manera equivalente, el objetivo de la investigacion en esta area

es encontrar un modelo que reproduzca todas estas propiedades.

45

El conjunto de propiedades es el siguiente.

1. Ausencia de Autocorrelacion. Los rendimientos p.ej. logarıtmicos son incorrela­

cionados, con varianza incondicional constante y media cero, es decir, son ruidos

blancos. Excepto para escalas de tiempo muy pequenas, de p.ej. 20 minutos.

2. Colas pesadas. Las distribuciones no condicionales de los rendimientos muestran

colas que decrecen a cero de manera potencial ( no exponencial ). Es decir, si

rt denota el rendimiento aleatorio entonces P(|rt| > x)/(cx−β) → 1, x → ∞,

para 0 < β < 4. Esta caracterıstica hace que rt tome valores extremos con mayor

probabilidad que en el caso normal.

Definicion 4.2.1. (Curtosis) Sea X una variable aleatoria con valores en R. La

curtosis de X se define como el valor γ1 = E((X − E(X))4)/V ar(X)2.

Cuando una distribucion tiene curtosis mayor que 3, la curtosis de una N(0,1), se

denomina “leptocurtica” . La curtosis de los rendimientos es mayor que la de la

normal debido a que presentan colas pesadas.

3. Asimetrıa. Los rendimientos negativos aparecen con valores mas extremos que los

positivos por lo que la distribucion de los mismos presenta una asimetrıa negati­

va. Los modelo GARCH se pueden modificar para reproducir esta caracterıstica

cambiando la distribucion Normal por varias alternativas como la Normal Inversa

Gaussiana, dada en 4.20, 57, entre otras.

4. Heterocedasticidad de la Varianza. Varios estimadores de la varianza de los

rendimientos presentan autocorrelaciones positivas durante perıodos cortos. Por

ejemplo, la autocorrelacion muestral de los cuadrados de los rendimientos muestra

valores significativamente altos. Esto se interpreta como que los eventos de alta

volatilidad tienden a agruparse en el tiempo (volatility clusters). Esta caracterıstica

dio origen a los modelos condicionalmente heterocedasticos: todas las variaciones

del modelo GARCH inicial.

5. Efecto de la Escala de Tiempo. La distribucion de los rendimientos no es la misma

para diferentes escalas de tiempo. Los modelos en tiempo discreto no siempre se

pueden agregar. Este es un argumento a favor de los modelos en tiempo continuo,

p.ej. con base en ecuaciones diferenciales estocasticas.

46

6. Intermitencia de la Volatilidad. Se observan choques irregulares en varios esti­

madores de la volatilidad.

7. Decaimiento lento a cero de la autocovarianza. Se observa que

Cov(|rt+τ |, |rt|)/(cτ−β) → 1, x→ ∞, (4.1)

para 0.2 < β < 0.4. Es decir, la autocovarianza de los valores absolutos de los

rendimientos decae lentamente a cero (es una funcion de variacion regular en infini­

to). Este fenomeno se denomina memoria larga (long­range dependence).

8. Asimetrıa de la volatilidad. Consiste en una relacion inversamente proporcional y

asimetrica entre los rendimientos y la volatilidad en el sentido de que los rendimien­

tos extremos negativos tienen un efecto mayor en la volatilidad que los rendimientos

extremos positivos. Esta caracterıstica fue el motivo para la introduccion de modelos

tipo GARCH con asimetrıa en la volatilidad, como los modelos EGARCH y GJR,

entre otros.

4.3. Modelos para la Distribucion de los Rendimientos

4.3.1. Marcha Aleatoria

Todos los modelos empiezan con la definicion de rendimiento logarıtmico , dada en el

Capıtulo 3.

rt = ln(St/St−1). (4.2)

Y cada modelo se genera asumiendo una forma particular para r(t). Es importante observar

que se obtiene

S(t) = S(t− 1)er(t)

= S(t− 2)er(t)+r(t−1)

= S(0)er(t)+r(t−1)+...+r(1)

= S(0)ePt

j=1r(j).

Cuando la sucesion r(j), j = 1, 2, . . . se asume i.i.d.(0, σ2) entonces la sucesion M(t) =∑tj=1 r(j) se denomina Marcha Aleatoria .

47

El caso mas utilizado es cuando r(t) es i.i.d. Normal. Pero hay otros casos igualmente

importantes y aplicados, cuando se asume que r(t) es un ruido blanco, por ejemplo, de

tipo GARCH.

4.3.2. Marcha Aleatoria LogNormal

En el modelo de Marcha Aleatoria LogNormal, que se denomina tambien el Modelo

Black­Scholes , se propone

r(t) = µ + σε(t), (4.3)

donde µ ∈ R, σ > 0, y ε(t) ∼ i.i.d.N(0, 1). En el modelo (4.3) se tiene

4.3.3. Modelos GARCH

El objetivo en esta seccion es ampliar los modelos para ruido blanco en los modelos

ARMA. Si se considera un proceso (Xn, n ∈ Z), ARMA(p,q) de media cero, dado por:

Xn = ϕ1Xn−1 + . . .+ ϕpXn−p + Zn + θ1Zn−1 + θ2Zn−2 + · · · + θqZn−q , (4.4)

donde Zn ∼ RB(0, σ2), se trata de definir modelos para Zn diferentes del caso de una

sucesion iid. Es decir, modelos en los que las Zn no sean independientes ni identicamente

distribuıdas pero aun sigan siendo incorrelacionadas de varianza constante y media cero.

Tales modelos se definen mediante ecuaciones recursivas no lineales.

Denote por Ωn−1 = σ(Zj, j ≤ n − 1) la sigma algebra generada por Zj , j ≤ n −1. Los modelos que se consideran en esta seccion satisfacen E(Zn | Ωn−1) = 0 y

V ar(Zn | Ωn−1) = σ2n. Es decir, son modelos para los cuales la varianza condicional,

dada la informacion hasta el tiempo n − 1, no es constante. Se denominan modelos

condicionalmente heterocedasticos.

El primer paso para definir estos modelos es asumir que Zn = σn εn, donde εn es una

sucesion de variables aleatorias i.i.d. y σn es una funcion de la informacion Ωn−1 =

σ(Zj, j ≤ n− 1). Dependiendo de la forma de esta funcion se definen varios modelos.

Los modelos considerados son: ARCH(p), GARCH(p,q), EGARCH(p,q), APARCH(p,q)

y GJR(p,q). Los analisis en esta seccion consisten en examinar las condiciones para que

sean estacionarios estrictos o estacionarios en covariaza, la existencia de momentos y la

caracterıstica de tener la funcion de distribucion de Zn colas mas pesadas que las de la

48

normal. Algunas referencias en donde puede consultarse mas sobre este tipo de procesos

son: Fan and Yao (2003) y Tsay (2002).

Procesos ARCH (Auto­Regresivo Condicionalmente Heterocedastico) Este tipo de pro­

ceso estocastico fue introducido por Robert Engle (Engle (1985)) para modelar la varianza

de la tasa de inflacion en el Reino Unido. La idea basica del modelo ARCH es que la no

independencia de Zn esta explicada por la autocorrelacion de Z2n.

Definicion 4.3.1. (Procesos ARCH(p)) Un proceso (Zn, n ∈ Z) se dice que es un

ARCH(p), p ≥ 1, si satisface el par de ecuaciones siguientes

Zn = σn εn,

σ2t = α0 + α1 Z

2t−1 + · · · + αp Z

2t−p, (4.5)

donde εt ∼ iid(0, 1), α0 > 0, y αi ≥ 0 para i = 1, . . . , p

Algunos autores, como Nelson (1991, pag. 352) y Tsay (2002, pag. 83), recomiendan

utilizar para la distribucion de εt, la distribucion de error generalizado, GED, la cual

incluye a la normal como un caso especial o una t­Student estandarizada, con υ grados de

libertad.

Definicion 4.3.2. La funcion de densidad de una variable aleatoria distribuıda GED(υ),

con media cero y varianza unidad, esta dada por:

f(z) =υ exp[−

(12

)| zλ|υ]

λ 2(1+ 1

υ ) Γ(

1υ

) , −∞ < z <∞, 0 < υ ≤ ∞, (4.6)

donde Γ(·) es la funcion gamma, υ es el parametro para el peso de la cola y

λ =

[2−

2

υΓ(

1υ

)

Γ(

3υ

)] 1

2

. (4.7)

Cuando υ = 2, se obtiene una distribucion normal estandar, para υ < 2, la distribucion

tiene colas mas pesadas que las de una normal, y si υ > 2 la distribucion tiene colas menos

pesadas que las de una normal. Con relacion a esta ultima afirmacion conviene recordar

el concepto de curtosis. El caso υ = 1 corresponde a una densidad Laplaciana o doble

Exponencial. .

49

Teorema 4.3.1. Una condicion necesaria y suficiente para que las ecuaciones (4.5) definan

un unico proceso estacionario estricto (Zn, n ∈ Z), con E(X2n) < ∞ es

∑pj=1 αj < 1.

Ademas, si E(ε4n) <∞ y Max(1,√

E(ε4n))∑p

j=1 αj < 1, entonces E(X4n) <∞.

Ver Fan and Yao (2003, pag. 143) para la demostracion. La suficiencia depende de un

resultado de Giraitis, Kokoszka, and Leipus (2000) y la necesidad, de un resultado de

Bollerslev (1987).

Las caracterısticas de este modelo estan dadas en el siguiente resultado.

Proposicion 4.3.1. Sea (Zn, n ∈ Z) un proceso ARCH(p), con∑p

j=1 αj < 1. Entonces

1. Zn ∼ RB(0, α0/(1 −∑p

j=1 αj)).

2. Si se cumplen las condiciones E(ε4n) < ∞ y Max(1,√

E(ε4n))∑p

j=1 αj < 1, en­

tonces

a) Z2n es un proceso AR(p) estacionario, y si

∑pj=1 αj > 0, su funcion de auto­

covarianza es positiva.

b) κ(Zn) ≥ κ(εn).

Demostracion. 1. Veamos que Zn es ruido blanco.

E(Zn) = E(σnεn) = E(E(σnεn|Ωn−1))

= E(σnE(εn|Ωn−1)) = E(σnE(εn)) = 0.

V ar(Zn) = V ar(E(Zn|Ωn−1)) + E(V ar(Zn|Ωn−1)) = E(V ar(Zj|Ωn−1))

= E(V ar(σnεn|Ωn−1)) = E(σ2nV ar(εn|Ωn−1))

= E(σ2nV ar(εn)) = E(σ2

n)

= α0 + α1E(Z2n−1) + · · · + αpE(Z2

n−p) = E(Z2n).

ComoZn es estacionario en covarianza se tiene E(Z2n) = E(Z2

n−1) = . . . = E(Z2n−p)

y por tanto E(Z2n) = α0/(1 −

∑pj=1 αj).

2.

50

Procesos GARCH (Auto­Regresivo Condicionalmente Heterocedastico Generalizado)

Este tipo de procesos estocasticos fue introducido por Bollerslev (1987) como una alterna­

tiva a los modelos ARCH(p). En ciertos casos se requieren valores altos de p para describir

adecuadamente una serie con un modelo ARCH(p). Ademas, se deben garantizar las condi­

ciones αj ≥ 0, ∀j, lo que puede generar valores sesgados en los parametros estimados.

Una alternativa son los procesos GARCH(p,q), con un numero menor de parametros, por

ejemplo, un GARCH(1,1).

Definicion 4.3.3. (Procesos GARCH(p,q)) Un proceso (Zn, n ∈ Z) se dice que es un

GARCH(p,q) si satisface el par de ecuaciones siguientes

Zn = σn εn,

σ2n = β0 + β1 σ

2n−1 + · · · + βp σ

2n−p + α1 Z

2n−1 + · · · + αq Z

2n−q , (4.8)

donde εn ∼ iid(0, 1), β0 > 0, βi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ p y αj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ q.

Como en el caso ARCH(p), la sucesion εn se puede modelar con una distribucionGED(υ),

o una t­Student estandarizada, con υ grados de libertad. El modelo (4.8) se reduce a

un modelo ARCH(q) si βi = 0, i = 1, . . . , p. Una condicion para tener un proceso

estacionario se expresa en el siguiente resultado.

Teorema 4.3.2. Una condicion necesaria y suficiente para que un procesoZn ∼ GARCH(p, q)

definido por las ecuaciones (4.8) sea estacionario estricto con E(Z2n) <∞ es

p∑

i=1

βi +

q∑

i=1

αi < 1. (4.9)

Si adicionalmente se cumple queMax(1,√

E(ε4n))∑q

i=1 αi/(1−∑p

j=1 βj) < 1 entonces

E(X4n) <∞.

La demostracion se basa en el Teorema 2.5 de Bollerslev (1987) (ver Fan and Yao (2003),

Teo 4.4, pag. 150).

Corolario 4.3.2.1. Si Zn ∼ GARCH(p, q) y se cumple la condicion (4.9) entonces Zn

es ruido blanco, y cumple:

1. E(Zn) = 0.

2. V ar(Zn) = α0/(1 −∑pi=1 βi +

∑qi=1 αi).

51

3. Cov(Zn, Zn+k) = 0, ∀k 6= 0.

4. κ(Zn) ≥ κ(εn).

Como V ar(Zn|Ωn−1) = σ2nE(ε2n|Ωn−1) = σ2

n, el proceso estocastico σ2n se denomina

“varianza condicional”, y V ar(Zn) es la “varianza incondicional”. La siguiente identidad

tambien es valida.

