Revista de la Facultad de Ingeniería de la U.C.V., Vol. 21, N° 3, pp. 145–161, 2006

145

INTRODUCCIÓN

Un sistema puede definirse como cualquier región queconsideremos para su estudio (García – Colín, 1972; Klotz yRosenberg, 1977) donde la relación entre los elementos queconstituyen el sistema sea coherente. De acuerdo conRotundo (1980), estos sistemas son naturales (creados porla naturaleza), dinámicos (cambian constantemente susestados internos), abiertos (están constantemente encomunicación con su entorno) y complejos (compuestospor varios elementos y relaciones).

Para estudiar un sistema fisiológico usualmente seguimosel método de Descarte, es decir, se divide en sus elementos(Berlardinelli y Ursino, 1989); cuando estos son complejosse suelen denominar subsistemas. Por ejemplo el SistemaCardiovascular Humano se puede descomponer en corazón,vasos sistémicos y pulmonares, sangre y sistema de control.

En términos más formales un sistema se define como unconjunto de elementos unido al conjunto de relaciones entreellos (Lange, 1975). La selección del sistema se determinade acuerdo al interés del investigador, el nivel de complejidadbiológica deseado y por las técnicas y métodosexperimentales y matemáticos de los cuales dispone. Deacuerdo con Woodson (1966), los modelos matemáticos sonsimbólicos y representan, en forma compacta y con el máximo

MODELOS DE SISTEMAS FISIOLÓGICOS: SISTEMA CARDIOVASCULAR

Recibido: julio de 2004 Recibido en forma final revisado: noviembre de 2006

KATERINA GÓMEZ PÉREZ1, ANTONIO D’ALESSANDRO MARTÍNEZ 2,3

1Universidad Simón Bolívar (sede del Litoral), Departamento de Tecnología Industrial2Universidad Central de Venezuela, Escuela Luis Razetti, Cátedra de Fisiología

3Universidad Simón Bolívar. Sección de Biofísica y Bioingeniería

RESUMEN

En este artículo se realiza una revisión sobre el modelaje y la simulación de sistemas fisiológicos haciendo referencia aanálogos eléctricos, modelos matemáticos, modelos empaquetados y modelos distribuidos que representan al SistemaCardiovascular.Palabras claves: Sistemas fisiológicos, modelos matemáticos, modelos empaquetados, modelos distribuidos.

MODELS OF PHYSIOLOGICAL SYSTEMS: CARDIOVASCULAR SYSTEM

ABSTRACT

In this article we review the modelling and simulation of physiological systems with reference to electrical analog, mathematicalmodels, lumped models and distributed models of the Cardiovascular System.Keywords: Physiological systems, mathematical models, lumped models, distributed models.

nivel de abstracción, los principios del original. Además,los modelos también se clasifican en verbales, icónicos,homólogos y análogos. Estos últimos modelos puedenclasificarse en discretos y continuos y se representanmediante análogos eléctricos y mecánicos.

Los análogos mecánicos del Sistema Cardiovascular se hanvenido construyendo desde hace mucho tiempo. Losanálogos más complejos han simulado al corazón, la aorta,la resistencia periférica y las venas como un circuito cerrado,con válvulas en los sitios apropiados y posibilitan el ajustede parámetros tal como la resistencia periférica, la complianceo adaptabilidad (propiedad que tienen los vasos de dilatarsey contraerse ante una presión interna) venosa y arterial y lafrecuencia de la contracción ventricular. También permitenla evaluación de dispositivos de asistencia circulatoria(corazones artificiales totales o parciales, balonesintraaórticos, hemobombas, etc.), y también se emplean enexperimentos in vitro donde la actividad de un órgano seestudia cuando se conecta con una réplica de uncomplemento real. El ejemplo más conocido de este uso, esel preparado cardiopulmonar (Ganong, 1994).

Los análogos eléctricos del Sistema Cardiovascularrepresentan los diferentes elementos que lo constituyen,por medio de elementos eléctricos como resistencias,capacitancias, inductancias y diodos.

146

ANÁLOGOS ELÉCTRICOS Y MECÁNICOSDEL SISTEMA CARDIOVASCULAR HUMANO

Análogos empaquetados y análogos distribuidos

Los diversos tipos de análogos eléctricos del SistemaCardiovascular se pueden clasificar en análogosempaquetados y análogos distribuidos (Attinger, 1973,1976).

Los análogos empaquetados se utilizan para simular alSistema Cardiovascular en forma global o para cualquiersección de éste. En estos análogos la dependencia espacialde las variables se ignora, aunque se incluyenfrecuentemente ecuaciones diferenciales y relaciones nolineales entre la presión y el volumen para los vasos ycámaras cardíacas. Así el Sistema cardiovascular se puededividir en pocos segmentos y los parámetros físicos de cadauno de ellos se pueden concentrar en un bloque. Losdiagramas que representan a determinados análogosconsisten entonces en un número de bloquesinterconectados, por ejemplo los análogos representadosen la figura 1.

