Modelo de Propagacion de la Malaria Usando

Automatas Celulares con Indicadores de

Probabilidad

Universidad de los Andes

Catherine Wilches Velasquez

13 de agosto de 2014

Resumen

Las enfermedades infecciosas han sido una amenaza constante para la huma-nidad, enfermedades tales como la Peste Negra, Viruela, Colera fueron pande-mias durante los siglos XIV y XIX, generando miles de muertes a nivel mundial.Para el siglo XX las pandemias habian sido erradicadas gracias a los adelantosde la medicina moderna. Sin embargo, los cambios ambientales han provocadonuevas distribuciones geograficas de organismos haciendo a las dinamicas demovilidad un factor importante en el analisis de las enfermedades. [19]

Como herramienta de analisis en el estudio de enfermedades infecciosas sehan usado diversos modelos matematicos y computacionales, los cuales han per-mitido simular y obtener comportamientos de la enfermedad en diferentes esce-narios. Una metodologıa usada para la simulacion son los automatas celulares,que utilizan celdas con estados y reglas de transicion que permitiran el cambiodel estado en cada una de las celdas.

En la actualidad la malaria presenta un grave problema de salud publica, porlo que su analisis es un tema de vital importancia a nivel mundial. La presentetesis se centra en la creacion de un modelo de simulacion basado en automatascelulares, utilizando el modelaje matematico de epidemias.

Para la implementacion de la simulacion se selecciona aleatoriamente unacelda, cada una de ella esta integrada por humanos y vectores (mosquitos).Se agregan factores de conexion y movimiento entre las celdas, los cuales mo-delaran el comportamiento de los elementos de las celdas y por tanto serandeterminantes en el desarrollo de la enfermedad, del mismo modo se establecenfactores propios de la enfermedad tales como factor de recuperacion y virulen-cia. Se toman en cuenta parametros para el ambiente, que permitiran hacer unaaproximacion al desarrollo del parasito tanto en mosquitos como en humanosy determinaran la supervivencia de los mosquitos a lo largo de simulacion. Serepite el procedimiento hasta cumplir con un lımite establecido (erradicacion dela enfermedad o propagacion endemica).

1

Dedicatoria

A mis padres Edgar Wilches y Yolanda Velasquezque me motivaron a continuar trabajando por cumplir mis suenos,

a mi hermano Andres que ha sido mi mas grande apoyo,a mis amigas y amigos que me ayudaron a culminar esta etapa

y a mi novio por su companıa incondicional.

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Declaracion

Esta declaracion se realiza el dıa 20 del mes Junio de 2014.

Declaracion del EstudianteYo Catherine Wilches Velasquez, estudiante de Matematicas de la Universidadde los Andes declaro que la tesis de grado Modelo de Propagacion de la Mala-ria Usando Automatas Celulares con Indicadores de Probabilidad es mi trabajooriginal. No he copiado el trabajo de ningun otro estudiante o de otra fuenteexcepto los usados en las referencias.

Catherine Wilches Velasquez

Declaracion del AsesorYo Luz Myriam Echeverri Navarro certifico que la tesis titulada Modelo de Pro-pagacion de la Malaria Usando Automatas Celulares con Indicadores de Proba-bilidad fue preparada por la estudiante anteriormente mencionada, y se presentoante el Departamento de Matematicas de la Universidad de los Andes para ob-tener el grado de Matematico.

Luz Myriam Echeverri Navarro,Ph.D

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Agradecimientos

Quiero agradecer enormemente a la asesora de mi tesis Luz Myriam EcheverriNavarro, quien me apoyo y ayudo a construir el trabajo hoy presentado.A mis padres, hermano y familia, por haberme regalado el mejor de los

obsequios la educacion, por apoyarme a lo largo de mis estudios, por su amory companıa.

A mi amigo Juan Sebastian Osuna Barreto por su constante ayuda y apoyo alo largo de mi carrera. A mis profesores quienes me presionaron para ser cada

dıa mejor, ası como a todos mis companeros con los cuales realizamosincontables sesiones de estudio.

4

Indice general

1. Introduccion 61.1. Malaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Descripcion de la enfermedad . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Causas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3. Prevencion y Tratamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Automata Celular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Modelos Epidemiologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Modelo SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3. Modelo Ross Macdonald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4. Modelo para la Malaria por Nakul Rashmin Chitnis . . . 14

2. Modelos de Automatas Celulares 172.1. Modelo SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Modelo Propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Resultados 253.1. Simulaciones Modelo SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Simulaciones Modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Simulaciones Modelo Propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Conclusiones y Trabajo Futuro 35

5

Capıtulo 1

Introduccion

La malaria es una enfermedad infecciosa transmitida por vectores, donde unmosquito actua como el vector que transmite la enfermedad. La malaria es ungrave problema de salud publica a nivel mundial. Las repercusiones economicasen la poblacion son evidentes, el impacto negativo en el crecimiento economicohace que la enfermedad no es solo resultado de la pobreza sino tambien un po-sible contribuyente de ella [17].

En los ultimos anos los modelos matematicos y los modelos basados en simu-laciones computacionales se han utilizado eficazmente para estudiar el compor-tamiento de las enfermedades, las dinamicas en las poblaciones de los vectoresy las estrategias de control de enfermedades transmitidas por vectores. La in-vestigacion en esta tesis se centra en el estudio de modelos de simulacion deenfermedades infecciosas usando automatas celulares.

En la siguiente tesis se presentara una breve descripcion de la Malaria (Sec-cion 1.1), la definicion de Automata Celular (Seccion 1.2) y se familiarizara allector con algunos de los modelos epidemiologicos matematicos clasicos(Seccion1.3), ası como la adaptacion de los modelos SIS y SIR usando automatas ce-lulares (Seccion 2.1 y 2.2). Posteriormente se dara la descripcion del automatacelular planteado para modelar la propagacion de la Malaria (Seccion 2.3). Enla Seccion 3 se mostraran y analizaran los resultados derivados de las simula-ciones de los automatas celulares presentados. Finalmente se presentaran lasconclusiones y trabajo futuro (Seccion 4).

1.1. Malaria

A nivel mundial cerca de 3.4 billones de personas estan en riesgo de contraerla Malaria. Acorde con la Organizacion Mundial de la Salud [10], en 2012 seprodujeron aproximadamente 207 millones de casos de malaria a nivel mundialy cerca de 627000 muertes. La mayorıa de los casos el 80 % y muertes el 90 %ocurrieron en Africa, y alrededor del 77 % de las muertes corresponden a ninosmenores de 5 anos.

En Colombia, la Malaria representa un grave problema de salud publica, de-

6

bido a que cerca de 85 % del territorio rural colombiano esta situado por debajode los 1.600 metros sobre el nivel del mar, presentando condiciones climaticas,geograficas y epidemiologicas aptas para la transmision de la enfermedad [9].

1.1.1. Descripcion de la enfermedad

La malaria o paludismo es una enfermedad infecciosa causada por parasitosprotozoarios de la familia Plasmodium, los cuales pueden ser transmitidos prin-cipalmente mediante la picadura de las hembras del mosquito Anopheles, otrasformas de transmision son de madre a hijo durante la etapa de gestacion, trans-fusiones sanguıneas y/o transplante de organos de personas infectadas, ası comoagujas o equipos de inyeccion contaminados.

La malaria es una de las enfermedades con mayor ındice de mortalidad, desa-rrollandose en mayor proporcion en las regiones tropicales y subtropicales delmundo (Tropicos de Asia, Africa, y America Central y del Sur), debido a que elparasito Plasmodium presentan un mayor desarrollo en ambientes humedos.

Debido a la resistencia de los parasitos a los insecticidad y medicamentos,se ha presentado un mayor numero de casos de Malaria [7].

