Modelos de Transporte: Problemas de asignación y de transbordo · Problemas de Asignación: Son...

Modelos de Transporte: Modelos de Transporte: Problemas de asignaciProblemas de asignacióón y n y

de de transbordotransbordoM. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas

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Problemas de AsignaciProblemas de Asignacióónn

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ProblemasProblemas de de AsignaciAsignacióónn::

Son Son problemasproblemas balanceadosbalanceados de de transportetransporte en en loslos cualescualestodastodas laslas ofertasofertas y y todastodas laslas demandasdemandas son son igualesiguales a a 1.1.

Consiste en determinar la asignaciConsiste en determinar la asignacióón n óóptima de agentes ptima de agentes u objetos indivisibles a n tareas. u objetos indivisibles a n tareas.

Son indivisibles en el sentido de que ningSon indivisibles en el sentido de que ningúún agente se n agente se puede dividir en varias tareas. puede dividir en varias tareas.

La restricciLa restriccióón importante, para cada agente, es que n importante, para cada agente, es que serseráá designado a una y solo una tarea.designado a una y solo una tarea.

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Uno de los problemas que utilizan el modelo Uno de los problemas que utilizan el modelo de transporte, es el de asignacide transporte, es el de asignacióón, el cual se n, el cual se refiere a la disposicirefiere a la disposicióón de algunos recursos n de algunos recursos (equipos o personas) para la realizaci(equipos o personas) para la realizacióón de n de ciertos productos o tareas a un costo ciertos productos o tareas a un costo diferenciado. diferenciado. El problema consiste en minimizar los costos El problema consiste en minimizar los costos por asignacipor asignacióón de recursos para el n de recursos para el desempedesempeñño de actividades.o de actividades.

Problemas de AsignaciProblemas de Asignacióónn

DefiniciDefinicióón del Probleman del Problema

* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.

* Un costo unitario (o ganancia) C* Un costo unitario (o ganancia) Cij ij es asociado al trabajador i es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j.que realizara el trabajo j.

* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de l* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la a asignaciasignacióón de trabajadores a sus respectivos empleos que le n de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignacicorresponde a cada uno, tratando de que esta asignacióón n sea la sea la óóptima posible.ptima posible.

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EJEMPLO 1EJEMPLO 1

ElectrElectróónica nica BallstonBallstonProblema de asignaciProblema de asignacióónn

ElectrElectróónica nica BallstonBallston

Existen 5 diferentes proyectos elExisten 5 diferentes proyectos elééctricos sobre 5 ctricos sobre 5 llííneas de produccineas de produccióón que necesitan ser n que necesitan ser inspeccionadas.inspeccionadas.

El tiempo para realizar una buena inspecciEl tiempo para realizar una buena inspeccióón de un n de un áárea de pende de la lrea de pende de la líínea de produccinea de produccióón y del n y del áárea rea de inspeccide inspeccióón.n.

La gerencia desea asignar diferentes La gerencia desea asignar diferentes ááreas de reas de inspecciinspeccióón a inspectores de productos tal que el n a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mtiempo total utilizado sea míínimo.nimo.

DatosDatos

* Tiempo de inspecci* Tiempo de inspeccióón en minutos para la ln en minutos para la líínea de nea de ensamble de cada ensamble de cada áárea de inspeccirea de inspeccióón.n.

Area de InspecciónA B C D E

1 10 4 6 10 12 Linea 2 11 7 7 9 14Ensamble 3 13 8 12 14 15

4 14 16 13 17 175 19 17 11 20 19

RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMARED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA

1

2

3

4

5

Línea de ensamble Área de InspecciónA

B

C

D

E

S1=1

S2=1

S3=1

S4=1

S5=1

D1=1

D2=1

D3=1

D4=1

D5=1

Supuestos restriccionesSupuestos restricciones

* El n* El núúmero de trabajadores es igual al nmero de trabajadores es igual al núúmero de empleos.mero de empleos.

* Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado sasignado sóólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo lo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador.trabajador.