Figura 1. Modelo del Sistema Cardiovascular de Grodins. El sistema se divide en seis compartimientos,formando un círculo cerrado. El flujo promedio de cada ventrículo depende de la frecuencia cardíaca,

de un parámetro de contractilidad, del reemplazo sistólico, y de la presión;el flujo promedio entrante es igual al saliente Q12 = Q61 y Q34 = Q45. Los flujos promedio Q23 y Q56

dependen de la diferencia de presión (P2- P3), (P5-P6), y de las resistencias R23 y R56.El tamaño del compartimiento venoso ilustra su gran adaptabilidad. Las presiones y los volúmenes

de cada compartimiento están relacionadas con las expresiones: V2 = C2 x P2, V3 = C3 x P3, V5 = C5 x P5 y V6 = C6 x P6,con C2, C3, C5 y C6 las adaptabilidades de los compartimientos vasculares. Fuente: Duvelleroy, M. y Duruble (1990).

Este tipo de análogos supone velocidad infinita para lapropagación del pulso de presión y por lo tanto no puedemodelar los cambios en los pulsos de presión y de flujo queocurren a lo largo de los diversos segmentos del árbolvascular. Sin embargo, estos análogos son muy adecuadospara estudiar las relaciones entre el gasto cardíaco, la presiónmedia y la resistencia periférica total y permiten evaluaraquellos factores que determinan el comportamiento globaldel Sistema Cardiovascular y de su control.

Los análogos distribuidos, denominados también de líneade transmisión, utilizan parámetros dependientes del espacioy del tiempo, permitiendo la simulación de velocidades depulso (de presión) finita y los cambios en la forma de dichopulso y del pulso de flujo que acontece entre los puntos delsistema.

Debido a su complejidad, se prefiere el uso de los análogosempaquetados para los fines de investigación delfuncionamiento global del Sistema Cardiovascular y de sucontrol.

En las figuras 2 y 3 se representan ejemplos de modelosdistribuidos.

Q23

Q12

2 3

1 4

Q34

Q61 Q45

Q56

R56

ARTERIASPULMONARES

ARTERIASDE LA

CIRCULACIÓNMAYOR

VENASPULMONARES

VENTRÍCULODERECHO

VENTRÍCULOIZQUIERDO

R23

6 5

Figura 2. Modelo de la circulación periférica que consiste en ocho lechos vasculares paralelos.Cada lecho vascular se subdivide en cuatro unidades funcionales (círculo numerado): grandes arterias,

capilares y venas. Cada unidad funcional se representa mediante una red de cuatro terminales. Fuente: Kline, J. (1976).

375

33

29

25

9

13

17

21

382 6

34

30

26

10

14

18

22

393 7

35

31

27

11

15

19

23

404 8

36

32

28

12

16

20

24

4241

1 43 4744 4845 4946 50

147

Figura 3. (A) Línea de transmisión análoga del árbol arterial. (B) Refinamiento de la línea de transmisióntomando en consideración el perfil de velocidad del tipo «Bessel» y el efecto «sleeve».

Las ecuaciones se basan en las analogías entre circuitos hidráulicos y eléctricos Fuente: Kline, J. (1976).

Estos modelos están usualmente basados en las ecuacioneslinearizadas de Navier – Stokes y en la ecuación decontinuidad(figura 3A):

donde R’ es la resistencia viscosa del fluido por unidad delongitud, L’ es la inertancia por unidad de longitud,

dPdA es la adaptabilidad por unidad de longitud, G’ es laconductancia paralela (resistencia recíproca) por unidad delongitud y A es la sección transversal vascular.

Estas ecuaciones son análogas a las «ecuaciones deltelegrafista» mostradas en la figura 3B, tomando en cuentalas analogías definidas en la tabla A. De acuerdo con elperfil de velocidad tipo Bessel, Noordergraaf (1964) introdujoel circuito Resistivo – Inductivo (R-L) en paralelo mostradoen la figura 3B. La resistencia R0 fue introducida tomandoen consideración el efecto sleeve, el cual es un concepto

tP

dPdAPG

xQ

δδ

δδ

+=−

•

'

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=−

••

tQLQR

xP

δδ

δδ ''

148

Tabla A. Analogías entre parámetros hidráulicos y parámetros eléctricos. Fuente: Kline, J. (1976).

Análogos Empaquetados Resistivos:

En este tipo de análogos se representa matemáticamente lacirculación basándose en la ecuación de Hagen – Poiseuilley su análogo es un circuito resistivo (Strong, 1970). Por talmotivo el análisis está limitado a la distribución de presionesy flujos medios, (figuras 4 y 5).

Hill et al., (1958) diseñaron un modelo de este tipo paraestudiar los cambios el la circulación del recién nacido,mientras que Vadot (1976), propuso uno para predecir loscambios esperados después de operaciones de cirugíamayor.

En 1975 Satradness y Summer, utilizan modelos resistivospara describir las fístulas arterio – venosas y diversaspatologías de la circulación de las extremidades.

En 1976, Vadot utiliza un modelo resistivo para estudiar losefectos hemodinámicos de la estenosis arterial.

En el año 2000 Mungamuru y Roe proponen un modelo quemodifica el modelo publicado por Strong en 1970 dondesolo se toman en cuenta resistencias para analizar elcomportamiento del Sistema cardiovascular (figura 6).

De acuerdo con la figura 6 las fuentes de voltajes colocadasen serie, V1 y V2 son el análogo eléctrico de las diferenciasde presión a través de la acción de bombeo del ventrículo

izquierdo y el ventrículo derecho, R1 es la resistenciaequivalente total de la circulación pulmonar, R2 es laresistencia de varias arterias cercanas a los tejidos, R3 es laresistencia de varias venas alejándose de los tejidos, R4……Rn representan la resistencia de varias arteriolas. Se debeseñalar que R1, R2 y R3 son mucho más pequeños quecualquiera de las resistencias de las arteriolas.

