1

1. Modelo de Perturbaciones 1. Modelo de Perturbaciones_______________________________________ 1

1.1. Introducción______________________________________________________________________________________________________ 3 1.2. Reducción del efecto de las Perturbaciones ____________________________________________________________________________ 4 1.3. Modelo de Perturbaciones __________________________________________________________________________________________ 8 1.4. Perturbaciones Determísticas a Tramos ______________________________________________________________________________ 11

1.4.1. Modelo en Espacio de estado _______________________________________________________________________________________________ 13 1.4.2. Modelo Entrada-Salida ____________________________________________________________________________________________________ 15

1.5. Perturbaciones estocásticas ________________________________________________________________________________________ 16 1.6. Procesos Especiales _______________________________________________________________________________________________ 25

1.6.1. Procesos Estocástico Discreto _______________________________________________________________________________________________ 25 1.6.2. Procesos Estacionario _____________________________________________________________________________________________________ 25 1.6.3. Procesos Independientes ___________________________________________________________________________________________________ 27 1.6.4. Procesos Incorrelados _____________________________________________________________________________________________________ 27 1.6.5. Proceso Blanco __________________________________________________________________________________________________________ 28 1.6.6. Procesos Estocásticos Ergódicos _____________________________________________________________________________________________ 29 1.6.7. Proceso de Wiener________________________________________________________________________________________________________ 31 1.6.8. Proceso de Markov _______________________________________________________________________________________________________ 32

1.7. Modelo ARMA __________________________________________________________________________________________________ 33 1.8. Modelo en Variables de Estado _____________________________________________________________________________________ 34 1.9. Modelo de Entrada Salida _________________________________________________________________________________________ 40 1.10. Factorización Espectral __________________________________________________________________________________________ 47 1.11. Innovación _____________________________________________________________________________________________________ 50 1.12. Referencias_____________________________________________________________________________________________________ 53

2

3

1.1. Introducción Las perturbaciones son unas de las razones de la existencia de la teoría de control. Sin perturbaciones no habría necesidad de realimentación. Limitan el ancho de banda y comportamiento de un sistema. Midiendo perturbaciones se pueden detectar malfuncionamiento de los sistemas, Hay dos formas básicas de modelizar una perturbación: la determinística o clásica

y la estadística.

4

1.2. Reducción del efecto de las Perturbaciones reducción en la fuente realimentación local control en adelanto predicción

- Reducción en la fuente Ejemplos

- reducción de variaciones en una concentración utilizando un mezclador eficiente - reducción de fricción usando buenos rodamientos - cambiar de posición los sensores para evitar perturbaciones - modificar la electrónica del sensor - cambiar sensor para obtener mejor respuesta - cambiar el muestreo del sistema para tener mejor modelo.

5

- Realimentación local Es necesario poder medir una variable que esté influida por la perturbación y

cercana a la misma.

y

Realimentaciónlocal

Perturbación

u

Generalmente no se necesita gran precisión en el lazo interno. Un regulador con alta ganancia es suficiente. Ejemplos:

- variación de presión en válvulas. Se introduce un regulador de presión. - variación de temperatura. Se estabiliza la fuente. - realimentación en las fuentes eléctricas.

6

- Control en Avance

yG(q)

Hw

u

Hff

Perturbación

Proceso

Una forma obvia es

wff

HHG

= − [1.1]

Si no es estable se puede aproximar a algo estable Muchas veces es un modelo estático Se usa en perturbaciones de carga

7

- Predicción La perturbación no es medible Se controla en avance con una predicción en base a alguna medición. No es necesario predecir la perturbación sino el efecto que ella causa en el

proceso. Es importante tener un modelo

8

1.3. Modelo de Perturbaciones Un caso típico de modelización son las perturbaciones que puede tener una planta,

ya sea por una imprecisión en la medición, la aparición de una carga o variación propia de la planta.