Proposicion 4.3.2. Si Zn ∼ GARCH(p, q) y se cumple la condicion (4.9) entonces

σ2n = α0/(1 −

p∑

j=1

βj) +∞∑

j=1

djZ2n−j , cp1, (4.10)

donde las dj ≥ 0 se calculan recursivamente.

Este resultado muestra que en un proceso GARCH(p,q) estacionario en covarianza la

varianza condicional depende de todos los valores anteriores del proceso. El resultado

siguiente establece una caracterizacion de Z2n en terminos de un proceso ARMA.

Proposicion 4.3.3. Si Zn ∼ GARCH(p, q) y se cumple la condicion (4.9) entonces Z2n

es un proceso ARMA(max(p,q),q)), causal e invertible.

Corolario 4.3.2.2. El proceso σ2n, n ∈ Z es estacionario en covarianza.

Bougerol and Picard (1992a), (1992b), encontraron condiciones necesarias y suficientes

para la existencia de una unica solucion estacionaria estricta de las ecuaciones (4.8), pero

sin garantizar que el segundo momento es finito. Las condiciones sin embargo, son difıciles

de chequear en la practica. Tambien, para el caso GARCH(1,1), Nelson (1991) establecio la

condicion necesaria y suficiente para que el proceso fuera estacionario estricto, sin segundo

momento finito necesariamente. La condicion es

E(ln(α1ε2n + β1)) < 0. (4.11)

Utilizando la desigualdad de Jensen (ver desigualdad No ??, pag. ??), se obtiene E(ln(α1ε2n+

β1)) ≤ ln(E(α1ε2n + β1)) = ln(α1 + β1), por lo que si α1 + β1 < 1 entonces se tiene

(4.11). Este resultado muestra que, en este caso GARCH(1,1), ser estacionario en covar­

ianza implica ser estacionario estricto, pero no al contrario. Es decir, pueden darse casos

de procesos GARCH(1,1) estacionarios estrictos con E(Z2n) = +∞.

52

Ejemplo 4.3.1. Si se considera un proceso (Xn, n = 0, 1, . . .) ARMA(2,1)­GARCH(1,1),

quedarıa definido por el siguiente sistema de ecuaciones.

Xn = ϕ0 + ϕ1Xn−1 + ϕ2Xn−2 + Zn + θ1Zn−1,

Zn = σn εn,

σ2n = β0 + β1 σ

2n−1 + α1 Z

2n−1.

Se asume aquı que εn ∼ iidGED(υ). Para garantizar que Xn sea estacionario en

covarianza, primero se escogen los parametros de la parte GARCH de tal forma que Zn

sea ruido blanco. Por ejemplo, 1 < υ < 2, β1, α1 > 0, β1 + α1 < 1, β0, ϕ0 ∈ R. Luego,

se escogen los parametros autorregresivos ϕ1, ϕ2 de tal forma que Xn sea estacionario

en covarianza. Las condiciones para estacionariedad en covarianza de un AR(2) son:

|ϕ1| < 1, ϕ2 + ϕ1 < 1, ϕ2 − ϕ1 < 1. (4.12)

(ver ec. (??), pag. ??). Sin embargo, al definirse el proceso Xn para n = 0, 1, . . . no se

garantiza que sea estacionario en covarianza. Ademas, se requieren los valores iniciales

X−1, X0, Z−1 y σ2−1. En vista del caracter estacionario de los procesos Xn y σ2

n se podrıa

tomar X−1 = X0 = E(Xn) = ϕ0/(1 − ϕ1 − ϕ2) y σ2−1 = V ar(Zn) = β0/(1 − β1 − α1),

Z0 = E(Zn) = 0. En el caso de simulacion de N datos del proceso Xn se calculan por

ejemplo, ademas de lasN buscadas, 500 observaciones mas y se toman los datos a partir

de la observacion 501, para eliminar el efecto de esta escogencia arbitraria de los valores

iniciales y muestrear el proceso en estado estacionario.

4.4. Procesos EGARCH

En los modelos GARCH el proceso de la varianza condicional σ2n depende linealmente del

cuadrado de la serie, Z2n, de manera que no se afecta segun el signo de Zn. En el modelo

GARCH exponencial, EGARCH, introducido por Nelson (1991), ln(σ2n) sigue un proceso

ARMA(p,q), con ruido blanco en funcion de Zn/σn, por lo que σ2n depende del signo de

Zn. El modelo se define ası (ver Tsay (2002, pag. 102)):

Definicion 4.4.1. Un proceso estocastico (Zn, n ∈ Z) es un EGARCH(p,q), p, q ≥ 0, si

satisface el siguiente par de ecuaciones.

Zn = σnεn,

53

ln (σ2n) = µ +

1 + θ1L+ · · · + θqLq

1 − ϕ1L− · · · − ϕpLpg(εn−1), (4.13)

donde (εn, n ∈ Z) una sucesion de variables aleatorias iid(0, 1) y g(εn) esta dado por:

g(εn) = αεn + γ [|εn| − E(|εn|)], para µ ∈ R, θi ∈ R, i = 1, ..., q, ϕj ∈ R, j = 1, ..., p,

α, γ ∈ R.

Por construccion, g(εn) es una sucesion de variables aleatorias iid, con media cero. Si la

distribucion de εn es simetrica las dos componentes de g(εn) son no­correlacionadas pero

no son independientes. La variable g(εn) puede ser reescribirse ası:

g(εn) =

(α+ γ)εn − γE(|εn|) si εn ≥ 0,

(α− γ)εn − γE(|εn|) si εn < 0.

Si εn ∼ N(0, 1) entonces E(|εn|) =√

2/π. Para una distribucion t­Student con v grados

de libertad, se tiene:

E(|εn|) =2√v − 2 Γ((v + 1)/2)

(v − 1)Γ(v/2)√π

.

Para la estacionariedad y ergodicidad de un EGARCH(p,q) utilizamos el hecho de que

ln(σ2n) es un proceso lineal. Con relacion a la estacionariedad en covarianza y finitud de

momentos, se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 4.4.1. Si 1 − ϕ1z − · · · − ϕpzp 6= 0, ∀z ∈ C, |z| ≤ 1, los procesos σ2

n y Zn

son estacionarios estrictos y ergodicos. Si εt ∼ GED(υ) con υ > 1 entonces los procesos

σ2n y Zn tienen momentos finitos de cualquier orden, lo que implica que son ademas,

estacionarios en covarianza.

Nelson (1991) hace notar que si εt ∼ tv, con tv una t­Student con v grados de libertad,

entonces σ2n y Zn no tienen momentos finitos. La condicion por ejemplo, 1 < υ < 2

indicarıa colas mas pesadas que la normal pero menos que una doble exponencial.

Procesos GARCH Asimetrico El modelo GARCH Asimetrico, AGARCH(p,q,) prop­

uesto por Ding, Granger, and Engle (1993), es una generalizacion de los modelos GARCH(p,q).

Se define ası:

Definicion 4.4.2. Un proceso estocastico (Zn, n ∈ Z) es un AGARCH(p,q), si satisface

el siguiente par de ecuaciones.

Zn = σnεn,

54

σδn = α0 +

q∑

i=1

αi(|Zn−i| − γZn−1)δ +

p∑

j=1

βjσδn−j, (4.14)

donde (εn) es una sucesion de variables aleatorias iid con media cero y varianza uno,

α0 > 0, δ ≥ 0, −1 < γ < 1, αi ≥ 0, i = 1, . . . , q, βj ≥ 0, j = 1, . . . , p.

El modelo AGARCH(p,q) incluye los modelos ARCH(p) y GARCH(p,q) como casos

especiales. El modelo ARCH(p) se obtiene con δ = 2 y γ = 0, βj = 0, j = 1, . . . , p en

(4.14). El modelo GARCH(p,q) se obtiene con δ = 2 y γ = 0.

Proposicion 4.4.2. Una condicion necesaria y suficiente para la existencia de una unica

solucion estacionaria Zn para el modelo (4.14) esta dada por

E(

q∑

i=1

αi(|εn| − γεn)δ) +

p∑

j=1

βj < 1, (4.15)

Procesos GJR El modelo GJR(p,q) es un modelo alterno para los modelos EGARCH(p,q),

con caracterısticas similares a estos. fue propuesto por (Glosten, Ravi, and Runkle 1993),

y se define como:

Definicion 4.4.3. Un proceso estocastico (Zn, n ∈ Z) es un GJR(p,q), si satisface el

siguiente par de ecuaciones.

Zn = σnεn,

σ2n = α0 +

m∑

i=1

αiZ2n−i +

q∑

j=1

βjσ2n−j +

p∑

i=1

γiS−n−iZ

2n−i

donde εn es una sucesion de variables aleatorias i.i.d. con media cero y varianza uno,

α0 > 0, αi ≥ 0, βj ≥ 0, αi + γi ≥ 0 y S−n−1 es una variable indicadora de la forma

S−n−1 =

1 si Zn < 0,

0 si Zn ≥ 0,(4.16)

El modelo GJR(p,q) es un caso particular de un AGARCH(p,q), cuando δ = 2, lo cual se

puede comprobar de manera directa.

σ2t = α0 +

m∑

i=1

αi(|at−i| − γiat−1)2 +

s∑

j=1

βjσ2t−i

55

= α0 +m∑

i=1

αi(1 − γi)2a2

t−i +s∑

j=1

βjσ2t−j +

m∑

i=1

αi(1 + γi)2 − (1 − γi)

2S−t−ia

2t−i

= α0 +

m∑

i=1

αi(1 − γi)2a2

t−i +

s∑

j=1

βjσ2t−j +

m∑

i=1

4αiγiS−t−ia

2t−i,

donde

S−t−i =

1 si at−i < 0

0 en otro caso.

Si definimos

α∗i = αi(1 − γi)

2, (4.17)

γ∗i = 4αiγi, (4.18)

entonces tenemos,

σ2t = α0 +

m∑

i=1

α∗i a

2t−i +

s∑

j=1

βjσ2t−j +

m∑

i=1

γ∗i S−t−ia

2t−i

El cual es exactamente el modelo GJR de la ecuacion (4.16).

Teorema 4.4.1. Suponga que α0 > 0, αi, βj ≥ 0 y εt tiene una distribucion simetrica.

Entoncesm∑

i=1

αi +1

2

m∑

i=1

γi +s∑

j=1

βj < 1 (4.19)

es una condicion necesaria y suficiente de una solucion estacionaria de orden 2 de Znpara el modelo (4.16).

Prueba. El modelo GJR (4.16) es un caso particular del modelo ARCH asimetrico (??)

cuando δ = 2, por lo que la variable Zt dada por (??) se puede expresar como

Zt =m∑

i=1

αiε2n +

m∑

i=1

γiS−t ε

2t

Utilizando la parametrizacion dada por las ecuaciones (4.18) y (4.17).

En los supuestos del modelo se tiene que Eεt = 0 y Var(εt) = Eε2t = 1 por lo que

EZt =

m∑

i=1

αi + b

m∑

i=1

γi

56

Para distribuciones simetricas b = 1/2, ası la condicion (4.15) para distribuciones simetri­

cas quedam∑

i=1

αi +1

2

m∑

i=1

γi +

s∑

j=1

βj < 1.

El teorema anterior es consistente con la condicion para la existencia del segundo momento

del GJR(1,1) planteado por Ling y McAleer (2002) ((?), pag. 112), ademas ellos encuentran

la condicion para la existencia del cuarto momento asumiendo que el termino aleatorio se

distribuye Normal con valor esperado cero y varianza uno o tiene una distribucion T con

v ≥ 5 grados de libertad.

Este modelo asume que el impacto de at−1 sobre la varianza condicional σ2t depende del

signo de at−1 ((Glosten, Ravi, and Runkle 1993), pag. 1787). La ecuacion (4.16) genera

valores mas altos en σ2t para los choques negativos, at−1 < 0, que en los positivos de igual

magnitud, si γ > 0. El modelo GJR(1,1) se expresa como

σ2t = α0 + α1a

2t−1 + β1σ

2t−1 + γS−

t−1a2t−1,

4.5. Analisis Estadıstico de Procesos GARCH

Una manera simple de construir un modelo GARCH, consiste en tres pasos:

1. Ajustar un modelo modelo ARMA para la serie, para remover cualquier dependencia

lineal en los datos, y usar los residuales del modelo para probar el efecto GARCH.

2. Especificar el orden del modelo GARCH y desarrollar la estimacion.

3. Revisar el modelo GARCH ajustado y refinarlo.

Modelamiento de la Media y Pruebas

Dada una serie, el primer paso es remover la correlacion serial en los datos, con un modelo

ARMA para la media muestral, si esta es significativamente diferente de cero. Luego se

evalua la heterocedasticidad por medio de a2t , donde el residual del modelo ARMA es

Zn = rt − µt. Hay dos pruebas disponibles para evaluar la heterocedasticidad de Zn. La

primera es realizar el estadıstico de Ljung­Box para Z2n. La segunda es realizar la prueba

57

de los multiplicadores de Lagrange o Test de Engle, el cual es equivalente al estadıstico

F para la hipotesis H0 : αi = 0 (i = 1, 2, · · · , m) en la regresion lineal:

Z2n = α0 + α1a

2t−1 + · · · + αma

2t−m + et, t = m+ 1, · · · , T,

donde et es el termino de error, m es un entero positivo, y T es el tamano muestral.

Determinar el orden del modelo ARCH

Si las pruebas anteriores de heterocedasticidad de Zn son significativas, el siguiente paso

es determinar el orden del modelo ARCH.

