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TEORIA DE COLA Prof. Julia Marcano [II-2010

1

MODELOS DE COLAS

INTRODUCCION

En diferentes ocasiones en la vida, la mayoría de las personas que viven en la sociedad han

esperado en una fila para recibir algún tipo de servicio. Muchas industrias de

productos y de servicios tienen un sistema de colas, en el que los productos (o clientes)

llegan a una estación esperan en una fila (o cola), obtienen algún tipo de servicio luego salen

del sistema.

Se puede definir un Sistema de colas como un sistema en el que los productos (o los clientes) llegan a una estación, esperan en una fila (o cola), obtienen algún servicio y luego salen del sistema. Ejemplos de un sistema de colas:

Los clientes que llegan al banco, esperan en una fila para obtener un servicio de uno de los cajeros, y después salen del banco.

Las partes de un producto en un proceso de producción que llegan a una estación de trabajo particular desde diferentes estaciones, esperan en un compartimiento para ser procesadas por una máquina, y luego son enviadas a otra estación de trabajo.

Las llamadas telefónicas que llegan a un centro de reservaciones de una aerolínea, esperan al agente de ventas disponible, son atendidos por un agente y dejan el sistema cuando el cliente cuelga.

El modelo de colas comprende el estudio matemático de las colas o línea de espera.

ELEMENTOS O COMPONENTES DE UN MODELO DE COLAS:

Llegadas. Los clientes llegan al sistema en busca de un servicio, y pueden ser personas, máquinas que requieren reparaciones, llamadas telefónicas que hay que contestar. Las llegadas pueden ser constantes o aleatorias, si son aleatorias, siguen algún comportamiento probabilístico; pueden ser individual o en grupo.

Servicios. Hay que dar al cliente un servicio. El tiempo que se requiere para concluir el servicio puede ser constante o aleatorio, si es aleatorio, sigue algún comportamiento probabilístico.

Fuente de entrada. Es la población potencial de clientes que algún determinado momento pueden requerir servicio. El tamaño de la población puede ser infinita (por ejemplo los clientes de un automercado, de algún banco) o finita (los compresores que se les hace mantenimiento de una determinada empresa).

Cola: Una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser infinitas o finitas.

Disciplina de la cola. Se refiere al orden en que se selecciona los clientes para ser atendidos. Se tienen varias disciplinas:

Primero en entrar, primero en ser atendido.

Primero en entrar, último en ser atendido.

Aleatorio.

Por prioridades.


2

Unidad de servicio. Es el sitio donde el cliente es servido. La unidad de servicio puede ser simple o múltiple.

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA (COLAS)

Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de colas se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere un método para clasificar las colas, y para ello se requiere contestar las siguientes preguntas:

¿El sistema de colas tiene un solo punto de servicio o existen puntos múltiples de servicio en secuencia?

¿Existe sólo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad?

¿Las unidades que requieren servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria?

¿El tiempo que se requiere para el servicio se da en algún patrón o asume duraciones aleatorias de tiempo?

¿El tiempo entre llegadas es constante o asume duraciones aleatorias de tiempo?

Otros de los elementos que se consideran para definir el modelo de cola son:

El tamaño de la población.

La forma en que las unidades llegan para ingresar al sistema de cola; por ejemplo, una por una

o en grupos.

La disciplina de la línea de espera, o el orden en que se atienden las unidades.

Si las unidades rechazan o no debido a la longitud de la cola y no ingresan al sistema.

Si las unidades se arrepienten y abandonan el sistema después de haber aguardado un

tiempo en la cola.

Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que llegan aguarden en fila.


3

TERMINOLOGIA:

: Tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de llegadas por unidad de tiempo).

⁄ : tiempo promedio entre llegadas.

: Tasa media de servicio de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de clientes al cual puede dar servicio la instalación en una unidad de tiempo, suponiendo que no hay escasez de clientes).

⁄ : tiempo promedio servicio.

: Número esperado de clientes en la cola (excluye los clientes que están en servicio).

L : Número esperado de clientes que se atienden y/o esperan en el sistema. : Tiempo

estimado que emplea un cliente esperando en la cola.

W: Tiempo estimado que emplea un cliente esperando más el que emplea siendo atendido (Tiempo esperado en el sistema).

: Probabilidad de encontrar el sistema vacío u ocioso.

: Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema.

ρ : Fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados.

Supuestos:

Para los siguientes modelos se consideran lo siguiente:

1. Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o

de Markov.

2. Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una

distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios

son independientes entre sí e independiente del proceso de llegada.

3. La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no

hay un límite para el tamaño de la cola.

4. Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en

operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones

iniciales.


4

MODELO DE COLA INFINITA, FUENTE INFINITA Y UNA UNIDAD DE SERVICIO = para n = 0,1,2,3,

(

) (

)

( )

( )

( )

Probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor particular t:

Incluyendo el tiempo de servicio

( ) ( ) Excluyendo el tiempo de servicio

( ) (

) ( )

MODELO DE COLA INFINITA, FUENTE INFINITA Y UNIDAD DE SERVICIO MÚLTIPLES : para n = 0,1,2,3,

: {

S: número de unidades de servicio.