- Perturbación de carga: carga mecánica de un motor, olas en un barco, etc. Son generalmente lentas o de bajas frecuencias.

- Error de medición: puede ser un error estático de calibración o con componentes de alta frecuencia muy importantes. Una solución habitual es filtrar esta señal con el consiguiente retardo de la misma.

- Variación de Parámetros: debidas a una variación del punto de trabajo o a derivas del propio sistema.

El último tipo de perturbación se estudia como un cambio en el modelo de la planta en cambio los dos primeros se pueden modelizar como una dinámica adicional al sistema original.

9

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 1-1. Cuatro tipos diferentes de perturbaciones: de corta duración, carga

constante, deriva y periódica Estas perturbaciones se podrían pensar como la respuesta impulsional de un

sistema Gn

Gn

Gp

Planta

PerturbaciónImpulso

Entrada Salida

GnGp

Planta

PerturbaciónImpulso Salida

Figura 1-2. Diagrama de bloques de una perturbación y su efecto sobre la planta

10

Las perturbaciones que serán materia de estudio en este trabajo no se podrán representar determinísticamente, serán de la forma,

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 1-3. Perturbaciones de tipo estadístico

Las perturbaciones se pueden estudiar como entrada salida o como variables de estado.

11

1.4. Perturbaciones Determísticas a Tramos Predicción de un Escalón

/ˆkT mT kT kTy y+ = [1.2]

Este predictor tiene un error de predicción ˆkT kTy yε = − en los instantes ( )0, , , 1t T m T= −

Predicción de una Rampa

( )( ) ( ) ( )/ 1 1ˆ 1kT mT kT kT kT kTk T k Ty y m y y m y my+ − −= + − = + − [1.3]

este predictor tiene un error en los instantes , ,t T mT=

Estos dos modelos no son muy adecuados como perturbación. Las perturbaciones son difíciles de predecir

12

Una forma de hacerlas más realistas es como en la figura siguiente donde la aparición de las perturbaciones es aleatorio

13

1.4.1. Modelo en Espacio de estado

1k k k

k k

x x vy Cx+ = Φ +

= [1.4]

se supone que la salida es escalar y el sistema es observable. La entrada se supone cero excepto en determinados puntos. Si se puede medir la salida, se puede predecir el estado mientras la entrada es nula.

14

El estado se puede calcular en base a la matriz de observabilidad

[ ]11 1

Tk n o k n kx W y y−− + − += [1.5]

La predicción a m pasos será

[ ]1 1/ 1ˆ Tm n

k m k o k n kx W y y+ − −+ − += Φ [1.6]

es una combinación lineal de n valores de la salida o sea

( )* 1/ˆk m k kx P q y−

+ = [1.7]

con P polinomio de orden n-1 Se puede usar una forma recursiva de cálculo

[ ]/ 1/ 1 1/ 1ˆ ˆ ˆk k k k k k kx x K y C x− − − −= Φ + − Φ [1.8]

/ /ˆ ˆmk m k k kx x+ = Φ [1.9]

15

1.4.2. Modelo Entrada-Salida ya que se puede expresar como un polinomio se hace

( )( )k k

C qy w

A q= [1.10]

donde w es cero excepto en ciertos instantes espaciados en un número mayor al grado(A+m)

Si se define F y G tal que cumplan

( ) ( ) ( ) ( )1mz C z A z F z G z− = + [1.11]

se puede demostrar que un predictor a m pasos es

( ) ( )/ˆk m k kC q y qG q y+ = [1.12]

16

1.5. Perturbaciones estocásticas Variable aleatoria: magnitud caracterizada estadísticamente. Proceso estocástico es una variable estocástica que varía en el tiempo. La variable estadística depende de dos parámetros: la realización y la muestra

temporal. Ejemplo proceso determinístico con valor inicial aleatorio. Este proceso es llamado proceso estocástico completamente determinístico ya que

se puede predecir completamente.

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

17

- Función de Distribución.