Para una muestra dada Z2n es un estimador insesgado de σ2

t . Se espera que Z2n este lineal­

mente relacionado con a2t−1, · · · , a2

t−m de una manera similar a un modelo autorregresivo

de orden m. Con la PACF de Z2n se podra determinar el orden del modelo ARCH, cuando

la muestra no es pequena.

Chequeo del modelo

Se define el choque estandarizado, para un modelo ARCH, como:

at =Zn

σt

el cual es una variable aleatoria i.i.d., que se distribuye como una GED o una t­Student

estandar. Examinando la serie at se puede evaluar si el modelo es adecuado. Se puede

utilizar la prueba de Ljung­Box con at, si se quiere evaluar la validez de la ecuacion para

la media, y con a2t para evaluar la validez de la ecuacion de la volatilidad. Ademas se

utiliza at para chequear la suposicion de la distribucion.

4.5.1. Distribucion Normal Inversa Gaussiana NIG

Definicion 4.5.1. Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribucion Normal

Inversa Gaussiana si su funcion de densidad de probabilidad esta dada por

f(x) =αδK1(α

√δ2 + (x− µ)2)

π√δ2 + (x− µ)2

eδγ+β(x−µ), −∞ < x <∞, (4.20)

donde los parametros son: α, δ > 0, µ ∈ R, 0 ≤ |β| < α, γ =√α2 − β2 y Kκ(.), κ ≥

0 es la funcion de Bessel modificada de tercera clase con ındice κ. Se escribe X ∼NIG(µ, α, β, δ).

58

Se tiene en esta caso que E(X) = µ + δβ/γ, V ar(X) = δα2/γ3, asimetrıa γ1 =

3β/(α√δγ), curtosis γ2 = 3(1+4β2/α2)/(δγ). La NIG se clasifica como una distribucion

de cola semi­pesada, con colas menos pesadas que las de las distribuciones estables no

gaussianas y mas pesadas que las de la normal. Si α tiende a cero la NIG converge a una

distribucion Cauchy con parametro de localizacion µ y escala δ. Si α y δ tienden a +∞,

tales que δ/α = σ2, entonces la NIG converge a una distribucion Normal N(µ, σ2). El

comportamiento asintotico de las colas de la NIG se expresa mediante la relacion siguiente.

f(x) ∼ |x|−3/2e(−α|x|+βx), |x| → ∞. (4.21)

Una variableXe con distribucionNIG(0, α, β, 1) se denomina NIG estandar, y se cumple

que para µ ∈ R, δ > 0, X = µ + δXe ∼ NIG(µ, α, β, δ).

Definicion 4.5.2. La funcion de densidad de una variable aleatoria distribuıda GED(υ),

con media cero y varianza unidad, esta dada por:

f(z) =υ exp[−

(12

)| zλ|υ]

λ 2(1+ 1

υ ) Γ(

1υ

) , −∞ < z <∞, 0 < υ ≤ ∞, (4.22)

donde Γ(·) es la funcion gamma, υ es el parametro para el peso de la cola y

λ =

[2−

2

υΓ(

1υ

)

Γ(

3υ

)] 1

2

. (4.23)

Cuando υ = 2, se obtiene una distribucion normal estandar, para υ < 2, la distribucion

tiene colas mas pesadas que las de una normal, y si υ > 2 la distribucion tiene colas menos

pesadas que las de una normal. Con relacion a esta ultima afirmacion conviene recordar

el concepto de curtosis. El caso υ = 1 corresponde a una densidad Laplaciana o doble

Exponencial.

4.5.2. Distribucion GED Asimetrica

La definicion de GED(v) es

f(z) =v exp

(−1

2| zλ|v)

λ21+1/vΓ(1/v)(4.24)

donde

λ =

[2−2/vΓ(1/v)

Γ(3/v)

]

59

La transformacion de una densidad simetrica a una asimetrica con factor de asimetrıa

γ > 0 es

f(z, γ) =2

γ + 1/γf(γ−sign(z)z) (4.25)

Se cumple f(z, 1) ≡ f(z). Ademas, P (Z ≥ 0, γ)/P (Z ≤ 0, γ) = γ2. Tambien se cumple

que

E(Zk, γ) = Mk

(γk+1 + (−1)k/γk+1

γ + 1/γ

), k = 1, 2, . . . (4.26)

donde Mk = 2∫∞

0skf(s)ds. Entonces

1. E(Z, γ) = (γ − 1/γ)M1.

2. V ar(Z, γ) = (γ2 + 1/γ2)(M2 −M21 ) + 2M2

1 −M2.

3. Identidad: ∫ ∞

0

xre−a−kxk

dx =1

kΓ

(r + 1

k

)ar+1

4. Con la identidad se comprueba Mk = Γ((k + 1)/v)λk2k/v/Γ(1/v).

5. Comprobacion: E(Z2, 1) = M2 = 1.

El paso final es estandarizar la densidad asimetrizada (4.25). Es decir, la densidad SGED.

Se hace ası

f(z, γ, v) = σγf(zγ , γ) (4.27)

donde zγ = σγz + µγ , y µγ = E(Z, γ) es la media con la densidad (4.25) y σ2γz =

V ar(Z, γ) es la varianza con esa densidad.

4.5.3. Distribucion t de Student Asimetrica

A continuacion se exponen algunas propiedades de la distribucion t de Student Asimetrica,

introducida por Hansen (1994).

La densidad se define de la manera siguiente.

60

Definicion 4.5.3.

g(z; η, λ) =

bc(1 + 1

η−2

(bz+a1−λ

)2)−(η+1)/2 z < −a/b,

bc(1 + 1η−2

(bz+a1+λ

)2)−(η+1)/2 z ≥ −a/b,

donde 2 < η < +∞, y −1 < λ < 1. Las constantes a, b, c se definen como by

a = 4λc

(η − 2

η − 1

),

b2 = 1 + 3λ2 − a2,

c =1√

π(η − 2)

Γ(

η+12

)

Γ(

η2

) .

Jondeau and Rockinger (2003) calcularon los momentos de la distribucion como sigue.

Defina X = bZ + a, entonces

E[X] = a

m2 = E[X2] = 1 + 3λ2

V [X] = b2

m3 = E[X3] = 16c λ(1 + λ2)(η − 2)2

(η − 1)(η − 3)if η > 3,

m4 = E[X4] = .3η − 2

η − 4(1 + 10λ2 + 5λ4) if η > 4.

E[Z3] = [m3 − 3am2 + 2a3]/b3,

E[Z4] = [m4 − 4am3 + 6a2m2 − 3a4]/b4

Tambien desarrollaron la fda y la fda inversa (es decir, la funcion cuantil) de la distribucion.

La fda de la distribucion t de Student simetrica (la t Student de uso corriente) esta dada a

continuacion.

A(t; η) =

∫ t

−∞

1√πη

Γ(

η+12

)

Γ(

η2

)(

1 +x2

η

)−(η+1)/2

dx

=

∫ qη−2

ηt

−∞

1√πη − 2

Γ(

η+12

)

Γ(

η2

)(

1 +x2

η − 2

)−(η+1)/2

dx

61

Y la fda de la t de Student asimetrica esta dada como sigue.

S(z; η, λ) =

(1 − λ)A

(√η

η−2bz+a1−λ

; η, λ)

z < −a/b,(1 + λ)A

(√η

η−2bz+a1+λ

; η, λ)

z ≥ −a/b,

Y la fda inversa

S−1(y; η, λ) =

1b

[(1 − λ)

√η−2

ηA−1

(y

1−λ, η)− a]

if y < 1−λ2,

1b

[(1 + λ)

√η−2

ηA−1

(y+λ1+λ

, η)− a]

if y ≥ 1−λ2..

4.6. Calculo del VaR con Modelos GARCH, y Copula­

GARCH

62

CAPITULO 5

Modelos Actuariales para Riesgo Operativo

5.1. Introduccion al Riesgo Operativo

1. Mediante las circulares 048 y 049 de 2006 la Superfinanciera fijo las bases y los

lineamientos mınimos que deben ser implementados por las entidades sometidas a

su supervision y vigilancia, para el desarrollo de un Sistema de Administracion del

Riesgo Operativo SARO.

2. Riesgo Operativo (RO)

Se entiende por Riesgo Operativo, la posibilidad de incurrir en perdidas por defi­

ciencias, fallas o inadecuaciones, en el recurso humano, los procesos, la tecnologıa,

la infraestructura o por la ocurrencia de acontecimientos externos.

3. Esta definicion incluye el riesgo legal y reputacional.

4. Segun el Comite de Regulacion Bancaria de Basilea II: Se define el RO como el

riesgo de perdidas que resultan de procesos internos inadecuados o fallidos, de

personas, de sistemas o de eventos externos, incluyendo el riesgo legal .

5. Nota: El Comite de Basilea no considero el riesgo reputacional como riesgo opera­

tivo.

63

64

1. Riesgo Legal

Es la posibilidad de perdida en que incurre una entidad al ser sancionada u obligada

a indemnizar danos como resultado del incumplimiento de normas o regulaciones

y obligaciones contractuales.

El riesgo legal surge tambien como consecuencia de fallas en los contratos y transac­

ciones, derivadas de actuaciones malintencionadas, negligencia o actos involuntarios

que afectan la formalizacion o ejecucion de contratos o transacciones.

2. Riesgo reputacional

Es la posibilidad de perdida en que incurre una entidad por desprestigio, mala

imagen, publicidad negativa, cierta o no, respecto de la institucion y sus practicas

de negocios, que cause perdida de clientes, disminucion de ingresos o procesos

judiciales.

Ejemplos:

1. Fraude Interno

Actos que de forma intencionada buscan defraudar o apropiarse indebidamente de

activos de la entidad o incumplir normas o leyes, en los que esta implicado, al

menos, un empleado o administrador de la entidad.

2. Fraude Externo

Actos, realizados por una persona externa a la entidad, que buscan defraudar, apropi­

arse indebidamente de activos de la misma o incumplir normas o leyes.

3. Relaciones laborales

Actos que son incompatibles con la legislacion laboral, con los acuerdos internos

de trabajo y, en general, la legislacion vigente sobre la materia.

4. Clientes

Fallas negligentes o involuntarias de las obligaciones frente a los clientes y que

impiden satisfacer una obligacion profesional frente a estos.

5. Danos a activos fısicos

Perdidas derivadas de danos o perjuicios a activos fısicos de la entidad.

65

6. Fallas tecnologicas

Perdidas derivadas de incidentes por fallas tecnologicas.

7. Ejecucion y administracion de procesos

Perdidas derivadas de errores en la ejecucion y administracion de los procesos.

8. Las perdidas derivadas de decisiones administrativas como fusiones, nuevas sedes,

etc no se consideran RO.

Casos de Riesgos Operativos

1. Feb 2002: Banco Allied Irish Bank, perdida por USD $ 691 mill. Un corredor

deshonesto, John Rusnack, escondio perdidas en operaciones sobre tasa de cambio

Yen/USD en una subsidiaria en US, durante 3 anos. Dano en la reputacion del

Banco.

2. Feb 1995: Banco Barings, perdida por USD $ 1.3 bill. Nick Leeson, corredor de

derivados acumulo perdidas no reportadas por 2 anos. El Banco se declaro en

quiebra.

3. Sept 1995: Banco Daiwa, Japon, perdida por USD $ 1.1 bill. Un corredor de bonos,

Toshihide Igushi, escondio perdidas durante 11 anos en una filial de US. El banco

se declaro en quiebra.

4. Marzo 1997: Banco NatWest, perdida por USD $ 127 mill. Un corredor de swaps,

Kyriacos Papouis, manipulo los precios de las opciones para cubrir perdidas. El

Banco fue absorbido por Bank of Scotland.

5. Estos casos corresponden fraude interno. Es una falla de supervision.

5.2. SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Oper­

ativo

La definicion del SARO es: Un conjunto de elementos tales como polıticas, procedimien­

tos, documentacion, estructura organizacional, registro de eventos de riesgo operativo,

organos de control, plataforma tecnologica, divulgacion de informacion y capacitacion,

66

mediante los cuales las entidades vigiladas identifican, miden, controlan y monitorean el

riesgo operativo.

En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas:

1. Identificar

2. Medir

3. Controlar

4. Monitorear

Segun la Normatividad de la SuperFinanciera:

1. Una vez concluida la etapa de identificacion, las entidades deben medir la probabil­

idad de ocurrencia de los riesgos operativos y su impacto en caso de materializarse.

2. Esta medicion podra ser cualitativa y, cuando se cuente con datos historicos, cuan­

titativa.

3. Para la determinacion de la probabilidad se debe considerar un horizonte de tiempo

de un ano.

4. Notese que en ningun momento habla de APROVISIONAR o crear una RESERVA.

Segun las directrices de Basilea II , dadas por BIS, en el documento Basel (2003),

1. Los Bancos no solamente deben medir frecuencias y severidades de los riesgos op­

erativos indentificados sino tambien generar una provision, un “colchon” (cushion),

para enfrentar perdidas anormales. Esta operacion se denomina “Pilar 1”.

2. El “Pilar 2” consiste en las operaciones de identificacion, control y monitoreo.

3. El “Pilar 3” requiere que las entidades hagan publica la informacion de perdidas y

los metodos de administracion del riesgo.

4. En el Comite de Basilea se propone que las Entidades cubran las perdidas medias ­

pequenas con recursos propios, como gastos.

67

5. En cambio, se propone calcular una reserva que sirva para enfrentar perdidas ex­

tremas, inusuales.

6. La regulacion colombiana aparentemente no considera estos casos. Las Entidades

deben medir y cuantificar las perdidas mediante modelos internos y proveer planes

de contingencia y supervivencia.