Análogos Empaquetados Resistivos – Capacitivos:

Estos análogos describen al Sistema Cardiovascular entérminos de propiedades resistivas (R) y propiedadescapacitivas (C). En algunos de estos modelos se supone laexistencia de un flujo estacionario. Muchos de éstosincorporan diodos para simular la apertura y cierre de lasválvulas cardíacas (D’ Alessandro, 1997).

Entre los modelos resistivos-capacitivos (RC) están el deWindkessel de dos elementos, que fue descrito por elfisiólogo francés Otto Frank (1899), el de Van Harreveld(1951), el de Gunther y Concha (1952), y el de Defares et al.,(1963), (figuras 7, 8, 9 y 10).

Entre los modelos de mayor poder didáctico que se hanutilizado en la simulación computacional están el de Milhorn(Milhorn, 1966) y el de Defares modificado (Campbell et al.,1982), el cual se representa en la figura 11.

Una mención aparte, merecen aquellos modelos utilizadospara simular el acoplamiento funcional entre el corazón ylos vasos sanguíneos en términos de las curvas de gastocardíaco y retorno venoso en función de la presión en laaurícula derecha (Levy, 1979; Rothe, 1979; Guyton AC, 1955)(figuras 12 y 13).

referido a que en la pared vascular existe una capa de célulascuya viscosidad es significativamente menor que la de lacorriente principal en la cual está suspendida la mayorcantidad de células de la sangre.

149

Figura 4. Modelo resistivo del Sistema Cardiovascular compuesto por dos bombas en serie (corazón izquierdoy corazón derecho). La resistencia periférica total se denota por la letra R, la resistencia de la circulación pulmonar

con rp y Gc representa al gasto cardiaco. Fuente: Modificado de Strong. P (1970).

Figura 5. Diagrama que presenta al Sistema Circulatorio como un conjunto de resistencias (órganos) en paralelo.Fuente: D’Alessandro-Martínez A. (1977).

Figura 6. Modelo eléctrico de Mungamuru. Fuente: Mungamuru B., 2001.

V1

R3 R2

R4

R5

R6

Rn

V2

R1

cabeza

nuca - tiroidesmiembros superiores

miembros inferiores

órganos pélvicos

órganos abdominales

riñones

coronarias

pulmones

bazo

higado

tronco

150

Figura 7. Modelo eléctrico de Windkessel de dos elementos. Fuente: D’Alessandro (1997).

Figura 8. Modelo matemático de Harreveld del Sistema Circulatorio. El flujo está en sentido horario.Las letras C, R y r denotan la adaptabilidad del sistema arterial o venoso,

la resistencia periférica y la resistencia de la circulación pulmonar. Fuente: Schwan, H. P. (1969).

Figura 9. Modelo eléctrico de Gunther y Concha (1952). La duración de la sístole y de la diástoleestán bajo el control del experimentador a través de la manipulación del «marcapaso» M. Fuente: Schwan, H. P. (1969).

Figura 10. Modelo del Sistema Circulatorio de Defares et al., (1963). La contractilidad de los ventrículosestá representada por una elastancia E que varía con el tiempo. Fuente: Noordergraaf A. (1978).

RCI(t)

+

-

RL

rL

rS

RS

CL2

CS2 CS1

BombaPulm.

BombaSist.

CL1

151

Figura 11. Modelo cardiovascular para la enseñanza de las interacciones mecánicasentre los grandes componentes del sistema: CI. Corazón izquierdo; CD, corazón derecho,

CIRC. PULM, circulación pulmonar. Fuente: Campbell, K et al., (1982).

Figura 12. Modelo simplificado de la circulación sistémica. El acoplamiento entre el corazón y el sistema vascularincluye la aurícula derecha (AD) y la raíz de la aorta (AO). Otras abreviaturas: R, resistencia sistémica;

Pv, presión venosa central; Pad, presión en la aurícula derecha; y Pa, presión arterial. Fuente: Levy, M. (1979).

ADA O

Corazón

Arteria

= PadPv Pa

Vena

Figura 13. Diagrama del circuito usado por Guyton et al., (1955) para la obtención de una expresión parael retorno venoso. Se indican los grandes vasos (arterias y venas) así como la periferia. Fuente: Schwan, H. P. (1969).

152

Figura 14. Modelo del Sistema Circulatorio cerrado de Warner.Cada uno de los seis compartimentos está descrito por tres ecuaciones.

Las 18 ecuaciones simultáneas fueron resueltas con una computadora analógica. Fuente: Noordergraaf, A. (1978).

Análogos Resistivos - Inductivos – Capacitivos (RLC):

Estos modelos consideran al flujo pulsátil. Uno de losprimeros modelos de este tipo es el de Warner (1959). Eneste modelo se considera al Sistema Cardiovascular divididoen seis compartimientos (Figura 14), con la condición deque el flujo de salida de cualquiera de estos compartimientoses igual al flujo de entrada del próximo.

Para cada compartimiento i, se plantean un conjunto de tresecuaciones: citado en (D’ Alessandro, 1997).