( ) ( )XF x P X x= ≤ [1.13]

)X

X

(- = 0F ( ) = 1F∞∞

[1.14]

0 20 40 60 80 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

18

- Función Densidad.

( ) ( )XX

dF xf x

dx= [1.15]

0 20 40 60 80 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

( ) ( )2

11 2

x

XxP x X x f x dx≤ ≤ = ∫ [1.16]

- Esperanza.

1 1 1x-

E ( x , ) = ( , ) d = m( )fk k kξ ξ ξ∞

∞∫ [1.17]

E ( ) = ( E )∑ ∑ [1.18]

19

- Momentos

( )bn n

XaE X x f x dx = ∫ [1.19]

momentos centrados

( ) ( ) ( )bn n

X X XaE X m x m f x dx − = − ∫ [1.20]

- Varianza

[ ] ( ) ( ) ( )2 22 varb

X X X XaX E X m x m f x dxσ = = − = − ∫ [1.21]

- Correlación

[ ] ( ), ,b b

X Ya aE XY xyf x y dxdy= ∫ ∫ [1.22]

ortogonales

[ ] 0E XY = [1.23]

20

- Covarianza

( )( )( ) ( )

XY Xj Ykj k j k

Xj Yk

(j,k)= cov X Y = E X - Y -m mr

= x - y - f(X,Y, j,k) dx,dym m

∫ ∫

[1.24]

llamando [ ]Xm E X= y [ ]Ym E Y= resulta:

XY j k j k Xj Yk(j,k)= cov X Y = E X Y m mr − [1.25]

no correlacionadas 0XY(j,k)=r [1.26]

Autocorrelación

( )( )

2

2 2

XjX j j

Xj

r (j,k)= cov X = E X - m

= x - f(X, j,k) dxm

∫ ∫ [1.27]

21

- Densidad Espectral Cruzada

( ) ( )12

jkxyXY

k

r k e ωωφπ

∞−

=−∞

= ∑ [1.28]

( ) ( )jkxy xyr k e d

π ω

πφ ω ω

−= ∫ [1.29]

la función

( )2

1

2 xy dω

ωφ ω ω∫ [1.30]

es la potencia de la señal en una banda [ ]1 2,ω ω

Si tiene algún pico significa que existe una componente periódica

22

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

23

10-2 10-1 100 10110-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Frequency (rad/s)

Pow

er

Power spectrum for signal y1

24

n=10000; e=randn(n,1); T0=1; p1=.9999; A1=poly([p1]); B1=100*(1-p1); S1=tf(B1,A1,T); y1=filter(B1,A1,e); p2=.999; A2=poly([p2]); B2=100*(1-p2); S2=tf(B2,A2,T); y2=filter(B2,A2,e);

figure(1) plot([e y1 y2]);grid xe=xcorr(e,'coeff'); xy1=xcorr(y1,'coeff'); xy2=xcorr(y2,'coeff'); figure(2) plot([xe xy1 xy2]);grid pe=etfe(e,10000,256); py1=etfe(y1,10000,256); py2=etfe(y2,10000,256); figure(3) bodeplot(pe,py1,py2);grid

25

1.6. Procesos Especiales

1.6.1. Procesos Estocástico Discreto Son procesos en donde la aleatoriedad interviene en algunos instantes de tiempo

0 5 10 15 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.6.2. Procesos Estacionario Un proceso aleatorio ( )X t se dice estacionario, si ( ) ( )X tf x es independiente de t

y por lo tanto:

( )X Xm t m t= ∀ [1.31]

Para un proceso estacionario, la función de autocorrelación depende sólo de la diferencia 1t - 2t , es decir:

( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,X XR t t R t t t t= − ∀ [1.32]

26

Si los procesos aleatorios ( )X t e ( )Y t son cada uno estacionarios y además son conjuntamente estacionarios, entonces la matriz de correlación puede escribirse como:

( ) ( ) ( )( ) ( )

X XY

YX Y

R RR

R Rτ τ

ττ τ

=

[1.33]

donde 1 2t tτ = −

aquí las propiedades estadísticas no dependen del tiempo en sí sino de la distancia entre muestras temporales.