7. Se asumira que las metodologıas para calcular provisiones, propuestas a partir de

los lineamientos del Comite de Basilea, se pueden aplicar para realizar la medicion

de las perdidas por RO.

5.3. El Calculo de las Provisiones en SARO

En Moscadelli (2004) se propone que el calculo de las provisiones para RO se divida en

dos enfoques:

1. No Avanzado: no incorpora analisis estadıstico, se basa en indicadores.

2. Avanzado. Varias metodologıas para modelamiento cuantitativo de perdidas de ries­

go operativo como

3. Modelos causales y redes bayesianas

4. Modelos de confiabilidad.

5. Modelos actuariales (tomados del area de los seguros de ramos generales, ver

Capıtulo 2): LDA y EVT­POT

5.3.1. El enfoque No Avanzado

1. Esta recomendado para Bancos pequenos, que no tienen operaciones internacionales

muy amplias.

2. Para este enfoque hay dos alternativas: 1.1) Indicadores de Base, 1.2) Enfoque

estandar.

68

3. Formula para el Enfoque de Indicadores de Base: la provision es igual a un porcentaje

fijo del promedio de los ingresos netos anuales de los ultimos 3 anos. El porcentaje

recomendado por Basilea es 15 %.

4. Para describir la formula para la provision segun el enfoque estandar se requiere

dividir las lıneas comerciales del Banco en 8 categorıas.

5. Esta division es similar a la division del Seguro de Bienes en sus diferentes ramos.

Pero tiene otros objetivos como proporcionar una estrategia de recoleccion de datos

para su analisis.

6. La formula para la provision es el promedio de los ultimos 3 anos, de los ingresos

netos anuales, donde el ingreso neto de cada ano se calcula como la suma ponderada

de ingresos netos por lınea comercial, ponderados por los factores beta que se

definen en el Cuadro 5.1.

Cuadro 5.1: Lıneas Comerciales de un Banco y ponderaciones

No Lınea Comercial beta %

1 Finanzas Corporativas 18

2 Negociacion y Ventas 18

3 Banca Minorista (personas) 12

4 Banca Comercial 15

5 Compensacion y Liquidacion 18

6 Agencias de Servicios 15

7 Administracion de Activos 12

8 Corretaje 12

5.3.2. El Enfoque Avanzado: Modelos Actuariales

1. Moscadelli (2004) propone dos Modelos tomados de la literatura actuarial para la

cuantificacion de las perdidas en RO.

69

2. LDA : Modelo de Perdidas Agregadas (Loss Distribution Analysis). Se basa en un

modelo para la frecuencia anual y la severidad de las perdidas para conformar una

perdida agregada y con esta calcular una provision para las perdidas mas extremas.

El Modelo LDA es el Modelo de Riesgo Colectivo del Capıtulo 2. Las provisiones

se calculan con los mismos principios de calculo de primas en el Modelo de Riesgo

Colectivo. Por ejemplo, el principio del percentil del Capıtulo 2, pag. 21.

3. EVT­POT : Analisis de datos extremos superiores a un umbral (Peaks over Thresh­

old). Se basa en el supuesto de que los datos extremos provienen de procesos het­

erogeneos, por lo que es necesario no tomar todos los datos (medianos, pequenos,

extremos) sino solamente los mas extremos. La metodologıa EVT­POT esta tomada

del area de la Ingenierıa (Hidraulica, Civil) y la Actuarıa de Seguros de Bienes en

Reaseguros.

5.4. Metodo LDA (Loss Distribution Analysis)

El metodo LDA consiste en utilizar el mismo modelo para los costos acumulados en un

seguro de bienes, en una vigencia de un ano. Este modelo se introdujo en el Capıtulo 2.

1. Suponga que N una variable aleatoria con valores enteros no negativos, que repre­

senta el numero de perdidas operativas total, en un perıodo de un ano. Por ejemplo,

en una lınea particular de operaciones de un Banco. Se denomina “la frecuencia”.

2. Suponga que X1, X2, . . . son variables aleatorias independientes e identicamente

distribuidas (i.i.d.) con funcion de distribucion acumulada dada porF (x) = P (X ≤x). Independientes de N . Entonces Xj es el valor de la perdida operativa j­esima,

j = 1, 2, . . . , N . Se denomina “la severidad”.

3. En el Capıtulo 2, pag. 9 se definio la variable S como la suma aleatoria de variables

aleatorias. . S es el valor acumulado de las perdidas operativas en un perıodo.

S = X1 +X2 + ...+XN =N∑

j=1

Xj. (5.1)

La funcion de distribucion acumulada de la variable S =∑N

j=1Xj , FS(x), se definio en el

Capıtulo 2, pag. 13, como una distribucion compuesta . Una grafica teorica de FS esta en

70

la Figura (5.1). Muestra lo que es la region de perdidas esperadas, alrededor de la media,

y la region de perdidas extremas, por encima de un percentil alto (VaR).

Figura 5.1: Distribucion de Perdidas Totales Teorica

5.4.1. La Estimacion de las Distribuciones de Frecuencia y Severidad

de Perdidas Operativas

La estimacion de N y Xd= Xj se hace especificando distribuciones adecuadas para estas

variables.

Distribuciones para la variable aleatoria N

Algunas de las distribuciones sugeridas son:

La distribucion Poisson.

La distribucion Binomial Negativa.

En el caso Poisson, E(N) = V ar(N). En el caso Binomial Negativa E(N) < V ar(N).

Distribuciones para la variable aleatoria X

Las distribuciones para X se pueden clasifican en tres categorıas:

71

1. Colas livianas: Weibull

2. Colas medianas: Gamma, Gumbel

3. Colas pesadas: LogNormal, Pareto

La vida media residual es una caracterıstica asociada a X que permite definir las

categorıas anteriores. Se define mas adelante, ver (5.21). Ademas, el estimador de

la vida media residual permite decidir a cual categorıa pertenece una distribucion a

partir de una muestra, ver (5.22).

En Moscadelli (2004) se propone el analisis con distribuciones LogNormal y Gum­

bel.

Chaubey and Trudeau (1998) propone ajustar la distribucion de severidad utilizando

distribuciones Gamma, Pareto, Weibull e Inversa Gaussiana.

Gendron and Crepaud (1989) utilizan la distribucion Inversa Gaussiana para la

distribucion de las severidades Xj.

Algunas de las distribuciones mencionadas se definen ası.

1) La distribucion Weibull. se define por su funcion de densidad (fdp) ası:

f(x) =τ

λ

(τλ

)τ−1

e−(x/λ)τ

, x ≥ 0, (5.2)

donde λ > 0 es el parametro de escala y τ > 0 es el parametro de forma.

2) La distribucion Gumbel. se define por su funcion de densidad (fdp) ası:

f(x) = exp

(− exp

(−x− µ

σ

)), (5.3)

para −∞ < x <∞.

3) La distribucion LogNormal. se define tambien por su fdp ası:

f(x) =1√

2πσxexp

(−(

ln(x) − µ

2σ

)), (5.4)

para x > 0.

72

4) La distribucion Inversa Gaussiana. La forma de la funcion de densidad de la IG

esta dada por:

f(x;µ, σ) =( σ

2πx3

) 1

2

exp

−σ(x− µ)2

2µ2x

, x ≥ 0, (5.5)

donde µ y σ son constantes positivas. La media y la varianza de la distribucion

Inversa Gaussiana estan dados por: E[X] = µ, V ar[X] = µ3

σ.

La distribucion IG tiene la propiedad reproductiva (infinitamente divisible), como

en la Normal y la Gamma, de que la suma de variables independientes que se

distribuyen Inversas Gaussianas es Inversa Gaussiana.

5) La distribucion Gamma. La forma de la funcion de densidad de la Gamma esta dada

por:

f(x) =1

βαΓ(α)xα−1e−x/β, x ≥ 0, (5.6)

donde α > 0, β > 0.

6) La distribucion Pareto. La forma de la funcion de densidad Pareto esta dada por

f(x) = αλα(λ+ x)−α−1, x ≥ 0, (5.7)

donde α > 0, λ > 0.

Ejemplo de Analisis en Moscadelli

En Moscadelli (2004) se presento un analisis en el cual se explica las ventajas de agrupar

los datos en categorıas, denominada la Estrategia de Fraccionamiento­Agrupamiento.

La estrategia consiste en la Division en Lıneas Comerciales por Tipos de Eventos, para

un total de 8x7 = 56 categorıas para producir un efecto de agrupamiento­fraccionamiento

que garantice independencia y poder sumar los VaR. El objetivo es generar un VaR para

cada combinacion de Lınea y Evento, para luego agrupar y obtener un VaR total. Ver el

Cuadro 5.2.

1. Al reunir datos de 89 Bancos por categorıa, resulta que en cada una estos pueden

verse como una muestra i.i.d., con lo cual se evita dependencias y se elimina el

caracter de no­repetibilidad de ciertos eventos.

73

Cuadro 5.2: Lıneas Comerciales y Tipos de Eventos

No Lınea Comercial Tipo de Evento de Riesgo

1 Corporativa Fraude Interno

2 Ventas Fraude Externo

3 Banca Minorista Relaciones Laborales

4 Banca Comercial Clientes

5 Compensacion y Liquidacion Danos a Activos Fısicos

6 Agencias de Servicios Fallas Tecnologicas

7 Administracion de Activos Ejecucion y Administracion de Procesos

8 Corredores

2. Se encontro en este estudio que ciertas distribuciones tradicionales,la LogNormal

por ejemplo, ajustan las observaciones centrales, sin tomar en cuenta de manera

adecuada las perdidas extremas. Lo que impide la utilizacion de la metodologıa LDA.

Ver por ejemplo, la Figura (5.2), muestra el ajuste en las colas de las distribuciones

LogNormal y Gumbel, para el caso de Perdidas Operativas en el ramo de Banca

Corporativa.

3. En contraste, la teorıa EVT, en su version POT­GPD, provee una estimacion ade­

cuada de la cola de la distribucion a partir del percentil alto, por ejemplo, de 95 %,

confirmada a traves de 3 test de bondad de ajuste.

4. Se estimo que la Banca Corporativa es la que tiene mayor riesgo, con un VaR

al 99.9 % de 260e mill. Lo sigue la Banca Comercial con 151e mill. La Banca

personal con 17e mill y Corredores con 27e mill.

5. Las distribuciones Gumbel y LogNormal resultaron ser las que mejor ajuste pre­

sentaron en los 8 grupos de datos. Sin embargo, no pasaron las pruebas de ajuste

Kolmogorov­Smirnov y Anderson­Darlin.

6. Comentario: Por que no ajustaron los datos las distribuciones?. Que consecuencia

tendrıa para el calculo del VaR utilizar estos resultados de estimacion convencional?.

Es valido utilizar el modelo LDA?.

74

Figura 5.2: Prueba Grafica: comparacion en la cola derecha, en Moscadelli (2004), pag.23

Calculo de las provisiones en el sistema LDA

En Shevchenko (2010):“Estimation of the operational risk capital under the Loss Distri­

bution Approach requires evaluation of aggregate (compound) loss distributions which

is one of the classic problems in risk theory. Closed­form solutions are not available

for the distributions typically used in operational risk. However with modern computer

processing power, these distributions can be calculated virtually exactly using numerical

methods... In particular Monte Carlo, Panjer recursion and Fourier transformation methods

are presented and compared. Also, several closed­form approximations based on moment

matching and asymptotic result for heavy­tailed distributions are reviewed.”

Si se denota FS(x) la fda de la variable S y se toma una probabilidad pequena q se define

la provision como el percentil­q de S, por tanto, se cumple P(S ≤ Π) ≥ 1 − q.

Π = Sq = Mins : FS(s) ≥ 1 − q. (5.8)

La prima es un valor que permite un balance entre la posible perdida que debe asumir

la Companıa y los recursos provenientes de los recaudos de primas individuales.En este

sentido, de ser una medida de la posible perdida que experimenta una Companıa, es

equivalente al concepto de VaR que se define en el Capıtulo 3, en el contexto de Medidas

de Riesgo en Portafolios. Y tambien es la misma la interpretacion que se utiliza para

75

calcular la Provision en el Sistema de Administracion del Riesgo Operativo, en el Capıtulo

5, y en el Sistema de Administracion del Riesgo de Credito en creditos de consumo, en el

Capıtulo 6.

El Metodo de Aproximacion NP (2.9) permite una evaluacion de la Prima como el percentil

de (1− q)% de FS, Sq. Reenplazando S por Sq en la aproximacion NP De (2.9) se obtieneSq−µS

σS≈ zq + γ1,s

6(z2

q − 1), donde zq es el q­percentil de una Normal estandar, con

Φ(zq) = 1 − q. Luego, despejando Sq se obtiene

Π = µS + σS(zq +γ1,s

6(z2

q − 1)). (5.9)

5.5. Metodo EVT­POT (Extreme Value Theory ­ Peaks

Over Threshold)

Se basa en una teorıa estadıstica: La Teorıa de Valores Extremos, EVT.

Esta teorıa se aplica para distribucion de datos extremos, en dos versiones: 1)

Distribucion de maximos por bloques y 2) POT = peaks over threshold = picos

sobre umbrales.

POT se basa de determinar un umbral por encima del cual los excedentes se dis­

tribuyen de acuerdo a una distribucion Pareto Generalizada, GPD.

Un paso clave es determinar el umbral. La tecnica se base en un estimador de la

vida media residual. La vmr es E(X − u|X > u) para varios valores de u.

