Modelos de Crecimiento Poblacional1

8/16/2019 Modelos de Crecimiento Poblacional1

1/44

Fernando. M. Toribio Román


2/44

•Un modelo es un elemento que pretendeasemejar a la realidad pero que no es en síla realidad misma.

•Los modelos de crecimiento son modelosespecíficos que simulan como se desarrolla lapoblación.

Fernando M. Toribio Román


3/44

• El modelo es una herramienta para predecir el tamaño de unapoblación pero Nunca debe considerarse el objetivo en laEcología de Poblaciones.

• Los modelos y la realidad trabajan paralelamente y estánligados por dos conceptos

ABSTRACCIÓN INTERPRETACIÓN



4/44

abstracción

interpretación



5/44



6/44



7/44

• Desde el punto de vista matemático, es decir del tipo deherramientas matemáticas a utilizar, podemos hablar de dostipos de modelos:

• Deterministas: Son aquellos donde no se tienen en cuenta el azar. Enestos modelos, ante unos datos iniciales idénticos siempre se obtienelos mismos resultados.

• Estocásticos: Son aquellos donde se considera que el azar influye en elproceso. En estos modelos, ante unos mismos datos iniciales se pueden

obtenerse diversos resultados.



8/44

• La taza de crecimiento es el parámetro r de la poblacióny es la diferencia entre la natalidad y la mortalidad.


r = b - d

Por lo que la ecuación anterior puede

ser descrita como

t (Nt) = (Nt-1) r


9/44


N

--------- = b - d , suponiendo un crecimiento por pulsos

N t

Si se quiere conocer el crecimiento continuo, entonces hay que

llevar a t al límite de lo pequeño t 0

Entonces,

d N dN

------ = ---- = rN Nt = No * ert

Ndt dtNt = No * ert


10/44

• El parámetro r se conoce como:

•

Parámetro Maltusiano• Tasa intrínseca de crecimiento

• Tasa natural de crecimiento instantánea

• Tasa de crecimiento poblacional



11/44

Población declina exponencialmente (r < 0)

Población crece exponencialmente (r > 0)

Población no crece (r = 0) Fernando M. Toribio Román


12/44



13/44



14/44

•

La capacidad de crecimiento de lapoblación [humana] es mucho mayorque la capacidad de la tierra paraproducir alimento.

• En octubre de 1838 leí el libro deMalthus sobre la población [...] Mellamó la atención que en esas

circunstancias las variedadesfavorables tenderían a serpreservadas, y las desfavorables a serdestruidas. El resultado sería laformación de nuevas especies.



15/44

• El conocimiento de la dinámica de poblaciones es muyimportante en muchas áreas de la Ingenieríaambiental, entre otras el destino de las bacterias

fecales descargadas en aguas superficiales, laeficiencia de los microbios en el tratamiento biológicode desechos y las interacciones sustrato-organismo enla limpieza de suelos contaminados.



16/44

• Otras aplicaciones incluyen el molesto crecimiento de algas enlos lagos, la biomanipulación como un método para mejorar lacalidad de aguas superficiales y la transferencia a través de lacadena alimenticia.

• La capacidad del Ingeniero ambiental para manejar yproteger el ambiente aumenta al entender la dinámica de laspoblaciones. Los modelos proporcionan una gran cantidad de

información acerca de lo que “hace crecer el jardín” y de esta

manera nos ayudan a ser mejores administradores de lacreación.



17/44

• Aun cuando los individuos nacen, crecen, sereproducen y mueren el efecto ambiental de esoseventos se observa mejor examinando la comunidad

de manera global.

• Un modelo opcional consiste en el empleo deparámetros sustitutos (por ejemplo se puede usar:peso seca – mg de PS/l o sólidos suspendidos – mgde SS/l) para representar todo el material vivo obiomasa.



18/44

• Un modelo físico se define como un objeto pequeñoconstruido a escala que representa a otro objeto amenudo mayor y que es posible utilizar para analizar

la respuesta de una entidad a la perturbación.

• Los Ingenieros ambientales utilizan modelosmatemáticos para este propósito.



19/44

• Considere el caso de la comunidad de algas o de bacterias deun lago o un rio o la comunidad de microorganismos de unsistema de tratamiento de aguas residuales. El balance demateria sobre la biomasa se puede representar así:

V dX = Q Xen – QX ± Reacción

dt

Donde X es la biomasa (mg/l), V es el volumen, Q es el gasto(l/día), t es el tiempo en días y Reacción se refiere a todos losprocesos cinéticos que describen el crecimiento o la muerte de losorganismos.



