Modelo de Espesamiento de Suspensions Floculadas

MODELO DE ESPESAMIENTO DE SUSPENSIONS FLOCULADAS:ESTADO DEL ARTE Y AVANCE EN NUEVOS MODELOS

RAIMUND BURGERA

Contents

1. Introduccion 12. Descripcion conceptual del espesador-clarificador 42.1. Zonas, regiones y flujos en un espesador-clarificador 42.2. Modos de operacion 42.3. Revision bibliografica 53. Modelo de sedimentacion-consolidacion de suspensiones floculadas 53.1. Ecuacion de balance 53.2. Teorıa cinematica de sedimentacion 54. Modelo de espesadores-clarificadores 75. Estados estacionarios 85.1. Ecuacion de estado estacionario, solucion estacionaria, condiciones de entropıa

y condiciones de salto 85.2. Determinacion de perfiles de concentracion de estado estacionario 95.3. Caso 1: modo de operacion convencional 115.4. Caso 2: modo de operacion de alta capacidad 135.5. Ejemplo de una solucion incorrecta pronosticada por el modelo ICT 155.6. Comentario acerca de la restriccion al rebalse claro 156. Avances recientes en metodos numericos 177. Extensiones y aspectos adicionales 217.1. Suspensiones polidispersas 217.2. Modelamiento del transporte y de la adsorcion del floculante 247.3. Simulacion de sedimentacion con velocidades aleatoricas 26References 26

1. Introduccion

Los espesadores-clarificadores para la separacion solido-lıquido de suspensions fueron in-ventados en 1905 por J.V.N. Dorr [37] y se usan hoy dıa en aplicaciones de la industriaminera para el procesamiento de minerales, pero tambien para el tratamiento de pulpas enla industria papelera, produccion de alimentos, y para el tratamiento de aguas servidas.

aCI2MA and Departamento de Ingenierıa Matematica, Universidad de Concepcion, Casilla 160-C, Con-cepcion, Chile. E-mail: [email protected].

1

2 BURGER

Los primeros modelos matematicos de estos equipos surgieron poco tiempo despues de la in-vencion del equipo mismo. Por ejemplo, en 1912 Mishler [49] propuso un metodo de diseno deespesadores considerando balances globales de flujos de entrada y salida. Por otro lado, Coey Clevenger, en 1916 [27], destacaron la importancia de realizar pruebas batch en columnaspara medir tasas de sedimentacion; basandose en la informacion ası obtenida desarrollaronel metodo de diseno de espesadores que hasta hoy lleva su nombre. Sin embargo, aunque lainvencion del espesador continuo por Dorr dio origen al tratamiento cientıfico-matematicodel espesamiento continuo, el uso de aparatos hidraulicos para aprovechar la diferencia dedensidad entre solidos y el agua es mucho mas antiguo y fue documentado en el famoso libroDe Re Metallica de G. Agricola, en el siglo XV. Para resenas historicas mas detalladas nosreferimos a los trabajos de Concha y Burger [29, 30].

Un marco matematico riguroso para el modelamiento, el diseno y la simulacion de espesa-dores-clarificadores fue establecido solamente hace poco tiempo. Este marco esta basado enuna investigacion exhaustiva de ciertas ecuaciones no estandar del tipo conveccion-difusioncon coeficientes degenerados y discontinuos.

Para muchos propositos de diseno y simulacion de espesadores es suficiente considerarmodelos espacialmente uni-dimensionales de estos equipos, es decir considerar solamenteuna coordenada espacial vertical. El punto de partida del modelamiento matematico es elmodelo cinematico de sedimentacion propuesto en 1952 por G.J. Kynch [43]. El modelo deKynch describe la sedimentacion de una suspension ideal de esferas solas de igual tamano ydensidad por la ley de conservacion (ecuacion de derivadas parciales de primer orden)

∂φ

∂t+

∂fbk(φ)

∂x= 0, (1.1)

donde φ es la fraccion volumetrica de solidos, y se desea determinar la evolucion de estacantidad como funcion de la profundidad x y del tiempo t. En el marco de este modelo,todas las propiedades especıficas de la suspension bajo estudio se describen a traves de lafuncion de densidad de flujo fbk(φ). (Algunos ejemplos se discutiran mas adelante).

Ahora, si se considera un principio de conservacion de masa global, la extension de la teorıade Kynch lleva a una ley de conservacion con un flujo que depende de manera discontinuade x. Esta discontinuidad se debe a la particion del flujo de alimentacion de la suspensionen dos flujos globales dirigidos hacia arriba y hacia abajo, a las zonas de clarificacion yespesamiento, respectivamente. La discontinuidad del flujo forma un desafıo para el analisismatematico de “buen planteamiento” y el diseno de metodos robustos de simulacion, loscuales han sido resueltos solo en los ultimos anos [15, 16, 17, 18, 19, 22].

Los valores de la solucion de la ley de conservacion (1.1) de la teorıa cinematica se propagana lo largo de curvas, llamadas caracterısticas, que son rectas en un diagrama x versus t paraenvases cilındricos (de area constante). (Debido a la interseccion de las caracterısticas, lassoluciones exhiben discontinuidades despues de un tiempo.) Sin embargo, la mayorıa de lassuspensions en la industria minera y otras aplicaciones no son ideales, sino que floculadas,donde el floculante se agrega a la suspension de alimentacion para acelerar el proceso desedimentacion. Debido a la floculacion se forman capas de sedimento compresibles las cualesson caracterizadas por iso-lıneas de concentracion curvadas que, por lo tanto, no pueden serdescritas por la teorıa cinematica. Efectivamente, un modelo extendido dinamico que incluye

MODELAMIENTO DE ESPESADORES-CLARIFICADORES 3

region de compresion! > !c

0 < ! ! !c

region de sedimentacion

region de lıquidoclaro, ! = 0

! = 0

region de compresion! > !c

!F, !F

QR

QL QL QL QL

QRx

xR

0

xL

QF, !Fa) b)

nivel de descarga

nivel de alimentacion

nivel de rebalsezona de rebalse

zona de clarificacion

zona de espesamiento

zona de descarga

Figure 2.1. Ilustracion conceptual de un espesador-clarificador: (a) en modode operacion convencional, (b) en modo de operacion de alta capacidad.

los conceptos de presion de poros y esfuerzo efectivo de solidos es preferible. Un modelo tal,tambien llamado modelo fenomenologico de sedimentacion, fue desarrollado en una seriede trabajos [25, 9, 24]. En una dimension espacial, la ecuacion central de sedimentacion-consolidacion es una ecuacion de derivadas parciales parabolica fuertemente degenerada quedegenera a una ecuacion del tipo hiperbolico de primer orden del modelo cinematico encualquier punto (x, t) donde φ 6 φc, donde φc es la llamada concentracion crıtica, es decirla concentracion en la cual los floculos empiezan a tocarse.

Para el modelamiento de espesadores en la industria minera se considera el uso de un mode-lo de espesador-clarificador para suspensiones floculadas que resulta como una combinacionde los modelos de primer orden para suspensiones ideales con la teorıa de sedimentacion-consolidacion la cual aporta, a su vez, un termino difusivo fuertemente degenerado. Enun lenguaje matematico, el modelo resultante es un problema de valores iniciales para unaecuacion de derivadas parciales parabolica-hiperbolica fuertemente degenerada en la cualel flujo convectivo tanto como el termino difusivo dependen de forma discontinua de x.Las soluciones de una tal ecuacion, es decir los perfiles de concentracion, a su vez, sondiscontinuos, y representan las interfaces agua-suspension o suspension-sedimento.

En este informe se presenta en primer lugar el modelo del espesador-clarificador que seutilizara para la simulacion en la industria minera. Este modelo hasta ahora ha sido tema deinvestigacion cientıfica en una serie de trabajos en revistas de especialidad, pero ahora porprimera vez el modelo se esta implementando para un aplicacion real. Por otro lado, dichaimplementacion requiere el mejoramiento y el refinamiento de algunas partes del modelopara mejorar la versatilidad a nivel de usuario, tales como la incorporacion de un algo-ritmo eficiente, la consideracion de la variabilidad de las velocidades de sedimentacion, y laconsideracion de fenomenos de transporte y adsorcion de floculante.

2. Descripcion conceptual del espesador-clarificador

2.1. Zonas, regiones y flujos en un espesador-clarificador. Para facilitar el mode-lamiento consideremos un espesador-clarificador esquematico, ver Figura 2.1. En todo este

4 BURGER

informe, la variable espacial x denota la profundidad (es decir, x crece hacia abajo), yse supone que todas las variables de flujo dependen solamente de la profundidad x y deltiempo t. En particular, se supone que φ es constante sobre cada corte horizontal.