* Para un problema * Para un problema desbalanceadodesbalanceado se debe agregar un se debe agregar un trabajador trabajador ““ficticioficticio”” (en el caso de que existan m(en el caso de que existan máás trabajos que s trabajos que trabajadores) o un empleo trabajadores) o un empleo ““ficticioficticio”” (en el caso de que existan (en el caso de que existan mmáás trabajadores que trabajos), quedando ass trabajadores que trabajos), quedando asíí el problema el problema balanceado.balanceado.

SoluciSolucióón mediante el mn mediante el méétodo todo HHúúngarongaro

Problema:Problema:El profesor El profesor MichellMichell ha terminado 4 capha terminado 4 capíítulos de su libro y esta tulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secrpensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias etarias que podrque podríían an tipearletipearle cada uno de sus capcada uno de sus capíítulos. El costo asociado tulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el realiza el trabajo. Ademtrabajo. Ademáás los caps los capíítulo difieren en la cantidad de hojas y en la tulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. complejidad. ¿¿QuQuéé puede hacer el profesor si conoce la siguiente puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla:tabla:

CapCapíítulostulosSecretarSecretaríía 13 14 15 16a 13 14 15 16JuanaJuana 96 99 105 10896 99 105 108MarMarííaa 116116 109 107 96109 107 96JackelineJackeline 120 102 113 111120 102 113 111EdithEdith 114114 105 118 115105 118 115

Restricciones del MRestricciones del Méétodotodo

* Solo problemas de minimizaci* Solo problemas de minimizacióón.n.* N* Núúmero de personas a asignar m es igual al nmero de personas a asignar m es igual al núúmero de mero de lugares m.lugares m.* Todas las asignaciones son posibles* Todas las asignaciones son posibles* Una asignaci* Una asignacióón por persona y una persona por asignacin por persona y una persona por asignacióónn

Matriz de CostosMatriz de CostosCapCapíítulostulos

SecretarSecretaríía 13 14 15 16a 13 14 15 16JuanaJuana 96 99 105 10896 99 105 108MarMarííaa 116116 109 107 96109 107 96JackelineJackeline 120 102 113 111120 102 113 111EdithEdith 114114 105 118 115105 118 115

Restar el Menor valor de cada filaRestar el Menor valor de cada filaCapCapíítulostulos

SecretarSecretaríía 13 14 15 16a 13 14 15 16JuanaJuana 0 3 9 120 3 9 12MarMarííaa 20 13 11 020 13 11 0JackelineJackeline 18 0 11 918 0 11 9EdithEdith 99 0 13 100 13 10

Restar el menor valor de cada columna en la matriz Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterioranterior

CapCapíítulostulosSecretarSecretaríía 13 14 15 16a 13 14 15 16JuanaJuana 0 3 0 120 3 0 12MarMarííaa 20 13 2 020 13 2 0JackelineJackeline 18 0 2 918 0 2 9EdithEdith 99 0 4 100 4 10

Trazar el mTrazar el míínimo nnimo núúmero de lmero de lííneas que cubran los neas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.


Si el nSi el núúmero de lmero de lííneas es igual al nneas es igual al núúmero de filas se mero de filas se esta en la soluciesta en la solucióón n óóptima, sino identificar el menor ptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demvalor no rayado restarselo a los demáás ns núúmeros no meros no rayados y sumarlo en las intersecciones.rayados y sumarlo en las intersecciones.

Pare este caso corresponde al valor 2Pare este caso corresponde al valor 2


Las asignaciones corresponde a los valores donde Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0existen 0Juana Juana CapCap. 13. 13MarMaríía a CapCap. 16. 16JackelineJackeline CapCap. 15. 15Edith Edith CapCap. 14. 14

*Costo Asignaci*Costo Asignacióón: 96 + 96 +113 +105 =410n: 96 + 96 +113 +105 =410

Casos especialesCasos especiales

* Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en * Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particularparticular

* Cuando un trabajador puede ser asignado a m* Cuando un trabajador puede ser asignado a máás de un s de un trabajo.trabajo.

