Modelo Examen Cepru

2DO. EXAMEN CEPRU 2011-I

ARITMETICA

1. Dada la igualdad ( 1)532 (3 1) ba c b c ,

el valor de a b c es:

A) 11 B) 9 C) 8 D) 5 E) 2

2. Si 6 ( )11234 nXYYX , hallar X Y .

A) 10 B) 3 C) 12 D) 9 E) 7

3. Si el numeral 4 8bb es divisible por 7, la

suma de todos los valores de “ b ” es:

A) 19 B) 15 C) 11 D) 10 E) 7

4. El numero 3 5y xA tiene 3 divisores

más que el número 32 5xB en

consecuencia el valor de 2 2y x , es:

A) 18 B) 15 C) 17 D) 12 E) 14 5. El máximo común divisor de los números

6

120 cifras

555....555A y6

180 cifras

555....555B , es:

A) 46 1 B)

266 1 C) 756 1

D) 656 1 E)

606 1

6. Si los cocientes sucesivos al calcular el máximo común divisor por el algoritmo de

Euclides de los numerales 4x x x

y 4x yz fueron 1,1,1 y 3; el valor

de x y z :

A) 13 B) 17 C) 19 D) 21 E) 15

ALGEBRA

1. El conjunto solución de la inecuación

4 2 6x x , es:

A) 12

, B) C) 14

,

D) ,0 E) , 1

2. En la ecuación de segundo grado

2 0ax bx c , al indicar verdadero

V y falso F en la proposiciones :

I. Si 2 4 0b ac la ecuación tiene raíces

reales e iguales.

II. Si 0a , 0b y 0c la ecuación es

incompatible.

III. Si 0b , la ecuación tiene raíces

reciprocas. La secuencia correcta, es: A) VFF B) FVV C) VVF D) FFV E) VFV 3. En las proposiciones ,al indicar

verdadero V y falso F ,

I. La traza de toda matriz nula es cero.

Academia Antonio Raimondi Siempre los primeros -2-

II. La traza de ij n nA a

tal que

0, ija i j , es triangular inferior.

III. La matriz ij n nA a

tal que:

0, ija i j y , 0iia k k

, es una matriz escalar. La secuencia correcta, es: A) VVF B) FVF C) VFF D) VFV E) VVV 4. Dados

3 2

4 2

8 1

1 3

A

y

2 3

2 1 0

1 2 1B

,

el producto de los elementos de la tercera

columna de la matriz ,AB es:

A) 5 B) 1 C) 6

D) 6 E) 5

5. La traza de la matriz inversa de

1

1

3 0 0

0 2 0

0 0 1

A

es :

A) 5 B) 6 C) 1

5

D) 1

6 E) 4

6. En el sistema

3 4 1

3 2 2 0

3 3

x y z

x y z

x y z

,el

valor de 3

1z es:

A) 1 B) 1

8 C) 0 D)

27

8 E) 8

GEOMETRIA

1. En un cuadrilátero convexo ABCD,

90ºm BAD , 60ºm ABC y

75ºm ADC . La medida del ángulo

obtuso formado por la intersección de las bisectrices exteriores trazadas de los

vértices C y D . es:

A) 100º B) 105º C) 115º

D) 110º E) 120º

2. En la figura que se muestra, //AD BC y

la distancia del punto B a AD es

3 1 .cm La medida del segmento,

cuyos extremos son los puntos medios de

las diagonales del trapecio ,ABCD en cm ,

es: A) 2

B) 3

C) 3

2

D) 2

E) 1

3. Se tiene un triángulo ABC circunscrito a

una circunferencia, tal que ,P Q y R son

puntos de tangencia en los lados AB , BC y

AC respectivamente. Si 7AB cm ,

6BC cm y 5AC cm , entonces la

medida del segmento PB en .cm , es:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 7

30ºA

B C

D

45º


4. En la figura. Si ( ) 60ºm ABC y

( ) 40ºm BD ,entonces la ( )m BEC ,es

A) 160 B) 140 C) 150 D) 180 E) 170 5. Si los radios de los circunferencias

coplanares miden 5 cm y 3 cm , y la

distancia de los centros es 12 cm , entonces

las circunferencia son:

A) tangentes exteriores B) secantes C) tangentes interiores D) disjuntos interiores E) disyuntos exteriores

6. En un polígono convexo, el número total de diagonales es 8 veces el número de vértices. El número de diagonales trazadas desde 5 vértices consecutivos es: A) 85 B) 80 C) 72 D) 74 E) 90

7. Si el perímetro de un hexágono regular

inscrito en una circunferencia es 18 3 cm ,

entonces el perímetro del hexágono regular circunferencia a la misma circunferencia en cm , es:

A) 36 B) 24 C) 30 D) 28 E) 42

8. En un trapecio ABCD , las bases AD y

BC , M es punto medio de la base mayor

AD y E es el punto de intersección de

BD y MC . Si el área de la región

triangular BEC es 216 m y el área de la

región triangular MED es 225 m , el área

de la región cuadrangular AMEB en 2m ,es:

A) 72 B) 45 C) 81 D) 65 E) 55

9. En la figura que se muestra, ABCD es

un cuadrado, el triángulo AED es equilátero y el área de la región triangular

CDE es 92cm . El área de la región

limitada por el cuadrado ABCD en 2cm ,

es: A) 25 B) 49 C) 42 D) 64 E) 36

10. En la figura, ABCD es un rectángulo,

AB es diámetro de la semicircunferencia de

centro E , F es punto de tangencia y

16AB m . Si X y Z representan las

áreas de las regiones sombreadas correspondientes, entonces el valor de

X Z en 2m , es:

A) 8

B) 6

C) 4

D) 12

E) 10

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www.tutoria-rai.jimdo.com

A

B

D

C

E

A

B C

E

D

A

D C

BE

X

F

Z


SOLUCIONARIO

ARITMETICA

1. Del enunciado: ( 1)532 (3 1) ba c b c

Tenemos que la cifra 3 1 10 b 3b

Posibles valores : 0,1,2b

No puede ser ni cero ni la unidad pues no

tenía sentido el numeral ( 1)5b , entonces

2b . Luego se escribe: (15)32 7a c c

Por descomposición polinómica: 2(15) 15(3) 2 101 70a c

225 45 2 101 70a c

225 101 23 ( )a c I

De la expresión anterior: 101 23 5c

0 23 5c c 3 5o

c

Los posibles valores para : 2,7c

Si 7c en ( )I

225 707 23a 730

225a

Si 2c

225 202 23a 1a

Se pide: 1 2 2a b c 5 Rpta.

2.

De la igualdad: 6 ( )11234 ( )nXYYX

Del número ( )11234 n 4 n

Como: 11234XYYX 6n

Entonces: 4 6n 5n

Luego, la expresión ( ) es:

(5)611234XYYX

Por Ruffini, convirtiendo (5)11234 a base 10

1 1 2 3 4

5 5 30 160 815

1 6 32 163 819

Luego, convirtiendo 819 a base 6

(6) (6)3443XYYX

Identificando: 3X e 4Y

Se pide: 3 4X Y 7 Rpta.

3. Para que 4 8 7o

bb , tenemos por el

criterio de restos potenciales: 1 2 3 1

4 8bb

4 2 3 8 7o

b b 5 4 7o

b

Tanteando los valores, los únicos valores que cumplen son

2b pues: 5(2) 4 7o

9b pues: 5(9) 4 7o

Se pide: 9 2 11 Rpta.

4. Como 3 5y xA 32 5xB

Del enunciado:

( ) ( ) 3ndiv A ndiv B

( 1)( 1) ( 1)(3 1) 3y x x

( 1)( 1) 4( 1) 3y x x

( 1)( 3) 3x y

( 1)( 3) 1 3x y

De la identificación: 2x e 4y

Se pide: 2 2 2 24 2y x 12 Rpta.

819 6

21 136 6

39 16 22 6

3 4 4 3


5. Como:

6

120 cifras

555....555A 1206 1A

6

180 cifras

555....555B 1806 1B

Donde: (120,180)( , ) 6 1MCDMCD A B

( , )MCD A B 60 6 1 Rpta.

6.

Graficando el Algoritmo de Euclides:

1 1 1 3

11 7 4 3

4 3 0

d d d d d

d d d

El número menor:

4 7x x x d

Luego por el criterio de divisibilidad:

2 3( 4) 7o

x x x 6 12 7o

x

6 5 7o

x 5x

Luego el número es: 595 7d

595

7d 85d

En el número mayor :

4 11x yz d 9 11(85)yz

9 935yz 3y ; 5z

Se pide: 5 3 5x y z 13 Rpta.

ALGEBRA

1. Del enunciado: 4 2 6x x

a) Condición: 6 0x 0 x

b) además: 6 4 2 6x x x

6 4 2x x 4 2 6x x

8 4x 4 4x

1

2x 1x

El conjunto solución:

CS , 1 Rpta.

2.

Como la ecuación es: 2 0ax bx c

I. Si 2 4 0b ac la ecuación tiene raíces

reales e iguales (VERDADERO).

II. Si 0a , 0b y 0c la ecuación es

incompatible. (FALSO) , pues, la ecuación será COMPATIBLE INDETERMINADA.