1.1.2. Causas

Acorde al Reporte Mundial de la Malaria del 2013 [16], la malaria es causadapor cinco especies de parasitos que afectan a los humanos, y todas estas especiespertenecen al genero Plasmodium: P.falciparum, P.vivax, P.ovale, P.malariaey P. knowlesi. De estos P.falciparum y P. vivax son los mas frecuentes a nivelmundial.

La malaria causada por P.falciparum es la forma mas mortal, siendo estala causa predominante de casos en Africa. P. vivax tiene una distribucion masamplia que P.falciparum, ya que es capaz de desarrollarse en el mosquito Anop-heles a menores temperaturas, y de sobrevivir a mayores altitudes. P.falciparumposee un estado hepatico inactivo (conocido como hypnozoite) que le permitesobrevivir durante periodos cuando los mosquitos Anopheles no estan presentespara continuar la transmision, tal como los periodos de invierno [12].

La transmision de la enfermedad ocurre principalmente entre el anochecer yel amanecer, debido a los habitos alimenticios del mosquito Anopheles[11]. Espor eso, que se debe tomar medidas de proteccion para reducir el contacto conlos mosquitos, tales como, el uso de mosquiteros, uso de prendas que cubran lamayor parte del cuerpo, uso de repelentes.

La hembra del mosquito Anopheles se alimentan de sangre para llevar a cabola produccion de huevos, y son por medio de estas comidas que se transmite elparasito entre mosquitos y humanos y viceversa. En los mosquitos el desarrollodel proceso de incubacion del parasito es de 10 a 21 dıas, y el ciclo de vidade la hembra del mosquito es alrededor de 15 a 30 dıas; el exito del parasitoen el mosquito depende entre otros factores de la supervivencia del mosquito,de la temperatura ambiente y la humedad (temperaturas mas altas aceleran el

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crecimiento del parasito en el mosquito). A diferencia del huesped humano, elmosquito no sufre notablemente la presencia de los parasitos.[14].

Al picar a un humano y transmitir los parasitos, estos se esconden rapi-damente del sistema inmunologico en la celulas del hıgado, multiplicandoserapidamente, provocando que las celulas del hıgado se revienten y derramenlos parasitos en el torrente sanguıneo. Despues del periodo de incubacion delparasito en el cuerpo que ocurre entre los 10-16 dıas posterior a la picadura,se presentan los sıntomas de la malaria los cuales son similares a los de la gri-pe comun: escalofrıos, fiebre, sudor. Es probable que, ademas de escalofrıos, elpaciente sufra dolores de cabeza, nauseas y vomitos. [15]

1.1.3. Prevencion y Tratamiento

La Malaria es una enfermedad tratable y prevenible, siempre y cuando seimplementen adecuadamente las intervenciones recomendadas [13], las cualesincluyen:

Control de vectores (mosquitos) a traves del uso de mosquiteros tratadoscon insecticidas, fumigacion de interiores y en algunos casos control de laslarvas de los mosquitos.

Prevencion para las poblaciones mas vulnerables, particularmente muje-res embarazadas e infantes, mediante la administracion de medicamentosantimalaricos(sulfadoxina, pirimetamina y amodiaquina).

Confirmacion de casos de malaria mediante test de diagnosticos rapido.Ası como el tratamiento oportuno acorde a la especie del parasito.

1.2. Automata Celular

Un automata celular (CA) es un sistema dinamico discreto formado por unnumero finito de objectos identicos llamados celdas. A cada celda se le asigna unestado (perteneciente a un conjunto finito de estados) el cual cambia en tiempodiscreto acorde a una regla, llamada funcion de transicion. Mas precisamente unautomata celular bidimensional A se define como una 4-Tupla A = (C, Q, v, f),donde C es una matriz r × p que representa el espacio de celdas. [1]

C = {(i, j) : 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ p} (1.1)

El estado de cada celda es un elemento de un conjunto finito de estados Q,

c(t)(i,j) ∈ Q representa el estado de la celda (i, j) en el tiempo t.

C(t) es llamada la configuracion del automata en el tiempo t. C(0) es la con-figuracion inicial del automata celular.

v : C×C→ {0, 1} es la funcion cuyo valor es 1 para un par de celdas si estasson vecinas en caso contrario su valor es 0. [2]

Definimos U(i,j) como la vecindad de la celda (i, j).

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U(i,j) = {(k, l) ∈ C : v((i, j), (k, l)) = 1} (1.2)

El rol de la funcion de transicion f es cambiar la configuracion C(t) a C(t+1),acorde al estado de cada celda en el tiempo t y el estado de sus vecinos:

C(t+1) = f(C(t)) (1.3)

F es llamada la frontera del espacio de las celdas, F = {(i, j) : i ∈ {1, r}; j ∈{1, p}}. Para las celdas pertenecientes a la frontera se definen las condiciones defrontera. Existen tres tipos de frontera:

Periodica. Las celdas de la frontera interactuan con sus vecinos inmediatosy con las celdas que estan en el extremo opuesto del automata (Toro).

Reflexiva. Las celdas fuera del espacio de celdas toman los mismos valoresde las celdas de la frontera, como si se tratara de un espejo.

Valor Fijo. Las celdas fuera del espacio de celdas toman un valor fijo.

Acorde al proceso que va a ser modelado, se eligen apropiadamente el con-junto de estados, las vecindades de cada celda y la funcion de transicion. Porejemplo, Conway’s Game of Life es un automata celular disenado por JohnHorton Conway en 1970 [3]. En este automata la matriz C es una matriz cua-drada, donde el conjunto finito de estados es Q = {0, 1}, el estado 1 indica quela celda esta viva y 0 que esta muerta. La vecindad U(i,j) de la celda (i, j) sonaquellas celdas adyancentes a ella horizontal, vertical y diagonalmente (MooreNeighborhood), tal como se ilustra en la Figura 1.1.

Figura 1.1: Vecindades.

La funcion de transicion f se define usando las siguientes reglas:

Supervivencia. Cualquier celda con dos o tres vecinos vivos, sobrevivira yel valor de su estado sera 1.

Muerte. Cualquier celda con cuatro o mas vecinos vivos o con tan solo unvecino vivo muere y el valor de su estado sera 0.

Nacimientos. Cualquier celda con exactamente tres vecinos vivos nacera ypor tanto el valor de su estado sera 1.

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La figura 1.2 muestra en la imagen del lado izquierdo una configuracioninicial posible para el ejemplo de Conway’s Game of Life, donde la matriz Ces 10 × 10, el color azul representa el estado 1 en la celda, mientras que elcolor blanco indica el estado 0. Dada la funcion de transicion definida para esteautomata tenemos que las configuraciones pertenecen a un ciclo de longitud dosy corresponden a las imagenes de la figura 1.2:

Figura 1.2: Configuracion para Conway’s Game of Life.

1.3. Modelos Epidemiologicos

Se presentan tres tipos basicos de modelos determinısticos para enfermeda-des infecciosas que se propagan por el contacto directo de persona a personaen una poblacion. La poblacion considerada se divide en clases distintas quecambian con el tiempo t. La clase susceptible consiste de aquellos individuoscapaces de adquirir la enfermedad. La clase infectados consiste de aquellos quetransmiten la enfermedad a otros. La clase recuperada consiste de aquellos quese remueven de las clases susceptible e infectado mediante la recuperacion coninmunidad, aislacion o muerte. El tamano de la poblacion en estas clases sedenota por S(t), I(t), yR(t), respectivamente. [4]

En los modelos epidemiologicos presentados se tiene un tamano constanteN = S + I + R, el cual es suficientemente grande tal que los tamanos de lasclases se pueden considerar como variables continuas. Si al modelo se le incluyenlas dinamicas vitales, entonces se asume que nacimientos y muertes naturalesocurren con tasas similares y todos los recien nacidos son susceptibles, esta ta-sa se denota µ. Los individuos se remueven al morir de cada clase a una tasaproporcional al tamano de la clase mediante la constante de proporcionalidad µque es llamada tasa de eliminacion de mortalidad diaria.