1- La conservación de la energía, tal como se describe por lasiguiente ecuación ignorando el término capacitivo:

iiiii xFRFLpp 1111 −−− ++=

Esta ecuación es una versión simplificada de la ecuación deNavier - Stokes (Fung., 1984).

2- La ecuación de continuidad o conservación del volumen:

[ ]∫ +−+== )()()0()( 1 tFtFtVtV iiii dt

3- La ecuación de estado, que relaciona la presión (pi) en uncompartimiento con su volumen (Vi), a través de lacompliance (Ci) de la pared:Para vasos:

Pi= im

i CV

con m=1 para arterias (i-3,6) y m >1 para aurículas y venas(i=1,4).

Para los ventrículos (i-2,5), n>1:

Pi= idn

i CV

donde V ni y Cid son el volumen ventricular y la compliance

en diástole, respectivamente. Análogamente, en sístole:

Pi= isn

i CVLa descripción matemática del modelo de Warner requierede la solución de 18 ecuaciones simultáneas. Este modelofue ligeramente modificado por Beneken (1965). El análogomecánico del modelo de Warner fue diseñado por Newgard(1963)(figura 15).

Existen otros modelos del tipo RLC, entre los que seencuentran el de De Pater y Van den Berg (1963), (figura 16);el de Boom y Noordergraaf (1963), (figura 17); el de Dick etal., (1966) (figura 18); y el de Hillestad (1966).

Una presentación introductoria de estos modelos sepresenta en Noordergraaf (1969, 1978). Otro modelo del tipoRLC es el presentado por Deswysen (1977) y tuvo por objetoestudiar el comportamiento del ventrículo izquierdo y de lared vascular sistémica (ver figura 19). A principios de losaños 90, Guarini et al., (1993) elaboraron un modelo delSistema Cardiovascular (figura 20), al cual le fue aplicado el

153

Figura 15: Modelo hidrodinámico diseñado por Newgard (1963).La bomba izquierda controla la presión venosa pulmonar;

las otras dos simulan la aurícula izquierda y la acción del bombeo ventricular.Fuente: Schwan, H. P. (1969).

método no – lineal de estimación de valores de parámetrosde Lavenberg–Marquardt. El modelo permite obtenerseñales de presión, flujo y volumen sanguíneo y puedeestimarse el gasto cardíaco, variable importante en ladeterminación de la dosis de anestesia requerida por un

paciente que va a someterse a una cirugía mayor; de estamanera es posible suplantar el método de termodilución paraobtener el gasto cardíaco que es una técnica invasiva ydelicada.

Figura 16. Esquema del análogo eléctrico del Sistema Circulatorio de De Pater y Van der Berg. La letra Gindica los generadores con baja impedancia de salida, los capacitores C representan la adaptabilidad diastólicade las cámaras, los inductores L simulan las propiedades inerciales de la sangre en las cavidades, R representa

la resistencia valvular, mientras que los diodos simulan a las válvulas. Fuente: Noordergraaf, A. (1978).

Circulaciónpulmonar

Circ

ulac

ión

sist

émic

a

RrvLrv

Lla

L lv

Rla

Rlv

Crv

Cla

Clv

Cra

Gra

Lra

Rra

Grv

Glv

Gla

Bomba Sistemaarterialsuperior

Aorta

Reservoriovenoso

Sistemaarterialinferior

Bombas

Controldel nivel

A2

R2

R3 R4

A4P4

X4X3

X7 X1

X0X6

K3

K7

C7C5 C1

K1

u3 u4

K4

P6

P7 P1R5 R7 R1

P3

P5

I1

I3 I4

I2

I5 I7

D E F G

A7

A3

A1

L2

Figura 18. Representación en red del sistema circulatorio, programado en computadora analógica.La actividad contráctil de los ventrículos está representada por las adaptabilidades

dependientes del tiempo. CL y CR, Fuente: Noordergraaf, A. (1978).

Figura 19. Modelo eléctrico del ventrículo izquierdo y de la red vascular sistémica.Obsérvese que V1 es el análogo de la presión aórtica y C (t) representa la compliance instantánea

del ventrículo izquierdo. La válvula aórtica se representa por un diodo perfecto. Fuente: Deswysen, B. A. (1977).

154

Figura 17. Análogo del Sistema Circulatorio de circuito cerrado conteniendo un lado del corazón y el árbol sistémico.Fuente: Schwan, H. P. (1969).

Lven

Cven

Pv P1 P2 Pv5 PR P6P5PL

R2 R6 R8 R9 L2 R11R1 i7 i1 i2 ip i4 i5 i6R4

O4 O1 O2 O3O8 R5

CL

C8

C2

CRC6

C1

C3

C3

C4

R3 R7

Figura 20. Modelo análogo eléctrico del sistema cardiovascular. Clv, capacidad aórtica; Rt, resistencia aórtica; L;inercia de la columna de sangre; Cad, capacidad arterial distal; Rsc, resistencia sistémica. Fuente: Guarini, (1993).

155

Recientemente Gómez y colaboradores (Gómez et al., 2001),(figura 21), diseñaron un modelo con alto significadofisiológico que permite estudiar tanto condiciones normalescomo patológicas del Sistema cardiovascular.