Se subdivide el espesador-clarificador en cuatro zonas diferentes: la zona de espesamiento(0 < x < xR), la cual es la unica zona considerada en los analises convencionales de sed-imentacion continua, la zona de clarificacion localizada arriba de la zona de espesamiento(xL < x < 0), la zona de descarga (x > xR) y la zona de rebalse (x < xL). Se suponeque la alimentacion continua del equipo se efectua en la profundidad x = 0, el nivel dealimentacion, con supension por separar con una tasa volumetrica (un caudal) QF(t) > 0, ydonde la fraccion volumetrica de la suspension es φF(t). La tasa de descarga (del sedimentodensificado) es QR(t) > 0, por lo tanto la tasa de rebalse es

QL(t) = QF(t)−QR(t),

donde se supone que las dos funciones de control QF(t) > 0 y QR(t) > 0 son elegidas detal manera que QL(t) 6 0. La tercera de las tres funciones dependientes del tiempo quedeterminan la evolucion del proceso de sedimentacion continua es la concentracion φF(t).Ademas, para un equipo con area transversal constante, definimos las velocidades

qL(t) := QL(t)/S y qR(t) := QR(t)/S,

donde S es el area del espesador.En general (caso transiente) las concentraciones del solido en las zonas de descarga y de

rebalse no pueden ser especificadas ya que son parte de la solucion. Ademas, se enfatizaque distinguimos entre las cuatro zonas del espesador-clarificador mencionadas arriba y queson propiedad del modelo bajo consideracion, las regiones de lıquido claro (agua) y las desedimentacion y de compresion, en las cuales la suspension en un determinado momentoposee las concentraciones cero, 0 < φ 6 φc y φ > φc, respectivamente. Concluimos que laubicacion transiente de cada una de estas regiones es una propiedad de un flujo o proceso,es decir, pertinente a la solucion del problema.

2.2. Modos de operacion. Observamos que la region de compresion no esta restringidaa la zona de espesamiento, es decir, parte de la suspension que esta localizada en la zonade clarificacion puede estar en estado de compresion (φ > φc). Los diferentes conceptostienen como proposito aclarar que el modelo permite dos modos estacionarios diferentes deoperacion: operacion convencional, (ver Figura 2.1 (a)), cuando el nivel de alimentacionse encuentra por arriba del nivel superior del sedimento (donde se tiene que φ = φc) yoperacion de alta capacidad, cuando el nivel de alimentacion esta localizado por debajodel nivel del sedimento o equivalentemente, se inyecta la alimentacion en el sedimento, verFigura 2.1 (b). En este segundo caso normalmente se observa que la concentracion arribadel nivel de sedimento es cero, es decir no hay region de sedimentacion. Demostraremos queel modelo matematico captura los dos modos de operacion.

En todo caso, para concentrarnos en un numero limitado de variables de diseno y controlnos concentraremos en una fuente de alimentacion en una posicion fija. El termino de “op-eracion en modo de alta capacidad” proviene de la suposicion de que este modo de operacionpermite procesar un mayor caudal de alimentacion de solidos que en modo convencional,puesto que la zona de clarificacion puede tratar parte del flujo de alimentacion de solidos.


Mas adelante se desarrollaran computaciones de capacidad y de diseno para este modelo.Por simplicidad, aun no se considera en este momento el efecto de la rastra de espesadoresindustriales, la cual sirve para mover el sedimento concentrado hacia la apertura de descarga.

2.3. Revision bibliografica. Modelos similares de espesadores-clarificadores fueron prop-uestos por diversos autores, ver por ejemplo [7, 26, 45]. No obstante, los tratamientosdisponibles estan limitados al caso de una suspension ideal (no floculada) (incluido comocaso particular en el presente modelo). Contribuciones importantes al estudio de modelos declarificadores-espesadores para suspensiones ideales se deben a Diehl [32, 33, 34, 35, 36], in-cluyendo simulaciones numericas utilizando un esquema numerico tipo Godunov [33, 34, 35].El trabajo de Concha et al. [28] presenta una discusion limitada de estados estacionariospara un espesador-clarificador que tiene muchas propiedades en comun con el modelo pre-sentado aquı pero es incompleto puesto que no incluye condiciones de borde ni transicionesde flujo en los niveles de rebalse o descarga.

3. Modelo de sedimentacion-consolidacion de suspensiones floculadas

3.1. Ecuacion de balance. Consideremos un envase vertical con un area transversal con-stante S. La ecuacion de conservacion de masa segun [25, 9] puede ser escrita como lasiguiente EDP para la concentracion de solidos φ = φ(x, t):

∂φ

∂t+

∂

∂x

(q(t)φ + φ(1− φ)vr

)= 0, (3.1)

donde q(t) es la velocidad espacial definida como el caudal de descarga del sedimento porunidad de area del espesador y vr el la velocidad relativa solido-lıquido.

3.2. Teorıa cinematica de sedimentacion. La teorıa cinematica de sedimentacion [43]esta basada en la hipotesis que vr es una funcion solamente de φ, vr = vr(φ). Normalmente,la velocidad relativa vr de la siguiente forma:

vr(φ) =fbk(φ)

φ(1− φ).

Insertando esta expresion en (3.1) obtenemos la ecuacion

∂φ

∂t+

∂

∂x

(q(t)φ + fbk(φ)

)= 0. (3.2)

La funcion fbk(φ) normalmente debe ser diferenciable por trozos y satisfacer fbk(φ) = 0 paraφ 6 0 y φ > φmax, donde φmax es la concentracion maxima, fbk(φ) > 0 para 0 < φ < φmax,f ′bk(0) > 0 y f ′bk(φmax) 6 0. El ejemplo mas comun es la ecuacion de Richardson y Zaki [50]:

fbk(φ) =

{v∞φ(1− φ)C para 0 < φ < φmax,

0 en caso contrario,(3.3)

6 BURGER

donde C > 1 es un parametro y v∞ > 0 es la velocidad de una partıcula en un medio infinito.Una alternativa es la formula de Vesilind [54]

fbk(φ) =

{v∞φ exp(−Cφ) para 0 < φ < φmax,

0 en caso contrario.(3.4)

Por simplicidad elegimos aquı φmax = 1.La teorıa de sedimentacion-consolidacion descrita en [25, 9, 24], tambien llamada modelo

fenomenologico, que incluye la compresibilidad del sedimento, lleva a la ecuacion

vr =fbk(φ)

φ(1− φ)

(1 +

σ′e(φ)

∆%gφ

∂φ

∂x

), (3.5)

donde ∆% > 0 denota la diferencia de densidad entre los solidos y el lıquido, g es la aceleracionde gravedad (g ≈ 9.81 m/s2), y σe(φ) es la funcion del esfuerzo efectivo de solido (effectivesolid stress), la cual es la segunda funcion constitutiva (aparte de fbk) que caracteriza lacompresibilidad del sedimento. Se supone que esta funcion posee las siguientes propiedades:σe(φ) > 0 para todo φ y

σ′e(φ) :=dσe(φ)

dφ

{= 0 para φ 6 φc,

> 0 para φ > φc.(3.6)

Dos formulas semi-empiricas para el esfuerzo efectivo de solido son

σe(φ) =

{0 para φ 6 φc,

σ0

((φ/φc)

k − 1)

para φ > φc

(3.7)

con parametros σ0 > 0 y k > 1, o bien la formula exponencial

σe(φ) =

{0 para φ 6 φc,

α exp(βφ) para φ > φc

(3.8)

con parametros α > 0 y β > 0.Notar que la derivada σ′e(φ) de ambas funciones definidas por (3.7) y (3.8) es, en general,

discontinua en φ = φc. Insertando (3.5) en (3.1) resulta la ecuacion

∂φ

∂t+

∂

∂x

(q(t)φ + fbk(φ)

)=

∂

∂x

(fbk(φ)

∆%gφ

∂σe(φ)

∂x

).

Definiendo la funcion a(φ) y su primitiva A(φ) en la forma

a(φ) :=fbk(φ)σ′e(φ)

∆%gφ, A(φ) :=

∫ φ

0

a(s) ds, (3.9)

obtenemos la ecuacion

∂φ

∂t+

∂

∂x

(q(t)φ + fbk(φ)

)=

∂2A(φ)

∂x2 . (3.10)


Puesto que

a(φ)

{= 0 para φ 6 φc y φ = φmax,

> 0 sino,

la ecuacion (3.10) es una ecuacion hiperbolica de primer orden para φ 6 φc y parabolica desegundo orden para φ > φc. Puesto (3.10) degenera al tipo hiperbolico sobre un intervalode valores de φ de longitud positiva, la ecuacion (3.10) se llama parabolica fuertementedegenerada. La ubicacion del la interfaz de cambio de tipo, φ = φc (el nivel de sedimento)es desconocida a priori.