Por otro lado, la poblacion se encuentra mezclada de forma homogenea. Latasa de contacto diario λ es el promedio de contagios infecciosos por dıa.

Los individuos se recuperan y eliminan de las clase infectados a una ta-sa γ, llamada la tasa de recuperacion. El periodo de latencia en este caso escero(periodo entre el tiempo de exposicion y el tiempo cuando empieza la in-feccion). Si se tiene en cuenta el periodo de latencia entonces se define la claseexpuesta, que consiste de aquellos individuos que han adquirido la enfermedadpero aun no son capaces de transmitirla, se denota E(t) el tamano de la pobla-cion de la clase.

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El principal parametro utilizado en epidemiologıa es el numero reproducti-vo basico σ, definido como el numero promedio de infecciones causadas por unindividuo infeccioso cuando este es introducido a una poblacion de susceptiblese intenta capturar la capacidad reproductiva de la enfermedad [19].

Si la recuperacion no da inmunidad, el modelo es llamado SIS, donde los in-dividuos se mueven entre las clases susceptible e infectados. Si los individuos serecuperan de forma permanente de la enfermedad entonces, el modelo es llama-do SIR. Si se tiene en cuenta el periodo de latencia y ademas los individuos serecuperan con una inmunidad temporal y entonces despues de un tiempo de es-tar recuperados pasan de nuevo a ser susceptibles, el modelo es llamado SEIRS.

A continuacion se presentan los modelos SIS, SIR y dos modelos parala malaria. En los siguientes modelos las variables S,E, I,R representan lasfracciones de la poblacion.

1.3.1. Modelo SIS

El primero modelo para el cual la enfermedad no concede inmunidad es elmodelo Susceptible-Infectado-Susceptible (SIS) donde los individuos vuelven ala clase susceptible cuando estos se recuperan de la infeccion. A continuacion seda la formulacion del modelo sin tener en cuenta las dinamicas vitales [18]:

dS

dt= −λIS + γI (1.4)

dI

dt= λIS − γI (1.5)

con S(t) + I(t) = 1. Tomando S(t) = 1 − I(t) y suponiendo que el valorinicial de poblacion infectada es I(0) = I0, tenemos que la solucion es:

I(t) = I0(λ− γ)e(λ−γ)t

λ− γ + λI0e(λ−γ)t(1.6)

El numero reproductivo basico toma el valor σ = λγ [18].

Teniendo en cuenta las dinamicas vitales tenemos que el modelo puede serformulado [4] en termino de sus clases de la siguiente forma:

dS

dt= −λIS + γI + µ− µS (1.7)

dI

dt= λIS − γI − µI (1.8)

S(t) + I(t) = 1 (1.9)

Suponiendo que el valor inicial de poblacion infectada es I(0) = I0, tenemosde las ecuaciones (1.7) y (1.8) que la solucion es:

I(t) =

1

λt+ 1I0

si σ = 1,

exp(γ+µ)(σ−1)t

σ(exp(γ+µ)(σ−1)t−1)(σ−1)

+ 1I0

si σ 6= 1(1.10)

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Donde σ = λµ+γ es el numero reproductivo basico. La solucion asintotica de

esta ecuacion es: [5]

I(t)t→∞ =

{1− 1

σ si σ > 1,0 si σ ≤ 1.

(1.11)

La mayorıa de enfermedades de transmision sexual (ETS) suelen modelarseusando este modelo, ya que tan solo un numero reducido de ETS adquiereninmunidad tras la infeccion.

1.3.2. Modelo SIR

El segundo modelo para enfermedades infecciosas presentado en esta seccionno tiene en cuenta las dinamicas vitales pero si tiene en cuenta el concederinmunidad permanente a la poblacion infectada que ha superado la enfermedad,el modelo puede formularse de la siguiente manera [5]

dS

dt= −λSI (1.12)

dI

dt= λSI − γI (1.13)

dR

dt= γI (1.14)

S(t) + I(t) +R(t) = 1 (1.15)

Dado que R(t) = 1 − S(t) − I(t) podemos analizar las anteriores ecuacio-nes (1.12) y (1.13) en el plano de la fase SI, donde una region epidemiologicarazonable es la siguiente:

T = {(S, I) : S ≥ 0, I ≥ 0, S + I ≤ 1} (1.16)

Sea S0 = S(0), I0 = I(0) y R0 = R(0) los valores iniciales del modelo,σ = λ

γ el numero reproductivo basico, [4] se tiene que si σS0 ≤ 1, entonces

I(t) decrecera a cero cuando t→∞. Por el contrario si σS0 > 1, entonces I(t)

aumentara hasta un valor maximo Im = 1−R0− 1σ −

[ln(σS0)]σ y posteriormente

decrecera a cero cuando t→∞.

Teniendo en cuenta las dinamicas vitales, el modelo SIR puede formularsede la siguiente forma [4]

dS

dt= −λSI + µ− µS (1.17)

dI

dt= λSI − γI − µI (1.18)

dR

dt= γI − µR (1.19)

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Del mismo modo que en el modelo sin dinamicas vitales, podemos analizar lasecuaciones anteriores usando las ecuaciones (1.17) y (1.18).Tomando σ = λ

γ+µ .

Si σ ≤ 1, entonces el triangulo definido por (1.16) es una region de equilibrioasintotico para el punto de equilibrio (1, 0). Si σ > 1, entonces T − {(S, 0) :0 ≤ S ≤ 1} es una region de equilibrio asintotico para el punto de equilibrio

( 1σ ,

µ(σ−1)λ ) [4]

El modelo SIR resulta util a la hora de modelar enfermedades infantiles,debido a que la infeccion lleva a una inmunidad vitalicia.

Los siguientes modelos presentaran una formulacion matematica para la Ma-laria.

1.3.3. Modelo Ross Macdonald

Ahora se considera la version del modelo de Ross- Macdonald para la ma-laria [8], el cual supone las dinamicas SIS para la poblacion de humanos y lasdinamicas SEI para la poblacion de mosquitos. Dado que las escalas de tiem-po para los nacimientos y muertes de humanos son mayores que las escalas detiempo para nacimiento y muerte de mosquitos, se incluyen las dinamicas vita-les para los mosquitos pero no para humanos. Por otro lado, se asume que losmosquitos tienen tasa de nacimiento y muerte constantes y la poblacion totalde mosquitos se encuentra en equilibrio. Las hembras del mosquito Anopheles,son las responsables de la transmision de la enfermedad.

A continuacion mostraremos las variables (1.3.3) y parametros del modelo(1.3.3):

x(t), Proporcion de humanos infectados en el tiempo t.

y(t), Proporcion de mosquitos infectados pero aun no capaces de infectaren el tiempo t.

z(t), Proporcion de mosquitos capaces de infectar en el tiempo t.

m, Numero de mosquitos hembra por huesped humano

a, Numero de picadura por mosquito por unidad de tiempo

b, Probabilidad de transmision de infeccion de mosquitos infectados a hu-manos por picadura

c, Probabilidad de transmision de infeccion de humanos infectados a mos-quitos por picadura

γ, Tasa de recuperacion de humanos

µ, Tasa de muerte de mosquitos

τ , Periodo de incubacion de la enfermedad

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La siguiente es la formulacion del modelo:

dx(t)

dt= mabz(t)(1− x(t))− γx(t) (1.20)

dy(t)

dt= acx(t)(1− y(t)− z(t))−µy(t)− acx(t− τ)(1− y(t− τ)− z(t− τ))e−µτ

(1.21)

dz(t)

dt= acx(t− τ)(1− y(t− τ)− z(t− τ))e−µτ − µz(t) (1.22)

Se representa el movimiento de los mosquitos de la clase expuesta a la claseinfecciona con una tasa per capita constante; se asume una distribucion ex-ponencial para el tiempo pasado en la clase expuesta. Aqui, mediante el usode ecuaciones diferenciales de retardo, se puede modelas el perıodo de incuba-cion extrınseca (la cantidad de tiempo que tarda un mosquito infectado paraconvertirse en infecciosa) con una duracion fija, aunque sigue permitiendo unadistribucion exponencial de la supervivencia.

