Modelo Multifractal Baseado em Cascata

Multiplicativa Multinomial

Adaptada

Jeferson Wilian de Godoy Stenico

Cascata Multinomial Generalizada

• Constitui de um processo iterativo entre o intervalo [0,1]

• Utiliza da expressão do Binômio de Newton para gerar um processo multinomial

• O binômio de Newton, dado pela expressão:

(1)

Dois multiplicadores iniciais e , sendo variáveis aleatórias

•Assim para valores aleatórios em [0,1], teremos a seguinte relação para os multiplicadores:

• , e

•Com isso usando a equação (1), podemos escrever a expressão para os multiplicadores de forma

generalizada para cascata multiplicativa multinomial.

onde (2)

•b é igual ao tipo de cascata multiplicativa que queremos usar

• n representa o estágio da cascata

Cascata Multinomial Generalizada

Exemplo de uma cascata trinomial

Distribuição Beta de ordem k

Observando a construção da cascata multiplicativa à distribuição do k° ordem estatística da distribuição

uniforme em [0,1] é dada por:

(3)

Ou

(4)

Sendo e , podemos expressar a equação (4) como:

(5)

Para representar a função de densidade de probabilidade temos:

6

7

8

9

10

Modelo multifractal

•Um processo estocástico X(t) é chamado multifractal se possui incremento estacionário e

satisfaz a seguinte equação:

(11)

Através da equação (11), podemos observar que as propriedades multifractais dos dados

reais de tráfego são caracterizadas por suas correspondentes função de escala e

fator de momento .

•O modelo proposto objetiva capturar tanto a função de escala como o fator de momento

do processo a ser analisado.

•Segundo os autores em (Dang. et al.,2002), isto pode ser obtido pelo produto de uma cascata

e uma variável aleatória i.i.d. positiva Y.

• O modelo multifractal resultante pode ser visto como o produto da taxa de pico

do fluxo Y, pela medida de rajada na escala de tempo aplicada

,

A variável Y é independente da medida da cascata então a série obtida denotada por

satisfaz a seguinte relação:

(12)

Analisando a equação (12) junto à definição de processos multifractais equação (11) pode observar que as R e

Y devem ser:

(13)

Considerando a unidade de intervalo de tempo como unitária (denotada por ) no estágio N da cascata.

Usando algumas modificações do artigo (Dang. et al., 2002), temos:

(14)

As variáveis R e Y agora devem ser escolhidas de forma a atender ao seguinte sistema de equações:

(15)

, .

A função de escala pode ser precisamente modelada assumindo que R é uma variável

aleatória em [0,1] com distribuição beta, Beta . Assim, a função relacionada

à função de escala pode ser explicitamente escrita como:

(16)

onde corresponde à função Gama

Considerou-se a variável aleatória como tendo uma distribuição lognormal definida

pelos parâmetros m e v.

Possuindo momento

Assim, segundo o sistema de equações (15), as variáveis m e v devem obedecer à seguinte

equação:

(17)

A equação (17) permite expressar analiticamente o fator de momento pela seguinte relação:

(18)

Dessa forma, analisando-se as equações (16) e (18), verifica-se que o modelo multifractal proposto

é caracterizado por apenas três parâmetros (b,m,v), provindos das expressões analíticas para a

função de escala e o fator de momento

Propriedades estatísticas

• A média do processo

•A variância do processo

•A covariância do processo

Alguns Resultados

Dec_pkt_1_40ms.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0.5

1

1.5

2

x 104

Tempo

Inte

nsida

de d

e Tr

áfeg

o (b

ytes

)

Tráfego Sintético Gerado Usando Cascata Binomial (b=2)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

x 104

Tempo

Inte

nsid

ade

de T

ráfe

go (b

ytes

)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

x 104

Tempo

Inte

nsid

ade

do T

ráfe

go (b

ytes

)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

x 104

Tempo

Inte

nsid

ade

de T

ráfe

go (b

ytes

)

Tráfego Sintético Gerado Usando Cascata Trinomial (b=3)

Tráfego Sintético Gerado Usando Cascata tetranomial (b=4)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Legendre spectrum

Hoelder exponents:

spectrum

: fl(

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Legendre spectrum

Hoelder exponents:

spectrum

: fl(

)

Espectro Multifractal

Tráfego Real Dec-pkt_1_40ms Tráfego Sintético (b=2)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Legendre spectrum

Hoelder exponents:

spectrum

: f l(

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Legendre spectrum

Hoelder exponents:

spectr

um

: f l(

)

)

Tráfego Sintético (b=3) Tráfego Sintético (b=4)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

q

tal(q

)

Binomial

Trinomial

Tetranomial

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

15

20

25

30

35

40

q

log

[c(q

)]

Binomial

Trinomial

Tetranomial

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

b

Fu

nçã

o d

e A

uto

co

rre

laçã

o

Binomial

Trinomial

Tetranomial

Tráfego Real

Função Escala Função Momento Função Autocorrelação

Tráfego Média Variância

Dec_pkt_1_40 3.6607e+003 1.0881e+007

Sintético Binomial 4.7730e+003 1.1139e+007

Sintético Trinomial 3.7037e+003 9.3869e+006

Sintético Tretanomial 3.2009e+003 8.6233e+006

Tabela I Média, Variância

ReferenciasDang, T. D., Molnár, S., & Maricza, I. (2003). Queuing performance estimation for general multifractal traffic.Int. J. Commun. Syst., 16(2), 117–136.