5.5.1. La Teorıa de Valores Extremos

La Teorıa de Valores Extremos la iniciaron Fisher and Tippett (1927), y ha tenido apli­

caciones en varias areas, por ejemplo, en la hidrologıa, en la prediccion de eventos

inusuales, como inundaciones y desbordamientos de rios. Recientemente ha sido aplicada

en econometrıa financiera en la prediccion de perdidas catastroficas en portafolios de

inversiones, asociadas con movimientos extremos en las Bolsas.

Una definicion clave es la de funcion de variacion regular porque permite dar una forma

operativa a la idea de cola pesada, ademas de tener importantes aplicaciones en diferentes

76

areas, como Procesos de Ramificacion, Colas, Teorıa de Riesgo, etc.. Una revision de la

teorıa con un enfoque estadıstico esta en Beirlant, Teugels, and Vynckier (1996).

Definicion 5.5.1 (Variacion Regular).

Dada X ∼ F en [0,∞), defina F (x) = 1 − F (x). Si se cumple que

lımx→∞

F (tx)

F (x)= t−α

para cierto α > 0 y todo t > 0, entonces se dice que F (x) es de variacion regular de

ındice a y se denota por F ∈ Ra.

Una propiedad relativa a los problemas mencionados en el paragrafo anterior sobre la

existencia del momento de segundo orden de los rendimientos es: si k > α entonces

E(Xk)

= ∞, y si k < α entonces E(Xk)<∞.

Definicion 5.5.2 (Distribuciones de Valor Extremo).

La distribucion de valor estremo de parametros ζ , µ , β se define como

Hζ , µ , β(x) = exp(−(1 +

ζ(x− µ)

β

)− 1

ζ

)1 +

ζ(x− µ)

β≥ 0,

para ζ ∈ R , µ ∈ R , β > 0. El caso ζ = 0 se interpreta como ζ → 0. El caso ζ > 0 se

denomina distribucion tipo Frechet, el caso ζ < 0 se denomina Weibull y el caso ζ = 0 se

denomina Gumbel.

Teorema 5.5.1 (Teorema de Fisher­Tippett).

Sea Xi , i = 1, 2, · · · una sucesion iid con distribucion F , tal que exista sucesiones

an > 0 , bn ∈ R que cumplan

max(X1, · · · , Xn) − bnan

d−→ Y , n→ ∞,

entonces existe ζ ∈ R , µ ∈ R , β > 0 tal que Y ∼ Hζ , µ , β.

La relacion entre las distribuciones de Frechet y la variacion regular esta dada por el

teorema siguiente.

Teorema 5.5.2 (Teorema de Gnedenko). Con el enunciado del Teorema anterior,

Y ∼ Hζ , 0 ,1 con ζ =1

α> 0 ⇐⇒ F ∈ Ra.

77

Definicion 5.5.3 (Distribucion Pareto Generalizada GPD). Se define la distribucion Pareto

Generalizada como

Gζ,β(x) = 1 − ln(Hζ,0,β(x) = 1 −(1 +

ζx

β

)− 1

ζ, (5.10)

para ζ 6= 0, y Gζ,β(x) = 1 − e−xβ si ζ = 0. Con x ≥ 0 si ζ > 0, y 0 ≤ x ≤ −β

ζsi ζ < 0.

5.5.2. Procedimiento de Calculo del percentil q de X

El paso clave para aplicar POT es definir la funcion Fu(y). Es la distribucion del exceso

sobre el umbral, definida como la variable Y = X − u|X > u, y esta dada por:

Fu(y) = P (X − u ≤ y|X > u) =FX(u+ y)− FX(u)

1 − FX(u), y > 0, (5.11)

Si la distribucion de una GPD se indica por G(y) entonces se esta asumiendo que se

cumple:

Fu(y) ≈ G(y), (5.12)

para u un percentil alto deX, p.ej. de 95 %. Este supuesto se justifica cuando se comprueba

que no es posible ajustar los datos con distribuciones de cola pesada. Quiere decir que la

cola de la distribucion obedece una distribucion GPD. Esta aproximacion esta apoyada en

el Teorema (5.5.3).

Teorema 5.5.3 (Teorema de Pickands­Balkema­de Haan). Suponga que F tiene distribu­

cion de excesos Fu, u ≥ 0. Entonces, para ζ ∈ R

Y ∼ Hζ , 0 ,1 ⇐⇒ existe β(u) funcion positiva tal que

lımu→∞

supx≥0

∣∣ F u(x) − G ζ , β(u)(x)∣∣ = 0

La consecuencia es que se puede “reconstruır” la distribucion de las perdidas colocandole

una “cola” tipo GPD. La identidad FX(u+y) = (1−FX(u))Fu(y)+FX(u) se reemplaza

por FX(u+ y) = (1 − FX(u))G(y) + FX(u), para y > 0. Colcando x = u+ y > u, se

tiene FX(x) = (1 − FX(u))G(x− u) + FX(u).

Ahora se considera el percentil (1 − q)100% de X indicado por ζq. Se cumple FX(ζq) =

1 − q, luego, con FX(u) = 1 − FX(u),

FX(ζq) = 1 − q

78

= (1 − FX(u))G(ζq − u) + FX(u)

= FX(u)G(ζq − u) + 1 − FX(u)

= 1 + FX(u)(G(ζq − u) − 1)

= 1 − FX(u)

(1 +

ζ

β(ζq − u)

)−1/ζ

.

Cancelando y reorganizando la ultima expresion se obtiene, al despejar ζq

V aR(q) := ζq = u+β

ζ

((FX(u)

q

)ζ

− 1

)

. (5.13)

Notese que q y u deben escogerse de tal forma que se cumple FX(u) > q

Estimacion del Percentil q de X

Suponiendo que se tienen estimadores (ζ , β), se define nu =∑n

i=1 I(xi > u) y se

reemplaza FX(u) = 1 − F (u) por nu/n. Entonces, reemplazando en (5.13), se obtiene la

estimacion del percentil q de X siguiente.

ζq = u+β

ζ

((nu

nq

)bζ− 1)). (5.14)

5.5.3. Calculo del VaR por el Metodo POT

La provision dada por el percentil ζq (5.13) no es suficiente si no se considera la frecuencia

con que ocurren las perdidas extremas. Si se usara solamente por ejemplo, (5.14) se podrıa

sub o sobre estimar la provision dependiendo de si la probabilidad de ocurrencia anual de

perdidas con una magnitud mayor que el percentil de (1­q) % de X sea mayor o menor de

q %, respectivamente.

En contraste, la provision calculada con el metodo LDA sı considera la frecuencia porque

la provision es una prima, Π calculada como una funcion de la distribucion compuesta

S =∑N

j=1 Xj . El metodo POT calcula una provision con base en la informacion de las

perdidas anuales Xj , pero se requiere incorporar la informacion de la frecuenciaN .

Definicion 5.5.4. Dado u > 0 se define la frecuencia de Perdidas Extremas como

Nu =n∑

j=1

I(Xi > u). (5.15)

79

Entonces se define la provision para los costos operativos totales, mediante el metodo

EVT­POT, utilizando el percentil q de X, como

Definicion 5.5.5.

V aR(S, q, u) = E(Nu)ζq. (5.16)

Considerando nuevamente nu =∑n

i=1 I(xi > u) y q ∈ (0, 1) tales que nu/n > q,

entonces se define la provision estimada es V aR(S, q, u) = nuζq .

Hay otras dos medidas de riesgo adicionales: el Capital en Riesgo CVaR o ES (expected

shortfall), y la MS (median shortfall), Capital en Riesgo Mediano (1). Definidas con

respecto a la variableX.

Definicion 5.5.6. El CVaR(q) con respecto a X es

CV aR(q) =ζq + β − ζu

1 − ζ. (5.17)

Definicion 5.5.7. El MS con respecto a X es

MS(q) = u+β

ζ(2ζ − 1). (5.18)

Y las correspondientes provisiones para el costo total con base en estas dos medidas son

Definicion 5.5.8. El CVaR con respecto a S es

CV aR(S, q, u) =E(Nu)(ζq + β − ζu)

1 − ζ. (5.19)

Definicion 5.5.9. El MS con respecto a S es

MS(S, q, u)) = E(Nu)(u+ β(2ζ − 1)/ζ). (5.20)

Los correspondientes estimadores de (5.19),(5.20) se obtienen reemplazando estimadores

(β, ζ) y E(Nu) = nu en esas expresiones.

1No es inmediato como traducir “expected shortfall”

80

5.5.4. Estadısticos para Analisis de Datos Extremos

Para realizar los analisis anteriores se requiere determinar a cual dominio de atraccion

pertenecen los datos (Frechet, Weibull, Gumbel). Ademas, las formulas de la seccion

anterior requieren el valor de u para determinar los valores xi − µ > 0 con los cuales

ajustar una distribucion generalizada Pareto Gζ,β(x). Algunos estadısticos de uso en

Analisis de datos extremo son:

1) La Vida Media Residual

Se define como la funcion

e(u) = E(X − u | X > u) , u ≥ 0, (5.21)

estimada mediante el estadıstico:

en(u) =

∑nj=1(xj − u)I(xj > u)∑n

j=1 I(xj > u)(5.22)

La aplicacion de (5.22) se puede hacer mediante las siguientes observaciones (ver

Hoog and Klugman (1984, pag.109), y Beirlant, Teugels, and Vynckier (1996, pag.

39):

a) Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia lineal creciente

entonces la distribucion puede pertenecer al dominio de atraccion de una

distribucion Pareto. Se basa en el resultado siguiente:

Proposicion 5.5.1. (ver Beirlant, Teugels, and Vynckier (1996, pag. 54) ) Si

X es de tipo Pareto con α =1

ζ, 0 < ζ < 1 entonces

e(u)

u−→ 1

α − 1, u→ ∞

b) Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia constante entonces

la distribucion es Exponencial.

c) Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia decreciente puede

ser una distribucion Weibull con τ > 1, o una Gamma con α > 1.

d) Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia decreciente y luego

creciente en lınea reacta puede tratarse de una Lognormal.

81

2) Estadıstico de Hill

ParaX en el dominio de atraccion de la distribucion Frechet con ζ > 0, el estadıstico

de Hill se define como:

ζk =1

k

k∑

j=1

ln(Xj , n ) − ln(Xk+1 , n )

donde k = k(n) debe escogerse de la grafica(k , ζk

)como un valor en el cual la

grafica se estabiliza.

Ejemplo de Estimacion de la Vida Media Residual

En la Figura (5.3) se muestran los estimadores de la vida media residual de los costos de

seis servicios medicos en el ano 1991 en la Caja de Prevision Social de la Universidad

Nacional de Colombia, en Medellın. Una Entidad que prestaba servicios medicos en 32

especialidades, en la epoca inmediatamente anterior a la implantacion de la Ley100/93.

Los datos estan en pesos de 2011.

0e+00 1e+06 2e+06 3e+06 4e+06

0e+0

01e

+06

2e+0

63e

+06

odontologia

Threshold

Mean

Exce

ss

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

040

0000

8000

0012

0000

0

laboratorio

Threshold

Mean

Exce

ss

0e+00 1e+06 2e+06 3e+06 4e+06 5e+06 6e+06

0e+0

02e

+06

4e+0

6

hospitaliza

Threshold

Mean

Exce

ss

0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000

040

0000

8000

0012

0000

0

drogas

Threshold

Mean

Exce

ss

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

−500

000

5000

0015

0000

0

cir.general

Threshold

Mean

Exce

ss

4e+04 6e+04 8e+04 1e+05

−500

000

5000

0015

0000

025

0000

0

cardiologia

Threshold

Mean

Exce

ss

Figura 5.3: VMR de Seis Servicios Medicos en la Caja de Prevision ­ Medellın ­ 1991

82

La regla es que en donde la grafica empieza a presentar un segmento de recta se encuentra

el umbral. Sin embargo, no es tan inmediato visualizarlo. En el caso de Odontologıa podrıa

tomarse como unbral u = 1mill. De todas maneras se puede comparar con los percentiles

en el Cuadro 5.4.

Cuadro 5.3: Totales de seis servicios Ano 1991 CPS­Medellın

No casos Suma (en mill de pesos de 2011)

odontologia 1071 260.208798

laboratorio 2118 93.249841

hospitaliza 353 261.997637

drogas 15686 859.921609

cir.general 57 19.801655

cardiologia 9 6.410000

Cuadro 5.4: Percentiles Costos de Odontologıa en 1991 CPS­Medellın

75 % 85 % 95 % 99 %

228.522 345.363 728.954 3’377.363

Procedimiento para implementar la aproximacion

Una vez identificado el umbral ( o se decide cual es, p.ej. un percentil de 80 %), se calculan

los excedentes como ui = xi −u para las perdidas xi tales que xi > u. Con estos datos se

estima una distribucion GPD(y; ξ, 0, σ), por maxima verosimilitud (hay otros metodos

en la librerıa POT de R). Se obtienen ξ, σ. Se estima: ˆFX(u) := nu/n donde nu es el

numero de excedentes sobre u, y n es el total de perdidas operativas para el estudio. Se

obtiene finalmente

FX(x) = 1 − nu

n

(1 + ξ

(x− u

σ

))−1/ξ

83

Conclusiones

En vista de los resultados preliminares del estudio se pueden sacar algunas conclusiones:

Agrupar los datos segun lıneas comerciales y tipo de evento resulta una estrategia

conveniente si para remediar la falta de informacion se requiere conformar una base

con experiencias de distintas entidades.

El analisis convencional: usar la totalidad de los datos y usar distribuciones de uso

comun puede llevar a una estimacion deficiente en los extremos de las colas derechas

de las distribuciones que es la parte importante para el calculo de las provisiones.

Es necesario desarrollar una herramienta apropiada.