Este modelo tiene dos puntos de equilibrio: el punto de equilibrio donde nohay enfermedad,

x0 = 0,y0 = 0,z0 = 0

(1.23)

y el punto de equilibrio endemico,

x∗ = ma2bce−µτ−γµma2bce−µτ+acγ ,

y∗ =(

1−e−µτe−µτ

)(ma2bce−µτ−γµma2bc+mabµ

),

z∗ = ma2bce−µτ−γµma2bc+mabµ

(1.24)

El numero basico reproductivo para la malaria se define como:

σ =ma2bce−µτ

γµ(1.25)

σ en este caso estima el numero de nuevas infecciones en humanos causadaspor un humano infectado a traves de una generacion de infecciones en mosquitos.

1.3.4. Modelo para la Malaria por Nakul Rashmin Chitnis

El modelo matematico propuesto por Chitnis [7] para entender la transmisiony propagacion de la Malaria, tiene en cuenta las dinamicas vitales, el periodode latencia, la inmunidad temporal de la enfermedad y el paso de individuosrecuperados al estado de susceptibilidad; por otro lado en la formulacion dada[7] que es la que se mostrara a continuacion se tiene en cuenta la adquisicion de laenfermedad dado el contacto de humanos con mosquitos, donde la propagacionde la enfermedad se debe a la infeccion de ambos. El tamano de las poblacionesde humanos y mosquitos(vectores) son respectivamente:

Nh = Sh + Eh + Ih +Rh (1.26)

14

Nv = Sv + Ev + Iv (1.27)

Ası mismo, se agregan algunos parametros geograficos y de la enfermedad(Malaria) que seran trascendentales en la formulacion del modelo, las siguientesson las ecuaciones del modelo:

∂Sh∂t

= Λh + ψhNh + ρhRh − λh(t)Sh − fh(Nh)Sh (1.28)

∂Eh∂t

= λh(t)Sh − νhEh − fh(Nh)Eh (1.29)

∂Ih∂t

= νhEh − γhIh − fh(Nh)Ih − δhIh (1.30)

∂Rh∂t

= γhIh − ρhRh − fh(Nh)Rh (1.31)

∂Sv∂t

= ψvNv − λv(t)Sv − fv(Nv)Sv (1.32)

∂Ev∂t

= λv(t)Sv − νvEv − fv(Nv)Ev (1.33)

∂Iv∂t

= νvEv − fv(Nv)Iv (1.34)

En este modelo los estados definidos de las variables son:

Sh, Numero de humanos susceptibles

Eh, Numero de humanos expuestos

Ih, Numero de humanos infectados

Rh, Numero de humanos recuperados (inmunes y asintomaticos)

Sv, Numero de mosquitos susceptibles

Ev, Numero de mosquitos expuestos

Iv, Numero de mosquitos infectados

Nh, Poblacion total de humanos

Nv, Poblacion total de mosquitos

Los parametros definimos para el modelo son:

Λh, Tasa de inmigracion de humanos

ψh, Tasa de nacimiento de humanos

ψv, Tasa de nacimiento de mosquitos

νh, Tasa de progresion de humanos del estado de exposicion al estado deinfeccion

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νv, Tasa de progresion de mosquitos del estado de exposicion al estado deinfeccion

ρh, Tasa de perdida de inmunidad en humanos

γh, Tasa de recuperacion para humanos del estado de infeccion al estadode recuperacion

δh, Tasa de muertes debido a la enfermedad para humanos

λh(t), Tasa de inoculacion en humanos

λv(t), Tasa de inoculacion en mosquitos

fh(Nh), tasa de mortalidad y emigracion por habitante dependiente de ladensidad de los seres humanos.

fv(Nv) tasa de mortalidad y emigracion por habitante dependiente de ladensidad de los mosquitos.

El numero reproductivo σ se define como el numero de humanos que unsolo humano puede infectar a traves de mosquitos, cuando estos y el resto dehumanos son susceptibles. Si se toma Khv, como el numero de humanos que unmosquito infecta, asumiendo que todos los humanos son susceptibles. Y Kvh, elnumero de mosquitos infectados por un humano durante el periodo de infeccionde este, y asumiendo que todos los mosquitos son susceptibles; tenemos que elnumero reproductivo basico es [7]

σ =√KvhKhv (1.35)

16

Capıtulo 2

Modelos de AutomatasCelulares

Tradicionalmente la mayorıa de modelos matematicos para simular epide-mias estan basados en ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales pueden ob-viar caracterısticas del ambiente y el comportamiento de los individuos. Comoconsecuencia se generan resultados poco realistas ya que estos factores puedenayudar a frenar o contribuir con el desarrollo de la epidemia. A continuacion sepresentan dos modelos de automatas celulares para simular la propagacion deuna enfermedad.

2.1. Modelo SIS

En el artıculo Using Cellular Automata to Simulate Epidemic Diseases [1]se presenta un modelo de automata celular para simular el comportamiento ypropagacion de enfermedades bajo el modelo epidemiologico SIS.

En este automata la matriz C es una matriz cuadrada. El estado de cadacelda c

(t)(i,j) se obtiene de la fraccion de numero de individuos de la celda que han

adquirido la enfermedad (Grupo Infectado), y entonces c(t)(i,j) es la discretizacion

dePoblacion infectada de la celda (i, j)

Total de la poblacion de la celda (i, j)(2.1)

En este modelo la distribucion de la poblacion es homogenea, y entoncestodas las celdas tienen la misma poblacion en cada periodo de tiempo.

El conjunto finito de estados es Q = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 . . . 0.9, 1} ⊂ [0, 1]. Seconsidera la vecindad de Moore (1.1) para cada celda. Tomando en cuenta ladefinicion de Q, consideramos la siguiente funcion de discretizacion:

g : R→ Q, x 7→ g(x) =

0 si x < 01 si x > 1

[10x]10 si 0 ≤ x ≤ 1

(2.2)

donde [x] hace referencia a la funcion parte entera.

17

El estado de cada celda depende de los estados de sus ocho vecinos mascercanos y la celda misma, se define la siguiente funcion de transicion:

c(t+1)(i,j) = g

(1− γ)c(t)(i,j) + (1− c(t)(i,j))

λc(t)(i,j) +∑

(α,β)∈U(i,j)

µ(i,j)(α,β)c

(t)(α,β)

,

(2.3)donde g es la funcion de discretizacion dada en (2.2). En este modelo se usan

las condiciones de frontera de valor fijo, donde c(t)(i,j) = 0 si (i, j) /∈ C.

Como se definio en los modelos epidemiologicos γ ∈ [0, 1] es la tasa de recu-

peracion, λ ∈ [0, 1] es la tasa de contagio y µ(i,j)(α,β) representa la caracterıstica del

ambiente, este parametro se define como el producto de tres factores: El factor

de conexion ζ(i,j)(α,β) ∈ [0, 1], el factor de movimiento m

(i,j)(α,β) ∈ [0, 1] entre la celda

principal (i, j) y su vecino (α, β), y λ la tasa de contagio (virulencia). Luego

µ(i,j)(α,β) = ζ

(i,j)(α,β)m

(i,j)(α,β)λ.