- Propiedades

i. ( ) ( )( ) ( )

TXY YX

TX X

R R

R R

τ τ

τ τ

= −

= − [1.34]

ii. ( )0 0XR ≥ [1.35]

iii. ( ) ( ) ( )2 0 0XY X YR R Rτ ≤ [1.36]

iv. ( ) ( )0X XR Rτ ≤ [1.37]

27

1.6.3. Procesos Independientes Se debe cumplir que para todo instante de tiempo,

[ ] [ ]1 1 2 21

( ) , ( ) ( ) ( )n

n n i i ii

P X t x X t x X t x P X t x=

≤ ≤ ≤ = ≤∏ [1.38]

se podría expresar en función de la densidad o distribución. Si se trata de dos procesos X e Y se dice que son independientes si

[ ][ ] [ ]

1 1 1 1

1 1 1 1

( ) , , ( ) , ( ) , , ( )

( ) , , ( ) ( ) , , ( )n n n n

n n n n

P X t x X t x Y t y Y t y

P X t x X t x P Y t y Y t y

≤ ≤ ≤ ≤ =

= ≤ ≤ ≤ ≤ [1.39]

1.6.4. Procesos Incorrelados Un proceso es incorrelado consigo mismo cuando

[ ] [ ]( , ) ( ) ( ) ,TXR t E X t E X t tτ τ= ∀ [1.40]

Un proceso independiente es incorrelado. No siempre ocurre al revés. Dos procesos son incorrelados si

[ ] [ ]( , ) ( ) ( ) ,TXYR t E X t E Y t tτ τ= ∀ [1.41]

28

1.6.5. Proceso Blanco Si un proceso tiene una distribución Gaussiana, es estacionario e independiente se

denomina proceso blanco

kx es totalmente independiente de jx ∀ k ≠ j

,kx δ secuencia de elementos independientes

La media es nula covarianza

2

2

= 0r( ) =

0 0

( ) = 2

τσττ

σφ ω ωπ

∀ ≠

∀

[1.42]

La mayoría de los procesos estacionarios pueden generarse a partir del filtrado del ruido blanco. Es como el impulso de los sistemas deterministas.

29

1.6.6. Procesos Estocásticos Ergódicos Para un proceso estocástico es posible calcular la media temporal de cada

realización como sigue:

( ) ( )12

T

X Tm T x t dt

T −= ∫ [1.43]

Esta media es obviamente una variable aleatoria que depende del intervalo de observación T t T− ≤ ≤ .

Si se calcula la correlación promediada temporalmente, para cada realización,

1( ) lim ( ) ( )

2

T

TT

R x t x t dtT

τ τ→∞

−

= +∫ [1.44]

que constituye un proceso estocástico. Sería de mucha utilidad que la media temporal coincida con la media del proceso

estudiado así como su correlación. De este modo bastaría con conocer una sola realización para conocer todo el proceso.

30

Un proceso aleatorio se dice ergódico si se verifican las siguientes condiciones: i. ( )lím X XT

m T m→∞

=

ii. ( )lim var 0XTm T

→∞=

iii. ( ) ( )lím ,X XTR T Rτ τ

→∞=

iv. ( )lím var , 0XTR Tτ

→∞=

En este caso se puede substituir el cálculo de la esperanza por la integral 1lim ( )

2

T

TT

x t dtT→∞

−∫

31

1.6.7. Proceso de Wiener Se dice que un proceso x es un proceso de Wiener si el proceso ( ) ( )z x t x τ= − es

en realidad una variable aleatoria independiente. Además se debe cumplir que i. [ ( )] 0E x t =

ii. (0) 0x =

iii. la varianza de z es proporcional a la diferencia de triempos: ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )R z R x t x tτ σ τ= − = −