Para la determinacion de las funciones fbk(φ) y σe(φ) apropiadas para materiales nosreferimos a [11, 12, 39].

El modelo de sedimentacion-consolidacion es equivalente a la teorıa de suspension de-watering desarrollada por investiagores de la Universidad de Melbourne en Australia, ver[1, 31, 44, 52] y otros trabajos del mismo grupo de autores.

4. Modelo de espesadores-clarificadores

La ecuacion (3.10) es el ingrediente principal del modelo de espesador estudiado en [9, 25]que incluye solamente la zona de espesamiento y representa la alimentacion y la descargapor condiciones de borde. En el modelo presente las velocidades epaciales de la mezcla son

q(x, t) =

{qR(t) para x > 0,

qL(t) para x < 0.

Esto sugiere utilizar (3.10) con

q(t) =

{qR(t) para 0 < x < xR,

qL(t) para xL < x < 0.

Ademas, se supone que en las zonas de rebalse y de descarga el material solido es transportadocon la misma velocidad que el lıquido. Esto significa que la velocidad relativa entre las fasesdesaparece, es decir, vr = 0 en las zonas de descarga y de rebalse.

El mecanismo de alimentacion se introduce agregando un termino de fuente superficialsingular, el cual puede ser expresado como la derivada de la funcion de Heaviside. Com-bindando todos los ingredientes (ver detalles en [22]), obtenemos el siguiente problema deconveccion-difusion fuertemente degenerado:

∂φ

∂t+

∂

∂xg(x, φ) =

∂

∂x

(γ1(x)

∂A(φ)

∂x

), −∞ < x < ∞, t > 0, (4.1)

φ(x, 0) = φ0(x), −∞ < x < ∞, (4.2)

g(x, φ) :=

qL(φ− φF) para x < xL,

qL(φ− φF) + fbk(φ) para xL < x < 0,

qR(u− φF) + fbk(φ) para 0 < x < xR,

qR(φ− φF) para x > xR.

(4.3)

8 BURGER

Finalmente definimos el vector de parametros discontinuos γ := (γ1, γ2), donde

γ1(x) :=

{1 para x ∈ (xL, xR),

0 para x 6 xL o x > xR,, γ2(x) :=

{qL para x < 0,

qR para x > 0,(4.4)

y la funcion de flujo

f(γ(x), φ

):= g(x, φ) = γ1(x)fbk(φ) + γ2(x)(φ− φF). (4.5)

El modelo alternativo con area variable esta estudiado en [22].

5. Estados estacionarios

5.1. Ecuacion de estado estacionario, solucion estacionaria, condiciones de en-tropıa y condiciones de salto. Se recuerda que la ecuacion (4.1) degenera al tipo hiper-bolico de primer orden cuando φ 6 φc. Puesto que f(γ(x), φ) es una funcion no lineal de φ,las soluciones de la ecuacion (4.1) (con los ingredientes especificados en (4.2)–(4.5)) son dis-continuas en general y deben ser definidas como soluciones debiles. Sin embargo, no cualquierdiscontinuidad (salto de concentracion) es admisible. Hay que imponer una condicion de ad-misibilidad, tambien llamada condicion de entropıa, para seleccionar la solucion fisicamenterelevante entre posiblemente varias candidatas de solucion discontinua.

Sin entrar en detalles aquı, utilizaremos la condicion de entropıa basada en el trabajo deKruzkov [41]. Esta condicion de entropıa asegura que los perfiles de concentracion (obtenidoscomo solucion del modelo (4.1)–(4.5)) son los mismos que resultan de agregar el terminoregularizante de difusion hidrodinamica ε∂2φ/∂x2, ε > 0, en el lado derecho de (4.1), resolverel modelo para obtener una solucion suave φε(x, t) que depende del parametro ε, y luegodefinir como solucion de entropıa el lımite de las funciones φε(x, t) cuando ε → 0. En otraspalabras, segun la condicion de entropıa, son admisibles aquellos perfiles que resultan en ellımite de difusion hidrodinamica desapareciente. En otros contextos, se habla de las mismassoluciones como soluciones de viscosidad, dado que el termino ε∂2φ/∂x2 tambien puede serinterpretado como termino de viscosidad.

Para el modelamiento de espesadores-clarificadores, la difusion hidrodinamica con ε >0 esta incluida como parte de algunos modelos de espesador-clarificadores [45, 53]. Laomision de la difusion hidrodinamica es justificada por limitaciones practicas, considera-ciones teoricas, comparaciones computacionales, y resultados experimentales, ver detalles en[8, Sect. 7.4].

Supongamos ahora que φ(x, t) es una solucion de la ecuacion del espesador-clarificador(4.1) con la concentracion inicial dada por (4.2), y donde la funcion de densidad de flujoesta dada por (4.3). Podemos suponer que para un tiempo t fijo, φ(x, t) es una funcion de xsuave con la excepcion de un numero finito de discontinuidades. En este caso, la condicionde entropıa es el criterio que decide cuales de son las discontinuidades de concentracionadmisibles. Para mas detalles y la derivacion de condiciones de entropıa nos referimos a [22].

Para identificar soluciones estacionarias admisibles en un epesador-clarificador, consider-aremos soluciones estacionarias de (4.1), es decir, soluciones φ = φ(x) que son independi-entes del tiempo t. Tales soluciones representan los estados estacionarios de operacion que sepueden alcanzar en un equipo dado ya para un material caracterizado por las funciones fbk(φ)


y σe(φ). Estas soluciones estacionarias satisfacen la siguiente ecuacion diferencial ordinaria(EDO) de segundo orden,

f(γ(x), φ

)′=(γ1(x)A(φ)′

)′, (5.1)

la cual se obtiene de (4.1) igualando ∂φ/∂t a cero, y donde ′ denota la derivada ordinaria(′ ≡ d/dx). Ahora, los perfiles de concentracion estacionarios resultan de la integracion (conrespecto a x) de la ecuacion (5.1), donde se debe obedecer la condicion de entropıa. Estecondicion puede ser caracterizada por la satisfaccion de la siguiente desigualdad sobre cadax-intervalo donde la solucion φ = φ(x) de (5.1) es suave, y que no incluya xL, 0 o xR:

d

dx

(sgn(φ− k)

[f(γ(x), φ(x)

)− f

(γ(x), k

)− γ1(x)

dA(φ)

dx

])6 0

para toda constante k real.

(5.2)

Ademas, a esta condicion se agregan las siguientes tres condiciones de continuidad y deadmisibilidad validas a traves de saltos de la solucion φ(x) o de γ(x).

(1) Supongamos que φ(x+) and φ(x−) denotan los valores lımites de φ

φ(x+) = limξ→xξ>x

φ(ξ), φ(x−) = limξ→xξ<x

φ(ξ),

adyacentes de un salto en una posicion x, y utilicemos una notacion similar para loslımites de γ, γ1 y A(φ)′, entonces la condicion que expresa la continuidad del flujo atraves de x esta dada por

f(γ(x+), φ(x+)

)− γ1(x

−)A′(φ)∣∣x−

= f(γ(x+), φ(x+))− γ1(x+)A′(φ)

∣∣x+ . (5.3)

(2) Adicionalemnte necesitamos una condicion que asegura que este salto es admisible.La condicion de entropıa valida para discontinuidades [22] esta dada por

sgn(φ(x+)− k

)[f(γ(x+), φ(x+)

)− f

(γ(x+), k

)− γ1(x

+)A′(φ)∣∣x+

]− sgn

(φ(x−)− k

)[f(γ(x−), φ(x−)

)− f

(γ(x−), k

)− γ1(x

−)A′(φ)∣∣x−

]6∣∣f(γ(x+), k

)− f

(γ(x−), k)

)∣∣ para toda constante k.

(5.4)

(3) Finalmente, aparte de (5.1)–(5.4), la funcion del perfil estacionario φ(x) debe satis-facer la condicion de que A(φ(x)) es continua como funcion de x, por lo tanto el unicovalor de concentracion que marca la interfaz entre las regiones de compresion y desedimentacion es la concentracion crıtica φc. Esta condicion restringe cualquier saltoen el perfil de estado estacionario a concentraciones inferiores a φc. Por lo tanto, parala construccion de los perfiles de concentracion estacionarios es necesario utilizar lainformacion dada por (5.1)–(5.4) junto con la continuidad (con respecto a x) de lafuncion x 7→ A(φ(x)).

5.2. Determinacion de perfiles de concentracion de estado estacionario. Empezamosen el punto xR y se fija la concentracion de descarga deseada,

φ(x+R) = φR = φR.

Desde el nivel x = xR, la ecuacion diferencial (5.1) debe ser integrada (resuelta) haciaarriba. Tal integracion es posible si y solo si la condicion φ(x+

R) = φR > φc esta satosfecha.