* Un problema de maximizaci* Un problema de maximizacióón.n.

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EJEMPLO 2EJEMPLO 2

PROBLEMA DE ASIGNACIPROBLEMA DE ASIGNACIÓÓNN

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La gerencia general de una La gerencia general de una compacompañíñía, como parte de su a, como parte de su auditoria anual, decidiauditoria anual, decidióó que cada que cada uno de los cuatro vicepresidentes uno de los cuatro vicepresidentes visite e inspeccione una de las 4 visite e inspeccione una de las 4 plantas durante las 2 primeras plantas durante las 2 primeras semanas de octubre.semanas de octubre.

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SOLUCISOLUCIÓÓNN

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SoluciSolucióónnEnumeraciEnumeracióón completan completaUsar el mUsar el méétodo htodo húúngarongaro

a) Por enumeracia) Por enumeracióón completa, se hace una lista n completa, se hace una lista de las posibles soluciones, se calcula su costo de las posibles soluciones, se calcula su costo asociado y se escoge la mejor.asociado y se escoge la mejor.

F = vicepresidente de finanzasF = vicepresidente de finanzasM = vicepresidente de mercadotecniaM = vicepresidente de mercadotecniaO = vicepresidente de operacionesO = vicepresidente de operacionesP = vicepresidente de personalP = vicepresidente de personal

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F puede asignarse a cualquiera de F puede asignarse a cualquiera de las 4 plantaslas 4 plantas

M puede enviarse a cualquiera M puede enviarse a cualquiera de las 3 plantas restantesde las 3 plantas restantes

O puede enviarse a cualquiera O puede enviarse a cualquiera de las 2 planta restantesde las 2 planta restantes

P se asigna a la P se asigna a la úúnica planta nica planta disponibledisponible

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b) Mb) Méétodo Htodo Húúngarongaro

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Pasos del mPasos del méétodo htodo húúngaro:ngaro:

1.1. ReducciReduccióón en renglones: Elabore una nueva n en renglones: Elabore una nueva matriz eligiendo el costo mmatriz eligiendo el costo míínimo de cada nimo de cada renglrenglóón y restn y restáándolo de cada costo de ese ndolo de cada costo de ese renglrenglóón.n.

2.2. ReducciReduccióón en columnas: Elija el elemento de n en columnas: Elija el elemento de costo mcosto míínimo en cada columna y rnimo en cada columna y rééstelo a stelo a cada elemento de la columna.cada elemento de la columna.

3.3. Determine si la matriz es reducida: Determine si la matriz es reducida: Encuentre el nEncuentre el núúmero mmero míínimo de lnimo de lííneas rectas neas rectas que se pueden trazar sobre los renglones y que se pueden trazar sobre los renglones y las columnas para cubrir todos los ceros. Si las columnas para cubrir todos los ceros. Si este neste núúmero es igual al de los renglones (o mero es igual al de los renglones (o columnas), se dice que la matriz es reducida. columnas), se dice que la matriz es reducida. ContinContinúúe al paso 5. Si el ne al paso 5. Si el núúmero de rectas es mero de rectas es menor que el de renglones (o columnas) menor que el de renglones (o columnas) contincontinúúe con el paso 4.e con el paso 4.

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Pasos del mPasos del méétodo htodo húúngaro:ngaro:

4.4. Reducciones posteriores: Encuentre la menor Reducciones posteriores: Encuentre la menor de las celdas no cubiertas (sin lde las celdas no cubiertas (sin líínea recta). nea recta). Reste el valor de esta celda a todas las celdas Reste el valor de esta celda a todas las celdas no cubiertas. Agrno cubiertas. Agrééguelo al valor de las celdas guelo al valor de las celdas que se encuentran en las intersecciones de que se encuentran en las intersecciones de las restas dibujadas en el paso 3.las restas dibujadas en el paso 3.