32

1.6.8. Proceso de Markov Un proceso estocástico se dice de Markov de primer orden si la probabilidad

condicionada de un elemento solo depende de su valor anterior es decir

1 2 1[ | , ........] [ | ]k k k k kp x x x p x x− − −= [1.45]

o sea

1k k kx ax fv+ = + [1.46]

el valor futuro de x solo depende de su valor actual y de v. Si v es ruido blanco genera una proceso de Markov. Si x depende de valores anteriores se puede hacer lo siguiente

1 1 1

2 1 21 2

0 1 0k kk

k k

x xv

x xa a f+

+

= +

[1.47]

lo que matricialmente resulta

1k k kx Ax Fv+ = + [1.48]

33

1.7. Modelo ARMA Una perturbación estocástica se puede modelar como generada por ruido blanco

1 1 1 1k k n k n k k n k ny a y a y e c e c e− − − −+ + + = + + + [1.49]

34

1.8. Modelo en Variables de Estado sea el sistema

1k k kx x v+ = Φ + [1.50]

con v ruido blanco y covarianza 1R . Su valor medio es

1k km m+ = Φ [1.51]

y la covarianza

( ) ( ),r k k P kττ+ = Φ [1.52]

con

( ) ( )cov k kP k x x= [1.53]

y dada por la siguiente fórmula

( ) ( ) 11 TP k P k R+ = Φ Φ + [1.54]

Nota 1: Si v es Gaussiana, el proceso estocástico queda definido por su media y su covarianza

35

Nota 2: si el sistema tiene una salida

ym Cm= [1.55]

Tyy xxr Cr C= [1.56]

y la covarianza cruzada

yx xxr Cr= [1.57]

Nota 3: la ecuación [1.54] parece una función de Lyapunov Nota 4: la covarianza P representa la incertidumbre en el estado. ( ) TP kΦ Φ representa la propagación debida a la dinámica y 1R es la covarianza del

ruido.

36

Ejemplo 1. Sistema de Primer Orden

1k k kx ax v+ = + [1.58]

1r cov de v. 0r cov inicial de x.

{ }k km E x= [1.59]

1k km am+ = [1.60]

00

k kkm a m−= [1.61]

21 1k kP a P r+ = + [1.62]

( )( )0

0

22

0 12

11

k kk k

kaP a r r

a

−− −

= +−

[1.63]

( ) ( ), l kxr l k a P k l k−= ≥ [1.64]

( ) ( ), k lxr l k a P l l k−= < [1.65]

si 1a < y 0k →−∞entonces

0km → [1.66]

Plantakukv

kxke

ky

37

121k

rPa

→−

[1.67]

( ) 12,

1xr ar k k

a

τ

τ+ →−

[1.68]

se convierte en estacionario ya que m es constante y la covarianza solo depende de la distancia entre muestras.

38

Si el filtro tuviese ganancia unitaria

12

11k

aP ra−

→−

[1.69]

en la figura se ve cómo varía la varianza en función de a .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

39

Si se introduce una salida de la forma

k k ky x e= + [1.70]

siendo 2r cov. de e, resulta:

( )1

2 2

12

01

01

y

rrar

r aa

τ

ττ

τ

+ = −= ≠ −

[1.71]

y el espectro

( ) ( )( )1

21

2y j j

rre a e aω ω

ωφπ −

= +

− − [1.72]

( ) 12 2

12 1 2 cosy

rra a

ωφπ ω = + + −

[1.73]

Plantakukv

kxke

ky

40

1.9. Modelo de Entrada Salida

0

k

k k n n n k nn n

y g u g u∞

− −=−∞ =

= =∑ ∑ [1.74]

( ) { } { }

( )

0 0

0

y k n k n n k nn n

n un

m k E y E g u g E u

g m k n

∞ ∞

− −= =

∞

=

= = =

= −

∑ ∑

∑ [1.75]

( ) ( )0

k y n k n un

y m k g u m k n∞

−=

− = − − ∑ [1.76]

el valor medio de la entrada se propaga a la salida Se puede considerar, por simplicidad, nulo.