Cuando la infeccion esta presente en individuos de alguna celda, debe existiralgun tipo de conexion entre las celdas (medios de transporte) para permitir la

propagacion de la enferemedad, esta conexion esta dada por el factor ζ(i,j)(α,β). El

factor de movimiento m(i,j)(α,β) hace referencia a la probabilidad de un individuo

infectado en la celda vecina (α, β) se mueva a la celda (i, j) [6].

Es importante analizar el progreso de la enfermedad, se quiere ver cuandola infeccion se propaga de una celda a la otra, por esto se analizara el com-portamiento del autonoma cuando una sola celda del automata se encuentrainfectada, se llamara a esta celda (O), y como esta celda principal infecta a unade sus celdas vecinas, se llamara a una de estas celdas (W ). Para la configuracioninicial del automata C(0) los estados de todas las celdas valen cero excepto parala celda (O). La fraccion de individuos infectados en la celda W en el tiempot = 1 es:

c(1)(W ) = g

(λζ

(W )(O) m

(W )(O) c

(0)(O)

), (2.4)

dado que c(0)(W ) = 0. En el modelo, la celda c

(t)(W ) se encuentra infectada en el

tiempo t cuando c(t)(W ) ≥ 0.1. En consecuencia teniendo en cuenta la definicion

de g la siguiente ecuacion es valida:

c(0)(O) ≥

1

10λζ(W )(O) m

(W )(O)

= ρ (2.5)

Luego, la fraccion de individuos infectados necesarios para extender la epi-demia fuera de su celda depende de los factores de contagio, conexion y movi-miento. Por otro lado, si se cumple que

c(0)(O) < ρ, (2.6)

18

entonces la evolucion de la infeccion se restringe a la celda (O), y la fraccion

de individuos infectados se va a cero si c(t)(O) ≤ c

(t−1)(O) . Asumiendo que la ecuacion

(2.6) se cumple, se tiene que para todo t:

c(t)(O) = (1− γ)c

(t−1)(O) + (1− c(t−1)(O) )(λc

(t−1)(O) ) ≤ c(t−1)(O) (2.7)

si y solo si λ−γλ ≤ c(t−1)(O) ; y c(t)(O) es una funcion decreciente que tiende a cero

siλ− γλc

(0)(O)

≤ 1 (2.8)

Si la ecuacion (2.8) no se da, entonces la fraccion de individuos infectados enla celda aumenta y cuando supera la constante ρ la enfermedad se propagara dela celda (O) a sus celdas vecinas.

2.2. Modelo SIR

En el artıculo Modelling epidemics using cellular automata [6] se presentaun modelo de automata celular para simular el comportamiento y propagacionde enfermedades bajo el modelo epidemioogico SIR.

En este automata la matriz C es una matriz cuadrada. En este modelo di-ferentes celdas pueden tener diferentes poblaciones, factores de conexion y demovilidad. Aunque la distribucion de la poblacion es no homogenea, la cantidadde la poblacion N(i,j) en la celda (i, j) es constante.

En este modelo el estado c(t)(i,j) de la celda (i, j) en el tiempo t es una tripleta

c(t)(i,j) = (s

(t)(i,j), i

(t)(i,j), r

(t)(i,j)), donde s

(t)(i,j) ∈ [0, 1] es el porcentaje de individuos

susceptibles, i(t)(i,j) ∈ [0, 1] es el porcentaje de individuos infectados y r

(t)(i,j) ∈ [0, 1]

es el porcentaje de individuos recuperados en la celda (i, j) en el tiempo t. Dado

que la poblacion es constante se cumple que s(t)(i,j)+ i

(t)(i,j)+r

(t)(i,j) = 1. El conjunto

de estados considerado es Q = K ×K ×K, donde:

K = {0.00, 0.01, 0.02, 0.03 . . . 0.99, 1} (2.9)

Tomando en cuenta de definicion de Q, se define la siguiente funcion dediscretizacion:

g : R→ K, x 7→ g(x) =

0 si x < 01 si x > 1

[100x]100 si 0 ≤ x ≤ 1

(2.10)

donde [x] hace referencia a la funcion parte entera.

Al igual que el modelo SIS presentado anteriormente, se considera la ve-cindad de Moore (1.1) para cada celda. La funcion de transicion usada es lasiguiente:

19

i(t)(i,j) = g

(1− γ)i(t−1)(i,j) + λs

(t−1)(i,j) i

(t−1)(i,j) + s

(t−1)(i,j)

∑(α,β)∈U(i,j)

N(α,β)

N(i,j)µ(i,j)(α,β)i

(t−1)(α,β)

(2.11)

s(t)(i,j) = g

s(t−1)(i,j) − λs(t−1)(i,j) i

(t−1)(i,j) − s

(t−1)(i,j)

∑(α,β)∈U(i,j)

N(α,β)

N(i,j)µ(i,j)(α,β)i

(t−1)(α,β)

(2.12)

r(t)(i,j) = g

(r(t−1)(i,j) + γi

(t−1)(i,j)

)(2.13)

donde g es la funcion de discretizacion dada en (2.10). En este modelo se

usan las condiciones de frontera de valor fijo, donde c(t)(i,j) = (0, 0, 0) si (i, j) /∈ C.

Los parametros γ, λ, y µ(im,j)(α,β) se definen del mismo modo que en el automata

para modelo SIS presentado anteriormente.

El numero de individuos infectados necesarios para extender la epidemiadepende de los factores de conexion, movimiento y contagio. Suponiendo quela poblacion total en cada celda es igual para todas las celdas, se tiene que el

numero basico reproductivo es: σ =λ·s(0)

(i,j)

γ , cuando se supone que la unica celda

infectada en el automata en la configuracion inicial es la celda (i, j). [6]

2.3. Modelo Propuesto

A continuacion se dara la formulacion del automata celular propuesto parasimular el comportamiento de la Malaria; este modelo pretende ser un acerca-miento al modelo epidemiologico propuesto por Nakul Rashmin Chitnis [7].

Las siguientes son algunas consideraciones que se tuvieron en cuenta en lacreacion del modelo.

La poblacion humana en cada una de las celdas sera constante, el total depoblacion de humanos en la celda (i, j) es Nh(i,j).

La poblacion de mosquitos en el tiempo t es Nm(t)(i,j).

Cada celda podra tener diferentes vecinos.

Cada celda podra tener diferentes factores de movilidad.

Cada celda tendra caracterısticas ambientales, que favorecen el desarrollodel parasito y la reproduccion de los mosquitos.

En cada celda viven humanos y mosquitos.

Se supone que la enfermedad no es letal y no hay nacimientos en loshumanos , por lo tanto la poblacion de humanos en cada celda es constante.

20

Dado que los vectores que transmiten la enfermedad son las hembras delmosquito Anopheles, solo se tendran en cuenta estas en el modelo, su-poniendo que todas pueden reproducirse a traves del tiempo y tomandocomo base un factor de supervivencia de estas en cada celda.

El contagio de los mosquitos se dara al picar un humano infectado que seencuentre en su radio de accion.

El contagio de los humanos se dara al ser picado por un mosquito infec-cioso.

Una vez que los humanos infectados se han recuperado, estos adquiereninmunidad. Aunque los mosquitos infectados no se curan, estos muerenluego de un tiempo, por lo cual se tiene en cuenta este parametro como latasa de supervivencia.

Los mosquitos no viajan grandes distancias. Los mosquitos Anophelesllegan a recorrer poco mas de 500 metros y ocasionalmente mas de 1 Km;mientras que los humanos se mueven entre celdas.