10 BURGER

En caso contrario, la operacion completa del equipo puede ser modelado como un procesode sedimentacion obstaculizada. (En tal caso, las concentraciones en cada una de las cuatrozonas serıan constantes y dadas por la interseccion de la funcion f(γ(x), φ) con la lınea deoperacion −qLφF.)

En la zona de descarga el estado estacionario esta dado por una concentracion con-stante φR. Tanto como en la zona de rebalse, esto se debe a la “conveccion” de los valoresde concentracion que provienen del interior del equipo hacia afuera. Aplicando la condicionde salto valida a traves de x = xR, obtenemos

qR(φR − φF) = qR

(φ(x−R)− φF

)+ fbk

(φ(x−R)

)− A′(φ)

∣∣x−R

. (5.5)

Puesto que se supone que A(φ(x)) es una funcion continua de x, se tiene que φ(x−R) = φR,es decir no existe ninguna discontinuidad en φ a traves de x = xR. Simplificando (5.5)obtenemos

fbk(φR) = A′(φ)∣∣x−R

= a(φR)φ′(x)∣∣x−R

. (5.6)

Integrando una vez la ecuacion diferencial ordinaria (5.1) (con respecto a x) en la zona deespesamiento obtenemos

qR

(φ(x)− φF

)+ fbk

(φ(x)

)− qR(φR − φF)− fbk(φR) = a

(φ(x)

)φ′(x)− a(φR)φ′(x)|x−R .

Aplicando (5.6) obtenemos que el perfil de concentracion de estado estacionario puede sercalculado resolviendo la siguiente ecuacion diferencial ordinaria junto con su condicion deborde unilateral:

φ′(x) =qR(φ(x)− φR) + fbk(φ(x))

a(φ(x))para x < xR; φ(x−R) = φR. (5.7)

En este informe se limita la discusion a aquellos estados estacionarios para los cuales todaslas partıculas solidas salen del equipo por la descarga. En tal caso, suponiendo que lasvelocidades qR y qL estan dadas y que la concentracion de alimentacion φF igualmente estadada, resulta la concentracion de descarga φR dada por

φR =qR − qL

qR

φF. (5.8)

Ahora, si φR 6 φmax, podemos integrar (5.7) hacia arriba. Aquı se aplica la condicion deentropıa (5.2). Eligiendo x entre xc y xR, integrando (5.2) desde x a xR, y utilizando (5.6),obtenemos que la desigualdad

sgn(φR − k)(qR(φR − k)− fbk(k)

)− sgn

(φ(x)− k

)(qR(φ(x)− k) + fbk(φ(x))− fbk(k)− A(φ)′

)6 0

(5.9)

debe ser satisfecha para todo x entre xc y xR y todas las constantes k. Puesto que φ(x)supuestamente satisface (5.7) sobre este intervalo, (5.9) se reduce a la desigualdad(

sgn(φR − k)− sgn(φ(x)− k))(

qR(φR − k)− fbk(k))

6 0

para toda constante k.(5.10)

Evidentemente, si k 6 min{φ(x), φR} o k > max{φ(x), φR}, entonces la desigualdad (5.10)esta trivialmente satisfecha. Ahora, supongamos que φR < φ(x) y seleccionemos un valor k


tal que φR < k < φ(x), entonces (5.10) entrega la desigualdad qR(k − φR) + fbk(k) 6 0, loque es imposible puesto que qR > 0 y fbk(k) > 0. Concluimos que (5.10) puede ser satisfechasolamente si

φ(x) < φR y qR(φR − k)− fbk(k) 6 0. (5.11)

Puesto que x fue elegido arbitrariamente entre xc y xR, concluimos que la condicion deentropıa esta satisfecha si y solo si

qR(φ− φR) + fbk(φ) > 0 para todo φ entre φc y φR. (5.12)

En tal caso, observamos que como consecuencia de (5.7) el perfil de concentracion entre φc

y φR incrementa estrictamente hacia abajo, es decir, φ′(x) > 0. Ahora hay dos casos posibles:

• o se alcanza el valor de la solucion φ = φc en un nivel inferior al nivel de alimentacion,tal que el nivel de sedimento esta localizado en la zona de espesamiento (caso 1),

• o integrando (5.7) llegamos al nivel de alimentacion x = 0 antes de que se alcanceel valor de solucion φc es decir, el valor de concentracion obtenido por la integracionde (5.7) adyacente a x = 0 desde debajo es algun valor φ(0+) > φc; en este caso, elperfil de concentracion debe ser continuado hacia arriba a la zona de clarificacion atraves de x = 0 (caso 2).

Comentamos que la desigualdad (5.12) parece imponer una condicion puramente tecnica.Sin embargo, para un material dado (caracterizado por las funciones fbk y σe), esta desigual-dad efectivamente impone una restriccion para las posibilidades de operacion del espesador-clarificador, puesto que segun definicion, fbk(φ) > 0, entonces para satisfacer (5.12), el valorde qR debe ser suficientemente pequeno, y φR debe ser suficientemente cerca de φc. Se diceque los parametros φR y qL satisfacen la Restriccion I si se cumple (5.12).

Los casos 1 y 2 corresponden a los modos de operacion convencional y de alta capacidad,respectivamente. Comentaremos ahora ambos modos, y terminaremos la construccion deestados estacionarios en ambos casos.

5.3. Caso 1: modo de operacion convencional. Diremos que un espesador-clarificadoresta operando en estado estacionario en modo convencional si todos los solidos salen delequipo como sedimento densificado por la apertura de descarga, es decir la concentracionde rebalse es cero, y ademas el sedimento esta enteramente localizado debajo del nivel dealimentacion, ver Figura 2.1 (a). En este modo de operacion, todos los solidos estan con-tenidos en la zona de espesamiento, y el equipo exhibe las tres siguientes regiones clara-mente distinguibles. La region de compresion esta ubicada entre la region de sedimentaciony el nivel de descarga, y se caracteriza por un perfil de concentracion que conecta el valorφR = ((qR − qL)/qR)φF en x = xR con el valor crıtico φc en el nivel de sedimento (x = xc).Este nivel, por definicion, separa la region de compresion de la region de sedimentacion ob-staculizada. Esta region, a su vez, esta localizada entre el nivel de alimentacion y el nivel desedimento. En esta region, la concentracion asume el valor de la concentracion conjugadaφc < φc. Finalmente, la region del lıquido claro comprende las zonas de clarificacion y derebalse, es decir, x < 0, donde la concentracion es cero.

Esta descripcion resume el resultado de la aplicacion al caso 1 de los principios de con-struccion descritos en las secciones 5.1 y 5.2. En lo siguiente detallaremos la construccion.

12 BURGER

Para caracterizar la region de compresion se recuerda que acabamos de integrar la ecuaciondiferencial (5.7) hasta el nivel x = xc, 0 < x < xR, en el cual se alcanza el valor φ = φc Sesupone que la condicion de estabilidad (5.12) esta satisfecha. En x = xc, la concentracionposee una discontinuidad entre φ+ = φc y la concentracion conjugada φ− = φc < φc. Lacondicion de salto estacionario valida a traves de x = xc, la cual, a su vez, es un caso especialde (5.3), puede ser escrita como

qRφc + fbk(φc)− A(φ(x)

)′∣∣x+c

= qRφc + fbk(φc). (5.13)

Para convertir esto en una expresion que permite calcular φc, escribimos la ecuacion difer-encial ordinaria en (5.7), evaluada en x = x+

c , como

A(φ(x)

)′∣∣x+c

= qR(φc − φR) + fbk(φc). (5.14)

Combinando (5.13) y (5.14) obtenemos la siguiente ecuacion para la determinacion de φc:

qRφR = qRφc + fbk(φc). (5.15)

Un punto delicado consiste en que (5.15) puede tener varias soluciones. Esta ambiguedadse resuelve mediante la condicion de salto de entropıa (5.4). Para el salto a traves de x = xc,esta condicion esta dada por(

sgn(φc − k)− sgn(φc − k))(

qR(φc − φF) + fbk(φc)− qR(k − φF)− fbk(k))

6 0

para toda constante k.(5.16)

Podemos utilizar esta desiguladad para obtener informacion acerca de la naturaleza del saltode φL a φc. Primeramente, puesto que se supone que A(φ) es continua como funcion de x,no puede suceder que φc > φc. Ademas, (5.15) y (5.16) deben ser analizadas juntas conla condicion de salto a traves del nivel de alimentacion x = 0, donde φ+ = φc y φ− = 0.Podemos evaluar aquı la condicion de salto de entropıa valida a traves de x = 0 poniendoφ+ = φc y φ− = 0. Esta condicion esta dada por

sgn(φc − k)(qRφc + fbk(φc)− qRk − fbk(k)

)− sgn(k)

(qLk + fbk(k)

)6 (qR − qL)|φF − k|

para todo k.