41

( ) { } { }

( )

0 0 0 0

0 0

T T Ty k k n k n l k l n k n k l l

n l n l

Tn u l

n l

r E y y E g u g u g E u u g

g r l n g

τ τ ττ

τ

∞ ∞ ∞ ∞

+ + − − + − −= = = =

∞ ∞

= =

= = = =

= + −

∑ ∑ ∑∑

∑∑ [1.77]

( ) { } { }

( )

0 0

0

T T Tyu k k n k n k n k n k

n n

n un

r E y u E g u u g E u u

g r n

τ τ ττ

τ

∞ ∞

+ + − + −= =

∞

=

= = = =

= −

∑ ∑

∑ [1.78]

42

( ) ( ) ( )12

jny yy y

n

r n e ωφ ω φ ωπ

∞−

=−∞

= = ∑ [1.79]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0 0

121

21

2

jn Ty k u l

n k l

j n l kjk jl Tk u l

k n l

j n l kjk jl Tk u l

k n l

e g r n l k g

e g e r n l k e g

e g e r n l k e h

ω

ωω ω

ωω ω

φ ωπ

π

π

∞ ∞ ∞−

=−∞ = =

∞ ∞ ∞− + −−

= =−∞ =

∞ ∞ ∞− + −−

= =−∞ =

= + −

= + −

= + −

∑ ∑∑

∑∑∑

∑ ∑ ∑

[1.80]

introduciendo la respuesta impulsional

( )0

nn

n

G z z g∞

−

=

=∑ [1.81]

( ) ( ) ( ) ( )j T jy uG e G eω ωφ ω φ ω −= [1.82]

de igual modo

43

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0 0

1 1 12 2 2

jn jn jk jnyu yu k u k u

n n k k n

ju

e r n e g r n k e g e r n

G e

ω ω ω ω

ω

φ ωπ π π

φ ω

∞ ∞ ∞ ∞ ∞− − − −

=−∞ =−∞ = = =−∞

= = − =

=

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

[1.83]

Filtrado de Procesos Estacionarios Sea la entrada estacionaria. Si el sistema es estable, la salida también es estacionaria con valor medio

( )1y um H m= [1.84]

espectro

( ) ( ) ( ) ( )j T jy uH e H eω ωφ ω φ ω −= [1.85]

y espectro cruzado

( ) ( ) ( )jyu uH e ωφ ω φ ω= [1.86]

44

Nota 1: el valor ( )jH e ω es la amplitud de la respuesta a un seno de frecuencia ω . El valor de la densidad espectral de la salida es el producto de la ganancia en potencia

( ) 2jH e ω y la densidad espectral de la entrada ( )uφ ω .

Nota 2: Según [1.86], la densidad espectral cruzada es igual a la respuesta en frecuencia cuando la entrada es ruido blanco.

45

Ejemplo 2. Espectro de un sistema de Primer Orden sea el sistema

( ) ( )( )

1X zH z

U z z a= =

− [1.87]

excitado por ruido blanco con densidad espectral

( ) 1

2urφ ωπ

= [1.88]

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1

1

12

21

2

12 1 2 cos

j T jx

j j

rH e H e

re a e a

ra a

ω ω

ω ω

φ ωπ

π

π ω

−

−

=

=− −

=+ −

[1.89]

46

si la salida es

k k ky x e= + [1.90]

el espectro será

( ) ( )1

2 2

12 1 2 cosy

rra a

φ ωπ ω

= +

+ − [1.91]

comparar con ejemplo anterior

47

1.10. Factorización Espectral Se verá cómo una señal puede ser generada a partir del ruido blanco.

En general ( )jH e ω es racional y su densidad espectral también lo será.

