Modelo del transporte de m ltiples componentes a trav s de ... · La ecuacion general de balance...

ObjetivosIntroducci on

Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional

Modelo del transporte de multiplescomponentes a traves de un medio poroso

para la simulacion numerica de pruebas de losprocesos de recuperacion de hidrocarburos

Dennys A. Lopez FalconM. A. Dıaz Viera E. Luna Rojero A. Moctezuma Berthier

Programa de Investigacion en Recuperacion de HidrocarburosDireccion de Investigacion y Posgrado

Instituto Mexicano del Petroleo

Seminario de Modelacion Matematica y ComputacionalDr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP

Esquema1 Objetivos2 Introduccion

JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases

3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera

4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional

Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP

Objetivos

General: Modelar matematica y computacionalmente losdiversos fenomenos fısicos, quımicos y biologicosinterrelacionados e involucrados en algunos procesos derecuperacion secundaria y mejorada de hidrocarburos.

Particular: Derivar modelos matematicos para algunosprocesos de recuperacion secundaria y mejorada dehidrocarburos.Implementar los modelos resultantes para realizarsimulaciones de las pruebas en laboratorio que auxilien enel diseno de procesos para su validacion en campo.

Objetivos

General: Modelar matematica y computacionalmente losdiversos fenomenos fısicos, quımicos y biologicosinterrelacionados e involucrados en algunos procesos derecuperacion secundaria y mejorada de hidrocarburos.

Particular: Derivar modelos matematicos para algunosprocesos de recuperacion secundaria y mejorada dehidrocarburos.Implementar los modelos resultantes para realizarsimulaciones de las pruebas en laboratorio que auxilien enel diseno de procesos para su validacion en campo.

Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen

IntroduccionJustificacion

Declinacion de la produccion primaria o natural ⇒Interes en metodos de recuperacion secundaria ymejorada.Convocatoria del Fondo SENER-CONACyT(2 proyectos de recuperacion secundaria y mejorada).

“Es del interes de PEP, dada la madurez alcanzada por la explotacion de la

mayorıa de sus campos, probar tecnicas alternativas de recuperacion de

aceite que le permitan atenuar la tendencia en la declinacion de la

produccion. Actualmente, mas de dos terceras partes del hidrocarburo

producido provienen de yacimientos donde el mantenimiento es la principal

estrategia de produccion; en menos de la tercera parte fluye por medios

naturales y solo una pequena fraccion proviene como resultado de la

aplicacion de tecnicas de recuperacion mejorada”Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP

IntroduccionAntecedentes

Aunque se han propuesto modelos para el transporte desolutos en medios porosos y particularmente demicroorganismos [e.g. 1-3], es preferible derivar unmodelo propio y desarrollar un procedimiento paraajustarlo, con la intencion de conseguir un mayorentendimiento acerca del problema.En todas estas referencias, el modelo se implementousando metodos de diferencias finitas; mientras quenuestra implementacion se resuelve mediante metodos deelemento finito.

[1] Tan et al. “Transport of bacteria in an aquifer sand:...”, Water Resources Research, 30 (12), 3243-3252, (1994).

[2] Sen et al. “Bacterial transport in porous media: New aspects of...”, Colloids and Surfaces A, 260, 53-62, (2005).

[3] Chang et al. “Modelling and laboratory investigation of microbial transport phenomena...”, SPE 22845, (1991).

IntroduccionAntecedentes

Aunque se han propuesto modelos para el transporte desolutos en medios porosos y particularmente demicroorganismos [e.g. 1-3], es preferible derivar unmodelo propio y desarrollar un procedimiento paraajustarlo, con la intencion de conseguir un mayorentendimiento acerca del problema.En todas estas referencias, el modelo se implementousando metodos de diferencias finitas; mientras quenuestra implementacion se resuelve mediante metodos deelemento finito.

[1] Tan et al. “Transport of bacteria in an aquifer sand:...”, Water Resources Research, 30 (12), 3243-3252, (1994).

[2] Sen et al. “Bacterial transport in porous media: New aspects of...”, Colloids and Surfaces A, 260, 53-62, (2005).

[3] Chang et al. “Modelling and laboratory investigation of microbial transport phenomena...”, SPE 22845, (1991).

IntroduccionFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios Continuos

Figura 1: Esquema de un cuerpo material B (t) con frontera ∂B (t), donde n es su vector normal externo. La

superficie de discontinuidad Σ (t) tiene vector normal nΣ y se mueve con velocidad vΣ .

La ecuacion general de balance global de una propiedadextensiva E (t) expresa que cualquier variacion de ellaproviene de lo que se genera o destruye en el cuerpo o delo que entra o sale a traves de la frontera.