Una alternativa es: la teorıa de valores extremos.

Usar un Software apropiado. Por ejemplo: R tiene varias librerıas disenadas es­

pecıficamente para los problemas de medicion de riesgo: de mercado, de credito y

operativo. ( Y es gratis...)

5.6. Ejemplo de Procedimiento en R para aplicar LDA y

POT

5.6.1. Analisis POT

El objetivo es decidir si los datos pueden analizarse con el modelo POT. En caso tal,

calcular la provision anual. Todos los pasos siguientes se pueden implementar con la

librerıa POT de R, Ribatet (2007).

Analisis exploratorio

Presente los resultados de las estadısticas basicas en una tabla:

length(v) numero de datos summary(v) resumen estadisticas basicas skewness(v) asimetria

kurtosis(v) curtosis

Que concluye inicialmente? Cual tiene mayor asimetrıa y curtosis?.

84

Grafique los 4 diagnosticos: histograma, boxplot, dotchart y densidad. El objetivo con

estos graficos es determinar si puede identificarse un umbral por encima del cual estarıan

las perdidas mas extremas. Reporte graficas. Y si es el caso, un posible valor para el

umbral.

Grafica de la vida media residual

El paso clave para aplicar el modelo POT es determinar el umbral u. La librerıa POT

provee la funcion mrlplot para la vida media residual. Reporte la grafica

par(mfrow = c(1,1))

mrlplot(x)

1) Si la grafica muestra una tendencia decreciente se recomienda realizar un analisis LDA

porque los datos no son extremos. 2) Si la grafica muestra una tendencia creciente se

recomienda un analisis POT. En este caso, determine si existe un posible umbral u, usando

la sugerencia del artıculo de Moscadelli: detecte una seccion de lınea recta en la grafica la

vida media residual. La abscisa donde comienza tal seccion es un posible valor del umbral.

Si no resulta la sugerencia, escoja como umbral uno de los percentiles altos, que se calculan

con:

quantile(v,probs=c(75,85,95,90)/100)

coloque, por ejemplo, u = quantile(v, probs = 90/100)

Frecuencias de casos

Determinar cuantos datos quedan por encima del umbral.escoja u tal que el numero de

datos no sea menor de 30.Genere los excedente yi = xi−u para xi > u, con la instruccion:

nu = sum(x >= u)

y = v[v > u]­u

Ajuste de la distribucion Pareto Generalizada con los datos de exceso sobre el umbral

La librerıa POT tiene la funcion “fitgpd"para estimar el modelo Pareto Generalizado, a

partir de los datos de perdidas operacionales y del umbral escogido. Programe:

85

mle = fitgpd(v, u, "mle")$param

ad = fitgpd(v, u, "mgf", stat = "AD")$param

sigma = mle[1]

xi = mle[2]

si el valor de xi es negativo, usar la alternativa:

ad = fitgpd(v, u, "mgf", stat = "AD")$param

sigma = ad[1]

xi = ad[2]

Reporte el valor de los parametros de la distribucion GPD estimados: sigma y xi.

Examen del ajuste del modelo

Decida si el modelo GPD resulto adecuado para los excesos por encima del umbral.

1) Use las pruebas graficas:

Diagrama de cuantiles

par(mfrow=c(1,1))

x.teo<­rgpd(n=length(y), loc = 0, scale =

mle[1], shape = mle[2])

qqplot(x.teo,y,main="QQ­plot distr. GPD")

abline(0,1)

Decision: si los puntos aparecen muy alejados de la lınea recta, no se acepta el modelo

GPD para los excedentes. En caso contrario, sı. La grafica de la funcion de distribu­

cion acumulada estimada versus la distribucion acumulada empırica. (ver el artıculo de

Moscadelli en las Figuras 2­5 de las pags. 23,24 ).

par(mfrow=c(1,1))

ejex = seq(0,max(y),length.out = 100)

plot(ejex, pgpd(ejex,loc = 0, scale = mle[1], shape = mle[2]),

type="l", col="red", main="ECDF y GPD CDF")

plot(ecdf(y),add=TRUE,verticals= TRUE, do.points = FALSE)

86

Decision : si la lınea continua esta cercana de la lınea escalonada se acepta la distribucion

GPD para los excedentes. En caso contrario, se rechaza.

2) Use la prueba KS .

ks.test(y,"pgpd", list(loc = 0, scale = sigma, shape = xi), H = NA)

Decision: si el valor p es mayor de 0.05 se acepta que los datos son GPD. Si es menor se

rechaza. Reporte el resultado de las pruebas.

Calculo de las medidas de severidad

Calcule la medida de severidad para un nivel de confianza de (1­q)100 %, con q = 0.05,

0.01. NOTA: para el VaR se requiere que q sea menor que el cociente n/nu . Chequee que

se cumple esta condicion y reporte las medidas:

V aR = u+ σ((nq/ν)−ζ − 1)/ζ (5.23)

ES = (V aR+ σ − ζu)/(1 − ζ) (5.24)

MS = V aR+ σ(2ζ − 1)/ζ (5.25)

Calculo de las frecuencias promedio

Se toman los datos y fechas por encima del umbral D1 = D[ which(v >u), ] attach(D1)

fc = years(fecha) tf = table(fc)

Reporte la grafica del numero de casos de RO por ano y el promedio anual barplot(tf)

(mean(tf))

Calculo del Capital en Riesgo, CaR

Reporte el capital en riesgo

CaR = mean(tf)*medida

con medida = ES y MS

87

5.6.2. Analisis LDA

Ajustar una distribucion LogNormal a las perdidas

mle = fitdistr(x, "lognormal")

mu = mle$estimate[1]

sigma = mle$estimate[2]

Decida si el modelo Lognormal resulto adecuado para los datos de perdidas operativas.

1) Use las pruebas graficas:

Diagrama de cuantiles

v.teo = rlnorm (n=length (v), meanlog = mu, sdlog = sigma)

qqplot (v.teo,v,main="QQ­plot distr.LogNormal")

abline(0,1)

Decision: si los puntos aparecen muy alejados de la lınea recta, no se acepta el modelo

Lognormal para los datos. En caso contrario, sı.

La grafica de la funcion de distribucion acumulada estimada versus la distribucion acu­

mulada empırica. (ver el artıculo de Moscadelli (2004), las Figuras 2­5 de las pags. 23,24

).

xx = seq(mean(v),max(v),length.out=100)

plot(xx, plnorm(xx, meanlog = mu, sdlog = sigma),

type="l",col="red", main="distribucion LogNormal ")

plot(ecdf(v),add=TRUE,verticals= TRUE, do.points = FALSE)

Decision : si la lınea continua esta cercana de la lınea escalonada se acepta la distribucion

Lognormal para los datos. En caso contrario, se rechaza.

2) Use la prueba KS .

ks.test(v, "plnorm", list(meanlog = mu, sdlog = sigma), H = 10)

Decision: si el valor p es mayor de 0.05 se acepta que los datos son Lognormal. Si es

menor se rechaza. En caso de no ajustar una distribucion Lognormal los resultados de la

provision no resultan confiables.

88

Definir el modelo de perdidas agregadas

Defina el modelo de frecuencias con una distribucion Poisson con parametro igual al

promedio anual

model.freq = expression(data = rpois(mean(tf)))

Defina el modelo de severidad con una distribucion Lognormal

model.sev = expression(data = rlnorm( meanlog = mu, sdlog=sigma)

Calculo del Capital en Riesgo, CaR

Calcular la distribucion de perdidas agregadas

Fs = aggregateDist("simulation",model.freq, model.sev, nb.simul = 1000)

VaR(Fs)

CTE(Fs)

La librerıa actuar solamente tiene implementados el VaR y el CTE = conditional tail

expectation = esperanza condicional residual, que es igual al ES = expected shortfall.

CAPITULO 6

Modelos Actuariales para Riesgo de Credito

6.1. Introduccion: El Modelo de Riesgo Individual

En la primera parte de este capıtulo se introduce el modelo actuarial conocido como el

modelo de riesgo individual, que permite calcular las provisiones como la prima de un

portafolio de polizas de seguros. En caso de que la prima sea por el principio del percentil,

la provision es equivalente al VaR. Este modelo es la base para el SARC, el Sistema de

Administracion de Riesgo de Credito. Ademas, en la ultima parte, es tambien la base para

el modelo de CreditRisk+, una generalizacion del modelo para el SARC, en el cual la

probabilidad de default depende de variables exogenas.

Se asume una Entidad, por ejemplo, un Banco o una Cooperativa Financiera, que ofrece

creditos de consumo para personas naturales y jurıdicas, como pymes, incluyendo creditos

de vivienda. El problema asociado con un portafolio de creditos consiste en medir la

exposicion o monto de una posible perdida por incumplimiento en los pagos de los

deudores. Es decir, medir el riesgo de credito en los portafolios.

89

90

El Modelo de Riesgo Individual

El modelo se define a partir de las siguientes variables. (ver (Bowers, Gerber, Hickman,

Jones, and Nesbitt 1997, chap.2))

1. Un grupo de n variables Bj ≥ 0, j = 1, . . . , n. Las variables Bj pueden ser

aleatorias. Pero tambien pueden reducirse a constantes. En este caso representa el

saldo del credito j­esimo en un tiempo determinado.

2. Un grupo de n variables aleatorias independientes Ij ∼ Bin(1, qj), distribuıdas

Binomiales con parametros (1, qj), donde qj ∈ [0, 1].

3. Las variables cumplen Ij ∈ 0, 1, donde Ij = 1 es el evento de presentar el credito

i­esimo default o incumplimiento de pago en un perıodo de tiempo determinado.

4. Cada producto BjIj representa la perdida posible en el credito j­esimo. Y la suma

S =

n∑

j=1

BjIj, (6.1)

representa el total de perdidas en el portafolio, en un perıodo de tiempo. La variable

S en (6.1) se denomina el Modelo de Riesgo Individual. .

Es inmediato que

µs = E(S) =n∑

j=1

qjµj, (6.2)

donde E(Bj) = µj .

σ2s = V ar(S) =

n∑

j=1

qj(1 − qj)µ2j +

n∑

j=1

qjσ2j , (6.3)

donde V ar(Bj) = σ2j .

El problema de calcular una provision se resuelve mediante la aproximacion Normal a la

distribucion de S y luego aplicando el principio del percentil, lo cual equivale a calcular

el VaR.

En Bowers, Gerber, Hickman, Jones, and Nesbitt (1997) se recomienda la aproximacion

Normal por aplicacion del Teorema del Lımite Central, si n es grande, como se propuso

para el caso del Modelo de Riesgo Colectivo, en el Capıtulo 2, pag. 16.

91

P(S ≤ z) ≈ Φ

(z − µs

σs

). (6.4)

Por tanto, el V aR(q) al nivel de (1 − q)% con base en la aproximacion normal queda

V aR(q) = µs + zqσs.

La alternativa de utilizar simulacion puede tambien ser practica, como se muestra en el

modelo CreditRisk+ mas adelante.

6.2. El Modelo SARC con Base en el Modelo de Riesgo

Individual

Uno de los objetivos del Sistema de Administracion de Riesgos Crediticios, SARC, es el

calculo de las provisiones.

La Institucion debe definir las polıticas de constitucion de provisiones gen­

erales e individuales necesarias para absorber las perdidas esperadas derivadas

de la exposicion crediticia de la entidad y estimadas mediante metodologıas

y analisis desarrollados en el SARC...estas metodologıas, que pueden incluır

el desarrollo de modelos sofisticados, deben estar en capacidad de determinar

el valor mas probable de perdida en caso de incumplimiento de la contraparte

para cada uno de los portafolios de credito, tomando en cuenta la definicion de

incumplimiento que se utilice. (ver SuperBancaria (2002, pag 6. sec. 1.2.2),

Criterios de seguimiento y control).

1. Un credito a T meses tiene saldo a capital en el mes j = 1, 2, ..., T denotado por

Fj. El valor inicial del saldo es el valor del credito y el valor final en j = T debe

ser cero, aunque en la practica, debido a la posibilidad de mora en los pagos, no

necesariamente es cero.

2. El evento de incumplimiento de un pago en un mes cualquiera se denomina mora.

El evento de completar, por ejemplo, 181 dıas o mas de mora se denomina default.

El evento de cancelacion consiste en cancelar anticipadamente la obligacion o en la

cancelacion normal por terminacion de los pagos pactados.

92

3. Se asume que en cualquier mes del credito, j, se puede iniciar el proceso de no pago

que lleve el credito a un estado de default, independientemente del tiempo que falta

para el vencimiento de la obligacion, T − j.

4. Cuando un credito entra en default se asume que se inicia un proceso de cobro

jurıdico que puede durar un perıodo de tiempo arbitrario. Al final del proceso de

cobro se liquida el bien dado en garantıa, si el credito tenıa una garantıa hipotecaria.

Si tenıa una garantıa personal se procede a rematar los bienes ofrecidos en garantıa

por el fiador. En caso de un cobro de tipo administrativo en lugar del judicial se

asume que el total recuperado consisten en los cobros con base en el embargo del

salario del deudor.

5. Los creditos activos se clasifican en cada mes j en una de las 7 categorıas, segun los

dıas de mora. El estado 7 es el de default.

6. El modelo planteado en este capıtulo se basa en la definicion de las 7 categorıas o

estados de mora, dadas en el Cuadro 6.1 a continuacion. Es claro que se pueden

modificar estas categorıas a un conjunto equivalente con menos mas categorıas.

