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1. Derivar las siguientes funciones:

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos (si los tiene)

de las funciones:

a) Hallamos la derivada primera y la igualamos a cero:

Analizamos el signo de la derivada primera

(-∞, -2) -2 (-2, 2) 2 (2, +∞)

Signo positivo 0 negativo 0 positivo Crece Decrece Crece

La función es creciente en (-∞, -2)∪ (2, +∞) y decreciente en (-2, 2). Como se anula en x = -2

pasando de creciente a decreciente tiene un máximo relativo en x = -2 que vale

. ). Como se anula en x = 2 pasando de decreciente a

creciente tiene un mínimo relativo en x = 22 que vale .

Derivamos

Observamos que la derivada primera no se anula y además es siempre positiva, por tanto la

función es siempre creciente (salvo en x =0 donde no existe función) y no tiene máximos ni

mínimos.

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3. Un capital de 3500€ invertido en fondos se supone que va a variar según la siguiente

función

donde t es el tiempo que dura la inversión, en meses, y C es el valor en ese instante, en miles

de euros.

a) ¿En qué momento conviene sacar el capital para que su valor sea máximo?

b) Si no se hace a su debido tiempo, ¿en qué momento lo que queda es igual al capital inicial?

c) Si nos descuidáramos y dejáramos la inversión indefinidamente, ¿en qué momento nos

quedaríamos sin nada?

a) Derivamos la función

Que se anula cuando

Analizamos el signo de la derivada primera:

(0, 20) 20 (20, +∞)

Signo de C’ positivo 0 Negativo

C crece máximo decrece

Cuando t=20 la función tiene un máximo relativo pues se anula la derivada primera y la

función pasa de creciente a decreciente.

b) En el instante inicial (t=0) el capital es de 3,5. Se trata de hallar para qué otro valor de

t, el capital es también de 3.5. Para hallarlo hemos de resolver la ecuación:

Es decir que a los 40 meses tendré el mismo capital que al principio.

Nos quedaremos sin nada cuando . Se resuelve la

ecuación y se obtiene

Considera la siguiente tabla de frecuencias

Intervalo (6, 8] (8, 10] (10,12] (12, 14] (14,16] (16, 18] (18, 20]

frecuencia 8 10 17 25 18 12 10

a) Halla la media aritmética, la desviación típica y el coeficiente de variación

b) Halla la mediana, el tercer cuartil y el percentil del 90%

c) Compara la dispersión de esta distribución con la de otra que tiene de media 20 y

desviación típica 4.

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Formamos la tabla de frecuencias y los cálculos que necesitamos:

Límite inferior

Limite superior

marca de clase frecuencias

Li Li+1 xi ni xi · ni xi 2· ni

6 8 7 8 56 392

8 10 9 10 90 810

10 12 11 17 187 2057

12 14 13 25 325 4225

14 16 15 18 270 4050

16 18 17 12 204 3468

18 20 19 10 190 3610

Totales 100 1322 18612

a) La media será:

la varianza

y la desviación típica

El coeficiente de variación

b) Para calcular estas medidas de posición necesitamos una columna adicional que es la frecuencia acumulada

Límite inferior

Limite superior

marca de clase frecuencias

Frecuencia acumulada

Li Li+1 xi ni Ni

6 8 7 8 8

8 10 9 10 18

10 12 11 17 35

12 14 13 25 60

14 16 15 18 78

16 18 17 12 90

18 20 19 10 100

Totales 100

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Mediana: se calcula N/2 = 100/2 = 50. Se busca en la columna de la frecuencia acumulada el

primer valor que supera o es igual a 50. Encontramos 60, dicho valor corresponde al intervalo

que va desde 12 a 14 que es el intervalo mediano. La mediana se calcula con la siguiente

fórmula (es hacer una regla de tres)

El tercer cuartil es el valor de la distribución que deja el 75% de los valores por debajo de él y el

25% de los valores son superiores a él. Para calcularlo procedemos como con la mediana pero

determinando ahora 3N/4. Como 3N/4 = 75, buscamos en las frecuencias acumuladas el

primer valor que es mayor o igual a 75, se trata de 78 que corresponde al intervalo que va 14 a

16. El tercer cuartil será:

El percentil del 90% es el valor que deja el 90% de los valores por debajo de él y el 10% por

encima . Para calcular los percentiles procedemos igual que con la mediana. En este caso

calculamos 90N/100 = 90. Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas el primer

valor que supera o es igual a 90 que en este caso es 90 y está en el intervalo 16 a 18. Al

coincidir 90N/100 con Ni el percentil del 90% coincide con el límite superior del intervalo, es

decir:

c) Para comparar la dispersión de dos distribuciones se emplea el coeficiente de variación. Cuanto mayor es el coeficiente de variación mayor es la dispersión. En nuestra distribución hemos obtenido que y en la otra distribución el coeficiente de variación será:

por tanto los datos de nuestra distribución están más dispersos que los de la segunda que nos dan.

En un taller de artesanía se ha registrado el número de piezas acabadas que unos artesanos

hacen según el número de horas de trabajo:

Horas 8 7,5 8 8,5 6 7 8 9

Nº piezas 3 4 4 5 2 3 5 4

Calcule:

a) la recta de regresión del número de piezas sobre el número de horas trabajadas

b) El coeficiente de correlación

c) Estime el número de piezas acabadas para 10 horas de trabajo, e indique si la estimación es

fiable

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Nos piden calcular la recta de regresión del número de piezas sobre el número de horas

trabajadas . Dicha recta es:

Construimos la tabla con los cálculos necesarios

horas piezas

xi yi xi2 xi · yi yi

2

8 3 64 24 9

7,5 4 56,25 30 16

8 4 64 32 16

8,5 5 72,25 42,5 25

6 2 36 12 4

7 3 49 21 9

8 5 64 40 25

9 4 81 36 16

62 30 486,5 237,5 120

Luego la recta de regresión de y sobre x es:

b) El coeficiente de correlación se define como

que en nuestro caso valdrá:

c) Para estimar el número de piezas (en términos medios) que se producirían trabajando 10

horas, sustituimos x por 10 en la recta de regresión de y sobre x

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La fiabilidad de la estimación me la proporciona el coeficiente de correlación al cuadrado (se

llama coeficiente de determinación) que se lee en tanto por ciento. Así:

(Bastante poco)

El 20% de las piezas producidas por una máquina son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de

que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas?

Al tomar una pieza al azar puede ocurrir que sea defectuosa (éxito) o no defectuosa (fracaso) .

Se trata de un proceso dicotómico. Además la calidad de cada una de las piezas no depende de

la calidad de las demás (hay independencia). Repetimos el proceso 4 veces por lo que se trata

de una distribución binomial donde n=4 y p=0.2 (por tanto q=1-p=0.8). La probabilidad de de

que entre las cuatro piezas hay k defectuosas viene dada por:

En nuestro problema nos piden

El número de libros prestados semanalmente en la biblioteca de un centro escolar sigue una

distribución normal de media 25 y desviación típica 1,5. Calcula la probabilidad de que en una

semana se presten entre 22 y 30 libros.

El número de libros sigue una distribución . Nos piden

En el proceso anterior se ha tipificado la variable X para convertirla en una variable z que sigue

una distribución . es el valor que me da la tabla de la distribución normal para

3.33. Lo mismo . Se utilizado la propiedad