Matematicamente se escribe como sigue [4]

dE (t)dt

B(t)g (x, t) dx+

Σ(t)gΣ (x, t) dx+

∂B(t)� (x, t)⋅ndx.

[4] Allen, Herrera & Pinder. Numerical modeling in science and engineering, John Wiley & Sons., USA, (1988).

La ecuacion general de balance global de una propiedadextensiva E (t) expresa que cualquier variacion de ellaproviene de lo que se genera o destruye en el cuerpo o delo que entra o sale a traves de la frontera.

Matematicamente se escribe como sigue [4]

dE (t)dt

B(t)g (x, t) dx+

Σ(t)gΣ (x, t) dx+

∂B(t)� (x, t)⋅ndx.

[4] Allen, Herrera & Pinder. Numerical modeling in science and engineering, John Wiley & Sons., USA, (1988).

Se define una correspondencia unıvoca entre unapropiedad extensiva y su propiedad intensiva mediante

E (t) ≡∫

B(t) (x, t) dx.

Empleando los teoremas de la divergencia (de Gauss) ydel transporte (de Reynolds), ası como el lema deduBois-Reymond se obtienen la ecuacion de balance localde la propiedad intensiva

∂t+∇ ⋅ ( v) = g +∇ ⋅ � ; ∀x ∈ B (t).

Ası como la condicion de salto

[[ (v − vΣ)− � ]] ⋅ nΣ = gΣ; ∀x ∈ Σ (t).Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP

E (t) ≡∫

B(t) (x, t) dx.

∂t+∇ ⋅ ( v) = g +∇ ⋅ � ; ∀x ∈ B (t).

E (t) ≡∫

B(t) (x, t) dx.

∂t+∇ ⋅ ( v) = g +∇ ⋅ � ; ∀x ∈ B (t).

IntroduccionSistemas con Multiples Fases

Fase: Conjunto de componentes del sistema que semueven juntos con la misma velocidad (indexada por �).

Componente: Elemento que compone a una fase(indexado por ).

Ahora la correspondencia unıvoca entre una propiedadextensiva y su propiedad intensiva esta dada por

E � (t) ≡

B(t) � (x, t) dx.

E � (t) ≡

B(t) � (x, t) dx.

E � (t) ≡

B(t) � (x, t) dx.

La ecuacion de balance local de la propiedad intensiva es

∂ �

∂t+∇ ⋅ (

�v�) = g � +∇ ⋅ � � ; ∀x ∈ B (t).

Mientras que la condicion de salto es

[[ � (v� − vΣ)− � � ]] ⋅ nΣ = gΣ

�; ∀x ∈ Σ (t).

La ecuacion de balance local de la propiedad intensiva es

∂ �

∂t+∇ ⋅ (

�v�) = g � +∇ ⋅ � � ; ∀x ∈ B (t).

Mientras que la condicion de salto es

[[ � (v� − vΣ)− � � ]] ⋅ nΣ = gΣ

�; ∀x ∈ Σ (t).

IntroduccionResumen

Enumerar las fases y los componentes presentes en elsistema.

Definir las propiedades intensivas sujetas a balance.

Emplear las caracterısticas e hipotesis propias del sistemao medio.

Reconocer las leyes constitutivas necesarias para que elsistema de ecuaciones este determinado.

Identificar los terminos fuente de la propiedad de interes.

Establecer las condiciones iniciales y de fronteraapropiadas para definir un problema bien planteado.

IntroduccionResumen

Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera

Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades Intensivas

Fase Componente Propiedad(�) ( ) Intensiva (

Acuosa Agua ( = w) �SA�wA

(� = A) Microorganismos ( = m) �SAcmA

Nutrientes ( = n) �SAcnA

Oleica Aceite �SO�oO

(� = O) ( = o)Biopelıcula Microorganismos cm

B ≡ �m�

(� = B) ( = m)

Solida Roca ( = r) �S ≡ (1 − �) �r

(� = S) Nutrientes ( = n) cnS ≡ �S cn

STabla 1: Propiedades Intensivas asociadas a la masa de las componentes.

Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesHipotesis

El medio poroso es homogeneo e isotropico y estacompletamente saturado por las fases fluidas.

Los fluidos son ligeramente compresibles y estanseparados en los poros.

No existe difusion entre las fases y todas estan enequilibrio termodinamico.

El flujo dispersivo de microorganismos y nutrientesobedece la ley de Fick generalizada.

Los microorganismos se parten dinamicamente entre lasfases acuosa (planctonicos) y biopelıcula (sesiles).

Los nutrientes se parten en equilibrio entre las fasesacuosa (fluyentes) y solida (adsorbidos).