Eligiendo 0 < k < φc podemos simplificar esta condicion, obteniendo

(qR − qL)(φF − k)− 2(qLk + fbk(k)

)6 (qR − qL)|φF − k| para 0 < k < φc.

Esta desigualdad solamente puede ser satisfecha para el caso φF > φc, en el cual se reduce a

qLk + fbk(k) > 0 para todo 0 < k < φc. (5.17)

La interpretacion fısica es que la velocidad de sedimentacion asociada a la concentracionconjugada φc debe exceder qL. En el caso contrario, parte de la suspension seria llevada alrebalse, y el modo de operacion convencional no podria ser mantenido.

Volveremos ahora a la condicion de entropıa valida para el salto a traves de x = xc. Para kentre φc y φc, la condicion de salto de entropıa (5.16) se simplifica a

qR(φc − φF) + fbk(φc) 6 qR(k − φF) + fbk(k) para todo φc < k < φc. (5.18)

Resumiendo la informacion detallada hasta ahora, la determinacion de un estado esta-cionario en un espesador-clarificador consiste en los siguientes puntos:


(1) Calcular la concentracion de descarga φR (φR 6 φmax) dada por (5.8).(2) Integrar la ecuacion diferencial (5.7) hasta el punto φ = φc (tomando en cuenta la

condicion de estabilidad (5.12)), la cual define la region de compresion. Esta regiondebe ser localizada por debajo del nivel de alimentacion x = 0.

(3) Determinar la concentracion conjugada φc, valida en la region de sedimentacionobstaculizada, desde (5.15). La concentracion conjugada debe satisfacer las ecua-ciones (5.18) y (5.17).

(4) Por definicion, en este modo de operacion las zonas de clarificacion y de rebalsecontienen solamente lıquido claro, es decir, φ = 0 en las zonas de clarificacion y derebalse.

5.4. Caso 2: modo de operacion de alta capacidad. En el modo de alta capacidad,todas las partıculas solidas deben salir del equipo como sedimento densificado por la descarga,es decir nuevamente se supone que la concentracion de rebalse es cero (φL = 0). Sin embargo,al contrario del modo convencional, el nivel del sedimento ahora puede estar situado porarriba del nivel de alimentacion, es decir, xc < 0 (ver Figura 2.1 (b)).

Nuestro analisis de estado estacionario reconfirma que en este modo de operacion todoslos solidos estan localizados en la region de compresion, y que no existe una region desedimentacion obstaculizada arriba del sedimento. Concluimos que en el interior del equipo laregion de compresion esta contenida entre el nivel de descarga xR > 0 y el nivel de la interfazx = xc < 0. La concentracion decrece hacia arriba desde el valor φR = ((qR − qL)/qR)φF

en x = xR hasta la concentracion crıtica φc en la interfaz x = xc, la cual separa la regionde compresion de la region de lıquido claro y que marca un salto de φ+ = φc a φ− = 0. Laregion de lıquido claro ocupa el resto de la zona de clarificacion y la zona de rebalse.

Para completamente caracterizar la region de compresion, tenemos que integrar la ecuaciondiferencial (5.7) hasta el punto de alimentacion x = 0, donde se supone que la condicionde estabilidad (5.12) esta satisfecha. Luego, continuamos la integracion hacia la zona declarificacion usando la version apropiada de (5.7) hasta llegar al nivel de sedimento xc,donde se tiene que φ = φc. Puesto que restringimos la discusion tambien de este modode operacion al caso de un rebalse de lıquido claro, necesariamente se debe satisfacer lacondicion ((qR − qL)/qR)φF = φR 6 φmax.

Para explıcitamente calcular el perfil de concentracion en la zona de clarificacion tenemosque integrar una vez la cuacion diferencial (5.1), lo que entrega

qL

(φ(x)− φF

)+ fbk

(φ(x)

)− qL

(φ(0−)− φF

)− fbk

(φ(0−)

)= A′(φ(x)

)− A′(φ(0−)

).

(5.19)

La condicion de salto a traves de x = 0 es

qR

(φ(0+)− φF) + fbk

(φ(0+)

)− A

(φ(x)

)′∣∣0+

= qL

(φ(0−)− φF

)+ fbk

(φ(0−)

)− A

(φ(x)

)′∣∣0−

.

Utilizando (5.7), podemos evaluar el termino A(φ(x))′|0− , obteniendo

A(φ(x)

)′∣∣0−

= −qR(φR − φF) + qL

(φ(0−)− φF

)+ fbk

(φ(0−)

).

14 BURGER

Insertando este resultado en (5.19) obtenemos la ecuacion

A(φ(x)

)′= qLφ(x)− qLφL + fbk

(φ(x)

),

la cual puede ser rearreglada para entregar la siguiente ecuacion diferencial ordinaria com-binada con una condicion de borde unilateral, la que determina el perfil de concentracion enla zona de clarificacion:

φ′(x) =qLφ(x)− qLφL + fbk(φ(x))

a(φ(x))para x < 0; φ(0−) = φ(0+).

Esta ecuacion es valida solamente si φ(0+) > φc. Tal como en la zona de espesamiento, elperfil de concentracion debe satisfacer la version estacionaria de la condicion de entropıa, loque aquı significa que

qL(φ− φL) + fbk(φ) > 0 para φc 6 φ 6 φ(0−) (5.20)

(Restriccion II). Puesto que consideramos solamente el caso de un rebalse de lıquido claro(φL = 0), el problema de valor de frontera unilateral que efectivamente se integra en la zonade clarificacion es

φ′(x) =qLφ(x) + fbk(φ(x))

a(φ(x))para x < 0; φ(0−) = φ(0+). (5.21)

Cuando la concentracion crıtica φ = φc se alcanza en el nivel de sedimento xc, la siguientecondicion de salto debe ser satisfecha entre φ(x+

c ) = φc y φ(x−c ) = 0:

−qLφF = qL(φc − φF) + fbk(φc)− A(φ(x)

)′∣∣x+c.

Sin embargo, como resultado de la integracion de (5.21) tenemos que

a(φc)φ′(x)∣∣xc

= qLφc + fbk(φc),

lo que implica que el salto entre φc y cero en x = xc efectivamente satisface la condicion desalto. Finalmente verificamos si tambien se satisface la condicion de salto de entropıa, lacual en este caso es(

sgn(φc − k) + sgn(k))(−qLk − fbk(k)

)6 0 para todo k,

es decir, en este caso

qLk + fbk(k) > 0 para todo 0 < k < φc; (5.22)

esta condicion esta satisfecha si la condicion de estabilidad de sedimento en la zona declarificacion (5.20) esta satisfecha.

Resumiendo podemos decir que el calculo del perfil de concentracion en el modo de op-eracion de alta capacidad puede ser resumido por los siguientes pasos.

(1) Calcular la concentracion de descarga φR (φR 6 φmax) dada por la ecuacion (5.8).(2) Integrar la ecuacion diferencial (5.7) hasta el nivel de alimentacion tomando en cuenta

la condicion de estabilidad (5.12). El valor de concentracion obtenido en este puntoes el valor inicial para continuar la integracion hacia la zona de clarificacion.


(3) Debido a la continuidad del perfil de concentracion a traves del nivel de alimentacionx = 0 (como consecuencia de la continuidad de la funcion x 7→ A(φ(x))), utilizaremosφ(0+) como condicion de frontera unilateral y continuamos la construccion del perfilde concentracion mediante la ecuacion (5.21), considerando la condicion de estabili-dad (5.20), hasta que la concentracion φ = φc este alcanzada. Esto debe suceder enun nivel inferior por debajo de xL en este modo de operacion.

(4) La parte de la zona de clarificacion por arriba del sedimento y la zona de rebalseforman la region de lıquido claro, φ = 0.

5.5. Ejemplo de una solucion incorrecta pronosticada por el modelo ICT. Unejemplo de una solucion incorrecta pronosticada por el concepto ICT esta ilustrada parala seleccion de flujos de la Figura 5.1 (a). Para este caso, la integracion empieza por laconcentracion representada por la interseccion de la lınea de operacion con la lınea qR(φ−φF),mientras que la concentracion conjugada esta dada por la interseccion de la lınea de operacioncon la curva φ 7→ qR(φ− φF) + fbk(φ).

Si en este caso la zona de espesamiento esta suficientemente alta para contener el sedimentoentero, el perfil de concentracion tiene la estructura esquematicas mostrada en la Figura 5.1(b). En tal caso, los tres candidatos para la concentracion conjugada son φ1

l , φ2l , y φ3

l , de loscuales el valor menor φ1

l serıa seleccionado. Pero en verdad, ningun de estos tres valores esla concentracion conjugada valida.