La importancia del modelo desarrollado se basa en querepresenta con mayor fidelidad las diversas variablescardiovasculares y establece una mejor correspondencia delos parámetros matemáticos con los parámetros fisiológicos,además de representar tanto la parte izquierda como la partederecha del corazón con sus cuatro cavidades, además detodas las válvulas, así como la circulación venosa y lacirculación arterial. Debido a que las aurículas son cavidadescuya compliance (propiedad que tienen los vasos de dilatarsey contraerse ante una presión interna) es prácticamenteconstante las mismas se modelaron como capacitares fijos.

Las válvulas se simularon por un conjunto formado por undiodo y una resistencia, las arterias tanto de la circulaciónsistémica como de la circulación pulmonar son simuladaspor un conjunto conformado por un capacitor, un inductory una resistencia tomando como base modelos previos,donde el capacitor representa la compliance de la circulacióny las resistencias representan la resistencia viscoelásticade las arterias y la resistencia al paso del flujo.

En este modelo el sistema de alimentación se adapta a lacurva de elastancia de los ventrículos con lo cual se garantiza

un comportamiento más parecido al real.

Producto de que su adaptabilidad es variable en el tiempolos ventrículos se simularon como capacitares variables ydependientes de la elastancia.

Posteriormente en el año 2002, Gómez en su Tesis deMaestría, bajo la tutoría del Profesor Antonio D’ AlessandroMartínez, elabora un modelo con características fisiológicasmuy superiores a las mencionadas en el modelo anterior(figura 22).

Además de las características mencionadas anteriormenteen el modelo se simulan por separado las arterias, arteriolas,los capilares y las venas tanto en la circulación sistémicacomo en la circulación pulmonar y se simula elcomportamiento no lineal de la arteria aorta, lo cual puedeverse en la figura 22.

Otra característica importante del modelo es que permite nosolo estudiar el comportamiento mecánico normal del SistemaCardiovascular Humano, sino que también con el mismo sepueden simular los cambios que ocurren en la mecánicacardiovascular ante la presencia de patologías entre las quese encuentran valvulopatías y defectos cardiovascularescongénitos tales como Tetralogía de Fallot; defecto deltabique auricular, defecto del tabique ventricular, conductoarterioso persistente, etcétera.

Figura 22. Modelo eléctrico completo del Sistema Cardiovascular Humano. Fuente: (Gómez, 2002).

El significado de cada uno de los símbolos del modelo seexplica en la tabla B.

Otros Modelos:

Además de estos modelos del Sistema Cardiovascular encircuito cerrado existen otros que hacen énfasis en partesdel mismo, como la circulación coronaria, el árbol arterial

sistémico, el árbol arterial pulmonar, la microcirculación, lacirculación venosa, la circulación fetal, etc.

Algunos de ellos están discutidos en Noordergraaf (1969,1978). La interacción entre la circulación sistémica y lacoronaria ha sido planteada por medio del modelo de Zhengy Sun (1990).

156

Figura 21. Modelo eléctrico elaborado por Gómez y colaboradores donde se representan tanto la parte izquierdacomo la parte derecha del corazón. CAD, compliance de la aurícula derecha; RVT, resistencia al flujo de la válvulatricúspide; VT válvula tricúspide; CVD, compliance del ventrículo derecho; RVP, resistencia al flujo de la válvula

pulmonar; VP, válvula pulmonar; CCP, compliance de la circulación pulmonar; RFCP, resistencia al flujode la circulación pulmonar; ISCP inercia de la sangre de la circulación pulmonar; RVCP, resistencia viscoelástica

de las paredes de la circulación pulmonar; CAI, compliance de la aurícula izquierda; RVM, resistencia al flujode la válvula mitral; VM, válvula mitral; CVI, compliance del ventrículo izquierdo; RVA resistencia al flujode la válvula aórtica; VA, válvula aórtica; CCS, compliance de la circulación sistémica; RFCS, resistencia

al flujo de la circulación sistémica; ISCS, inercia de la sangre de la circulación sistémica; RVCS,resistencia viscoelástica de las paredes de la circulación sistémica. Fuente: (Gómez et al., 2001).

2 3 5

2622191712

117

841

6 9 10 13 14 15

30

16 18 20 21 23 24 27 28 3837 40

42

4139

25 29

44

43

3635

33

31 32

34

Tabla B. Significado de los símbolos del modelo de Gómez (2002).

Existen también diversos modelos matemáticos de lapropagación de ondas de presión en las arterias (Pedley,

1980; Noordergraaf, 1969, 1978; McDonald, 1974) del flujo através de las válvulas cardíacas (Bergel, 1972) y del sistema

157

SÍMBOLO SIGNIFICADO1234567

Aurícula derechaVálvula tricúspide

Resistencia al flujo de la válvula tricúspideVentrículo derecho

Resistencia al flujo de la válvula pulmonarVálvula pulmonar

Resistencia viscosa de la pared arterial pulmonar89

1011121314

Arteria pulmonarInercia de la sangre en la arteria pulmonarResistencia al flujo de la arteria pulmonar

Resto de las arterias de la circulación pulmonarResistencia viscosa de la pared del resto de las arterias de la circulación pulmonar

Inercia de la sangre del resto de las arterias de la circulación pulmonarResistencia al flujo del resto de las arterias de la circulación pulmonar

15161718192021

Arteriolas de la circulación pulmonarCapilares de la circulación pulmonar

Venas de la circulación pulmonarResistencia al flujo de las venas de la circulación pulmonar