5.5. LocalizaciLocalizacióón de la solucin de la solucióón n óóptima: Las ptima: Las celdas de costo cero se eligen, una por celdas de costo cero se eligen, una por columna y renglcolumna y renglóón a fin de hallar una n a fin de hallar una asignaciasignacióón n óóptima. Se suman los sotos ptima. Se suman los sotos originales de las celdas con asignacioriginales de las celdas con asignacióón para n para saber el costo total.saber el costo total.

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FormulaciFormulacióón matemn matemáática del tica del modelo de Asignacimodelo de Asignacióónn

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Existen n personas las cuales pueden Existen n personas las cuales pueden desempedesempeññar cualquier actividad de un ar cualquier actividad de un conjunto de n actividades y conocemos conjunto de n actividades y conocemos el costo cij de asignaciel costo cij de asignacióón de la actividad n de la actividad i a la persona j.i a la persona j.

i = 1,i = 1,……, m, m j = 1,j = 1,……, n, nEl problema es determinar de todas las El problema es determinar de todas las asignaciones posibles las de costo total asignaciones posibles las de costo total mmíínimo.nimo.

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1. Variables de decisi1. Variables de decisióón:n:xijxij = 1, si la actividad i es asignada = 1, si la actividad i es asignada a la persona ia la persona i

0, si i no es asignada a j0, si i no es asignada a j2. Funci2. Funcióón objetivo:n objetivo:

∑∑= =

=m

i

n

jijij xCZ

1 1Mín

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3. Restricciones:3. Restricciones:

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EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

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En una empresa se utilizan tres clasificaciones En una empresa se utilizan tres clasificaciones para trabajadores (W1, W2 y W3) de acuerdo para trabajadores (W1, W2 y W3) de acuerdo a un convenio firmado con el sindicato. a un convenio firmado con el sindicato. Cada trabajador tiene un costo diferente por Cada trabajador tiene un costo diferente por cada trabajo, tal y como aparece en la tabla cada trabajo, tal y como aparece en la tabla matriz siguiente:matriz siguiente:¿¿CuCuáál es la mejor asignacil es la mejor asignacióón de trabajadores n de trabajadores a los diversos trabajos, a fin de reducir al a los diversos trabajos, a fin de reducir al mmíínimo los costos?nimo los costos?

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EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

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Una empresa dedicada a la publicidad debe cubrir Una empresa dedicada a la publicidad debe cubrir seis grandes pedidos de folletos impresos en una sola seis grandes pedidos de folletos impresos en una sola ppáágina. gina. Las cantidades requeridas son las siguientes: 28000, Las cantidades requeridas son las siguientes: 28000, 15000, 15000, 20000, 38000 y 44000, 15000, 15000, 20000, 38000 y 44000, respectivamente. respectivamente. Los tres equipos disponibles pueden producir 50 000; Los tres equipos disponibles pueden producir 50 000; 70 000 y 60 000 p70 000 y 60 000 pááginas diariamente.ginas diariamente.¿¿CuCuáál es la mejor asignacil es la mejor asignacióón de equipos a los n de equipos a los diversos trabajos, a fin de reducir al mdiversos trabajos, a fin de reducir al míínimo los nimo los costos?costos?

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ProblemasProblemas de de TransbordoTransbordo

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ProblemasProblemas de de TransbordoTransbordo

Son Son problemasproblemas de de transportetransporte en en loslos quequese se agreganagregan puntospuntos de de transbordotransbordo. .

Los Los puntospuntos de de transbordotransbordo son son puntospuntos quequepuedenpueden tantotanto recibirrecibir mercadermercaderííaa de de otrosotros puntospuntos comocomo enviarenviar mercadermercaderííaa a a otrosotros puntospuntos..