Lo que pasa en realidad es que la lınea de operacion es bajada hasta que este tangentea la curva φ 7→ qR(φ − φF) + fbk(φ) en su mınimo, ver Figura 5.1 (c). Esto reduce elvalor de φR, y necesariamente para mantener el balance de masa parte de los solidos partenpor el rebalse. Si la zona de espesamiento posee la profundidad suficiente para contener elsedimento completo, la forma del perfil de concentracion es como ilustra la Figura 5.1 (d).

5.6. Comentario acerca de la restriccion al rebalse claro. Comentamos brevementenuestra restriccion a aquellos estados estacionarios para los cuales todas las partıculas salende la descarga, es decir para los cuales la concentracion de descarga φL es cero.

Primeramente enfatizamos que el modelo CT transiente es capaz de describir situacionesen las cuales parte del material solido entra a la zona de rebalse; tal caso esta ilustradoen trabajos previos [22]. Aquı decidimos restringir la discusion de estados estacionarios aφL = 0 puesto que esta situacion es la mas deseada y relevante para el procesamiento deminerales.

Comentaremos ahora acerca de las posibilidades de asegurar a priori por apropiada se-leccion de los parametros que esta condicion este satisfecha. Tal como se menciono en [22],el problema de determinar un estado estacionario del modelo CT es basicamente sobre-determinado. Para ilustrar este punto, recordamos que en un CT cilındrico, la conservacionde masa implica que

QF

S= (qR − qL)φF = qRφR − qLφL; (5.23)

esto significa que si fijamos φF, qR y qL los pares de valores (φR, φL) que satisfacen (5.23)forman una familia con un parametro. Sin embargo, no es obvio si para un par (φR, φL)dado y que satisface(5.23) efectivamente existe un estado estacionario estable. Tal como

16 BURGER

(a) (b)∧

>φ1

lφF φ2

lφ3

lφcφD

qR(φ− φF) + fbk(φ)

qL(φ− φF) + fbk(φ)

qR(φ− φF)

qL(φ− φF)

φ

f(γ

,φ)

∧

>

φD

φc

φl1

0

0 xRxL

φ

x

(c) (d)∧

>φE φF φ2 φ1 φcφD

qR(φ− φF) + fbk(φ)

qL(φ− φF) + fbk(φ)

qR(φ− φF)

qL(φ− φF)

φ

f(γ

,φ)

∧

>

φD

φc

φ1

φ2

φE

0 xRxL

φ

x

Figure 5.1. Soluciones de estado estacionario para el modelo ICT (a, b) y elmodelo del clarificador-espesador (CT) (c, d), mostrando las funciones de flujo(a, c), donde qR y qL son las veclocidades de la mezcla en las zonas de espe-samiento y clarificacion, respectivamente, y los perfiles de estado estacionario(b) para el modelo ICT, considerando solamente la zona de espesamiento, y(d), con una lınea de operacion bajada, para el modelo CT.

ilustra la discusion previa, esto depende de las formas de las funciones φ 7→ qRφ + fbk(φ) yφ 7→ qLφ + fbk(φ), y en particular de la importancia relativa de la funcion a(φ), es decir,de la funcion σe(φ) que describe la compresibilidad del sedimento. Efectivamente, nuestraconstruccion es exitosa si uno logra integrar (5.7) (en el caso 1) o (5.21) (en el caso 2) hastael nivel del sedimento. Esto puede fracasar por dos motivos: o por lo menos una de lascondiciones (5.12) o (5.20) no esta satisfecha, o el sedimento no es muy compresible, es decira(φ) es tan grande en el φ-rango relevante que la integracion de (5.21) entrega un perfil φ(x)


en la zona de compresion que varia solamemente lentamente, y llegamos al nivel de rebalsexL desde abajo con una concentracion φ(x+

L ) > φc.En ambos casos, una adecuada reduccion del flujo de alimentacion QF y una integracion

puede producir un perfil de estado estacionario admisible con φL = 0. (Posiblemente hayque repetir este paso.) Para ver eso, consideremos primeramente la segunda situacion de“fracaso” mencionada arriba. Podemos reducir QF menteniendo constante el caudal de al-imentacion, o equivalentemente, la velocidad qR − qL, pero reduciendo φF. Si seguimosinsistiendo en que φL = 0, entonces esto significa que la concentracion de descarga deseadaφR debe ser reducida; si su valor nuevo satisface φR > φc, entonces empezamos nuevamentela integracion de (5.7) pero desde una concentracion menor, entonces el perfil nuevo posi-blemente puede ser acomodado dentro del equipo. Alternativamente, podemos mantener φF

constante, pero reducimos qR−qL, por ejemplo, reduciendo qR pero manteniendo qL . Amboscambios incrementan el denominador de (5.7) y el perfil nuevo alcanza el valor φc en unaaltura menor, posiblemente localizada dentro del equipo. Por otro lado, notamos que lascondiciones de estabilidad para la integracion, (5.12) o (5.20), siempre si φR es solamenteligeramente mayor que φc, y qR y |qL| son suficientemente pequenos, lo que es equivalente adecir que QF es suficientemente pequeno.

Concluimos la discusion mencionando que debido a la naturaleza sobre-determinada delproblema la naturaleza “implıcita” de la forma de los perfiles de concentracion en la regionde compresion (hay que resolver una ecuacion diferencial ordinaria numericamente; en gen-eral las soluciones no estan disponibles en forma cerrada), y la escala de altura involucradamediante la importancia relativa de la compresibilidad del sedimento, la manera mas directade evaluar si la condicion φL = 0 efectivamente esta satisfecha por parametros φF, qL y qR

escogidos es tratar directamente de determinar el perfil de estado estacionario correspondi-ente, y de reducir el caudal de alimentacion por alguna de las estrategıas mencionadas arribasi esto fracasa. La discusion muestra que escogiendo QF suficientemente pequeno siempre sepuede lograr un perfil admisible.

6. Avances recientes en metodos numericos

Para la simulacion de la sedimentacion continua se utiliza una discretizacion de la ecuacion(4.1) con los ingredientes dados por (4.2)–(4.5). Se utiliza un parametro ∆x > 0, se definexj := j∆x, y se discretiza el vector de parametros γ y el dato inicial por

γj+1/2 := γ(x+

j+1/2

), U0

j := φ0

(x+

j

), j = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . . (6.1)

Aquı xj+1/2 := xj + ∆x/2 denota el punto medio del intervalo [xj, xj+1). Sea tn := n∆t.Nuestro metodo numerico genera una aproximacion Un

j ≈ φ(xj, tn).Para el modelo puramente hiperbolico, es decir para el caso de una suspension no floculado

correspondiente a σe ≡ 0, es decir, A ≡ 0, la ecuacion (4.1) es de la forma

∂φ

∂t+

∂

∂xf(γ(x), φ

)= 0, −∞ < x < ∞, t > 0. (6.2)

18 BURGER

En este caso, el metodo numerico es dado por la formula

Un+1j = Un

j − λ(hn

j+1/2 + F nj+1/2 −

(hn

j−1/2 + F nj−1/2

)),

λ =∆t

∆x, j = 0,±1,±2, . . . , n = 0, 1, 2, . . . .

(6.3)

Aquı

hnj+1/2 := h

(γj+1/2, U

nj+1, U

nj

),

donde h denota el flujo numerico de Engquist y Osher [38]:

h(γ, v, u) :=1

2

(f(γ, u) + f(γ, v)

)− 1

2

∫ v

u

∣∣fu(γ, w)∣∣ dw, (6.4)

y la cantidad F nj+1/2 es un termino de correccion necesario para asegurar que el esquema este

de segundo orden con respecto al espacio. Sin este termino, es decir para

F nj+1/2 = 0 para todo j = 0,±1,±2, . . . y n = 0, 1, 2, . . . , (6.5)

resulta un esquema numerico de primer orden; este es el esquema utilizado en un numero detrabajos anteriores [16, 17, 18, 19, 22].

Para describir el esquema de segundo orden, supogamos que Un denota la solucion aprox-imada en nivel n, y sea el algoritmo (6.3) escrito en notacion de operador como

Un+1 = H(∆t)Un. (6.6)

Para el modelo completo (con difusion degenerada) (4.1)–(4.5), se proponde un metodo deltipo operator splitting

Un+1 =[H(∆t/2) ◦ P(∆t) ◦ H(∆t/2)

]Un, n = 0, 1, 2, . . . , (6.7)

donde P(∆t) representa un esquema de segundo orden para el problema puramente difusivo

ut =(γ2

1(x)A(u)x

)x

(6.8)

escrito como

Un+1 = P(∆t)Un. (6.9)

La novedad de los metodos siendos dearrollados en el marco del presente proyecto es el usode discretizaciones de segundo orden, las cuales permiten alcanzar una cierta exactitud de lasolucion con una malla mas gruesa, y menos esfuerzo computacional (tiempo de simulacion)que un metodo de primer orden. Tal propiedad se logra a traves de la apropiada seleccionde los terminos de correccion F n

j+1/2. Estos terminos aseguran la consistencia de segundoorden; sin embargo deben moderar la correccion de tal manera que se evite la produccion deoscilaciones en la solucion numerica. En palabras mas tecnicas, el metodo final debe tenerla “propiedad TVD” (total variation diminishing).