A continuacion se describen los parametros que usados en el modelo pararepresentar a humanos y mosquitos en cada celda.

En este modelo el estado c(t)(i,j) de la celda (i, j) en el tiempo t es una 5-Tupla

(sh(t)(i,j), ih

(t)(i,j), rh

(t)(i,j), sm

(t)(i,j), im

(t)(i,j)), donde K se define en la ecuacion (2.9) y:

sh(t)(i,j) ∈ K Porcentaje de humanos susceptibles de la celda (i, j) en el

tiempo t.

ih(t)(i,j) ∈ K Porcentaje de humanos infectados de la celda (i, j) en el tiempo

t, los cuales pueden transmitir el parasito a los mosquitos Anopheles.

rh(t)(i,j) ∈ K Porcentaje de humanos recuperados de la celda (i, j) en el

tiempo t, los cuales adquiriran la inmunidad.

sm(t)(i,j) ∈ K Porcentaje de mosquitos susceptibles de la celda (i, j) en el

tiempo t.

im(t)(i,j) ∈ K Porcentaje de mosquitos infectados de la celda (i, j) en el

tiempo t.

Como se menciono anteriormente la poblacion de humanos en cada celda

permanecera constante, y entonces sh(t)(i,j) + ih

(t)(i,j) + rh

(t)(i,j) = 1, aunque los

mosquitos se reproducen a lo largo del tiempo, los valores de susceptibilidad e

infeccion cumplen sm(t)(i,j) + im

(t)(i,j) = 1. El conjunto de estados finitos conside-

rado Q = K ×K ×K ×K ×K.A diferencia de los humanos, los mosquitos se reproducen rapidamente razon

por la cual es importante considerar los nacimientos en un periodo de tiempo,teniendo en cuenta el desarrollo de los huevos, larvas y pulpas hasta que estaslleguen a una edad adulta y pueden adquirir y transmitir el parasito (periodode crecimiento m).

21

m∑k=0

Nm(t)(ik,jk)

= Nm(t)(i,j) (2.14)

Nm(t)(ik,jk)

es la cantidad de mosquitos no adultos (huevos, larvas y pulpas)

en la celda (i, j) en el tiempo t a los cuales les faltan k pasos para ser mosquitos

adultos. Nm(t)(i0,j0)

es la cantidad de mosquitos adultos en la celda (i, j) en el

tiempo t, y por tanto aquellos que pueden transmitir la enfermedad.

Del mismo modo, se debe tener en cuenta el periodo de incubacion n, ya quees posible que los mosquitos mueran antes de poder ser capaces de transmitirla enfermedad.

Se define ademas im(t)(i,j) como:

n∑k=0

im(t)(ik,jk)

= im(t)(i,j) (2.15)

im(t)(ik,jk)

indica el porcentaje de mosquitos en la celda (i, j) en la celda t que

han adquirido el parasito pero a los cuales les faltan k pasos para ser transmi-sores, es decir aquellos mosquitos que se encuentran en estado de exposicion.

Luego im(t)(i0,j0)

sera el porcentaje de mosquitos en la celda (i, j) en el tiempo

t que pueden transmitir el parasito a los humanos en la misma celda o en lasceldas pertenecientes a U(i,j).

Se considera ademas que en cada paso la poblacion de mosquitos cambiaacorde a la tasa de reproduccion η(i,j) y la tasa de supervivencia ξ(i,j) parala celda (i, j). La tasa de reproduccion indica la cantidad de huevos promediodepositados por un mosquito, mientras que la tasa de supervivencia hace refe-rencia a las caracterısticas del ambiente, donde a mayor temperatura, mayorescantidad mosquitos sobreviven en un periodo de tiempo.

Nm(t)(i0,j0)

= ξ(i,j)(Nm(t−1)(i0,j0)

+Nm(t−1)(i1,j1)

) (2.16)

La ecuacion (2.16) indica que los mosquitos adultos en la celda, seran aquellosque han sobrevivido, mas nuevos mosquitos capaces de adquirir/transmitir laenfermedad.

Nm(t)(ik,jk)

= ξ(i,j)Nm(t−1)(ik−1,jk−1)

, con 1 ≤ k ≤ (m− 1) (2.17)

Las ecuacion (2.17) indica que las condiciones del ambiente indicaran lacantidad de mosquitos no adultos que sobreviven en cada iteracion.

Nm(t)(im,jm) = η(i,j)Nm

(t−1)(i0,j0)

(2.18)

Las ecuacion (2.18) indica la cantidad de huevos puestos por los mosquitosen la celda (i, j) en el tiempo t.

22

Para resumir se tiene que Nm(t)(i0,j0)

es el numero de mosquitos adultos pre-

sentes en la celda (i, j) en el tiempo (t). De esta cantidad, tenemos que im(t)(i,j)

y sm(t)(i,j) son la fraccion de mosquitos que han adquirido el parasito y aquellos

susceptibles en la celda (i, j) en el tiempo (t). De im(t)(i,j), se tiene im

(t)(i0,j0)

como

la fraccion de mosquitos adultos infectados en la celda (i, j) en el tiempo (t)capaces de transmitir la enfermedad.

La vecindad que sera usada es la Vecindad de Moore (1.1). En este modelo

se usan las condiciones de frontera de valor fijo, donde c(t)(i,j) = (0, 0, 0, 0, 0) si

(i, j) /∈ C.

La funcion de transicion usada sera la siguiente:

ih(t)(i,j) = (1−γ)ih

(t−1)(i,j) +λsh

(t−1)(i,j) im

(t−1)(i0,j0)

+sh(t−1)(i,j)

∑(α,β)∈U(i,j)

Nm(t)(α0,β0)

Nh(i,j)µ(i,j)(α,β)im

(t−1)(α0,β0)

(2.19)

sh(t)(i,j) = sh

(t−1)(i,j) −λsh

(t−1)(i,j) im

(t−1)(i0,j0)

−sh(t−1)(i,j)

∑(α,β)∈U(i,j)

Nm(t)(α0,β0)

Nh(i,j)µ(i,j)(α,β)im

(t−1)(α0,β0)

(2.20)

rh(t)(i,j) = rh

(t−1)(i,j) + γih

(t−1)(i,j) (2.21)

im(t)(i0,j0)

= im(t−1)(i0,j0)

+ im(t−1)(i1,j1)

(2.22)

im(t)(ik,jk)

= im(t−1)(ik−1,jk−1)

, con 1 ≤ k ≤ (n− 1) (2.23)

imt(in,jn)

= λih(t−1)(i,j) sm

(t−1)(i,j) + sm

(t−1)(i,j)

∑(α,β)∈U(i,j)

Nh(α,β)

Nm(t)(i0,j0)

µ(i,j)(α,β)ih

(t−1)(α,β) (2.24)

sm(t)(i,j) = sm

(t−1)(i,j) −λih

(t−1)(i,j) sm

(t−1)(i,j) − sm

(t−1)(i,j)

∑(α,β)∈U(i,j)

Nh(α,β)

Nm(t)(i0,j0)

µ(i,j)(α,β)ih

(t−1)(α,β)

(2.25)

Donde los parametros γ, λ, y µ(im,j)(α,β) se definen del mismo modo que en el

automata para modelo SIS presentado en la Seccion 2.1 .

La anterior funcion de transicion nos dice que:

La ecuacion (2.19) indica que la proporcion de personas infectadas corres-ponde a la cantidad de personas que no se han recuperado de la enfermedad(primer factor de la suma), aquellas que han sido infectadas por los mos-quitos en su celda (segundo factor de la suma) y las que tuvieron contacto

23

con mosquitos presentes en sus celdas vecinas (tercer factor de la suma),este valor depende de la virulencia de la enfermedad, la conexion presenteentre las celdas, la posibilidad de infeccion, y la relacion de poblacion entrelas celdas.