{

(

)

(

)

[∑

(

)

]

(

) (

)

(

) (

)

( (

))

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

Probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor particular t:

Incluyendo el tiempo de servicio P(T>t)

( )

[

( )

( )

( )

]

Cuando

(

)

( ) [ ( )] ( )

( ) ∑


5

MODELO DE COLA FINITA, FUENTE INFINITA Y UNA UNIDAD DE SERVICIO.

{

: para n = 0,1,2,3, M: número máximo de clientes en el sistema

{

(

)

(

)

∑

( ) (

)

( ) ( )

∑

( ) ( )


6

MODELO DE COLA FINITA, FUENTE INFINITA Y UNIDAD DE SERVICIO MÚLTIPLES : para n = 0,1,2,3,

: {


{

( )

( )

(∑( )

)

( )

∑ (

)

( )

( ) [

( ) ( )]

∑

( ∑

)

∑

( ) ( )


7

MODELO DE COLA FINITA, FUENTE FINITA Y UNA UNIDAD DE SERVICIO

{( )

: para n = 0,1,2,3, M: número máximo de clientes en el sistema

( )

( )

∑( )

( )

( )

( )

∑

( )

( )

MODELO DE COLA FINITA, FUENTE FINITA Y UNIDAD DE SERVICIO MULTIPLES

: {( )

: {


{

(

)

( )

( )

( )

(∑ ( )

( ) ) ∑

( )

( )

∑ ( )

∑

( ∑

)

( )


8

MODELO DE COLA DE AUTOSERVICIO

Este modelo tiene las siguientes características:

El número de servidores es ilimitado porque el cliente mismo es también el servidor.

El primero que entra es el primero en ser atendido.

Las llegadas y los servicios siguen una distribución de Poisson.

Observación: Se debe tener cuidado que las gasolineras de autoservicio o los bancos con servicio las 24 horas no se clasifican en esta categoría, ya que, los servidores son en realidad la bomba de gasolina y la computadora del banco, aunque el cliente es el que opera el equipo.

n

Probabilidad de encontrar el sistema vacío

Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema de colas

Número estimado de clientes en el sistema.

Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema.

Tiempo estimado que emplea un cliente en la cola

, esto es debido a que cada cliente se atiende a sí mismo.

Número estimado de clientes que esperan ser atendidos.


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Ejemplo 1. Supongamos que todos los propietarios de automóviles llenan sus tanques de

gasolina cuando están exactamente a la mitad. En la actualidad, llegan un promedio de 7.5

clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se necesita un promedio de 4

minutos para atender un automóvil. Suponga que tantos los tiempos entre llegadas como los

tiempos de servicios son exponenciales. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren en el

sistema 2 o 3 automóviles en un ciclo de ¼ de hora?

Cliente: los automóviles Unidad de servicio: la gasolinera S = 1

Tasa de llegadas : ⁄ (

)⁄

Tiempo entre servicio:

⁄

(

)⁄

MODELO DE COLA INFINITA, FUENTE INFINITA Y UNIDAD DE SERVICIO SIMPLE

Probabilidad de que se encuentren en el sistema 2 o 3 automóviles =

P2 + P3 = 0.1250 + 0.0625 = 0.1875

(

)

(

) (

)

Ejemplo 2. Una grúa desplaza objetos de una máquina a otra y se utiliza cada vez que la

máquina requiere carga o descarga. La demanda de servicio es aleatoria. Los datos tomados

del registro de tiempos entre llamadas de servicio siguen una distribución exponencial con una

media de una llamada cada 30 minutos. De manera semejante, el tiempo real de servicio de

carga o descarga toma un promedio de 10 minutos. Si el tiempo de máquina esta avaluado en

8.5 Bs/hora. ¿Cuánto vale el tiempo perdido por día?

Cliente: las máquinas Unidad de servicio: la grúa S = 1

Tasa de llegadas :

⁄

⁄


⁄

⁄

MODELO DE COLA INFINITA, FUENTE INFINITA Y UNA UNIDAD DE SERVICIO

Costo del tiempo perdido por día:

Costo total por día = (costo/hora)*W*(demanda/día)=

Tiempo perdido por maquina: W


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Ejemplo 3. En un aeropuerto el equipo de mantenimiento de aeronaves alimentadoras

contrata dos grupos especializados de técnicos con sus respectivos materiales. La llegada de

aviones al taller de mantenimiento es una variable aleatoria que sigue una distribución de

Poisson con una media de 5 aviones por mes. El tiempo promedio de servicio sigue una

distribución exponencial con un valor de 30 horas. La flota de aeronaves alimentadoras es de

8 aviones. En el aeropuerto se trabaja 26 días al mes y 10 horas al día.

a) ¿Cuál es la cantidad de aviones que están haciendo cola?

b) ¿Cuál es la cantidad de aviones en el sistema?

c) ¿Cuál es el número esperado de aviones que están en servicio?