Aurícula izquierdaVálvula mitral

Resistencia al flujo de la válvula mitral22232425

Ventrículo izquierdo

Válvula aórtica

Arteria aortaResistencia viscosa de las paredes de la arteria aorta

2627282930

Inercia de la sangre en la arteria aortaResistencia al flujo de la arteria aorta

Compartimiento coronarioResistencia viscosa de las paredes del compartimiento coronario

Inercia de la sangre en el compartimiento coronario

31323334

Resto de las arterias de la circulación sistémicaResistencia viscosa de las paredes del resto de las arterias de la circulación sistémica

Inercia de la sangre del resto de las arterias de la circulación sistémica

3536373839

Resistencia al flujo del resto de las arterias de la circulación sistémica

Arteriolas de la circulación sistémicaCapilares de la circulación sistémica

Resto de las venas de la circulación sistémica40414243

Resistencia viscosa del resto de las venas de la circulación sistémica

Resistencia al flujo de la vena cava inferiorVena cava superior

Vena cava inferior

Resistencia al flujo de la válvula aórtica

Resistencia al flujo del compartimiento coronario

Resistencia al flujo de la vena cava superior44

de control cardiovascular (Noordergraaf, 1978; Bergel, 1972).

MODELOS MECANO-QUÍMICOS DE LACONTRACCIÓN DEL MÚSCULO CARDÍACO

En al año 2001 Cardoso y colaboradores realizan un modelomecánico simplificado del sistema Cardiovascular basándoseen el modelo de Clancy, (1991) considerando la precargaventricular, la válvula mitral, el ventrículo izquierdo, laválvula aórtica, la aorta y la carga arterial o poscargaventricular.

Luego los mismos autores desarrollaron un modelo completosobre la base del modelo de LéFevre (1999) donde seincluyeron parámetros de fuerza y velocidad de contracciónmuscular, que no estaban incluidos en el modelosimplificado, lo que permitió hacer un modelo más parecidoal sistema real. De las simulaciones se obtuvieron las gráficasde las curvas presión ventricular en función del tiempo,volumen ventricular en función del tiempo y el ciclo presiónvolumen ventricular.

La simulación de la transducción químico-mecánica en elventrículo izquierdo integrado a una versión simplificadade la teoría de Huxley de la contracción muscular fuepublicada en el 2002 por Díaz Zuccarini y colaboradores. Eneste trabajo se realizan algunas mejoras a modelos previosbasados en parámetros empaquetados introduciendodiferencias finitas. El objetivo de este trabajo fue presentarun modelo con bases fisiológicas, que pueden ser fácilmenteentendidas comenzando desde la teoría de Huxley de losmecanismos de contracción muscular.

En un trabajo posterior, también en el 2002, Díaz Zuccarini ycolaboradores publicaron un modelo del funcionamiento delventrículo de los mamíferos construido para ser utilizadocomo ayuda en la enseñanza de la medicina (modelodoblemente capacitivo), presentando algunos resultadosexperimentales.

En el año 2003, Díaz Zuccarini et al. presentaron un modelodel ventrículo izquierdo de los mamíferos comenzando desdelos mecanismos de la contracción muscular y desarrollandomodelos presentes en publicaciones previas (LéFevre et al.,1999), (Díaz Zuccarini et al., 2002) con un propósito teóricopara la ecuación de la transducción mecánico-química(representada por un capacitor de doble puerto), proponenuna forma coherente de pasar del aspecto químico de losprocesos al aspecto mecánico. El modelo permite mostrardiferentes patrones y conversiones de energía yendo desdelos aspectos moleculares de la contracción muscular a larepresentación de la geometría de la cámara ventricularizquierda. El objetivo de este trabajo es obtener un modelodel ventrículo izquierdo con unas fuertes bases fisiológicas,pero el cual, en contraste con otros modelos existentes,

puede ser entendido en términos físicos, a la vez que permiteuna simulación suficientemente rápida que hace posible suintegración en un modelo completo para estudios detransientes cardíacos y demostraciones en la enseñanza.

Apoyado en la técnica de Bond Graph (gráficos de enlace),este modelo usa transductores químico–mecánicos, laaproximación de la cinética química descrita por ecuacionesdiferenciales parciales y la aproximación por diferenciasfinitas de fenómenos activos variables en el tiempo.

CONCLUSIONES

En el desarrollo de este trabajo hemos pretendido hacer unarecopilación lo más completa posible de los modelos másrelevantes dentro de la historia del modelaje y la simulacióndel Sistema Cardiovascular Humano. Como se observa, losmodelos del Sistema Cardiovascular se han venidodesarrollando desde hace mucho tiempo.

Existen diversos modelos matemáticos del SistemaCardiovascular Humano. Sin embargo, se prefiere el uso demodelos empaquetados respecto a los modelos distribuidosdebido a la mayor simplicidad de los primeros aún cuandolos modelos distribuidos permiten estudiar la propagacióndel pulso arterial y el pulso de velocidad sanguínea.

Los modelos empaquetados ahorran tiempo de cálculo ypermiten visualizar fácilmente lo que le ocurre en el sistemacuando se modifican los parámetros.