Los microorganismos tienen una cinetica de crecimientodel tipo Monod y un decaimiento de tipo lineal.

No existen discontinuidades en el sistema.

Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas

Velocidad de Darcy: u� = �S�v�.

Permeabilidad del medio: k = k I.

Reduccion de la porosidad: � = �0 − �.

Saturacion del medio: SA + SO + �� = 1.

Ley de Fick generalizada: � = D � ⋅ ∇ (�S�c

�), dondeD �ij = �T

�∣v�∣�ij + (�L

� − �T

v� i v� j∣v�∣

+ �Dm ��ij es el

tensor de dispersion hidrodinamico, que incluye los efectosde la dispersion mecanica y la difusion molecular [5].

[5] Jacob Bear. Dynamics of fluids in porous media, Dover, USA, (1988).

�∣v�∣�ij + (�L

� − �T

v� i v� j∣v�∣

�∣v�∣�ij + (�L

� − �T

v� i v� j∣v�∣

�∣v�∣�ij + (�L

� − �T

v� i v� j∣v�∣

�∣v�∣�ij + (�L

� − �T

v� i v� j∣v�∣

Adsorcion lineal dinamica de microorganismos: �a�cmA ,

donde �a es el coeficiente de la tasa de adsorcion y � es lafraccion de volumen ocupada por biopelıcula.Desorcion lineal dinamica condicional demicroorganismos: �r�

m (� − �irr ) para � > �irr y 0 en casocontrario, donde �r es el coeficiente de la tasa dedesorcion y �irr es la fraccion de volumen ocupadairreversiblemente por biopelıcula.Adsorcion lineal en equilibrio de nutrientes: cn

S = �nacn

A, tal

que∂cn

S∂cn

A= �n

a es el coeficiente obtenido por la isoterma

lineal de adsorcion en equilibrio de nutrientes.

S = �nacn

A, tal

que∂cn

S∂cn

A= �n

S = �nacn

A, tal

que∂cn

S∂cn

A= �n

Cinetica de crecimiento del tipo Monod:

� = �max

Km/n+cnA

, donde �max es la tasa maxima de

crecimiento especıfico y Km/n es la constante de afinidadde los microorganismos por los nutrientes [6].

Decaimiento de tipo lineal: �d�m� para los sesiles y �d�cm

Apara los planctonicos, donde �d es la tasa de decaimientoespecıfico de los microorganismos que supondremos igualpara ambas partes.

[6] Gaudy, A.F., Jr. & E.T. Gaudy, Microbiology for environmental scientists and engineers, McGraw-Hill Book Co.,

USA, (1980).

Cinetica de crecimiento del tipo Monod:

� = �max

Km/n+cnA

, donde �max es la tasa maxima de

crecimiento especıfico y Km/n es la constante de afinidadde los microorganismos por los nutrientes [6].

Decaimiento de tipo lineal: �d�m� para los sesiles y �d�cm

Apara los planctonicos, donde �d es la tasa de decaimientoespecıfico de los microorganismos que supondremos igualpara ambas partes.

[6] Gaudy, A.F., Jr. & E.T. Gaudy, Microbiology for environmental scientists and engineers, McGraw-Hill Book Co.,

USA, (1980).

Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesEcuaciones de Balance Local

Balance de microorganismos planctonicos

∂(�SAcmA )

∂t +∇ ⋅(

cmA uA − �SADm

A ⋅ ∇cmA

= (�− �d − �ma )�SAcm

A + �mr �

m (� − �irr )

Balance de microorganismos sesiles

∂ (�m�)

∂t= (�− �d ) �

m� + �ma �SAcm

A − �mr �

m (� − �irr )

Balance de nutrientes

�SA+�S∂cn

S∂cn

∂t +∇ ⋅(

cnAuA − �SADn

A ⋅ ∇cnA

= − �Ym/n

�SAcmA + �m�

∂(�SAcmA )

∂t +∇ ⋅(

cmA uA − �SADm

A ⋅ ∇cmA

= (�− �d − �ma )�SAcm

A + �mr �

m (� − �irr )

∂ (�m�)

∂t= (�− �d ) �

A − �mr �

m (� − �irr )

�SA+�S∂cn

S∂cn

∂t +∇ ⋅(

cnAuA − �SADn

A ⋅ ∇cnA

= − �Ym/n

�SAcmA + �m�

∂(�SAcmA )

∂t +∇ ⋅(

cmA uA − �SADm

A ⋅ ∇cmA

= (�− �d − �ma )�SAcm

A + �mr �

m (� − �irr )

∂ (�m�)

∂t= (�− �d ) �

A − �mr �

m (� − �irr )

�SA+�S∂cn

S∂cn

∂t +∇ ⋅(

cnAuA − �SADn

A ⋅ ∇cnA

= − �Ym/n

�SAcmA + �m�

Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesCondiciones Iniciales y de Frontera

Condiciones iniciales

cmA (t = 0) = cm

A 0, � (t = 0) = �0, cnA (t = 0) = cn

Condiciones de frontera a la entrada (Flujo)

c AuAin − �SAD

A ⋅ ∇c A

⋅ n = c AinuAin ⋅ n, = m,n.