En el trabajo [20], que se adjunta a este informe como anexo, se describen dos difer-entes metodologıas para generar un metodo TVD, una de ellas basada en un procedimiento“simple”, otra en un metodo “flux-TVD”. A continuacion se presentaran dos ejemplosde estos resultados. En ambos casos, el material esta caracterizado por la funcion (3.3)con los parametros v∞ = 10−4 m/s, C = 5 y φmax = 1. Se considera la alimentacion


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

BKT TVD1− simple TVD limiter TVD2−flux−TVD limiter

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


x

φ

x

φ

x

φ

x

φ

x

φ

x

φ

(e) (f)

(c) (d)

(a) (b)

Figure 6.1. Simulacion del llenado de un espesador-clarificador, caso A ≡ 0(suspension no floculada), utilizando (a, c, e) ∆x = 0.05 y (b, d, f) ∆x = 0.025.Solucion en los instantes (a, b) t = 150000 s, (c, d) t = 250000 s y (e, f)t = 500000 s. El metodo BKT [22] es de primer orden; los metodos TVD1 yTVD2 son los metodos nuevos descritos en [20]. La lınea solida es solucion dereferencia (calculada con exactitud alta).

con una suspension de concentracion φF = 0.3, de un espesador-clarificador idealizadocilındrico con xR = 1 m y xL = −1 m, es decir cada una de las zonas de espesamiento

20 BURGER

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Splitting EO Splitting TVD Splitting FTVD Semi−implicit

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


x

φ

x

φ

x

φ

x

φ

(c) (d)

(e) (f)

(a) (b)

Figure 6.2. Simulacion del llenado de un espesador-clarificador, caso A 6≡ 0(suspension floculada), utilizando (a, c, e) ∆x = 0.05 y (b, d, f) ∆x = 0.025.Solucion en los instantes (a, b) t = 25000 s, (c, d) t = 50000 s y (e, f) t =100000 s. El metodo BKT [22] es de primer orden; los metodos TVD1 yTVD2 son los metodos nuevos descritos en [20]. La lınea solida es solucion dereferencia (calculada con exactitud alta).

y de clarificacion tiene una profundidad (o altura) de un metro. El resultado de la sim-ulacion es independiente del area S del equipo si se considera un caudal de alimentacion


QF = S(qR − qL) = 1.25× 10−5 ms−1 × S; se supone que el control de descarga es tal queqR = QR/S = 2.5× 10−6 ms−1 y qR = QR/S = 2.5× 10−6 ms−1.

En el primer caso, se considera una suspension sin efectos de compresion, es decir σe ≡ 0y por lo tanto A ≡ 0 (caso especial incluido en el modelamiento). La Figura 6.1 muestrala simulacion del llenado de este equipo por diferentes metodos (el metodo BKT de primerorden [22] y los metodos nuevos TVD1 y TVD2 de segundo orden desarrollados en [20]).En el segundo caso, se considera una suspension floculada con efecto de compresibilidad delsedimento, y una funcion σe(φ) dada por (3.7) con los parametros σ0 = 1 Pa, φc = 0.1 yk = 1; ademas se suponen los parametros ∆% = 1500 kg/m3 y g = 9.81 ms−2. La Figura 6.2muestra el resultado numerico correspondiente.

7. Extensiones y aspectos adicionales

Las actividades presentes en el modelamiento matematico de espesadores se concentranen el entendimiento de modelos matematicos de suspensiones polidispersas (Seccion 7.1),en la descripcion del transporte y de la adsorpcion del floculante (ver Seccion 7.2), y en lasimulacion de sedimentacion con velocidades aleatoricas (Seccion 7.3).

7.1. Suspensiones polidispersas. El modelamiento presente de suspensiones en espe-sadores considera que el estado de una suspension en un punto x y en un instante t puede sercaracterizado completamente por la fraccon volumetrica (o concentracion) local de solidosφ = φ(x, t) mediante las funciones fbk(φ) y σe(φ), y ciertos parametros como ∆% y g que sonconstantes para un material y un estado de floculacion dados. En otras palabras, la unicavariable desconocida para la cual hay que resolver el modelo para simular, y eventualmentecontrolar el proceso, es φ = φ(x, t). Sin embargo, para una descripcion mas realista deprocesos de sedimentacion de suspensiones reales se deben incluir balances de mas variables.Por un lado, muchas suspensiones reales son polidispersas, es decir las partıculas solidas noposeen el mismo tamano sino que una distribucion de tamanos, propiedad que causa efectosde segregacion por tamano y la formacion de areas de composiciones diferentes; por otrolado, las propiedades reologicas dependen de la concentracion local del floculante y de lacantidad de floculante adsorbido. En ambos casos, el modelamiento fenomenologico puedeser extendido para incluir estos efectos, sin salirse del marco uni-dimensional.

Para el caso de suspensiones polidispersas, y no considerando efectos de compresibilidaddel sedimento, se pueden considerar partıculas del mismo material (y por lo tanto de lamisma densidad), pero de N tamanos d1 > d2 > · · · > dN diferentes, donde se supone queφi es la fraccion volumetrica de la especie i (con el tamano di). El modelamiento de una talmezcla (ver [8, 21] para detalles de la derivacion) entrega un sistema de leyes de conservacion

∂φi

∂t+

∂fi(Φ)

∂x= 0, Φ = (φ1, . . . , φN)T, i = 1, . . . , N, (7.1)

donde el vector de funciones f(Φ) = (f1(Φ), . . . , fN(Φ)) juega el rol de, y en el caso N = 1 sereduce a, la funcion fbk(φ) en (1.1). En la literatura existe una gran variedad de funcionesf(Φ) para suspensiones polidispersas, incluyendo las formulas de Masliyah-Lockett-Bassoon

22 BURGER

[47] (“modelo MLB”)

fi(Φ) =gd2

i (%s − %f)

18µf

(1− φ)V (φ)

[d2

i −N∑

k=1

φkd2k

], i = 1, . . . , N, (7.2)

donde φ = φ1 + · · ·+ φN es la fraccion volumetrica total de solidos, %s y %f son la densidaddel solido y del lıquido, respectivamente, µf es la viscosidad del lıquido, y V (φ) es un factorde sedimentacion obstaculizada que puede ser elegido, por ejemplo, como

V (φ) =

{(1− φ)C para 0 6 φ 6 φmax,

0 en caso contrario.

Otra opcion es la formula de Hofler y Schwarzer [40] (“modelo HS”)

fi(Φ) = φid2i exp

{N∑

j=1

(3∑

p=0

βp

dpj

dpi

)φj + 2φ

}(1− φ)2, (7.3)

donde β0, . . . β3 son coeficientes no negativos; por ejemplo β0 = −3.52, β1 = −1.04, β2 =−1.04, β3 = 0 [40]. Cada una de las formulas (7.2) y (7.3) tiene una fundamentacion teoricaadecuada.

La solucion numerica de sistemas de leyes de conservacion como (7.1) es principalmenteposible por metodos especializados, por ejemplo del tipo shock-capturing, ademas el modelopuede ser extendido a aparatos de clasificacion y separacion continua (de modo similar aldesarrollo en el caso monodisperso [14]). El problema estudiado en este perıodo (ver el in-forme [13] que va como anexo) esta relacionado con el concepto de estabilidad. En todas lasobservaciones experimentales, una suspension polidispersa de partıculas de igual densidadsedimenta de manera estable, es decir se forman interfaces horizontales entre areas de com-posicion diferente, entre la suspension y el agua y entre el sedimento y la suspension. El casocontrario son fenomenos de inestabilidad tales como la formacion de corrientes verticales,segregacion lateral, y la formacion de clusters de partıculas. El analisis de [21] demues-tra que estos fenomenos no pueden aparecer en un modelo dado si este modelo posee lapropiedad de hiperbolicidad, es decir si el vector de funciones f(Φ) posee una matriz Jaco-biana solamente con valores propios reales. Dicha propiedad depende del modelo escogido,y se desea establecer criterios, por ejemplo en terminos del rango de tamanos [dN , d1], queaseguran la hiperbolicidad para valores de N arbitrarios. Este problema fue abordado en[13] aprovechando un nuevo resultado del algebra lineal, la llamada ecuacion secular. Esteanalisis es, ademas, no puramente teorico, sino que tambien entrega informacion acerca delos valores y vectores propios, la cual a suvez es necesaria para la implementacion de ciertosmetodos numericos, por ejemplo los metodos de Roe y de Kurganov y Tadmor.