Cuadro 6.1: Categorıas de Mora e Intervalos de Tiempo

categorıa intervalo en dıas

A mora entre 0 y 30 dıas

B mora entre 31y 60 dıas

C mora entre 61 y 90 dıas

D mora entre 91 y 120 dıas

E mora entre 121 y 150 dıas

F mora entre 151 y 180 dıas

G mora mayor o igual a 181 dıas (default)

Un credito empieza en el estado A y puede avanzar al estado siguiente o permanecer

en A. Esta condicion implica que un credito no puede transladarse en un mes a una

categorıa superior distinta de la inmediatamente superior, excepto si esta en la G

93

(default) ya que puede abonar o cancelar la totalidad de la mora y colocarse en una

cualquiera de las categorıas anteriores.

Definicion del Modelo

El modelo consiste en la definicion de la variable S que representa la perdida en un

portafolio de N creditos, debidas a incumplimiento de pagos en algunos de los creditos,

lo que implica la perdida monetaria del saldo de los mismos, disminuıda en un porcentaje,

correspondiente a una tasa de recuperacion.

Se asume que los dıas acumulados de mora (morosidad) en un credito cualquiera evolucio­

nan aleatoriamente segun una Cadena de Markov finita homogenea , (Xn, n = 0, 1, . . .),

con espacio de estadosE = 1, 2, . . . , 7, y con una matriz de transicionesP , denominada

“matriz de rodamiento”. La cadena es irreducible, y todos los estados se pueden acceder

desde otro cualquiera. El numero de estados en E no es restrictivo, y se puede colocar

E = 1, 2, . . . , d en general.

Definicion 6.2.1. Matriz de Rodamiento. Las probabilidades de transicion entre los

estados en E conforman una matriz de 7 filas por 7 columnas, denominada Matriz de

Rodamiento, indicada por P . La entrada o celda correspondiente a la fila i y la columna

j se denota por Pi,j . Por ejemplo, P1,2 = 0.034 se interpreta diciendo que un credito

cualquiera, que se clasifico al inicio del mes en el estado A, se clasificara, al final del

perıodo, en el estado B, con una probabilidad de 3.4 %.

Las entradas de cada fila de la matriz de rodamiento indican las probabilidades que tiene

un credito de pasar del estado correspondiente a esa fila a otro cualquiera de los estados

permitidos, incluyento aquel en el que estaba inicialmente.

Ejemplo 6.2.1. Un ejemplo de matriz P es (6.5) dada a continuacion. Notese que P7,7 =

0.9665, que se interpreta como que al alcanzar un credito mas de 180 dıas de mora hay

una probabilidad de 96.65 % de que no se recupere y pase a cobro jurıdico.

94

P =

0.9681 0.0319 0 0 0 0 0

0.4503 0.3271 0.2226 0 0 0 0

0.2229 0.1963 0.1984 0.3824 0 0 0

0.1307 0.0608 0.0805 0.0881 0.6398 0 0

0.0874 0.0122 0.0427 0.0488 0.061 0.748 0

0.0590 0.0047 0.0094 0.0142 0.0354 0.0519 0.8255

0.0209 0.0007 0.0014 0.0036 0.0021 0.0048 0.9665

(6.5)

Definicion 6.2.2. Probabilidad de Default. La probabilidad de default de un credito

clasificado en una de las categorıas k = 1, 2, ..., 6, se define como la probabilidad de que

este llegue a la categorıa G en un tiempo mınimo, y esta dada por:

qk = P 7−kk,7 , k = 1, 2, ..., 6. (6.6)

El exponente 7 − k indica que la probabilidad es la celda (k, 7) de la potencia 7 − k

de la matriz de rodamiento P . Para el caso k = 7 el exponente es cero lo cual implica

que q7 = 1.0. En lo que sigue s = 1, 2, ..., N denota uno cualquiera de los creditos, con

categorıa de mora ks = 1, 2, ..., 6, 7.

Definicion 6.2.3. Tasa de Recuperacion. Se supone que el credito s entro al estado 7, no

hace ninguna abono y se inicia el proceso de cobro jurıdico. Definimos:

i) La variable V Gs denota el valor recuperado al final del proceso, cuando hay una

garantıa sobre un bien o una hipoteca. Se asume que esta variable es aleatoria.

ii) La variable C es el costo del proceso judicial. No es aleatoria.

iii) La variable Tf es la duracion de la liquidacion de la garantıa. Se asume aletoria.

iv) La variable Fs,Tfes el saldo a capital despues del perıodo Tf .

entonces la tasa de recuperacion para el credito s se define como la variable aleatoria

Us ∈ [0, 1]

Us =V Gs − C

Fs,Tf

. (6.7)

Denotamos la media y la varianza de Us por w, σ2, respectivamente. La variable Tf es

aleatoria y define la duracion del proceso de cobro jurıdico. Por tanto, la variable Fs,Tf

95

tambien es aleatoria. Representa el saldo en Tf , incluyendo los abonos que se hayan hecho

durante el proceso de cobro jurıdico ya que, cuando ocurren, se abonan a intereses y luego

a capital. Por este motivo estos abonos no se incorporan en la variable Fs,Tfcomo se hace

en algunas propuestas alternas a esta.

Adicionalmente se definen las variables Is como variables indicadoras, con valores 1,0,

tales que Is = 1 si el credito s, con estado ks ∈ E, llega a default en 7−ks meses, e Is = 0

si no ocurre este evento. Note que debe tenerse qks = P(Is = 1).

Se asume adicionalmente que las variables Is y Us estan correlacionadas negativamente,

con correlacion ρ. Este supuesto de correlacion negativa entre estas variables esta propuesto

en Altman, Brady, Resti, and Sironi (2002) y en Frye (2000), y se basa en suponer

que cuando la economıa entra en un perıodo de recesion, las probabilidades de default

deben aumentar y las tasas de recuperacion deben bajar, e inversamente, en perıodos de

recuperacion. Frye (2000) utiliza un modelo complejo, ajustado a los datos de default y

tasas de recuperacion, con el cual comprueba que es valida esta suposicion.

Definicion 6.2.4. Total de Saldos a Capital en Riesgo de no pago. Denote Fs es saldo

del credito s en la fecha de evaluacion de la provision, en la cual este credito tiene

clasificacion ks. La variable

Ys = Fs(1 − Us)Is, (6.8)

se denomina el s­esimo saldo a capital en riesgo de incumplimiento. El Total de Perdidas

del Portafolio se define como la variable S,

S =N∑

s=1

Ys =N∑

s=1

Fs(1 − Us)Is. (6.9)

El modelo en (6.9) no es un caso del Modelo de Riesgo Individual (6.1) porque Bs =

Fs(1 − Us) no es independiente de Is. Para E(S) se tiene

E(S) =N∑

s=1

E(FsIs(1 − Us))

=N∑

s=1

Fs(E(Is) − E(IsUs))

=N∑

s=1

(1 − w)qksFs − ρσ√qks(1 − qks)Fs. (6.10)

96

Si se asumiera que la tasa de recuperacion es una constante en lugar de una variable

aleatoria entonces se tendrıa σ = 0 y Us = w. La expresion (6.10) anterior quedarıa igual

a:

E(S) = (1 − w)N∑

s=1

qksFs. (6.11)

El factor 1 − w es la “perdida esperada de valor del activo en la eventualidad de default”

en terminos de la Superbancaria, ya que es igual a uno menos la tasa de recuperacion w,

es decir, es la “tasa de perdida esperada, dado el default” ( en la literatura en ingles, "loss

given default", LGD)

De acuerdo con la directiva de la Superintendencia Bancaria la expresion (6.12) es la

definicion de la provision. Sin embargo, la expresion (6.10) es mas exacta por cuanto

incorpora la desviacion estandar de la tasa de recuperacion. La expresion (6.12) subestima

la provision.

Comentarios adicionales

1. Hay que hacer claridad sobre la interpretacion de qks. No es la tasa de default. Es

la probabilidad de llegar al estado 7 desde el estado ks. La tasa de default para una

altura de mora determinada no se ha podido determinar. Una posible razon es que

las Entidades Crediticias buscan de manera prioritaria evitar el evento de default.

En caso de mora prolongada proceden a refinanciar modificando los terminos del

credito. La probabilidad qks es un reemplazo de la tasa default.

2. En los casos de los Capıtulos 2 y 5, la provision es equivalente a la prima. En el

caso de calcular esta por medio del principio del percentil la provision coincide con

el VaR(q). Utilizando una aproximacion Normal a la distribucion de S, la provision

como VaR(q) serıa entonces

V aR(q) = E(S) + zq

√V ar(S), (6.12)

donde, en el caso deUs constante e igual aw entoncesV ar(S) = (1−w)2∑N

s+1 qks(1−qks)F

2s . El valor zq es el percentil de probabilidad (1−q)% de una Normal Estandar

Z, con P(Z ≤ zq) = 1 − q.

3. En el caso de utilizar como provision (6.12), deberıa aplicarse un recargo, como en

el principio del valor esperado del Capıtulo 2, (2.16), pag. 21, entonces la provision

es Π = (1 + θ)E(S), con θ ∈ (0, 1).

97

4. En el documento de CreditMetrics, Gupton, Finger, and Bhatia (1997, cap.7,

sec.7.1.2, pag. 79) se reproducen los resultados del artıculo de Asarnow and Ed­

wards (1995), sobre datos de prestamos bancarios en default con base en datos de

Moody’s. Con base en 831 prestamos comerciales en default se estudio la distribu­

cion de la tasa de recuperacion, y se obtuvo el histograma que se reproduce en la

Grafica No 1 a continuacion:

Figura 6.1: Tasas de Recuperacion

La media de la tasa de recuperacion fue de 65.21 % y la desviacion estandar fue de

32.7 %. Con la notacion w = 0.6521, σ = 0.327, por tanto, 1 − w = 0.348. En el

estudio de CreditMetrics se hace enfasis en que no deberıan utilizarse estas cifras en

otras economıas, pero, mientras se inicia un proceso de recoleccion de informacion

para calcular adecuadamente la tasa de recuperacion, podrıa ser prudente tomar

un valor para la tasa de perdida 1 − w mayor de 0.34. Notese que asumiendo una

distribucion uniforme σ = 0.29.

6.3. El Modelo Credit Risk+

El modelo Credit Risk+ fue introducido por el Banco Credit Suisse en 1997, para cuan­

tificar perdidas por riesgo de creditos en bonos y CDT, pero no de creditos bancarios.

Es un modelo que retoma un modelo utilizado en la industria del Seguro de Bienes o

98

danos, denominado el Modelo de Riesgo Individual.

El objetivo es modelar el costo total de un portafolio de m creditos de tal forma que la

probabilidad de incumplimiento de un credito cualquiera depende de factores globales,

o riesgo sistematico, y de un factor propio, o riesgo no­sistematico. El modelo se describe

a continuacion. Esta seccion se basa en Gutierrez and Elizondo (2004, Cap. 4)

Variables Indicadoras de Default

a) Un vector de variables Gamma independientes de dimension p , X = (X1, . . . , Xp)′,

define el efecto de p factores sistemicos sobre la tasa de default o incumplimiento.

b) Se define la tasa de incumplimiento λi, del i­esimo credito, de la forma, λi = λi(X) =

kiw′

i X , para ciertas constantes ki ∈ (0, 1), y vectores w′i = (wi1, . . . , wip)

′, satisfa­

ciendo∑p

j=1wij = 1,

c) La variables Xi ∼ Gamma(αi, βi), independientes, con parametros αi = σ−2i , βi =

σ2i , luego E(Xi) = αiβi = 1 y V ar(Xi) = αiβ

2i = σ2

i , para ciertas σi > 0, con lo cual

se garantiza que E(λi(X)) = ki.

d) Se define Yi tal que Yi|X ∼ Bin(1, λi(X)) para i = 1, . . . , m, variables condicional­

mente independientes, que describen el evento de incumplimiento Yi = 1 en el credito

i­esimo. Entonces, P (Yi = 1) = E(Yi) = E(E(Yi|X)) = E(kiwi′X) = ki.

e) Se supone ademas que las tasas cumplen λi(X) ≈ 0.

f) SiY es una variable aleatoria discreta, se define la funcion generadora de probabilidades

(fgp) como F (z) = E(zY ) =∑

yizyiP(Y = yi).

g) La fgp de Yi|X es:

Fi(z|X) = 1 − λi(X) + λi(X)z

= 1 + λi(X)(z − 1).

h) Entonces, utilizando ln(1 + x) ≈ x para x ≈ 0, se tiene, asumiento (z− 1)λi(X) ≈ 0

que

Fi(z|X) = exp(ln(1 + λi(X)(z − 1)))

≈ exp(λi(X)(z − 1)),

es decir, Yi|X ∼ Poisson(λi(X)).

99

i) Defina Y =∑m

i=1 Yi. Los eventos de default Yi son condicionalmente independientes

dado X , luego se cumple :

Y |X =m∑

i=1

Yi|X ∼ Poisson

( m∑

i=1

kiwi′X

). (6.13)

j) Defina λ(X) =∑m

i=1 λi(X). Se tiene que:

λ(X) =m∑

i=1

kiwi′X =

m∑

i=1

ki

p∑

j=1

wijXj

=

p∑

j=1

Xj

(m∑

i=1

kiwij

)=

p∑

j=1

ajXj , con aj =m∑

i=1

kiwij

= a′X, con a = (a1, . . . , am)′.

Entonces Y |X ∼ Poisson(λ(X)

)= Poisson(a′X)

Calculo de la fgp de Y

Para encontrar la distribucion de la variable Y y otras se requiere la funcion generadora

de probabilidades.