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Es una extensiEs una extensióón al problema de n al problema de transporte en el cual se agregan nodos transporte en el cual se agregan nodos intermedios (nodos de intermedios (nodos de transbordotransbordo), ), para tomar en consideracipara tomar en consideracióón n localizaciones como por ejemplo localizaciones como por ejemplo almacenes.almacenes.En este tipo mEn este tipo máás general del problema s general del problema de transporte de distribucide transporte de distribucióón, los n, los embarques pueden ser efectuados entre embarques pueden ser efectuados entre cualquier par de tres tipos generales de cualquier par de tres tipos generales de nodos: de origen, de nodos: de origen, de transbordotransbordo o de o de destino.destino.

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CaracterCaracteríísticassticasLa oferta o suministro disponible en La oferta o suministro disponible en cada origen es limitada.cada origen es limitada.En cada destino la demanda estEn cada destino la demanda estáádefinida o especificada.definida o especificada.El objetivo en el problema de El objetivo en el problema de transbordotransbordo es de determinar cuantas es de determinar cuantas unidades deberunidades deberáán embarcarse por cada n embarcarse por cada uno de los arcos de la red, de manera uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandasque todas las demandas--destino se destino se satisfagan al costo de transporte satisfagan al costo de transporte mmíínimo posible.nimo posible.

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EjemploEjemplo

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Encontrar la formulación de programación lineal para el problema de transbordo planteado en el modelo de redes, tal que minimice los costos de transporte.

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SOLUCISOLUCIÓÓNN

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1. Variables de decisi1. Variables de decisióón: n: xijxij = n= núúmero de mero de unidades embarcadas del origen i al unidades embarcadas del origen i al destino j, pasando por los nodos de destino j, pasando por los nodos de transbordotransbordo que se especifican.que se especifican.

i = 1, 2, 3, 4i = 1, 2, 3, 4j = 3,.., 8j = 3,.., 8

2. Funci2. Funcióón objetivo:n objetivo:MMíínn 484746453837363524231413 56446362332 xxxxxxxxxxxxZ +++++++++++=

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3. Restricciones3. Restriccionesa) De los nodos origen:a) De los nodos origen:

b) De los nodos de b) De los nodos de transbordotransbordo::

400600

2423

1413

≤+≤+

xxxx

00

484746452414

383736352313

=++++−−=++++−−

xxxxxxxxxxxx

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c) De los nodos destino:c) De los nodos destino:

ij

x

xxxxxxxx

ij

∀

≥

=+=+=+=+

0

300350150200

4838

4737

4636

4535

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Variantes del problema de Variantes del problema de transbordotransbordo

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Igual que en los problemas de transporte Igual que en los problemas de transporte se pueden formular problemas de se pueden formular problemas de transbordotransbordo con varias variantes:con varias variantes:Suministro total no igual a la demanda Suministro total no igual a la demanda totaltotalMaximizaciMaximizacióón de la funcin de la funcióón objetivon objetivoRutas con capacidad limitadaRutas con capacidad limitadaRutas inaceptablesRutas inaceptables

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Las modificaciones a los modelos Las modificaciones a los modelos de programacide programacióón lineal requeridas n lineal requeridas para aceptar estas variaciones son para aceptar estas variaciones son ididéénticas a las que se mencionaron nticas a las que se mencionaron para el problema de transporte.para el problema de transporte.

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AplicaciAplicacióón del problema de n del problema de transporte a planeacitransporte a planeacióón de la n de la

producciproduccióónn

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La empresa La empresa MillerMiller ElectronicsElectronics Co. Fabrica Co. Fabrica videojuegos. videojuegos. No tiene inventario inicial en octubre y en No tiene inventario inicial en octubre y en diciembre no desea ningdiciembre no desea ningúún inventario final. n inventario final. Pueden fabricarse los juegos en horas Pueden fabricarse los juegos en horas normales y en tiempo extra. normales y en tiempo extra. La demanda aumenta en diciembre, no puede La demanda aumenta en diciembre, no puede ser satisfecha con la sola producciser satisfecha con la sola produccióón de ese n de ese mes, por lo que deben utilizarse inventarios mes, por lo que deben utilizarse inventarios para transportar capacidad previa de para transportar capacidad previa de producciproduccióón hacia el futuro.n hacia el futuro.

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SoluciSolucióónn

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