A modo de ejemplo presentamos en la Figura 7.1 simulaciones numericas de la sedi-mentacion de una suspension polidispersa con N = 4 especies (tamanos diferentes), y dondelos parametros son g = 9.81 m/s2, µf = 0.02416 Pa s, %f = 1208 kg/m3, %1 = · · · = %N =%s = 2790 kg/m3 correspondiente a datos eperimentales [51]. La funcion V (φ) para el mod-elo MLB posee el exponente C = 4.7; los valores de β0, . . . , β3 para el modelo HS son comoespecificados arriba. Se considera una columna de la profundidad original L = 0.3 m [51],normalizada a un intervalo 0 6 x 6 1, con los diametros d1 = 4.96 × 10−4 m, d2 = 0.8d1,


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

φ1

φ2

φ3

φ4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

φ1

φ2

φ3

φ4

Figure 7.1. Simulacion numerica de la sedimentacion de una suspension po-lidispersa con partıculas de N = 4 tamanos: modelo MLB y metodo de Roe(izquierda), modelo MLB y metodo de Kurganov y Tadmor (centro), mod-elo HS y metodo de Kurganov y Tadmor (derecha), evaluada en los instantest = 50 s (primera fila), t = 200 s (segunda fila), t = 300 s (tercera fila) yt = 1000 s (ultima fila) con ∆x = 0.0005.

d3 = 0.6d1 and d4 = 0.4d1. Otros parametros son φmax = 0.6, y las concentraciones inicialesson

φi(x, 0) = φ0i = 0.05, i = 1, 2, 3, 4.

24 BURGER

Los metodos utilizados para la simulaciones son el esquema central de Kurganov y Tadmor[42], de segundo orden, y el metodo de Roe (ver [46]), respectivamente; ver el trabajo anexado[13] para detalles.

7.2. Modelamiento del transporte y de la adsorcion del floculante. Se esta traba-jando en la extension del modelo del clarificador-espesador a los fenomenos de inyeccion,transporte y adsorcion de floculante. El modelo, sus hipotesis, su simulacion numerica yejemplos numericos seran presentados en detalle en el proximo informe. Sin embargo pode-mos presentar aquı un ejemplo del caso especial de una suspension ideal sin compresion.Sean cf y cs las saturaciones del floculante en las componentes lıquida y solida del sistema,es decir, cf y cs corresponden a las saturaciones del floculante libre y adsorbido, respectiva-mente; ademas, sean u := φcs y w := (1− φ)cf , donde φ sigue siendo la fraccion volumetricade solidos. En tal caso se puede suponer que el parametro v∞ en la ecuacion de Richard-son y Zaki (3.3), que representa la velocidad de sedimentacion de una partıcula en lıquidoclaro, depende de cs: v∞ = v∞(cs) = v∞(u/φ); por ejemplo, se puede considerar la relacioncuadratica

v∞ = −36c2s + 36cs + 1.

En tal situacion definimos

fbk(φ, u) =

{v∞(φ, u)φ(1− φ)C para 0 < φ < φmax,

0 en caso contrario.(7.4)

Por otro lado, se supone que la reaccion de adsorcion esta dada por la cinetica

k(φ, u, w) = kacf(φ− u)− kdu,

donde ka y kd son constantes de adsorcion y desorcion, respectivamente. Finalmente, sesuponde que csF y cfF son las saturaciones cs y cf de la suspension de alimentacion, con losvalores correspondientes uF = csFφF y wF = cfF(1 − φF). Ası, el modelo que describe elproceso de sedimentacion continua con transporte y adsorcion del floculante esta dado porlas siguientes tres ecuaciones diferenciales parciales; para u = const. y w = const. el modeloes identico al modelo (4.1)–(4.5) para σe ≡ 0, es decir A ≡ 0:

∂φ

∂t+

∂

∂x

(γ1(x)

[γ2(x) +

fbk(φ, u)

φ

]φ + γ2(x)(φ− φF)

)= 0, (7.5)

∂u

∂t+

∂

∂x

(γ1(x)

[γ2(x) +

fbk(φ, u)

φ

]u + γ2(x)(u− uF)

)= k(φ, u, w), (7.6)

∂w

∂t+

∂

∂x

(γ1(x)

[γ2(x)− fbk(φ, u)

1− φ

]w + γ2(x)(w − wF)

)= −k(φ, u, w). (7.7)

Recordamos aquı la definicion de los parametros discontinuos γ1 y γ2):

γ1(x) :=

{1 para x ∈ (xL, xR),

0 para x 6 xL o x > xR,γ2(x) :=

{qL para x < 0,

qR para x > 0.


−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0

φ u w

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0.01

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0.025

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0.05

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0.15

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0.02

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0.325

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0.4

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0.8

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=1.0

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=1.25

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=2.0

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=2.5

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=3.5

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=5.0

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=15.0

Figure 7.2. Simulacion del llenado de un espesador-clarificador con trans-porte, adsorcion y desorcion de floculante, empezando con un equipo lleno deagua y alimentando con φF = 0.4.

Como mencionamos arriba, el estudio sistematico y el desarrollo de un metodo numericopara el modelo (7.5)–(7.7) es el tema de investigacion en progreso. Sin embargo, a modode ejemplo podemos presentar aquı el caso de espesador-clarificador con −xL = xR = 1inicialmente lleno de agua, el cual es operado con los parametros nominales qL = −1, qR = 1y es llenado con suspension de la fraccion volumetrica de solidos φF = 0.4 y con csF = 0.3,

26 BURGER

css = 0.1. Las constantes de adsorcion y de desorcion son ka = 0.003 y kd = 0.001. Sepresenta en la Figura 7.2 una simulacion numerica obtenida por un metodo de primer orden.

La concentracion de alimentacion ha sido elegida relativamente grande para generar unejemplo donde varios efectos esten bien visibles, tales como la dilucion de la suspensional entrar a la zona de sedimentacion, la formacion del sedimento y la variacion espacial ytemporal de la concentracion del floculante como resultado de los procesos de alimentacion,transporte, adsorcion y desorcion.

7.3. Simulacion de sedimentacion con velocidades aleatoricas. Los avances descritoshasta ahora se enfocan en modelos determinsticos para la descripcion de procesos de sed-imentacion, y su eventual implementacion para la simulacion y el control de espesadores.Tales modelos resultan en ecuaciones diferenciales parciales de diferentes tipos, cuyas solu-ciones directamente entregan los perfiles de concentracion deseados. En trabajo en progresose esta contemplando la alternativa de modelos aleatorios que pueden brindar una descripcionmas realista puesto que toman en cuenta que la velocidad de sedimentacion de una partıculaes afectada por efectos aleatorios, y nunca precisamente igual a una funcion dada de laconcentracion.

Hemos estudiado trabajos realizados principalmente por Tory, Bargiel y Ford [2, 3, 4, 5, 6]sobre sedimentacion de suspensiones monodispersas con efectos aleatorios. Esto nos hallevado a considerar el sistema no lineal de ecuaciones diferenciales estocasticas{

dXk(t) = Vk(t)dt,

dVk(t) = −β(φ) (Vk(t)− µ(φ)) dt + σ(φ)dWk(t)(7.8)

donde k = 1, . . . N , W1, . . . ,WN son procesos de Wiener independientes y φ es una aprox-imacion de la concetracion de las partıculas X1, · · · , XN . Aquı, X representa la posicionde las partıculas, V su velocidad, µ la velocidad media, β representa la tendencia de lavelocidad de acercarse a µ y σ es una funcion que regula las variaciones de la velocidadesdebido a efectos aleatorios. Hemos supuesto que el sedimento no se comprime. Como partedel estudio hecho, hemos programado en MATLAB y FORTRAN la solucion numerica de(7.8) usando el metodo de Runge-Kutta-Honeycutt. Para mejorar nuestra comprension delproblema, tambien hemos solucionado (7.8) mediante los metodos de Euler y Runge-Kuttaclasico. Hemos realizado varias simulaciones numericas con vistas a alcanzar una mayoreficiencia computacional.

La Figura 7.3 muestra las alturas del sedimento en funcion del tiempo aproximadas porlos metodos de Runge-Kutta clasico (verde), Runge-Kutta-Honeycutt (rojo) y Euler(negro).Hemos tomado 2000 partıculas, un tamano de paso de la discretizacion temporal de 0.01,una concentracion inicial de 0.05 y una concentracion del sedimento de 0.576.

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0 500 1000 1500 2000 25000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 7.3. Evolucion de la altura del sedimento

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Modelo de Espesamiento de Suspensions Floculadas

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