La ecuacion (2.20) indica que la proporcion de personas susceptibles co-rresponde a la cantidad de personas que eran susceptibles menos las quehan sido infectadas.

La ecuacion (2.21) indica que la proporcion de personas recuperadas co-rresponde a la cantidad de personas que ya eran inmunes mas aquellasque se han recuperado.

La ecuacion (2.22) indica que los mosquitos infectados son aquellos queestaban infectados previamente mas aquellos que sobrevivieron el procesode incubacion del parasito y ahora son portadores de la enfermedad.

La ecuacion (2.23) cambia el estado de incubacion de los mosquitos quehan adquirido el parasito.

La ecuacion (2.24) indica la proporcion de mosquitos que han adquirido elparasito por tener contacto con una persona infectada en su celda ( primerfactor de la suma) o por una persona infectada en sus celdas vecinas.

La ecuacion (2.25) indica que la proporcion de mosquitos susceptibles deberestarse aquellos que han sido infectados, ası no sean transmisores aun dela enfermedad.

24

Capıtulo 3

Resultados

Tomando en cuenta la descripcion del modelo de automatas celulares SIS,SIR y el modelo propuesto presentado en la Seccion 2 se realizaron diferentessimulaciones, con el fin de establecer la relacion existente entre el numero repro-ductivo basico encontrado en los modelos epidemiologicos clasicos y los modelosusando automatas celulares.

3.1. Simulaciones Modelo SIS

El espacio de celdas C en la siguiente simulacion estara formado por unamatriz 39 × 39, el conjunto de estados finitos sera Q = {0, 0.1, 0.2 . . . 0.9, 1}formado por 11 elementos. Para representar el estado de cada celda se usara elcodigo de color mostrado en la Figura 3.5.

Figura 3.1: Codigo de color para la simulacion SIS.

Se considera la vecindad de Moore (1.1), y la funcion de transicion f definidaen la ecuacion (2.3). Consideramos el caso en el cual cada celda esta conectada

con todos sus vecinos, mediante un factor el conexion ζ(i,j)(α,β) = 1 y el factor

de movimiento m(i,j)(α,β) = 0.4 para toda celda (i, j) y para todo (α, β) ∈ U(i,j),

se toma la tasa de contagio λ = 0.4 y la tasa de recuperacion γ = 0.6. Para

la configuracion inicial C(0) tomamos c(0)(i,j) = 0 excepto para c

(0)(19,19) = 1. La

evolucion de la enfermedad se muestra en las siguientes graficas:

25

(a) t=0 (b) t=10 (c) t=20

(d) t=30 (e) t=40 (f) t=50

Figura 3.2: Simulacion del modelo SIS

Inicialmente, toda la poblacion de la celda central se encuentra infectada,como se observa en la figura 3.1 la infeccion se propaga a traves de sus celdasvecinas, mostrando el comportamiento de una enfermedad endemica. La evolu-cion de personas infectadas y susceptibles en todo el automata se muestra en lafigura 3.3, donde el color rojo y el color verde hacen referencia al porcentaje deindividuos infectados y susceptibles respectivamente.

Figura 3.3: Porcentaje de individuos infectados y susceptibles en el automataSIS.

Como se puede ver en las figuras 3.1 y 3.3, la enfermedad se propaga a to-do el automata infectado cerca del 60 % de los individuos del automata; vemosademas que entre el tiempo del tiempo 40 en adelante la enfermedad llega a unpunto de equilibrio endemico, donde el porcentaje de infeccion y susceptibili-dad es constante. Comparando con los resultados obtenidos en la Seccion 2.1

tenemos que dado que el valor de la celda c(0)(19,19) supera ρ entonces su compor-

tamiento sera endemico.

Por otro lado, podemos ver las variaciones del numero reproductivo basicopara el modelo SIS, si el numero reproductivo es mayor que 1 el comportamiento

26

de la enfermedad se tornara endemico. En la siguiente grafica se ilustran losvalores del numero reproductivo basico:

Figura 3.4: Numero Reproductivo Modelo SIS.

λ = 0.6

γ = 0.4

I0 = 0.6

ζ = 1 - Serie1

ζ = 0.8 - Serie2

ζ = 0.6 - Serie3

ζ = 0.4 - Serie4

ζ = 0.2 - Serie5

Continuando el analisis obtenemos que para los siguientes valores se produ-cirıa endemia en el modelo determinıstico, mientras que en el automata no, yaque se incluyen comportamientos de la poblacion como movilidad.

λ = 0.6

γ = 0.4

ζ = 1

m = 0.2

c(0)(O) = 0.4

Con los siguientes datos ambos modelos muestran como la enfermedad setorna endemica.

λ = 0.6

27

γ = 0.4

ζ = 1

m = 0.4

c(0)(O) = 0.4

En ninguno de los modelos se producirıa endemia, usando los siguientesparametros:

λ = 0.4

γ = 0.6

ζ = 1

m = 0.2

c(0)(O) = 0.4

En el modelo determinıstico no se producirıa endemia, en el automata si;usando los siguientes parametros:

λ = 0.4

γ = 0.6

ζ = 1

m = 0.4

c(0)(O) = 0.4

Como se pudo notar en los anteriores datos, una variacion en los factores deconexion y movimiento, dejando fijo la tasa de contagio, puede llegar a producirvariaciones dracticas en el modelo determinıstico y en el automata.

3.2. Simulaciones Modelo SIR

El espacio de celdas C en la siguiente simulacion estara formado por unamatriz 39 × 39, el conjunto de estados finitos sera Q = {K × K × K} dondeK se definio en la ecuacion 2.9. Para representar el estado de cada celda seusara la escala de grises donde el color se va oscureciendo al alejarse del valor0. Al igual que la simulacion anterior se considera la vecindad de Moore, y lafuncion de transicion descrita en la Seccion 2.2. Consideramos el caso en el cualcada celda esta conectada con todos sus vecinos, mediante un factor el conexion

ζ(i,j)(α,β) = 1 y el factor de movimiento m

(i,j)(α,β) = 0.4 para toda celda (i, j) y para

todo (α, β) ∈ U(i,j), se toma la tasa de contagio λ = 0.4 y la tasa de recuperacion

γ = 0.6. Para la configuracion inicial C(0) tomamos c(0)(i,j) = (1, 0, 0) excepto para

c(0)(19,19) = (0.7, 0.3, 0), es decir, el 30 % de las personas en la celda (19, 19) se

encuentran infectados.Se considera la vecindad de Moore (1.1), y la funcion de transicion f definida

en la ecuacion (2.3). Consideramos el caso en el cual cada celda esta conectada

28

Figura 3.5: Codigo de color para la simulacion SIS.

con todos sus vecinos, mediante un factor el conexion ζ(i,j)(α,β) = 1 y el factor

de movimiento m(i,j)(α,β) = 0.4 para toda celda (i, j) y para todo (α, β) ∈ U(i,j),

se toma la tasa de contagio λ = 0.4 y la tasa de recuperacion γ = 0.3. Para

la configuracion inicial C(0) tomamos c(0)(i,j) = 0 excepto para c

(0)(19,19) = 1. La

evolucion de la enfermedad se muestra en la siguiente figura

(a) t=0 (b) t=7 (c) t=14

(d) t=21 (e) t=28 (f) t=35

(g) t=42 (h) t=49

Figura 3.6: Simulacion del modelo SIR

Inicialmente, el 30 % de la poblacion de la celda central se encuentra infec-tada y el resto de individuos en el automata son susceptibles, como se observaen la figura 3.2 la infeccion se propaga a traves de sus celdas vecinas. La evolu-cion de personas infectadas, recuperados y susceptibles en todo el automata semuestra en la figura 3.7, donde los colores verde, rojo y azul hacen referencia alporcentaje de individuos susceptibles, infectados y recuperados respectivamente.