A través del tiempo la simulación cardiovascular ha tenidoun gran desarrollo y evolución. Para modelar el SistemaCardiovascular Humano se han utilizado análogos eléctricosque van desde el clásico modelo de Windkessel con doselementos (circuito RC) hasta análogos que incorporan lainercia de la sangre (circuitos RLC).

En tiempos más recientes se han elaborado modelos querepresentan de manera mucho más fiel las característicasfisiológicas del Sistema Cardiovascular, y por lo tanto conlos mismos se pueden realizar mejores análisis de lasvariables mecánicas relevantes en el comportamiento normaly patológico del Sistema Cardiovascular aunque no se hadesarrollado un modelo que permita predecir y reproducircon exactitud todas las respuestas cardiovasculares.

REFERENCIAS

ATTINGER, E. O. (1973). «Structure and function of theperipheral circulation». En Brown, J. H. y Gann, D. S.Engineering principles in Physiology. Volume II AcademicPress. E. U. A.

158

ATTINGER, E. O. (1976). «Models of the cardiovascularsystem». En: Kline, J. Biological foundations of

biomedical engineering. Little -Brown. E. U. A.

BENEKEN J. E. W. (1965 A). «A Mathematical Approach toCardio Vascular Function. The Uncontrolled HumanSystem». Utrecht.

BERGEL, D. H. (1972). «Cardiovascular fluid dynamics».Academic Press. Gran Bretaña.

BERNADINELLI, E Y URSINO, M. (1989). «Complex systems: amethodology for the study of biological systems». AlmaMater: Studiorum. II, 2.

BOOM, H. B. Y NOORDEGRAAF, A. (1963). «An electricalsimulator of cardiac dynamics». En: Bostem, F. H. (ed)Medical Electronics. Proc. 5th Int. Conf. MedElectronicus, Liége.

CAMPBELL K., LING R. Y SIMES J. (1982). «A pulsatilcardiovascular computer model for teaching heart - bloodvessel interaction». The physiologist. 25 (3): 155 – 162.

CARDOSO, E. (2001). «Modelaje y simulación delcomportamiento Mecánico del Corazón». Proyecto deGrado presentado en la Universidad Simón Bolívar Paraoptar por el título de Ingeniero Electrónico.

CLANCY E. A., SMITH, J. M., Y COHEN, R. J. (1991). «A simpleElectrical-Mechanical model of the Heart Applied to theStudy of Electrical–Mechanical Alternarns». IEEETransactions on Biomedical Engineering. Vol. 38. No 6.pp. 551-560.

D’ ALESSANDRO MARTÍNEZ, A. J. (1997). «Modelaje ySimulación de Sistemas Fisiológicos». Trabajo deAscenso presentado ante la Universidad Central deVenezuela para optar a la categoría de Profesor Agregado.

DEFARES, J. G., HARA, H. H., OSBORN, J. J Y MCLEOD. (1963).«Theorical analysis and computer simulation of thecirculation with special reference to the Starlingproperties of the ventricle». En: Noordegraaf, A., Pager,G. N. y Westerhof, N. (eds). Circulatory analog computers.North – Holland Publ. Amsterdam. p. 91.

DE PATER, L. Y VAN DEN BERG, J. (1963). «An electricalanalogue of the entire human circulatory system». Proc.5th Int. Conf. Med Electronicus, Liége.

DESWYSEN B. A. (1977). «Parameter Estimation of a SimpleModel of the Left Ventricle and of the Systemic VascularBed, with Particular Attention to the Physical Meaningof the Left Ventricular Parameters.

DÍAZ ZUCCARINI, V. D., LÉFEVRE, J., RAHMANI, A. Y DELGADO,M. (2002a). «Integrating a Bond – Graph Based Modeloof Chemo – Mechanical Coupling with Huxley ́ s SlidingFilament Theory»; Proceedings of 16th EuropeanSimulation Multiconference 2002 (ESM2002) Edited byKrysztof Amborski and Hermann Meuth, June 3-5, 2002,Darmstad, Germany, a Publication of SCS Europe, Printedin Ghent, pp. 423 – 427.

DÍAZ ZUCCARINI, V. D., LÉFEVRE, J., RAHMANI, A. Y DELGADO,M. (2002b). «Un Modéle Bond – Graph Simple de laMécano – Chimie du Myocarde», ProceedingsConference Internationale Francophone d’Automatique(CIFA 2002), Nantes, pp. 388 – 393, 8 – 10.

DÍAZ ZUCCARINI, V. D., LÉFEVRE, J., RAHMANI, A. Y DELGADO,M. (2003). «A Simplified Bond – Graph Model Of TheLeft Ventricle: From The Basis Of The Mechanisms OfContraction To The Hemodynamics Of The LeftVentricular Chamber» International Conference on BondGraph Modeling a Orlando, USA.

DICK, D. E. HILLESTAD, R. J Y RIDEOUT, V. C. (1966). «Acomputer study on the effects of circulatory systemdefects. Proc. 19 the Annu. Conf. Eng. Med. Biol. SanFrancisco.

DUVELLEROY M., M. DURUBLE. (1990). «Simulations deSystémes Physiologiques» Chapitre VIII: Módelisationdu systemé cardio – vasculire Arnette S. A París France.pp. 111 – 135.

FRANK, OTTO, (1899). «Die Grundform des arteriellen Pulses»,Zeitung für Biologie 37 483-586.