Definicion 6.3.1. La fgp de una variable aleatoria S discreta con valores en 0, 1, . . . y

fdp P (S = k) = pk, se define como la serie de potencias

gS(z) =

∞∑

k=0

pkzk = E(zS). (6.14)

Como∑∞

k=0 pk = 1, se tiene que para |z| ≤ 1, la serie (6.14) es absolutamente convergente

y por tanto gS(z) es una funcion continua. Es decir, para cada pk, k ≥ 0, existe una fgp

gS(z) continua en [0,1].

1. La fgp es util porque se obtiene

pk =1

k!

dkgS(z)

dzk

∣∣∣∣z=0

, k = 0, 1, 2, . . .

Es decir, p0 = gS(0), p1 = g′

S(0), p2 = 12g

′′

S(0), . . .

100

2. Note que ademasdgS (z)

dz

∣∣∣z=1

= p1 + 2p2 + 3p3 + · · · = E(S) yd2gS (z)

dz2

∣∣∣z=1

=

E(S(S−1)) = E(S2)−E(S), con lo cual V ar(S) = E(S(S−1))+E(S)−E(S)2.

Se quiere encontrar la fgp de Y , gY (z) = E(zY ) = E(E(zY |X)).

Pero E(zY |X) = e(z−1)Pp

j=1ajXj . Entonces, como las Xj son independientes,

E(zY ) = E(e(z−1)Pp

j=1ajXj ) =

∏pj=1 E(e(z−1)ajXj)

=∏p

j=1

(1

1−σ2

j aj(z−1)

) 1

σ2j =

∏pj=1

(1−δj

1−δjz

) 1

σ2j , (6.15)

con δj = σ2jaj/(1 + σ2

j aj). Se concluye que Y es la suma de p variables aleatorias

independientes pues, si en general, se tiene una variable aletoria distribuıda Binomial

Negativa N ∼ BN(r, p) con P (N = k) =(

r+k−1k

)prqk, k = 0, 1, . . . , entonces su fgm

es MN (t) = ( p1−qet )

r, y su fgp es E(zN ) = ( 1−q1−qz

)r. En vista de (6.15) se puede expresar

Y =∑p

j=1 Nj donde Nj ∼ BN(σ−2j , 1 − δi) y las Nj son independientes.

Resumimos los resultados anteriores en la siguiente Proposicion.

Proposicion 6.3.1. Suponga que

1. Xj ∼ Gamma(σ−2j , σ2

j ), j = 1, . . . , p, independientes. Defina X = (X1, . . . , Xp)′.

2. wij ∈ (0, 1), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p, con∑p

j=1 wij = 1.

3. aj =∑m

i=1 kiwij, j = 1, . . . , p, ki ∈ (0, 1) dados.

4. Yi|X ∼ Poisson(ki(w′i X)), condicionalmente independientes.

Si se define Y =∑m

i=1 Yi entonces se cumple

i) Y |X ∼ Poisson(a′X),

ii) Y =∑p

j=1 Nj, con Nj ∼ BN(σ−2j , (1 + σ−2

j aj)−1), independientes.

Definicion de las Perdidas Totales

Definicion 6.3.2. Si Yi es el evento default, la perdida en el credito i se define como viYi

y la del portafolio total es

S =

m∑

i=1

viYi, (6.16)

donde Yi|X ∼ Poisson(λi(X)), λi(X) = kiw′i X .

101

Los coeficientes vi se definen de tal forma que sean multiplos de un mismo coeficiente v0.

Es decir, los montos de las perdidas estan discretizados. Ademas, notese que es posible

colocar λi(X) = ki(w0,i + w′i X) tales que w0,i + w1,i + · · · + wp,i = 1, donde w0,i es

un efecto de riesgo idiosincratico, no sistematico, w0,i ≥ 0, y los wi son los pesos que

relacionan los factores sistematicos con el credito i.

Notese que, con base en Yi|X ∼ Poisson(λi(X)), se puede calcular el valor esperado

de la perdida total como E(S) =∑m

i=1 viE(Yi) =∑m

i=1 viE(E(Yi|X)) =∑m

i=1 viki.

La fgp de las Perdidas Totales

Se trata de obtener la fgp de S en (6.16), E(zS). Pero E(zS) = E(E(zS |X)). Ademas,

E(zS |X) = E(zPm

i=1viYi|X) =

∏mi=1 E(zviYi |X), por la independencia condicional de

las Yi dado X .

Utilizando un resultado de la distribucion Poisson, siY ∼ Poisson(λ), entonces E(zvY ) =

eλ(zv−1). Por tanto, E(zviYi|X) = exp (λi(X)(zvi − 1)).

Por tanto, E(zS |X) =∏m

i=1 exp (λi(X)(zvi − 1)). Luego

E(zS) = E

(m∏

i=1

exp (λi(X)(zvi − 1))

)

= E

(exp

( m∑

i=1

λi(X)(zvi − 1)))

= E

(exp

( m∑

i=1

ki

( p∑

j=1

wijXj

)(zvi − 1)

))

= E

(exp

( p∑

j=1

Xj

m∑

i=1

kiwij(zvi − 1)

))

= E

(exp

( p∑

j=1

aj(z)Xj

))

=

p∏

j=1

E(eaj(z)Xj).

Aplicando una propiedad de la distribucion Gamma, si X ∼ Gamma(α, β) entonces su

fgm es igual a MX(t) = (1 − βt)α para t < 1/β. Como las Xj ∼ Gamma(σ−2j , σ2

j )

102

entonces E(eaj(z)Xj) = (1 − σ2jaj(z))

−1/σ2

j . Se obtiene finalmente la siguiente expresion

para la fgp de S.

E(zS) =

p∏

j=1

(1 − σ2

j

m∑

i=1

kiwij(zvi − 1)

)−1/σ2

j

. (6.17)

Calculo de la Distribucion de Probabilidades de S

Como se definieron las cantidades vj como multiplos de una cantidad fija, entonces los

valores de S son multiplos tambien de esta cantidad, y es posible calcular P (S = k) como

la probabilidad de una perdida igual a k unidades basicas.

Ejemplo

Para implementar el calculo de p(S = k) = pk a partir de gS(z) se requieren los siguentes

parametros.

1. El total de creditos , m

2. La unidad base de perdidas, v0 y el maximo imax

3. El numero de factores de riesgo sistematico, p

4. Las varianza de los factores de riesgo sistematico , σ2k, k = 1, . . . , p

5. Las ponderaciones de cada credito wij, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p

6. Las probabilidades de default , ki, i = 1, . . . , m

7. Maximo valor de creditos

El siguiente programa en R muestra los resultados de una simulacion, de acuerdo a los

parametros siguientes.

1. No de creditos: m = 300.

2. No de factores sistematicos: p = 2.

103

3. Matriz de ponderaciones w ∈ (0, 1)300×2, tal que w[, 1] es la primera columna con

los m/2 primeros valores iguales a 0.7, y los restantes iguales a 0.4, y w[, 2], la

segunda columna, con losm/2 primeros valores iguales a 0.3 y los restantes iguales

a 0.6.

4. El vector k ∈ (0, 1)m es un vector de tasas aleatorias uniformes entre 0.001 y 0.01.

5. Los valores de los creditos se asumen multiplos de 1 mill, y los multiplos son enteros

entre 1 y 20, distribuıdos segun una Binomial con parametros (m, 0.36).

6. Las variables Gamma se escogen segun la parametrizacion de R: “The Gam­

ma distribution with parameters shape = a and scale = s has density”: f(x) =

1/(saΓ(a))xa−1e−(x/s). Se esogieron los valores σ21 = 7/10, σ2

2 = 3/10.

7. Finalmente se calcula la distribucion de S las perdidas totales en un perıodo de

tiempo, mediante simulacion con N = 1000 replicas. Y los VaR correspondientes

a las probabilidades de 0.95% y 0.99%, que resultaron en 33 mill y 43 mill,

respectivamente.

Los resultados se pueden apreciar en la Figura (6.2).

# ejercicio de simulacion Monte Carlo del modelo CreditRisk+

# parametros

m = 300 # No de creditos

p = 2 # No de factores sistematicos

w = mat.or.vec(m,p)

c1 = 0.7

c2 = 0.3

c4 = 0.4

c5 = 0.6

w[,1] = c(rep(c1,m/2),rep(c4,m/2)) # primera columna de w

w[,2] = c(rep(c2,m/2),rep(c5,m/2)) # segunda columna de w

c3 = 0.001

c6 = 0.01

k = runif(m,c3,c6) # vector k mx1

a = t(w)%*%k # vector a px1

104

# los valores de los creditos

imax = 20

v0 = 1.0e+06

p = 0.36

vi = v0*(1+rbinom(m,imax­1,p))

# el vector X de efectos sistemicos exogenos

sigma2.1 = 7/10

sigma2.2 = 3/10

X = mat.or.vec(2,1)

X[1] = rgamma(1,shape=1/sigma2.1,scale=1/sigma2.1)

X[2] = rgamma(1,shape=1/sigma2.2,scale=1/sigma2.2)

# generar las contingencias : si cada credito cumple o no

N = 10000

S = double(N)

Lj = k*w%*%X # vector de tasas default (mx1).(mxp)(px1)=mx1

for(j in 1:N)

Yj = rpois(m,Lj)

S[j] = sum(vi*Yj)

# mostrar resultados

par(mfrow=c(3,1))

barplot(table(vi),main = "Distribucion valores de los Creditos")

hist(Lj,50,main = "Distribucion de tasas de default")

hist(S[S > 0],50,main = "Distribucion de Perdidas")

(sum(vi)/1e+06)

(quantile(S,0.95)/1e+06)

105

3e+06 4e+06 5e+06 6e+06 7e+06 8e+06 9e+06 1e+07 1.1e+07 1.2e+07 1.3e+07

Distribución valores de los Creditos

010

2030

4050

Distribucion de tasas de default

Lj

Frequ

ency

0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

02

46

810

Distribucion de Pérdidas

S[S > 0]

Frequ

ency

1e+07 2e+07 3e+07 4e+07 5e+07 6e+07

010

020

030

040

050

0

Figura 6.2: Resultados de Simulacion del Modelo CreditRisk+

106

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Indice alfabetico

Aproximacion Cornish­Fisher, 17

Asimetrıa

Distribucion Poisson Compuesta, 14

Aversion al Riesgo, 22

Calculo del VaR

con el supuesto Normal, 38

por metodo Cornish­Fisher, 38

por metodo MonteCarlo, 38

por simulacion historica, 38

usando Teorıa de Valores Extremos, 39

Cadena de Markov, 93

Capital en Riesgo, 41

Caracterısticas Empıricas de los Rendimien­

tos, 44

Categorıas de Mora, 92

Coeficiente beta de una accion, 36

Coeficiente de Ajuste, 11

Coeficiente de Asimetrıa, 13

Coeficiente de Curtosis, 13, 45

Comite de Basilea II, 66

Curtosis

Distribucion Poisson Compuesta, 14

Distribucion

Gumbel, 71

LogNormal, 71

de error generalizado, 48

Frechet, 76

Gamma, 72

Gamma Transladada, 17

GED, 58

Gumbel, 76

Inversa Gaussiana, 72

leptocurtica, 45

NIG, 57

Pareto, 72

Pareto Generalizada, 77

t de Student Asimetrica, 60

Weibull, 71, 76

Distribucion Compuesta, 13, 69

Distribucion Compuesta Poisson, 13

Distribuciones de Valor Extremo, 76

Estadıstico de Hill, 81

Estimador de Hill, 81

Funcion de Variacion Regular, 76

funciones de variacion regular, 75

Hechos estilizados, 44

Hechos estilizados

112

113

Asimetrıa, 45

Asimetrıa de la volatilidad, 46

Ausencia de Autocorrelacion, 45

Colas pesadas, 45

Decaimiento lento a cero de la autoco­

varianza, 46

Efecto de la Escala de Tiempo, 45

Heterocedasticidad de la Varianza, 45

Intermitencia de la Volatilidad, 46

Metodo de Aproximacion

Gamma trasladada, 17

Normal, 16

NP, 16

recursivo de Panjer, 18

Marcha Aleatoria, 46

Marcha Aleatoria Detenida, 9

Marcha Aleatoria LogNormal, 47

Matriz de Rodamiento, 93

Medida Coherente de Riesgo, 39

Modelo CreditRisk+, 100

Modelo de Riesgo Colectivo, 10

Modelo de Riesgo Individual, 90

Modelo SARC, 95

Modelos Lineales Generalizados, 15

Momentos

de la t de Student Asimetrica, 60

Momentos de la Distribucion Poisson Com­

puesta, 14

Prima

Principio de Perdida Maxima, 21

Principio de Valor Esperado, 21

Principio del Percentil, 21

Principio Exponencial, 22

Prima de un Seguro General, 20

Principios de Calculo de Primas, 20

Principios de Calculo de Primas

propiedades, 23

Probabilidad de Default, 94

Proceso

ARCH(p), 48

EGARCH(p,q), 52

GARCH(p,q), 50

Rendimiento

logarıtmico, 32

porcentual, 32

Rendimiento Logarıtmico, 46

Rendimientos de un Portafolio, 33

Sub­aditividad, 39

Suma aleatoria de variables aleatorias, 9, 69

Teorıa CAPM, 35

Teorıa de Valores Extremos, 75

Teorema

de Fisher­Tippett, 76

de Pickands ­ Balkema ­ de Haan, 77

Teorema de Gnedenko, 76

Valor de un Portafolio, 33

Valor en Riesgo

Definicion, 37

Varianza

Distribucion Poisson Compuesta, 14

Vida Media Residual, 80

Vida Media Residual Empırica, 80