29

Figura 3.7: Porcentaje de individuos infectados, susceptibles y recuperados enel automata SIR.

Como se puede ver en las figuras 3.2 y 3.7, aunque la enfermedad se propagaa celdas lejanas de la celda infectada en la configuracion inicial, el porcentaje deinfeccion llega tan solo al 10 % de la poblacion; del mismo modo se tiene que elporcentaje de infectados alcanza su valor maximo y disminuye posteriormentea cero.

Como se comento en la seccion 2, el numero reproductivo basivo depende enel modelo SIR de la poblacion suceptible y la poblacion infectada, ası como losfactores de conexion y movimiento. A continuacion se muestra los cambios enel numero reproductivo.

Figura 3.8: Numero Reproductivo Modelo SIR.

Figura 3.9: I0 Modelo SIR.

λ = 0.6

30

γ = 0.4

ζ = 1 - Serie1

ζ = 0.8 - Serie2

ζ = 0.6 - Serie3

ζ = 0.4 - Serie4

ζ = 0.2 - Serie5

Al igual que en el modelo SIS, en el modelo SIR, se presentan algunas va-riaciones al modificar el factor de conexion y movimiento.

En ninguno de los modelos se producirıa endemia, usando los siguientesparametros:

λ = 0.4

γ = 0.6

ζ = 0.6

m = 0.2

c(0)(O) = (0.9, 0.1, 0)

En el modelo determinıstico se no se producirıa endemia, en el automata si;usando los siguientes parametros:

λ = 0.4

γ = 0.6

ζ = 0.6

m = 0.4

c(0)(O) = (0.9, 0.1, 0)

En ambos modelos se producirıa endemia, usando los siguientes parametros:

λ = 0.6

γ = 0.4

ζ = 0.6

m = 0.4

c(0)(O) = (0.9, 0.1, 0)

En el modelo determinıstico se producirıa endemia, mientras que en el automa-ta no; usando los siguientes parametros:

λ = 0.6

γ = 0.4

ζ = 0.6

m = 0.2

c(0)(O) = (0.9, 0.1, 0)

31

3.3. Simulaciones Modelo Propuesto

Para la implementacion del automata celular propuesto es el siguiente: Elespacio de celdas C estara formado por una matriz 39× 39, el conjunto de esta-dos finitos sera Q = {K ×K ×K ×K ×K} donde K se definio en la ecuacion2.9. Para representar el estado de cada celda se usara la escala de grises donde elcolor se va oscureciendo al alejarse del valor 0. Al igual que la simulacion ante-rior se considera la vecindad de Moore, y la funcion de transicion descrita en laSeccion 2.3. Consideramos el caso en el cual cada celda esta conectada con todossus vecinos, mediante un factor el conexion ζ

(i,j)(α,β) = 1 y el factor de movimiento

m(i,j)(α,β) = 0.5 para toda celda (i, j) y para todo (α, β) ∈ U(i,j), se toma la tasa

de contagio λ = 0.4 y la tasa de recuperacion γ = 0.6. La poblacion de humanosNh(i,j) = 100. La tasa de reproduccion para los mosquitos η(i,j) ∈ [25, 75] yξ(i,j) = 0.8, el periodo de incubacion en los mosquitos sera n = 9 y el periodode crecimiento promedio m = 16.

Para la configuracion inicial C(0) tomamos c(0)(i,j) = (1, 0, 0, 0, 0) excepto para

c(0)(19,19) = (0.2, 0.8, 0, 0, 0), es decir, el 80 % de las personas en la celda (19, 19)

se encuentran infectados.

Las imagenes en la figura 3.3, muestran el desarrollo de la enfermedad enhumanos; mientras que la figura 3.3, muestra el desarrollo de la enfermedad enlos mosquitos, para los mismos instantes de tiempo t.

(a) t=0 (b) t=10 (c) t=20

(d) t=30 (e) t=40 (f) t=50

(g) t=60 (h) t=70

Figura 3.10: Simulacion del modelo propuesto en humanos

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Dado que el modelo usado en humanos es SIR, tenemos que una vez loshumanos han adquirido la enfermedad estos entran en estado de inmunidad yla enfermedad se erradica (Figura 3.3), incluso cuando en existen mosquitosinfectados en la misma area (Figura 3.3).

(a) t=0 (b) t=10 (c) t=20

(d) t=30 (e) t=40 (f) t=50

(g) t=60 (h) t=70

Figura 3.11: Simulacion del modelo propuesto en mosquitos

Debido a las altas tasas de reproduccion y supervivencia de los mosquitos,estos adquieren facilmente la enfermedad, logrando sobrevivir e infectar a otroshumanos. Inicialmente, el 80 % de la poblacion de la celda central se encuen-tra infectada y el resto de individuos en el automata son susceptibles, como seobserva en la figura 3.3 la infeccion se propaga a traves de sus celdas vecinasinfectando mosquitos (Figura 3.3) y estos a humanos.

La evolucion de personas infectadas, recuperados y susceptibles en todo elautomata se muestra en la figura 3.12, donde los colores verde, rojo y azul hacenreferencia al porcentaje de individuos susceptibles, infectados y recuperadosrespectivamente.

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Figura 3.12: Porcentaje de individuos infectados, susceptibles y recuperados enel automata.

La evolucion de mosquitos infectadas, y susceptibles en todo el automatase muestra en la figura 3.13, donde los colores verde y rojo hacen referencia alporcentaje de individuos susceptibles e infectados respectivamente.

Figura 3.13: Porcentaje de individuos infectados, susceptibles y recuperados enel automata.

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Capıtulo 4

Conclusiones y TrabajoFuturo

En esta tesis se presenta un modelo para simular la propagacion de la Malariausando automatas celulares. La principal caracterıstica del modelo presentadoes la definicion del estado de cada celda como una 5− Tupla en la cual se agre-gan los estados de infeccion y susceptibilidad de los vectores que transmiten laenfermedad. Del mismo modo, se tienen en cuenta las caracterısticas propias delmosquito Anopheles tales como: factor reproductivo, factor de supervivencia yperiodo de incubacion del parasito.

El modelo puede analizarse como un modelo de dos capas que interactuanentre si, en la primera capa se encuentran los humanos y en la segunda losmosquitos. La primera capa se modela bajo un modelo SIR, mientras que lasegunda bajo un modelo SI.

Las simulaciones obtenidas usan parametros artificiales los cuales se pue-den refinar usando conocimientos epidemiologicos de las enfermedades. En losmodelos determinısticos SIR y SIS se tenia que el numero basico reproductivodependıa de los factores de contagio y de recuperacion, sin embargo en las simu-laciones realizadas para estos modelos usando automatas celulares obtuvimosque los factores de conexion y movimiento juegan un papel fundamental en lapropagacion de la enfermedad.

El presente modelo puede servir como base para el desarrollo de algoritmospara simular epidemias transmitidas por vectores. Tambıen se pueden realizarpequenas modificaciones sobre el modelo para medir como las estrategias decontrol tales como vacunacion, fumigacion, control de mosquitos y larvas, inci-den en la propagacion de la enfermedad.

Como trabajo futuro se tiene la adecuacion del modelo propuesto al Modelode Chitnis [6], con el fin de analizar las relaciones del numero basico reproduc-tivo en el modelo epidemiologico comparado con los resultados obtenidos de lassimulaciones, con el fin de validar el funcionamiento del modelo propuesto.

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