Haciendo jz e ω= la función siguiente resulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1j T j TH e H e F z H z H zω ω− −= = [1.92]

Los ceros y los polos de F son simétricos con respecto al círculo unidad.

Plano Z

Im

Re

Es posible encontrar un H con todos sus polos estables.

48

Ejemplo 3. Factorización Espectral Dado una densidad espectral racional ( )φ ω , existe un sistema lineal con función

de transferencia

( ) ( )( )

B zH z

A z= [1.93]

tal que, su respuesta al ruido blanco es un proceso estacionario con densidad espectral ( )φ ω .

Las raíces de ( )A z están dentro del círculo unidad y las de ( )B z están dentro o sobre el círculo unidad.

Nota 1: todo proceso estacionario puede ser pensado como un sistema lineal estable excitado con ruido blanco (un proceso ARMA).

Nota 2: lo que se hace en la práctica es encontrar ( )φ ω y luego buscar el sistema que lo representa de acuerdo al teorema.

Nota 3: generalmente se asume que ( )B z `tiene sus raíces dentro del círculo unidad para que su inversa sea estable.

49

Sistema de Primer Orden

( )( )( )

( ) ( )( )( )

2 11 2 21

2 1 1

11 12 2

j j

y

z e z e

r r a r a z zrrz a z a z a z a

ω ω

φ ωπ π

−

− −

= =

+ + − += + =

− − − − [1.94]

hay que factorizar el numerador

( )( ) ( ) ( )2 1 2 11 2 21z b z b r r a r a z zλ − −− − = + + − + [1.95]

igualando por potencias

( ) ( )0 2 2 21 2

1 22

1 1z b r r a

z b r a

λ

λ

+ = + +

= [1.96]

despejando resulta una raíz en

( ) ( ) ( )2 221 2 1 2 1 2

2

1 1 1

2

r r a r r a r r ab

r a

+ + − + + + − = [1.97]

la otra raíz es espejo de esta y está fuera del círculo unidad. La variable λ resulta

50

( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 2 1 2

1 1 1 12

r r a r r a r r aλ = + + + + + + − [1.98]

1.11. Innovación De lo visto anteriormente un proceso estocástico estacionario puede representarse

como k

k k n nn

y h e−=−∞

= ∑ [1.99]

con e ruido blanco. Como H es racional y con inversa estable, se puede escribir lo contrario

k

k k n nn

e g y−=−∞

= ∑ [1.100]

reemplazando,

51

1

1 1

1 0 1

1 0 1

k

k k n nn

k

k n n kn

k k

k n n l l kn l

y h e

h e h e

h g y h e

+

+ + −=−∞

+ − +=−∞

+ − − +=−∞ =−∞

=

= +

= +

∑

∑

∑ ∑

[1.101]

la salida y tiene dos términos, uno que depende de sus valores anteriores y otro 0 1kh e + que contiene información nueva, no contenida en el pasado.

El proceso estocástico { }ke se denomina innovación del proceso { }ky

El término

1

k k

k n n l ln l

h g y+ − −=−∞ =−∞∑ ∑ [1.102]

es la mejor estimación cuadrática media de la salida 1ky + (se verá más adelante)

52

Sistema de Primer Orden

( ) ( )1

2 2

12 1 2 cosy

rra a

φ ωπ ω

= +

+ − [1.103]

( )( )( )( )( )

12

12y

z b z b

z a z aλφ ωπ

−

−

− −=

− − [1.104]

este proceso puede ser generado filtrando ruido blanco con

( ) z bH zz a−

=−

[1.105]

la relación entrada salida es

1 1k k k ky ay e be+ += + − [1.106]

donde e es ruido blanco con varianza 2λ

53

1.12. Referencias 1. Åström, Karl J.: Computer Controlled Systems. Theory and Design, Prentice Hall –

1984 2. Haykin, Simon: Communication Systems, John Wiley & Sons, Inc., New York. -

1994 3. Papoulis