Cliente: los aviones Unidad de servicio: los técnicos S = 2 M = 8

Tasa de llegadas : ⁄ ⁄


⁄ ⁄

MODELO DE COLA FINITA, FUENTE FINITA Y UNIDAD DE SERVICIO MULTIPLES

PARTE A:

Cantidad de aviones que están haciendo cola: Lq

∑( )

∑( )

{

(

)

( )

( )

( )

(∑ ( )

( ) ) ∑

( )

( )

(∑ ( )

( ) ) ∑

( )

( )

( ( ) )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0,008019


11

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

∑( )

3 aviones que están haciendo cola

PARTE B:

Cantidad de aviones que están en el sistema: L

∑ ( ∑

)

( ( ))

PARTE C:

Número de aviones que están en servicio= 8 – L = 8 - 4,64 =3.36, 3 aviones están en servicios

Ejemplo 4. El Banco Banesco tiene 4 cajeros para atender las cuentas de ahorro. El tiempo de

servicio sigue una distribución exponencial con un promedio de 6 minutos por cliente. Se sabe

que los clientes llegan en forma de Poisson durante el día con un promedio de llegada 30 por

hora.

a) ¿Cuál es el promedio de tiempo que un cliente pasa en el sistema?

b) ¿Cuál es el promedio de tiempo que espera un cliente antes de que se le atienda?

c) ¿Cuántas horas por semana dedica un empleado al desempeño de su trabajo?

Cliente: los ahorristas Unidad de servicio: los cajeros S = 4

Tasa de llegadas: ⁄


⁄ ⁄

MODELO DE COLA INFINITA, FUENTE INFINITA Y UNIDAD DE SERVICIO MÚLTIPLES


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Parte a:

W = promedio de tiempo que un cliente pasa en el sistema

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

[∑ ( )

]

( )

(

)

[∑ ( )

]

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

Parte b:

Wq = promedio de tiempo que espera un cliente antes de que se le atienda

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Parte c:

Horas por semana dedica un empleado al desempeño de su trabajo = probabilidad que una

cajera esté ocupada * 8 hrs/día * 5 días/semana

Probabilidad que una cajera esté ocupada = 1 - Probabilidad que una cajera esté desocupada

Probabilidad que una cajera esté ocupada = 1 -0.249999 = 0.750001

(

)

(

)

(

)

(

)

Horas por semana dedica un empleado al desempeño de su trabajo = probabilidad que una

cajera esté ocupada * 8 hrs/día * 5 días/semana

Horas por semana dedica un empleado al desempeño de su trabajo = 0.750001*8 hrs/día * 5

días/semana = 30 hrs./semana


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Ejemplo 5. En una instalación de servicio de lavado de autos, la información recolectada indica

que llegan autos para ser atendidos según una distribución de Poisson con la media de 5 por

hora. El tiempo para lavar y asear cada automóvil varia, pero se advierte que sigue una

distribución exponencial con media de 10 minutos por automóvil. La instalación no puede dar

alojamiento a más de un auto a la vez.

1. Determinar el número de espacio de estacionamiento suficiente de manera que un

automóvil que llegue puede estacionarse cuando menos el 80% del tiempo.

Cliente: los automóviles Unidad de servicio: espacio de estacionamiento S = 1

Tasa de llegadas : ⁄


⁄ ⁄

MODELO DE COLA INFINITA, FUENTE INFINITA Y UNIDAD DE SERVICIO SIMPLE

Lq da una idea de cuántos espacios de estacionamiento debe haber para los autos que llegan a

la instalación de servicio de lavado.

( )

( )

( )

( )

representa el número de autos en el sistema, en consecuencia,

Donde s es el número de espacios de estacionamiento y (

) , (

)

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]

El desarrollo

( )[ ]

Aplicando logaritmo

( ) ( ) ( )

Para eliminar los valores negativos de los logaritmos se multiplica la desigualdad por -1

( )

( )

( )

( )

Para dar cabida a todos los autos que lleguen cuando menos el 80% del tiempo, el mínimo

espacio de estacionamiento es de 8.


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El tiempo que espera un automóvil en las instalación es de

( )

Este tiempo es demasiado

2. Suponga que la instalación tiene un total de cinco espacios de estacionamiento. Si el

lote de estacionamiento está repleto, los autos que llegan después de este suceso

buscan servicio en cualquier otro lugar.

Para saber cuántos clientes se están perdiendo:

∑

( ) ( )

( )

{

(

)

( )

( )

(

)

(

)

∑

( ) ( ) ( ) ( )

⁄

La tasa que se retiran los automóvil es de ⁄ ⁄ ⁄

El tiempo que espera un automóvil en las instalación es de

( ) (

)

( )

( ) (

)

( )


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El tiempo que emplea con un espacio de estacionamiento de 5 automóviles es menor, pero se

pierde 3 automóviles por día, que cuando se dispone de 8 espacios

2ª. Cuál es la probabilidad de que un auto que llega al estacionamiento será atendido

inmediatamente después de su llegada.

La probabilidad de que un automóvil sea atendido inmediatamente, es cuando no hay

automóvil en el sistema:

( )

( )

2b. Cuál es el número esperado de espacios de estacionamiento ocupados.

( ) ( )

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