Condiciones de frontera a la salida (Flujo advectivo)

∂c A

∂n= 0, = m,n.

Las demas fronteras son impermeables (No flujo).

cmA (t = 0) = cm

A 0, � (t = 0) = �0, cnA (t = 0) = cn

c AuAin − �SAD

A ⋅ ∇c A

∂c A

∂n= 0, = m,n.

cmA (t = 0) = cm

A 0, � (t = 0) = �0, cnA (t = 0) = cn

c AuAin − �SAD

A ⋅ ∇c A

∂c A

∂n= 0, = m,n.

cmA (t = 0) = cm

A 0, � (t = 0) = �0, cnA (t = 0) = cn

c AuAin − �SAD

A ⋅ ∇c A

∂c A

∂n= 0, = m,n.

Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesResumen

Establecimos un modelo conceptual, en el que seplantearon las hipotesis, supuestos, condiciones, alcancesy limitaciones que posee el mismo. Es decir, definimoscuales y cuantas son las fases y sus componentes, cualesson las propiedades sujetas a balance, ası como lasposibles relaciones de dependencia entre estas.Mediante el uso de la Formulacion Axiomatica de Modelosen Medios Continuos, formulamos el modelo matematico,consistente de las ecuaciones diferenciales parciales debalance local para las propiedades intensivas. Resultandotantas ecuaciones como componentes hay en las fases.

Especificamos las leyes (fısicas, quımicas, biologicas, etc.)ligadas a la naturaleza del problema (e.g. la Ley de Darcy,de Fick, de Monod, etc.), llamadas leyes constitutivas,ligando las propiedades intensivas de interes entre sı ydefiniendo sus terminos fuente y de flujo, y permitiendoque el sistema de ecuaciones resultante este determinado.Completamos el modelo al establecer suficientescondiciones iniciales y de frontera, de manera que sedefina un problema bien planteado, es decir, que poseasolucion unica y esta dependa continuamente de lascondiciones iniciales y de frontera establecidas.

Modelo Num ericoModelo Computacional

Modelo Numerico y ComputacionalTransporte de Microorganismos y Nutrientes

Modelo Numerico: Consiste en hacer las eleccionesapropiadas de los metodos numericos en terminos deexactitud y eficiencia para la solucion del modelomatematico.En nuestro caso, el problema resultante es un sistema nolineal de ecuaciones diferenciales parciales concondiciones iniciales y de frontera.

Para la solucion numerica aplicamos los siguientes metodos:

Para las derivadas temporales se usa una discretizacionen diferencias finitas hacia atras de segundo orden queresulta en un esquema completamente implıcito en eltiempo.

Para el resto de operadores diferenciales en derivadasespaciales empleamos una discretizacion en elementosfinitos estandar del tipo Galerkin, donde se usanpolinomios cuadraticos de Lagrange tanto para lasfunciones de base como de peso.

Para la solucion numerica aplicamos los siguientes metodos:

Para las derivadas temporales se usa una discretizacionen diferencias finitas hacia atras de segundo orden queresulta en un esquema completamente implıcito en eltiempo.

Para el resto de operadores diferenciales en derivadasespaciales empleamos una discretizacion en elementosfinitos estandar del tipo Galerkin, donde se usanpolinomios cuadraticos de Lagrange tanto para lasfunciones de base como de peso.

El dominio tridimensional se malla de forma regular contetraedros.

Para la linealizacion del sistema de ecuaciones no linealesse aplica el metodo iterativo de Newton-Raphson.

Para la solucion del sistema de ecuaciones algebraicasresultante se utiliza el UMFPACK que es un conjunto desubrutinas que implementa el metodo directo LU paramatrices no simetricas y ralas.

Modelo Computacional: Consiste en elegir los lenguajes yplataformas mas apropiados para la implementacion encodigo de computo de los diversos metodos numericoselegidos en el modelo numerico.En nuestro caso, usamos el Modulo de Ciencias de laTierra de COMSOL Multiphysics [7], para la realizacion deeste modelo de transporte de microorganismos ynutrientes a traves de medios porosos.

[7] COMSOL Multiphysics, Earth Science Module, User’s Guide Version 3.4, COMSOL AB, USA, (2007).

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