III. Si 0b , la ecuación tiene raíces

reciprocas. (FALSO) Si las raíces son

recíprocas, se debe cumplir que a c .

VFF Rpta.

3. I. La traza de toda matriz nula es cero.

(FALSO) Pues las matrices nulas rectangulares no tienen diagonal principal, en consecuencia no se puede afirmar que la traza es nula.

II. La traza de ij n nA a

tal que

0, ija i j es triangular inferior.

(FALSO) El enunciado describe la matriz Triangular Superior.

III. La matriz ij n nA a

tal que:

0, ija i j y , 0iia k k ,

es una matriz escalar (VERDADERO).

1/201


4.

4 22 1 0

8 11 2 1

1 3

AB

Mostramos la forma como se puede obtener las columnas de la matriz producto. 3ra. Columna de la multiplicación.

4 2 2

0 8 1 1 1

1 3 3

Se pide: 2( 1)(3) 6 Rpta.

5. Para calcula la matriz inversa, si se utiliza la

fórmula: 1 1

( ) A Adj AA

Como la matriz es:

1

1

3 0 0

0 2 0

0 0 1

A

Calculando el determinante:

1 1 3 2 1A

1

6A

Calculando la matriz de cofactores de la diagonal:

1

1

1

2

( ) 3 ( )

6

Cofact A Adj A

Luego: 1

1 1

1

21

31

66

A

1

3

2

1

A

Se pide, la suma: 3 2 1 6 Rpta.

6.

Siendo:

3 4 1

3 2 2 0

3 3

x y z

x y z

x y z

Resolviendo por Cramer:

El determinante: ( )zz I

Donde:

3 4 1

3 2 0

1 1 3

z

3 4 1

3 2 2

1 1 3

Calculando , ( ) , tenemos:

2 2 3 2 3 23 ( 4) ( 1)

1 3 1 3 1 1

3( 4) ( 4)(7) ( 1)( 1)

12 28 1 17

Calculando , ( )z , tenemos:

2 0 3 0 3 23 ( 4) (1)

1 3 1 3 1 1z

3( 6) ( 4)(9) (1)( 1)z

18 36 1z 17 z

De ( )I , hallando: 17

117

z

Se pide: 3 31 (1 1)z 8 Rpta.


GEOMETRIA 1.

Por propiedad:

90º 60º180º

2x

180º 75ºx

x 105º Rpta.

2.

De la figura y los datos:

Para hallar la longitud de los puntos medios de las diagonales, se calcula dicho valor con la semidiferencia de las bases.

3( 3 1) 3 1

2

a ax

3 3 3 1

2

a ax

x 1 Rpta.

3. Por propiedad de las tangentes exteriores:

(7 ) (6 ) 5x x 13 2 5x

2 8x x 8 Rpta.

4.

De los ángulos: 60º

Se tiene: ( 20º )2

x

x 160º Rpta.

5.

Como: 1 2 3 5 8 12r r

Entonces, las circunferencias son disyuntos exteriores Rpta. 6.

Sea " "n el número de lados del polígono.

Del enunciado: ( ) 8( )nTotalDiag Vertices

Aplicando las fórmulas:( 3)

8( )2

n nn

19n

Analizando, cuantas diagonales se traza por cada vértice. Del análisis se deduce que por 5 vértices consecutivos se trazan un número de diagonales responde a la fórmula:

2( 3) ( 4) ( 5) ( 6)n n n n

5 21 5(19) 21n 74 Rpta.

( 3) diagonalesn

( 3) diagonalesn

( 4) diagonalesn

( 5) diagonalesn

( 6) diagonalesn

60º

37º

x

30º 45º

a

a 3 1

3 1

3( 3 1)

7 x

7 x

x x

6 x

6 x5

67

220º

40º

x

x/2


7. Si el perímetro es 18 3 , cada lado del

hexágono mide 18 3

3 36

es:

Luego, el perímetro del Hexágono circunscrito a la circunferencia es:

6(6) 36 Rpta.

8.

Propiedad: 2 25 16b 2 20 b m

Se pide, el área del cuadrilátero AMEB :

25 20 20 25b b 65 Rpta.

9.

Hacemos un trazo auxiliar, CF

perpendicular a ED . Del dato: El área de la región triangular

CDE es 92cm

( / 2)

92

L L

2 36L L 6 Rpta.

10.

El área de

2 28 8

4 2X

22 8

84

2Z

2 28 8

2 8Z

Sumando las áreas:

2 2 2 28 8 8 8

4 2 2 8X Z

X Z 8 Rpta.

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3 3

6

30º

216m

225m

bb

225b m

A

B C

EM

E

A

B C

E

D

30º

L

/2L

LL

L

F

A

D C

BE

X

F

Z

8 8

8

88

8

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