20/44

• La dinámica de muchos organismos desde bacterias a (de

manera sorprendente) seres humanos, se describe mediante unaexpresión simple denominada modelo de crecimientoexponencial.

d X = µ X

d t

Donde µ es la tasa específica de crecimiento (día -1) es un casoespecial de la constante de velocidad de primer orden k, laecuación se integra para dar: Xt = Xo e (µ t)

Donde Xt es la biomasa en un tiempo dado t, y Xo es la biomasainicial indicada como numero o como concentración sustituta, porejm. mg de PS/l.



21/44

• Considere una población o comunidad con una biomasa inicial (Xo)de 2 mg de PS/l y una tasa especifica de crecimiento (µ) de 1 día-1.Determine la concentración de biomasa (mg de PS/l) durante unperiodo de diez días.

• Suponga un crecimiento exponencial, la biomasa en cualquiermomento es determinada por: Xt = Xo e(µ t)

• Xt = 2 e (1 t) n

• La tabla que viene a continuación y la figura muestran a la biomasacomo una función del tiempo, la forma de esta curva (forma de J) escaracterística del crecimiento exponencial, la pendiente de la curvala determina el valor de la tasa especifica de crecimiento.



22/44

• La influencia del valor de µ en la forma de la curva develocidad de crecimiento se indica e el figura b.



23/44

60000

50000

40000

30000

20000

10000

02 4 6 8 10


BiomasaX mg/l

Tiempo

(días)


24/44


25/44



26/44

• La misma tabla presenta los cálculos de la biomasa como unafunción del tiempo para el modelo de crecimiento exponencialque utiliza la biomasa inicial y la tasa específica de crecimientoque se acaba de dar.


Tiempo (días) Biomasa (mg de PS/l) Tiempo (días) ) Biomasa (mg de PS/l)

1 5 6 8072 15 7 21933 40 8 5692

4 109 9 162065 297 10 50015


27/44

• Si las predicciones generadas por el modelo del crecimientoexponencial se examinaran un poco mas a lo largo del tiempose observarían algunos niveles interesantes de biomasa.

• Por ejemplo en 100 días la biomasa simulada en el ejemploanterior ascendería a 5.4 x 10 43 mg/l. Hay algo equivocadoen esto? No es de extrañar que al modelo de crecimientoexponencial algunas veces se les llama de crecimiento ilimitado:

no hay restricciones o límites superiores sobre la biomasa.



28/44

• Si bien es cierto que el crecimiento exponencial es útil,el sistema del crecimiento logístico muestra como secomportan las poblaciones y comunidades que están

limitados por la capacidad de carga o de soporte delambiente para sostener el crecimiento.

• La capacidad de carga se refiere a la resistenciaambiental que controla el crecimiento de laspoblaciones.



29/44



30/44



31/44


Establece que la tasa intrínseca de

crecimiento disminuye conforme el

tamaño poblacional se acerca a unlimite (K) o capacidad de carga


32/44

• Si N = 0, r es máx.

• Si N = K, r = 0

• Si N > K, r es neg.


dN/dt

K N

r max


33/44



34/44



35/44

• En la figura se muestra una visión gráfica deque lo que se representa al decir que lasvariables, tanto de nacimientos como de

muertes, son denso-dependientes.

• Mostrándonos que las muertes y nacimientos

solo son iguales en un punto, que es justo en ellugar en donde se intersectan.



36/44



37/44

• Considere la población con las siguientescaracterísticas Xo=2 mg de PS/l, µmax= 1 día -1,pero con una capacidad de carga (k) de 5000 mg dePS/l, determine la biomasa de la población en unperiodo de 10 días.



38/44



39/44

• Nótese que la tasa especifica de crecimientocomienza a disminuir después de varios días yse aproxima a cero. Asimismo los niveles de

concentración de biomasa se detienen con eltiempo cuando se alcanza la capacidad decarga (en este caso 5000 mg de PS/l).



40/44



41/44

• En la naturaleza es mas común que los organismos alcancenlímites que establecen reservas de recursos renovables, porejemplo los alimentos, que los que establece la capacidad decarga.

• La relación entre nutrientes y la velocidad de crecimiento de lapoblación o la comunidad se describe mediante el modelo deMonod, un sistema conceptual importante en los sistemas

naturales (ejm. Ríos, lagos) y artificiales (ejm. Tratamiento deaguas residuales).



42/44

• El modelo de Monod que representa gráficamente serepresenta así:

µ = µmax s(Ks + S)

• Donde S es la concentración de nutrientes o de sustrato (mg de

S/l) y K es el coeficiente de saturación media (mg de S/l)



43/44



44/44

Modelos de Crecimiento Poblacional1

Documents

Transcript of Modelos de Crecimiento Poblacional1