FUNG, Y. C. (1984). «Byodinamics». Springer – Verlag. NewYork.

GARCÍA – COLIN L. (1972). «Introducción a la TermodinámicaClásica». Trillas. México.

GANONG, W. F. (1994). «Fisiología Médica». Manualmoderno». 10ma edición. México.

GÓMEZ K., D’ ALESSANDRO A. J., SÁNCHEZ G., RODRÍGUEZ M.(2001) «Propuesta de un modelo del SistemaCardiovascular Humano». III Congreso de la SociedadVenezolana de Física, Universidad Simón Bolívar. 10 -14

159

de Diciembre de 2001. El artículo fue publicadoposteriormente en la Revista Mexicana de Física. Volumen49. Suplemento 3, Noviembre de 2003. pp. 33- 35.

GÓMEZ K. (2002) «Evaluación de modelos del comportamientomecánico del Sistema Cardiovascular Humano.Propuesta de un modelo». Trabajo de Grado presentadoen la Universidad Simón Bolívar para optar por el Títulode Magíster en Ingeniería Biomédica.

GUARINI, M., URZUA, J., CIPRIANO, A. Y MATUS, M. (1993).«Estimación del Flujo Cardíaco utilizando técnicas deoptimización» X Congreso Chileno de IngenieríaEléctrica. Valdivia, Chile. Vol. 1: 13 – 17.

GUNTHER, B. Y CONCHA, J. (1952). «Estudio de algunascaracterísticas físicas del aparato circulatorio en unmodelo eléctrico». Bol. Soc. Biol. Concepción. Chile. 27:5.

GUYTON, A. C. (1955). «Determination of Cardiac Output byEquating Venous Return Curves with Cardiac ResponseCurves». Physiol. Rev. 35: 123 – 129.

HILL, W. S., POLLERI, J. O. Y MATTEO, A. L. (1958). «Essay ona hydrodynamics analysis of the blood circulation»Universidad de Montevideo, ANCAP, Min. Salud PúblicaMontevideo.

HILLESTAD, R. J (1966). «Hybrid computer studies of thecardiovascular system circuit». M.S Thesis Universityof Wisconsin.

KLINE, J. (1976). «Biological Foundations of biomedicalengineering» Lude Brown and Company. E. U. A.

KLOTZ, I. Y ROSENBERG, R. (1977). «Termodinámica química».AC. España.

LANGE, O. (1975). «Los Todos y las partes» FEI. México.

LÉFEVRE, J., LÉFEVRE, L Y COUTEIRO B. (1999). «A bond graphof chemo-mechanical transduction in the mammalian leftventricle». Simulation Practice and Theory 7. pp. 531-552.

LEVY, M. N. (1979). «The cardiac and vascular factors thatdetermine systemic blood flow». Cir. Res. 44 (6): 739 –747.

LEWIS B. S., GOTSMAN Ms. (1980). «Currents concepts of leftventricular relaxation and compliance A[1] 99: 101 – 112.

MCDONALD, D. A. (1974). «Blood flow in arteries» EdwardArnold. Gran Bretaña.

MILHORN, H. T (1966). «The application of control theory tophysiological systems. Saunders, Londres.

MUNGAMURU, B., Y ROE P. (2001). «Modeling the HumanCardiovascular System».

http: /www.eng.uwaterloo.ca/~lnbmunga/sd551project.htmNewgard, P. M. (1963). «Design of a mechanical

cardiovascular simulator. IEE Trans Bio-Med. Electron.10: 153.

NOORDERGRAAF, A. (1964). «Development of an analogcomputer for the human systemic circulatory system»In Circulatory Analog Computers. Ed. By A.Noordegraaf. Amsterdam, North Holl. Publ., 1963 A. pp.28 – 44.

NOORDERGRAAF, A. (1969). «Hemodynamics». En: BiologicalEngineering.

NOORDERGRAAF, A. (1978). «Circulatory systems dynamics».Academic Press E. U. A.

PEDLEY, T. J. (1980). «The fluid mechanics o large bloodvessels». Cambridge University Press. Gran Bretaña.

ROTHE, C. F. (1979). «A computer model of the cardiovascularsystem for effective learning». The Physiologist. 22 (6):29- 32.

ROTUNDO, E. (1980). «Introducción a la Teoría General desistemas». Faces - UCV y Colegio Universitario deCaracas. Venezuela.

SATRANDNESS, D. E. Y SUMMER, D. S. (1975). «Hemodynamicsfor surgeons». Grune & Stratton. E. U. A.

SCHWAN, H. P. (1969). Biological Engineering. McGraw –Hill. E. U. A.

STRONG, A. (1970). «Biophysical measurements». Tektronix.E.U.A.

VADOT, I. (1976). «La circulación». Marban. España.

VAN HARREVELD, A. Y SHADLE, O. W (1951). «Onhemodynamics». Arch. Int. Physiol. 49: 165.

WARNER, H. R. (1959). «The use of an analog computer foranalysis of control mechanism in the circulation». Proc.IRE. 47: 1913.

160

WOODSON, T. (1966). «Introduction to Engineering Design».McGraw – Hill, New York.

ZHENG, T. Y SUN, Y. (1990). «An analog model for interactionbetween systemic and coronary circulation». AnnualInternational Conference of IEEE Engineering inMedicine and Biology Society. 12: (4) 1815- 1816.

161